É hora de observar e refletir

(1)

TRACEY WHITEFOOT/ALAMY/FOTOARENA

É hora de observar e refletir

À beira do rio Tâmisa, em Londres, foi construída a London Eye, também conhecida como Millennium Wheel (Roda do Milênio). Trata-se de uma roda-gigante composta de 32 cabines que faz a volta completa em 30 minutos. Essa atração turística recebe uma média de 15 000 visitantes por dia.

Com base na marcação feita na imagem, responda às questões.

O ângulo aV cabe quantas vezes no ângulo bV ?

Com um transferidor, determine a medida dos ângulos aV e bV indicados na figura. Os ângulos aV e bV juntos formam um ângulo reto, agudo ou obtuso?

CAPÍTULO

Retas e ângulos

3

56

aU mede 80º e bV mede 10°; ângulo reto 8

A London Eye é uma roda-gigante de observação.

As cabines envidraçadas permitem visão panorâmica da metrópole, Londres (Inglaterra), 2016.

bW

aW

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Objetivos

• Construir retas paralelas usando régua e esquadro.

• Identificar ângulos nulos, rasos, de meia-volta e uma volta.

• Medir e construir ângulos utilizando um transferidor e o par de esquadros.

• Efetuar transformações de unidade de medidas de ângulos.

• Identificar e construir com régua e compasso ângulos congruentes a um ângulo dado.

• Identificar ângulos adjacentes, complementares e suplementares.

• Identificar ângulos opostos pelo vértice e compreender suas propriedades.

• Identificar e relacionar ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Habilidades da BNCC

• Este capítulo foi planeja- do para favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA23 da BNCC.

• Neste capítulo, vamos rever e aprofundar alguns conceitos relacionados às retas, ângulo, resolver problemas envolvendo ângulos complementares, suplementares e opostos pelo vértice, além de verificar algumas relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

É hora de observar e refletir

• Com base na foto de abertura, peça aos alunos que indiquem os elementos de um ângulo. Os diversos aros que compõem a roda-gigante dão a ideia de um conjun- to de ângulos que, juntos, formam um ângulo de volta inteira (360º).

• Na primeira questão, a ideia é que os alunos não utilizem ainda o transferidor, mas sim que observem a posição das semirretas dos ângulos em relação à roda- -gigante.

EF07MA23: Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(2)

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

57

Destaque do ângulo formado por uma

das asas do avião em relação à fuselagem. O ângulo destacado indica um giro do avião em relação à linha do horizonte.

Com seus colegas, observe o ângulo destacado em cada foto.

Na foto acima, o destaque mostra o ângulo formado pela inclinação do avião em relação à pista do aeroporto.

Neste capítulo, vamos estudar as retas e os ângulos, retomando definições e relações já vistos em anos anteriores e conhecendo as relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Como podemos representar a linha do horizonte?

Entre os ângulos destacados, qual ângulo é obtuso?

Se o avião estivesse com as asas paralelas à linha do horizonte, qual seria a medida do ângulo cU?

FOTO: MASUTI/SHUTTERSTOCK. ILUSTRAÇÃO: LUIZ RUBIOFOTO: R. GINO SANTA MARIA/SHUTTERSTOCK. ILUSTRAÇÃO: LUIZ RUBIO

FOTO: COSTAZZURRA/SHUTTERSTOCK. ILUSTRAÇÃO: LUIZ RUBIO

Trocando ideias

bW

cU aW

por uma reta

0°

bV

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Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

Trocando ideias

• Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assun- tos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Suge- rimos explorá-la oralmente;

se achar necessário, so- licite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 1 e 2.

• Sonde o conhecimento prévio dos alunos no que se refere à classificação de ân- gulos quanto à sua medida (reto, agudo e obtuso) e se já apresentam familiaridade com o uso do transferidor.

Esse conhecimento é muito importante para o planeja- mento das próximas aulas.

• É fundamental que, em diversas situações, os alunos sejam incentivados a observar ângulos, como nos diversos objetos que fazem parte do dia a dia deles (carteiras, livros, te- souras etc.)

Sugestão de atividade

• Para rever os conceitos relacionados ao conteúdo sobre ângulos, escreva no quadro de giz as classifica- ções dos ângulos quanto às medidas e peça aos alunos que as expliquem. Coloque os termos: ângulo nulo, agudo, obtuso, ângulo reto, ân- gulo raso e ângulo de uma volta, que foram objetos de estudo nos anos anteriores.

(3)

58

B A

r O

B A

B

A r2

r1

O

A r1

O

B O

r2

Fita usada na prática do slackline.

reta r ou AB

Observe abaixo a representação de uma reta r. Ela é formada por infinitos pontos distintos, entre os quais destacamos os pontos A e B.

Os pontos A e B pertencem à reta r .

Semirreta e segmento de reta

Considere a reta r e os pontos A, B e O indicados:

O ponto O divide a reta r em duas semirretas, r₁ e r₂, de origem em O, que passam pelos pontos A e B, respectivamente. A reta r é chamada de reta suporte das semirretas r₁ e r₂.

ALEX KOCH/ALAMY/ FOTOARENA

Uma fita bem esticada lembra parte de uma reta.

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

r₂: semirreta de origem O que passa pelo ponto B. Também podemos indicar como: OB (lemos: “semirreta OB ”).

r₁: semirreta de origem O que passa pelo ponto A. Também podemos indicar como: OA (lemos: “semirreta OA”).

Retas

1

r

• Para o desenvolvimento deste capítulo, é essencial que sempre estejam dispo- níveis réguas, transferido- res, esquadros e compassos, se possível, em quantidade suficiente, pois são propos- tas diversas atividades que utilizam esses materiais.

É importante também jus- tificar as construções re- alizadas à luz dos conceitos trabalhados, pois isso poderá ajudar os alunos a atribuir significado aos procedimentos que devem ser seguidos em cada uma das construções.

• Oriente os alunos a verificar se o compasso a ser usado está com a ponta adequada. A ponta do gra- fite (ponta molhada) deve estar paralela à ponta- -seca, com o chanfro para fora. O chanfro, por sua vez, pode ser feito com uma lixa de unha. Esse cuidado garante um traçado mais eficiente, minimizando as dificuldades apresentadas pelos alunos no uso desse material.

• Comente com os alunos que dentre as notações utili- zadas para a reta r, podería- mos também incluir BA.

• No item “Semirreta e segmento de reta”, comente com os alunos sobre todas as semirretas que poderíamos formar, de maneira a inten- sificar o uso das notações.

(4)

59 Mercado Ver-o-Peso

Travessa Sete-de-Setembr

o Travessa Padr

e Eutíquio Travessa Campos Sales

Travessa Frutuoso GuimarãesTravessa Padr

e Prudêncio

Travessa Piedade R. Tiradentes

Av. Pres. V argas R. Ferr

eira Cantão

Av. Assis de V

asconcelos R. Aristídes Lobo

R. Oswaldo Cruz R. O de Almeida

R. Sen. Manoel Barata R. Gaspar V

iana

Av. Mal. HermesAv. Castilho Franca

R. Santo Antônio

R. Vinte e Oito

Av. Portugal

R. T reze de Maio

Travessa São Francisco

Segmento de reta de extremidades A e B AB` j.

B

A r

B A

s r α r

O s

α

Considere, novamente, a reta r e os pontos A e B, distintos, pertencentes a r :

Chamamos de segmento de reta a parte da reta compreendida entre dois de seus pontos, incluindo esses pontos. Denominamos, nesse caso, os pontos A e B de extremidades de AB (lemos: “segmento de reta AB ”). A reta r é chamada de reta suporte desse segmento.

As ruas de uma cidade podem lembrar retas paralelas ou retas concorrentes. Observe a imagem captada por um satélite de parte do município de Belém (PA), situada na região Norte do Brasil, em 2018. Você consegue identificar ruas que são paralelas em alguns trechos? E ruas que se cruzam? Resposta pessoal.

Posições relativas entre duas retas

Duas ou mais retas contidas em um mesmo plano podem ser classificadas em:

retas paralelas — quando não possuem pontos em comum;

Indica-se: r /s

(lemos: “r é paralela a s”).

retas concorrentes — quando possuem um único ponto em comum.

59

DIGITALGLOBE/GOOGLE EARTH PRO 2018

Lembre-se:

Não escreva no livro!

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• Explique aos alunos que po- deríamos usar a notação BA para o mesmo segmento AB.

• Se julgar pertinente, comente sobre a existência de retas reversas, para convidá-los a pensar em retas que estejam em planos diferentes.

(5)

60

Faça as atividades no caderno.

ATIVIDADES

r

s r

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

r

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Construção de retas paralelas com régua e esquadro

Observe como podemos construir retas paralelas usando uma régua e um esquadro.

LUIZ RUBIO

α

O P

M N

a b

c d

e

2 Desenhe, no caderno, uma reta r e um ponto P externo a essa reta. Com uma régua e um esquadro, trace uma reta s paralela à r pelo ponto P.

3 Desenhe, no caderno, uma reta r e, com um compasso, trace uma reta s paralela à r.

Observe a figura e identifique no caderno:

a) dois pares de retas paralelas;

b) dois pares de retas concorrentes.

1 Na figura abaixo, as retas a, b, c e d são retas suportes dos lados do paralelogramo MNOP.

Observação

r

s α

sinal indicativo de

ângulo reto (90°) Indica-se: r t s

(lemos: “r é perpendicular a s ”).

Retas concorrentes que formam quatro ângulos de 90° são chamadas retas perpen diculares.

r /s

a e b; c e d

Exemplo de resposta: a e c; b e e

• Comente que, na constru- ção de retas paralelas, pode- -se utilizar, além da régua e do esquadro, conforme su- gerido, o par de esquadros.

• Nas atividades, oriente os alunos a serem precisos com os traçados.

• Para resolver a atividade 2, trace a reta r e marque o ponto P externo à reta.

Apoie a régua na reta r e, com o auxílio do esquadro, encostado na régua (conforme mostra a figura do tópico “Construção de retas paralelas com régua e esquadro”), deslize o esquadro até o encontro do ponto P. Trace a nova reta que passa pelo ponto P, a qual chamaremos de s.

A reta s é paralela à reta r.

• Na atividade 3 podemos fazer o seguinte: trace uma reta r qualquer e determine um ponto A que esteja fora dessa reta.

Com a ponta-seca do compasso no ponto A, traça- mos um arco de circun- ferência que intersecte a reta r em um ponto, que chamaremos de ponto D.

Ainda com a ponta-seca do compasso, agora em D, traçamos, sem alterar a abertura do compasso, um arco de circunferência que intersecte a reta r novamente em outro ponto, que chamaremos de pon- to C. Agora, com a ponta- -seca em D e a abertura do compasso com a mesma medida do segmento AC, traçamos um novo arco de circunferência que intersecte o segmento AD em um ponto, que chamaremos de ponto B. Por fim, traça- mos a reta que passa pelos pontos A e B, que chama- remos de reta s. A reta s é paralela à r.

(6)

A

B O

A

B O

61

Traçando duas semirretas de mesma origem, determinamos, em um plano, duas regiões.

Cada uma dessas regiões, incluindo as semirretas, é chamada de ângulo. Veja:

As semirretas OA e OB de origem no ponto O e os dois ângulos.

Povos antigos, como os egípcios, babilônios, hindus e chineses, já conheciam as figuras geométricas e tinham uma noção de ângulo. Esses conhecimentos eram utilizados principal- mente na Astronomia e na Arquitetura para determinar áreas e distâncias.

Aplicações dos conceitos de ângulo estão presentes, hoje, na Engenharia Civil (na construção de estradas, rampas), nos transportes (em rotas de orientação), em máquinas, nos projetos espaciais (como em lançamento de foguetes), nas cartas geográficas (nos meridianos e paralelos da Terra), entre outros usos. Observe os exemplos a seguir, em que destacamos os ângulos em um brinquedo de parque de diversões e em uma rota de GPS no smartphone.

GUILHERME CASAGRANDI

PICTURE-ALLIANCE/ZB/AGB PHOTO LIBRARY

No cruzamento das ruas, destacamos os ângulos aV, bV_e_cU_. Barco Viking em parque de diversões na Alemanha, 2003.

Destacamos os ângulos aV e bV_.

O ângulo e seus elementos

2

Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas.

A 50 metros, vire à esquerda.

aV bV

a

b^

^ c^

50 m 170 m

Chegada: 10:08 50 km/h

Av. São José

10:02

ADILSON SECCO

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• Antes de explorar este tó- pico, é interessante deixar que os alunos tragam seus conhecimentos, uma vez que este assunto já foi par- cialmente visto no 6^o ano.

• Chame a atenção para as notações de ângulo e de semirreta. Apesar de não ser fundamental, é importante que os alunos reconheçam as diferenças. Ajude-os a perceber que para os ân- gulos é utilizada uma nota- ção de uma ou três letras, nunca duas; já para retas, segmentos de retas e semirretas, sempre duas letras.

É comum algum aluno achar que é permitido o uso de três letras para representa- ções de retas ou partes de retas.

(7)

O A B O A B

ângulo nulo ângulo de uma volta

A O B

A

O B lado

lado vértice

62

ATIVIDADES

Agora, observe dois casos em que duas semirretas de mesma origem estão contidas em uma mesma reta.

As semirretas OA OBe têm sentidos opostos. Temos um ângulo raso ou ângulo de meia-volta (180°).

d) c)

As semirretas OA OBe são coincidentes. Temos um ângulo nulo (0°) e um ângulo de uma volta (360°).

Os lados de um ângulo são as semirretas que o determinam, e o vértice é a origem comum dessas semirretas.

O ângulo de vértice O e lados OA OBe é indicado por: AOB BOAW , W ouOW. AOBW lemos: “ângulo AOB “.

A letra que corresponde ao vértice deve ficar entre as outras duas.

b) a)

1 No caderno, indique, para cada item, o ângulo, seu vértice e seus lados.

2 Desenhe um ângulo raso e um nulo. Em seguida, observe os lados dos ângulos e responda:

a) São semirretas?

b) Estão contidos em uma mesma reta?

c) São coincidentes?

A

B O

T R

S

A

B C

R

P Q

sim

Os lados do ângulo raso não são coincidentes; já os lados do ângulo nulo são.

, ,

AOB BO A O OA OB

ângulo: W ou W vértice: lad s:o e

, ,

RST ou TSR S SR ST

ângulo: W W vértice: lad s:q e

, ,

ABC ou CBA B BA BC

ângulo: W W vértice: lad s:o e

, ,

PQR ou RQP Q QP QR

ângulo: W W vértice: lad s:o e

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(8)

Lendo e aprendendo

O

ângulo de 1º

O A B

63

Para medir ângulos, podemos utilizar o transferidor, que já vem graduado de 1° em 1°.

Observe as fotos ao lado.

Um minuto corresponde a 60 segundos.

CLEISON SILVA

Ao medir um ângulo, consideramos a abertura entre seus lados. Podemos utilizar como unidade de medida de ângulo o grau.

Se dividirmos um ângulo de uma volta em 360 partes iguais, determinamos 360 ângulos medindo 1 grau (1°).

ângulo de uma volta (360°) ângulo de 1°

Uma manobra de 180° no windsurf O windsurf é um esporte olímpico prati- cado no mar, seja com ondas grandes, seja com pouca ondulação. As competições incluem várias modalidades, desde as mais radicais até as mais tradicionais.

Na modalidade aerial Jibe, o velejador salta sem tirar os pés das alças, gira a pran- cha 180° e vira a vela no ar.

• Em quais outros esportes as manobras levam o nome do giro executado?

LUIZ RUBIO

Montagem com fotos sequenciais que reproduz o giro de 180º em manobra de windsurf, em Jericoacoara (CE), em 2012.

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.

Um grau corresponde a 60 minutos.

Medida de ângulo

3

1° 5 60’ 1’ 5 60’’

JAVIER JAIME

transferidor de 180°

centro

transferidor de 360°

centro ^JACEK/KINO

Resposta pessoal.

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• É fundamental que os alunos efetuem medições e construam ângulos utilizando um transferidor. Chame a atenção deles para o fato de que o transferidor é graduado nos dois sentidos e que, por esse motivo, é importante prestar atenção no sentido com o qual querem identificar o ângulo.

• Comente com os alunos que o sistema de medidas de ângulo é sexagesimal, assim como o sistema horário.

• Peça aos alunos que digam quantos graus tem o ângulo de uma volta. Para ajudá-los nesse raciocínio, cite alguns esportes em que há a pre- sença de giros de uma volta, como o skate e a ginástica artística.

(9)

Lendo e aprendendo

64

O A B

Como medir um ângulo utilizando o transferidor

Para medir um ângulo AOBW qualquer utilizando o transferidor, usamos o seguinte procedimento:

1^o) O centro marcado no transferidor deve ser colocado sobre o vér tice do ângulo (ponto O).

2^o) A linha do transferidor, que passa pelo centro e pelo zero, deve estar sobre um dos lados que formam o ângulo AOBW (por exemplo, semirreta OA).

3^o) Verificamos a medida do ângulo na escala graduada por onde passa o outro lado (semirreta OB).

B

O A

A medida de AOBW _{é 30°.}

Indicamos: med(AOBW _{) 5 30°}

Observe as indicações de algumas medidas de ângulos:

30° lemos: “trinta graus”.

45° 50’ lemos: “quarenta e cinco graus e cinquenta minutos”.

30° 48’ 36” lemos: “trinta graus, quarenta e oito minutos e trinta e seis segundos”.

Instrumentos de navegação

A navegação é uma das atividades huma- nas mais antigas, praticada desde os povos ancestrais. Com o passar do tempo, com o uso de instrumentos náuticos, para guiar as nave- gações, e com a melhora das embarcações, as distâncias navegadas se tornaram mais longas, já que antes procuravam-se navegar sem per- der as terras de vista. Graças a esses avanços, na Europa, o século XV ficou conhecido como o século das grandes navegações. Alguns dos instrumentos criados foram o quadrante náu- tico (1), o astrolábio (2) e a balestilha (3). Mais tarde, surgiram o octante (4) e o sextante (5).

Todos eles serviam para medir ângulos, os dois últimos de forma mais precisa que os primeiros.

Hoje, há instrumentos mais precisos para a navegação, como o radar e o GPS.

A medida de AOBW _{é 60°.}

Indicamos: med(AOBW _{) 5 60°}

CRÉDITOS DAS FOTOS: 1. SM/SCIENCE & SOCIETY PICTURE LIBRARY/AGE FOTOSTOCK/EASYPIX BRASIL; 2. SERGEY MELNIKOV/SHUTTERSTOCK; 3. ORONOZ/ALBUM/SUPERSTOCK/AGB PHOTO LIBRARY; 4. DE AGOSTINI/A. DAGLI ORTI/ AGE FOTOSTOCK/EASYPIX BRASIL – CIVICO MUSEO NAVALE DIDATTICO, MILAN; 5. VRIHU/SHUTTERSTOCKILUSTRAÇÕES: NILSON CARDOSO

1 2

3

5

4

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 64 9/21/18 18:32

• Para ajudar os alunos quanto ao uso do transferidor, oriente-os a imaginar a colocação de um alfinete no centro do transferidor. Esse alfinete deve ser sempre fixado no vértice do ângu- lo, sendo possível somente girar o instrumento.

(10)

65

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

Um ângulo pode ser classificado quanto à sua medida em: reto, agudo ou obtuso.

O ângulo OC DW _{é agudo.}

O ângulo OE FW _{é obtuso.}

O ângulo AOBW _{é reto.}

Construção de um ângulo com o transferidor

Observe a sequência utilizada na construção de um ângulo de 50°.

A B

1^o) Traçamos uma semirreta AB.

A 50°

B C

3^o) Traçamos com a régua a semirreta AC, obtendo, assim, o ângulo BAWC, que mede 50°.

centro A B

C

180

170

160150140130120110100 90 80 70 60 50

40 30

20 10

0

2^o) Colocamos o centro indicado no transferidor sobre o ponto A e a linha que contém o centro e o zero sobre a semirreta AB. Depois, marcamos o ponto C, correspondente à medida de 50°.

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

O

D C

30°

O

E 135°

F

O B

sinal indicativo de ângulo reto A

Ângulo reto: é aquele que tem medida igual a 90°.

Ângulo agudo: é o ângulo que tem medida maior que 0° e menor que 90°.

Ângulo obtuso: é o ângulo que tem medida maior que 90° e menor que 180°.

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 65 9/25/18 10:55

Sugestão de atividade extra

• Escreva as medidas de alguns ângulos no quadro de giz e peça que os alunos realizem a construção destes

(11)

30º 45º

O

A C

B

105°

30°

45°

90° 90°

60°

66

Construção de alguns ângulos com um par de esquadros

Utilizando as medidas dos ângulos dos esquadros, conseguimos traçar alguns ângulos, entre eles, os ângulos de 30°, 45°, 60° e 90°. Para traçar outros ângulos, podemos adicionar ou subtrair essas medidas. Observe os exemplos a seguir.

30° 1 45° 5 75° 45° 2 30° 5 15°

LÓPEZ BALABASQUER

Podemos usar um par de esquadros para construir alguns ângulos. Em um dos esquadros, encontramos um ângulo de 90° e dois ângulos de 45° e, no outro esquadro, ângulos de 30°, 60° e 90°. Veja:

Determinando a medida de um ângulo

Observe a figura a seguir.

Agora, vamos determinar a medida do ângulo AOBW , ou seja, med(AOBW ).

Pela figura, sabemos que: med(BOCW ) 5 105°

Como med(AOCW ) é 180°, pois AOCW é um ângulo raso, então:

med(AOBW ) 5 180° 2 105° 5 75°

Logo, a medida do ângulo AOBW é 75°.

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 66 9/25/18 10:55

• Comente com os alunos o nome dos esquadros (esquadro de 45° e esquadro de 30°). E indique para eles qual é qual, com auxílio das imagens apresentadas.

(12)

67 Faça as atividades no caderno.

ATIVIDADES

b)

No caderno, com o auxílio de uma régua e um transferidor, construa um hexágono regular com 3 cm de lado.

1 Escreva, no caderno, as medidas de ângu- los usando os símbolos de grau, minuto e segundo.

a) 60 graus b) 90 graus

c) 102 graus e 35 minutos

d) 110 graus, 32 minutos e 48 segundos

3 Determine as medidas dos ângulos repre- sentados abaixo.

a) med(GOFV ₎ _{e) med(}_{A D}_OV ₎ b) med(GOEV ₎ _{f) med(}_{A E}_OV ₎ c) med(D COV ₎ _{g) med(}_{C F}_OV ₎ d) med(G DOV ₎ _{h) med(}_{A G}_OV ₎ 2 Observe a figura abaixo e indique os

pares de retas perpendiculares.

v u

r

s t

O A

B

C D

E F

180 G

170160150140 130120110 100 90 80 7060 5040

30 20

10

0

5 Com o auxílio de uma régua e um transferidor, construa, no caderno, os ângu- los pedidos e, depois, classifique-os em agudo, obtuso, reto ou raso.

a) ângulo AOBV de 65°

b) ângulo MNPX de 150°

c) ângulo CODV de 90°

d) ângulo DEFW de 180°

8 (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu rea- lizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:

a) uma volta completa.

b) uma volta e meia.

c) duas voltas completas.

d) duas voltas e meia.

e) cinco voltas completas.

c)

d)

O

N M

T S

U G

H I

6 Com um par de esquadros, trace um ângulo de:

a) 105°

b) 150°

c) 120°

d) 135°

e) 165°

f) 15°

7 Um hexágono regular é uma figura formada por seis lados de medidas iguais e seis ângulos internos de medida igual a 120°, conforme a figura abaixo.

GUILHERME CASAGRANDI

4 Com um transferidor, meça e registre no caderno a medida de cada um dos ângulos.

a)

B C

A 40°

120º 120º 120º 120º 120º

120º 1,5 cm

1,5 cm

1,5 cm 1,5 cm

1,5 cm

6. f) No item f, peça aos alunos que façam uma subtração diferente da que está no tópico “Como construir alguns ângulos com um par de esquadros”.

O B

65^o

150^o 180^o

A M

N P

O C

D D E F

5. a) b) c) d)

60°

90°

102° 35’

110° 32’ 48”

30° 90°

50° 110°

20° 60°

70° 160°

r e v u e s u e t

100°

110°

alternativa d agudo

reto raso

obtuso

45°

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 67 9/25/18 10:55

• Na atividade 4, se julgar oportuno, peça aos alunos que, numa folha vegetal, reproduzam os ângulos, para poderem prolongar os seus lados.

• Para resolver a atividade 6, devemos ter em mente que o esquadro de 45° possui dois ângulos de 45° e um de 90°; e o esquadro de 30° possui um ângulo de 30°, um de 60° e um de 90°. Assim, para construirmos os ângulos solicitados, basta juntar as medidas apropriadas.

No item a, basta juntar o ângulo de 45° de um dos esquadros com o ângulo de 60° do outro.

No item b, basta juntar o ângulo de 90° de um dos esquadros com o de 60° do outro.

No item c, basta juntar o ângulo de 90° de um dos esquadros com o de 30° do outro.

No item d, basta juntar o ângulo de 90° de um dos esquadros com o ângulo de 45° do outro.

No item e, basta tomar o ângulo de 120° já obtido no item c e acrescentar a medida do ângulo de 45°.

No item f, basta marcar o ângulo de 45° e interno a ele o de 30°, a diferença será 15°.

• Para resolver a atividade 7, podemos utilizar o mesmo raciocínio da cons- trução do ângulo de 120°

(item c da atividade 6) e de- marcar os segmentos com medidas de 1,5 cm. Dessa forma faremos a constru- ção do hexágono conforme solicitado.

• Na atividade 8, mostre aos alunos que:

900° 5 360° 1 360° 1 180°

(13)

68

30° em minutos

30° 5 30 8 1° 5 30 8 60’ 5 1 800’

Logo: 30° 5 1 800’

5° 35’ em minutos 5° 5 5 8 1° 5 5 8 60’ 5 300’

300’ 1 35’ 5 335’

Logo: 5° 35’ 5 335’

2° 20’ 40” em segundos 2° 5 2 8 1° 5 2 8 60’ 5 120’

120’ 1 20’ 5 140’

140’ = 140 8 1’ = 140’ 5 140 8 60” 5 8 400”

8 400” 1 40” 5 8 440”

Logo: 2° 20’ 40” 5 8 440”

3° 35’ em segundos 3° 5 3 8 1° 5 3 8 60’ 5 180’

180’ 1 35’ 5 215’

215’ = 215 8 1’ = 215 8 60” 5 12 900”

Logo: 3° 35’ 5 12 900”

130’ 60 10’ 2°

130’ em grau e minuto

Logo: 130’ 5 2° 10’

150” em minuto e segundo 150” 60

30” 2’

Logo: 150” 5 2’ 30”

26 138” em grau, minuto e segundo

435’ 60 15’ 7°

26 138” 60

213 435’

338 38”

Logo: 26 138” 5 7° 15’ 38”

1° 5 60’

1’ 5 60”

GEORGE TUTUMI

Agora, observe, nos exemplos a seguir, como efetuar transformações de unidades de medida de ângulo.

Vimos que o grau é uma unidade de medida de ângulo, sendo o minuto e o segundo seus sub- múltiplos. E, ainda, vimos que 1 grau equivale a 60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos.

Transformação de unidades

• Se achar conveniente, para explicar a conversão de grau para minuto, aumente gradativamente as quanti- dades em graus para trans- formar em minutos, ou seja, vá induzindo o aumento até que se chegue à conclusão de que, para essa conversão, basta multiplicar por 60.

O mesmo pode ser feito na conversão de minutos para segundos.

• Comente que a conver- são de segundos para graus normalmente é feita con- vertendo primeiro os segundos para minutos; então, os minutos resultantes, se mais de 60, para graus. Não costumamos fazer a con- versão direta de segundos para graus, mesmo sendo possível. Caso considere interessante, explique que 1°

equivale a 3 600”, já que é comum os alunos acharem que, de graus para minutos, podem multiplicar por 120, o que é um erro.

• Explique, as conversões quando a medida, em grau, apresenta parte decimal.

Mostre que a multiplicação por 60 continua valendo.

Chame a atenção para o fato de que 0,5° não é 50’, e sim 30’, e sobre a possi- blidade de utilizar números decimais na representação de medidas em graus. Por exemplo, 45° 30” equivale a 45,5°.

(14)

O A 30º 18'

45º 30' B

C

ATIVIDADES

69

Vamos analisar algumas situações que envolvem operações com medidas de ângulos.

Adição

Pedro traçou os ângulos AOB BOCW e W conforme a ilustração ao lado.

Qual é a medida do ângulo AOCW ?

Para responder a essa pergunta, devemos adicionar as medidas dos ângulos AOB BOCW e W . Veja:

30° 18’

145° 30’

75° 48’

med aAOCW k 5 30° 18’ 1 45° 30’

Observe que adicionamos minutos com minutos e graus com graus.

Portanto, a medida do ângulo AOCW é 75° 48’.

Agora, veja outro exemplo.

10° 36’ 30” 1 23° 45’ 50”

Nesse caso, adicionamos segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus.

10° 36’ 30”

123° 45’ 50”

33° 81’ 80” Se 1’ 5 60”, então 80” 5 1’ 20”; assim:

33° 81’ 80” 5 33° 82’ 20”

Se 1º 5 60’, então 82’ 5 1° 22’; assim:

33° 82’ 20” 5 34° 22’ 20”

LUIZ RUBIO

O veículo elétrico de duas rodas, ao lado, é um meio de transporte que funciona com o equilíbrio do condutor.

RISTESKI GOCE/SHUTTERSTOCK

Na posição de descanso, o eixo vertical forma um ângulo correspondente a 112%

de um ângulo reto, em relação à base.

Descubra a medida desse ângulo, em grau e minuto.100,8° 5 100° 48’

Operações com medidas de ângulos

4

1 Transforme as medidas indicadas de acor- do com o pedido de cada item:

a) 27° em minuto;

b) 13° 13’ 13” em segundo;

c) 12° 57’ em minuto;

d) 213’ em grau e minuto;

e) 36° em segundo;

f) 310’ em grau e minuto;

g) 17° 12’ em segundo;

h) 214 317” em grau, minuto e segundo.

2 Observe este veículo.

129 600”

1 620’

47 593”

3° e 33’

777’

5° 10’

61 920”

59° 31’ 57”

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 69 9/25/18 10:55

• Após a explicação deste tópico, dê um exemplo de adição com medidas de ângulos no qual, ao adicionar os minutos (ou os segundos), ocorra a necessidade de reagrupamento, para chamar a atenção em relação a esse cuidado. É muito comum os alunos terem dúvidas ou se confundirem nesse tipo de adição.

• Na atividade 2, retome a explicação da conversão de números decimais em grau, minuto e segundo. Se julgar interessante, proponha outras conversões de medidas em grau com números decimais para minutos e segundos.

(15)

O A 30º 18'

45º 30' B

C

ATIVIDADES

A

D O

C

B

46º 30' 21º 14' 40"

112º 15' 20"

E

70

45° 30’

230° 18’

15° 12’

Subtração

Observe a ilustração ao lado. Qual é a diferença entre as medidas dos ângulos BOCW eAOBW ?

Para responder a essa pergunta, devemos subtrair 30° 18’ de 45° 30’. Veja:

Observe que subtraímos minutos de minutos e graus de graus.

Portanto, a diferença entre as medidas dos ângulos BOCW eAOBW é 15° 12’.

Agora, veja outro exemplo.

79° 107’ 90”

2 70° 58’ 55”

9° 49’ 35”

80° 48’ 30” 2 70° 58’ 55”

Nesse caso, podemos trocar graus por minutos e minutos por segundos para poder efetuar a subtração.

Observe que: 80° 48’ 30” 5 80° 47’ 90” 5 79° 107’ 90”

Retiramos 1’ dos 48’ e adicionamos 60” aos 30”

já existentes.

Retiramos 1° dos 80° e adicionamos 60’ aos 47’ já existentes.

Portanto: 80° 48’ 30” 2 70° 58’ 55” 5 9° 49’ 35”

Assim:

1 Efetue os cálculos.

a) 25° 12’ 1 37° 20’ e) 75° 21’ 2 49° 33’

b) 86° 52’ 50” 1 39° 43’ 20” f) 47° 39’ 25” 2 29° 31’ 45”

c) 45° 12’ 37” 1 47° 49’ 38” g) 80° 49’ 32” 2 73° 51’ 46”

d) 42° 30’ 1 47° 30’ h) 90° 2 35° 49’ 46”

2 Observe a figura ao lado e, depois, responda às questões.

a) Qual é a medida do ângulo AOCV ? b) Qual é a medida do ângulo BODV ? c) Qual é a medida do ângulo AODV ? d) Qual é a medida do ângulo AOEV ,

se med(EODV ) 5 133° 30’?

medaBOCW k 2 medaA BOW k 5 45° 30’ 2 30° 18’

25° 48’

18° 7’ 40”

54° 10’ 14”

6° 57’ 46”

158° 45’ 20”

133° 30’

180°

46° 30’

62° 32’

126° 36’ 10”

93° 2’ 15”

90°

• Na atividade 2, item d, a operação a ser feita é 180° 2 133° 30’.

(16)

71

Multiplicação

Para multiplicar um número natural pela medida de um ângulo, devemos multiplicar esse número pelos segundos, pelos minutos e pelos graus dessa medida. Depois, se necessário, devemos fazer as transformações de unidades. Veja os exemplos a seguir:

4 8 (15° 12’ 10”) 15° 12’ 10”

# 4

60° 48’ 40”

5 8 (12° 36’ 40”)

Como 200” 5 3’ 20”, adicionamos 3’ aos 180’ já existentes.

12° 36’ 40”

# 5

60° 180’ 200”

60° 183’ 20”

63° 3’ 20” Como 183’ 5 3° 3’, adicionamos 3° aos 60° já existentes.

Divisão

Alberto quer saber a medida do ângulo formado por dois raios consecutivos da roda da frente de sua bicicleta, mas ele não dispõe de um transferidor. Como ele poderia fazer para determinar essa medida?

BMW GROUP BRASIL

Logo, cada ângulo da roda da frente da bicicleta de Alberto, formado por dois raios consecutivos, mede 18°.

360° 20

160 18°

0

Para dividir a medida de um ângulo por um número natural, devemos dividir inicialmente os graus, depois os minutos e por fim os segundos da medida por esse número. Quando necessá- rio, devemos fazer as transformações de unidades. Veja os exemplos a seguir.

(45° 20’ 16”) 9 4 20’ 16” 4

1 60’ 0 11° 20’ 4”

80’

0 45°

1°

40° 20’ 2 0 0 20° 10’

(40° 20’) 9 2

A roda da frente é dividida em 20 ângulos de mesma medida; logo, a medida do ângulo formado por dois raios consecutivos é determinada pelo quociente de 360° por 20.

Então:

raio da roda

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 71 9/21/18 18:32

• Chame a atenção dos alunos para o fato de que a tabua da do 60 é a tabuada do 6 multiplicada por 10.

• Comente com os alunos que a divisão de medidas de ângulos pode ser pensada como se fossem três divisões feitas sucessivamente.

(17)

30°

O B

A

O 30°

D C

72

ATIVIDADES

med(AOBW _{) 5 30°} _med(CODW _{) 5 30°}

Verifique que AOB CODW e W têm a mesma medida. Dizemos, então, que AOB CODW e W são ângu- los congruentes e indicamos: AOBW &CODW

(50° 17’ 30”) 9 6 (13° 32’ 33”) 9 3 17’

1120’

137’

5’

30” 6

1 300” 8° 22’ 55”

330”

0 50°

2°

32’

1 60’

92’

2’

33” 3

1 120” 4° 30’ 51”

153”

0 13°

1°

Observe os ângulos abaixo.

Ângulos congruentes

5

Ângulos congruentes são aqueles que têm a mesma medida.

1 Efetue os cálculos.

a) 6 8 (45° 12’) b) 4 8 (12° 30’) c) 7 8 (1° 10’ 13”) d) 5 8 (45° 12’ 56”) e) 8 8 (25° 20’ 20”) f) 98° 56’ 9 2 g) 15° 9 8 h) 84° 40’ 20” 9 2 i) 39° 11’ 40” 9 2 j) 42° 35’ 20” 9 8 2 Calcule.

a) O triplo de 47° 29’.

b) O quádruplo de 23° 19’ 15”.

c) O sêxtuplo de 20° 15’ 20”.

3 Observe a figura e efetue os cálculos no caderno.

a) med(AOBV _{) 9 4} b) 2 8 med(BOCV ) c) 3 8 med(CODV ) d) med(AOCV _{) 9 8} d) A metade de 97°.

e) A terça parte de 98° 54’.

f) A quarta parte de 60° 40’ 20”.

D O A

C

B

36º 20' 44º 19' 20"

99º 20' 40"

271° 12’

142° 27’

93° 17’

121° 32’

50°

8° 11’ 31”

1° 52’ 30”

42° 20’ 10”

19° 35’ 50”

49° 28’

5° 19’ 25”

226° 4’ 40”

202° 42’ 40”

48° 30’

32° 58’

15° 10’ 5”

9° 5’

198° 41’ 20”

132° 58’

16° 57’ 35”

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 72 9/21/18 18:32

• Na explicação de ângu- los congruentes, relembre com os alunos o símbolo de congruência adotado nesta obra: &

Ainda na explicação de con- gruência, comente que esse termo pode ser utilizado para indicar a congruência de outras figuras, como a congruência de triângulos.

(18)

F O

E

r H

F O

E M

N

ATIVIDADES

73

Construção, com régua e compasso, de um ângulo congruente a outro ângulo dado

Dado o ângulo EOFW , vamos construir o ângulo GHIW, congruente a ele. Observe os passos a seguir.

1^o) Traçamos uma semirreta r de origem H.

3^o) Com a mesma abertura anterior, centramos o compasso em H e traçamos um arco determinando o ponto I sobre r.

4^o) Em seguida, centramos o compasso em I e, com abertura igual à distância entre M e N, traçamos um novo arco determinando o ponto G, como mostra a figura. Traçamos a semirreta HG, obtendo, assim, o ângulo GHIW.

2^o) No ângulo EOFW , centramos o compasso em O e, com uma abertura qualquer, determinamos os pontos M e N sobre as semirretas OE e OF, respectivamente.

O A

B D C E

F G

1 Com o auxílio de um transferidor, determine a medida dos ângulos da figura ao lado. Depois, indique os ângulos congruentes.

a) AOBV b) BOCV c) CODV d) DOEV e) EOFV

f) FOGV g) AOCV h) EOAV i) FOCV j) EOBV

I r H

I r G

H

AOBW &CODW BOCW &DOEW EOFW &FOGW 30°

50°

30°

50°

35°

80°

160°

115°

130°

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• Na construção de ângu- los congruentes com régua e compasso, pergunte aos alunos os diferentes usos do compasso. Comumente, eles o conhecem como um instrumento para traçar circunfe- rências. Explique, então, que o compasso também é usado para transportar segmentos e que agora eles verão como transportar ângulos.

• Na atividade 1, se neces- sário, peça que reproduzam a figura em papel vegetal a fim de prolongar os lados dos ângulos, facilitando o uso do transferidor para a medição dos ângulos.

(19)

O B C A

Observação

O

D A

C B

74

Observe na figura ao lado os ângulos AOC COB AOBW , W e W .

Ângulos adjacentes

6

T V

S S T

R

P Q

O

P Q N

O M

K

Y Z A

B C

A

B C

Os ângulos AOC COBW e W têm em comum apenas um lado (OC).

Os ângulos AOC COBW e W são ângulos adjacentes.

Observe que a medida de AOBW é igual à soma das medidas de AOC COBW e W .

med(AOBW ) 5 med(AOCW ) 1 med(COBW )

Ângulos adjacentes são aqueles que têm um lado comum, mas não têm pontos internos comuns.

2 Observe a figura e, utilizando régua e compasso, construa um ângulo EDFW congruente a BACW e um ângulo DFEW congruente a ACBV .

3 Verifique, com um transferidor, se o triân- gulo ABC é um triângulo isósceles.

4 Construa, com o transferidor, um ângu- lo POQV obtuso. Em seguida, utilizando ré- gua e compasso, construa um ângulo BACW congruente a POQV .

5 Com o auxílio de um transferidor, determine no caderno os pares de ângulos con gruentes.

São pares de ângulos adjacentes.

AOB BOC BOC COD COD DOA DOA AOB

e e e e W

W W W

W Retas concorrentes determinam ângulos adjacentes. Veja:

Lembre-se:

Não escreva no livro!

SV TW &POQW RSTW &NOMW &KY ZW Sim, o triângulo

ABC é isósceles.

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• Antes de iniciar o tópico “Ângulos adjacentes”, peça aos alunos que busquem no dicionário o significado da palavra “adjacente”.

• Nas atividades 2, 3 e 4, peça aos alunos que reproduzam as figuras em papel vegetal ou outro papel, para que possam fazer marcações nas figuras.

• Na atividade 2, para construir um ângulo EDFW congruente a BAXC trace uma semirreta DE; posicione a ponta seca do compasso em A e faça um arco de circun- ferência que intersecte os segmentos AC e AB (essas intersecções serão chamadas de P₁ e Q₁ respectivamente); com a mesma abertura do compasso, posicione a ponta seca em D e trace um arco de circunferência que intersecte a semirreta DE no ponto que chamaremos de P₂; deixe a abertura do compasso com a mesma distância de P₁ e Q₁ e trace um novo arco de circunfe- rência com a ponta seca em P₂ de modo que intersecte o arco traçado anteriormente no ponto que chamaremos de Q₂; por fim, trace uma semirreta com origem em D e que passe por Q₂ (essa semirreta será congruente a DF que procuramos). Dessa forma, o ângulo EDFW é congruente ao ângulo BAXC. Para a outra congruência solicitada e para a resolu- ção da atividade 4, basta seguir o algoritmo de maneira análoga.

• Na atividade 3, lembre os alunos de que triângulo isós celes é aquele que possui dois lados congruentes.

(20)

O

A B C

60°

30°

75 Faça as atividades no caderno.

ATIVIDADES

Observe os ângulos AOB BOCW e W na figura ao lado.

med(AOBW ) 1 med(BOCW ) 5 90°

Dizemos que AOB BOCW e W são ângulos complementares.

Ângulos complementares

7

1 Observe a figura abaixo e indique pares de ângulos adjacentes.

3 Determine:

a) a medida do ângulo AOBV sabendo que a med(AOEV ) 5 27° e med(EOBV ) 5 23°;

2 Observe a figura seguinte e indique:

a) dois ângulos adjacentes ao ângulo AOBV ; b) dois ângulos adjacentes ao ângulo DOEV _.

b) a medida do ângulo EODV sabendo que a med(CODV ) 5 75° e med(COEV ) 5 38°.

O A

B D C

E

B O

A E

D O

C E O

A B C D

E F

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIOGEORGE TUTUMI

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°.

Podemos dizer, então, que o ângulo de 30° é o complemento do ângulo

de 60°, e vice-versa.

50°

37°

Exemplos de resposta: a) AOFW eCOBW ; b) DOBW eAOEW ,

AOB e BOCW W , BOC e CODW W

, COD e DOEW W

, AOD e DOEW W

, AOC e CODW W

. AOC e COEW W

Exemplos de resposta:

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 75• Comente que os ângulos AOBW e BOCW são ângulos adjacentes e ângulos complementares, e que podem ser 9/25/18 11:12

chamados de ângulos adjacentes complementares.

• Na atividade 1, reproduza a imagem no quadro de giz e destaque cada região an- gular com cores diferentes, verificando com os alunos que quando os ângulos são adjacentes as cores não se sobrepõem.

• Na atividade 3, sugira aos alunos que esbocem as figuras no caderno a fim de que indiquem as medidas dadas.

(21)

C O A B 30°

150°

F

D

E

I

J 138º

42º H

76

ATIVIDADES

Observe os pares de ângulos AOB BOC DEF HIW e W e W e UJ nas figuras abaixo.

med(AOBW ) 1 med(BOCW ) 5 180° e med(DEFW ) 1 med(HIUJ) 5 180°

Dizemos que AOB BOCW e W são ângulos suplementares.

Além disso, DEF HIW e UJ são ângulos suplementares.

Ângulos suplementares

8

4 Dois ângulos são adjacentes complementares, e um deles mede 78°. Determine a medida do outro ângulo.

5 Dois ângulos são adjacentes complementares, e um deles mede 48° 36’ 28”. Calcule a medida do outro ângulo.

3 Calcule a medida do ângulo BOCV . 1 Determine a medida do complemento de

cada um dos ângulos cuja medida está abaixo.

a) 76°

b) 0°

c) 38°

d) 90°

e) 36° 48’

f) 82° 50’

2 Com régua e transferidor, desenhe um triân gulo retângulo qualquer. Em seguida, meça os ângulos agudos desse triângulo. Os ângulos agudos são ângulos complementares?

Por exemplo, podemos dizer que o ângulo de 30° é o suplemento do ângulo de 150° e vice-versa. E também que o ângulo de 138° é o suplemento do ângulo de 42° e vice-versa.

GEORGE TUTUMI

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.

A C B

O

68°

53° 12’

7° 10’

41° 23’ 32”

med(B COW ) 5 22°

12°

14°

52°

90°

0°

Sim, são complementares.

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 76 9/25/18 11:12

EF07MA24: Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

• Na atividade 2, comente que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, assunto já visto no 6^o ano. Esta atividade dialoga com o conhecimento espe- cífico EF07MA24, que será aprofundado no capítulo 11.

Como um triângulo re- tângulo possui um ângulo reto, basta traçar um segmento AB qualquer e, com o centro do transferidor em A, marcar o ponto C₂ correspondente a 90°. Em seguida, trace o segmento AC (o qual deve passar por C₂) e, por fim, trace o segmento CB.

Agora, com o auxílio do transferidor, determinamos as medidas dos ângulos CBAV e ACBW , na qual verificamos que a soma de suas medidas resulta em 90° (ân- gulos complementares).

• Comente que os ângulos AOBW e BOCW são ângu - los adjacentes e ângulos suplementares, podendo ser chamados de ângulos adjacentes suplementares.