RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E ANALÍTICO CONTÁBIL

(1)

RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E ANALÍTICO CONTÁBIL

AULA 4

Profª Aline Purcote

(2)

2

CONVERSA INICIAL

Anteriormente, estudamos os diferentes conjuntos numéricos e, agora, vamos estudar algumas operações que envolvem esses conjuntos, como a potenciação e a radiciação. A ideia de potência é muito antiga e representa uma multiplicação de fatores iguais, já a radiciação é a operação inversa da potenciação.

Nesta aula, estudaremos também razão e proporção, que são utilizadas para realizar comparações ou estabelecer igualdade entre grandezas diferentes.

Veremos, ainda, que, em situações que envolvem proporções, utilizamos a regra de três e entenderemos a diferença entre regra de três simples e composta.

CONTEXTUALIZANDO

Imagine que você convidou 14 amigos para um churrasco, mas não sabe exatamente quanto de carne comprar e lembra que, quando fez um churrasco para 6 pessoas, comprou 3 kg de carne. Com essa informação, como encontrar a quantidade de carne a ser comprada?

Vamos considerar uma aplicação de R$ 400,00 na poupança, em que o valor do juro em um mês foi de R$ 3,50. Se a aplicação fosse de R$ 2.100,00, qual seria o valor do juro?

Nas duas situações, podemos utilizar a regra de três, que permite encontrar um valor desconhecido e é muito útil para a solução de questões cotidianas de forma simples e prática. Além da regra de três simples e composta, estudaremos potenciação, radiciação, razão e proporção.

TEMA 1 – POTENCIAÇÃO

A potenciação representa a multiplicação de fatores iguais, ou seja, representa um número que é multiplicado por ele mesmo várias vezes. Nessa operação, trabalhamos com uma base e um expoente que vai indicar o número de vezes que a base será multiplicada, ou seja:

aⁿ = a.a.a.a. ... .a em que a é a base e n o expoente.

(3)

3

Exemplos:

1) 3² = 3.3 = 9 2) 4³ = 4.4.4 = 64 3) a⁴= a.a.a.a

Ao trabalhar com potências, temos as seguintes regras:

1) Quando o expoente é um número par, o resultado será sempre positivo:

 (3)² = 3.3 = 9

 (-5)² = (-5).(-5) = 25

Obs.: nesse caso, utilizamos a regra de sinal da multiplicação:

2) Quando o expoente é um número ímpar, o resultado terá sempre o mesmo sinal da base.

(2)³ = 2.2.2 = 8

(-7)³ = (-7). (-7). (-7) = - 343

Obs.: nesse caso, utilizamos duas regras de sinal da multiplicação:

1º - multiplicado por - = +, ou seja, (-7).(-7) = 49

2º+ multiplicado por - = -, ou seja, 49. (-7) = -343

(-7). (-7). (-7)

3) Quando um número negativo for elevado a um expoente par ou ímpar e não estiver entre parênteses, o resultado será sempre negativo. Isso ocorre, pois o sinal negativo é de toda a expressão e não da base.

 -4² = -(4.4) = -16

(4)

4

 -4³ = -(4.4.4) = -64

Desta forma, (-4)² é diferente de -4². Isso ocorre, pois, no primeiro, o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então, a base a ser multiplicada é -4 e a resposta é 16 (-4.-4 = 16). No segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, assim, a base a ser multiplicada é 4 e a resposta será -16 (-(4.4)=- 16).

Agora, vamos analisar algumas propriedades da potenciação:

1) Potência elevada a zero: Toda base diferente de zero elevada ao expoente zero é igual a 1:

 2⁰ = 1

 150⁰ = 1

 1

2 1 ⁰

 



 





 (-2)⁰ = 1

Obs.: 0⁰ é uma indeterminação.

2) Potência elevada a 1: Toda base elevada ao expoente 1 é igual à própria base:

 2¹ = 2

 50¹ = 50

 2

1 2 1¹



 





 (-2)¹ = -2

3) Potência de expoente negativo: Uma base elevada a um expoente negativo é igual ao inverso da base com expoente positivo:

 4

1 2 .1 2 1 2 2 1

2

2   



 







 8

125 2 .5 2 .5 2 5 2 5 5

2 ³ ³  



 







 



 ^

4) Multiplicação de potências de base diferente: a potência de um produto é o produto das potências:

(5)

5

 (3.5)² = 3² . 5² = 9 . 25 = 225

 (x.y)³ = x³ . y³

 [(-2).(5)]² = (-2)² . (5)² = 4 . 25 = 100

5) Divisão de potências de base diferente: a potência de uma divisão é a divisão das potências:

 ¹²⁵

27 5 3 5 3

3 3 3



 



 





 ⁹

1 3 1 3 1

2 2 2



 



 





6) Multiplicação de potência de mesma base: repete a base e soma os expoentes:

 2². 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ ou seja:

2². 2³ = (2.2). (2.2.2) = 2⁵

 ³¹²⁵

32 5

2 5 2 5

2 5

. 2 5 2

5 5 5 3

2 3

2



 



 







 







 



 



 



 ^

7) Divisão de potências de mesma base: repete a base e subtrai os expoentes:

 2 2 2

2

2 ₄ ₃ ₁

3

4  ^  

ou seja:

2 2 . 2 . 2

2 . 2 . 2 . 2 2 2

3

4  



    ³  ³ ³

3

3 3 2 1

2 3











 

 

 ⁸

1 2 2 1

2 2

2 2 5 3 ³

5

2  



 







 ^ ^

Com essa propriedade, conseguimos exemplificar a propriedade número 1 da potência elevada a zero. Vamos supor a seguinte divisão:

(6)

6

1 2 2 2

2 ₂ ₂ ₀

2

2  ^  

ou seja:

4 1 4 2 . 2

2 . 2 2 2

2

2   

8) Potência de potência: repete a base e multiplica os expoentes:

 (2³)² = 2^3.2= 2⁶ ou seja:

(2³)² = 2³. 2³ = (2.2.2). (2.2.2) = 2⁶

 (x²)⁵ = x^2.5= x¹⁰

Uma importante aplicação da potenciação é a notação científica, utilizada para expressar valores muito grandes ou muito pequenos em que usamos as potências de 10 como fator multiplicativo junto aos dígitos não nulos, de maneira que o valor a ser denotado esteja entre 0 e 10.

Ao escrever um número na forma de notação científica, a vírgula será deslocada para a direita ou para a esquerda. Quando deslocamos a vírgula para a direita, o expoente da base 10 será negativo e igual ao número de casas decimais que a vírgula deslocou. Caso o deslocamento ocorra para esquerda, o expoente será positivo e igual ao número de casas decimais que a vírgula deslocou.

Exemplos:

1) 367 = 3,67 x 10²

A vírgula foi deslocada duas casas para a esquerda.

2) 0,0035 = 3,5 x 10^-3

A vírgula foi deslocada três casas para direita.

(7)

7

TEMA 2 – RADICIAÇÃO

Já estudamos os principais conceitos e propriedades da potenciação, agora estudaremos radiciação, que é a operação inversa da potenciação. Vimos que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais, já a radiciação é a operação utilizada quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo várias vezes resulta em um valor que conhecemos.

Segundo Macedo, Castanheira e Rocha (2006), denomina-se raiz de índice n de A o número ou expressão que, elevado à potência n, reproduz A:

A x

x

A

ⁿ

n

  

em que:

A = radicando n = índice x = raiz

√= radical Exemplos:

1) 164, pois 4² = 16 ou -4, pois (-4)² = (-4). (-4) = 16 2) ³ 82, pois 2³ = 8

3) ³ 82, pois (-2)³ = -2.-2.-2 = -8

De acordo com Macedo, Castanheira e Rocha (2006), ao trabalhar com a radiciação, deduzimos que:

 Se o índice do radical é um número ímpar, a sua raiz é única e tem o mesmo sinal do radicando.

 Os números negativos não têm raiz de índice par no campo dos números reais. Por exemplo, 4. Isso ocorre porque não temos um número real que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. Essas raízes podem ser resolvidas utilizando o conjunto dos números complexos.

 Se o índice do radical é par, os números positivos têm sempre duas raízes reais diferentes e simétricas.

(8)

8

Sabemos que a radiciação é o inverso da potenciação. Assim, podemos transformar uma raiz em uma potência, utilizando expoente fracionário e facilitando facilitar os cálculos, pois podemos utilizar as mesmas propriedades que estudamos na potenciação. Para realizar essa transformação, dividimos o expoente do radicando pelo índice do radical:

n b

a a 

Exemplos:

1) ⁴

3 4 3

8 8 

2) ³

1 3 1414

3) 4 4⁴ 4² 16

8

4 8   

Para resolver problemas envolvendo radiciação, utilizamos algumas propriedades:

1) Multiplicação de radicais de mesmo índice: multiplicar os radicandos e atribuir ao resultado o índice comum:

n n

n

a . b  a . b

 3. 5 15

 ³ 27.³ 9 ³ 243

2) Divisão de radicais de mesmo índice: dividir os radicandos e atribuir ao resultado o índice comum:

0 , 

 b

b a b

a n n

n

 3

2 6 2

6  

 ³

3 3

5 3 5 3 

(9)

9

3) Raiz de raiz: multiplicar os índices das raízes:

n m n m

a a  ^.

 ^{3 4} 20 ¹²20

 ^{7 3} 5 ²¹5

4) Potência de expoente nde raiz n-ésima: se uma raiz de índice n está elevada a um expoente n, o resultado será o radicando:

 

ⁿ ^a ⁿ ^ ^a



 

⁷ ² ⁷ ^²⁷⁷ ^²¹^²

  ¹⁰³¹⁰ ^³

5) Raiz de uma potência: elevar o radicando ao expoente indicado e conservar o índice:

 

ⁿ ^a ^m ^ ⁿ ^a^m

  ⁴ ³³ ^⁴ ³³ ^⁴ ²⁷

  ³ ⁵ ² ^³ ⁵² ^³ ²⁵



 

³ ²²^.³² ^³ ²⁴^.³² ^³¹⁴⁴

Quando efetuamos operações de adição e subtração envolvendo radicais, somamos e subtraímos radicais de mesmo índice e mesmo radicando, ou seja, realizamos as operações com radicais semelhantes operando os coeficientes e mantendo o radical.

Exemplos:

1) 34 32 3142 3 3

2) ⁴ ²² ²³ ⁵⁶ ⁵⁴² ²³⁶ ⁵² ²³ ⁵

(10)

10

TEMA 3 – RAZÕES E PROPORÇÕES

Razão e proporção estão relacionadas à operação da divisão em que a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, e a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões.

A razão entre dois números é a divisão entre a e b, com b≠0 e indicada por b

aem que a é chamado de antecedente e b de consequente.

Exemplos:

1) Em um campeonato, um jogador realizou 15 arremessos e acertou 9. Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos? Qual a razão entre o número de acertos e o número de erros?

Para resolver essa questão, vamos verificar os dados fornecidos:

 Totais de arremessos = 15

 Totais de acertos = 9

Agora vamos encontrar a razão de acertos para o total de arremesses, dividindo o número de acertos pelo total:

5 3 15

9 

Observe que simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por 3, assim, para a cada 5 arremessos, o jogador acerta 3.

Para encontrar a razão entre o número de acertos e o número de erros, precisamos saber quantos arremessos o jogador errou, assim, diminuímos o total pelo número de acertos:

15 – 9 = 6

Para encontrar a razão, dividimos o número de acertos pelo número de erros:

2 3 6 9 

Logo, para cada 3 acertos, o jogador erra 2 arremessos.

(11)

11

2) O salário de um funcionário é de R$ 2.000, e um segundo funcionário recebe R$ 1.000. Qual a razão do salário do primeiro para o segundo funcionário?

Para encontrar a razão, vamos dividir o salário do primeiro pelo salário do segundo:

1000 2 2000

Desta forma, o primeiro funcionário recebe o dobro do segundo funcionário.

A razão também pode ser representada na forma percentual (%), sendo essa representação muito utilizada na área financeira no cálculo de juros e descontos. Assim a razão

b

a, com b=100 pode ser escrita na forma de porcentagem.

Exemplos:

1) 0,30 30% 100

30  

2) Uma fábrica produziu no ano de 2015 um total de 2.000 veículos e em 2016 produziu 2.200 veículos. Qual foi o percentual de aumento em 2016 comparado com 2015?

Considerando a produção nos dois anos, foram produzidos 200 veículos a mais em 2016 comparado com 2015 (2.200 – 2000 = 200), assim, temos a seguinte razão entre o aumento da produção em 2016 e o número de veículos produzidos em 2015:

% 10 10 , 100 0

10 2000

200   

Desta forma, o crescimento na produção dessa fábrica foi de 10%.

Além da porcentagem no nosso dia a dia, trabalhamos com várias razões, entre elas, destacamos:

(12)

12

Vimos que a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, e a relação de igualdade entre duas razões chamamos de proporção. As proporções podem ser representadas como:

d c b a 

Em que a e d são os extremos e b e c os meios. Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja, a.d = b.c.

Exemplos:

1) 20

15 16 12

12.20 = 240 16.15 = 240

2) Um vendedor recebe a cada 2 itens vendidos R$ 200,00 de comissão.

Quanto ele receberá de comissão no mês que vender 15 itens?

Sabemos que a cada 2 itens ele recebe R$ 200 assim temos ²⁰⁰ 2

. Para 15 itens não conhecemos o valor, então chamamos de x, logo ^x

15

. Agora, vamos montar a proporção e utilizar a propriedade para encontrar o valor de x:

x 15 200

2 

2.x = 200. 15

Isolando o xe, utilizando as operações inversas, temos:

(13)

13

2 1500 3000 2

15 .

200  

 x

Logo, o vendedor receberá R$ 1.500 de comissão pela venda dos 15 itens.

As proporções são a base dos cálculos envolvendo regra de três simples e composta que veremos a seguir.

TEMA 4 – REGRA DE TRÊS

A regra de três simples é um processo prático usado em situações que envolvem quatro valores dos quais só conhecemos três, sendo que essas quatro medidas formam uma proporção.

Segundo Rodrigues (2010), a regra de três é a operação de cálculo na qual estão envolvidas duas grandezas ou mais grandezas de forma direta ou inversamente proporcionais.

Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando, aumentando uma das grandezas, a outra também aumenta na mesma proporção ou, quando o valor de uma diminui, a outra também diminui.

Exemplos:

1) Distância e tempo: quanto maior a distância, maior será o tempo para percorrer o trajeto.

2) Produção e tempo: quanto mais horas disponíveis para produção, mais produtos serão produzidos.

Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, aumentando uma das grandezas, a outra diminui na mesma proporção ou, quando o valor de uma diminui, a outra aumenta.

Exemplos:

1) Velocidade e tempo: se aumentar a velocidade em uma viagem, diminuímos o tempo gasto para chegar ao destino.

2) Número de funcionário e tempo: se aumentarmos o número de funcionários desempenhando a mesma atividade, reduzimos o tempo de finalização dessa atividade.

Para resolver uma regra de três, utilizamos os seguintes passos:

(14)

14

1) Representar o termo desconhecido por x.

2) Construir uma tabela com as grandezas posicionadas em razões.

3) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

4) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Uma pessoa aplicou R$ 500,00 na poupança e recebeu de juros, em um mês, R$2,50. Ela pretende aplicar R$2.100 no mesmo mês, qual será o valor dos juros que receberá?

Vamos seguir os passos para resolução utilizando regra de três:

1) Representar o termo desconhecido por x: queremos saber qual o valor do juro quando aplicado R$ 2.100, então o juro será igual a x.

2) Construir uma tabela com as grandezas, posicionadas em razões.

Tabela 1 - Grandezas

Aplicação Juro

500 2,50

2.100 X

3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais: se aumentarmos o valor da aplicação o valor de juros que iremos receber também aumenta, assim temos grandezas diretamente proporcionais.

Tabela 2 – Grandezas 2

Aplicação Juro

500 2,50

2.100 X

x 50 , 2 2100

500 

500x = 2100.2,50 500x = 5250

5 , 500 10 5250

 x

(15)

15

O valor dos juros será de R$ 10,5 na aplicação de R$ 2.100.

2) Uma equipe, trabalhando 8 horas por dia, realiza um projeto em 20 dias.

Se a equipe trabalhar apenas 5 horas por dia, em que prazo entregará o projeto?

Vamos seguir os passos para resolução:

1) Representar o termo desconhecido por x: queremos saber em quanto tempo a equipe entregará o projeto se trabalhar apenas 5 horas, então o tempo será x.

2) Construir uma tabela com as grandezas posicionadas em razões:

Horas Dias

8 20

5 x

3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais: se diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas, o prazo aumentará, dessa forma, temos grandezas inversamente proporcionais.

Horas Dias

8 20

5 x

4) Montar a proporção e resolver a equação: como as grandezas são inversamente proporcionais, precisamos inverter a razão antes de resolver a equação, assim:

x 20 5 8 

20 5 8 x

8.20 = 5x 160 = 5x

5 32 160

 x

Reduzindo as horas de trabalho para 5 horas diárias, o prazo para entrega do projeto será de 32 dias.

(16)

16

TEMA 5 – REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Já vimos que a regra de três simples é utilizada quando temos duas grandezas que envolvem quatro valores em que um deles é desconhecido. Já na regra de três composta, trabalhamos com problemas que envolvem três ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Para resolver uma regra de três composta, utilizamos os seguintes passos:

1) Representar o termo desconhecido por x.

2) Construir uma tabela com as grandezas posicionadas em razões.

3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, comparando as grandezas duas a duas sendo uma delas a variável.

Exemplos:

1) Em uma empresa, 6 funcionários produzem 500 itens em 10 dias.

Quantos itens serão produzidos por 10 funcionários trabalhando por 12 dias?

Analisando esse problema, temos três grandezas: número de funcionários, quantidade de itens e dias trabalhados. Para resolver esse problema, vamos seguir os passos:

1) Representar o termo desconhecido por x: a nossa variável x será a quantidade de itens produzidos por 10 funcionários em 12 dias.

2) Construir uma tabela com as grandezas, posicionadas em razões:

Número de funcionários Números de dias Quantidade de itens

6 10 500

10 12 x

3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, comparando as grandezas duas a duas sendo uma delas a variável.

(17)

17

Vamos comparar o número de funcionários com a quantidade de itens: se aumentarmos a quantidade de funcionários, produzimos mais itens, assim, as grandezas são diretamente proporcionais:

Número de funcionários Quantidade de itens

6 500

10 x

Agora vamos comparar o número de dias com a quantidade de itens, se aumentamos o número de dias, produzimos mais itens, logo, as grandezas também são diretamente proporcionais:

Número de dias Quantidade de itens

10 500

12 x

4) Montar a proporção e resolver a equação:

12 .10 10

6 500

x

120 60 500

x

60x = 60000 60 1000 60000

 x

Se 10 funcionários trabalharem por 12 dias, eles produzirão 1000 itens.

2) Uma empresa possui 6 impressoras que gastam 40 minutos para impressão de 1.000 cópias, quanto tempo 3 impressoras gastarão para imprimir 2.000 cópias?

Analisando o enunciado, temos as grandezas: número de impressoras, quantidade de cópias e tempo:

(18)

18

Impressoras Cópias Tempo

6 1000 40

3 2000 x

Vamos analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais:

Impressoras Tempo

6 40

3 x

Se reduzirmos o número de impressoras, o tempo irá aumentar, dessa forma, essas grandezas são inversamente proporcionais.

Cópias Tempo

1000 40

2000 x

Aumentando o tempo, temos mais cópias, logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Agora, vamos montar a proporção e resolver a equação, lembrando que, como temos uma grandeza inversamente proporcional, precisamos inverter os valores.

2000 .1000 3 6 40

x

2000 .1000 6 3 40

x

12000 3000 40

x

3000x = 480000

(19)

19

3000 160 480000

 x

Assim, 3 impressoras gastarão 160 minutos para imprimir 2.000 cópias.

TROCANDO IDEIAS

A potenciação e a radiciação servem para simplificar expressões matemáticas. Você se lembra de situações em que precisou utilizar a potenciação e a radiciação?

Vimos ainda que a razão e a proporção estão relacionadas à operação de divisão em que a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas.

Você se recorda de alguma situação em que utilizou razão para comparar grandezas?

As proporções são a base dos cálculos envolvendo regra de três, que é um método prático para resolução de problemas cotidianos com inúmeras aplicações, como calcular os preços na hora de uma compra, ou elaborar uma receita em que precisamos saber as quantidades e proporções adequadas.

Recorda-se de alguma situação em que utilizou a regra de três ou poderia utilizar?

NA PRÁTICA

Nesta aula, trabalhamos com a potenciação, que possui inúmeras aplicações no cotidiano, como nos cálculos de juro composto ou na notação científica que utiliza potências para representar números muito grandes ou pequenos.

No juro composto, o juro de cada intervalo de tempo é somado ao capital inicial e passa a render juro também, por isso chamamos de juro sobre juro.

Imagine uma aplicação de R$ 500 durante 8 meses a uma taxa de 5% ao mês, quanto teríamos no final desse período? Para calcular o valor final, utilizamos a fórmula M = C (1+i)ⁿ em que temos a utilização da potenciação. Vamos aplicar a fórmula para encontrar quanto teremos no final do período:

M = C (1+i)ⁿ M = 500(1+0,05)⁸ M = 500 (1,05)⁸ M = 500.1,47746

(20)

20

M = 738,73

Assim, teremos R$ 738,73 no final de 8 meses aplicando R$ 500 com uma taxa de 5% ao mês.

Da mesma forma que utilizamos a potenciação nas operações financeiras, também podemos utilizar a radiciação para calcular a taxa de juro composto.

Conhecendo o valor do capital, o montante e o tempo, podemos isolar o valor de i na fórmula do juro composto para encontrar a taxa assim:

M = C (1+i)ⁿ

1

ⁿ C i M

Vamos utilizar a mesma aplicação de R$ 500, em 8 meses, sabendo que o montante é de R$ 738,73, para encontrar a taxa de juros dessa aplicação, assim:

1

ⁿ C i M

500 1 73 ,

8 738 

 i

1 47746 ,

81 

 i

i = 1,05 -1 = 0,05 x 100 = 5% ao mês.

FINALIZANDO

Nesta aula, estudamos os principais conceitos envolvendo potenciação, radiciação, razão, proporção e regra de três, além de aplicações e diferenças entre regra de três simples e composta.

(21)

21

REFERÊNCIAS

MACEDO, L. R, D; CASTANHEIRA, N. P; ROCHA, A. Tópicos de Matemática Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006.

RODRIGUES, L. R. F. Matemática e Raciocínio Lógico Matemático para concursos. Campinas: Servanda Editora, 2010.