TC MECÂNICA DOS SOLOS FLUXO BIDIMENSIONAL

(1)

TC 035 - MECÂNICA DOS SOLOS

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO

BIDIMENSIONAL

(2)

TC 035 - MECÂNICA DOS SOLOS PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

INTRODUÇÃO

➡ FLUXO UNIDIMENSIONAL

Fluxo d’água com direção constante

- Areia uniforme → gradiente constante em qualquer ponto

- Exemplo: permeâmetros

Fluxo d’água em qualquer direção 

- Migração de água para um poço ou cava

- Barragens em vales fechados

➡ FLUXO TRIDIDIMENSIONAL

(3)

➡ FLUXO BIDIMENSIONAL

FLUXO BIDIMENSIONAL

INTRODUÇÃO

SLIDES 03 / AULA 06 – Fluxo Bidimensional

GEOTECNIA II – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Introdução

Fluxo Bidimensional

Fluxo segue caminhos em planos paralelos Obras lineares

Barragens em vales abertos Valas, canais

Estudo de redes de fluxo

3

(4)

➡ FLUXO BIDIMENSIONAL

FLUXO BIDIMENSIONAL

INTRODUÇÃO

Introdução

Fluxo Bidimensional

A rede de fluxo é a solução gráfica da Equação de Laplace, composta de dois grupos de curvas perpendiculares entre si, formando quadrados curvilíneos.

4

2

0

2 2

2

y h x

h

(5)

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

Redes de fluxo

Sistema utilizado no estudo da percolação de água em solos

Representa o caminho percorrido pela água e a correspondente dissipação de carga

5

LINHAS DE FLUXO

LINHAS

EQUIPOTENCIAIS

Linhas espaçadas igualmente que

determinam canais de fluxo de igual vazão

Regiões que possuem o mesmo potencial e linhas

de igual carga total

(6)

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

Redes de fluxo

6

É conveniente que sejam formados quadrados

Escolher o número de linhas de fluxo e de equipotenciais para tal

Definições

Número de canais de fluxo: N

_F

Número de faixas de perda de potencial: N

_D

Dimensões de um quadrado genérico

b: largura do canal de fluxo

l: distância entre equipotenciais

Obs.: N

_F

e N

_D

não precisam ser inteiros

(7)

Redes de fluxo

Linhas equipotenciais são desenhadas com o mesmo espaçamento

Portanto, tem-se variações de carga sempre iguais entre equipotenciais (conveniente)

7 D

F

D D

D

N h N

k Q

N k h N b

l k h q

N l

h l

i h

N h h

: total Vazão

: elemento por

Vazão

: Gradiente

: potencial por

carga de

Perda

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

(8)

Rede de fluxo unidimensional

8

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ FLUXO UNIDIMENSIONAL

(9)

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ FLUXO UNIDIMENSIONAL

Rede de fluxo unidimensional

Pela rede de fluxo

N

_F

= 4; N

_D

= 6 b = l = 2cm

10

cm s

N cm h N

k Q

cm s

cm N b

l k h q

N l

h l

i h

N cm h h

D F

D D

D

/ / 2

, 6 0

6 4 05 , 0

: total Vazão

/ / 05

, 0 6 2

2 05 6

, 0

: elemento por

Vazão

5 , 2 0

1 : Gradiente

6 1 : 6

potencial por

carga de

Perda

3

(10)

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ FLUXO BIDIMENSIONAL

Rede de fluxo bidimensional

Mesmos princípios

Canais de igual vazão

Zonas de igual variação de potencial

Exemplo: “permeâmetro curvo”

Linhas de fluxo

Linha AC: i = 6/12 = 0,5 Linha BD: i = 6/24 = 0,25

Demais linhas serão círculos concêntricos

11

(11)

Rede de fluxo bidimensional

Fato 1 : Gradientes variam.

Fato 2: Vazões devem ser iguais em todos os canais.

Conclusão: velocidades de percolação menores nos

canais externos (menor gradiente)

Fato 1: Canais de igual vazão.

Fato 2: velocidade menor.

Conclusão: canais externos devem ser maiores

12

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ FLUXO BIDIMENSIONAL

(12)

Rede de fluxo bidimensional

14

Escolha das linhas de fluxo

É útil ter figuras aproximadamente quadradas Primeiro se escolhe a quantidades de

equipotenciais (no exemplo: 12)

Na linha AC as equipotenciais surgem a cada 1 cm

Portanto, o primeiro canal de fluxo deve possuir largura de aproximadamente 1 cm

A medida que se afasta, a largura dos canais deve aumentar

Toma-se a distância média entre equipotenciais (ver figura)

Esta construção leva a um último canal fracionário (70% do comprimento que o faria “quadrado”)

l b k h q

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ FLUXO BIDIMENSIONAL

(13)

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ PERCOLAÇÃO SOB PRANCHADA

Rede de fluxo bidimensional

Percolação sob estacas-prancha (pranchada)

15

(14)

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ PERCOLAÇÃO SOB PRANCHADA

!

A figura mostra uma rede de fluxo em uma camada de areia, sendo o nível de água rebaixado em um dos lados por bombeamento

!

Área inferior disponível para passagem de água é menor que a área superior por onde a água infiltra

SLIDES 03 / AULA 06 –Fluxo Bidimensional GEOTECNIA II –Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Rede de fluxo bidimensional

Percolação sob estacas-prancha (pranchada)

15

!

Portanto, canais de fluxo devem

ter largura reduzida conforme se

aproximam da passagem por

baixo das estacas-prancha

(15)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ PERCOLAÇÃO SOB PRANCHADA

Rede de fluxo bidimensional

Canais se estreitam

Vazão deve ser constante Logo, gradiente deve

aumentar

Mas Δh é constante

Logo, a distância entre equipotenciais deve

diminuir

Examinar equação

17

l b k h

q

(16)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

Rede de fluxo bidimensional

A fluxo entre equipotenciais pode ser analisado de forma análoga à distância

percorrida por uma esfera em uma superfície inclinada

Em solos isotrópicos o fluxo segue o caminho de maior gradiente

Em uma superfície a esfera rolará até a cota mais baixa pelo caminho mais íngreme (que é normal às curvas de nível)

Portanto: linhas de fluxo são normais às equipotenciais

18

(17)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

Exemplo

Calcular a vazão que passa pela fundação

19

➡ ^EXEMPLO

- Calcular a vazão total que passa pela fundação:

SLIDES 03 / AULA 06 –Fluxo Bidimensional GEOTECNIA II –Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Redes de fluxo

Linhas equipotenciais são desenhadas com o mesmo espaçamento

Portanto, tem-se variações de carga sempre iguais entre equipotenciais (conveniente)

7 D

F

D D

D

N h N k Q

N k h N b

l k h q

N l

h l

i h

N h h

: total Vazão

: elemento por

Vazão

: Gradiente

: potencial por

carga de

Perda

(18)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

Exemplo

Calcular a vazão que passa pela fundação

19

➡ ^EXEMPLO

- Calcular a vazão total que passa pela fundação:

Redes de fluxo

Linhas equipotenciais são desenhadas com o mesmo espaçamento

Portanto, tem-se variações de carga sempre iguais entre equipotenciais (conveniente)

7 D

F

D D

D

N h N

k Q

N k h

N b l

k h q

N l

h l

i h

N h h

: total Vazão

: elemento por

Vazão

: Gradiente

: potencial por

carga de

Perda

Exemplo

Calcular a vazão que passa pela fundação

20

D F

t

N

h N k

q 8

0 4 , 1 7

, 3 10

⁴

q q 1 , 35 10

⁴

m ³ / s / m

Exemplo

Calcular a vazão que passa pela fundação

20

D F

t

N

h N k

q 8

0 4 , 1 7

, 3 10

⁴

q q 1 , 35 10

⁴

m ³ / s / m

Rede de fluxo unidimensional

Pela rede de fluxo

N _F = 4; N _D = 6 b = l = 2cm

10

cm s

N cm h N

k Q

cm s

cm N b

l k h q

N l

h l

i h

N cm h h

D F

D D

D

/ /

2 , 6 0

6 4 05

, 0

: total Vazão

/ /

05 ,

0 6 2

2 05 6

, 0

: elemento por

Vazão

5 , 2 0

1 : Gradiente

6 1 : 6

potencial por

carga de

Perda

3

Exemplo

Calcular a vazão que passa pela fundação

20

D F t

N h N

k

q 8

0 4 , 1 7

, 3 10

⁴

q q 1 , 35 10

⁴

m ³ / s / m

Rede de fluxo unidimensional

Pela rede de fluxo

N _F = 4; N _D = 6 b = l = 2cm

10

cm s

N cm h N

k Q

cm s

cm N b

l k h q

N l

h l

i h

N cm h h

D F

D D

D

/ /

2 , 6 0

6 4 05

, 0

: total Vazão

/ /

05 ,

0 6 2

2 05 6

, 0

: elemento por

Vazão

5 , 2 0

1 : Gradiente

6 1 : 6

potencial por

carga de

Perda

3

(19)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

TIPOS DE FLUXO

➡ FLUXO CONFINADO

SLIDES 04 / AULA 07 – Traçado de redes de fluxo GEOTECNIA II – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Tipos de fluxo

Fluxo confinado

Quando se tem todas as condições de contorno conhecidas para o fluxo

Percolação sob barragem de concreto

2

(20)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

TIPOS DE FLUXO

➡ FLUXO NÃO-CONFINADO

Tipos de fluxo

Fluxo não-confinado

Quando não se tem todas as condições de contorno conhecidas para o fluxo

Percolação através de barragem de terra

3

(21)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

MÉTODOS DE TRAÇADO DE REDE DE FLUXO

SLIDES 04 / AULA 07 – Traçado de redes de fluxo GEOTECNIA II – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Traçado de redes de fluxo

Métodos de análise de percolação

Construção gráfica Analogia elétrica

Modelagem numérica Modelos físicos

4

(22)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

MÉTODOS DE TRAÇADO DE REDE DE FLUXO

➡ CONSTRUÇÃO GRÁFICA

-

Feita por tentativas a partir da definição de linhas

limites (contornos) e das regras já comentadas

-

Recomendações:

• Estudar redes de fluxo previamente construídas  

• Tentar reproduzir sem olhar o desenho original  

• Traçado de nova rede: 3 ou 4 canais na primeira tentativa  

• Observar a rede como um todo  

• Fazer transições suaves

(23)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

MÉTODOS DE TRAÇADO DE REDE DE FLUXO

➡ CONSTRUÇÃO GRÁFICA

Traçado de redes de fluxo

Fluxo confinado

6

(24)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

MÉTODOS DE TRAÇADO DE REDE DE FLUXO

➡ CONSTRUÇÃO GRÁFICA

SLIDES 04 / AULA 07 – Traçado de redes de fluxo GEOTECNIA II – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Traçado de redes de fluxo

11

Fluxo não confinado

(25)

SLIDES 04 / AULA 07 – Traçado de redes de fluxo GEOTECNIA II – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Traçado de redes de fluxo

Analogia elétrica

18

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

MÉTODOS DE TRAÇADO DE REDE DE FLUXO

➡ ANALOGIA ELÉTRICA

SLIDES 04 / AULA 07 –Traçado de redes de fluxo GEOTECNIA II –Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Traçado de redes de fluxo

Analogia elétrica

17

voltagem = carga hidráulica

condutividade elétrica = permeabilidade corrente elétrica = vazão

(26)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

MÉTODOS DE TRAÇADO DE REDE DE FLUXO

➡ MODELAGEM NUMÉRICA

Traçado de redes de fluxo

Modelagem numérica

15

Ortigão (2007)

Traçado de redes de fluxo

Modelagem numérica

16

Ortigão (2007)

Traçado de redes de fluxo

Modelagem numérica

16

Ortigão (2007)

(27)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

MÉTODOS DE TRAÇADO DE REDE DE FLUXO

➡ MODELOS FÍSICOS

(28)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

MÉTODOS DE TRAÇADO DE REDE DE FLUXO

➡ MODELOS FÍSICOS

Traçado de redes de fluxo

Modelos Físicos

13

Gitirana Jr. (2009)

Traçado de redes de fluxo

Modelos Físicos

13

Gitirana Jr. (2009)

(29)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ ^EXEMPLO

Dada a rede de fluxo obtida para uma barragem de concreto, pede-se:

 

- Calcular a vazão total;

 

- Para os pontos A, B, C e D, determinar:

- Gradiente;

 

- Carga altimétrica, piezométrica e total;

-

Poropressão.

Dado: k = 10^-4m/s

(30)

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ ^EXEMPLO

Interpretação de redes de fluxo

Exemplo

20

(31)

Interpretação de redes de fluxo

Exemplo

20

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ ^EXEMPLO - Calcular a vazão total

Redes de fluxo

Linhas equipotenciais são desenhadas com o mesmo espaçamento

Portanto, tem-se variações de carga sempre iguais entre equipotenciais (conveniente)

7 D

F

D D

D

N h N

k Q

N k h N b

l k h q

N l

h l

i h

N h h

: total Vazão

: elemento por

Vazão

: Gradiente

: potencial por

carga de

Perda

-

5 canais de fluxo: N

F

-

14 faixas de perda de potencial: N

D

-

k = 10-4 m/s

-

h = 15,4 m

q = 5,5 x 10

^-4

m

³

/s —> por metro de comprimento da barragem

(32)

Interpretação de redes de fluxo

Exemplo

20

PROF. ELAINE SOUZA

FLUXO BIDIMENSIONAL

REDE DE FLUXO

➡ ^EXEMPLO

-

Δh = 15,4m

-

N

D

= 14

-

l = distância entre equipotencias perda de carga entre equipotenciais = 15,4 / 14 = 1,1m

gradiente variável: dividir por “l"

- Gradiente

Redes de fluxo

Linhas equipotenciais são desenhadas com o mesmo espaçamento

Portanto, tem-se variações de carga sempre iguais entre equipotenciais (conveniente)

7 D

F

D D

D

N h N

k Q

N k h N b

l k h q

N l

h l

i h

N h h

: total Vazão

: elemento por

Vazão

: Gradiente

: potencial por

carga de

Perda