MAT 104 Cálculo 1 Prof. Paolo Piccione. Prova

(1)

MAT 104 — C´ alculo 1

Prof. Paolo Piccione

Prova 1

26.04.2010

2010120 Nome:

RG:

Assinatura:

Instru¸ c˜ oes

• A dura¸ c˜ ao da prova ´ e de uma hora e quarenta minutos.

• Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que est´ a no final da prova. E permitido deixar quest˜ ´ oes em branco.

• Cada quest˜ ao tem apenas uma resposta correta.

• O valor total da prova ´ e de 10 pontos; cada quest˜ ao correta vale

¹₂

ponto (0.5) e cada quest˜ ao errada implica num desconto de

₂₅³

de ponto (0.12).

• Boa Prova!

Nota¸ c˜ oes Utilizadas na Prova

• R denota o conjunto dos n´ umeros reais, e N denota o conjunto dos n´ umeros inteiros n˜ ao negativos.

• Dadas fun¸c˜ oes f e g, a composta ´ e indicada por f ◦ g.

• log denota a fun¸ c˜ ao logaritmo em base e (logaritmo natural).

• Dado a > 0, a 6= 1, log

_a

denota o logaritmo em base a.

• A fun¸ c˜ ao tan x ´ e a tangente.

Qui-F

(2)

Quest˜ ao 1. Calcule o limite L = lim

x→+∞

4x

³

+ 3x

²

− 1 4x

³

+ 2x − 3

3x−1

. (a) L = 1;

(b) nenhuma das outras respostas;

(c) L = e

^9/4

; (d) L = e;

(e) L = e

³

.

Quest˜ ao 2. Calcule o limite L = lim

n→∞

a

n

, onde a

n

´ e definida por recurrˆ encia pela f´ ormula a

_n+1

= √

a

_n

+ 1, n ∈ N , e a

₀

= 0.

(a) n˜ ao existe o limite;

(b) nenhuma das outras respostas;

(c) L = 0;

(d) L = +∞;

(e) L =

¹⁺

√ 5 2

.

Quest˜ ao 3. Determine o conjunto das solu¸ c˜ oes da desigualdade log

_1/2

(x

²

− 3x + 5/2) ≥ 1

2 . (a) nenhuma das outras respostas;

(b) ]2, +∞[;

(c) ]1, +∞[;

(d) [1, 2];

(e) ]−∞, 1[ S

]2, +∞[.

Quest˜ ao 4. Calcule o limite L = lim

x→0

2

^x

− 1 sin(2x) . (a) L = log 2;

(b) nenhuma das outras respostas;

(c) L =

¹₂

log 2;

(d) L = +∞;

(e) L =

¹₂

.

Quest˜ ao 5. Sejam f e g duas fun¸ c˜ oes reais tais que lim

x→x₀

f(x) = lim

x→x₀

g(x) = 0. Qual das seguintes afirma¸ c˜ oes ´ e verdadeira?

(a) lim

x→x₀

f (x)

g(x) = 0, pois 0

g(x) = 0 para todo x;

(3)

(b) lim

x→x₀

f (x)

g(x) = ∞, pois f(x)

0 = ∞ para todo x;

(c) lim

x→x0

f (x)

g(x) = 1, pois 0 0 = 1;

(d) lim

x→x0

f (x)

g(x) = 1, pois lim

x→0

sin x x = 1;

(e) nenhuma das outras respostas.

Quest˜ ao 6. Calcule o limite L = lim

x→0

tan x x e

^x−1

. (a) L = 0;

(b) L = tan(e

⁻¹

);

(c) L = 1;

(d) L =

¹_e

;

(e) nenhuma das outras respostas.

Quest˜ ao 7. Que letra do alfabeto grego ´ e: η?

(a) “gama” mai´ usculo;

(b) “eta” min´ usculo;

(c) “ni” min´ usculo;

(d) “ni” mai´ usculo;

(e) nenhuma das outras respostas.

Quest˜ ao 8. Determine: a forma expl´ıcita da sequˆ encia a

_n

definida pela f´ ormula: a

_n+2

= 3a

_n+1

− 2a

_n

, e pelas condi¸ c˜ oes iniciais: a

₀

= 3, a

₁

= 5.

(a) a

n

= n

²

+ n + 3;

(b) nenhuma das outras respostas;

(c) a

n

= 1 + 2

ⁿ⁺¹

; (d) a

n

= 1 + 2

ⁿ

;

(e) a

_n

= 3 + 2n.

Quest˜ ao 9. Calcule o limite L = lim

x→1

x

²

− 2x + 1 x

²

− 3x + 2

. (a) L = −∞;

(b) L = 0;

(c) nenhuma das outras respostas;

(d) L = 1;

(e) L = +∞.

(4)

Quest˜ ao 10. Qual das seguintes afirma¸ c˜ oes ´ e verdadeira?

(a) se lim

n→∞

a

_n

= +∞ e lim

n→∞

b

_n

= 0, ent˜ ao lim

n→∞

a

_n

· b

_n

= +∞;

(b) se lim

n→∞

a

n

· b

n

= 1, ent˜ ao lim

n→∞

a

n

6= 0 e lim

n→∞

b

n

6= 0;

(c) se lim

n→∞

a

_n

= +∞ e lim

n→∞

b

_n

= 0, ent˜ ao lim

n→∞

a

_n

· b

_n

= 0;

(d) se a

_n

´ e uma sequˆ encia limitada, e lim

n→∞

b

_n

= 0, ent˜ ao lim

n→∞

a

_n

· b

_n

= 0;

(e) se a

n

´ e limitada, ent˜ ao existe o limite lim

n→∞

a

n

.

Quest˜ ao 11. Determine o conjunto das solu¸ c˜ oes da desigualdade

|x − 1|

x

²

− 5x + 6 < 0.

(a) nenhuma das outras respostas;

(b) ]1, 2[ S

]3, +∞[;

(c) ]2, 3[;

(d) ]−∞, 1[ S ]2, 3[;

(e) ]1, 3[.

Quest˜ ao 12. Calcule o limite L = lim

n→∞

n

³

n! . (a) L = n

²

(n − 1)! ;

(b) nenhuma das outras respostas;

(c) L = 0;

(d) L = +∞;

(e) L = 1.

Quest˜ ao 13. Sejam a ∈ R , e f, g : ]0, +∞[ → R duas fun¸c˜ oes tais que f(x) ≤ g(x) ≤ f(x) + 1

x para todo x. Suponha que existe o limite lim

x→+∞

f (x) = π. Qual das seguintes afirma¸c˜ oes ´ e necessariamente verdadeira?

(a) g ´ e decrescente;

(b) lim

x→+∞

g(x) = π +

_π¹

;

(c) nenhuma das outras respostas;

(d) g ´ e crescente;

(e) lim

x→+∞

g(x) = π.

(5)

Quest˜ ao 14. Calcule a fun¸ c˜ ao inversa f

⁻¹

(y) da fun¸c˜ ao f : [π, 2π] → [−1, 1]

definida por f (x) = cos x.

(a) f

⁻¹

(y) = arccos y +

^3π₂

; (b) f

⁻¹

(y) = arccos y;

(c) nenhuma das outras respostas;

(d) f

⁻¹

(y) = arcsin y +

^3π₂

; (e) f

⁻¹

(y) = arccos y + π.

Quest˜ ao 15. Calcule o limite L = lim

x→0

log(1 + x

²

)

2x .

(a) nenhuma das outras respostas;

(b) L = +∞;

(c) L =

¹₂

; (d) L = 1;

(e) L = 0.

Quest˜ ao 16. Determine o conjunto das solu¸ c˜ oes da desigualdade:

|2x − 4| + |8 − 3x| < 3.

(a)

₉

5

, 2 S

]3, +∞[;

(b)

₉

5

, 3

;

(c) nenhuma das outras respostas;

(d)

−

⁹₅

, 2

; (e) ]−∞, 2[.

Quest˜ ao 17. Sejam (A

_n

)

n∈N

uma fam´ılia de afirma¸ c˜ oes, cada uma das quais pode ser ou verdadeira ou falsa. Suponha que:

• A

₀

´ e verdadeira;

• se A

_n

´ e verdadeira, ent˜ ao A

_n+2

tamb´ em ´ e verdadeira.

O que podemos deduzir?

(a) A

_n

´ e falsa para todo n > 2;

(b) A

_n

´ e falsa para todo n > 0;

(c) A

_n+2

´ e verdadeira para todo n ∈ N ; (d) A

_2n

´ e verdadeira para todo n ∈ N ;

(e) A

_n

´ e verdadeira para todo n > 2.

Quest˜ ao 18. Seja a

_n

uma sequˆ encia n˜ ao crescente. Qual das seguintes

afirma¸ c˜ oes ´ e verdadeira?

(6)

(a) lim

n→∞

a

n

= 0;

(b) existe o limite lim

n→∞

a

_n

; (c) lim

n→∞

a

_n

= −∞;

(d) a

n

´ e limitada;

(e) a

_n

=

¹_n

.

Quest˜ ao 19. Seja f (x) = √

x e g(x) = log(1 + x). Qual ´ e o dom´ınio de f ◦ g?

(a) nenhuma das outras respostas;

(b) ]0, 1[;

(c) R \ {−1};

(d) ]0, +∞[;

(e) ]−1, +∞[.

Quest˜ ao 20. Qual das seguintes afirma¸ c˜ oes ´ e falsa?

(a) toda fun¸ c˜ ao f : R → R ´ e ou par ou impar;

(b) se f : A → B ´ e injetora e sobrejetora, ent˜ ao f ´ e invers´ıvel;

(c) toda fun¸c˜ ao f : R → R pode ser escrita como soma de uma fun¸c˜ ao par e uma fun¸ c˜ ao impar;

(d) toda fun¸ c˜ ao f : R → R pode ser escrita como soma de uma fun¸c˜ ao n˜ ao negativa e uma fun¸ c˜ ao negativa;

(e) toda fun¸ c˜ ao f : R → R invers´ıvel ´ e injetora.

(7)

MAT 104 — C´ alculo 1 Prof. Paolo Piccione

Prova 1

26.04.2010

2010120 Nome:

RG:

Assinatura:

Folha de Respostas Qui-F

1 a b c d e

2 a b c d e

3 a b c d e

4 a b c d e

5 a b c d e

6 a b c d e

7 a b c d e

8 a b c d e

9 a b c d e

10 a b c d e

11 a b c d e

12 a b c d e

13 a b c d e

14 a b c d e

15 a b c d e

16 a b c d e

17 a b c d e

18 a b c d e

19 a b c d e

20 a b c d e