Sob hipotese H0 temos b − β s.e.(b

Introdução em Probabilidade e Estatística II

Lista 9

Exercicio 1

ˆ

y = 95.3 + 2.53t

(a) Dê a interpretação do resultado. O coeciente a tem uma interpretação signicada?

Resolução:

O termo 2.53 (coeciente de inclinação) signica que cada ano o gasto em alimento aumenta 2.53 bilhões com respeito do ano anterior. O termo a = 95.3 pode-se interpretar como o ano base do modelo.

(b) Supomos que erro padrão de coeciente de inclinação é de 0.15. Com 1% de nível de signicância pode-se armar que dependência de tempo é insignicante?

Resolução:

Como o problema nao fala o tamanho da amostra, vamos supor que amostra e do ano 1959 até o 2013, isto é, N = 55. Erro padrão de coeciente de inclinação: 0.15

Se α = 1%. Estamos interesados em testar as hipotese:

H₀: β = 0 A: β 6= 0. Sob hipotese H₀ temos

b − β

s.e.(b) = 2.53

0.15 = 16.8667 ∼ t₅₃. Logo

0.99 = P(−t_53,99% < t < t_53,99%) ⇒ t_53,99% ≈ 2.665.

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Então a região crítica será RC = (∞,−2.665]∪[2.665,∞). Como t( ˆβ) = 16.8667 ∈ RC então rejeitamos a hipotese H₀, isto é, a dependência do tempo é signicativa.

(c) Em condições de item anterior, pode-se armar a hipótese que cada ano durante período estudado o aumento de gastos em alimentos é de 3 biliões de dólares, em média?

Resolução:

Erro padrão de coeciente de inclinação: 0.15

Se α = 1%. Estamos interesados em testar as hipotese:

H₀: β = 3 A: β 6= 3. Sob hipotese H₀ temos

b − β

s.e.(b) = 2.53 − 3

0.15 = −3.1333 ∼ t₅₃. Logo

0.99 = P(−t_53,99% < t < t_53,99%) ⇒ t_53,99% ≈ 2.665.

Então a região crítica será RC = (∞,−2.665]∪[2.665,∞). Como t( ˆβ) = −3.1333 ∈ RC então rejeitamos a hipotese H₀, isto é, existe evidencia na amostra que o aumento de gastos em alimentos nao é de 3 bilhões de dolares.

Exercicio 2

y = 369 + 116.8x (190) (17.1)

(a) Hipótese que o coeciente α é igual à 500 pode ser aceita com o nível de signicância de 5%?

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Resolução:

Tamanho da amostra N = 20.

Erro padrão de coeciente α : 190

O nivel de signicância é α = 5%. Estamos interesados em testar as hipotese:

H₀: α = 500 A: α 6= 500. Sob hipotese H₀ temos

a − α

s.e.(a) = 369 − 500

190 = −0.6895 ∼ t₁₈. Logo

0.95 = P(−t_18,95% < t < t_18,95%) ⇒ t_18,95% ≈ 2.101.

Então a região crítica será RC = (∞,−2.101]∪[2.101,∞). Como t( ˆα) = −0.6895 ∈/ RC então aceitamos a hipotese H₀.

(b) A hipótese que o coeciente de inclinação é igual à 100 pode ser aceita com o nível de signicância de 5%?

Resolução:

Tamanho da amostra N = 20.

Erro padrão de coeciente β : 17.1

O nivel de signicância é α = 5%. Estamos interesados em testar as hipotese:

H₀: β = 100 A: β 6= 500. Sob hipotese H₀ temos

b − β

s.e.(b) = 116.8 − 100

17.1 = 0.9825 ∼ t₁₈. Logo

0.95 = P(−t_18,95% < t < t_18,95%) ⇒ t_18,95% ≈ 2.101.

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Então a região crítica será RC = (∞,−2.101]∪[2.101,∞). Como t( ˆβ) = 0.9825 ∈/ RC então aceitamos a hipotese H₀. (c) Construir o 99% intervalo de conança para coeciente de

inclinação.

Resolução:

IC_99% = b ± t_18,99%s.e.(b).

Usando o nivel de signicância α = 1% calculamos t_18,99%: 0.99 = P(−t_18,99% < t < t_18,99%) ⇒ t_18,99% ≈ 2.878.

Portanto

IC_99% = 116.8 ± 2.878 · 17.1 = 116.8 ± 49.2138.

(d) Sabendo que V ar(x) = 33.25 achar covariância amostral entre x e y.

Resolução:

b = cov(x, y)

V ar(x) ⇒ cov(x, y) = b · V ar(x), assim cov(x, y) = 116.8 · 33.35 = 3883.6.

(e) Sabendo que V ar(x) = 33.25 achar a variância amostral s²_e.

Resolução:

s.e.(b) = s

s²_e

nV ar(x) ⇒ s²_e = nV ar(x)(s.e.(b))², assim s²_e = 20 · 33.25 · (17.1)² = 194452.65.

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Exercicio 3

(1) lny = 1.2 + 0.55 ln x R² = 0.98 (0.11) (0.02)

(2) lny = −3.48 + 1.23 ln x R² = 0.99 (0.16) (0.02)

(a) Dar interpretação adequada para coecientes. Qual inter- pretação você daria para coeciente intercepto?

Resolução:

Tamanho da amostra N = 25. Caso (1)

Transformando pela função potência temos y = 3, 32x^0.55

esse resultado sugere que elasticidade de gastos agregados em moradia em relacão á renda individual é 0.55, o que signica que aumento em 1% de salario leva ao aumento de gastos agregados em moradia em 0.55%.

Fator multiplicativo 3.32 não tem a interpretação direta.

Esse valor ajuda prever

o valor de y quando valor do x é dado.

Caso (2)

Transformando pela função potência temos y = 0, 031x^1.23

esse resultado sugere que elasticidade de gastos agregados em moradia em relacão á renda individual é 1.23, o que

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signica que aumento em 1% de salario leva ao aumento de gastos agregados em moradia em 1.23%.

Fator multiplicativo 0.31 não tem a interpretação direta.

Esse valor ajuda prever o valor de y quando valor do x é dado.

(b) Como obter o valor de elasticidade em relação a renda em dois casos? Efetuar testes estatísticos adequados e calcular o intervalo de conança de 95% para elasticidades em dois casos.

Resolução:

Elas = dy/y dx/x. Caso (1): Elas = 0.55

Tamanho da amostra N = 25. O nivel de signicância é α = 5%.

IC_95% = b ± t_23,95%s.e.(b).

Usando o nivel de signicância α = 5% calculamos t_18,95%: 0.95 = P(−t_18,95% < t < t_18,95%) ⇒ t_18,95% ≈ 2.069.

Portanto

IC_95% = 0.55 ± 2.069 · 0.02 = 0.55 ± 0,04138.

O nivel de signicância é α = 5%. Estamos interesados em testar as hipotese:

H₀: β = 0 A: β 6= 0. 6

Sob hipotese H₀ temos b − β

s.e.(b) = 0.55

0.02 = 27.5 ∼ t₂₃.

Logo Então a região crítica será RC = (∞, −2.069] ∪ [2.069,∞). Como t( ˆβ) = 27.5 ∈ RC então rejeitamos a hipotese H₀.

Caso (2): Elas = 1.23

Tamanho da amostra N = 25. O nivel de signicância é α = 5%.

IC_95% = b ± t_23,95%s.e.(b).

Usando o nivel de signicância α = 5% calculamos t_18,95%: 0.95 = P(−t_18,95% < t < t_18,95%) ⇒ t_18,95% ≈ 2.069.

Portanto

IC_95% = 1.23 ± 2.069 · 0.02 = 1.23 ± 0,04138.

O nivel de signicância é α = 5%. Estamos interesados em testar as hipotese:

H₀: β = 0 A: β 6= 0. Sob hipotese H₀ temos

b − β

s.e.(b) = 1.23

0.02 = 61.5 ∼ t₂₃.

Logo Então a região crítica será RC = (∞, −2.069] ∪ [2.069,∞). Como t( ˆβ) = 61.5 ∈ RC então rejeitamos a hipotese H₀.

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Exercicio 4

(1)house = −27.6 + 0.178dpi (3.4) (0.004) (2)house = 48.9 + 4.84t

(1.5) (0.10)

(a) Hipótese que o coeciente α é igual à 500 pode ser aceita com o nível de signicância de 5%?

Resolução:

Tamanho da amostra N = 25.

O nivel de signicância é α = 5%. Estamos interesados em testar as hipotese:

H₀: β = 0 A: β 6= 0. Caso (1)

Sob hipotese H₀ temos b − β

s.e.(b) = 0.178

0.004 = 44.5 ∼ t₂₃. Logo

0.95 = P(−t_23,95% < t < t_23,95%) ⇒ t_23,95% ≈ 2.069.

Então a região crítica será RC = (∞,−2.069]∪[2.069,∞). Como t( ˆβ) = 44.5 ∈ RC então rejeitamos a hipotese H₀. Caso (2)

Sob hipotese H₀ temos b − β

s.e.(b) = 4.84

0.10 = 48.4 ∼ t₂₃. 8

Logo

0.95 = P(−t_23,95% < t < t_23,95%) ⇒ t_23,95% ≈ 2.069.

Então a região crítica será RC = (∞,−2.069]∪[2.069,∞). Como t( ˆβ) = 48.4 ∈ RC então rejeitamos a hipotese H₀. (b) Alguém acha que mais de que 10% de salário líquido gasta-

se em serviços de moradia. Teste este hipótese. Formule hipótese nula e alternativa.

Resolução:

(1)house = −27.6 + 0.178dpi (3.4) (0.004) Tamanho da amostra N = 25.

O nivel de signicância é α = 5%. Estamos interesados em testar as hipotese:

H₀: β = 0.10 A: β 6= 0.10. Sob hipotese H₀ temos

b − β

s.e.(b) = 0.178 − 0.1

0.004 = 19.5 ∼ t₂₃. Logo

0.95 = P(−t_23,95% < t < t_23,95%) ⇒ t_23,95% ≈ 2.069.

Então a região crítica será RC = (∞,−2.069]∪[2.069,∞). Como t( ˆβ) = 19.5 ∈ RC então rejeitamos a hipotese H₀.

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