11. Validação do programa desenvolvido

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CAPÍTULO XI – VALIDAÇÃO DO PROGRAMA DESENVOLVIDO

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Validação do programa

XI - 1

11. Validação do programa desenvolvido

11. Apresentação do programa

11.1.1. Introdução

Ao longo deste trabalho foi desenvolvido um programa de computador para análise de seções transversais, de forma qualquer, conforme as figuras 4.1 e 4.2, solicitadas à flexão oblíqua composta. O programa também faz a verificação da estabilidade considerando os efeitos de segunda ordem de pilares engastados em uma extremidade e livre na outra e pilares bi-apoiados conforme a figura 11.1. É admitido carregamento transversal tanto na direção x quanto na direção y.

Figura 11.1 – Esquemas de pilares: a) Engastado – livre; b) Bi – apoiado.

As cargas positivas têm os sentidos indicados na figura.

11.1.2. Análise de seções transversais

Para a análise de seções transversais o programa apresenta as seguintes possibilidades:

a) Esforços resistentes dados: ε o , α e h

α

/r

_α

; b) Esforços resistentes dados: ε o , h x /r x , h y /r y ;

L H

Bd

N

d

M

Bd

A B

q L

N

d

M

Bd

A B

q

M

Ad

a) Pilar engastado - livre b) Pilar bi - apoiado

(3)

d) Esforços resistentes dados: θ, ε o e h

_α

/r

_α

;

e) Esforços resistentes dados: α , x/h

α

para o Estado Limite Último;

f) Momentos resistentes dados: α e N Sd para o Estado Limite Último;

g) Esforços resistentes dados: θ e x/h

α

para o Estado Limite Último;

h) Momentos resistentes dados: θ e N Sd, para o Estado Limite Último;

i) Diagrama “α - θ” sendo dados:

i1) N Sd para o Estado Limite Último;

i.2) ε o para o Estado Limite Último;

i.3) ε o e h

_α

/r

_α

; i.4) ε o e kcurv i.5) N Sd e K curv ;

j) Diagrama “ν - ε o ” dados: kcurv e α ;

k) Diagrama “M Rxd - M Ryd ” no Estado Limite Último para dado N d ; l) Diagrama "M xd - M yd - α - K curv " para dado N Sd ;

m) Diagrama “Momento-Curvatura” dados N Sd e a, θ, M Sxd ou M Syd ; n) Diagrama “κ - θ”;

o) Determinação das curvaturas correspondentes a N Sd , M Sxd e M Syd . 11.1.3. Análise de pilares

Para a análise de pilares o programa apresenta as seguintes possibilidades:

a) Pilar engastado na base e livre no topo (figura 11.1.a);

b) Pilar bi-apoiado (figura 11.1.b).

11.2. Geração de exemplos

11.2.1. Seção retangular

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Validação do programa

XI - 3

Com a finalidade de verificar os resultados fornecidos pelo programa foi gerada a tabela 11.1. Utilizaram-se para a análise o concreto C25, o aço CA-50, seção retangular de 60 cm x 30 cm com 12 barras de 20 mm, cobrimento da armadura longitudinal de 3,5 cm.

Naquela tabela foram arbitrados os valores de α , ε c,máx e ε s,máx . Os valores de ε o , h

_α

, d s , h

_α

/r

_α

, h x /r x , h y /r y e x LN foram calculados pelas fórmulas abaixo:

Figura 11.2 – Esquemas de seção transversal, com o diagrama de deformações e de tensões no concreto (n

x

=4, n

y

=2).

n x = número de barras associadas aos lados de comprimento h x

n y = número de barras associadas aos lados de comprimento h y

Barras associadas aos vértices = 4 Número de barras = 2.(n x + n y ) + 4

h

_α

= h y .conα + h x .senα (11.1)

d

s

’ d

s

’

d

s

’(sen α +cos α ) α

x

LN

d

s

h

α

h

y

h

x

X Y

ε

c,máx

ε

o

ε

s,máx

R

cd

ε=2%

^o

σ

c,máx

R

st,1

R

st,i

ε

s,i

CE

ε

c

σ

c

(5)

( )

s máx s máx c

h d r

h

, ,

. ε ε

α α

α

−

= (11.3)

ε o = ε c,máx - 0,5.(h

_α

/r

_α

) (11.4)

α

α α α

r sen h h h r

h

_x

x

= . . (11.5)

α

α α α

r sen h h h r

h

_y

y

= . . (11.6)

s máx s máx c

máx c

LN

d

x .

, ,

,

ε ε

ε

= − (11.7)

Os valores dos esforços resistentes N Rd , M Rxd e M Ryd e da inclinação do eixo de solicitação θ, foram obtidos através da rotina indicada no item 11.1.2.a.

Para cada uma das rotinas dos itens b, c, e d as entradas de dados são diferentes e para cada uma delas os resultados confirmam os valores correspondentes da tabela para todos os exemplos.

Com as rotinas dos itens e, f, g e h foram confirmados mais uma vez os valores da tabela que correspondem ao Estado Limite Último.

Essa análise, embora ainda não garanta a exatidão dos resultados, garante a consistência entre as rotinas envolvidas. Uma vez que se comprovem os valores da tabela 11.1 se terá confirmado a validade dos resultados fornecidos pelas rotinas 11.1.2.a a 11.1.2.h.

A verificação dos esforços resistentes N Rd , M Rxd e M Ryd , foi feita comparando-se

esses valores com os obtidos com o programa FOCMC desenvolvido na dissertação

de mestrado do Prof. França – USP/SP.

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XI-5

Tabela 11.1 – Resultados obtidos do programa de flexão composta oblíqua para seção retangular.

GERAÇÃO DE DADOS PARA TESTE DO PROGRAMA DE FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 01/março/2.006

Concreto: Aço:

C25 CA 50

fck = 25 Mpa fyk = 500 Mpa

?c = 1,4 ?s = 1,15

ec1 = 2,00 ‰ eyd = 2,07 ‰

ec,lim = 3,50 ‰ es,lim = 10,00 ‰

Fluência = 0 Es = 210 GPa

Seção: Armadura:

Retangular 16 F 20

hx = 60 cm As,1F = 3,1416 cm2 hy = 30 cm As,total = 50,27 cm2 cobrim = 3,5 cm

ds' = 4,5 cm2 nx' = 4

ny' = 2

ha = hy.con(Alfa) + hx.sen(Alfa) XLN = (EpsonCmax/(EpsonCmax - EpsonSmax)).ds

ds = ha - ds'.(sen(Alfa)+cos(Alfa)) Os valores das colunas A, B e C foram arbitrados de modo a se obter combinações de deformações no E.L.U. e fora dele. Fora do E.L.U. se tem combinações de deformações considerando:

ha/ra = ha.(EpsonCmax - EpsonSmax)/ds 3,5‰ > ec,max > 2‰ e 2‰ > ec,max > 0

e 2‰ > es,max > 0 , 0 > es ,max > -2,07‰ e -2,07‰ > es,max > -10‰

Epson0 = EpsonCmax - 0,5.(ha/ra) As colunas D à J foram calculadas nesta planilha pelas fórmulas indicadas.

As colunas K, L, M e N foram copiadas da planilha "a-1".

hx/rx = (hx/ha).(ha/ra).sen(Alfa) Esforços e deformações positivos são de compressão e negativos de tração.

hy/ry = (hy/ha).(ha/ra).cos(Alfa) Para o concreto foi considerado o diagrama parábola-retângulo da NBR 6118/2003 X Y

h

x

h

_y

ds ds'

nx'

ny'

LN

a

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Tabela 11.1 – Continuação.

A B C D E F G hx/rx I J K L M N

a ec,max es,max eo ha/ra ha ds hx/rx hy/ry XLN/ha NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

0 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 30,000 25,500 0,000 0,000 999999 4843,23 0,01 0,01 0,79

0 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 30,000 25,500 0,000 0,000 999999 3561,65 0,01 0,01 0,79

0 2,5000 0,5000 1,3235 2,353 30,000 25,500 0,000 2,353 1,063 3484,61 0,01 123,90 0,00

0 2,0000 0,5000 1,1176 1,765 30,000 25,500 0,000 1,765 1,133 3202,83 0,01 106,42 0,00

0 1,0000 0,5000 0,7059 0,588 30,000 25,500 0,000 0,588 1,700 2313,62 0,01 43,74 0,00

0 3,5000 0,0000 1,4412 4,118 30,000 25,500 0,000 4,118 0,850 3075,26 0,01 172,76 0,00

0 3,0000 0,0000 1,2353 3,529 30,000 25,500 0,000 3,529 0,850 2950,55 0,01 174,42 0,00

0 2,0000 0,0000 0,8235 2,353 30,000 25,500 0,000 2,353 0,850 2417,48 0,01 155,17 0,00

0 1,0000 0,0000 0,4118 1,176 30,000 25,500 0,000 1,176 0,850 1402,26 0,01 94,27 0,00

0 3,5000 -1,8000 0,3824 6,235 30,000 25,500 0,000 6,235 0,561 1446,42 0,01 266,55 0,00

0 3,0000 -1,8000 0,1765 5,647 30,000 25,500 0,000 5,647 0,531 1281,75 0,01 263,44 0,00

0 2,0000 -1,8000 -0,2353 4,471 30,000 25,500 0,000 4,471 0,447 566,48 0,01 216,09 0,00

0 1,0000 -1,8000 -0,6471 3,294 30,000 25,500 0,000 3,294 0,304 -337,41 0,01 140,20 0,00

0 3,5000 -2,0700 0,2235 6,553 30,000 25,500 0,000 6,55294 0,534 1237,60 0,01 277,32 0,00

0 3,0000 -2,0700 0,0176 5,965 30,000 25,500 0,000 5,965 0,503 1072,89 0,01 273,53 0,00

0 2,0000 -2,0700 -0,3941 4,788 30,000 25,500 0,000 4,788 0,418 344,78 0,01 222,83 0,00

0 1,0000 -2,0700 -0,8059 3,612 30,000 25,500 0,000 3,612 0,277 -535,45 0,01 147,08 0,00

0 3,5000 -5,0000 -1,5000 10,000 30,000 25,500 0,000 10,000 0,350 427,21 0,01 259,28 0,00

0 3,0000 -5,0000 -1,7059 9,412 30,000 25,500 0,000 9,412 0,319 132,66 0,01 234,16 0,00

0 2,0000 -5,0000 -2,1176 8,235 30,000 25,500 0,000 8,235 0,243 -500,29 0,01 176,31 0,00

0 1,0000 -5,0000 -2,5294 7,059 30,000 25,500 0,000 7,059 0,142 -1179,78 0,01 107,08 0,00

0 3,5000 -10,0000 -4,4412 15,882 30,000 25,500 0,000 15,882 0,220 -437,24 0,01 192,05 0,00

0 3,0000 -10,0000 -4,6471 15,294 30,000 25,500 0,000 15,294 0,196 -669,91 0,01 167,95 0,00

0 2,0000 -10,0000 -5,0588 14,118 30,000 25,500 0,000 14,118 0,142 -1154,40 0,01 115,75 0,00

0 1,0000 -10,0000 -5,4706 12,941 30,000 25,500 0,000 12,941 0,077 -1650,44 0,01 59,41 0,00

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Validação do programa

XI - 7

Tabela 11.1 – Continuação.

A B C D E F G hx/rx I J K L M N

a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

22,5 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 50,677 44,798 0,000 0,000 999999 4843,23 0,01 0,01 0,79

22,5 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 50,677 44,798 0,000 0,000 999999 3561,65 0,01 0,01 0,79

22,5 2,5000 0,5000 1,3688 2,262 50,677 44,798 1,025 1,237 1,105 3749,26 112,36 63,17 60,65

22,5 2,0000 0,5000 1,1516 1,697 50,677 44,798 0,769 0,928 1,179 3373,32 97,32 54,89 60,58

22,5 1,0000 0,5000 0,7172 0,566 50,677 44,798 0,256 0,309 1,768 2355,97 40,04 22,88 60,25

22,5 3,5000 0,0000 1,5203 3,959 50,677 44,798 1,794 2,165 0,884 3649,47 161,64 91,99 60,36

22,5 3,0000 0,0000 1,3031 3,394 50,677 44,798 1,538 1,856 0,884 3414,75 166,98 95,19 60,31

22,5 2,0000 0,0000 0,8688 2,262 50,677 44,798 1,025 1,237 0,884 2634,79 147,81 84,23 60,32

22,5 1,0000 0,0000 0,4344 1,131 50,677 44,798 0,513 0,619 0,884 1482,96 89,12 51,30 60,07

22,5 3,5000 -1,8000 0,5022 5,996 50,677 44,798 2,716 3,279 0,584 1705,06 280,70 163,79 59,74

22,5 3,0000 -1,8000 0,2850 5,430 50,677 44,798 2,460 2,970 0,552 1330,64 268,75 155,79 59,90

22,5 2,0000 -1,8000 -0,1494 4,299 50,677 44,798 1,948 2,351 0,465 438,97 214,65 119,82 60,83

22,5 1,0000 -1,8000 -0,5837 3,167 50,677 44,798 1,435 1,732 0,316 -455,90 129,35 69,16 61,86

22,5 3,5000 -2,0700 0,3495 6,301 50,677 44,798 2,855 3,44615 0,555 1440,96 290,12 168,70 59,82

22,5 3,0000 -2,0700 0,1323 5,735 50,677 44,798 2,599 3,137 0,523 1067,80 276,66 158,90 60,13

22,5 2,0000 -2,0700 -0,3021 4,604 50,677 44,798 2,086 2,518 0,434 201,25 219,43 120,94 61,14

22,5 1,0000 -2,0700 -0,7365 3,473 50,677 44,798 1,574 1,899 0,288 -644,05 134,92 71,88 61,95

22,5 3,5000 -5,0000 -1,3078 9,616 50,677 44,798 4,357 5,259 0,364 -286,98 263,28 149,00 60,49

22,5 3,0000 -5,0000 -1,5250 9,050 50,677 44,798 4,100 4,950 0,331 -564,22 236,15 131,35 60,92

22,5 2,0000 -5,0000 -1,9594 7,919 50,677 44,798 3,588 4,331 0,253 -1141,84 165,95 88,99 61,80

22,5 1,0000 -5,0000 -2,3937 6,787 50,677 44,798 3,075 3,712 0,147 -1612,56 97,80 49,36 63,22

22,5 3,5000 -10,0000 -4,1359 15,272 50,677 44,798 6,919 8,352 0,229 -1332,45 166,99 82,79 63,63

22,5 3,0000 -10,0000 -4,3531 14,706 50,677 44,798 6,663 8,043 0,204 -1501,17 140,29 66,98 64,48

22,5 2,0000 -10,0000 -4,7875 13,575 50,677 44,798 6,151 7,424 0,147 -1788,27 85,64 39,57 65,20

22,5 1,0000 -10,0000 -5,2219 12,444 50,677 44,798 5,638 6,806 0,080 -2021,00 37,50 17,40 65,13

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Tabela 11.1 – Continuação.

A B C D E F G hx/rx I J K L M N

a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

45 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 63,640 57,276 0,000 0,000 999999 4843,23 0,01 0,01 0,79

45 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 63,640 57,276 0,000 0,000 999999 3561,65 0,01 0,01 0,79

45 2,5000 0,5000 1,3889 2,222 63,640 57,276 1,481 0,741 1,125 3774,21 160,29 36,65 77,12

45 2,0000 0,5000 1,1667 1,667 63,640 57,276 1,111 0,556 1,200 3401,44 139,50 32,57 76,86

45 1,0000 0,5000 0,7222 0,556 63,640 57,276 0,370 0,185 1,800 2369,51 57,74 13,66 76,68

45 3,5000 0,0000 1,5556 3,889 63,640 57,276 2,593 1,296 0,900 3649,52 227,91 52,36 77,06

45 3,0000 0,0000 1,3333 3,333 63,640 57,276 2,222 1,111 0,900 3433,76 238,22 53,88 77,25

45 2,0000 0,0000 0,8889 2,222 63,640 57,276 1,481 0,741 0,900 2675,67 212,81 49,86 76,81

45 1,0000 0,0000 0,4444 1,111 63,640 57,276 0,741 0,370 0,900 1511,76 128,90 30,55 76,66

45 3,5000 -1,8000 0,5556 5,889 63,640 57,276 3,926 1,963 0,594 1783,10 422,53 85,43 78,57

45 3,0000 -1,8000 0,3333 5,333 63,640 57,276 3,556 1,778 0,563 1439,31 404,75 84,65 78,19

45 2,0000 -1,8000 -0,1111 4,222 63,640 57,276 2,815 1,407 0,474 550,22 315,76 71,54 77,23

45 1,0000 -1,8000 -0,5556 3,111 63,640 57,276 2,074 1,037 0,321 -401,17 184,15 45,29 76,18

45 3,5000 -2,0700 0,4056 6,189 63,640 57,276 4,126 2,06296 0,566 1539,15 436,90 89,18 78,46

45 3,0000 -2,0700 0,1833 5,633 63,640 57,276 3,756 1,878 0,533 1188,87 414,58 87,68 78,06

45 2,0000 -2,0700 -0,2611 4,522 63,640 57,276 3,015 1,507 0,442 314,33 320,37 73,81 77,03

45 1,0000 -2,0700 -0,7056 3,411 63,640 57,276 2,274 1,137 0,293 -590,65 191,85 46,96 76,25

45 3,5000 -5,0000 -1,2222 9,444 63,640 57,276 6,296 3,148 0,371 -97,66 396,01 87,88 77,49

45 3,0000 -5,0000 -1,4444 8,889 63,640 57,276 5,926 2,963 0,338 -400,44 351,07 82,30 76,81

45 2,0000 -5,0000 -1,8889 7,778 63,640 57,276 5,185 2,593 0,257 -1010,64 242,25 59,56 76,19

45 1,0000 -5,0000 -2,3333 6,667 63,640 57,276 4,444 2,222 0,150 -1533,21 140,22 34,53 76,17

45 3,5000 -10,0000 -4,0000 15,000 63,640 57,276 10,000 5,000 0,233 -1147,82 236,33 68,27 73,89

45 3,0000 -10,0000 -4,2222 14,444 63,640 57,276 9,630 4,815 0,208 -1351,97 193,22 58,50 73,15

45 2,0000 -10,0000 -4,6667 13,333 63,640 57,276 8,889 4,444 0,150 -1698,89 116,42 37,73 72,04

45 1,0000 -10,0000 -5,1111 12,222 63,640 57,276 8,148 4,074 0,082 -1961,70 54,23 19,65 70,08

(10)

Validação do programa

XI - 9

Tabela 11.1 – Continuação.

A B C D E F G hx/rx I J K L M N

a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

67,5 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 66,913 61,034 0,000 0,000 999999 4843,23 0,01 0,01 0,79

67,5 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 66,913 61,034 0,000 0,000 999999 3561,65 0,01 0,01 0,79

67,5 2,5000 0,5000 1,4037 2,193 66,913 61,034 1,816 0,376 1,140 3750,61 192,52 17,56 84,79

67,5 2,0000 0,5000 1,1778 1,644 66,913 61,034 1,362 0,282 1,216 3403,34 170,02 16,43 84,48

67,5 1,0000 0,5000 0,7259 0,548 66,913 61,034 0,454 0,094 1,824 2377,37 70,68 6,92 84,40

67,5 3,5000 0,0000 1,5814 3,837 66,913 61,034 3,179 0,658 0,912 3544,89 271,93 26,30 84,48

67,5 3,0000 0,0000 1,3555 3,289 66,913 61,034 2,725 0,564 0,912 3352,04 282,22 26,07 84,72

67,5 2,0000 0,0000 0,9037 2,193 66,913 61,034 1,816 0,376 0,912 2674,04 259,31 24,89 84,52

67,5 1,0000 0,0000 0,4518 1,096 66,913 61,034 0,908 0,188 0,912 1525,40 157,69 15,35 84,44

67,5 3,5000 -1,8000 0,5947 5,811 66,913 61,034 4,814 0,997 0,602 1795,42 484,81 38,01 85,52

67,5 3,0000 -1,8000 0,3688 5,262 66,913 61,034 4,360 0,903 0,570 1517,41 474,78 37,61 85,47

67,5 2,0000 -1,8000 -0,0830 4,166 66,913 61,034 3,451 0,715 0,480 690,96 386,85 35,16 84,81

67,5 1,0000 -1,8000 -0,5349 3,070 66,913 61,034 2,543 0,527 0,326 -301,01 236,52 24,34 84,12

67,5 3,5000 -2,0700 0,4467 6,107 66,913 61,034 5,059 1,04772 0,573 1577,15 504,63 39,76 85,49

67,5 3,0000 -2,0700 0,2208 5,558 66,913 61,034 4,605 0,954 0,540 1290,63 490,60 39,31 85,42

67,5 2,0000 -2,0700 -0,2310 4,462 66,913 61,034 3,697 0,766 0,448 465,60 396,27 36,62 84,72

67,5 1,0000 -2,0700 -0,6829 3,366 66,913 61,034 2,788 0,577 0,297 -493,55 246,32 25,63 84,06

67,5 3,5000 -5,0000 -1,1594 9,319 66,913 61,034 7,720 1,599 0,376 224,67 486,70 39,07 85,41

67,5 3,0000 -5,0000 -1,3853 8,771 66,913 61,034 7,266 1,505 0,342 -59,60 442,46 39,80 84,86

67,5 2,0000 -5,0000 -1,8372 7,674 66,913 61,034 6,358 1,317 0,261 -743,43 316,62 33,23 84,01

67,5 1,0000 -5,0000 -2,2890 6,578 66,913 61,034 5,449 1,129 0,152 -1370,43 184,52 21,27 83,42

67,5 3,5000 -10,0000 -3,9002 14,800 66,913 61,034 12,261 2,539 0,236 -773,35 339,58 39,65 83,34

67,5 3,0000 -10,0000 -4,1262 14,252 66,913 61,034 11,807 2,445 0,210 -1012,29 286,87 38,17 82,42

67,5 2,0000 -10,0000 -4,5780 13,156 66,913 61,034 10,899 2,257 0,152 -1443,70 183,72 28,30 81,24

67,5 1,0000 -10,0000 -5,0298 12,060 66,913 61,034 9,991 2,069 0,083 -1806,00 95,21 15,48 80,76

(11)

Tabela 11.1 – Continuação.

A B C D E F G hx/rx I J K L M N

a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

90 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 60,000 55,500 0,000 0,000 999999 4843,23 0,01 0,01 0,79

90 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 60,000 55,500 0,000 0,000 999999 3561,65 0,01 0,01 0,79

90 2,5000 0,5000 1,4189 2,162 60,000 55,500 2,162 0,000 1,156 3677,11 219,98 0,01 90,00

90 2,0000 0,5000 1,1892 1,622 60,000 55,500 1,622 0,000 1,233 3388,66 201,11 0,01 90,00

90 1,0000 0,5000 0,7297 0,541 60,000 55,500 0,541 0,000 1,850 2383,63 84,00 0,01 90,00

90 3,5000 0,0000 1,6081 3,784 60,000 55,500 3,784 0,000 0,925 3369,66 313,31 0,01 90,00

90 3,0000 0,0000 1,3784 3,243 60,000 55,500 3,243 0,000 0,925 3220,32 322,01 0,01 90,00

90 2,0000 0,0000 0,9189 2,162 60,000 55,500 2,162 0,000 0,925 2654,78 303,19 0,01 90,00

90 1,0000 0,0000 0,4595 1,081 60,000 55,500 1,081 0,000 0,925 1537,99 185,55 0,01 90,00

90 3,5000 -1,8000 0,6351 5,730 60,000 55,500 5,730 0,000 0,611 1750,92 524,21 0,01 90,00

90 3,0000 -1,8000 0,4054 5,189 60,000 55,500 5,189 0,000 0,578 1513,01 515,85 0,01 90,00

90 2,0000 -1,8000 -0,0541 4,108 60,000 55,500 4,108 0,000 0,487 829,69 450,85 0,01 90,00

90 1,0000 -1,8000 -0,5135 3,027 60,000 55,500 3,027 0,000 0,330 -165,95 294,49 0,01 90,00

90 3,5000 -2,0700 0,4892 6,022 60,000 55,500 6,022 0,00000 0,581 1540,72 546,09 0,01 90,00

90 3,0000 -2,0700 0,2595 5,481 60,000 55,500 5,481 0,000 0,547 1299,36 535,61 0,01 90,00

90 2,0000 -2,0700 -0,2000 4,400 60,000 55,500 4,400 0,000 0,455 616,81 465,70 0,01 90,00

90 1,0000 -2,0700 -0,6595 3,319 60,000 55,500 3,319 0,000 0,301 -353,08 308,99 0,01 90,00

90 3,5000 -5,0000 -1,0946 9,189 60,000 55,500 9,189 0,000 0,381 443,10 528,33 0,01 90,00

90 3,0000 -5,0000 -1,3243 8,649 60,000 55,500 8,649 0,000 0,347 230,22 507,08 0,01 90,00

90 2,0000 -5,0000 -1,7838 7,568 60,000 55,500 7,568 0,000 0,264 -364,54 402,49 0,01 90,00

90 1,0000 -5,0000 -2,2432 6,486 60,000 55,500 6,486 0,000 0,154 -1082,65 253,29 0,01 90,00

90 3,5000 -10,0000 -3,7973 14,595 60,000 55,500 14,595 0,000 0,240 -300,38 445,95 0,01 90,00

90 3,0000 -10,0000 -4,0270 14,054 60,000 55,500 14,054 0,000 0,213 -457,53 415,61 0,01 90,00

90 2,0000 -10,0000 -4,4865 12,973 60,000 55,500 12,973 0,000 0,154 -969,52 300,93 0,01 90,00

90 1,0000 -10,0000 -4,9459 11,892 60,000 55,500 11,892 0,000 0,084 -1494,08 176,78 0,01 90,00

(12)

XI-11

A seguir são mostradas algumas entradas de dados e os correspondentes resultados fornecidos pelo programa. Esses valores podem ser encontrados na tabela 11.1. Todos os resultados foram conferido através do programa FOC desenvolvido junto com os trabalhos da dissertação de mestrado do Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França.

Figura 11.3 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.a – seção retangular.

Figura 11.4 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.b –

seção retangular.

(13)

Figura 11.5 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.c – seção retangular.

Figura 11.6 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.d –

seção retangular.

(14)

Validação do programa

XI - 13

Figura 11.7 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.e – seção retangular.

Figura 11.8 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.f –

seção retangular.

(15)

Figura 11.9 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.g – seção retangular.

11.2.2. Seção em “L”

A tabela 11.2 mostra os resultados da verificação do programa para uma seção em

“L”. Da mesma forma que para a seção retangular, foram arbitrados os valores de α,

ε c,máx e ε s,máx . Os valores de ε o , h

α

, d s , h

α

/r

α

, h x /r x , h y /r y e x LN foram calculados pelas

expressões 11.1 a 11.7. Os esforços resistentes N Rd , M Rxd e M Ryd foram calculados

pela rotina indicada no item 11.1.a acima. Todos os valores indicados na tabela

foram confirmados pelas rotinas 11.1.b a 11.1.h. Algumas entradas de dados e

correspondentes resultados estão indicados nas figuras 11.10 a 11.16.

(16)

XI-15

Tabela 11.2 – Resultados obtidos do programa de flexão composta oblíqua para seção em “L”.

GERAÇÃO DE DADOS PARA TESTE DO PROGRAMA DE FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 01/março/2.006 Seção em L

Concreto: Aço:

C25 CA 50

fck = 25 Mpa fyk = 500 Mpa

?c = 1,4 ?s = 1,15

ec1 = 2,00 ‰ eyd = 2,07 ‰

ec,lim = 3,50 ‰ es,lim = 10,00 ‰

Fluência = 0 Es = 210 GPa

Seção: Armadura:

Em L 14 F 12,5

hx = 50 cm As,1F = 1,22718 cm2 n1 = 2

hy = 30 cm As,total = 17,1806 cm2 n2 = 0

bx = 14 cm cobrim = 3,5 cm n3 = 1

by = 14 cm ds' = 4,125 cm n4 = 2

nx' = 4 n5 = 0

ny' = 2 n6 = 3

ha = hy.con(Alfa) + hx.sen(Alfa) XLN = (EpsonCmax/(EpsonCmax - EpsonSmax)).ds

ds = ha - ds'.(sen(Alfa)+cos(Alfa)) Os valores das colunas A, B e C foram arbitrados de modo a se obter combinações de deformações no E.L.U. e fora dele. Fora do E.L.U. se tem combinações de deformações considerando:

ha/ra = ha.(EpsonCmax - EpsonSmax)/ds 3,5‰ > ec,max > 2‰ e 2‰ > ec,max > 0

e 2‰ > es,max > 0 , 0 > es ,max > -2,07‰ e -2,07‰ > es,max > -10‰

Epson0 = EpsonCmax - 0,5.(ha/ra) As colunas D à J foram calculadas nesta planilha pelas fórmulas indicadas.

As colunas K, L, M e N foram copiadas da planilha "a-1".

hx/rx = (hx/ha).(ha/ra).sen(Alfa) Esforços e deformações positivos são de compressão e negativos de tração.

hy/ry = (hy/ha).(ha/ra).cos(Alfa) Para o concreto foi considerado o diagrama parábola-retângulo da NBR 6118/2003 X Y

h

_x

h

y

ds ds'

n3' n4

LN a n6

n1

b

_y

b

x

(17)

Tabela 11.2 – Continuação.

A B C D E F G H I J K L M

a ec,max es,max eo ha/ra ha ds hx/rx hy/ry XLN/ha NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

0 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 30,000 25,875 0,000 0,000 999999 2124,06 0,00 0,00 0,00

0 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 30,000 25,875 0,000 0,000 999999 1611,03 0,00 0,00 0,00

0 2,5000 0,5000 1,0033 2,319 30,000 25,875 0,000 2,319 1,078 1312,10 -39,29 42,60 -42,68

0 2,0000 0,5000 0,8775 1,739 30,000 25,875 0,000 1,739 1,150 1224,09 -34,48 36,94 -43,02

0 1,0000 0,5000 0,6258 0,580 30,000 25,875 0,000 0,580 1,725 963,87 -15,97 16,19 -44,60

0 3,5000 0,0000 0,8808 4,058 30,000 25,875 0,000 4,058 0,863 1034,34 -55,12 60,99 -42,11

0 3,0000 0,0000 0,7549 3,478 30,000 25,875 0,000 3,478 0,863 958,63 -54,59 60,05 -42,28

0 2,0000 0,0000 0,5033 2,319 30,000 25,875 0,000 2,319 0,863 749,47 -48,16 52,57 -42,49

0 1,0000 0,0000 0,2516 1,159 30,000 25,875 0,000 1,159 0,863 427,10 -29,58 32,25 -42,53

0 3,5000 -1,8000 -0,4663 6,145 30,000 25,875 0,000 6,145 0,570 158,31 -75,02 72,19 -46,10

0 3,0000 -1,8000 -0,5921 5,565 30,000 25,875 0,000 5,565 0,539 97,01 -70,48 69,34 -45,47

0 2,0000 -1,8000 -0,8437 4,406 30,000 25,875 0,000 4,406 0,454 -70,45 -52,23 55,25 -43,39

0 1,0000 -1,8000 -1,0954 3,246 30,000 25,875 0,000 3,246 0,308 -283,14 -27,78 32,32 -40,69

0 3,5000 -2,0700 -0,6683 6,458 30,000 25,875 0,000 6,458 0,542 70,47 -75,17 73,16 -45,78

0 3,0000 -2,0700 -0,7942 5,878 30,000 25,875 0,000 5,878 0,510 14,85 -69,96 70,30 -44,86

0 2,0000 -2,0700 -1,0458 4,719 30,000 25,875 0,000 4,719 0,424 -153,23 -51,59 55,61 -42,85

0 1,0000 -2,0700 -1,2974 3,559 30,000 25,875 0,000 3,559 0,281 -360,32 -27,90 32,94 -40,27

0 3,5000 -5,0000 -2,8610 9,855 30,000 25,875 0,000 9,855 0,355 -262,54 -55,41 60,77 -42,36

0 3,0000 -5,0000 -2,9868 9,275 30,000 25,875 0,000 9,275 0,323 -317,00 -47,97 54,42 -41,40

0 2,0000 -5,0000 -3,2385 8,116 30,000 25,875 0,000 8,116 0,246 -443,99 -30,64 38,31 -38,65

0 1,0000 -5,0000 -3,4901 6,957 30,000 25,875 0,000 6,957 0,144 -582,00 -11,80 19,00 -31,83

0 3,5000 -10,0000 -6,6028 15,652 30,000 25,875 0,000 15,652 0,224 -455,66 -28,89 40,14 -35,75

0 3,0000 -10,0000 -6,7286 15,072 30,000 25,875 0,000 15,072 0,199 -493,82 -23,69 34,47 -34,50

0 2,0000 -10,0000 -6,9802 13,913 30,000 25,875 0,000 13,913 0,144 -574,67 -12,67 22,00 -29,94

0 1,0000 -10,0000 -7,2319 12,754 30,000 25,875 0,000 12,754 0,078 -658,26 -1,27 8,41 -8,59

(18)

Validação do programa

XI - 17

Tabela 11.2 – Continuação.

A B C D E F G H I J K L M

a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

22,5 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 33,074 27,684 0,000 0,000 999999 2124,06 0,00 0,00 0,00

22,5 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 33,074 27,684 0,000 0,000 999999 1611,03 0,00 0,00 0,00

22,5 2,5000 0,5000 1,3911 2,389 33,074 27,684 1,382 2,002 1,046 1691,97 17,13 22,54 37,24

22,5 2,0000 0,5000 1,1683 1,792 33,074 27,684 1,037 1,502 1,116 1535,62 14,71 20,27 35,97

22,5 1,0000 0,5000 0,7228 0,597 33,074 27,684 0,346 0,501 1,674 1086,88 4,91 9,72 26,83

22,5 3,5000 0,0000 1,5594 4,181 33,074 27,684 2,419 3,504 0,837 1650,82 31,99 29,80 47,03

22,5 3,0000 0,0000 1,3366 3,584 33,074 27,684 2,073 3,003 0,837 1548,44 31,67 31,34 45,30

22,5 2,0000 0,0000 0,8911 2,389 33,074 27,684 1,382 2,002 0,837 1218,40 27,98 29,29 43,69

22,5 1,0000 0,0000 0,4455 1,195 33,074 27,684 0,691 1,001 0,837 700,47 17,52 18,72 43,10

22,5 3,5000 -1,8000 0,5613 6,332 33,074 27,684 3,663 5,306 0,553 883,15 51,43 48,84 46,48

22,5 3,0000 -1,8000 0,3386 5,734 33,074 27,684 3,318 4,806 0,523 722,57 47,11 47,61 44,70

22,5 2,0000 -1,8000 -0,1070 4,540 33,074 27,684 2,626 3,804 0,441 320,65 33,85 37,54 42,04

22,5 1,0000 -1,8000 -0,5525 3,345 33,074 27,684 1,935 2,803 0,299 -93,58 19,04 19,03 45,01

22,5 3,5000 -2,0700 0,4116 6,654 33,074 27,684 3,850 5,57644 0,526 780,92 52,17 50,01 46,21

22,5 3,0000 -2,0700 0,1889 6,057 33,074 27,684 3,504 5,076 0,495 617,89 47,15 48,21 44,36

22,5 2,0000 -2,0700 -0,2567 4,862 33,074 27,684 2,813 4,075 0,411 226,16 33,61 37,22 42,09

22,5 1,0000 -2,0700 -0,7022 3,668 33,074 27,684 2,122 3,074 0,273 -163,40 20,19 18,59 47,37

22,5 3,5000 -5,0000 -1,2130 10,155 33,074 27,684 5,875 8,510 0,345 51,35 36,95 45,55 39,04

22,5 3,0000 -5,0000 -1,4357 9,557 33,074 27,684 5,529 8,009 0,314 -81,42 31,69 39,43 38,79

22,5 2,0000 -5,0000 -1,8813 8,363 33,074 27,684 4,838 7,008 0,239 -346,29 21,80 24,61 41,54

22,5 1,0000 -5,0000 -2,3268 7,168 33,074 27,684 4,147 6,007 0,140 -558,65 15,89 9,04 60,35

22,5 3,5000 -10,0000 -3,9853 16,128 33,074 27,684 9,331 13,516 0,217 -429,74 15,67 25,85 31,23

22,5 3,0000 -10,0000 -4,2081 15,531 33,074 27,684 8,985 13,015 0,193 -498,82 13,83 19,86 34,85

22,5 2,0000 -10,0000 -4,6536 14,336 33,074 27,684 8,294 12,014 0,140 -614,12 12,03 8,23 55,64

22,5 1,0000 -10,0000 -5,0991 13,141 33,074 27,684 7,603 11,013 0,076 -703,09 11,38 -1,25 96,31

(19)

Tabela 11.2 – Continuação.

A B C D E F G H I J K L M

a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

45 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 45,255 39,421 0,000 0,000 999999 2124,06 0,00 0,00 0,00

45 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 45,255 39,421 0,000 0,000 999999 1611,03 0,00 0,00 0,00

45 2,5000 0,5000 1,3259 2,296 45,255 39,421 1,794 1,076 1,089 1629,24 39,88 7,54 79,28

45 2,0000 0,5000 1,1194 1,722 45,255 39,421 1,345 0,807 1,161 1482,02 36,98 5,91 80,91

45 1,0000 0,5000 0,7065 0,574 45,255 39,421 0,448 0,269 1,742 1063,43 15,50 2,85 79,56

45 3,5000 0,0000 1,4454 4,018 45,255 39,421 3,139 1,883 0,871 1558,63 59,27 13,10 77,54

45 3,0000 0,0000 1,2389 3,444 45,255 39,421 2,691 1,614 0,871 1451,17 64,26 10,86 80,41

45 2,0000 0,0000 0,8259 2,296 45,255 39,421 1,794 1,076 0,871 1132,04 63,57 6,82 83,87

45 1,0000 0,0000 0,4130 1,148 45,255 39,421 0,897 0,538 0,871 646,18 41,63 3,32 85,43

45 3,5000 -1,8000 0,3887 6,084 45,255 39,421 4,753 2,852 0,575 673,13 123,64 0,64 89,70

45 3,0000 -1,8000 0,1822 5,510 45,255 39,421 4,305 2,583 0,544 526,36 121,36 -2,34 91,11

45 2,0000 -1,8000 -0,2307 4,362 45,255 39,421 3,408 2,045 0,458 185,68 98,14 -5,23 93,05

45 1,0000 -1,8000 -0,6437 3,214 45,255 39,421 2,511 1,507 0,311 -159,23 54,50 -3,11 93,27

45 3,5000 -2,0700 0,2302 6,394 45,255 39,421 4,996 2,99731 0,547 565,69 128,79 -1,63 90,73

45 3,0000 -2,0700 0,0237 5,820 45,255 39,421 4,547 2,728 0,515 421,51 124,65 -4,09 91,88

45 2,0000 -2,0700 -0,3892 4,672 45,255 39,421 3,650 2,190 0,428 94,59 98,59 -5,72 93,32

45 1,0000 -2,0700 -0,8022 3,524 45,255 39,421 2,753 1,652 0,284 -230,79 55,46 -3,16 93,27

45 3,5000 -5,0000 -1,4898 9,758 45,255 39,421 7,623 4,574 0,359 -125,39 126,17 -15,21 96,88

45 3,0000 -5,0000 -1,6963 9,184 45,255 39,421 7,175 4,305 0,327 -229,10 112,21 -14,01 97,12

45 2,0000 -5,0000 -2,1093 8,036 45,255 39,421 6,278 3,767 0,249 -433,88 77,30 -11,01 98,11

45 1,0000 -5,0000 -2,5222 6,888 45,255 39,421 5,381 3,229 0,145 -596,22 44,97 -9,44 101,86

45 3,5000 -10,0000 -4,4250 15,498 45,255 39,421 12,108 7,265 0,226 -474,79 77,46 -11,05 98,12

45 3,0000 -10,0000 -4,6315 14,924 45,255 39,421 11,659 6,996 0,201 -531,36 64,58 -9,67 98,52

45 2,0000 -10,0000 -5,0444 13,776 45,255 39,421 10,762 6,457 0,145 -627,82 41,42 -7,71 100,55

45 1,0000 -10,0000 -5,4574 12,628 45,255 39,421 9,865 5,919 0,079 -696,15 23,80 -6,46 105,20

(20)

Validação do programa

XI - 19

Tabela 11.2 – Continuação.

A B C D E F G H I J K L M

a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

67,5 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 51,552 46,162 0,000 0,000 999999 2124,06 0,00 0,00 0,00

67,5 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 51,552 46,162 0,000 0,000 999999 1611,03 0,00 0,00 0,00

67,5 2,5000 0,5000 1,2689 2,234 51,552 46,162 2,001 0,497 1,119 1544,57 55,63 -4,43 94,56

67,5 2,0000 0,5000 1,0767 1,675 51,552 46,162 1,501 0,373 1,194 1419,64 51,42 -4,47 94,97

67,5 1,0000 0,5000 0,6922 0,558 51,552 46,162 0,500 0,124 1,791 1041,81 21,67 -1,47 93,90

67,5 3,5000 0,0000 1,3455 3,909 51,552 46,162 3,502 0,870 0,895 1390,18 86,44 -7,20 94,76

67,5 3,0000 0,0000 1,1533 3,350 51,552 46,162 3,002 0,746 0,895 1301,94 90,42 -8,89 95,62

67,5 2,0000 0,0000 0,7689 2,234 51,552 46,162 2,001 0,497 0,895 1030,24 86,71 -9,88 96,51

67,5 1,0000 0,0000 0,3844 1,117 51,552 46,162 1,001 0,249 0,895 593,63 55,91 -6,77 96,91

67,5 3,5000 -1,8000 0,2375 5,919 51,552 46,162 5,304 1,318 0,591 516,44 153,06 -27,61 100,23

67,5 3,0000 -1,8000 0,0453 5,360 51,552 46,162 4,803 1,194 0,560 419,22 148,56 -26,28 100,03

67,5 2,0000 -1,8000 -0,3391 4,244 51,552 46,162 3,803 0,945 0,471 158,12 121,59 -20,11 99,39

67,5 1,0000 -1,8000 -0,7236 3,127 51,552 46,162 2,802 0,696 0,320 -168,46 72,43 -12,08 99,47

67,5 3,5000 -2,0700 0,0713 6,220 51,552 46,162 5,574 1,38526 0,563 426,37 157,05 -28,22 100,19

67,5 3,0000 -2,0700 -0,1209 5,662 51,552 46,162 5,074 1,261 0,530 331,13 151,78 -26,54 99,92

67,5 2,0000 -2,0700 -0,5053 4,545 51,552 46,162 4,073 1,012 0,440 71,31 123,16 -20,33 99,38

67,5 1,0000 -2,0700 -0,8898 3,428 51,552 46,162 3,072 0,764 0,292 -244,14 74,53 -12,73 99,69

67,5 3,5000 -5,0000 -1,7323 9,492 51,552 46,162 8,506 2,114 0,369 -84,79 148,06 -28,38 100,85

67,5 3,0000 -5,0000 -1,9245 8,934 51,552 46,162 8,006 1,990 0,336 -166,51 135,35 -25,16 100,53

67,5 2,0000 -5,0000 -2,3090 7,817 51,552 46,162 7,005 1,741 0,256 -367,51 97,54 -17,88 100,39

67,5 1,0000 -5,0000 -2,6934 6,701 51,552 46,162 6,004 1,492 0,149 -550,92 55,88 -11,85 101,97

67,5 3,5000 -10,0000 -4,8101 15,076 51,552 46,162 13,509 3,357 0,232 -363,16 103,84 -17,63 99,64

67,5 3,0000 -10,0000 -5,0023 14,518 51,552 46,162 13,009 3,233 0,207 -434,04 88,64 -15,10 99,67

67,5 2,0000 -10,0000 -5,3868 13,401 51,552 46,162 12,008 2,984 0,149 -562,78 58,43 -10,82 100,50

67,5 1,0000 -10,0000 -5,7712 12,284 51,552 46,162 11,008 2,736 0,081 -657,39 33,75 -8,19 103,64

(21)

Tabela 11.2 – Continuação.

A B C D E F G H I J K L M

a ec,max es,max eo ha/ra há ds hx/rx hy/ry XLN/há NRd MRxd Myd ?

(graus) (‰) (‰) (‰) (‰) (cm) (cm) (‰) (‰) (‰) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus)

90 2,0000 2,0000 2,0000 0,000 50,000 45,875 0,000 0,000 999999 2124,06 0,00 0,00 0,00

90 1,2000 1,2000 1,2000 0,000 50,000 45,875 0,000 0,000 999999 1611,03 0,00 0,00 0,00

90 2,5000 0,5000 1,2198 2,180 50,000 45,875 2,180 0,000 1,147 1451,54 71,11 -16,70 103,22

90 2,0000 0,5000 1,0399 1,635 50,000 45,875 1,635 0,000 1,223 1354,40 64,86 -14,50 102,61

90 1,0000 0,5000 0,6800 0,545 50,000 45,875 0,545 0,000 1,835 1021,93 27,09 -5,32 101,12

90 3,5000 0,0000 1,2597 3,815 50,000 45,875 3,815 0,000 0,918 1210,66 112,21 -29,22 104,60

90 3,0000 0,0000 1,0798 3,270 50,000 45,875 3,270 0,000 0,918 1148,12 114,01 -28,95 104,25

90 2,0000 0,0000 0,7198 2,180 50,000 45,875 2,180 0,000 0,918 934,73 106,02 -25,18 103,36

90 1,0000 0,0000 0,3599 1,090 50,000 45,875 1,090 0,000 0,918 549,52 67,46 -15,44 102,89

90 3,5000 -1,8000 0,1076 5,777 50,000 45,875 5,777 0,000 0,606 449,18 168,34 -40,68 103,59

90 3,0000 -1,8000 -0,0724 5,232 50,000 45,875 5,232 0,000 0,573 367,09 163,34 -38,10 103,13

90 2,0000 -1,8000 -0,4323 4,142 50,000 45,875 4,142 0,000 0,483 142,78 139,26 -30,75 102,46

90 1,0000 -1,8000 -0,7922 3,052 50,000 45,875 3,052 0,000 0,328 -172,65 88,18 -20,09 102,84

90 3,5000 -2,0700 -0,0652 6,071 50,000 45,875 6,071 0,000 0,577 359,81 173,15 -41,51 103,48

90 3,0000 -2,0700 -0,2452 5,526 50,000 45,875 5,526 0,000 0,543 277,69 167,64 -38,93 103,07

90 2,0000 -2,0700 -0,6051 4,436 50,000 45,875 4,436 0,000 0,451 54,66 142,27 -31,63 102,54

90 1,0000 -2,0700 -0,9650 3,346 50,000 45,875 3,346 0,000 0,299 -250,84 91,53 -21,33 103,12

90 3,5000 -5,0000 -1,9407 9,264 50,000 45,875 9,264 0,000 0,378 -35,37 155,32 -32,30 101,75

90 3,0000 -5,0000 -2,1206 8,719 50,000 45,875 8,719 0,000 0,344 -103,39 146,55 -29,79 101,49

90 2,0000 -5,0000 -2,4806 7,629 50,000 45,875 7,629 0,000 0,262 -288,21 113,80 -22,83 101,34

90 1,0000 -5,0000 -2,8405 6,540 50,000 45,875 6,540 0,000 0,153 -494,00 69,53 -15,13 102,28

90 3,5000 -10,0000 -5,1411 14,714 50,000 45,875 14,714 0,000 0,238 -275,06 122,23 -23,28 100,79

90 3,0000 -10,0000 -5,3210 14,169 50,000 45,875 14,169 0,000 0,212 -333,79 110,73 -21,13 100,81

90 2,0000 -10,0000 -5,6810 13,079 50,000 45,875 13,079 0,000 0,153 -477,73 79,43 -15,76 101,23

90 1,0000 -10,0000 -6,0409 11,989 50,000 45,875 11,989 0,000 0,083 -602,76 48,19 -11,02 102,89

(22)

XI-21

Figura 11.10 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.a – seção em “L”

Figura 11.11 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.a –

seção em “L”.

(23)

Figura 11.12 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.c – seção em “L”.

Figura 11.13 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.d –

(24)

Validação do programa

XI - 23

Figura 11.14 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.e – seção em “L”.

Figura 11.15 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.f –

seção em “L”.

(25)

Figura 11.16 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.g – seção em “L”.

11.3. Flexão Composta Normal

Em sua dissertação de mestrado o professor França apresenta a “Tabela A3.1 – Moment-curvature for Φ = 0 and Φ = 2, rectangular section, corner reinforcmente; e s

= 0,2%, d’/h = 0.1” publicada no apêndice 3 do Boletim n. 123 do CEB, aqui reproduzida na tabela 11.3.

Figura 11.17 – Seção retangular com armadura nos cantos (4 barras).

Essa tabela fornece os valores de momentos reduzidos ( µ) para a seção retangular com armadura só nos cantos conforme a figura 11.17 em função das curvaturas

d’

h

b

ε

yd

= e

s,CEB

= 0,2%

E

s

= 200 GPa

σ

c

x ε

c

: parábola-retângulo f

c

= 0,85.f

cd

ω = A

s

.f

y d

/ A

c

.f

c

ν = N

d

/ A

c

.f

c

µ = M

d

/ A

c

.h.f

c

d’/h = 0,10

(26)

Validação do programa

XI - 25

dadas na tabela por a = 1000.h/r, da taxa mecânica de armadura (ω), da força normal reduzida (ν) e do coeficiente de fluência (Φ) do concreto.

Ressalta -se que o CEB-FIP utiliza para tensão máxima do concreto f c = 0,85.f cd

inclusive para o cálculo das grandezas ν, µ e ω conforme está indicado na figura 11.17

Na tabela 11.4 encontram-se os resultados fornecidos pelo programa desenvolvido neste trabalho para os mesmos dados utilizados pelo CEB-FIP, com Φ = 0. Observe- se entretanto que:

ω o = ω o,tot = 2.ω CEB (12.8)

pois o Boletim calcula esse valor apenas para a metade da armadura existente.

Na confecção da tabela 11.4 pelo programa desenvolvido neste trabalho utilizou-se:

b = 25 cm, h = 50 cm, d’ = 0,10h = 5 cm, concreto C25 (f ck = 25 MPa), γ c = 1,4 e θ = 0°, aço com f yk = 460 MPa, γ s = 1,15. Entretanto, os resultados independem desses valores. O coeficiente de fluência é φ = 0

Da comparação dos resultados encontrados nas duas tabela observa-se quase total coincidência dos valores.

Na tabela 11.5 são mostrados os resultados obtidos com o programa desenvolvido

neste trabalho. Também neste caso, da comparação dos resultados encontrados

nas duas tabelas para φ = 2, observa -se quase total coincidência dos valores.

(27)

.

(28)

XI-27

Tabela 11.4 - Momentos reduzidos ( µ) , seção retangular, armadura nos cantos, para coeficiente de fluência Φ = 0. Resultados obtidos com o programa desenvolvido neste trabalho.

MOMENTOS REDUZIDOS - SEÇÃO RETANGULAR, ARMADURA NOS CANTOS, d'/h = 0,10 Fluencia = 0

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 27 51 68 77 80 77 72 66 60 52 44

2 54 78 98 114 124 130 129 123 111 94 69

3 80 104 124 141 153 159 160 151 133 106

0,2 4 82 118 148 164 175 179 173 159 138

5 83 120 152 178 192 189 180

6 83 121 154 181 197

7 83 122 155 183 198

8 83 122 156 183

ELU - MI = 84 124 159 184 198 196 181 162 138 109 74

1000.(h/r)u = 13,00 14,02 14,13 9,42 7,07 5,81 5,10 4,50 4,01 3,59 2,90

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 48 67 82 92 96 95 91 86 81 75 69

2 96 114 130 144 154 160 162 160 154 143 130

3 142 160 175 188 198 205 208 208 193 172 145

0,4 4 160 194 217 229 238 243 236 223 203

5 161 197 228 256 270 262 249

6 162 198 231 260 277

7 163 200 233 263 278

8 163 201 235 263

ELU - MI = 164 203 239 264 278 273 252 230 206 179 148

1000.(h/r)u = 13,57 14,31 14,13 9,42 7,07 5,89 5,33 4,83 4,38 3,99 3,64

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 68 84 97 106 111 112 109 105 101 96 91

2 134 149 163 174 183 190 193 194 191 185 176

3 199 213 225 236 245 251 255 257 253 235 212

0,6 4 237 271 284 294 301 306 303 288 269 246

5 239 274 306 334 348 336 320 301

6 241 276 309 340 357

7 242 278 312 343 358

8 242 279 314 343

ELU - MI = 244 282 319 344 358 352 327 302 276 249 219

1000.(h/r)u = 13,90 14,48 14,13 9,42 7,07 5,94 5,48 5,06 4,67 4,31 3,97

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 86 100 111 120 126 128 127 123 120 116 111

2 171 183 195 205 213 220 224 226 226 223 217

3 253 264 274 283 291 297 302 304 304 297 276

0,8 4 314 342 350 358 364 369 371 355 336 314 288

5 317 352 384 413 427 412 393 373

6 319 355 388 419 437

7 320 357 391 423 438

8 321 358 393 423

ELU - MI = 323 362 399 424 438 431 403 376 348 320 291

1000.(h/r)u = 14,10 14,58 14,13 9,42 7,07 5,97 5,59 5,23 4,88 4,56 4,25

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 104 116 127 135 141 144 144 141 138 134 131

2 206 217 227 236 244 250 254 257 258 257 254

3 305 314 323 331 338 344 348 351 353 352 340

1 4 392 408 416 422 428 432 435 424 405 383 357

5 395 430 462 492 506 488 468 446 422

6 398 433 467 499 517

7 399 435 470 503 518

8 400 437 473 503

ELU - MI = 403 442 479 504 518 510 481 452 422 393 363

1000.(h/r)u = 14,24 14,64 14,13 9,42 7,07 5,99 5,66 5,35 5,05 4,75 4,47

(29)

coeficiente de fluência Φ = 2. Resultados obtidos com o programa desenvolvido neste trabalho.

MOMENTOS REDUZIDOS - SEÇÃO RETANGULAR, ARMADURA NOS CANTOS, d'/h = 0,10 Fluencia = 2

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 23 37 42 40 39 38 37 29 20 15 12

2 45 61 72 78 78 74 64 54 43 30 24

3 68 84 97 106 107 100 89 76 63 49 35

0,2 4 80 106 119 126 126 121 111 97 82 64 45

5 80 115 140 143 143 138 129 116 98 77 54

6 81 117 146 159 158 153 144 130 111 87 61

7 81 118 148 168 172 166 156 141 120 94 66

8 81 119 150 171 185 178 166 148 127 100 68

ELU - MI = 82 122 157 183 198 201 194 169 139 107 72

1000.(h/r)u = 13,63 14,88 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 12,92 11,92 11,01 9,82

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 41 51 57 57 56 55 54 53 50 36 22

2 81 92 101 107 111 110 107 93 79 64 48

3 122 132 142 150 156 149 137 122 106 89 71

0,4 4 157 172 181 188 182 174 163 148 130 111 91

5 159 194 218 213 206 196 184 170 152 131 108

6 160 196 226 235 227 217 203 188 169 146 120

7 160 197 228 248 247 235 220 202 181 157 129

8 161 198 230 251 265 251 234 214 191 165 136

ELU - MI = 162 202 237 263 278 281 274 245 213 180 146

1000.(h/r)u = 14,09 14,92 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 13,23 12,52 11,84 11,19

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 58 66 72 74 73 72 71 70 70 69 58

2 115 124 131 137 141 143 142 141 125 108 90

3 172 181 188 195 200 204 191 175 157 138 118

0,6 4 229 237 244 251 245 233 219 204 186 166 144

5 237 272 296 285 273 260 245 229 210 189 165

6 239 275 306 313 300 285 268 250 230 208 183

7 240 277 308 328 324 307 289 269 246 222 195

8 240 278 310 331 345 326 306 283 259 232 204

ELU - MI = 242 282 317 343 358 361 354 323 289 255 221

1000.(h/r)u = 14,32 14,94 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 13,39 12,85 12,32 11,80

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 75 81 87 89 89 89 88 87 86 86 85

2 149 155 162 167 171 174 175 174 173 159 139

3 222 229 235 241 246 250 249 232 214 194 172

0,8 4 295 302 308 313 312 297 281 264 245 224 202

5 316 352 375 360 345 328 311 292 272 250 227

6 318 355 386 392 374 356 337 317 295 272 247

7 319 357 388 408 401 381 360 338 314 289 262

8 320 358 390 411 425 403 380 355 329 302 273

ELU - MI = 322 362 397 423 438 441 434 402 367 332 297

1000.(h/r)u = 14,46 14,95 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 13,49 13,05 12,62 12,20

W NI = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1000.h/r 1000.MI =

1 91 97 102 105 105 105 104 104 103 103 102

2 181 187 193 197 201 204 206 207 206 205 194

3 271 277 282 287 292 295 299 292 273 253 231

1 4 361 366 371 376 380 364 346 327 307 285 263

5 395 431 455 436 418 399 379 358 337 314 290

6 397 434 466 470 450 430 408 386 363 338 313

7 399 436 468 488 479 457 434 410 385 358 331

8 400 438 470 491 505 481 456 429 402 374 344

ELU - MI = 402 442 477 503 518 521 514 481 446 410 374

1000.(h/r)u = 14,55 14,96 17,14 19,99 21,20 16,96 14,13 13,56 13,19 12,83 12,47

(30)

Validação do programa

XI - 29

11.4. Momento de 1ª Ordem Disponível na Flexão Composta Normal

Na análise de pilares, que são essencialmente comprimidos, as solicitações totais de flexão em cada seção são compostas de duas parcelas: a) momentos de primeira ordem; b) momentos de segunda ordem. A segunda parcela depende fundamentalmente da esbeltez do pilar. Quanto mais esbelto, maiores serão os deslocamentos transversais devidos aos momentos de primeira ordem e conseqüentemente a força normal, inicialmente centrada, adquire uma excentricidade em cada seção. Essa excentricidade da força normal produz um acréscimo de momento que faz aumentar os deslocamentos e novamente os momentos. Se a seção transversal do pilar tiver capacidade resistente suficiente, os acréscimos de deslocamentos em cada iteração serão cada vez menores, convergido para um valor final. Se não, o pilar irá à ruptura por instabilidade.

Na flexão normal composta, em pilares com momentos fletores de primeira ordem constantes ao longo de seu comprimento, é possível determinar o valor máximo permitido desse momento para que somado aos momentos de segunda ordem não leve o pilar à ruptura por instabilidade. Esse momento de primeira ordem é chamado

“momento disponível”.

Na dissertação de mestrado do Prof. França é apresentada uma tabela, retirada do Boletim n ^o 123 do CEB-FIP, que fornece os momentos reduzidos disponíveis em função da força normal reduzida, da taxa mecânica de armadura e da esbeltez do pilar. Essa tabela está reproduzida na tabela 11.6.

A tabela 11.7 apresenta os valores obtidos com o programa desenvolvido neste trabalho.

Comparando os valores das duas tabelas observa-se que os resultados fornecidos pelo programa desse trabalho são quase coincidentes com os do Boletim do CEB- FIP.

A confecção da tabela utilizando o programa desenvolvido neste trabalho seguiu a seguinte seqüência.

1) Criada a Sub CEBTabelaA35

(31)

cd c

sd

f A

N . 85 , 0

= . ν

Obtenção do momento de primeira ordem (M

1

) disponível pelo processo do Pilar Padrão:

A curva “M – 1/r” será construída com a determinação de N pontos relacionando momento solicitante – curvatura correspondente.

Na figura 11.18 a reta “t”, paralela à reta dos momentos de 2ª ordem, é tangente à curva “µ - h/r”.

O momento crítico de instabilidade e a curvatura crítica são dados pela ordenada e abscissa respectivamente do ponto de tangência da reta “t” à curva “ µ - h/r”. A reta “t” tem o mesmo coeficiente angular m o da reta que define os momentos de 2ª ordem. A equação da reta “t” é: µ = µ 1 + m o .h/r, onde µ 1 é o momento reduzido de 1ª ordem disponível para o pilar.

O momento crítico de instabilidade pelo processo do “Pilar Padrão” será obtido com a ajustagem de uma parábola do 2º grau envolvendo três pontos consecutivos da curva “M-1/r”. A equação da parábola é dada por:

M = a + b.K + c.K ²

Figura 11.18 – Diagrama momento-curvatura. Obtenção do momento de 1ª ordem disponível.

j-1 j 1

j+1

Reta “a” – Coef. Angular = m

a

Reta “b” – Coef. Angular = m

b

Reta “2ª.ordem” – Coef. Angular = m

2o

Coef. Angular m(j) Coef. Angular m(j-1)

n 1

h/r µ

M

1a ordem

reta t

(32)

Validação do programa

XI - 31

Sendo (M 1 , K 1 ); (M 2 , K 2 ) e (M 3 , K 3 ) as coordenadas dos três pontos, se tem o sistema de três equações a três incógnitas:

M j-1 = a + b.K j-1 + c.K j-1 2

M j = a + b.K j + c.K j 2

M j+1 = a + b.K j+1 + c.K j+1 2

Matricialmente se pode escrever M j-1 1 K j-1 K j-1 2

a M j = 1 K j K j 2

b M j+1 1 K j+1 K j+1 2

c

[M] = [K].[D]

O determinante da matriz [K] é 1 K j-1 K j-1 2

| Delta | = 1 K j K j 2

1 K j+1 K j+1 2

| Delta | = K j .K j+1 2

+ K j+1 .K j-1 2

+ K j-1 .K j 2

– K j .K j-1 2

– K j-1 .K j+1 2

– K j+1 .K j 2

Os outros determinantes envolvidos na solução do sistema de equações são:

M j-1 K j-1 K j-1 2

| DeltaA | = M j K j K j 2

M j+1 K j+1 K j+1 2

| DeltaA | = M j-1 .K j .K j+1 2

+ M j .K j+1 .K j-1 2

+ M j+1 .K j-1 .K j 2

– M j+1 .K j .K j-1 2

– M j .K j-1 .K j+1 2

– M j-1 .K j+1 .K j 2

1 M j-1 K j-1 2

| DeltaB | = 2 M j K j 2

3 M j+1 K j+1 2

| DeltaB | = M j .K j+1 2

+ M j+1 .K j-1 2

+ M j-1 .K j 2

– M j .K j-1 2

– M j-1 .K j+1 2

– M j+1 .K j 2

(33)

1 K j-1 M j-1

| DeltaC | = 1 K j M j

1 K j+1 M j+1

| DeltaC | = K j . M j+1 + K j+1 . M j-1 + K j-1 . M j – K j . M j-1 – K j-1 . M j+1 – K j+1 . M j

A solução do sistema de equações para determinar os coeficientes “a”, “b” e “c” é

Delta DeltaA

a = ;

Delta DeltaB

b = ;

Delta DeltaC c =

Chamando de m 2o o coeficiente angular da reta que representa a relação entre os momentos de segunda ordem e as curvaturas no processo do Pilar Padrão, de m a o da reta tangente à curva na origem (reta a) e de m b o da reta tangente à curva na extremidade correspondente ao E.L.U. (reta b), se tem:

Se m 2o > m a então se terá Peça Instável

O programa assumirá M 2 = 9999

O momento de 1ª ordem disponível será: M 1 = 0 Curvatura crítica: C K = 0

Momento Total Crítico: M K = 0 Se m 2o < m b então se terá

Peça Estável

Momento de 2ª ordem: M 2 = m 2o * Curv. do ELU Momento de 1ª ordem: M 1 = M ELU – M 2

Se m a < m 2o < m b então

Para j variando de j = 2 à j = N

m(j-1) = [Mom(j,1) – Mom(j-1,1)] / [Curv(j,1) – Curv(j-1,1)]

m(j) = [Mom(j+1,1) – Mom(j,1)] / [Curv(j+1,1) – Curv(j,1)]

(34)

Validação do programa

XI - 33

Ajustar uma parábola do 2º graus pelos pontos (j-1), j e (j+1)

Mom = a + b.Curv + c.Curv ² (momentos em função da curvatura) O coeficiente angular da tangente à curva no ponto de abscissa Curv é dado por

m = b + 2.c.Curv

A curvatura crítica C K é a abscissa que corresponde ao ponto de tangência, na curva M-1/r, de uma reta paralela à do Pilar Padrão e será dada por:

C K = (m 2o – b) / (2.c)

O momento total crítico é dado por:

M tot,cri = a + b.C K + c.C K 2 .

Assim, o momento de segunda ordem do processo do “Pilar Padrão” será M 2 = m 2o .C K

e o momento de primeira ordem disponível M 1 = M tot,cri – M 2

A seguir são comparados resultados obtidos pelo programa computacional desenvolvido neste trabalho com resultados apresentados pelo CEB-FIP. A tabela A3.5 daquele código apresenta valores do momento de primeira ordem disponíveis em pilares de seção retangular com armadura distribuída uniformemente nos quatro lados para L e /h variando de zero a 40, taxa mecânica de armadura ( ω ) variando de zero à 0,5 e força normal reduzida (ν) variando de zero à 1,9.

É de se destacar que para os valores de ω o CEB-FIP contabiliza apenas a metade

da armadura diferentemente do que costumamos fazer em nosso país. Assim, onde

para o CEB-FIP se tem taxa ω nós consideramos 2ω. Além disso existe a diferença

na consideração da resistência de cálculo do concreto, o que leva as seguintes

equivalências de expressões:

(35)

Expressões do CEB-FIP Expressões da NBR 6118:2004 equivalentes às do CEB-FIP

c ck c

f f

85 γ ,

= 0

c ck cd

f f

= γ

c c

yd s

f A

.

= . ϖ

cd c

yd s

f A

. 85 , 0 .

= . ϖ

c c

d

f A

N

= . ν

cd c

d

f A

N . 85 , 0

= . ν

c c

d

f h A

M .

= . µ

cd c

d

f h A

M . 85 , 0 .

= . µ

Para a confecção da tabela 11.7 foram considerados: seção retangular com b = 50

cm e h = 25 cm, armadura com 28 barras (uma junto a cada vértice, mais seis barras

distribuídas em cada lado), d’/h = 0,10 e portanto d’ = 2,5 cm, concreto com f ck = 25

MPa, γ c = 1,4, aço com f yk = 460 MPa, E s = 200 GPa, γ s = 1,15.

(36)

XI-35

Tabela 11.6 – Momentos disponíveis em pilares solicitados por momento de primeira ordem constante, seção retangular, armadura

distribuída uniformemente nos quatro lados – CEB-FIP.

(37)

Tabela 11.7 – Momentos disponíveis de 1ª ordem, seção retangular, armadura distribuída uniformemente nos quatro lados (28 barras) – Processo do “Pilar Padrão” – Resultados do programa desenvolvido neste trabalho.

Momentos Reduzidos de 1a. Ordem Disponíveis - Deção Retangular - Armadura Uniformemente Distribuida no 4 lados (28 barras)

NI = NSd / (AcAlfaCfcd)

Le/h w 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0 0,0 0 0,044 0,079 0,104 0,118 0,121 0,114 0,097 0,070 0,035 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0,2 0,083 0,119 0,147 0,165 0,175 0,175 0,164 0,149 0,130 0,103 0,070 0,035 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0,4 0,158 0,189 0,210 0,225 0,232 0,231 0,217 0,201 0,184 0,162 0,136 0,105 0,070 0,035 0 0 0 0 0 0

0 0,6 0,231 0,254 0,272 0,283 0,289 0,287 0,273 0,255 0,237 0,217 0,194 0,168 0,139 0,104 0,069 0,035 0 0 0 0 0 0,8 0,299 0,318 0,332 0,342 0,346 0,344 0,330 0,311 0,292 0,272 0,250 0,227 0,201 0,172 0,139 0,104 0,069 0,035 0 0 0 1,0 0,362 0,380 0,392 0,399 0,403 0,400 0,388 0,368 0,348 0,327 0,306 0,284 0,259 0,233 0,205 0,173 0,139 0,104 0,069 0,035

10 0,0 0,000 0,037 0,066 0,086 0,097 0,099 0,090 0,072 0,044 0,016 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0,2 0,083 0,107 0,128 0,142 0,149 0,145 0,133 0,118 0,099 0,072 0,042 0,017 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0,4 0,158 0,177 0,192 0,200 0,204 0,201 0,184 0,166 0,147 0,126 0,100 0,070 0,042 0,017 0 0 0 0 0 0

10 0,6 0,231 0,243 0,253 0,259 0,261 0,256 0,238 0,218 0,198 0,177 0,153 0,127 0,098 0,068 0,042 0,018 0 0 0 0 10 0,8 0,299 0,307 0,314 0,318 0,318 0,312 0,295 0,273 0,251 0,229 0,206 0,181 0,155 0,126 0,096 0,068 0,042 0,019 0 0 10 1,0 0,362 0,370 0,374 0,376 0,375 0,368 0,352 0,329 0,305 0,282 0,259 0,235 0,209 0,182 0,154 0,124 0,095 0,067 0,042 0,019

20 0,0 0,000 0,034 0,055 0,061 0,064 0,058 0,045 0,022 0,003 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0,2 0,083 0,089 0,095 0,097 0,090 0,084 0,074 0,059 0,037 0,014 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0,4 0,158 0,151 0,151 0,150 0,140 0,121 0,107 0,093 0,075 0,052 0,029 0,009 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0,6 0,231 0,215 0,210 0,205 0,193 0,169 0,147 0,128 0,112 0,092 0,069 0,045 0,024 0,006 0 0 0 0 0 0

20 0,8 0,299 0,280 0,270 0,261 0,246 0,224 0,194 0,170 0,148 0,130 0,109 0,086 0,060 0,040 0,021 0,005 0 0 0 0 20 1,0 0,362 0,343 0,329 0,318 0,300 0,280 0,246 0,216 0,191 0,168 0,149 0,126 0,103 0,077 0,055 0,035 0,018 0,005 0 0

30 0,0 0,000 0,025 0,036 0,039 0,030 0,015 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30 0,2 0,083 0,065 0,055 0,050 0,045 0,032 0,016 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30 0,4 0,158 0,122 0,105 0,080 0,061 0,049 0,035 0,017 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30 0,6 0,231 0,181 0,157 0,130 0,095 0,070 0,055 0,038 0,018 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30 0,8 0,299 0,242 0,211 0,184 0,147 0,107 0,077 0,058 0,040 0,020 0,001 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30 1,0 0,362 0,304 0,267 0,235 0,199 0,154 0,115 0,084 0,063 0,043 0,022 0,002 0 0 0 0 0 0 0 0

40 0,0 0,000 0,015 0,016 0,016 0,001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

40 0,2 0,083 0,040 0,032 0,025 0,009 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

40 0,4 0,158 0,094 0,048 0,035 0,020 0,003 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

40 0,6 0,231 0,146 0,092 0,047 0,031 0,016 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

40 0,8 0,299 0,201 0,146 0,086 0,045 0,028 0,010 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

40 1,0 0,362 0,257 0,198 0,135 0,068 0,041 0,023 0,004 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(38)

XI-37

Como outro exemplo para a comparação dos resultados fornecidos pelo programa será utilizada a seção estrela vazada, utilizado por Forni e ilustrada na figura abaixo.

Dados:

Concreto: C15 – f ck = 15 MPa, γ c = 1,4 Aço: CA 50B – f yk = 500 MPa, γ s = 1,15 Armadura: 111 φ 16 mm

69.3 30 10

0 20

40 29.3

40 52

69.3 27.3 10 34.7 10

107.3 20 17.3 40

7.4 80 60

80

(39)

Tabela 11.8 – Esforços últimos para a seção “Estrela Vazada” – França – 1984.

(40)

XI-39

Tabela 11.9 – Esforços Últimos para a seção “Estrela Vazada” – Programa deste trabalho.

TABELA GERAL DE RESULTADOS Data: 22/11/2007

Alfa Epson0 XLN/h h/r hx/rx hy/ry NRd MRxd MRyd Teta h

(graus) (por mil) (kN) (kN.m) (kN.m) (graus) (cm)

120,00 -7,276 -1,00 5,074 5,073 -2,537 -9.703,14 0,00 3,30 0,00 172,01

90,00 2,000 503524,67 0,000 0,000 0,000 20.288,45 0,00 0,00 0,00 198,60 120,00 -1,875 0,28 11,858 11,857 -5,929 100,00 3.674,64 -2.120,07 119,98 172,01 120,00 -1,261 0,32 10,969 10,968 -5,484 2.003,89 4.108,59 -2.371,15 119,99 172,01 120,00 -0,918 0,34 10,177 10,176 -5,088 3.000,15 4.279,15 -2.469,80 119,99 172,01 120,00 -0,612 0,37 9,472 9,471 -4,736 4.000,54 4.421,00 -2.551,85 119,99 172,01 120,00 -0,335 0,40 8,835 8,834 -4,417 5.003,26 4.532,10 -2.616,16 120,00 172,01

140,00 -7,522 -1,00 5,083 3,318 -3,424 -9.703,14 0,00 3,30 0,00 195,59

140,00 2,000 511277,62 0,000 0,000 0,000 20.288,45 0,00 0,00 0,00 195,59 140,00 -0,896 0,38 9,161 5,979 -6,171 1.000,01 2.170,00 -4.098,13 152,10 195,59 140,00 -0,640 0,41 8,627 5,631 -5,812 2.000,24 2.408,95 -4.102,33 149,58 195,59 140,00 -0,407 0,43 8,142 5,314 -5,485 3.003,85 2.613,21 -4.081,05 147,37 195,59 140,00 -0,188 0,46 7,685 5,016 -5,177 4.029,30 2.785,59 -4.038,01 145,40 195,59 140,00 0,006 0,48 7,280 4,752 -4,904 5.010,63 2.922,06 -3.976,45 143,69 195,59

160,00 -7,740 -1,00 5,092 1,768 -4,208 -9.703,14 0,00 3,30 0,00 195,59

160,00 2,000 511274,28 0,000 0,000 0,000 20.288,45 0,00 0,00 0,00 195,59 160,00 -0,552 0,45 7,791 2,706 -6,438 1.000,24 895,91 -4.848,13 169,53 195,59 160,00 -0,311 0,48 7,328 2,545 -6,056 2.001,78 1.031,26 -4.821,71 167,93 195,59 160,00 -0,110 0,50 6,941 2,410 -5,736 3.002,80 1.178,25 -4.753,58 166,08 195,59 160,00 0,068 0,53 6,599 2,292 -5,453 4.005,55 1.323,90 -4.655,73 164,13 195,59 160,00 0,232 0,56 6,284 2,182 -5,193 5.005,10 1.448,01 -4.539,44 162,31 195,59