Triângulo de Pascal - Resumo
Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:
1ª) Como 1
0 n
, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.
2ª) Como 1
n n
, o último elemento de cada linha é igual a 1.
3ª) Cada elemento do triângulo, a partir da 3ª linha, que não seja o primeiro nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna
e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel).
Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
p
1 n p n 1 p
n
Propriedades do triângulo de Pascal P1: Em qualquer linha, dois números binomiais
equidistantes dos extremos são iguais.
Esses binomiais são complementares.
P2: Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é 2
n.
P3: Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até qualquer outro é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
Se n ≥ p,
1 p
1 n p ... n p
2 p p
1 p p
p ,
sendo n e p naturais. No caso dos exemplos, temos:
i)
2 7 1 1
1 6 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1
ii)
4 7 1 3
1 6 3 6 3 5 3 4 3 3
P4: Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de outra qualquer é igual ao elemento
imediatamente abaixo deste.
Se n ≥ p,
p 1 p n p
p ... n 2
2 n 1
1 n 0
n , sendo n e
p naturais. No caso do exemplo, temos:
4 7 4
1
6
4
6
3
5
2
4
1
3
0
2
COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – MEIO AMBIENTE - PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br Números Binomiais – 2014
1. Determine m que verifique: a)
m 4
12 1
m 2
12 ; b)
3 x 5
10 3
x
10 .
2. Sabendo que p ≠ q, resolva o sistema:
2 q 3 p
q 10 p
10
.
3. Utilize as propriedades e calcule os binomiais:
a) C
02 C
13 C
24 b) C
07 C
18 C
92 C
103 c)
10 13
10 12 9 11 8
10 7
10
4. Sabendo que 28 y x
e 56
1 y
x
, calcule o valor de
1 y
1
x .
5. Calcule o valor de
10 0
k
k
10 . (Sugestão: Utilize uma propriedade do triângulo de Pascal).
6. (Unificado) Resolva a equação na variável n: 254 p
n
1 n
1 p
.
7. Calcule: a)
5 0
k
k
5 b)
k8 1 k
2 k .
8
c)
k 6 6
0
k
2
. 1 k
6
8. Se um número natural n é tal que
2 n
12 7
11 6 10 5 10
2
, então n é:
a) igual a 6 ou – 6 b) um número par c) um quadrado perfeito d) divisor de 15 9. (UFMG) Determine o número inteiro m que satisfaz a equação envolvendo números combinatórios:
2 m 200
2000 m
2 1999
1999 1
m 2
1999
10. (UERJ) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração a seguir.
Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal
pode ser calculada pela fórmula
pn 11p n p
2 p p
1 p p
p
