1  1

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE TRIGONOMETRIA - GABARITO

1) Dados o comprimento C do arco AB e o raio da circunferência, calcule a medida do arco em radianos.

a) C = 0,5m e r = 0,25m b) C = 2cm e r = 0,04m c) C = 6cm e r = 2cm Solução. O comprimento do arco é dado pelo produto do raio pela medida do arco em radianos.

a) _rad

r C

25 2 , 0

5 , 0

).

25 , 0 ( 5 , 0 .

















b)

rad r

C

m cm

02 2 , 0

04 , 0

).

04 , 0 ( 02 , 0 .

02 , 0 2

















 c)

rad r

C 2 3 6

).

2 ( 6 .

















2) Determine o valor do seno, cosseno e tangente de cada arco além do quadrante:

Solução. Identificando os ângulos no 1º quadrante e observando os sinais correspondentes, temos:

a) 135º = 90º + 45º b) 5(45º) 225º 180º 45º 4

5    

c) 300º = 360º - 60º d) 315º = 360º - 45º

Ângulo Seno Cosseno Tangente Quadrante

135º

2 2

2

 2 

1

2º Q

4 5

2

 2

2

 2

1

3º Q

300º

2

 3

2

1  3 4º Q

315º

2

 2

2

 2 

1

4º Q

3) Calcule o valor de n em cada caso:

a)

4 3

6 





 sen sen

sen sen

n







b)

3 1 5

6 4

3





 tg

tg tg

n



  c)





 2 cos 1

cos3 cos4



  n Solução. Substituindo os valores nas expressões, temos:

a) 2

1 6 2 . 2 2

3 1 2

3 1 2 2 2

3 1 2 0 2

2 3 2 1

4 3

6 









 



 







 













 











  



 sen sen

sen sen

n

b) 3

3 6

3 2 )

3 1 ( 3

3 3 3 3 3 3 1

3 . 1 ) 3 1 ( 3

3 3 3

1 3

3 3 ) 3 ( 1

3 1 3

3 1 5

6 4

3



 

 

























 







 













 



 tg

tg tg

n

c)

4 1 2 2

2 1 2 1

1 2 1 2

2 2

cos 1

cos3

cos4 





 



 



 



 n

4) Simplifique cada uma das expressões:

a) sen(x + y) + sen (x - y) b) sen(x - y).cos y + cos(x - y).sen y c) cos(x + y).cos y + sen(x + y).sen y d) cos(x + y) + cos(x - y)

e) x

x sen cos

1 ²

f)

gx x cot

1 cos² 

g) 

^sec2x1



^.cotgx

Solução. Desenvolvendo as operações de acordo com as relações fundamentais e simplificando, temos:

a) ^sen(x^y)^sen(x^y)^senxcosy^senycosx^senxcosy^senycosx^2senxcosy

b)

   

senx seny

y x y

y x sen

senx y

sen y senx

y senxsen yseny

x y

x seny y

senx

seny senxseny y

x y

x seny y senx seny

y x y

y x sen











































) cos(

cos ) (

) 1 .(

) (cos

cos cos cos

cos cos

. cos

cos cos

. cos cos

) cos(

cos ) (

2 2

2 2

c)

   

x seny

y x sen y y x

x y

sen y x

x y sen yseny senx

y senxseny y

x

seny x seny y senx y

senxseny y

x seny

y x sen y y x

cos )

( cos

) cos(

) 1 .(

cos ) (cos

cos cos

cos cos

cos cos

. cos cos

cos . cos

cos )

( cos

) cos(

2 2

2 2











































d) cos(xy)cos(xy)cosxcosysenxsenycosxcosysenxseny2cosxcosy

e) x

x x x

x

sen cos

cos cos cos

1 ²  ² 

f) x

x sen senx

x x sen senx

x

x sen x x

gx x

cos cos cos

) (cos

cos cot

1

cos^{2 2 2 2 2}  ³

 

 

 



g)

 

^tgx

x senx senx

x x x gx sen

x tg gx

x    

cos .cos

cot cos ).

( cot . 1

sec ₂

2 2

2

5) Verifique as Identidades.

a) sen x . cos x . sec x . cossec x = 1 b) tg x + cotg x = sec x . cossec x c) cos x + tg x . sen x = sec x d) cotg x + tg x = cotg x . sec² x

Solução. A verificação pode ser feita a partir do lado direito buscando a expressão da esquerda ou desenvolvendo ambas ao mesmo tempo e encontrando valores iguais.

a) ok

senx x

x senx senx

x x senx x

x x

senx   1

. cos

cos . . 1

cos . 1 cos . sec

cos . sec . cos .

b) x x ok

senx x senx

x senx

x x x

sen senx

x x

gx senx

tgx       1 sec .cossec 

cos . 1 .

cos 1 .

cos cos cos

cot cos

2 2

c) x ok

x x

x sen x x

x x sen x senx

x senx senx

tgx

x        sec 

cos 1 cos

cos cos cos

cos . cos

. cos

2 2

2

d) x x gx tgx Exb ok

x senx x

senx x x

gx   cossec .sec cot  ( . )

cos . 1 1 cos

. 1 sec cos

.

cot ² ₂

6) Calcule o valor:

a) cos 105º b) sen 285º c) tg 345º d) cos 255º e) tg 75º f) tg 15º

Solução. Aplicando as fórmulas da soma e diferenças de arcos, temos:

a) 4

6 2 2

. 2 2

3 2 . 2 2 º 1 45 º 60 º

45 cos º 60 cos ) º 45 º 60 cos(

) º 105

cos(    sen sen    

b) 4

6 2 2

. 2 2

3 2 .1 2 º 2 225 cos º 60 º

60 cos º 225 )

º 60 º 225 ( ) º 285

( sen  sen sen      

sen

c) ^{(345º) (300º 45º) 1 300300º º. 4545ºº 1}



³³



^{.(11) 11 33. 11 33}^{112333  32}













 







 



 



 tg tg

tg tg tg

tg

d) ^{cos(255º) cos(225º 30º) cos225ºcos30º 225º 30º} ₂^2. ₂³ ₂²_^.₂^{1  2}₄^{ 6}





















 sen sen

e) ^. ₃³ ₃^{3 9} ₉^{6 3}₃ ^{3 3 2}

3 3 3

3 3 3

) 1 3 .(

1 3 3 1

3 º

45 º.

30 1

º 45 º ) 30

º 45 º 30 ( ) º 75

(  





 





























 

 



 tg tg

tg tg tg

tg

f) ^. ₃³ ₃^{3 9} ₉^{6 3}₃ ^{3 2 3}

3 3 3

3 3 3

) 1 3 .(

1 3

3 1 3 º 45 º.

30 1

º 30 º ) 45

º 30 º 45 ( ) º 15

(  





 





























 

 



 tg tg

tg tg tg

tg

7) Sendo sen x = 4/5 e cos y = 12/13 , em 0  x  /2 e 0  y  /2, determine:

a) sen (x + y) b) sen (x - y) c) cos (x - y) d) tg (x – y) Solução. Sabendo que sen²x + cos²x = 1, calculamos as raízes positivas de cosx e seny.

i) 5

3 25

9 25 1 16 1

cosx sen²x     ii)

13 5 169

25 169

1 144 cos

1 ²    

 y

seny

Desenvolvendo as somas e diferenças de arcos e substituindo os valores, temos:

a) 65

63 65

15 48 5 .3 13

5 13 .12 5 cos 4 cos

)

(xy senx yseny x    

sen

b) 65

33 65

15 48 5 .3 13

5 13 .12 5 cos 4 cos

)

(xy senx yseny x    

sen

c) 65

56 65

20 36 13 . 5 5 4 13 .12 5 cos 3

cos )

cos(xy  x ysenxseny    

d) 56

33 56 .65 65 33 65 56 65 33 ) cos(

) ) (

(   



 

 x y

y x y sen

x tg

8) Dê o conjunto solução em 0  x < 2.

a) 2

1



senx b) 2sen²xsenx1 c) 3tgx3 3 0 Solução. Observando o intervalo de solução, aparecerá mais que uma solução.

a)

  

 



 



 









 6

; 11 6 7 6 º4

º330 11 6 º3 º210 7

2

1 





S Quadrante ou

Quadrante ou

x senx

b)

 



 



 





 













 



 















 



 



 

 



 

 



 













 

 







2

; 3 6

; 5 6

2 º 3 270 1

6 º2 º 5 150

6 º1 º30 2

1

4 1 3 1

2 1 4

3 1

4 9 1 )2(2

)1 )(2(

4 1 0 1

1 2

1 1 2

2 ² _{2 2}













S

ou x

senx

Quadrante ou

Quadrante ou

x senx y

y y

y y y

y y senx

senx x sen

c)

 



 



 



 













 









3

; 5 3 2

3 º4 º 5 300

3 º2 º 2 120 3 3

3 0 3

3 3 3









S

Quadrante ou

Quadrante ou

x tgx

tgx

tgx

9) Em cada caso, determine os valores de sen(2x), cos(2x), tg(2x) e o quadrante ao qual pertence a extremidade do arco 2x :

a) 5

 4

senx ; x  1º Q b)

5

cosx 4; x  3º Q c)

3

 4

tgx ; x  3º Q

Solução. Em cada caso, calculam-se as raízes de acordo com os quadrantes e utilizam-se as relações trigonométricas conhecidas. Atenção ao sinal das raízes de acordo com o quadrante a que pertence “x”.

a)

x Q

xsen x x

x senx x sen xsen

x 2( º2)

25 7 25 16 25 cos 9 )2 cos(

25 24 5 . 3 5 .2 4 cos.

2) 2(

5 3 25

9 25 1 16 1 cos

2 2

2  

 



 











 

 



 



 

 











b)

x Q

x sen x x

x senx x sen x

senx 2( º1)

25 7 25

9 25 cos 16

)2 cos(

25 24 5 . 4 5 .2 3 cos.

2) 2(

5 3 25 1 16 cos 1

2 2

2  

 



 













 

 



 



 



 















c)

xtg Qx

x xsen x

senx

tgx º2)2(

7 24 25

7 25 24 )2(

25 )2cos( 7

25 )2( 24

5 cos 3

5 4

5 3 5 4 3

4  





 



 









 



 







