)4.(9936)()()94364)6.()()36)6()

(1)

VESTIBULAR 2016 PROFESSOR: NEY MENEZES

MATEMÁTICA II

ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS – QUESTÕES – GABARITO 1) Aumentando os lados de um quadrado de 10% a sua área aumenta de :

a) 10% b) 20% c) 21% d) 22% e) 25%

Solução. Considere incialmente um quadrado de lado L. Sua área será L². Se o lado aumenta de 10%, passa a valer (1,1).L e a nova área será (1,1.L)² = (1,21).L². Podemos escrever: (1,21).L² = (1 + 0,21)L². Logo a nova área é 21% maior que a anterior.

2) Um arco de círculo de centro A foi traçado no interior do quadrado de lado 6, como mostra a figura.

Calcule as áreas X e Y.

Solução. A área X é a área de um setor circular correspondente à quarta parte da área da circunferência de raio 6, pois o ângulo central desse setor é 90°.

Calculando as áreas pedidas, temos:

 

) 4 .(

9 9 36 ) ( ) (

)

4 9 36 4

) 6 ) .(

( )

36 ) 6 ( )

2 2



 















X A Quadrado Área

Y Área iii

setor X Área ii

Quadrado Área

i

.

3) Calcule as áreas dos pentágonos das figuras A e B:

Solução. Cada uma das figuras é formada por um quadrado de lado 2 e um triângulo equilátero de lado também igual a 2.

 



 





 

 

 





3 4:

4 3 ) 32 (

4 )2(

2 2

B Figura

A Figura Triângulo

A Quadrado A

.

4) Calcule a área da figura ao lado onde dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares.

Solução. Decompondo a figura em quatro partes A, B, C e D, temos.

35 9 6 4 16 : 9

3:

6 2 3:

4 2:

16 4:

2 2 2







 



 











Total Área D

Área C Área

B Área

A Área

.

5) Calcule a área do triângulo ABC.

Solução. A área do triângulo ABC será a diferença entre a área do retângulo e a soma das áreas dos triângulos retângulos X, Y, e Z. A área do retângulo é (6).(5) = 30.

(2)

13 )5 6 6(

30 :) ( 2 5

)5 ).(

: 2(

2 6 )6 ).(

: 2(

2 6 )4 ).(

: 3(









 





 









ABC Área Z

Área Y Área

X Área

.

6) Mostre que a área de um triângulo ABC é igual a metade do produto de dois lados vezes o seno do ângulo formado por esses lados.

Solução. Utilizando a relação trigonométrica no triângulo retângulo CBH, temos:

C sen C ba

sen a ABC b Área C sen a a h C h sen

h ABC b

Área . .. ˆ

2 1 2

)ˆ . ).(

:) ( ( . ˆ

ˆ

2 ) ).(

) ( (





 



 









.

7) No plano cartesiano, determine a área do polígono convexo cujos vértices são (0,0), (0,2), (3,4) e (8,0).

Solução. Decompondo o polígono formado em um trapézio e um triãngulo retângulo, temos:

19 10 9:) (

2 10 )5 ).(4 ( 2

)3 8).(

) 4(

(

2 9 )3 ).(6 ( 2

)3 ).(4 ) 2(

(







 



 





 



 



polígono Área triângulo

Área trapézio Área

.

8) Calcule a área de um triângulo ABC onde AB = AC = 8 e BAˆC 120. Solução. Utilizando a fórmula conveniente, temos:

(3)

  16. 3 2

. 3 32 120

).

8 ).(

8 2.(

: 1 )

( 





 



 sen

ABC

Área .

9) Calcule a área de um hexágono regular de lado 4.

Solução. O hexágono regular pode ser decomposto em seis

triângulos equiláteros congruentes. Logo a área do hexágono é igual ao sêxtuplo da área de um triângulo equilátero de lado 4.



4. 3



24. 3 .

4 6 3 . ) 4 . ( 6 : ) (

2  





  hexágono

Área .

10) Determine qual a porcentagem do retângulo que a área do pentágono ocupa.

Solução. A área do pentágono é a diferença entre a área do retângulo e a soma das áreas dos quatro triângulos retângulos.

% 5, 57 575 40 ,0 23 ) (

.) ) (

23 )8 9(

40 :.) (

2 4 )4 ).(

:) 2(

( 2 4

)4 ).(

:) 2(

( 2 5,4

)3 ).(

:) 3(

( 2 5,4

)3 ).(

:) 3(

(

40 5 8

)



























retângulo A

pentág ii A

pentág A

W A

Z A

Y A

X A

retângulo Área

i

.

11) Na figura mostrada, calcule a área assinalada sabendo que o arco AB e o arco BC medem 90°.

Solução. A área do segmento circular X vale a diferença entre a área do setor circular de ângulo central medindo 90° e a área do triângulo retângulo isósceles de catetos medindo R.

(4)

   

4 2 . 4

.2 . 2 4 )( .

2 2

) ).(

) ( (

4 . 360

90. ) ).(

(

₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2 2 2

 







 



 





 

 



R R R R X R

R Área R triângulo R Área

R setor R

Área

.

12) A figura abaixo representa 3 círculos raio 2 cm e tangentes entre si. Determine a área da região X assinalada. ( Use π = 3 )

Solução. Unindo os centros dos três círculos forma-se um triângulo equilátero de lado medindo 4 cm. A área X será a diferença entre a área do triângulo equilátero e a soma das áreas dos três setores circulares de ângulo central medindo 60°.

 

   

²

2 2

6 3.

4 )2.(

3 3.

4 )(

3. 4 4 3.

) )4(

(

6 2 4).3 ( 360

60. 2).

) ( 1(

cm X

Área triângulo

Área setor Área











 



 





 

  

.

13) São dados um círculo de centro O e raio 3 e duas tangentes AB e AC fazendo entre elas 60°. Calcule:

Solução. Observando a figura, temos:

- O triângulo ABC é equilátero de lado y, pois as tangentes AB e AC são congruentes e formam um ângulo de 60°. O triângulo isósceles com o ângulo de vértice medindo 60° é equilátero.

- As tangentes são perpendiculares aos raios. Logo, o triângulo OBC é isósceles e medem 120°, 30° e 30°.

- O lado y pode ser calculado pela lei dos cossenos:

      

 

3 9 3

3 3

2 . 1 3 . 2 3 3

120 cos . 3 . 3 . 2 3 3

2 2

2 2 2











 

 















y y

.

a) a área do quadrilátero ABOC;

A área do quadrilátero será a soma das áreas do triângulo ABC e do triângulo OBC.

(5)

 

   ⁽ ⁾ ⁹ ⁴ ^3. ³ ⁴ ^3. ¹² ⁴ ^3. ³ ^3.

4 3.

3 2

120 .3 ) .3 (

4 3.

9 4

3. ) )3(

(

2









 



 



 



ABOC sen Área

OBC Área

ABC Área

.

b) a área limitada pelos segmentos AB e AC e pelo arco BC.

A área está representada pela letra “A”. Vale a diferença entre a área do quadrilátero ABOC e a área do setor circular de ângulo central medindo 120°.

  ^ ^{ } _ ^

   

 

 





 

 



3. 3 )(

3 3).

( 360

120 . 3 ).

) ( (

3. 3 ) (

2

Área A

setor Área

AOBC Área

.

14) Determine a área de uma coroa circular sabendo que uma corda do círculo maior tangente ao menor mede 10 cm.

Solução. Observando a figura, temos um triângulo retângulo de catetos 5 e r, com hipotenusa R. Utilizando a relação de Pitágoras e a fórmula da coroa circular, temos:

    ₂ ₂ ² ² ²

2 2 2

2 2

25 25 .

5 .)

( R r cm

r R R r

r R coroa

Área   





 

 













.

15) O paralelogramo da figura abaixo teve seu lado AB e sua diagonal BD divididos , cada um , em 3 partes iguais . Determine a razão entre a área do triângulo FGB e a área do paralelogramo.

Solução. Considere a área do paralelogramo valendo S. Observando a figura, temos:

- A diagonal DB divide o paralelogramo em duas regiões com áreas S/2.

- Os segmentos AE, EF e FB possuem a mesma medida. Logo determinam áreas valendo (S/2)/3 = S/6.

- Os segmentos DH, HG e GB possuem a mesma medida. Logo determinam áreas valendo (S/6)/3 = S/18.

A razão pedida é: _A^A₍⁽_ABCD^FGB⁾₎ ^ ^S^/_S¹⁸^₁₈¹ .

16) Na figura abaixo, sabe-se que: i) AR = 2.RD = 4.CR; ii) CP = 2.BP e PQ = QR. Nestas condições, determine a razão

2 1

S

S , entre as áreas dos triângulos ABC e QRD.

Solução. Traçando o segmento auxiliar BD, forma-se o triângulo ABD. Identificando as medidas na figura e estabelecendo as razões entre as áreas, escrevemos todas em função de S1. Lembrando que os vértices

(6)

i) Temos:



 





 



 AR CR

CR CR RD

RD

AR .3

.4 .2

.2

. Dessa forma, os triângulos BAC e BCD possuem área de mesma medida, pois possuem bases e de mesma medida e a altura é comum. Logo, Área(BCD) S1.

ii) Temos:

 



 









3 .2 .2 3

PC BC PB BC PB

PC

. Logo,

 

3 . . 2

3 ) 2

( S¹

BCD Área DPC

Área   .

iii) Temos:

 



 









3 .2 .2 3

RD CD CR CD CR

RD

. Logo, 9

. 4 3 . 2 3 ) 2 ( 3.

) 2

( S¹ S¹

DPC Área PRD

Área 



 



 

 .

iv) Temos:

3 QR PR QR

PQ   . Logo,

9 . 2 9

. . 4 2 ) 1 ( 2.

) 1

( ¹ ¹

2

S PRD S

Área DQR

Área

S 



 



 



 .

v) A razão pedida é: 4,5

2 9 .

2 . 9 9

.

2 ₁ ¹ ₁

1 2

1  

 



 

 S S

S S S S

.

17) Na figura abaixo, AC e AB são tangentes à circunferência menor. Calcule a área sombrada em função de r.

(7)

Solução. A área pedida é a soma das áreas S1 e S2. Calculando em separado, temos:

i) O triângulo APM é equilátero. Ele é inscrito no triângulo de raio (2.r).

 

3 . 3 ) 3 ( .

) . (

3. 4 3 3 12 4

3.

3. 2 4 ) 3.

( 3.

2

² ²

1 2

2 2 2 2

r S r

Área r

menor circunf Área

r r r

APM L Área r

L 



 

 



 









.

ii) A área S2 será a diferença entre a área do setor circular de 120° e a área do triângulo OAM.

3 3 .

. ) 4 ( 3

4 . 3 . 4 2

3 2 . 4 2

120 ).

2 ).(

) 2(

(

3 . 4 3

)2 ) .(

(

2 2 2 2

2 2

r r S Área r r

sen r r OAM r

Área

r setor r

Área







 



 







 



 





 









.

iii) Somando as duas áreas, temos:

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

1

3 . . 3 3

3 . 3 . 4 . 3 . 3

3 3 .

. 4 3

. 3 . ) 3 ( )

( )

(

r r r

r r

r

r r r

S r Área S

Área sombreada

Área

 





 



 





 







.

18) O quadrado ABCD tem lado igual a 6 cm. Com centro em A descrevem-se os arcos BD e CE. Determine a área da região sombreada?

(8)

Solução. O quadrado possui área igual a (6)² = 36. Observando as figuras e calculando as áreas, temos:

2 2

2

18 18 9 9 36 )3 2(

18 2 9

)6(

8 )2 )3 6.(

(

9 4 36 36 )6.(

)1 ( 36 )2 (

cm A

A Área A

Área

A Área A

Área















 



 

























 

.