Estudo de identifica¸ c˜ ao de sistemas

Universidade Federal da Grande Dourados-UFGD

Kelven Marcel Santos Delgado

Estudo de identifica¸ c˜ ao de sistemas

Via Algor´ıtimo de Realiza¸ c˜ ao de Auto-Sistemas

Dourados, MS

2018

Kelven Marcel Santos Delgado

Estudo de identifica¸ c˜ ao de sistemas

Via Algor´ıtimo de Realiza¸ c˜ ao de Auto-Sistemas

Trabalho de conclus˜ ao de curso, apresentado

`

a Faculdade de Engenharia, curso de gra- dua¸c˜ ao em Engenharia Mecˆ anica na Univer- sidade Federal da Grande Dourados, para a obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Bacharel em Engenha- ria Mecˆ anica.

Orientador: Prof. Dr. Sanderson Manoel da Concei¸c˜ ao

Dourados, MS

2018

Delgado, Kelven Marcel E.R.A. /

Kelven Marcel Santos delgado... [et al.] - 2018.

X f.; 30 cm.

Trabalho de conclus~ ao de curso de Engenharia Mec^ anica.

Universidade Federal da Grande Dourados.

Faculdade de Engenharia, 2018.

Orientador: Prof. Dr. Sanderson Manoel da Concei¸ c~ ao

1. Engenharia - Engenharia Mec^ anica.

2. Trabalhado de conclus~ ao de curso.

3. Estudo de identifica¸ c~ ao de sistemas. I. T´ ıtulo.

Kelven Marcel Santos Delgado

Estudo de identifica¸ c˜ ao de sistemas

Via Algor´ıtimo de Realiza¸ c˜ ao de Auto-Sistemas

Trabalho de conclus˜ ao de curso, apresentado ` a Facul- dade de Engenharia, curso de gradua¸c˜ ao em Enge- nharia Mecˆ anica na Universidade Federal da Grande Dourados, para a obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Bacharel em Engenharia Mecˆ anica.

Orientador: Prof. Dr. Sanderson Manoel da Con- cei¸c˜ ao

Aprovado pela Banca Examinadora em 07 de Dezembro de 2018.

Prof. Dr. Sanderson Manoel da Concei¸c˜ ao Orientador - UFGD

Prof. Dr. Marcus Vin´ıcius Monteiro Varanis UFGD

Prof. Dr. Clivaldo de Oliveira

UFGD

“Dedico este h´ a duas pessoas, primeiro minha m˜ ae Maria Arlete, que com toda sua dedica¸c˜ ao e carinho de uma mulher forte criou eu e meu irm˜ ao, mesmo exercendo a profiss˜ ao de dom´ estica me orgulho de ser filho desta mulher, que nunca deixou que nada fal- tasse nem muito menos a vontade para com os estu- dos, que desde minha pouca idade esfor¸cou a me levar a educa¸c˜ ao mesmo que na garupa de sua bicicleta e com todo o esfor¸co de um ser que carregava todo um mundo nas costas me tornou o que sou hoje, obrigado de cora¸c˜ ao.

E tamb´ em dedico este trabalho h´ a meu pai Victor Ani-

bal Delgado em mem´ oria a este homem que apesar da

distancia n˜ ao deixou que nada faltasse e tentou ser

presente mesmo na problem´ atica envolvendo nossa si-

tua¸c˜ ao, dedico ao senhor que sempre em nossos poucos

momentos me disse a importˆ ancia do estudo e do or-

gulho de ver todos seus filhos formados, pois bem aqui

estou e garantirei que o ultimo de seus filhos tamb´ em

siga os caminhos que o senhor tanto se orgulhava. ´ E

com muita tristeza por´ em dever cumprido que dedico

ao senhor, obrigado aonde estiver. ”

Agradecimentos

Primeiramente agrade¸co a meu Deus, pois talvez seja sua for¸ca divina que me manteve em p´ e at´ e aqui e que me ajudou na sabedoria que necessitava para que pudesse realizar este trabalho.

Aos meus pais Maria Arlete e Victor Anibal (em mem´ oria) que com todo amor me passaram ensinamentos que me tornaram a pessoa que sou hoje. Minha M˜ ae Maria Arlete que sempre esteve comigo, e que me manteve e mant´ em sempre com seu apoio incondicional todo o agradecimento do mundo. Ao me pai Victor Anibal que j´ a n˜ ao se encontra entre n´ os mas que at´ e em seu leito de hospital mantinha o sorriso e as perguntas sobre a faculdade como se eu importasse mais que ele mesmo, muito obrigado pai aonde estiver.

Ao meu irm˜ ao Antonio Claudio por todo o apoio e paciˆ encia durante essa caminhada e estava aqui em momentos ruins ou bons obrigado garoto, espero que seja melhor que eu sempre e disso ficarei agradecido.

Aos meus amigos de infˆ ancia, Victor Alexandre, Huilton Jos´ e e Let´ıcia Oz´ orio, que estavam comigo nos momentos mais complicados que passei durante este ultimo ano de faculdade. Aos meus demais amigos pessoais e de gradua¸c˜ ao que fiz neste per´ıodo de faculdade. Dentre esses ao meu colega e calouro Gabriel Barbosa do qual desenvolvemos um sistema de aquisi¸c˜ ao que depois utilizei como m´ etodo deste trabalho. Um agradeci- mento aos meus colegas que fiz durante esses anos de faculdade nos trabalhos que fiz aos finais de semana de gar¸com.

Aos colegas e professores que compartilharam comigo seus conhecimentos e aprendi- zados. Um obrigado ao Prof. Dr. Marcus Varanis que convidei para ser parte da banca pois me passou muito aprendizado durante a gradua¸c˜ ao e tamb´ em como seu orientando de inicia¸c˜ ao cientifica, e me permitiu algumas experiencias como o congresso nacional de matem´ atica aplicada, e tamb´ em ao professor Prof. Dr. Clivado como parte da inicia¸c˜ ao.

Aos demais professores de gradua¸c˜ ao e da engenharia mecˆ anica, do qual cito alguns que tive mais contanto durante minha gradua¸c˜ ao, como, Prof. Dr. Augusto Salom˜ ao, Prof.

Dr. Rodrigo Borges, e ao Prof. Dr Rafael Gregolim.

Agrade¸co a institui¸c˜ ao UFGD e seus docentes que me permitiu a oportunidade de cursar o ensino superior e me realizar. Tamb´ em agrade¸co pelo meio universit´ ario e aos contatos com as mais diversas pessoas que pude fazer dentro da universidade.

E claro agrade¸co ao meu Orientador Prof. Dr. Sanderson Manoel que me ajudou

na produ¸c˜ ao deste trabalho e me introduziu em novos conceitos, obrigado professor pela

orienta¸c˜ ao.

Resumo

O estudo das vibra¸c˜ oes mecˆ anicas sempre foi uma ´ area muito abrangente da engenharia, visto que quase tudo em nossa constitui¸c˜ ao moderna p´ os revolu¸c˜ ao industrial ´ e relativo ´ a um movimento de m´ aquina ou estrutura, logo tal ´ area ´ e discutida desde as constru¸c˜ oes ma- tem´ aticas nas literaturas e seus modelos, at´ e as constitui¸c˜ oes de novas t´ ecnicas de analises experimentais, passando por muitas vezes por estudos num´ ericos e computacionais atrav´ es da pr´ evia constru¸c˜ ao de um modelo do sistema. A importˆ ancia da identifica¸c˜ ao de um sistema, seja suas caracter´ısticas dinˆ amicas ou seja seu comportamento vibrat´ orio, assim chamado analise modal, nos d´ a espa¸co para remodelar um sistema ou at´ e mesmo aplicar t´ ecnicas de controle sobre o mesmo, isso ´ e muito utilizado nas industrias aeron´ auticas, automotivas, em estudos estruturais, entre outros. Afinal a ideia principal ´ e evitar a fa- lha, seja modificando seu modelo ou controlando o mesmo. Dessarte com a evolu¸c˜ ao das novas tecnologias n˜ ao s´ o ´ e poss´ıvel a assistˆ encia de modelos e simula¸c˜ oes num´ ericas pre- cisas como ´ e poss´ıvel a utiliza¸c˜ ao de t´ ecnicas experimentais, por´ em no ˆ ambito acadˆ emico utilizar-se de tais tecnologia talvez n˜ ao seja de f´ acil acesso devido aos custos dos mate- riais, sejam sensores, sistemas de aquisi¸c˜ ao ou at´ e mesmo programas espec´ıficos para a analise. Este trabalho estende justaposto h´ a uma t´ ecnica desenvolvida para analise modal (analise dos parˆ ametros dinˆ amicos) uma forma barata de fazer isso atrav´ es da utiliza¸c˜ ao de tecnologias de baixo custo, sistema de aquisi¸c˜ ao e sensores, bem como a utiliza¸c˜ ao de programa¸c˜ ao open-source para o tratamento computacional. A t´ ecnica utilizada para identifica¸c˜ ao dinˆ amica e de escopo principal deste trabalho ´ e o ERA-Eignsystem Reali- zation Algorithm, um algor´ıtimo matem´ atico desenvolvido por um antigo engenheiro da Nasa Juang, J. N. (NASA Langley Research Center, Hampton, VA, United States), que foi desenvolvido atrav´ es da matem´ atica computacional para utiliza¸c˜ ao na identifica¸c˜ ao de parˆ ametros dinˆ amicos de estruturas flex´ıveis, e depois estendido para controle de sistemas.

Posto isto o desenvolvimento matem´ atico ser´ a atribu´ıdo a este trabalho para a constru¸c˜ ao do algoritmo de identifica¸c˜ ao do modelo, que posteriormente poder´ a ser utilizado tanto para analise modal quanto para controle de sistemas, bem como a utiliza¸c˜ ao experimental acess´ıvel.

Palavras Chaves:Vibra¸ c˜ oes,Modelagem Matem´ atica,Identifica¸ c˜ ao de sistemas,ERA

Abstract

The study of mechanical vibrations has always been a very comprehensive area of engineering, since almost everything in our modern post-industrial revolution constitu- tion is relative there is a machine or structure movement, so such an area is discussed from mathematical constructs in literatures and their models, to the constitutions of new techniques of experimental analysis, often going through numerical and computational studies through the prior construction of a system model. The importance of identifying a system, be it its dynamic characteristics or its vibrational behavior, so called modal analysis, gives us space to remodel a system or even apply control techniques on it, this is very used in the aeronautical, automotive industries , in structural studies, among others. After all, the main idea is to avoid failure, either by modifying your model or by controlling it. With the evolution of the new technologies, it is not only possible to assist precise models and numerical simulations as it is possible to use experimental tech- niques, but in the academic field, using such technology may not be easily accessible due to the costs of materials, whether they are sensors, acquisition systems or even specific programs for analysis. This work extends juxtaposedly there is a technique developed for modal analysis (dynamic parameter analysis) an inexpensive way of doing this th- rough the use of low cost technologies, acquisition system and sensors, as well as the use of open source programming for the treatment computational. The technique used for dynamic identification and main scope of this work is the ERA-Eignsystem Realization Algorithm, a mathematical algorithm developed by a former engineer from Nasa Juang, JN (NASA Langley Research Center, Hampton, VA, United States), which was developed through computational mathematics for use in identifying dynamic parameters of flexible structures, and then extended to control systems. Thus, the mathematical development will be attributed to this work for the construction of the model identification algorithm, which can later be used for both modal analysis and systems control, as well as accessible experimental use.

keywords:Vibrations, Mathematical Modeling, Systems Identification, ERA

Lista de Figuras

1.1 Ponte de Tacoma Narrows. . . . 23

1.2 Compilado de estudos sobre vibra¸c˜ oes . . . . 24

1.3 Procedimento de controle de estruturas flex´ıveis segundo Juang . . . . 25

1.4 Esquema de uma identifica¸c˜ ao de modelo excitada impulsivamente . . . . . 26

2.1 Massa-Mola-Amortecedor . . . . 30

2.2 Modelo de um pr´ edio de trˆ es andares reduzido. . . . 31

2.3 Resposta ao impulso unit´ ario. . . . 34

2.4 Modelo de um sistema de dois graus de liberdade acoplado. . . . 35

2.5 Diagrama de blocos de um sistema representando no espa¸co de estados. . . 38

2.6 Modelo matem´ atico de um sistema de dois graus de liberdade. . . . 42

2.7 Resposta temporal h´ a um impulso . . . . 43

2.8 Diagrama de Bode mostrando as frequˆ encias. . . . 43

3.1 Exemplo de impulso e resposta real. . . . 50

4.1 Diagrama sobre a obten¸c˜ ao dos resultados. . . . 61

4.2 Exemplo do Sinal simulado em Python. . . . 62

4.3 Trˆ es primeiras frequˆ encias do M´ etodo de elementos Finitos. . . . 64

4.4 Viga de alum´ınio engastada e fixada no bloco inercial. . . . 65

4.5 Sistema de aquisi¸c˜ ao com Raspberry-pi e micro Acelerˆ ometros . . . . 66

4.6 Mensura¸c˜ oes f´ısicas da viga . . . . 66

4.7 Bancada inercial . . . . 67

4.8 Raspberry Pi 3 model B . . . . 67

4.9 Acelerˆ ometro Adxl345 . . . . 67

4.10 Martelo de cabe¸ca de nylon arredondado . . . . 68

4.11 Posicionamentos do impulso e das localiza¸c˜ oes do sensores . . . . 69

4.12 Corte necess´ ario ao sinal . . . . 69 4.13 Sinal no sensor localizado em 1 em impulso aplicado h´ a 105mm do engaste. 70 4.14 Sinal no sensor localizado em 2 em impulso aplicado h´ a 105mm do engaste. 71 4.15 Sinal no sensor localizado em 2 em impulso aplicado h´ a 210mm do engaste. 72 4.16 Sinal no sensor localizado em 4 em impulso aplicado h´ a 420mm do engaste. 73 4.17 Sinal no sensor localizado em 4 em impulso aplicado h´ a 210mm do engaste. 74 4.18 Sinal no sensor localizado em 1 em impulso aplicado h´ a 210 mm do engaste. 75 4.19 Sinal no sensor localizado em 1 em impulso aplicado h´ a 315 mm do engaste. 76

13

Lista de Tabelas

4.1 Resultados computacionais comparados com (JUANG, 1994) . . . . 63

4.2 Coeficientes η . . . . 65

4.3 Resultados computacionais da viga. . . . 65

4.4 Resultados do ERA e da FRF. . . . 70

4.5 Resultados do ERA e da FRF. . . . 71

4.6 Resultados do ERA e da FRF. . . . 72

4.7 Resultados do ERA e da FRF. . . . 73

4.8 Resultados do ERA e da FRF. . . . 74

4.9 Resultados do ERA e da FRF. . . . 75

4.10 Resultados do ERA e da FRF. . . . 76

4.11 M´ edia aritm´ etica dos Resultados do ERA e da FRF. . . . . 77

4.12 Compara¸c˜ ao dos Resultados . . . . 77

15

Lista de abreviaturas e siglas

Opcional

ERA Eigensystem realization algorithm;

NASA National Aeronautics and Space Administration;

FFT Fast Fourier Transform;

FRF Fun¸c˜ ao de Resposta em Frequˆ encia MEMS Micro Eletrical Machine Sensors;

MEF M´ etodo de Elementos Finitos;

SVD Singular Value Decomposition.

Lista de s´ımbolos

m Constante de massa.

c Constate de amortecimento.

k Constante de rigidez.

u(t) For¸ca aplicada a um sistema.

t Vari´ avel tempo.

x Vari´ avel que detona estado atual do sistema,(ex:deslocamento).

˙

x Primeira derivada do estado atual do sistema,(ex:velocidade).

¨

x Segunda derivada do estado atual do sistema,(ex:acelera¸c˜ ao).

i Integrador num´ erico indica qualquer n´ umero de valor atribu´ıdo.

f(t) Fun¸c˜ ao no domino do tempo.

F (s) Fun¸c˜ ao no domino da frequˆ encia.

s Vari´ avel complexo que denota o espectro da frequˆ encia.

£ Operador de Laplace.

y Vari´ avel que denota valor de sa´ıda de um sinal.

u Vari´ avel que detona valor de entrada de um sinal.

a Constante de estado de um sistema.

b Constante de entrada de um sistema.

Y (S) Transformada no domino da frequˆ encia do sinal de sa´ıda.

U (S) Transformada no domino da frequˆ encia do sinal de entrada.

h Integrador num´ erico que indica numero de sinais de sa´ıda.

r Integrador num´ erico que indica numero de sinais de entrada.

n Integrador num´ erico que indica tamanho ou ordem de um sistema ou matriz.

G(s) Fun¸c˜ ao de transferˆ encia.

X(s) Estado do sistema transformado no plano da frequˆ encia.

A Matriz de estados.

B Matriz de entrada.

C Matriz de sa´ıda.

D Matriz de transmiss˜ ao direta.

β Fator que indica m´ ultiplas derivadas das entradas em um sistema.

M Matriz de massa.

C Matriz de amortecimento.

K Matriz de rigidez.

I Matriz identidade.

Q _b Matriz de controlabilidade.

P a Matriz de observabilidade.

p Integrador num´ erico que indica o tempo discreto.

Y Parˆ ametros de Markov.

λ Autovalores de uma matriz.

Λ Matriz de autovalores.

ψ Autovetores de uma matriz.

Ψ Matriz de autovetores.

H(p) Matriz de Hankel.

R Matriz ortonormal da decomposi¸c˜ ao singular.

Σ Matriz diagonal que cont´ em os coeficientes singulares da decomposi¸c˜ ao singular.

S Matriz ortonormal da decomposi¸c˜ ao singular que cont´ em os autovetores associados.

σ Valores singulares da decomposi¸c˜ ao singular.

H ^> Matriz pseudo inversa da matriz de Hankel em p = 0.

R n Matriz ortonormal da decomposi¸c˜ ao singular reduzida.

Σ _n Matriz diagonal que cont´ em os coeficientes singulares da decomposi¸c˜ ao singular reduzida.

S _n Matriz ortonormal da decomposi¸c˜ ao singular que cont´ em os autovetores associados reduzia.

O h Matriz nula correspondente ao numero de sa´ıdas.

O _r Matriz nula correspondentes ao numero de entradas.

E _h Vetor que contenha as matrizes nulas de sa´ıda.

E r Vetor que contenhas as matrizes nulas de entrada.

A ˆ Matriz de estados realizada.

C ˆ Matriz de sa´ıda realizada.

D ˆ Matriz de entrada realizada.

δ Parte real dos autovalores, taxas de amortecimento modais discreta.

ω Parte imagin´ aria dos autovalores,frequˆ encias naturais amortecidas discreta.

j Nota¸c˜ ao de n´ umero imagin´ ario, √

−1.

λ _c Autovalores no tempo continuo.

δ _c Taxa de amortecimento modal.

ω _c Frequˆ encias naturais amortecidas [rad/s].

f Frequˆ encia natural do sistema [Hz].

ζ Coeficiente de amortecimento.

I ₀ Momento de in´ ercia da sec¸c˜ ao transversal da viga.

L Comprimento da viga.

E M´ odulo de elasticidade ou M´ odulo de Young.

Ar Area da sec¸c˜ ´ ao transversal viga.

η condi¸c˜ oes de contorno para viga engastada.

Sum´ ario

1 Introdu¸ c˜ ao 23

1.1 Objetivo . . . . 25 1.2 Discuss˜ ao sobre tecnologia Open-source . . . . 26

2 Conceitos de sistemas de controle 29

2.1 Modelagem matem´ atica . . . . 29 2.2 Teoria de controle . . . . 31 2.2.1 Transformada de Laplace . . . . 32 2.2.2 Fun¸c˜ ao de transferˆ encia . . . . 32 2.2.3 Exemplos . . . . 33 2.3 Espa¸co de Estados . . . . 36 2.3.1 Representa¸c˜ ao dos sistemas dinˆ amicos . . . . 40 2.3.2 Exemplo . . . . 42 2.4 Solu¸c˜ ao das equa¸c˜ oes de Estado . . . . 44 2.5 Controlabilidade . . . . 45 2.6 Observabilidade . . . . 47 3 Constru¸ c˜ ao do Algor´ıtimo de Realiza¸ c˜ ao de Auto-sistemas 49 3.1 Realiza¸c˜ ao de sistemas . . . . 49 3.1.1 Parˆ ametros de Markov . . . . 50 3.2 Decomposi¸c˜ ao em valores singulares . . . . 53 3.3 Constru¸c˜ ao do ERA . . . . 54

4 Conclus˜ ao 61

4.1 Simula¸c˜ ao num´ erica para um sistema Massa-Mola-Amortecedor . . . . 62

4.2 Simula¸c˜ ao num´ erica via m´ etodo dos Elementos Finitos . . . . 64

4.3 Indentifica¸c˜ ao Experimental . . . . 65

4.4 Materiais e M´ etodos . . . . 66

4.5 Resultados . . . . 68

4.5.1 Posi¸c˜ ao do sensor em 1 e impulso em 105mm . . . . 70

4.5.2 Posi¸c˜ ao do sensor em 2 e impulso em 105mm . . . . 71

4.5.3 Posi¸c˜ ao do sensor em 2 e impulso em 210mm . . . . 72

4.5.4 Posi¸c˜ ao do sensor em 4 e impulso em 420mm . . . . 73

4.5.5 Posi¸c˜ ao do sensor em 4 e impulso em 210mm . . . . 74

4.5.6 Posi¸c˜ ao do sensor em 1 e impulso em 210mm . . . . 75

4.5.7 Posi¸c˜ ao do sensor em 1 e impulso em 315mm . . . . 76

4.6 Considera¸c˜ oes Finais . . . . 77

Referˆ encias Bibliogr´ aficas . . . . 81

Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao

Os campos estruturais e de controle s˜ ao ´ areas modernas por´ em intimas da engenharia, com bases s´ olidas e antigas em ´ areas muito mais abrangentes como vibra¸c˜ oes mecˆ anicas que est˜ ao presentes na hist´ oria do homem desde sua composi¸c˜ ao cientifica, como som at´ e as primeiras investiga¸c˜ oes mecˆ anicas como as oscila¸c˜ oes em sistemas f´ısicos com Galileu e suas teorias sobre cordas, Joseph Fourier e suas transformadas, at´ e a teoria completa de Lord Rayleigh sobre som e vibra¸c˜ oes, que talvez seja um dos primeiros trabalhos publicados da ´ area. Os primeiros estudiosos da ´ area de vibra¸c˜ oes se concentraram em entender os fenˆ omenos naturais e em desenvolver teorias para descrever tais fenˆ omenos, e seus tratamentos matem´ aticos que foram utilizados junto a isto. Mais recentemente as investiga¸c˜ oes tem sido motivadas pelas aplica¸c˜ oes nas ´ areas de engenharia como projeto de m´ aquinas, funda¸c˜ oes, estruturas, motores, turbinas e sistemas de controle. Em todas as situa¸c˜ oes uma estrutura sujeita a vibra¸c˜ oes est´ a sujeito a falha, ou a fadiga induzida pela varia¸c˜ ao c´ıclica da tens˜ ao induzida.

Figura 1.1: Ponte de Tacoma Narrows.

Fonte: obtida da internet.

Sempre que a frequˆ encia natural de vibra¸c˜ ao de uma m´ aquina ou estrutura coincide com a frequˆ encia da for¸ca externa atuante, ocorre um fenˆ omeno conhecido como res- sonˆ ancia, que ocasionam em grandes deforma¸c˜ oes e falhas mecˆ anicas. A literatura ´ e rica de exemplos de falhas em sistemas causados por vibra¸c˜ oes excessivas em virtude de res-

23

24

sonˆ ancia. A Ponte de Tacoma Narrows 1.1, um dos mais cl´ assicos exemplos de colapso por ressonˆ ancia (HE; LIU, 2019) (RAO, 2008) (LALANNE; BERTHIER; HAGOPIAN, 1983) (BALACHANDRAN; MAGREB, 2010), apresenta a importˆ ancia da identifica¸c˜ ao dos parˆ ametros dinˆ amicos de uma estrutura, a Ressonˆ ancia ´ e um dos fenˆ omenos do estudo mais importantes da engenharia moderna quando nos referimos a sistemas oscilat´ orios.

Tal estudo deve ser realizado a fim de entender o comportamento dinˆ amico de uma es- trutura que estar´ a sujeita a qualquer tipo de excita¸c˜ ao peri´ odica, com objetivo de evitar que sejam atingidas as frequˆ encias naturais do sistema de estudo e sua poss´ıvel falha, e com isso deve levar em conta as diferentes t´ ecnicas de estudos sobre vibra¸c˜ oes bem como an´ alise dos parˆ ametros dinˆ amicos do sistema de projeto, e se o caso das estruturas que devem apresentar certa oscila¸c˜ ao, estruturas flex´ıveis, o controle das mesmas.

Figura 1.2: Compilado de estudos sobre vibra¸c˜ oes

Fonte: obtida da internet e editada pelo autor.

O estudo das vibra¸c˜ oes mecˆ anicas, de forma simples, geralmente consiste em quan- tificar tal movimento segundo sua frequˆ encia e amplitude. Na pr´ atica, entretanto, essa an´ alise raramente se limita a identificar um ´ unico par amplitude-frequˆ encia, al´ em de que a interpreta¸c˜ ao dos resultados pode revelar muitas caracter´ısticas do objeto de estudo, como: reatividade qu´ımica de uma mol´ ecula, o estado de deteriora¸c˜ ao de um elemento mecˆ anico, ou a resistˆ encia de pr´ edios a terremotos. Portanto, ´ e apenas natural que este seja um dos t´ opicos mais importantes de um curso de engenharia.

As identifica¸c˜ oes dos parˆ ametros dinˆ amicos, que ´ e geralmente referida como an´ alise modal no campo de estruturas, significa um dos processos de medi¸c˜ ao de sinais por uma estrutura real e identifica¸c˜ ao de parˆ ametros modais da mesma. Em suma a an´ alise modal

´

e um processo em que uma estrutura ´ e descrita em termos de suas caracter´ısticas modais,

que s˜ ao a frequˆ encia, o amortecimento e os modos de vibrar, ou seja suas propriedades

dinˆ amicas (AVITABILE, 2001). Usando os parˆ ametros modais identificados, processos

adicionais de identifica¸c˜ ao podem ser realizados para ajustar os parˆ ametros do modelo

estrutural. J´ a a identifica¸c˜ ao do sistema no campo de controle significa o processo de medir

os sinais produzidos por um sistema e construir um modelo para representar o sistema

para o projeto de controle do mesmo. T´ ecnicas preventivas para identificar um modelo

a partir de dados medidos normalmente contˆ em duas etapas. A primeira, um conjunto

de modelos candidatos ´ e escolhida e, em seguida, ´ e determinado o membro particular da

25 fam´ılia de dados que descreve satisfatoriamente os dados observados, com base em algum crit´ erio de erro. Se o modelo identificado ´ e um modelo linear em representa¸c˜ ao de ritmo de estado, a solu¸c˜ ao matem´ atica do modelo fornece autovalores e autovetores que por sua vez determinam parˆ ametros dinˆ amicos para estruturas.

Figura 1.3: Procedimento de controle de estruturas flex´ıveis segundo Juang

Fonte: (JUANG, 1994).

A correla¸c˜ ao entre os campos de teste modal e identifica¸c˜ ao do sistema para controles

´ e evidente. As teorias de controle s˜ ao de uma disciplina bem desenvolvida com fortes funda¸c˜ oes experimentais. Por outro lado, a ´ area de identifica¸c˜ ao do sistema para controles

´ e bem desenvolvida com s´ olidos fundamentos te´ oricos e metodol´ ogicos como em literaturas (OGATA, 2010).Enquanto o desenvolvimento de cada ´ area individual continua, h´ a uma necessidade de fornecer uma unifica¸c˜ ao abrangente e coerente das ´ areas. O controle ativo de estruturas flex´ıveis exige o escopo das duas ´ areas, tanto a de vibra¸c˜ oes mecˆ anicas e por consequente analise modal, quanto a de controle. Entre esses desafios est˜ ao o controle de antenas e plataformas espaciais. A ´ area de identifica¸c˜ ao do sistema engloba uma infinidade de abordagens, perspectivas e t´ ecnicas cujas inter-rela¸c˜ oes e rela¸c˜ oes Os m´ eritos s˜ ao dif´ıceis para resolver. Como resultado, ´ e dif´ıcil para um n˜ ao-especialista extrair conceitos fundamentais. Pode ser necess´ ario um esfor¸co para ganhar intui¸c˜ ao suficiente sobre uma t´ ecnica particular para poder us´ a-la efetivamente na pr´ atica.

1.1 Objetivo

Dessarte, utilizando-se de teorias de controle como formula¸c˜ ao b´ asica entremos nos

conceitos de espa¸co de estados, depois entremos nas teorizas de realiza¸c˜ ao de sistema e a

constru¸c˜ ao de um sistema no espa¸co de estados atrav´ es do sinal com os devidos tratamen-

tos matem´ aticos apresentados ao longo do trabalho. Por fim utilizaremos para identificar

os parˆ ametros dinˆ amicos de um sistema, a constru¸c˜ ao do algor´ıtimo ERA. Na d´ ecada

de 80, a NASA, EUA, come¸cou a partir de pesquisas de seus engenheiros como Juang

e Richard S. Pappa a usar um algor´ıtimo de identifica¸c˜ ao de sistemas chamado ERA

(algor´ıtimo de realiza¸c˜ ao de auto sistemas), tal algor´ıtimo ´ e uma ferramenta para iden-

tifica¸c˜ ao de um sistema atrav´ es apenas do sinal impulsivo aplicado ao mesmo. Utilizado

pelo Juang e pelo Richard S. Pappa para identifica¸c˜ ao do modelo da sonda espacial Gali-

leo como de exemplo (PAPPA; JUANG, 1988). Algoritmo esse que ser´ a construindo em

linguagens de programa¸c˜ oes livres como Python e Scilab. Dentre os resultados propostos,

26

Figura 1.4: Esquema de uma identifica¸c˜ ao de modelo excitada impulsivamente Fonte: obtida da internet e editada pelo autor.

Fonte: Imagens da internet editas pelo autor.

primeiro utilizarei de um modelo totalmente simulado e utilizarei de sua resposta para afirmar os primeiros resultados, logo apos utilizarei de um modelo de viga engastada real que ser´ a comparada h´ a um modelo num´ erico tamb´ em simulado em Python.

Dentre do escopo proposto, o objetivo principal deste trabalho ´ e desenvolver uma t´ ecnica de analise e identifica¸c˜ ao de modelo dinˆ amico de um estrutura, atrav´ es da cons- tru¸c˜ ao do algor´ıtimo chamado Eigensystem Realization Algoritihm, ou ERA, o tal al- gor´ıtimo desenvolvido em cima de teorias de controle moderno atrav´ es do espa¸co de es- tados e de teoria de identifica¸c˜ ao de sistema atrav´ es das teorias de min´ıma realiza¸c˜ ao.

Com isso ser´ a desenvolvido uma ferramenta que identifica modelos reais e que podem posteriormente serem utilizados para controle ou analise modais. Justaposto a isto ser´ a desenvolvido tamb´ em a forma de obten¸c˜ ao dos sinais que dever˜ ao ser utilizados atrav´ es de tecnologias acess´ıveis ao publico acadˆ emico, bem como explicitado mais a frente a tec- nologia Open-Source, com baixos custos ser´ a desenvolvido todo o sistema de aquisi¸c˜ ao e tratamento atrav´ es do algor´ıtimo ERA.

1.2 Discuss˜ ao sobre tecnologia Open-source

Na corrente ida ao mundo cientifico principalmente se tratando da engenharia mo-

derna, nos deparamos com a quest˜ ao de custos, ou por muitas vezes nos vemos na insu-

ficiˆ encia da quest˜ ao educacional em nosso pais que talvez n˜ ao supra toda a necessidade

em nossas universidades. Tamb´ em h´ a o fato que quando come¸camos a busca de softwares

de engenharia nos vemos preso a quest˜ ao dos termos de uso e da cobran¸ca de licen¸ca

para utiliza¸c˜ ao de muitos softwares de engenharia, isso tamb´ em se estende para os com-

ponentes como sensores que por muitas vezes s˜ ao de pre¸cos muito elevados pois s˜ ao de

usos industriais. Nesta linha de racioc´ınio surgem para solu¸c˜ ao de problemas a tecnolo-

gia open-source, ou software de c´ odigo livre, dos quais n˜ ao h´ a cobran¸ca de licen¸ca pelos

27 fabricantes.

O software open-source (c´ odigo aberto) est´ a presente em muitas coisas da sua vida, mesmo que vocˆ e n˜ ao perceba. Os f˜ as das placas Raspberry Pi, por exemplo, se aprovei- tam do software open-source. Servidores open-source Linux e BSD rodam nossos sites e redes corporativas, assim como unidades de entretenimento de avi˜ oes e quiosques de computadores. E n˜ ao para por a´ı, o software open-source est´ a no n´ ucleo dos aparelhos Android. At´ e mesmo navegadores populares s˜ ao open-source, incluindo o Firefox, o Opera e o projeto Chromium, que serve como base para o Chrome. Softwares de c´ odigo aberto como Linux s˜ ao t˜ ao importantes para os desenvolvedores que a Microsoft at´ e o integrou no Windows 10 com o Ubuntu Bash no Windows.

Esse estilo open source significa expressar a vontade de compartilhar informa¸c˜ oes e conhecimentos, colaborar de modo transparente (para que os outros possam entender e se unir ` a iniciativa), reconhecer que o erro ´ e uma maneira de melhorar e esperar e encorajar outras pessoas a seguir pelo mesmo caminho. A empresa Red Hat, l´ıder mundial de solu¸c˜ oes de softwares deste tipo e que contribui com a difus˜ ao da ideia, lan¸cou um livro, tamb´ em colaborativo, chamado The Open Source Way (“O Estilo Open Source”, em tradu¸c˜ ao livre)

No presente trabalho utilizarei de toda tecnologia open-source vigente para a com-

pila¸c˜ ao de resultados bem como a utiliza¸c˜ ao da linguagem de programa¸c˜ ao Python para

simula¸c˜ oes num´ ericas e para a obten¸c˜ ao de resultados. Tamb´ em a utiliza¸c˜ ao do raspberry

pi como sistema de aquisi¸c˜ ao e acelerˆ ometros micro-machinados (MEMS) que s˜ ao muito

mais baratos que os acelerˆ ometros usais na industria como os piezoel´ etricos.

28

Cap´ıtulo 2

Conceitos de sistemas de controle

Neste capitulo ser´ a salientado a importˆ ancia da modelagem matem´ atica para sistemas mecˆ anicos, como ´ e feito a simplifica¸c˜ ao desses sistemas e ent˜ ao a entrada nas teorias de controle onde ser´ a discutido a transforma¸c˜ ao de equa¸c˜ oes diferenciais que descrevem siste- mas em fun¸c˜ ao transferˆ encia que s˜ ao usadas no controle cl´ assico, depois ser´ a apresentado as limita¸c˜ oes para podermos entrar na teoria de controle moderno e come¸car a entrada nas equa¸c˜ oes de estados para at´ e ent˜ ao adentrar nos conceitos de estado, controlabilidade e observabilidade de um sistema.

A modelagem pode ser obtida com utiliza¸c˜ ao das equa¸c˜ oes de Newton como demons- trado na figura 2.1 da pr´ oxima se¸c˜ ao, ou tamb´ em para sistemas com coordenadas genera- lizas ou v´ arios graus de liberdade podem ser utilizas as equa¸c˜ oes de Lagrange nos m´ etodos de energia como feito em v´ arias literaturas sobre vibra¸c˜ oes mecˆ anicas. N˜ ao ser´ a expli- citado parte a parte das solu¸c˜ oes ou os m´ etodos, mas podem ser verificados no capitulo 6 do livro (RAO, 2008) ou no livro (BALACHANDRAN; MAGREB, 2010) que seguem como literaturas bases para vibra¸c˜ oes mecˆ anicas e entendimento das equa¸c˜ oes dinˆ amicas de sistemas lineares.

Assim a modelagem matem´ atica pode ser utilizada pra solu¸c˜ ao anal´ıtica e num´ erica computacional de sistemas e logo podemos ter a resposta a excita¸c˜ ao do sistema, sendo ela peri´ odica ou impulsiva, e essas respostas podem estar no tempo ou no plano das frequˆ encias. Para equa¸c˜ oes de um grau de liberdade at´ e dois graus, a teoria de controle cl´ assica que utiliza a fun¸c˜ ao de transferˆ encia pode ser utilizada e nos d´ a uma no¸c˜ ao do comportamento do sistema atrav´ es deste modelo. Por´ em quando passamos para um sistema mais complexo com v´ arios graus a equa¸c˜ ao de espa¸co de estados ´ e tratada para dar seguimento no desenvolvimento do era pra um corpo continuo.

2.1 Modelagem matem´ atica

Uma modelagem matem´ atica tem como finalidade descrever os principais aspectos de um sistema a ser estudado, e de tal forma obter as equa¸c˜ oes matem´ aticas governantes do comportamento do sistema. Um modelo matem´ atico deve incluir detalhes suficientes para descrever o sistema em termo de equa¸c˜ oes sem torna-l´ o muito complexo, assim com a simples observa¸c˜ ao e entendimento dos conceitos f´ısicos se faz necess´ ario a cria¸c˜ ao de uma an´ alise das taxas de varia¸c˜ ao de um sistema, que matematicamente falando s˜ ao as derivadas que regem a modelagem de um fenˆ omeno pelas equa¸c˜ oes diferenciais. Um modelo matem´ atico ´ e composto por parˆ ametros(constantes) que s˜ ao caracter´ısticas do sistema s˜ ao as vari´ aveis que afetam o sistema, mas n˜ ao s˜ ao foco do estudo,chamadas de

29

30

var´ aveis independentes, e as vari´ aveis de foco do estudo que s˜ ao as vari´ aveis dependentes.

Modelos simples s˜ ao mais f´ aceis de lidar por´ em dependendo do foco de estudo faz-se necess´ ario modelos mais sofisticados. A ideia n˜ ao est´ a em criar modelos complexos que incorporem todas caracter´ısticas do sistema, mas modelar suficientemente simples e que abrangem as principais caracter´ısticas do sistemas.

Partindo do pressuposto discutido sobre a modelagem matem´ atica, podemos partir de princ´ıpios f´ısicos como os descritos por Newton, apenas com a segunda lei e objetivando sistemas mecˆ anicos como foco de estudo, partimos da simples modelagem massa,mola e amortecedor, que descreve o movimento harmˆ onico de um bloco.

Figura 2.1: Massa-Mola-Amortecedor

Fonte: Criada pelo autor.

Esse modelo descrito na figura 2.1, abrange um modelo simples de uma for¸ca u(t) apli- cada ´ a um bloco de com elemento de inercia M, do qual resiste ao movimento, e tamb´ em

´

e resistido por duas for¸cas, sendo a for¸ca de amortecimento F ( ˙ x) = c x ˙ que pode ser apro- ximada com uma fun¸c˜ ao linear da velocidade, e a for¸ca de mola F (x) = kx, aproximado tamb´ em de uma for¸ca linear restauradora da deforma¸c˜ ao da mola(deslocamento).

Para construirmos a equa¸c˜ ao dinˆ amica

m x ¨ + c x ˙ + kx = u(t) (2.1)

assim a equa¸c˜ ao diferencial (2.1) descrever sucintamente o comportamento do bloco de massa sendo excitado por uma for¸ca. A modelagem simples do sistema massa-mola- amortecedor nos tr´ as uma sistema de um grau de liberdade, consideramos a coordenada generalizada x e suas respectivas derivadas temporais, velocidade ˙ x e acelera¸c˜ ao ¨ x.

Esse modelo b´ asico ´ e utilizado em qualquer literatura sobre estudo de vibra¸c˜ oes. Para este modelo tratado em um grau de liberdade existem algumas solu¸c˜ oes, que podemos chegar por meio da analise de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias. Sua solu¸c˜ ao nos aspecto que nos de uma resposta temporal n˜ ao ser´ a tratado neste momento mas podem ser verifi- cadas nas literaturas (RAO, 2008)(BALACHANDRAN; MAGREB, 2010). Assim sendo,

´

e poss´ıvel reduzir sistemas mais complexos h´ a alguns massa mola.

Como mostrado na figura 3.1 reduzindo um modelo de um pr´ edio de trˆ es andares,

onde os andares podem se deslocar uns em rela¸c˜ ao aos outros lateralmente, e onde os

andares representam o elemento de in´ ercia e as vigas representam os elementos de rigidez,

n˜ ao considerando o amortecimento, reduzimos cada viga de rigidez k _i h´ a um conjunto 2k _i

devido a associa¸c˜ ao de molas em paralelo, sendo i = 1, 2, 3, e representamos o sistema em

um conjunto massa mola de trˆ es graus de liberdade. Logo haver´ a 3 equa¸c˜ oes dinˆ amicas

da forma:

31 Figura 2.2: Modelo de um pr´ edio de trˆ es andares reduzido.

Fonte: Criada pelo autor.

m ₁ x ¨ ₁ + x ₁ (k ₁ + k ₂ ) + x ₂ (−k ₂ ) = 0 (2.2) m ₂ x ¨ ₂ + x ₁ (−k ₂ ) + x ₂ (k ₂ + k ₃ ) + x ₃ (k ₃ ) = 0 (2.3) m 3 x ¨ 3 + x 2 (−k 3 ) + x 3 (k 3 ) = 0 (2.4) Com essas trˆ es equa¸c˜ oes dinˆ amicas podemos utilizar m´ etodos matem´ aticos anal´ıticos ou num´ ericos para obter a dinˆ amica, bem como o comportamento do sistema. Ent˜ ao mesmo com a equa¸c˜ ao diferencial definida, existem algumas maneiras de resolver o sis- tema, seja para obter a resposta temporal, bem como analise modal das frequˆ encias naturais. Esse ultimo modelo apresentando ´ e conhecido em estudo de dinˆ amica de estru- turas civis como ”Shear building”, s˜ ao constantemente usadas em estudos de dinˆ amica li- near (VARANIS; SILVA; MERELES, ) (CHANDRAVANSHI; MUKHOPADHYAY, 2013) (PAPPALARDO; GUIDA, 2018).

2.2 Teoria de controle

A teoria de controle pode ser dividida em duas partes, a teoria de controle moderno

e a teoria de controle cl´ assico. A teoria de controle cl´ assico, que abrange os m´ etodos

de resposta de frequˆ encia e as equa¸c˜ oes de Laplace, utilizam-se modelos matem´ aticos

de sistemas junto a o m´ etodo operacional da transformada de Laplace para solu¸c˜ ao de

equa¸c˜ oes diferenciais lineares de sistemas como descrito em algumas literaturas sobre

controle (OGATA, 2010) . Em teoria de controle as fun¸c˜ oes ditas, fun¸c˜ oes de transferˆ encia

s˜ ao comumente usadas para caracterizar as rela¸c˜ oes de entrada-sa´ıda de componentes ou

sistemas que podem ser descritos por equa¸c˜ oes diferenciais lineares invariantes no tempo

(OGATA, 2010). Em resumo a fun¸c˜ ao transferˆ encia ´ e a rela¸c˜ ao entre a transformada de

Laplace do sinal de sa´ıda e a fun¸c˜ ao resposta e a transformada de Laplace do sinal de

entrada (fun¸c˜ ao excita¸c˜ ao).

32

2.2.1 Transformada de Laplace

Antes de entrar na teoria de controle moderno ´ e necess´ ario o entendimento sobre a transformada de Laplace. Em resumo, a transformada de Laplace ´ e um m´ etodo opera- cional para solu¸c˜ ao de equa¸c˜ oes diferenciais lineares, como na sec¸c˜ ao anterior foi visto, quando modelamos um sistema obtemos suas equa¸c˜ oes diferenciais, e com isso podemos usar alguns m´ etodos para solu¸c˜ ao, entre eles a transformada de Laplace. Com a transfor- mada de Laplace podemos transformar uma equa¸c˜ ao diferencial linear em uma equa¸c˜ ao alg´ ebrica de vari´ avel complexa s.

Seja f (t) uma fun¸c˜ ao do tempo em que f(t) = 0 para t < 0 a transformada de Laplace da fun¸c˜ ao ´ e dada por:

£[f (t)] = F (s) = Z ∞

0

[f(t)]e ^−st dt (2.5)

Logo na equa¸c˜ ao 2.5 o simbolo operacional £ indica que a fun¸c˜ ao vai ser transformada por meio da integral de Laplace R ∞

0 e ^−st dt, visto que s ´ e uma vari´ avel complexa e F (s)

´

e a transformada de Laplace da fun¸c˜ ao temporal f (t). Ent˜ ao se lembrarmos que um equa¸c˜ ao diferencial linear ´ e sua fun¸c˜ ao mais as derivadas delas podemos aplicar o teorema da distin¸c˜ ao real, que prevˆ e as transformadas da fun¸c˜ ao e de suas derivadas.

• Para a primeira derivada da fun¸c˜ ao:

£ d

dt f (t)

= sF (s) − f (0) (2.6)

• Para a segunda derivada da fun¸c˜ ao

£ d ²

dt ² f(t)

= s ² F (s) − sf (0) − f(0) ˙ (2.7)

• Logo para derivada de ordem n de f(t), obt´ em-se, de modo semelhante:

£ d ⁿ

dt ⁿ f(t)

= s ⁿ F (s) − s ⁿ⁻¹ f(0) − s ⁿ⁻² f ˙ (0) − ...

n−2

sf (0) −

n−1

f (0) (2.8)

onde os valores que v˜ ao de f (0), f (0)... ˙

n−1

f(0) representam os valores das derivadas de f (t). Mais detalhes sobre a transformada de Laplace podem ser encontradas em (OGATA, 2010)

2.2.2 Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia

A fun¸c˜ ao transferˆ encia de um sistema representado por uma equa¸c˜ ao diferencial linear

e invariante no tempo (considerando que modelos reais se aproximam de sistemas lineares),

ou seja ´ e definida como a raz˜ ao entre a a transformada de Laplace da sa´ıda (fun¸c˜ ao res-

posta), transformada de Laplace das entradas (fun¸c˜ ao excita¸c˜ ao) e com condi¸c˜ oes iniciais

nulas. Considerando um sistema linear invariante no tempo, definindo h com integradores

que indicam a i-´ esima sa´ıda e r o indicador que indica a i-´ esima entrada, considerando as

condi¸c˜ oes iniciais nulas, definindo pela equa¸c˜ ao diferencial:

33

a ₀ y ^h + a ₁ ^h−1 y + ... + a h−1 h ˙ + a _h y = b ₀ u ^r + b ₁ ^r−1 u + ... + b r−1 x ˙ + b _r y (2.9)

sendo y a sa´ıda do sinal do sistema e u a entrada, podemos aplicar a transformada de Laplace da forma:

£[a ₀ y ^h + a ₁ ^h−1 y + ... + a h−1 y ˙ + a _h y] = £[b ₀ u ^r + b ₁ ^r−1 u + ... + b r−1 x ˙ + b _r y]

(2.10)

Ent˜ ao transformando as fun¸c˜ oes de acordo com defini¸c˜ ao do teorema da distin¸c˜ ao real de acordo com as equa¸c˜ oes (2.6),(2.7),(2.8), e considerando as condi¸c˜ oes inicias nulas, obtemos as transformadas:

a ₀ s ^h Y (s)+a ₁ s ^h−1 Y (s)...+a h−1 sY (s)+a _h Y (s) = b ₀ s ^r U (s)+b ₁ s ^r−1 U (s)...+b r−1 sU (s)+b _r U (s) (2.11) Isolando as fun¸c˜ oes transformadas no dom´ınio da frequˆ encia:

(a ₀ s ^h + a ₁ s ^h−1 ... + a h−1 s + a _h )Y (s) = (b ₀ s ^r + b ₁ s ^r−1 ... + b r−1 s + b _r )U (s) (2.12) Logo se y ´ e o sinal de sa´ıda do sistema e u ´ e o sinal de entrada, transformando para o dom´ınio da frequˆ encia com a fun¸c˜ ao transferˆ encia do sistema aplicando Laplace e dividindo um sobre o outro:

Fun¸c˜ ao de Transferˆ encia:

G(s) = £[sa ´ı da]

£[Entrada] = Y (s)

U(s) = b ₀ s ^r + b ₁ s ^r−1 ... + b r−1 s + b _r

a ₀ s ^h + a ₁ s ^h−1 ... + a _h−1 s + a _h (2.13) Com essa defini¸c˜ ao da fun¸c˜ ao transferˆ encia na entrada e sa´ıda dos sinais de um sistema, podemos representar a dinˆ amica do sistema por equa¸c˜ oes alg´ ebricas em s, como ´ e dito na defini¸c˜ ao da transformada de Laplace.

2.2.3 Exemplos

exemplo 1

Para melhor entendimento de como funciona a fun¸c˜ ao transferˆ encia em um sistema mecˆ anico, podemos exemplificar com os modelos matem´ aticos de sistemas mecˆ anicos.

Usando primeiramente o modelo da figura 2.1, da qual a equa¸c˜ ao tem a forma

m¨ x + c x ˙ + kx = u(t) (2.14)

Primeiro dividiremos todos os termos pela massa m, e ent˜ ao aplicaremos a transfor- mada de lapace nos dois lados da equa¸c˜ ao:

£

¨ x + c

m x ˙ + x k m x

= £ 1

m u(t)

(2.15)

34

De acordo com as equa¸c˜ oes (2.6),(2.7),(2.8), podemos obter:

s ² X(s) − sx(0) − x(0) + ˙ c

m [sX(s) − x(0)] + k

m X(s) = 1

m U (s) (2.16) Como as condi¸c˜ oes iniciais s˜ ao nulas, tanto para o deslocamento inicial x(0) e veloci- dade inicial ˙ x(0), ficaremos com tal equa¸c˜ ao no plano complexo:

s ² X(s) + c

m sXs + k

m X(s) = 1

m U (s) (2.17)

Manipulando as fun¸c˜ oes no plano da frequˆ encia:

(s ² + c m s + k

m )X(s) = 1

m U (s) (2.18)

Dividindo a transformada da entrada pela sa´ıda para obtermos a fun¸c˜ ao transferˆ encia:

X(s)

U (s) m = 1

s ² + s _m ^c + _m ^k (2.19)

Passando m para o outro lado obtemos a fun¸c˜ ao transferˆ encia do sistema:

G(s) = X(s)

U(s) = 1

ms ² + cs + k (2.20)

Com a a fun¸c˜ ao transferˆ encia em m˜ aos podemos avaliar a entrada e a sa´ıda, ou resolve- la com os pares transformada e inversa da transformada pra obter a resposta temporal do sistema. Usando o Python podemos fazer uma simples simula¸c˜ ao da resposta do sistema h´ a uma entrada impulsiva:

Figura 2.3: Resposta ao impulso unit´ ario.

Fonte: Simulada pelo autor em linguagem Python.

35 exemplo 2

Para melhor entendimento da complexidade de tratar uma fun¸c˜ ao de transferˆ encia para mais de um grau de liberdade, considere o seguinte exemplo:

Figura 2.4: Modelo de um sistema de dois graus de liberdade acoplado.

Fonte: Criada pelo autor.

Para este exemplo a equa¸c˜ ao dinˆ amica fica da forma:

m 1 x ¨ 1 + k 1 x 1 + k 2 (x 1 − x 2 ) − c( ˙ x 1 − x ˙ 2 ) = u(t) (2.21) m 1 x ¨ 2 + k 3 x 2 + k 2 (x 2 − x 1 ) − c( ˙ x 2 − x ˙ 1 ) = 0 (2.22) Se manipularmos um pouco as equa¸c˜ oes e deixarmos as coordenadas generalizadas e suas derivadas cada qual em lados diferentes da equa¸c˜ ao da forma:

m ₁ x ¨ + c x ˙ ₁ + (k ₁ + k ₂ )x ₁ = c x ˙ ₂ + k ₂ x ₂ + u(t) (2.23) m ₂ x ¨ + c x ˙ ₂ + (k ₂ + k ₃ )x ₂ = c x ˙ ₁ + k ₂ x ₁ (2.24) E se ent˜ ao usarmos a transformada de Laplace nas componentes da equa¸c˜ ao diferencial, consideremos as condi¸c˜ oes iniciais nulas para ambas as coordenadas, seja x ₁ (0) = 0 e x ₂ (0) = 0, bem como suas derivadas, ˙ x ₁ (0) = 0 e ˙ x ₁ (0) = 0, Ambas as equa¸c˜ oes derivadas ficam da forma:

m 1 s ² + cs + (k 1 + k 2 )

X 1 (s) = [cs + k 2 ] X 2 (s) + U(s) (2.25) m 2 s ² + cs + (k 2 + k 3 )

X 2 (s) = [cs + k 2 ] X 1 (s) (2.26) Agora vamos deixar em evidencia X ₂ (s) na equa¸c˜ ao 2.26:

X ₂ (s) = [cs + k ₂ ]X ₁ (s)

m 2 s ² + cs + (k 2 + k 3 ) (2.27) Se usarmos a equa¸c˜ ao (2.27) na equa¸c˜ ao (2.25), obtemos a seguinte equa¸c˜ ao:

m 1 s ² + cs + (k 1 + k 2 )

X 1 (s) = (cs + k ₂ )(cs + k ₂ )X ₁ (s)

m ₂ s ² + cs + (k ₂ + k ₃ ) + U(s) (2.28)

36

Vamos multiplicar todos os membros dos dois lados da equa¸c˜ ao por m ₂ s ² +cs+(k ₂ +k ₃ ) dessa forma a equa¸c˜ ao fica:

(m ₁ s ² + cs + k ₁ + k ₂ )(m ₂ s ² + cs + k ₂ + k ₃ )

X ₁ (s) = (cs+k ₂ ) ² X ₁ (s)+(m ₂ s ² +cs+k ₂ +k ₃ )U (s) (2.29) E ent˜ ao passar o termo (cs + k ₂ ) ² X ₁ (s) para o lado esquerdo e deixar X ₁ (s) em evidencia:

(m 1 s ² + cs + k 1 + k 2 )(m 2 s ² + cs + k 2 + k 3 ) − (cs + k 2 ) ²

X 1 (s) = (m 2 s ² +cs+k 2 +k 3 )U(s) (2.30) Agora podemos dividir a entrada pela sa´ıda e obter a fun¸c˜ ao transferˆ encia em rela¸c˜ ao a coordenada X ₁ (s) que tomar´ a a forma:

X ₁ (s)

U (s) = m ₂ s ² + cs + k ₂ + k ₃

(m ₁ s ² + cs + k ₁ + k ₂ )(m ₂ s ² + cs + k ₂ + k ₃ ) − (cs + k ₂ ) ² (2.31) Da mesma forma que resolvemos para X ₁ (s), devemos resolver para X ₂ (s) para achar a fun¸c˜ ao transferˆ encia em rela¸c˜ ao a segunda coordenada generalizada:

X ₂ (s)

U (s) = cs + k ₂

(m ₁ s ² + cs + k ₁ + k ₂ )(m ₂ s ² + cs + k ₂ + k ₃ ) − (cs + k ₂ ) ² (2.32) Assim para dois graus de liberdade necessitamos obter duas fun¸c˜ oes transferˆ encias, com isso podemos ver tamb´ em complexidade que aumenta.

Mesmo que por defini¸c˜ ao a equa¸c˜ ao (2.13) e equa¸c˜ ao (2.8) a fun¸c˜ ao transferˆ encia garanta a transformada de uma equa¸c˜ ao diferencial de grau n, o que n˜ ao se faz necess´ ario pois sistemas mecˆ anicos necessitam de at´ e dois graus ( ˙ x e ¨ x), ela se torna dif´ıcil de manipular quando envolvemos mais de um grau de liberdade, tamb´ em ´ e necess´ ario criar uma equa¸c˜ ao de transferˆ encia por grau de liberdade, o que n˜ ao nos permite um tratamento abrangente quando queremos analisar sistemas mecˆ anicos de v´ arios graus de liberdade, bem como sistemas cont´ınuos.

Pondo em vista tais defini¸c˜ oes e exemplificando elas com varia¸c˜ oes de sistemas mecˆ anicos modelados, podemos observar que algumas no¸c˜ oes de teoria de controle cl´ assico s˜ ao abrangentes para tratamento de sistemas, principalmente quando se trata do plano da frequˆ encia, por´ em apenas se da a sistemas de ´ unica entrada e sa´ıda, com isso para dar continuidade ao escopo deste trabalho ´ e necess´ ario entrar na teoria de controle moderno que tem um tratamento no plano do tempo e pode-se usar analises matriciais de m´ ultiplas entradas e m´ ultiplas sa´ıdas.

2.3 Espa¸ co de Estados

As equa¸c˜ oes de espa¸co de estados s˜ ao parte da teoria de controle moderno, da forma

que s˜ ao necess´ aria para sistemas complexas com m´ ultiplas entradas e sa´ıdas e trabalha-se

com o conceito de estado. Ent˜ ao faz se necess´ ario entender os estados de um sistema,

para isso ´ e avaliado as vari´ aveis de estado, que s˜ ao o menor conjunto de vari´ aveis capaz de

determinar o estado do sistema. Entramos assim no espa¸co n-dimensional dos poss´ıveis

estados de um sistema. Dessa forma pensando matematicamente um sistema teria n-

vari´ aveis de n-equa¸c˜ oes diferenciais, com essas vari´ aveis dependentes da fun¸c˜ ao podendo

37 estar relacionadas ou n˜ ao, variando uma em fun¸c˜ ao da outra. De forma mecanicista, pode- se descrever melhor o espa¸co de estamos como um sistema mecˆ anico, apesar da teoria de controle moderno poder abranger outros sistemas, um sistema mecˆ anico pode ter n-graus de liberdade, ou seja que podem realizar movimentos em v´ arias coordenadas, sejam de movimentos lineares ou rotativos.

Considere o sistema com m´ ultiplas entradas e m´ ultiplas sa´ıdas:

u ₁ (t), u ₂ (t), ..., u _r (t) E ent˜ ao haja h sinais de sa´ıda:

y ₁ (t), y ₂ (t), ..., y _h (t)

Definindo as n vari´ aveis de sa´ıda dos integradores como vari´ aveis de estados:

x ₁ (t), x ₂ (t), ..., x _n (t) O sistema pode ent˜ ao ser descrito por:

˙

x ₁ (t) = f ₁ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t)

˙

x ₂ (t) = f ₂ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t) .. .

˙

x _n (t) = f _n (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t) (2.33)

E os valores de sinais de sa´ıda s˜ ao dados:

y ₁ (t) = g ₁ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t) y ₂ (t) = g ₂ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t)

.. .

y _h (t) = g _h (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t) (2.34)

logo definindo os vetores como:

x(t) =











˙ x ₁ (t)

˙ x ₂ (t)

.. .

˙ x n (t)











, f (x, u, t) =











f ₁ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t) f ₂ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t)

.. .

f n (x 1 , x 2 , . . . , x n ; u 1 , u 2 , . . . , u r ; t)











(2.35)

y(t) =











˙ y ₁ (t)

˙ y 2 (t)

.. .

˙ y _h (t)











, g(x, u, t) =











g ₁ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t) g 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ; u 1 , u 2 , . . . , u r ; t)

.. .

g _h (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ; u ₁ , u ₂ , . . . , u _r ; t)











,

38

u(t)=









 u 1 (t) u ₂ (t)

.. . u _r (t)









 (2.36)

logo as equa¸c˜ oes 2.35 e 2.36 se tornam as seguintes fun¸c˜ oes:

˙

x(t) = f(x, u, t) (2.37)

y(t) = g(x, u, t) (2.38)

Sendo a equa¸c˜ ao 2.37 a equa¸c˜ ao de estados e a equa¸c˜ ao 2.38 a equa¸c˜ ao de sa´ıda.

Linearizando em torno do estado de opera¸c˜ ao, resulta na seguinte equa¸c˜ ao linear para o estado e sa´ıda:

˙

x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t) (2.39)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) (2.40)

Sendo A(t) a matriz de estado, B(t) a matriz de entrada, C(t) ´ e a matriz de sa´ıda e D(t) ´ e a matriz de transmiss˜ ao direta. Para entendermos melhor podemos demonstrar com um diagrama de blocos:

Figura 2.5: Diagrama de blocos de um sistema representando no espa¸co de estados.

Fonte:(OGATA, 2010).

Como a matriz de espa¸co de estados foi desenvolvido como m´ etodo computacional da

matem´ atica aplicada, as defini¸c˜ oes de seus parˆ ametros levamo muito em conta defini¸c˜ oes

de sa´ıda e entrada de sinal no sistema. A matriz de entrada define aonde ´ e a aplicada a

entrada do sistema, se um sistema mecˆ anico, ela indica em qual grau de liberdade est´ a

sendo aplicado a for¸ca e sua magnitude. A matriz de estado ´ e a matriz que define as

propriedades mecˆ anicas do sistema, dela, podemos tirar as informa¸c˜ oes pertinentes do

sistema, como inercia, rigidez e amortecimento, a matriz de sa´ıda, indica de qual grau

de liberdade eu quero avaliar a resposta, visto que ´ e uma resposta temporal, obtemos

qual o comportamento daquele elemento em quest˜ ao. Usarei mais adiante demonstra¸c˜ oes

simples e computacionais para salientar isto.

39 exemplo

Conhecendo agora a equa¸c˜ ao de espa¸co de estados e as equa¸c˜ oes de controle, demons- traremos com o a figura 2.1 e sua equa¸c˜ ao dinˆ amica, como montar a matiz de estado para um sistema de um grau de liberdade, da forma que:

Se a equa¸c˜ ao dinˆ amica do sistema ´ e:

m¨ x + c x ˙ + kx = u(t) (2.41)

Primeiro vamos manipular um pouco e deixar ¨ x do lado esquerdo:

¨ x = 1

m (−kx − c x) + ˙ 1 m u

Esta equa¸c˜ ao por defini¸c˜ ao ´ e um sistema de segunda ordem, ou seja h´ a dois integradores no sistema, com isso linearizamos os sistema da forma que definiremos duas vari´ aveis de estado, seja x ₁ (t) e x ₂ (t), ent˜ ao definimos:

x ₁ (t) = x(t) x ₂ (t) = ˙ x(t)

logo avaliando que a equa¸c˜ ao derivada de x ₁ , ou seja ˙ x ₁ ´ e igual ao x ₂ , pois ´ e a derivada de x que ´ e igual ˙ x, ent˜ ao a derivada segunda de x, ou seja ¨ x, ´ e a primeira derivada de x ₂ , ou seja

˙ x ₂ = ¨ x Dessa forma:

˙ x ₁ = x ₂

˙ x ₂ = 1

m (−kx ₁ − cx ₂ ) + 1 m u

Ou seja, foi encontrado dois componentes da primeira equa¸c˜ ao do espa¸co de estados, com isso ainda podemos obter duas respostas em y = x, uma que definimos como x ₁ e a outra que ´ e x 2 . Para melhor visualiza¸c˜ ao podemos escrever na forma matricial:

x ˙ ₁

˙ x ₂

=

0 1

−k m

−c m

x ₁ x ₂

+ 0

1 m

u (2.42)

E a resposta fica da forma:

y=

1 0 x ₁

x ₂

40 (2.43)

Lembrando da defini¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de espa¸co de estados das equa¸c˜ oes 2.39 e 2.40 podemos comparar da forma:

˙

x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

De forma matricial foi descrito os trˆ es componentes principais: Matriz de estados:

A=-

0 1

−k m

−c m

(2.44)

Matriz de entrada:

B=

0

1 m

(2.45)

Matriz de sa´ıda:

C=

1 0 (2.46)

Este exemplo trivial, serviu para entender como ´ e feito a analise de um sistema mecˆ anico saindo de sua equa¸c˜ ao dinˆ amica para o tratamento matricial do mesmo.

2.3.1 Representa¸ c˜ ao dos sistemas dinˆ amicos

Para melhor entendimento de como a equa¸c˜ ao de espa¸co de estados funciona para um sistema dinˆ amico de v´ arias entradas bem como v´ arias sa´ıdas, primeiro consideremos que um sistema dinˆ amico de um numero finito de elementos cont´ em um numero tamb´ em finito de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias com o tempo como vari´ avel independente. Usando a nota¸c˜ ao matricial-vetorial podemos representar tal equa¸c˜ ao diferencial de ordem n por uma equa¸c˜ ao matricial-diferencial de primeira ordem, assim os n elementos do vetor que representa cada a lineariza¸c˜ ao de cada equa¸c˜ ao diferencial s˜ ao um conjunto de vari´ aveis de estado, e a equa¸c˜ ao matricial vetorial ´ e a equa¸c˜ ao de estado.

Para as representa¸c˜ oes sem derivada de entrada, e tamb´ em a representa¸c˜ ao com n derivadas de entradas podem ser encontradas em (OGATA, 2010) ou (NISE, 2017).

Ponderando-se que h´ a varias formas de representar um sistema no espa¸co de esta-

dos, vale lembrar que existem alguns m´ etodos com representa¸c˜ oes canˆ onicas, como a

forma canˆ onica control´ avel, a forma canˆ onica observ´ avel, a forma canˆ onica diagonal e a

41 canˆ onica de Jordan, (OGATA, 2010).

Uma das formas mais usual e demonstrada por Juang (JUANG, 1994),quando trata- mos das equa¸c˜ oes de um sistema linear dinˆ amico onde h´ a n coordenadas independentes, logo n graus de liberdade e n equa¸c˜ oes, onde M , C e K s˜ ao matrizes de massa, amorte- cimento e rigidez respectivamente da forma:

M x ¨ + C x ˙ + Kx = f (x, t) (2.47) Onde pode-se observar novamente os vetores generalizados de ¨ x, ˙ x e x, e sendo assim f(x, t) representa a fun¸c˜ ao da for¸ca aplicada no per´ıodo de interesse em um localiza¸c˜ ao espec´ıfica. Ent˜ ao uma das formas matricial vetorial ´ e apresentada:

A=

0 _n,n I _n,n

−M _n,n ⁻¹ K n,n −M _n,n ⁻¹ C n,n

, x=

x

˙ x

, B=

0 M _n,n ⁻¹ β n,n

, f(x,t)=βu(t) (2.48)

Computacionalmente essa maneira de tratar a equa¸c˜ ao de estados ´ e muito mais ade- quado, visto que dependendo do numero de graus de liberdade e por consequente o numero n de equa¸c˜ oes diferenciais, precisamos apenas com a modelagem matem´ atica obter as ma- trizes de massa M _n,n a matriz de rigidez K _n,n e a matriz de amortecimento C _n,n , e a parte de cima da matriz de estados temos uma matriz de zeros 0 n,n e uma matriz inidentidade I _n,n , logo a matriz de estado A se torna uma matriz de tamanho 2n × 2n, e a matriz resposta ´ e B que cont´ em o fator β uma matriz n × r que caracteriza a localiza¸c˜ ao e o tipo de entrada, e que r indica o numero de entradas. A matriz de resposta dos sistemas

´ e mensurada a partir do numero m de repostas que queremos obter do vetor y(t), seria e qual grau de liberdade eu quero obter a resposta do sistema, em uma forma pr´ atica, indica de quantos sensores poder´ a se obter a resposta.

y = C _a x ¨ + C _v x ˙ + C _d x (2.49) Da forma que C _a ,+C _v e C _d representam a matrizes de influencia da sa´ıda da acelera¸c˜ ao, velocidade e deslocamento respectivamente. Essas matrizes descrevem a comunica¸c˜ ao entre os vetores ¨ x, ˙ x e x, e o vetor de reposta, assim podemos obter as repostas de uma entrada de acelera¸c˜ ao em termos de velocidade e deslocamento, Se for resolvida para ¨ x na equa¸c˜ ao 2.47 e depois for substitu´ıda na equa¸c˜ ao 2.49, pode-se observar:

y = C _a M ⁻¹ [B ₂ u − C x ˙ − Kx + C _v x ˙ + C _d x] (2.50) Ent˜ ao de acordo com a equa¸c˜ ao de resposta do sistema:

y = Cx + Du (2.51)

Pode ser descrita como:

C = [C _d − C _a M ⁻¹ K C _v − C _a M ⁻¹ C], D = C _a M ⁻¹ β (2.52)

Isso o nos mostra que C ´ e uma matriz m × n de resposta, que inclui velocidade e

deslocamento, e D a matriz de transmiss˜ ao direta m × n, tal matriz tem sentindo f´ısico

por que se mudar um degrau da for¸ca de entrada u produz uma mudan¸ca em degrau na

42

acelera¸c˜ ao do vetor resposta y, e o tamanho do degrau na acelera¸c˜ ao ´ e ditado pelo ganho na matriz D. A matriz de transmiss˜ ao direta desaparecem quando acelerˆ ometros n˜ ao s˜ ao usados nas medi¸c˜ oes.

Em suma apesar de da complica¸c˜ ao matricial em entender com funcionam as entradas e sa´ıdas de forma matricial e vetorial, exemplificarei com modelos a forma de analisar um modelo na forma de espa¸co de estados, e observaremos como ´ e facilitado a simula¸c˜ ao da resposta de um sistema no espa¸co de estados.

2.3.2 Exemplo

Usando o exemplo apresentando no memorando t´ ecnico escrito por Juang e Richard S. Pappa(JUANG, 1994), da forma apresentando:

Figura 2.6: Modelo matem´ atico de um sistema de dois graus de liberdade.

Fonte: Adaptado de (JUANG, 1994).

Se fizermos a equa¸c˜ ao dinˆ amica e separar as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, considerando que c ₁ = c ₂ = c ₃ e k ₁ = k ₂ = k ₃ podemos obter as seguintes nota¸c˜ oes vetorial:

M=

m ₁ 0 0 m ₂

, C=

2c −c

−c 2c

,K=

2k −k

−k 2k

(2.53)

Segundo o paper de Juang, usando os parˆ ametros f´ısicos, m ₁ = 0.8,m ₂ = 1.5,c = 0.1 e k = 10, ent˜ ao podemos observar duas frequˆ encias naturais relativa aos dois graus de liberdade, sendo elas 0.4594[Hz] e 0.8714[Hz], como m´ etodo de compara¸c˜ ao podemos utilizar programa¸c˜ ao para simular tal sistema considerando as entradas de for¸ca como um impulso, utilizando a nota¸c˜ ao de equa¸c˜ ao de estados descrita na equa¸c˜ ao 2.3.2, podemos ent˜ ao simular em Sci-lab a resposta temporal e as repostas em frequˆ encia. A matriz de estados pode ser escrita da forma:

A=









0 0 1 0

0 0 0 1

−K m

−2K m

−c m

−2c m

−2K m

K m

−2c m

c m









43 (2.54)

Utilizando das nota¸c˜ oes descritas,pode-se apenas construir as matrizes de rigidez, massa e amortecimento, depois construir a matriz de estados. Tamb´ em podemos observar que quanto os vetores de entrada B e sa´ıda C atribui o tamanho relativo a 2n, e apenas atribuindo uma unidade aonde queremos impulsionar o sistema, neste caso B = [1, 0, 0, 0]

para impulsionarmos no primeiro grau de liberdade, e C = [1, 0, 0, 0] para obter a res- posta no mesmo e no deslocamento, ou seja, na fun¸c˜ ao, e se colocar a unidade no segundo elemento obt´ em-se ent˜ ao a resposta em velocidade.

Figura 2.7: Resposta temporal h´ a um impulso

Fonte: Obtida via simula¸c˜ ao em Scilab.

Aqui podemos ver o diagrama de Bode, que nos d´ a os pico de frequˆ encia do sinal recebido, e que batem com as frequˆ encias dadas.

Figura 2.8: Diagrama de Bode mostrando as frequˆ encias.

Fonte: Obtida via simula¸c˜ ao em Scilab.

Com este exemplo pode-se ent˜ ao demonstrar como ´ e trivial a analise computacional

de um sistema dinˆ amico usando as equa¸c˜ oes de estado de espa¸cos, isso ´ e muito ´ util para

tratarmos da modelagem de sistemas bem como simularmos seu comportamento.