Dinâmica dos Sistemas Biológicos e Fisiológicos

Trabalho

4

Espaço de Estados

Dinâmica dos Sistemas

Biológicos e Fisiológicos

Engenharia Biomédica

Aulas práticas

António Dourado/Jorge Henriques

AD/JH ₁

1. Introdução ... 2

2. Absorção de Fármaco... 2

2.1. Modelo... 2

2.2. Trabalho... 2

3. Relação glucose insulina ... 3

AD/JH ₂

1. Introdução

Neste trabalho pretende-se efectuar o estudo da representação de sistemas no Espaço de Estados e Curvas de Fase. São objectivos específicos do trabalho:

ƒ

ƒ

ƒ

ƒ Linearização

2. Absorção de Fármaco

2.1. Modelo

No trabalho 2 estudou-se o modelo de absorção de um fármaco.

O modelo obtido, pode ser definido pela seguinte equação de estado:

1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 ( ) 0 ( ) dx k k x dt _{u t} x dx k k k dt ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ _{⎡− ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤} ⎢ ⎥_{= ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ _{− +} ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{⎢⎣ ⎥ ⎣ ⎦⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2.2. Trabalho

Admita que é a concentração do fármaco na corrente sanguínea (x2) que quer observar, sendo por isso a saída do sistema.

AD/JH ₃

b) Para k1=0,1mg/min/mg e k2=0,01 mg/min/mg resolva a equação de estado e a

equação de saída, usando a transformada de Laplace, pondo em evidência a saída devida às condições iniciais e a saída devida à entrada.

c) Analise a propriedade de estabilidade do sistema e trace as suas curvas de fase,

com ajuda do PPLANE6.

3. Relação glucose insulina

3.1. Modelo

Considere-se a inter relação entre a glucose no sangue e a insulina. O modelo seguinte é considerado o modelo mínimo mais aceite (Marmarelis, p. 21)

1 2 3 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] b b dG t p G t G X t G t dt dX t p X t p I t I dt = − − − = − + −

composto por duas equações diferenciais não lineares (devido ao produto X(t)G(t), uma bilinearidade).

ƒ G(t) ≡ concentração da glucose no plasma, mg/dl ƒ X(t) ≡ é a acção da insulina (min−1₎

ƒ I(t) ≡ é a concentração da insulina no plasma (µU/ml)

ƒ Gb ≡ é a concentração de glucose no plasma em estado basal, mg/dl ƒ p1 e p2 ≡ parâmetros característicos descritivos da cinética da acção da

glucose e da insulina, em _min−1

ƒ p3 ≡ parâmetro que descreve a influência moduladora da acção da

insulina na dinâmica da absorção da glucose, _min−2_ml/µU

AD/JH ₄ da insulina SI=p3/p2 (ml _min−1_{/µU) são muito utilizados para fins clínicos.}

Valores característicos dos parâmetros: p1=0,023

p2=0,033 p3=1.783.10-5 Gb=80,25

3.2. Trabalho

Admitindo que entrada do modelo é I(t)-Ib e a saída é G(t).

a) definindo as variáveis de estado x1==X(t), x2==G(t) escreva a equação de

estado e de saída do sistema )(não linear).

b) considere uma entrada constante u=1. Calcule o(s) estados de equilíbrio do

sistema.

c) Com o programa PPLANE6 trace as curvas de fase do sistema para

ƒ i) u=0

ƒ ii) u=1

d) Linearize o sistema em torno o estado de equilíbrio e analise a sua estabilidade.

4. Contaminação de população

4.1. Modelo

Numa certa população coexistem duas doenças que competem uma com a outra. Sejam

ƒ S ≡ fracção da população saudável e portanto susceptível a qualquer uma

das doenças (um indivíduo não pode ter as duas simultaneamente)

AD/JH ₅ As equações diferencias que descrevem a evolução dessas três categorias da população são 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 dS I S I S I I dt dI I S I I I dt dI I S I I I dt µ µ δ δ µ δ γ µ δ γ = − − + + = − − = − + 4.2. Trabalho

a) Interprete as equações diferenciais. Qual o significado da constante?

b) A soma das fracções será necessariamente S+I1+I2 =1. Por isso as três

variáveis não são independentes. Reduza as três equações a duas, tendo em conta esse facto.

c) Considere a situação γ=0. Analise o que acontece. Para isso implemente o modelo em Simulink. Admita que γ1=γ2=δ1=δ2=0.5. Trace as curvas de fase, com o PPlane6.

Faça um estudo dos pontos singulares do sistema, em função dos parâmetros do modelo. Procure conjuntos dos seus valores que permitam obter um regime permanente, estável, com coexistência das duas doenças numa fracção não nula da população (isto é, uma singularidade estável com ambas as coordenadas não nulas e positivas).

5. Referência