Eletromagnetismo II. Cap. 9: Ondas eletromagnéticas 9.2: Ondas eletromagnéticas no vácuo. Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

Eletromagnetismo II

Cap. 9: Ondas eletromagnéticas 9.2: Ondas eletromagnéticas no vácuo

Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

9.2 Ondas eletromagnéticas no vácuo

9.2.1 A equação de onda em 3D

No vácuo, onde não há cargas ou correntes, já vimos que as equações de Maxwell se reduzem a:

• Vamos mostrar agora que essas equações suportam a propagação de ondas eletromagnéticas (EM).

• Note que as equações dos rotacionais acoplam 𝐄 e 𝐁, então o primeiro passo é tentar desacoplá-las.

𝛁 ⋅ 𝐄 = 0

𝛁 ⋅ 𝐁 = 0

𝛁 × 𝐄 = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡

𝛁 × 𝐁 = 𝜇 ₀ 𝜀 ₀ 𝜕𝐄

𝜕𝑡

Para isso, vamos começar tomando o rotacional sobre a lei de Faraday:

Agora, no lado esquerdo, podemos simplificar o rotacional do rotacional utilizando a expressão:

e, da lei de Gauss (no vácuo), sabemos que 𝛁 ⋅ 𝐄 = 0.

𝛁 × 𝛁 × 𝐄 = 𝛁 × − 𝜕𝐁

𝜕𝑡 = − 𝜕

𝜕𝑡 𝛁 × 𝐁

Utilizando a lei de Ampère-Maxwell, obtemos:

𝛁 × 𝛁 × 𝐄 = − 𝜕

𝜕𝑡 𝜇 ₀ 𝜀 ₀ 𝜕𝐄

𝜕𝑡 = −𝜇 ₀ 𝜀 ₀ 𝜕 ² 𝐄

𝜕𝑡 ²

𝛁 × 𝛁 × 𝐄 = 𝛁 𝛁 ⋅ 𝐄 − ∇ ² 𝐄

Reunindo os resultados, obtemos:

Da mesma forma, partindo da lei de Ampère-Maxwell e utilizando o mesmo raciocínio, obtemos (verifique):

onde o Laplaciano escalar, ∇ ² = 𝜕 _𝑥 ² + 𝜕 _𝑦 ² + 𝜕 _𝑧 ² , representa a generalização do operador diferencial 𝜕 _𝑧 ² que vimos em 1D.

∇ ² 𝐄 = 𝜇 ₀ 𝜀 ₀ 𝜕 ² 𝐄

𝜕𝑡 ²

∇ ² 𝐁 = 𝜇 ₀ 𝜀 ₀ 𝜕 ² 𝐁

𝜕𝑡 ²

Lembrando da definição do Laplaciano vetorial, vemos então que cada componente cartesiana de 𝐄 e 𝐁 satisfaz a equação de onda em 3D:

∇ ² 𝑓 = 1 𝑣 ²

𝜕 ² 𝑓

𝜕𝑡 ²

Comparando as equações, vemos que a velocidade de propagação é dada por:

1

𝑣 ² = 𝜇 ₀ 𝜀 ₀ 𝑣 = 1

𝜇 ₀ 𝜀 ₀

⇒

Utilizando os valores SI, 𝜀 ₀ = 8,85 × 10 ^{−12 C}

N.m

e 𝜇 ₀ = 4𝜋 × 10 ^{−7 T.m}

A , obtemos (verifique):

𝑣 = 1

𝜇 ₀ 𝜀 ₀ = 3,00 × 10 ⁸ m s = 𝑐 Τ

que é exatamente a velocidade da luz no vácuo!

Este é um dos resultados mais importantes do eletromagnetismo clássico:

• A partir de constantes medidas na eletricidade e no magnetismo, obtivemos uma propriedade até então medida tradicionalmente na óptica!

• Isto sugere que a luz é uma onda eletromagnética, de forma que fenômenos ópticos pode ser entendidos a partir de propriedades de ondas!

• Note o papel fundamental desempenhado pela corrente de deslocamento de Maxwell na obtenção deste resultado!

9.2.2 Ondas planas monocromáticas

Como vimos anteriormente, podemos construir qualquer solução da equação de onda a partir de uma superposição de ondas monocromáticas. Sendo assim, podemos nos concentrar no estudo delas.

Note que:

• Num dado instante, a fase da onda é constante quando 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒.

• Os campos são uniformes sobre planos perpendiculares à direção de propagação.

• Por isso, essas ondas são conhecidas como ondas planas!

Considere então uma onda monocromática se propagando ao longo da direção 𝑍, e vamos supor ainda que os campos não dependem de 𝑥 ou 𝑦. Utilizando a notação complexa, podemos escrever:

𝐄 𝑧, 𝑡 = ෨ ෨ 𝐄 ₀ 𝑒 ^{𝑖 𝑘𝑧 −𝜔𝑡}

𝐁 𝑧, 𝑡 = ෩ ෩ 𝐁 ₀ 𝑒 ^{𝑖 𝑘𝑧 −𝜔𝑡}

Como sabemos, esses campos satisfazem a equação de onda com 𝜔 = 𝑐𝑘, mas as equações de Maxwell impõem vínculos adicionais sobre as amplitudes complexas 𝐄 ෨ ₀ e 𝐁 ෩ ₀ !

• Por exemplo, a lei de Gauss impõe que:

𝛁 ⋅ 𝐄 = 0 ⇒ 𝜕 ෨ 𝐸 _𝑧

𝜕𝑧 = 𝑖𝑘 ෨ 𝐸 _0𝑧 𝑒 ^{𝑖 𝑘𝑧 −𝜔𝑡} = 0 ⇒ 𝐸 ෨ _0𝑧 = 0

• Da mesma forma, a lei de Gauss para o magnetismo impõe que 𝐵 ෨ _0𝑧 = 0.

• Esses dois resultados mostram que as ondas EM são transversais, ou seja, os campos (perturbações) são perpendiculares

à direção de propagação!

• Além disso, a lei de Faraday impõe que:

− 𝜕 ෨ 𝐸 _𝑦

𝜕𝑧 = − 𝜕 ෨ 𝐵 _𝑥

⇒ 𝜕𝑡

Com isso, podemos escrever:

𝛁 × 𝐄 = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡

componente 𝑥

⇒ −𝑖𝑘 ෨ 𝐸 _0𝑦 = 𝑖𝜔 ෨ 𝐵 _0𝑥

𝜕 ෨ 𝐸 _𝑥

𝜕𝑧 = − 𝜕 ෨ 𝐵 _𝑦

⇒ 𝜕𝑡 ⇒ 𝑖𝑘 ෨ 𝐸 _0𝑥 = 𝑖𝜔 ෨ 𝐵 _0𝑦 componente 𝑦

𝐁 ෩ ₀ = 𝑘

𝜔 (ො𝐳 × ෨ 𝐄 ₀ ) = 1

𝑐 (ො𝐳 × ෨ 𝐄 ₀ )

Esse resultado mostra que os campos elétrico e magnético são cruzados e estão em fase! As amplitudes reais obedecem à mesma relação.

OBS: A aplicação da lei de Ampère-Maxwell não produz vínculos adicionais. Simplesmente reproduz as equações acima

(verifique!)

Exemplo 9.2: Supondo que 𝐄 ෨ aponta ao longo da direção 𝑋, podemos escrever:

𝐄 𝑧, 𝑡 = ෨ ෨ 𝐸 ₀ 𝑒 ^{𝑖 𝑘𝑧 −𝜔𝑡} ො𝐱

Como vimos, as equações de Maxwell impõem que:

𝐁 𝑧, 𝑡 = ෩ 1

𝑐 ො𝐳 × ෨ 𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝐸 ෨ ₀

𝑐 𝑒 ^{𝑖 𝑘𝑧 −𝜔𝑡} 𝐲 ො

Tomando as partes reais, obtemos explicitamente:

𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝐸 ₀ cos 𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝛿 ො𝐱 𝐁 𝑧, 𝑡 = 𝐸 ₀

𝑐 cos 𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝛿 ො 𝐲

O perfil da onda num dado instante é mostrado na figura. Observe todas as propriedades que discutimos!

Propagação ao longo de uma direção arbitrária

Considere agora onda plana monocromática se propagando ao longo de uma direção arbitrária. Podemos especificar essa direção definindo o vetor de onda:

𝐤 = 𝑘෡ 𝒌

com módulo dado pelo número de onda 𝑘. Com isso, podemos escrever:

𝐄 𝐫, 𝑡 = ෨ ෨ 𝐸 ₀ 𝑒 ^{𝑖(𝐤⋅𝐫 −𝜔𝑡)} 𝐧 ෝ

𝐁 𝐫, 𝑡 = ෩ 1

𝑐 ෡ 𝒌 × ෨ 𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝐸 ෨ ₀

𝑐 𝑒 ^{𝑖(𝐤⋅𝐫 −𝜔𝑡)} 𝒌 × ෝ ෡ 𝐧

Note que:

• O fator 𝐤 ⋅ 𝐫 corresponde a uma generalização do fator 𝑘𝑧. Os planos de fase constante são dados por 𝐤 ⋅ 𝐫 = 𝑐𝑡𝑒.

• O unitário 𝐧 ෝ especifica a direção do campo elétrico e deve ser perpendicular a 𝐤.

• Por convenção, ෝ 𝐧 define a polarização da onda.

Tomando a parte real, obtemos:

𝐄 𝐫, 𝑡 = 𝐸 ₀ cos 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 ෝ 𝐧

𝐁 𝐫, 𝑡 = 𝐸 ₀

𝑐 cos 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 𝒌 × ෝ ෡ 𝐧

Exercício: Verifique que os campos acima satisfazem as quatro equações de Maxwell (note que agora, de forma geral, os

campos dependem de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Espectro eletromagnético

• Uma onda EM monocromática é definida por sua frequência 𝑓 = ^𝜔

2𝜋 ou comprimento de onda 𝜆 = ^𝑐

𝑓 .

• A porção do espectro que percebemos como cores é chamada de luz visível e ocupa apenas uma pequena faixa.

• Diferentes faixas do espectro são importantes em diferentes fenômenos e aplicações: radiação térmica (IR), telecomunicações (rádio), microondas, raios-X, raios gama, etc...

Figura: Wikipedia

9.2.3 Energia e momento em ondas EM

Como vimos no cap. 8, a densidade volumétrica de energia armazenada em um campo eletromagnético é dada por:

𝑢 _𝑒𝑚 = 1

2 𝜀 ₀ 𝐸 ² + 1 𝜇 ₀ 𝐵 ²

Para uma onda plana monocromática, note que:

𝐸 ² = 𝐸 ₀ cos 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 ²

𝐵 ² = 𝐸 ₀

𝑐 cos 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿

2

= 𝐸 ²

𝑐 ² = 𝜇 ₀ 𝜀 ₀ 𝐸 ²

Portanto, as parcelas da energia associadas aos campos elétrico e magnético são idênticas, de modo que:

𝑢 _𝑒𝑚 = 𝜀 ₀ 𝐸 ² = 𝜀 ₀ 𝐸 ₀ ² cos ² 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿

Note que estamos utilizando as partes reais desde o princípio, pois estamos lidando com produtos dos campos!

Da mesma forma, a densidade de fluxo de energia por unidade de tempo transportada pela onda é dada pelo vetor de Poynting:

Para uma onda plana monocromática, obtemos:

𝐒 = 1

𝜇 ₀ 𝐄 × 𝐁

𝐒 = 1

𝜇 ₀ 𝐸 ₀ cos 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 ෝ 𝐧 × 𝐸 ₀

𝑐 cos 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 ෡ 𝒌 × ෝ 𝐧

= 1 𝜇 ₀

𝐸 ₀ ²

𝑐 cos ² 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 ෡ 𝒌 = 𝑐 𝜇 ₀

𝐸 ₀ ²

𝑐 ² cos ² 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 ෡ 𝒌

= 𝑐𝜀 ₀ 𝐸 ₀ ² cos ² 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 ෡ 𝒌 = 𝑐𝑢 _𝑒𝑚 𝒌 ෡

Note que 𝐒 tem a direção de propagação da onda e módulo igual ao produto da velocidade de propagação com a

densidade de energia. Isso era esperado?

De fato, isso era esperado.

• Observando a figura ao lado, note que durante um intervalo Δ𝑡 uma frente de onda de área 𝐴 se desloca de 𝑐Δ𝑡.

• Com isso, a energia transportada corresponde ao volume do cilindro, Δ𝑈 _𝑒𝑚 = 𝑢 _𝑒𝑚 𝐴 𝑐Δ𝑡.

• Portanto, a energia por unidade de área perpendicular à direção de propagação por unidade de tempo é:

Note ainda que a energia transportada por unidade de área perpendicular a uma direção arbitrária 𝐮 ෝ por unidade de tempo será dada por 𝐒 ⋅ ෝ 𝐮!

Δ𝑈 _𝑒𝑚

𝐴Δ𝑡 = 𝑐𝑢 _𝑒𝑚 = |𝐒|

Também vimos no cap. 8 que o campo eletromagnético armazena momento linear. A densidade volumétrica associada é:

Para uma onda plana monocromática, obtemos:

OBS: Se você lembrar da relatividade especial, note que a relação acima (depois de integrada em todo o espaço) corresponde à 𝐸 = 𝑝𝑐. Esta é relação de dispersão de uma partícula relativística sem massa!

OBS2: Lembrando também da dualidade partícula-onda da mecânica quântica, isto sugere que as partículas associadas ao campo EM, os fótons, não possuem massa!

℘ _𝒆𝒎 = 𝜀 ₀ 𝜇 ₀ 𝐒 = 𝐒 𝑐 ²

℘ _𝒆𝒎 = 𝑐𝑢 _𝑒𝑚 𝒌 ෡

𝑐 ² = 𝑢 _𝑒𝑚 𝑐 𝒌 ෡

Note que o momento também aponta ao longo da direção de propagação!

Médias temporais

• Para a luz visível, temos 𝜆 ∼ 500 nm = 5 × 10 ⁻⁷ m. Da mesma forma, 𝑇 = Τ 𝜆 𝑐 ∼ 10 ⁻¹⁵ s.

• Isto significa que, tipicamente, medidas macroscópicas do campo EM da luz envolverão muitos períodos completos de oscilação.

• Com isso, nos interessa apenas os valores médios das quantidades que calculamos anteriormente ao longo de um período de oscilação.

• Para uma função periódica arbitrária do tempo 𝑓(𝑡), definimos esta média como:

⟨𝑓⟩ = 1 𝑇 න

0 𝑇

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Desejamos calcular então está média para a densidade de energia, o vetor de Poynting e a densidade de momento,

além de outras quantidades que derivam delas.

Por exemplo, para a densidade de energia:

𝑢 _𝑒𝑚 = 1 𝑇 න

0 𝑇

𝑢 _𝑒𝑚 𝑡 𝑑𝑡 = 𝜀 ₀ ^𝐸 ₀ ^{2 1}

𝑇 න

0 𝑇

cos ² 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 𝑑𝑡

e lembre que 𝑇 = 2𝜋/𝜔.

Fazendo a substituição simples 𝑥 = 𝐤 ⋅ 𝐫 − 𝜔𝑡 + 𝛿 , explorando a periodicidade do cosseno e notando que

׬ ₀ ^2𝜋 cos ² 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋, obtemos (verifique):

𝑢 _𝑒𝑚 = 𝜀 ₀ 𝐸 ₀ ² 1 2𝜋 𝜔 Τ

𝜋

𝜔 𝑢 _𝑒𝑚 = 1

2 𝜀 ₀ 𝐸 ₀ ²

⇒

Portanto:

𝐒 = 𝑐 𝑢 _𝑒𝑚 𝒌 = ෡ 1

2 𝑐𝜀 ₀ 𝐸 ₀ ² 𝒌 ෡ ℘ _𝒆𝒎 = 𝑢 _𝑒𝑚

𝑐 ෡ 𝒌 = 1

2𝑐 𝜀 ₀ ^𝐸 ₀ ^{2 𝒌 ෡}

e

Intensidade

Definimos a intensidade de uma onda como a potência média por unidade de área transportada por ela. Portanto:

𝐼 = 𝐒 ⋅ ෡ 𝒌 = 1

2 𝑐𝜀 ₀ 𝐸 ₀ ²

Note que a unidade SI de intensidade é W/m ² !

OBS: Quando a onda incide sobre uma superfície e desejamos calcular a intensidade sobre esta superfície, tomamos o

produto escalar de 𝐒 com o unitário apropriado.

Como a onda transporta momento linear, parte desse momento é transferido a um objeto quando ela incide sobre ele.

Portanto, uma força atua sobre o objeto durante a transferência!

Se a onda incide perpendicularmente a uma superfície plana e perfeitamente absorvedora de área 𝐴, o momento total transferido durante um intervalo de tempo Δ𝑡:

Δ𝐩 = ℘ _𝒆𝒎 𝐴 𝑐Δ𝑡 = 1

2𝑐 𝜀 ₀ 𝐸 ₀ ² 𝐴 𝑐Δ𝑡 ෡ 𝒌

Isto corresponde a uma força 𝐅 = Δ𝐩/Δ𝑡 e a uma pressão de radiação:

𝑃 = 𝐅

𝐴 = 1

2 𝜀 ₀ ^𝐸 ₀ ^{2 = 𝐼}

𝑐

Exercício: Como você adaptaria este resultado para...

(a) Uma superfície plana perfeitamente refletora, que dá origem a uma onda refletida em sentido contrário?

(b) Uma onda incidente formando um ângulo arbitrário com a superfície?

Pressão de radiação

Exemplo: pressão de radiação da luz solar

Para um absorvedor perfeito, já vimos que a pressão é:

Para um refletor perfeito, a transferência de momento será o dobro da do caso anterior em razão da reflexão. Portanto:

𝑃 _𝑎 = 𝐼

𝑐 = 1300 W m Τ ²

3 × 10 ⁸ m/s ≈ 4,3 × 10 ⁻⁶ N/m ²

Portanto, a pressão de radiação vinda da luz solar é muito pequena, como esperado da nossa experiência no dia a dia.

𝑃 _𝑟 = 2𝑃 _𝑎 ≈ 8,6 × 10 ⁻⁶ N/m ²

Como sabemos, a pressão atmosférica vale aproximadamente 𝑃 _𝑎𝑡𝑚 ≈ 10 ⁵ N/m ² , portanto:

𝑃 _𝑟

𝑃 _𝑎𝑡𝑚 ≈ 8,6 × 10 ⁻¹¹ N/m ²

Referências básicas

• Griffiths (3ª edição) – cap. 9

• Purcell – seções 9.4 a 9.8

Leitura avançada

• Zangwill – cap. 16