Open Desigualdades de Sobolev e equações Elípticas não lineares

(1)

Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Ciˆ

encias Exatas e da Natureza

Programa de P´

os–Gradua¸c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

Desigualdades de Sobolev e

Equa¸c˜

oes El´ıpticas n˜

ao Lineares

Leon Tarquino da Costa

(2)

Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Ciˆ

encias Exatas e da Natureza

Programa de P´

os–Gradua¸c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

Desigualdades de Sobolev e

Equa¸c˜

oes El´ıpticas n˜

ao Lineares

por

Leon Tarquino da Costa

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Jo˜

ao Marcos Bezerra do ´

O

(3)

C837d Costa, Leon Tarquino da.

Desigualdades de Sobolev e equações elípticas não lineares / Leon Tarquina da Costa.- João Pessoa, 2016. 102f.

Orientador: João Marcos Bezerra do Ó Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN

1. Matemática. 2. Desigualdade de Sobolev. 3. Pontos críticos. 4. Condição de Neumann.

(4)

(5)

(6)

Agradecimentos

`

A Deus.

A minha fam´ılia, em especial a minha mãe Maria do Socorro Padilha da Costa, ao meu pai José Tarquino da Costa Filho e a minha esposa Ivanilde Carlos Tarquino Moureira Neta que sempre me motivaram e me incentivaram nos momentos que mais precisei, e estão sempre ao meu lado nas decisões que tomo.

Ao professor João Marcos Bezerra do Ó por ter orientado este trabalho, pelo co-nhecimento transmitido, pelo tempo que dedicou a mim, por me motivar, transmitindo sua experiencia de forma sábia e precisa, e principalmente, pela confian¸ca depositada. Aos professores da UFPB, em especial a professora Flávia Jerônimo Barbosa, e aos professores Everaldo Souto de Medeiros e Uberlândio Batista Severo.

A todos os meus colegas do milênio, mestrado e doutorado com os quais pude contar nessa jornada, em especial àqueles que transpassaram a barreira do coleguismo e se tornaram amigos como Rayssa, Ricardo, Ageu, Mariana, Thiago, Wendel, Rodrigo, Esteban, Suelena, Aparecida, e não poderia deixar de citar um que considero como irmão, Victor José Araújo de Carvalho.

A banca examinadora: Prof. Dr. Jefferson Abrantes dos Santos, Prof. Dr.

Uberlˆandio Batista Severo e Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros por aceitarem participar da avalia¸c˜ao deste trabalho.

(7)

Resumo

Neste trabalho, estudaremos primeiramente algumas generaliza¸cões interessantes da famosa desigualdade de Sobolev para dom´ınios limitados. Em seguida, iremos es-tudar a existência de solu¸cões positivas para uma equa¸cão el´ıptica não linear, sob uma certa condi¸cão de Neumann e impondo algumas condi¸cões restritivas sobre a não linea-ridade. Para considerarmos hipóteses mais gerais, assumiremos condi¸cões na fronteira do dom Ãnio.

(8)

Abstract

In this work we first study some interesting generalizations of the famous inequality Sobolev to limited domains. Then, we will study the existence of positive solution for a nonlinear elliptic equation on a certain condition Neumann, by imposing certain restricitive condition in the nonlinearity. To we consider more general hypotheses we will assume conditions on the boundary of domain.

(9)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 2

1 Defini¸c˜oes e Resultados Preliminares 6

1.1 Espa¸cos Lp _{. . . .} ₆

1.2 Espa¸cos de Sobolev . . . 10

1.3 T´ecnicas de Rearranjamento . . . 16

1.4 Capacidade . . . 17

2 Melhores Constantes nas Desigualdades de Sobolev 18 2.1 O caso f ⌘0 sobre a fronteira de Ω . . . 18

2.2 O caso f _6⌘0 sobre a fronteira de Ω . . . 33

3 Problemas de Neumann Semilineares El´ıpticos com crescimento cr´ıtico 49 3.1 Um Teorema de Existˆencia Geral . . . 49

3.2 Existˆencia de Solu¸c˜ao para (3.19) . . . 70

(10)

Introdu¸c˜

ao

Nosso objetivo neste trabalho é compreender dois artigos que são de grande re-levância. No primeiro, que é o artigo do Brezis-Lieb [6], estudaremos essencialmente a famosa desigualdade de Sobolev e apresentaremos algumas generaliza¸cões interessantes da mesma. No segundo, que é o artigo do Wang [19], utilizaremos a desigualdade de Sobolev para demonstrar a existência de solu¸cões positivas para um determinado pro-blema com condi¸cão de fronteira de Neumman, sob certas condi¸cões que especificaremos a seguir.

A desigualdade de Sobolev emRn_,_n _≥_{3, para a norma}_L2 _{do gradiente ´e dada por}

||rf||2

L2₍Rn₎ ≥Sn||f||2_L2⇤

(Rn₎ (1)

onde 2⇤ _{= 2n/(n}₋_{2), para toda fun¸c˜ao} _f _com _r_f ₂_L2_{, e com} _f _{tendendo a zero no}

infinito no sentido fraco, isto ´e, _|{x;_|f(x)_| > a_}| < ₁ para todo a > 0 (ver [5]). A melhor constante Sn´e conhecida como sendo

Sn=⇡n(n₋2)



Γ(n/2) Γ(n)

"2/n

. (2)

A constante Sn ´e atingida em (1) se, e somente se,

f(x) = a

[✏2₊_|_x₋_y_|2_]n−2/2 (3)

para alguma₂R_{, ✏}₆_{= 0, y} ₂Rn_{. Ver por exemplo [1], [3], [11], [15], [17], [18].}

Nosso primeiro objetivo ´e realizar algumas modifica¸c˜oes na desigualdade de Sobo-lev (1), substituindo Rn _{por um dom´ınio limitado Ω} _⇢ Rn_{. Com isso, surgem dois}

problemas principais:

PROBLEMA A:Se f ⌘0 sobre @Ω, (1) continua v´alido, basta considerar ˜

f =

(

f em Ω,

(11)

Note que neste caso temos

||rf˜||2

L2₍Rn₎ > Sn||f˜||2_L2⇤

(Rn₎

uma vez que a igualdade em (1) s´o ocorre sef for do tipo (3). No entanto, Sncontinua sendo uma constante ´otima para esta desigualdade (1), uma vez que

J(f) = ||rf||

2

L2₍Rn₎

||f||2

L2⇤

(Rn₎

´e um invariante escalar, isto ´e, se λ >0, temos

J(λf) = J(f).

Referente a este problema A, provaremos as desigualdades (4) e (6):

||rf_||2_L2_(Ω) ≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+C(Ω)||f|| 2

Lpω(Ω), (4)

ondeC(Ω) ´e uma constante que depende de Ω e den,p=n/(n−2) = 2⇤_{/2, e}_! _denota

a norma Lp _{fraca definida por}

||f_||Lpω(Ω)= sup

A |

A_|−1/p0

Z

A|

f(x)_|dx, onde A´e um conjunto que tem medida |A| finita.

A desigualdade (4) foi motivada pela seguinte desigualdade, mais fraca, encontrada em [7],

||rf_||2_L2_(Ω) ≥S_n||f||2_L2⇤

(Ω)+Cp(Ω)||f||2Lp_(Ω), (5)

que é válida para todo p < n/(n ₋2) (com Cp(Ω) _! 0 quando p _! n/(n ₋2)). Observe que (5) não continua válida se p =n/(n₋2). De fato, tomando f como em (3), aplicando uma fun¸cão de corte para fazer f tender a zero na fronteira, e então expandindo as integrais (como em [7]) perto de ✏ = 0, obtemos o resultado. Nesse sentido, a desigualdade (4) é a melhor poss´ıvel.

Uma desigualdade mais forte que (4), e que envolve a norma do gradiente ´e

||rf||2

L2_(Ω) ≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+D(Ω)||rf|| 2

Lqω(Ω) (6)

(12)

PROBLEMA B: Se f _6⌘ 0 sobre @Ω, então (1) não é válida em geral em Ω (basta tomarf = 1 em Ω). Agora vamos supor que além de Ω ser limitado, a fronteira de Ω é suave. Então pode-se esperar que (1) se mantenha, adicionando integrais de fronteira adequadas do lado esquerdo. Provaremos que para f = constante _⌘Cf sobre @Ω

||rf_||2_L2_(Ω)+E(Ω)|Cf|2 ≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω). (7)

Por outro lado, se f não é constante em @Ω então as duas desigualdades a seguir são verdadeiras:

||rf||2

L2_(Ω)+F(Ω)||f||2_H1/2₍_@_Ω)≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω), (8)

||rf||L2_(Ω)+G(Ω)||f||_Lq₍_@_Ω) ≥S_n1/2||f||_L2⇤

(Ω). (9)

Se Ω é uma bola de raio R, estabeleceremos que a melhor constante em (7) é E(Ω) = σnRn−2(n−2), onde σn é a área da superf´ıcie da bola unitária de Rn_{. Para}

este E(Ω), (7) é uma desigualdade estrita. Dado este fato, podemos pressupor (tendo em vista a solu¸cão do problema A) que algum termo pode ser adicionado no lado direito de (7). No entanto, tal termo não pode ser nenhuma normaLp_{(Ω) de} _f_{, como} mostraremos.

Para concluir o estudo da primeira parte, estudaremos a demonstra¸c˜ao de mais uma desigualdade associada a estes problemas, a saber se Ω =BR(0), pode-se obter

Z

Ω|r

f_|2dx+I(Ω)_||f_||2_L2₍_@_Ω) ≥2−2/nSn||f||2_L2⇤

(Ω). (10)

Uma vez encerrada as demonstra¸cões das generaliza¸cões da desigualdade de Sobolev, nosso segundo objetivo nesta disserta¸cão é estudar a existência de solu¸cão para dois problemas el´ıpticos. Iniciaremos estudando o problema:

8 > > <

> > :

−∆u = up₊_f_{(x, u)} _{em Ω,}

u > 0 em Ω,

@u

@⌘ +↵(x)u = 0 sobre @Ω,

(11)

onde⌘´e o vetor normal exterior a@Ω,p= 2⇤₋_{1 = (n+2)/(n}₋_{2), ↵}₂_L1_{(Ω), ↵(x)}_≥

0, f(x, u) ´e mensur´avel em x e cont´ınua em u e para todo M > 0, sup{f(x, u) : x 2

Ω,0_u_M_}´e finito.

(13)

pontos cr´ıticos do seguinte funcional:

J(u) =

Z

Ω



1 2|ru|

2

− _p_{+ 1}1 up++1−F(x, u)

"

dx+ 1 2

Z

@Ω

↵(x)u2dS, (12)

onde F(x, u) =

Z u

0

f(x, s)ds eu+ = max{u,0} e u− = min{u,0}. Em seguida,

prova-remos um de nossos teoremas principais, a saber:

Teorema 0.1. Suponha que (3.2)₋(3.4) s˜ao v´alidas e que c < 1

2nS n/2

n . (13)

Ent˜ao existe uma solu¸c˜aou de (3.1) tal que

J(u)_c. Em seguida, abordaremos o problema

8 > > <

> > :

−∆u = up₋_λu _em _Ω, @u

@⌘ = 0 sobre @Ω,

u > 0 em Ω,

(14)

onde λ > 0, p = (n+ 2)/(n₋2) e Ω _⇢ Rn _{´e um dom´ınio limitado com fronteira de}

classe C2_{, n}_≥_3. _{Mostraremos que a fun¸cão} _{wλ(x) =}_λ1/(p−1) _{é uma solu¸cão constante}

do problema acima, e em seguida demonstraremos um resultado, onde ficará expl´ıcita a existência de solu¸cões não constantes, finalizando assim nossos estudos.

(14)

Cap´ıtulo 1

Defini¸c˜

oes e Resultados

Preliminares

Nosso objetivo neste cap´ıtulo será enunciar algumas defini¸cões e resultados impor-tantes que nos auxiliarão no entendimento deste trabalho.

1.1 Espa¸cos

L

p

Seja Ω_⇢Rn_{um conjunto aberto, e seja}_p₂R _{com 1}__{p <}₁_{definiremos o espa¸co}

Lp(Ω) =

⇢

f : Ω_!R_;_f _{´e mensur´avel e} Z

Ω|

f(x)_|pdx <₁

*

,

com a norma

||f||Lp_(Ω)=

✓Z

Ω|

f(x)|p_dx

◆1/p

.

Al´em disso, definiremos

L1(Ω) =

(

f : Ω_!R

-f ´e mensur´avel e existe uma constanteC > 0 tal que _|f(x)_{| }C q.t.p. em Ω

)

com a seguinte norma

||f_||L1_(Ω) = inf{C;|f(x)| C q.t.p. em Ω},

onde consideramos a classe de fun¸cões iguais q.t.p. em Ω. Então, Lp_{(Ω) é um espa¸co} de Banach separável, para 1p <1, e reflexivo para 1< p <1 (veja [4], pág. 103). Observamos que|f(x)|  ||f||L1_(Ω) q.t.p. em Ω.

(15)

1. Defini¸c˜oes e Resultados Preliminares

´e, p0 _{´e o n´}_{umero tal que}

1 p +

1 p0 = 1.

Observa¸c˜ao 1.1. Algumas vezes, quando formos tratar de expoente conjugado usare-mos outra letra, por exemplop eq.

Vejamos agora duas desigualdades elementares sobre espa¸cos Lp_{, pois a ´}_ultima destas ser´a bastante usada neste trabalho.

Lema 1.1 (Desigualdade de Young). Sejam p > 1 e p0 _>_{1 reais tais que} 1

p +

1

p0 = 1.

Dados os n´umeros reais a_≥0 e b _≥0 teremos ab_ a

p

p +

bp0

p0 .

Demonstra¸cão. Sea = 0 ou b = 0, a desigualdade é óbvia. Suponhamos que a, b >0,

ent˜ao usando a concavidade da fun¸c˜ao logar´ıtimo temos

ab = eln(ab)

= eln(a)+ln(b)

= e1pln(ap)+

1

p0ln(bp 0

)

 eln(1pap+p10bp 0

)

= a

p

p +

bp0

p0 .

Lema 1.2(Desigualdade de H¨older).Suponhamos quef ₂Lp_{(Ω) e} _g ₂_Lp0

(Ω) onde 1_p+

1

p0 = 1 e com 1p 1. Ent˜aof g 2L

1_{(Ω) e}

Z

Ω

|f g|dx ||f||Lp_(Ω)||g||_Lp0

(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Dividiremos a prova em dois casos.

Caso 1: (p= 1 e p0 ₌₁₎

Sabemos que |g(x)|  ||g||L1

(Ω) q.t.p. em Ω. Da´ı, |f(x)g(x)|  ||g||L1

(Ω)|f(x)|.

Portanto,

Z

Ω|

f(x)g(x)_|dx _{ ||}g_||L1

(Ω)

Z

Ω|

f(x)_|dx = _||f_||L1_(Ω)||g||_L1_(Ω)

(16)

Suponhamos sem perda de generalidade que ||f||Lp_(Ω)6= 0 e ||g||_Lp0

(Ω)6= 0. Usando

a Desigualdade de Young coma = _||_f|f_||Lp(x)|

(Ω) eb =

|g(x)| ||g||_Lp0

(Ω)

obtemos

|f(x)g(x)_|

||f_||Lp_(Ω)||g||_Lp0

(Ω)

 1_p

✓

|f(x)_|

||f_||Lp_(Ω)

◆p

+ 1

p0

|g(x)_|

||g_||_Lp0

(Ω)

!p0

.

Integrando em Ω teremos

1

||f||Lp_(Ω)||g||_Lp0

(Ω)

Z

Ω|

f(x)g(x)_|dx _ 1

p||f||pLp_(Ω)

Z

Ω|

f(x)_|pdx+ 1 p0_||_g_||p0

Lp0

(Ω)

Z

Ω|

g(x)_|p0dx = ||f||

p Lp_(Ω)

p||f||pLp_(Ω)

+ ||g|| p0

Lp0

(Ω)

p0_||_f_||p0

Lp0

(Ω)

= 1

p + 1 p0

= 1,

e portanto,

Z

Ω|

f(x)g(x)|dx ||f||Lp_(Ω)||g||_Lp0

(Ω)

Vejamos agora alguns resultados sobre espa¸cos Lp_.

Proposi¸cão 1.1 (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue). Seja (fn) uma sequência de fun¸cões em L1_{(Ω) que satisfaz}

a) fn(x)_!f(x) q.t.p. em Ω,

b) existe uma fun¸c˜ao g 2L1_{(Ω) tal que para todo} _n,_|_fn(x)_{| }_{g(x) q.t.p. em Ω.}

Ent˜aof 2L1_{(Ω) e}

||fn₋f_||L1_(Ω)!0.

Demonstra¸c˜ao. Ver [4], p´agina 90.

Proposi¸c˜ao 1.2 (Teorema de Fischer-Riesz). O espa¸coLp_{(Ω) ´e um espa¸co de Banach,} para todo 1_p_{ 1}.

Proposi¸c˜ao 1.3. Seja (fn) uma sequˆencia em Lp_{(Ω) e seja}_f ₂_Lp_{(Ω) tal que}

||fn−f||Lp_(Ω) !0.

(17)

a) fnk(x)!f(x) q.t.p. em Ω,

b) |fnk(x)| h(x) 8k, q.t.p. em Ω.

Definiremos agora a convolu¸cão de uma fun¸cão f 2 L1₍_Rn_{) com uma fun¸cão} _g ₂ Lp₍_Rn_).

Proposi¸cão 1.4 (Teorema de Young). Seja f ₂ L1₍_Rn_{) e seja} _g ₂ _Lp₍_Rn_{) com 1} _ p_{ 1}. Então para quase todo x ₂Rn _{a fun¸cão} _y _7!_f_(x₋_{y)g(y) é integrável sobre} Rn _{e definimos}

(f ? g)(x) =

Z

Rn

f(x₋y)g(y)dy. Al´em disso, f ? g₂Lp₍_Rn_{) e}

||f ? g||Lp₍Rn₎ ||f||_L1₍Rn₎||g||_Lp₍Rn₎.

Uma generaliza¸cão da proposi¸cão anterior é o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 1.5(Teorema de Young). Suponha quef 2Lp₍_Rn_{) e} _g ₂_Lq₍_Rn_{) com 1}_ p_{ 1}, 1_q _{ 1} e 1_r = 1_p +1_q ₋1_≥0.Ent˜ao f ? g₂Lr₍_Rn_{) e}

||f ? g||Lr₍Rn₎  ||f||_Lp₍Rn₎||g||_Lq₍Rn₎.

Definimos o suporte de uma fun¸c˜ao, e denotamos por suppf, o fecho do conjunto

{x;f(x) 6= 0}. Podemos também compreender a defini¸cão de suporte através do se-guinte resultado.

Proposi¸cão 1.6 (Defini¸cão de Suporte). Seja f : Rn _! R _{uma fun¸cão. Considere a}

fam´ılia (!i)i₂I de todos os conjuntos abertos em Rn tal que para cada i 2 I, f = 0 q.t.p. em !i. Seja ! = [i2I!i. Ent˜ao f = 0 q.t.p. em !. Definimos o suppf como sendo o complementar de! em Rn_.

Defini¸c˜ao 1.2. Seja Ω ⇢ Rn _{um conjunto aberto e seja 1} _ _p _{ 1}_{. Dizemos que a}

fun¸c˜ao f : Ω _! R _{pertence a} _Lp

loc(Ω) se f 2 Lp(K) para todo subconjunto compacto

(18)

Defini¸c˜ao 1.3. Dizemos que uma sequˆencia {fk}1

k=1 ⇢ Lq(Ω) converge fraco a f 2

Lq_{(Ω), e escrevemos}

fk * f em Lq(Ω),

se

Z

Ω

fkgdx_!

Z

Ω

f gdx, quando k _{! 1}, para cada g ₂Lq0

(Ω).

Proposi¸cão 1.7. Sejam (fn) uma sequência em Lq_{(Ω) e} _f ₂ _Lq_{(Ω). Suponha que} fn * f em Lq(Ω) e fn(x)!f(x) q.t.p. em Ω onde 1q <1. Então,

lim n!1(||fn||

q

Lq_(Ω)− ||fn−f||

q

Lq_(Ω)) =||f||

q Lq_(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Ver [9] p´agina 14.

1.2 Espa¸cos de Sobolev

Considere Ω_⇢Rn _{um conjunto aberto. Suponha que} _{u, v}₂_L1

loc(Ω), e seja↵2Nn.

Denote _|↵_| = Pn

i=1↵i. Dizemos que v ´e a ↵-´esima derivada parcial fraca de u e

escrevemosv =D↵_{u, quando}

Z

Ω

uD↵'dx= (−1)|↵|

Z

Ω

u'dx,

para toda ' ₂ C1

0 (Ω), onde C01(Ω) denota o conjunto de todas as fun¸c˜oes de classe

C1 _{de suporte compacto em Ω.}

Defini¸c˜ao 1.4. Dadosk 2N _e_p₂R_, _{com 1}_{< p <}₁_{, definimos o espa¸co de Sobolev}

Wk,p_{(Ω) como sendo formado por todas as fun¸cões de} _Lp_{(Ω) que admitem derivadas} parciais fracas até ordemk em Lp_{(Ω), isto é,}

Wk,p(Ω) =_{u₂Lp(Ω);D↵u₂Lp(Ω), para todo _|↵_{| }k_}, munido da norma

||u_||Wk,p_(Ω)=

0

@ X

|↵|k

Z

Ω|

D↵u_|pdx

1

A

1/p

.

Em particular, quando k = 1 e p₂R _{com 1}__p_{ 1}_{, definimos o seguinte espa¸co}

W1,p(Ω) =

(

u₂Lp(Ω)

-9g1, g2, . . . , gn2Lp(Ω) tal que

R

Ωu

@'

@x dx=−

R

Ωgi'dx 8'2Cc1(Ω), 8i= 1,2, . . . , n

(19)

Parau2W1,p_{(Ω) definimos} @u

@xi =gi. Com isso, podemos escrever

ru=

✓

@u @x1

, @u @x2

, . . . , @u @xn

◆

.

Podemos equipar o espa¸coW1,p_{(Ω) com a norma}

||u_||W1,p_(Ω) =||u||_Lp_(Ω)+

n

X

i=1

||@u

@xi||Lp(Ω).

Para o decorrer deste trabalho, iremos dar maior ˆenfase ao caso k = 1 e p = 2. Para este caso especial, daremos a seguinte nota¸c˜ao para o espa¸co de Sobolev

W1,2(Ω) =H1(Ω).

Dadau, v ₂H1_{(Ω) definiremos o produto interno}

hu, v_iH1_(Ω) =

Z

Ω

uv+_hru,_rv_idx, e a norma

||u_||H1_(Ω) =

✓Z

Ω|

u_|2+_|ru_|2dx

◆1/2

.

Definimos tamb´em

W₀1,2(Ω) =H₀1(Ω) =C1 0 (Ω)

||·||W1,2(Ω)

.

Se Ω = Rn_{, consideremos o espa¸co de Sobolev} _D1,2₍Rn_{) definido como sendo o fecho}

do espa¸co C1

0 (Rn) em rela¸c˜ao a norma de Dirichlet

||u||2

D :=

Z

Rn|r

u|2_dx ₌_||r_u_||2

L2_(Ω),

isto ´e,D1,2₍_Rn_{) =}_C1 0 (Rn)

||·||D

.

Observa¸c˜ao 1.2. Os elementos deD1,2₍_Rn_{) se anulam no infinito, no sentido que para} todoa >0,

|{x₂Rn_;_|_f_(x)_|_{> a}_}|_<₁_.

De fato, dadaf ₂D1,2₍_Rn_{), seja} _A₌_{_x₂_Rn_;_|_f_(x)_|_{> a}_}_{, ent˜ao}

|A_| =

Z

Rn

χAdx

= 1

a2⇤

Z

Rn

(20)

como em A, |f(x)|> a, segue que

Z

Rn

a2⇤

χAdx

Z

Rn|

f(x)_|2⇤

dx,

al´em disso, do Teorema 1.1 abaixo temos

Z

Rn|

f(x)_|2⇤dx_C

Z

Rn|r

f_|2⇤dx. Logo,

|A|<1. Seja Ω ⇢ Rn _{um dom´ınio limitado, considere} _W1,2

0 (Ω) = H01(Ω) = C01(Ω) ||·||D

. Se u2H1

0(Ω), ent˜ao por defini¸c˜ao existeun 2C01(Ω) tal que ||un−u||D !0. Defina, ˜

un =

(

un se x2Ω 0 se x₂Rn_\_Ω

ent˜ao ˜un2C1

0 (Rn) e supp˜un = suppun.

Proposi¸cão 1.8. W1,p_{(Ω) é um espa¸co de Banach para 1} _ _p_{ 1}_{, é reflexivo para} 1< p <₁ e é separável para 1_p <₁. Além disso, H1_{(Ω) é um espa¸co de Hilbert}

separ´avel.

Teorema 1.1. (Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev.) Suponha que 1_p < n. Existe uma constante C, que depende apenas dep e n, tal que

||u_||Lp⇤

(Rn₎ C||ru||_Lp₍Rn₎, (1.1)

para todau₂C1

c(Rn).

Demonstra¸c˜ao. Dividiremos a prova em dois casos.

1) Primeiramente, suponha que p= 1.

Comou tem suporte compacto, para cada i= 1,2, . . . , n ex2Rn _temos

u(x) =

Z xi

−1

@u

@xi(x1, . . . , xi−1, yi, xi+1, . . . , xn)dyi,

logo,

|u(x)_{| }

Z 1

−1|r

(21)

Consequentemente

|u(x)_|n/(n−1) _ n

Y

i=1

✓Z 1

−1|r

u(x1, . . . , yi, . . . , xn)|dyi

◆1/(n−1)

. (1.2)

Integrando esta desigualdade com respeito a x1 temos

Z 1

−1|

u|n/(n−1)_dx 1  Z 1 −1 n Y i=1 ✓Z 1 −1|r

u|dyi

◆1/(n−1)

dx1



✓Z 1

−1|r

u_|dy1

◆1/(n−1)Z 1

−1 n Y i=2 ✓Z 1 −1|r

u_|dyi

◆1/(n−1)

dx1



✓Z ₁

−1|r

u_|dy1

◆1/(n−1) n Y i=2 ✓Z ₁ −1 Z 1 −1|r

u_|dx1dyi

◆1/(n−1)

, (1.3)

onde a ´ultima desigualdade resulta da desigualdade de H¨older generalizada. Agora integrando (1.3) com respeito a x2 obtemos

Z 1

−1

Z 1

−1|

u|n/(n−1)_dx

1dx2 

✓Z 1

−1

Z 1

−1|r

u|dx1dy2

◆1/(n−1)Z 1

−1

n

Y

i=1,i6=2

I_i1/(n−1)dx2,

onde

I1 :=

Z 1

−1|r

u_|dy1, Ii :=

Z 1

−1

Z 1

−1|r

u_|dx1dyi (i= 3, . . . , n). Aplicando mais uma vez a desigualdade de H¨older generalizada, encontramos

Z 1

−1

Z 1

−1|

u_|n/(n−1)dx1dx2 

✓Z ₁

−1

Z 1

−1|r

u_|dx1dy2

◆1/(n−1)✓Z ₁

−1

Z 1

−1|r

u_|dy1dx2

◆1/(n−1)

n Y i=3 ✓Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1|r

u|dx1dx2dyi

◆1/(n−1)

.

Continuando integrando com respeito a x3, . . . , xn obteremos

Z

Rn|

u_|n/(n−1) _ n

Y

i=1

✓Z ₁

−1· · ·

Z 1

−1|r

u_|dx1. . . dyi. . . dxn

◆1/(n−1)

=

✓Z

Rn|r

u|dx

◆n/(n−1)

, (1.4)

logo,

||u_||_L1⇤

(Rn₎ ||ru||_L1₍Rn₎. (1.5)

(22)

Aplicando a estimativa (1.4) para v :=|u|γ_{, onde} _{γ >}_{1 ´e escolhido convenientemente,} e usando a desigualdade de H¨older, obtemos

✓Z

Rn|

u_|(γn)/(n−1)_dx

◆(n−1)/n



Z

Rn|r| u_|γ_|_dx

= γ

Z

Rn|

u_|γ−1_|ru_|dx

 γ

✓Z

Rn|

u_|(γ−1)p/(p−1)

◆(p−1)/p✓Z

Rn|r u_|p

◆1/p

.

(1.6)

Devemos escolher γ de forma que

γn

n₋1 = (γ−1)

p

p₋1.

Isto ´e,

γ = p(n−1)

n₋p >1;

no caso em que

γn

n₋1 = (γ−1)

p

p₋1 =

np

n₋p =p

⇤_,

a estimativa (1.6) nos fornece

✓Z

Rn|

u|p⇤

◆1/p⇤

C

✓Z

Rn|r

u|p

◆1/p

.

Observamos que a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev vale em D1,2₍_Rn_).

Proposi¸cão 1.9 (Fórmula de intergra¸cão por partes). Sejam u, v 2C1_{(Ω). Então}

Z

Ω

@u

@xivdx=−

Z

Ω

u@v

@xidx+

Z

@Ω

uv⌘idS (i= 1, . . . , n).

Vejamos agora um resultado que ser´a demansiadamente usado neste trabalho.

Proposi¸cão 1.10 (Fórmulas de Green). Sejam u, v ₂C2_{( ¯}_{Ω), então}

i)

Z

Ω

∆udx=

Z

@Ω

@u

@⌘dS.

ii)

Z

Ωhr

u,rvidx=−

Z

Ω

u∆vdx+

Z

@Ω

u@v

@⌘dS.

iii)

Z

u∆v −v∆udx=

Z

u@v

@⌘ −v

@u

(23)

Observamos que o item (ii) na proposi¸cão acima é também conhecido como Teorema da Divergência de Green.

Proposi¸c˜ao 1.11 (Coordenadas Polares). Seja f : Rn _! R _{uma fun¸c˜ao cont´ınua e}

integr´avel. Ent˜ao

Z

Rn

f dx=

Z 1

0

✓Z

@B(x0,r)

f dS

◆

dr,

para cada pontox0 2Rn.

Proposi¸cão 1.12 (Teorema do Tra¸co). Suponha que Ω é limitado e que @Ω éC1_.

Ent˜ao existe um operedor linear limitado

T :W1,p_(Ω)_!_Lp₍_@_Ω) tal que

i) T u=u_|@Ω se u2W1,p(Ω)\C(Ω).

ii) _||T u_||Lp₍_@_Ω)C||u||_W1,p_(Ω),para cadau2W1,p(Ω), com a constanteCdependendo

apenas de p e Ω.

Defini¸c˜ao 1.5. Chamamos T uo tra¸co de u sobre @Ω.

Vimos que a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev implica na imers˜ao de W1,p_{(Ω) em}_Lp⇤

(Ω) para 1  p < n, p⇤ ₌ _pn/(n₋_{p). Em nosso pr´oximo resultado}

veremos que W1,p_{(Ω) est´a de fato compactamente contido (imerso) em} _Lq_{(Ω) para} 1_q < p⇤

Defini¸c˜ao 1.6. Sejam X eY espa¸cos de Banach, X _⇢Y. Dizemos que X est´a com-pactamente contido emY, e escrevemos

X _⇢⇢Y,

se

(24)

Proposi¸cão 1.13 (Teorema de Compacidade de Rellich-Kondrachov). Suponha que Ω é um subconjunto aberto e limitado de Rn _{e suponha também que} _@_{Ω é}_C1_{. Suponha}

que 1_p < n. Ent˜ao

W1,p(Ω)_⇢⇢Lq(Ω),

para cada 1_q < p⇤_.

1.3 T´

ecnicas de Rearranjamento

Seja A um subconjunto de Rn _{que tem medida finita. O rearranjamento sim´etrico}

deA denotado por A⇤ ´e uma bola aberta, cuja medida coincide com a medida de A,

A⇤ =_{x₂Rn_:_σ_n_|_x_|n _<_|_A_|}_.

Seja f uma fun¸cão mensurável não negativa que tende a zero no infinito, no sentido que

|{x2Rn_:_f_(x)_{> t}_}|_<₁ _{para todo}_{t >}_0.

Definimos o rearranjamento sim´etrico decrescentef⇤ _de_f _{simetrizando seus conjuntos}

de n´ıvel,

f⇤(x) =

Z 1

0

χ_{f(x)>t}⇤dt.

Entãof⇤ _{é semicont´ınua inferiormente (visto que seus conjuntos de n´ıvel são abertos),}

e é unicamente determinado pela fun¸cão de distribui¸cão

µf(t) =_|{x:f(x)> t_}|.

Por constru¸cão,f⇤ _{é equimensurável à}_f_{, isto é, os conjuntos de n´ıvel correspondentes}

das duas fun¸c˜oes tem a mesma medida,

(25)

Devido as t´ecnicas de rearranjamento temos:

Lema 1.3. i) ||rf⇤_||

L2_(Ω⇤₎  ||rf||_L2_(Ω). ii) ||f⇤_||

L2_(Ω⇤₎ =||f||_L2_(Ω). iii) _||f⇤_||

Lpω(Ω⇤₎ =||f||_Lp_ω(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Ver [13] e [2].

1.4 Capacidade

Sejam Ω ⇢ Rn_{, n} _≥ _{3, um dom´ınio limitado, com fronteira} _@_{Ω suave, e} _u _uma

fun¸cão harmônica definida no complementar do conjunto Ω e satisfazendo a condi¸cão de fronteira u = 1 sobre @Ω, e u = 0 no infinito. A existência de u é facilmente estabelecida (de forma única), como limite de fun¸cões harmônicasu0 _{em uma sequência}

crescente de dom´ınios limitados, tendo@Ω como uma fronteira interior, na qualu0 _{= 1,}

e com fronteiras exterior, nas quais u0 _{= 0, tendendo ao infinito. Se Σ denota a}

fronteira de Ω, ou qualquer superf´ıcie suave, fechada, envolvendo Ω. Ent˜ao definimos a capacidade do conjunto Ω, e denotaremos por Cap(Ω), da seguinte forma:

Cap(Ω) =−

Z

Σ

@u

@⌘dS =

Z

Rn_\_Ω|r

u|2_dx, _(1.7)

(26)

Cap´ıtulo 2

Melhores Constantes nas

Desigualdades de Sobolev

Nosso objetivo nesse cap´ıtulo é demonstrar as desigualdades (4) e (6) enunciadas na Introdu¸cão deste trabalho. Para tal, precisamos de ferramentas auxiliares, a saber, as técnicas de rearranjamento simétrico decrescente que foram abordadas no cap´ıtulo anterior.

2.1 O caso

f

_⌘

0 sobre a fronteira de

Ω

Teorema 2.1. Seja Ω _⇢ Rn _{um dom´ınio limitado,} _n _≥ _{3. Para toda} _f ₂ _H1_{(Ω) tal}

quef ⌘0 sobre@Ω, vale a seguinte desigualdade

||rf_||2_L2_(Ω) ≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+C(Ω)||f|| 2

Lpω(Ω), (2.1)

ondeC(Ω) ´e uma constante que depende apenas de Ω e de n, e p=n/(n−2) = 2⇤/2.

Demonstra¸cão. Seja f⇤ _{um rearranjamento simétrico decrescente de uma fun¸cão} _f_,

onde f ´e extendida como sendo zero em Rn _\_{Ω. Pelas t´ecnicas de rearranjamento,}

sabemos que:

||rf⇤_||

L2_(Ω⇤

)  ||rf||L2_(Ω)

||f⇤_||_L2⇤

(Ω⇤

) = ||f||L2⇤

(Ω)

||f⇤||Lpω(Ω⇤

) = ||f||Lpω(Ω)

(27)

2. Melhores Constantes nas Desigualdades de Sobolev

problema

(

∆u = g em Ω,

u = 0 sobre @Ω. (2.2)

Seja

φ(x) =

(

f(x) +u(x) +||u||1 em Ω,

||u_||₁(R/_|x_|)n−2 _em _Rn_\_Ω. (2.3)

Aplicando a desigualdade de Sobolev emφ, obtemos

||rφ||2

L2₍Rn₎≥Sn||φ||2_L2⇤

(Rn₎.

Por um lado,

||rφ_||2

L2₍Rn₎ =

Z

Rn|r

φ_|2_dx

=

Z

Ω|r

φ_|2dx+

Z

Rn_\_Ω|r

φ_|2dx =

Z

Ω|r

(f +u+||u||1)|2dx+

Z

Rn_\_Ω

-r ||u||1

✓

R

|x|

◆n−2 ! -2 dx, como, -r ✓ R

|x_|

◆n−2 !

-= (n−2)R

n−2

|x_|n−1 ,

temos

Z

Rn_\_Ω

-r ✓ R

|x|

◆n−2!- -2 dx= Z

Rn_\_Ω

R2(n−2)_(n₋₂₎2

|x|2n−2 dx.

Usando coordenadas polares, segue que

Z

Rn_\_Ω

R2(n−2)_(n₋₂₎2

|x|2n−2 dx=

Z

@(Rn_\_Ω)

dσ

Z +1

R

R2(n−2)_(n₋₂₎2

r2n−2 r

n−1_dr.

Resolvendo esta integral obtemos

Z

@(Rn_\_Ω)

dσ

Z +1

R

R2(n−2)_(n₋₂₎2

r2n−2 r

n−1_dr ₌ _σ_nR2(n−2)_(n₋₂₎2

Z +1

R 1 rn−1dr

= σnR2(n−2)(n−2)2



r−n+2

−n+ 2

"+1

(28)

substituindo os valores acima ficamos com

Z

Rn_\_Ω

-r ✓ R

|x_|

◆n−2 !

-2

dx = σnR2(n−2)(n−2)2



−R−

n+2

−n+ 2

"

= σn

R2(n−2)₍_n₋₂₎2 Rn−2₍_n₋₂₎

= σnRn−2(n−2). Logo,

||rφ_||2

L2₍Rn₎ =

Z

Ω|r

(f +u+_||u_||₁)_|2_dx₊_||_u_||2

1σnRn−2(n−2). E por outro lado,

||φ||2

L2⇤

(Rn₎ =

✓Z

Rn|

φ|2⇤

dx

◆2/2⇤

=

0

@ Z

Ω|

f +u+||u||1|2

⇤

dx+

Z

Rn_\_Ω

-||u||1

✓

R

|x_|

◆n−2 -2⇤ dx 1 A

2/2⇤

≥ ||f||2

L2⇤

(Ω),

poisu+_||u_||₁_≥0. E portanto,

Z

Ω

|r(f +u)|2_dx₊_||_u_||2

1Rn−2(n−2)σn ≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω), (2.4)

onde,

σn =

2(π)n/2

Γ(n/2)

é a área superficial da bola unitária em Rn_{. Desenvolvendo (2.4), encontramos}

Z

Ω|r

f_|2dx+ 2

Z

Ωhr

f,_ru_idx+

Z

Ω|r

u_|2dx+_||u_||2₁Rn−2(n₋2)σn≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω).

Da identidade de Green temos,

Z

Ω

f(∆u)dx=

Z

@Ω

f∂u

∂ηdS−

Z

Ω

hrf,ruidx,

e como por hip´otesef _⌘0 sobre∂Ω temos

Z

Ωhr

f,ruidx=−

Z

Ω

(29)

usando o fato que ∆u=g em Ω obtemos

Z

Ω|r

f_|2dx₋2

Z

Ω

f gdx+

Z

Ω|r

u_|2dx+K_||u_||₁2 _≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω), (2.5)

ondeK =Rn−2₍_n₋₂₎_σ

n. Substituindog porλg eu por λue otimizando com respeito

aλ obtemos

Z

Ω|r

f_|2dx₋2λ

Z

Ω

f gdx+λ2

✓Z

Ω|r

u_|2dx+K_||u_||2₁

◆

≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω).

Chamando

a=

✓Z

Ω|r

u|2_dx₊_K_||_u_||2 1

◆

e b=−2

Z

Ω f gdx,

obtemos, pelo completamento de quadrado, que

aλ2₊_b_λ ₌ _a

✓

λ2₊ b

aλ

◆

= a



λ2+ b

aλ+ b2

4a2 −

b2

4a2

"

= a

" ✓

λ+ b

2a

◆2

− b

2

4a2

#

= a

✓

λ+ b

2a

◆2

− b

2

4a.

Agora, fazendo λ_{! −}b/2a teremos

aλ2+bλ! −b

2

4a =−

;

−2R

Ωf gdx

<2

4;R

Ω|ru|2dx+K||u||21

< =−

;R

Ωf gdx

<2 ;R

Ω|ru|2dx+K||u||21

<.

Portanto,

Z

Ω|r

f_|2_dx _≥_S

n||f||2_L2⇤

(Ω)+

;R

Ωf gdx

<2 R

Ω|ru|2dx+K||u||21

. (2.6)

Na desigualdade (2.6), podemos maximizar o lado direito com respeito a g. Tendo em vista a defini¸c˜ao da norma fraca, devemos de fato restringir a nossa aten¸c˜ao para

g = χA, ou seja, a fun¸c˜ao caracter´ıstica de algum subconjunto A de Ω. Agora, va-mos estabelecer algumas estimativas para alguns valores em (2.6). Denoteva-mos por Cn constantes que dependem apenas de n. As estimativas s˜ao:

Z

Ω

f gdx=

Z

A

(30)

Z

Ω|r

u_|2 _Cn|A|1+2/n (2.8)

||u_||₁_Cn|A|2/n (2.9)

De fato, a equa¸c˜ao (2.7) ´e apenas porque estamos considerando g = χA. Para verifi-carmos (2.8) vamos multiplicar (2.2) poru e integrar. Com isso

Z

Ω

(∆u)udx=

Z

Ω

gudx,

mas, utilizando a identidade de Green temos

Z

Ω

(∆u)udx=

Z

@Ω

@u

@⌘udS−

Z

Ωhr

u,ruidx.

Comou= 0 sobre @Ω, segue que,

Z

Ω

(∆u)udx=₋

Z

Ω|r u_|2_dx,

logo,

−

Z

Ω|r

u_|2dx=

Z

Ω

gudx=

Z

A

udx.

Ent˜ao,

Z

Ω|r

u_|2dx = ₋

Z

A

udx



--−

Z

A

(u)1dx

-

Z

A|

u||1|dx.

Agora, usando a desigualdade de H¨older obtemos,

Z

A|

u||1|dx

✓Z

A|

u|2⇤

dx

◆1/2⇤✓Z

A|

1|2n/(n+2)_dx

◆(n+2)/2n

,

da´ı,

Z

Ω|r

u|2_dx _

✓Z

A|

u|2⇤

dx

◆1/2⇤✓Z

A|

1|2n/(n+2)_dx

◆(n+2)/2n

= _||u_||L2⇤

(Ω)|A|(n+2)/(2n)

(31)

logo,

||ru_||L2_(Ω) S_n−1/2|A|(1/2)+(1/n),

e portando,

Z

Ω|r

u_|2dx_Cn|A|1+2/n o que resulta em (2.8). Agora, fixando y2Ω, seja

Γ(x−y) = Γ(|x−y|) = 1

n(2₋n)σn|

x−y|2−n_.

Uma vez que u é solu¸cão do problema (2.2), podemos escrever, pela representa¸cão de Green,

u(y) =

Z

Ω

Γ(x₋y)∆u(x)dx

=

Z

Ω

1

n(2₋n)σn|

x₋y_|2−ng(x)dx,

sendo assim,

|u(y)_| =

-1

n(2−n)σn

Z

Ω|

x₋y_|2−nχA(x)dx

- C_n0

Z

A|

x−y|2−n_dx. Usando a desigualdade de H¨older temos

C_n0

Z

A|

x−y|2−n_dx _ _C0

n

✓Z

A

;

|x−y|2−n<n/(n−2)

dx

◆(n−2)/n✓Z

A

(1)n/2dx

◆2/n

= C_n0

✓Z

A|

x₋y_|−ndx

◆(n−2)/n

|A_|2/n.

Desde que |x|2−n _{pertence a} _Ln/(n−2)

! (Ω),

✓Z

A|

x₋y_|−ndx

◆(n−2)/n

<₁,

logo,

|u(y)_{| } C_n0

✓Z

A|

x₋y_|−ndx

◆(n−2)/n

|A_|2/n

(32)

Da´ı,

||u_||₁ _Cn|A|2/n. Como|A|  |Ω|=σnRn/n, obtemos

Z

Ω|r

u_|2_dx₊_K_||_u_||2

1  Cn|A|1+(2/n)+Cn2K|A|4/n

 |A_|4/nCn

✓

|A_|1+(2/n)

|A|4/n +C

0

nRn−2

◆

 Cn|A|4/nRn−2. (2.10)

Logo, substituindo (2.10) em (2.6) obtemos

Z

Ω

|rf|2_dx _≥ _S

n||f||2_L2⇤

(Ω)+

;R

Af dx

<2 R

Ω|ru|2dx+K||u||21

≥ Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+

;R

Af dx

<2

CnRn−2|A|4/n = Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+

1

CnRn−2

✓ R

Af dx

|A|2/n

◆2

.

Tomando o supremo em|A|ficamos com

||rf||2

L2_(Ω) ≥ Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+

1

CnRn−2 sup

A

✓ R

Af dx

|A_|2/n

◆2

≥ Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+

1

CnRn−2

✓

sup A

1

|A_|2/n

Z

A

f dx

◆2

.

Usando a defini¸c˜ao da norma fraca,

||rf_||2_L2_(Ω) ≥S_n||f||2_L2⇤

(Ω)+

1

CnRn−2||

f_||2_Lp ω(Ω).

Uma vez que |Ω|=σnRn/n, temos

|Ω|2−nn = σ

2−n n

n R

n(2−_n₎

n

n2−nn

= σ

2−n n

n

n2−nn

1

Rn−2,

donde,

1

Rn−2 =

n2−nn

σ

2−n n

n

(33)

Usando o fato acima obtemos,

||rf||2

L2_(Ω) ≥ Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+C− 1

n

n2−nn

σ2

−n n

n

|Ω|2−nn||f||2

Lpω(Ω)

= Sn||f||2L2⇤

(Ω)+Cn0|Ω|

2−_n

n ||f||2

Lpω(Ω)

= Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+C(Ω)||f|| 2

Lpω(Ω).

Portanto (2.1) est´a provado (para todo Ω) com a constante

C(Ω) =C_n0_|Ω_|2−nn. (2.11)

O teorema anterior foi motivado pelo estudo da seguinte desigualdade, encontrada em [7],

||rf_||2

L2_(Ω) ≥S_n||f||2_L2⇤

(Ω)+Cp(Ω)||f|| 2

Lp_(Ω)

que é válida para todop < n/(n₋2), e além disso, Cp(Ω) _!0 quandop_!n/(n₋2). Esta desigualdade é considerada mais fraca que a do Teorema 2.1. Isto decorre do fato que a desigualdade acima não é válida se p=n/(n−2).

Agora, faremos um resultado, considerado mais forte que o Teorema 2.1, que envolve a norma do gradiente.

Teorema 2.2. Seja Ω _⇢ Rn _{um dom´ınio limitado,} _n _≥ _{3 e seja} _f ₂ _H1_{(Ω) tal que}

f _⌘0 sobre @Ω. Ent˜ao,

||rf||2

L2_(Ω) ≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+D(Ω)||rf|| 2

Lqω(Ω), (2.12)

com q= n

n−1.

Demonstra¸c˜ao. Poder´ıamos tentar reproduzir a prova do Teorema 2.1, no entanto, para

este caso, a técnica de rearranjamento não é válida, uma vez que não é verdade que

||rf||Lqω(Ω)  ||rf⇤||Lqω(Ω). Todavia, ainda podemos supor que f ≥0, pois trocando f

por|f|, não alteramos nenhum das normas em (2.12). Consequentemente teremos que usar uma aproxima¸cão direta, e a constanteD(Ω) em (2.12) não dependerá apenas de

|Ω_|. Na verdade, ela vai depender da capacidade de Ω. Isto ´e,

D(Ω) = Cn

Cap(Ω). (2.13)

(34)

Analogamente ao que fizemos na prova do Teorema 2.1, seja g 2L1_{(Ω) e defina} _u

como a solu¸c˜ao do problema (2.2), por´em vamos substituir (2.3) por

φ(x) =

(

f(x) +u(x) +_||u_||₁ em Ω

||u_||₁v(x) em Rn_\_Ω_. (2.14)

onde v ´e uma solu¸c˜ao do problema

(

∆v = 0 em Rn_\_Ω_,

v = 1 sobre ∂Ω, (2.15)

com v _!0 no infinito. Por defini¸c˜ao, Cap(Ω) =

Z

Rn_\_Ω|r

v_|2dx. (2.16)

Aplicando a desigualdade de Sobolev para φ obtemos

||rφ||2

L2₍Rn₎≥Sn||φ||2_L2⇤

(Rn₎.

Note que, por um lado

||rφ||2

L2₍Rn₎ =

Z

Rn|r

φ|2_dx

=

Z

Ω|r

φ_|2dx+

Z

Rn_\_Ω|r

φ_|2dx,

usando a defini¸c˜ao deφ, segue que

||rφ_||2_L2₍Rn₎ =

Z

Ω|r

(f +u+_||u_||₁)_|2dx+

Z

Rn_\_Ω|r

(_||u_||₁v)_|2dx

=

Z

Ω

|r(f +u)|2_dx₊_||_u_||2 1

Z

Rn_\_Ω|r

v|2_dx,

e desde que

Z

Rn_\_Ω|r

v_|2_dx_{= Cap(Ω)}

temos

||rφ_||2_L2₍Rn₎ =

Z

Ω|r

(35)

Por outro lado,

||φ_||2_L2⇤

(Rn₎ =

✓Z

Rn|

φ_|2⇤dx

◆2/2⇤

=

✓Z

Ω|

φ|2⇤

dx+

Z

Rn_\_Ω|

φ|2⇤

dx

◆2/2⇤

,

usando novamente a defini¸c˜ao de φ, segue que

✓Z

Ω|

φ|2⇤

dx+

Z

Rn_\_Ω|

φ|2⇤

dx

◆2/2⇤

≥

✓Z

Ω|

f +u+||u||1|2

⇤

dx

◆2/2⇤

= ||f +u+||u||1||2L2⇤

(Ω),

da´ı, como u+_||u_||₁ >0 segue que

||φ||2

L2⇤

(Rn₎ ≥ ||f||2_L2⇤

(Ω).

Logo,

Z

Ω|r

(f+u)_|2dx+_||u_||2₁Cap(Ω)_≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω).

Sendo assim, por uma conta análoga à que foi feita na demostra¸cão do Teorema 2.1, observamos que a desigualdade (2.6) continua válida, porém com a constanteK subs-titu´ıda por K = Cap(Ω). Além disso, note que podemos reescrever (2.6) da seguinte maneira

Z

Ω|r

f|2_dx _≥_S

n||f||2_L2⇤

(Ω)+

;R

Ωhrf,ruidx

<2 R

Ω|ru|2dx+K||u||21

, (2.17)

que ´e v´alida para todo u ₂ C1

0 (Ω). Por densidade, temos que (2.17) ´e v´alida para

todau₂H1

0(Ω)\L1(Ω) (a razão é que para todau2H01\L1, existe uma sequência

uj 2C01(Ω) tal que uj !u em H01(Ω) e ||uj||1! ||u||1).

Agora escolhamos u para ser a solu¸c˜ao de (2.2) onde g ´e dada por

g(x) = ∂

∂xi

✓

sgn∂f

∂xi (x)

◆

χA(x)

"

. (2.18)

Esta fun¸c˜aou est´a emL1_{(Ω). De fato, podemos escrever}

u=w+h,

onde wsatisfaz ∆w=g em todoRn_{, a saber,}

(36)

Desta formah ´e harmˆonica em Ω, pois

∆u= ∆(w+h)

implica que

g =g+ ∆h

o que resulta em

∆h= 0

eh=−w sobre @Ω, pois u= 0 sobre @Ω. Nestas condi¸c˜oes,

||h_||L1_(Ω)  ||h||_L1₍_@_Ω)

= ||w||L1₍_@_Ω)

 ||w_||L1

(Ω),

com isso, usando a desigualdade triangular obtemos,

||u_||L1

(Ω) = ||w+h||L1

(Ω)

 ||w_||L1_(Ω)+||h||_L1_(Ω).

Usando o fato que

||h||L1_(Ω)  ||w||_L1_(Ω),

temos

||u||L1_(Ω) 2||w||_L1_(Ω).

Por outro lado,

w = Cn|x|2−n? g

= Cn|x|2−n?

✓

@ @xi

✓

sgn@f

@xi

◆

χA

"◆

= Cn

✓

@ @xi|

x_|2−n

◆

?

✓

sgn@f

@xi

◆

χA

"

,

e como

@ @xi|

x_|2−n = (2₋n)_|x_|1−n,

segue que

(37)

Uma vez que _|x_|1−n ₂_Ln/(n−1)

! , obtemos

||u_||₁ _2_||!_||₁ _C0

n|A|1/n. (2.21)

Agora, vamos dar uma estimativa para

Z

Ω|r

u_|2dx. Multiplicando (2.2) por u e integrando temos

Z

Ω

(∆u)udx=

Z

Ω gudx

mas, usando a identidade de Green,

Z

Ω

(∆u)udx=

Z

@Ω @u

@⌘udS−

Z

Ωhr

u,ruidx.

Comou= 0 sobre @Ω,

Z

Ω

(∆u)udx=₋

Z

Ω|r u_|2dx.

Logo,

Z

Ω|r

u_|2dx = ₋

Z Ω gudx = − Z Ω @ @xi ✓ sgn@f @xi ◆ χA " udx,

usando integra¸c˜ao por partes e o fato que u= 0 sobre @Ω vemos que

−

Z

Ω @ @xi

✓

sgn@f

@xi

◆ χA " udx= Z Ω ✓

sgn@f

@xi

◆

χA

"

@u

@xi

dx. Note que, Z Ω ✓ sgn@f @xi ◆ χA " @u @xi dx  -Z Ω ✓ sgn@f @xi ◆ χA " @u @xi dx - Z Ω --sgn @f @xi -@u @xi

--|χA|dx

= Z Ω -@u @xi

--|χA|dx.

Usando a desigualdade de H¨older obtemos,

Z Ω -@u @xi --|

χA|dx 

Z Ω -@u @xi -2 dx

!1/2 ✓Z

Ω|

χA|2dx

◆1/2

= ||@u

@xi||L

(38)

como

||_@x@u

i||L

2_(Ω)  ||ru||_L2_(Ω)

segue que Z Ω -@u @xi --|

χA|dx 

✓Z

Ω|r u_|2dx

◆1/2

|A_|1/2

e portanto,

Z

Ω|r

u_|2dx_{ |}A_|. (2.22)

Finalmente, comof = 0 sobre @Ω, usando novamente a identidade de Green obtemos,

Z

Ωhr

f,_ru_idx =₋

Z

Ω

f(∆u)dx

como ∆u=g em Ω, segue que

−

Z

Ω

f(∆u)dx=₋

Z

Ω

f gdx,

e como

g = @

@xi

✓

sgn@f

@xi

◆ χA " temos, − Z Ω

f gdx=₋

Z

Ω

f

✓

@ @xi

✓

sgn@f

@xi

◆

χA

"◆

dx.

Usando integra¸c˜ao por partes obtemos,

− Z Ω f ✓ @ @xi ✓ sgn@f @xi ◆ χA "◆ dx= Z Ω ✓ @f @xi ◆ ✓ sgn@f @xi ◆ χA " dx. Como ✓ @f @xi ◆ ✓ sgn@f @xi ◆ = -@f @xi -segue que Z Ω ✓ @f @xi ◆ ✓ sgn@f @xi ◆ χA " dx= Z Ω -@f @xi

-χAdx.

E portanto,

Z

Ωhr

f,ruidx=

Z Ω -@f

@xi

(39)

Usando estas estimativas e o fato que |A|1−(2/n) _{ |}_Ω_|1−(2/n) __S−1

n Cap(Ω) obtemos,

Z

Ω|r

u_|2_dx₊_K_||_u_||2

1  |A|+ Cap(Ω)Cn0|A|2/n

= _|A_|2/n(_|A_|1−2/n+ Cap(Ω)C_n0)

 |A|2/n₍_S−1

n Cap(Ω) +Cn0Cap(Ω)) = _|A_|2/nKnCap(Ω),

logo,

1

R

Ω|ru|2dx+K||u||21

≥ 1

|A|2/n_K_nCap(Ω)

≥ Cn |A|2/n_Cap(Ω). E portanto (2.17) torna-se

Z

Ω|r

f_|2dx_≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+

Cn

⇣ R

A

-@f @xi

--dx

⌘2

Cap(Ω)_|A_|2/n . (2.23)

Para verificar que_|A_|1−(2/n) __S−1

n Cap(Ω) considere agora a fun¸c˜ao

˜

v(x) =

(

1 em Ω

v(x) em Rn_\_Ω

aplicando a desigualdade de Sobolev a esta fun¸c˜ao obtemos

||rv˜_||2_L2₍Rn₎ ≥S_n||v˜||2_L2⇤

(Rn₎

mas, por um lado

||˜v_||2_L2⇤

(Rn₎ =

✓Z

Rn|

˜

v_|2⇤dx

◆2/2⇤

=

✓Z

Ω|

˜

v|2⇤

dx+

Z

Rn_\_Ω|

˜

v|2⇤

dx

◆2/2⇤

,

usando a defini¸c˜ao de ˜v, segue que

✓Z

Ω|

˜

v|2⇤

dx+

Z

Rn_\_Ω|

˜

v|2⇤

dx

◆2/2⇤

≥

✓Z

Ω

1dx

◆2/2⇤

(40)

como 2/2⇤ _{= 1}₋₍₂_/n_{), temos}

||v˜_||2_L2⇤

(Rn₎≥ |Ω|1−(2/n).

Por outro lado,

||r˜v_||2_L2₍Rn₎ =

Z

Rn|r

˜

v_|2dx

=

Z

Ω|r

˜

v|2_dx₊

Z

Rn_\_Ω|r

˜

v|2_dx.

Como_|rv˜_|= 0 em Ω e ∆˜v = 0 emRn_\_{Ω segue que} Z

Ω|r

˜

v_|2dx= 0 e

Z

Rn_\_Ω|r

˜

v_|2dx= Cap(Ω).

Portanto,

||rv˜_||2_L2₍Rn₎ = Cap(Ω).

Logo,

Cap(Ω)_≥Sn|Ω|1−(2/n) ou seja,

S_n−1Cap(Ω)_{≥ |}A_|1−(2/n).

Desta forma, somando em (2.23) temos

n

X

i=1

Z

Ω|r

f|2_dx _≥

n

X

i=1

Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+ n X i=1 Cn ⇣ R A -@f @xi --dx ⌘2

Cap(Ω)_|A_|2/n = nSn||f||2_L2⇤

(Ω)+

Cn

Cap(Ω)|A|2/n n X i=1 ✓Z A -@f @xi -dx ◆2

≥ nSn||f||22⇤+

Cn

Cap(Ω)|A|2/n

Z A n X i=1 -@f @xi -dx !2

≥ nSn||f||22⇤+

Cn

Cap(Ω)|A|2/n

Z

A|r

f_|dx.

Tomando o supremo em_|A_|obtemos

n

Z

Ω|r

f|2_dx _≥ _nS

n||f||2_L2⇤

(Ω)+

Cn

Cap(Ω)supA |

A|−2/n

✓Z

A|r

f|dx

◆2

= nSn||f||2_L2⇤

(Ω)+

Cn

Cap(Ω)||rf||

2

(41)

e portanto, dividindo a equa¸c˜ao acima por n concluimos que

Z

Ω|r

f_|2dx_≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω)+

Cn

Cap(Ω)||rf||

2

Lqω(Ω).

Isto completa a prova de (2.12) com a constante dada em (2.13).

2.2 O caso

f

_6⌘

0 sobre a fronteira de

Ω

Nesta se¸c˜ao, estudaremos o caso em que f _6⌘0 sobre a fronteira de Ω. Iniciaremos com a prova da desigualdade (7). No entanto, precisaremos do seguinte lema:

Lema 2.1. Seja Ω _⇢ Rn _{um dom´ınio limitado com fronteira suave. Para toda} _f ₂

H1_{(Ω), existe} _w _{definifa em} _Rn_\_{Ω tal que} _w_{´e harmˆonica, coincide com} _f _sobre _@_{Ω e} quando |x| ! 1, w(x)!0.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos primeiramente que Ω ´e uma bola centrada na origem e

de raioR, neste caso,

w(x) = CfR

n−2

|x|n−2 ,

onde f(x) = Cf ´e constante sobre @Ω. De fato, note que se x 2 @Ω ent˜ao |x| =

R, da´ıw(x) =CfRn−2/Rn−2 =Cf, al´em disso,

@w

@xi

(x) = CfRn−2

@ @xi

(x2₁+x2₂+_{· · ·}+x2_n)(2−n)/2 = CfRn−2

2−n

2 (x

2

1+x22+· · ·+x2n)((2−n)/2)−12xi = CfRn−2(2−n)|x|−nxi.

Ent˜ao,

@2_w @x2

i

(x) = CfRn−2(2−n)

@ @xi

(|x|−n_x_i) = CfRn−2(2−n)



|x_|−n₊_x i

@ @xi

(x2

1+· · ·+x2n)−n/2

"

= CfRn−2(2−n)

h

|x_|−n+xi

⇣

−n₂⌘|x_|−(n+2)2xi

i

(42)

Donde,

n

X

i=1 @2_w @x2

i

(x) = CfRn−2(2−n)|x|−n n

X

i=1

(1₋n_|x_|−2_x2

i)

= CfRn−2(2−n)|x|−n(n−n|x|−2|x|2) = 0,

ou seja, w é harmônica. Além disso, da defini¸cão de w vemos que quando _|x_{| ! 1}

segue quew(x)_!0.

Para a constru¸cão da fun¸cão w, onde Ω é um dom´ınio geral ver [14].

Teorema 2.3. Seja Ω ⇢Rn _{um dom´ınio limitado com fronteira} _@_{Ω suave. Para toda}

f 2H1_{(Ω) constante e n˜ao nula sobre a fronteira de Ω vale a desigualdade}

||rf_||2_L2_(Ω)+E(Ω)|Cf|2 ≥Sn||f||2_L2⇤

(Ω). (2.24)

Demonstra¸c˜ao. Inicialmente vamos definir a seguinte fun¸c˜ao

φ(x) =

(

f(x) em Ω

w(x) em Rn_\_Ω (2.25)

onde w é uma fun¸cão harmônica que tende a zero no infinito e coincide com f sobre

∂Ω.

Suponhamos primeiramente que Ω ´e uma bola centrada na origem e raio R. Neste caso, como foi mostrado no Lema 2.1,

w(x) = CfR

n−2

|x_|n−2 ,

onde f(x) =Cf ´e constante sobre ∂Ω.

Aplicando a desigualdade de Sobolev para todoRn _{a esta}_φ _obtemos

||rφ||2

L2₍Rn₎≥S_n||φ||2_L2⇤

(Rn₎.

Mas, por um lado

||rφ_||2

L2₍Rn₎ =

Z

Rn|r

φ_|2_dx₌

Z

Ω|r

f_|2_dx₊

Z

(43)

No entanto, como sabemos,

Z

Rn_\_Ω

-r

✓

R

|x|

◆n−2-

-2

dx=σnRn−2(n−2), logo,

Z

Rn_\_Ω|r

w|2_dx ₌

Z

Rn_\_Ω|

Cf|2

-r

✓

R

|x_|

◆n−2

-2

dx

= _|Cf|2σnRn−2(n−2). Portanto,

||rf_||2_L2₍Rn₎ =

Z

Ω|r

f_|2dx+_|Cf|2σnRn−2(n−2). Por outro lado,

||φ_||2_L2⇤

(Rn₎ =

✓Z

Rn|

φ_|2⇤dx

◆2/2⇤

=

✓Z

Ω| f_|2⇤

dx+

Z

Rn_\_Ω| w_|2⇤

dx

◆2/2⇤

≥

✓Z

Ω

|f|2⇤

dx

◆2/2⇤

= _||f_||2_L2⇤

(Ω).

Observe que

Z

Rn_\_Ω|r

w|2_dx_{= Cap(Ω), pois}

(

∆w = 0 em Rn_\_Ω

w = constante sobre ∂Ω

Portanto, chamando

E(Ω) =σnRn−2(n−2) = Cap(Ω) (2.26)

temos

||rf||2

L2_(Ω)+|C_f|2E(Ω)≥S_n||f||2_L2⇤

(Ω),

ou ainda,

||rf_||2

L2_(Ω)+ Cap(Ω)|C_f|2 ≥S_n||f||2_L2⇤

(Ω).

(44)

isto, aplicamos (2.24) com f = f✏ dada por (3) com a = 1 e y = 0 = centro da bola. Ou seja,

f✏(x) = 1

[✏2₊_|_x_|2_](n−2)/2.

Desta forma temos

Z

Rn|r

f✏|2dx=Sn||f✏||2_L2⇤

(Rn₎. (2.27)

Seja

w(x) = CfR

n−2

|x|n−2 ,

com isso temos,

Z

Rn|r

f✏|2dx =

Z

Ω|r

f✏|2dx+

Z

Rn_\_Ω|r

f✏|2dx =

Z

Ω|r

f✏|2dx+

Z

Rn_\_Ω|r

w_|2dx+

Z

Rn_\_Ω|r

f✏|2dx−

Z

Rn_\_Ω|r

w_|2dx.

Uma vez que

Z

Rn_\_Ω|r

w|2_dx₌_|_C

f|2Cap(Ω), temos,

Z

Rn|r

f✏|2dx=

Z

Ω|r

f✏|2dx+|Cf|2Cap(Ω) +

Z

Rn_\_Ω

(|rf✏|2− |rw|2)dx. Desde que

rf✏(x) = −

(n₋2)

(✏2₊_|_x_|2₎n/2xe rw(x) =

−Cf(n−2)Rn−2

|x|n x, segue que

|rf✏(x)_|2 = (n−2)

2

(✏2₊_|_x_|2₎n|x|

2 _e

|rw(x)_|2 = (n−2)

2_|_C

f|2R2(n−2)

|x_|2n |x|

2_.

Sendo assim,

|rf✏|2− |rw|2 =

✓

1

(✏2₊_|_x_|2₎n −

|Cf|2R2(n−2)

|x_|2n

◆

(n₋2)2_|x_|2.

Ent˜ao, fixadox em Ω e fazendo✏_!0 temos

|rf✏(x)_|2_{− |r}w(x)_|2 _!

✓

1

|x|2n −

|Cf|2R2(n−2)

|x|2n

◆

(n₋2)2_|x_|2

=

✓

1− |Cf|2R2(n−2)

|x_|2n−2

◆