A Matemática e o GPS. Fernando Foresto Scannavino

A Matem´ atica e o GPS

Fernando Foresto Scannavino

S˜ ao Jos´ e do Rio Preto

Janeiro - 2015

A Matem´ atica e o GPS

Fernando Foresto Scannavino

Orientador: Prof Dr Claudio Aguinaldo Buzzi

Trabalho de Conclus˜ao de Curso apresentado ao Insti- tuto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas da Uni- versidade Estadual Paulista,campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto, como parte dos requisitospara a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica

S˜ ao Jos´ e do Rio Preto

Janeiro - 2015

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Fernando Foresto Scannavino

A Matem´ atica e o GPS

Disserta¸c˜ao apresentada como parte dos requisi- tos junto ao programa Mestrado Profissional em Matem´atica em Rede Nacional, ´Area de Concen- tra¸c˜ao - ensino de matem´atica, do Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas da Universi- dade Estadual Paulista “J´ulio de Mesquita Filho”, Cˆampus de S˜ao Jos´e do Rio Preto.

Comiss˜ ao Examinadora:

Prof. Dr. Claudio Aguinaldo Buzzi UNESP - S˜ ao Jos´ e do Rio Preto Orientador

Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins UNICAMP - Campinas

Prof. Dr. J´ efferson Luiz Rocha Bastos UNESP - S˜ ao Jos´ e do Rio Preto

S˜ ao Jos´ e do Rio Preto

25 de Fevereiro de 2015

Agradecimentos

Agrade¸co

`

a minha fam´ılia pela paciˆ encia e compreens˜ ao,

ao meu orientador pelo suporte sempre que necess´ ario.

4

5

Resumo

O trabalho estuda o funcionamento do Sistema de Posicionamento Global (GPS) e os conceitos matem´ aticos envolvidos nesse sistema. E para transmitir esses conceitos a alunos de ensino fundamental e m´ edio foi feita uma analogia entre posicionamentos em coordenadas bidimensionais e tridimensionais.

Palavras chaves: Interse¸c˜ ao de Esferas, Sistemas de Posicionamento Global (GPS).

6

Abstract

The paper studies the operation of the Global Positioning System (GPS) and the mathematical concepts involved in this system. Further, to implement these concepts to students in elementary and middle school was made an analogy between placements two-dimensional and three-dimensional coordinates.

Keywords: Intersection of Spheres, Global Positioning System (GPS).

Sum´ ario

1 O Sistema de Posicionamento Global - G.P.S. 8

2 A Matem´ atica por tr´ as do G.P.S. 13

2.1 A superf´ıcie esf´ erica . . . . 13 2.2 Das Coordenadas cartesianas para as coordenadas geogr´ aficas . . . . 17

3 A necessidade do quarto sat´ elite 20

3.1 Solu¸c˜ ao com apenas 3 sat´ elites . . . . 20 3.2 O erro e o quarto sat´ elite . . . . 22 3.3 A escolha dos sat´ elites . . . . 25

4 Aplicabilidade em Sala de Aula 27

7

Cap´ıtulo 1

O Sistema de Posicionamento Global - G.P.S.

Desde o come¸co dos tempos o homem sempre teve interesse em determinar sua localiza¸c˜ ao na Terra. Desde as t´ ecnicas mais primitivas, como marca¸c˜ oes em pedras e outras superf´ıcies para identificar suas localiza¸c˜ oes para que n˜ ao se perdessem, passando pela milenar b´ ussola, cuja descoberta ´ e atribu´ıda aos chineses, o astrol´ abio e mais tarde o sextante.

Figura 1.1: Primeira

B´ ussola Chinesa Figura 1.2: Astrol´ abio Figura 1.3: Sextante A hist´ oria recente tem visto cada vez mais o desenvolvimento de sistemas complexos e precisos para determinar a localiza¸c˜ ao de um indiv´ıduo ou algo sobre a Terra. E isso

´

e claramente representado pelo sofisticado sistema chamado G.P.S. (Global Positioning System). O Sistema de Posicionamento Global foi criado pelo Departamento de Defesa

8

9 dos Estados Unidos no in´ıcio da d´ ecada de 1960, a princ´ıpio com o nome de NAVSTAR (Navigation Satellite with Time and Ranging) com o objetivo de ser o principal sistema de navega¸c˜ ao das For¸cas Armadas Americanas. Para mais detalhes consultar [4].

O sistema s´ o foi considerado completamente utiliz´ avel em 1995. Em um primeiro momento o sistema consistia em 24 sat´ elites, de tal forma que, pelo menos 21 estariam funcionando 98% do tempo. Em 2005 o sistema passou a ser constitu´ıdo por 32 sat´ elites, dos quais pelo menos 24 est˜ ao funcionando, enquanto os demais ficam prontos para assumir o lugar de algum que eventualmente falhe. Os sat´ elites est˜ ao posicionados a 20.200 km da superf´ıcie da Terra, distribu´ıdos em 6 ´ orbitas planas. H´ a pelo menos 4 sat´ elites em cada

´

orbita plana, equidistantes uns dos outros. Cada sat´ elite completa sua ´ orbita ao redor da Terra em 11 horas e 58 minutos. Essa configura¸c˜ ao assegura que em qualquer momento e qualquer localiza¸c˜ ao da Terra n´ os estamos sendo observados por pelo menos 4 sat´ elites.

Figura 1.4:

Os 24 sat´ elites emitem sinais que se repetem periodicamente, e que s˜ ao captados

com a ajuda de receptores especiais. Esses receptores s˜ ao os aparelhos que compramos,

erroneamente denominados G.P.S. (no que diz respeito ao conceito). Esses aparelhos

10 s˜ ao capazes de calcular a posi¸c˜ ao de cada sat´ elite a qualquer momento. Cada sat´ elite ´ e equipado de um rel´ ogio atˆ omico extremamente preciso (precis˜ ao de nano-segundo). Os receptores “GPS”de uso militar tˆ em precis˜ ao de 1 metro e os de uso civil, de 15 a 100 metros.

O papel dos receptores ´ e avaliar o lapso de tempo entre emiss˜ ao e recep¸c˜ ao dos sinais de r´ adio enviados pelos sat´ elites. Assumindo-se que os rel´ ogios do receptor e de todos os sat´ elites estejam perfeitamente sincronizados, o receptor calcula o tempo que o sinal leva de um sat´ elite at´ e sua chegada no aparelho. Com esse tempo, e sabendo-se que o sinal viaja na velocidade da luz c , o receptor calcula sua distˆ ancia em rela¸c˜ ao ao sat´ elite:

r = c.t . A partir dessa distˆ ancia obtemos uma esfera de raio r com centro no sat´ elite, que s˜ ao os poss´ıveis locais onde o receptor pode estar em rela¸c˜ ao ao sat´ elite. Fica claro ent˜ ao que apenas essa informa¸c˜ ao ´ e insuficiente para se determinar a exata localiza¸c˜ ao do receptor.

Figura 1.5:

O receptor capta ent˜ ao um segundo sinal de um outro sat´ elite, gerando uma segunda

esfera conforme processo explicado anteriormente. Temos que a intersec¸c˜ ao entre duas

esferas de centros diferentes ´ e no m´ aximo uma circunferˆ encia, ficando assim limitado aos

pontos dessa circunferˆ encia os poss´ıveis locais do receptor.

11

Figura 1.6:

Sendo assim, h´ a a necessidade de uma terceira esfera. Captando o sinal de um terceiro sat´ elite, e gerando uma terceira esfera, tem-se que a intersec¸c˜ ao entre a circunferˆ encia e a nova esfera gera no m´ aximo dois pontos.

Figura 1.7:

A princ´ıpio, parece ser necess´ ario mais uma esfera para se determinar em qual dos dois

pontos se localiza o receptor, por´ em isso n˜ ao h´ a necessidade pois, devido ` a posi¸c˜ ao dos

sat´ elites um dos pontos fica totalmente fora da Terra, podendo assim ser eliminado. (´ e

bom lembrar que a Terra “funciona”como a quarta esfera necess´ aria para se determinar

o exato local)

12

A descri¸c˜ ao acima ´ e a teoria que existe por tr´ as do c´ alculo da posi¸c˜ ao de um aparelho

receptor. Infelizmente, na pr´ atica ´ e um pouco mais complicado. Isso se deve ao fato

de que os tempos medidos pelos aparelhos receptores s˜ ao extremamente curtos e devem

ser feitos com alta precis˜ ao. Se por um lado, os sat´ elites s˜ ao equipados com um rel´ ogio

atˆ omico de extrema precis˜ ao (e extremamente caro!!) os receptores s˜ ao equipados com

rel´ ogios de baixa precis˜ ao, para que caiba no or¸camento da maioria das pessoas. Como

lidar com essa diferen¸ca? Bem, a´ı entra o quarto sat´ elite, com a quarta esfera. Mas antes,

vamos ver a matem´ atica da parte te´ orica!

Cap´ıtulo 2

A Matem´ atica por tr´ as do G.P.S.

2.1 A superf´ıcie esf´ erica

Quando trabalhamos em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O no espa¸co tridimensional, dado um ponto P = ( x, y, z ) e com a aplica¸c˜ ao dupla do Teorema de Pit´ agoras mostra-se que a distˆ ancia de P a O fica dada pela express˜ ao:

d ( P, O ) =

x

+ y

+ z

.

A distˆ ancia assim entre os pontos P = ( x, y, z ) e C = ( u, v, w ) ´ e dada pela f´ ormula:

d ( P, C ) =

( x

u )

+ ( y

v )

+ ( z

w )

.

Uma superf´ıcie esf´ erica ´ e o conjunto de todos os pontos P que equidistam r de um ponto C no espa¸co, sendo r um n´ umero real positivo.

Portanto temos que a equa¸c˜ ao reduzida de uma superf´ıcie esf´ erica S ´ e:

( x

u )

+ ( y

v )

+ ( z

w )

= r

. Desenvolvendo a equa¸c˜ ao acima obtemos:

x

+ y

+ z

2 xu

2 yv

2 zw + u

+ v

+ w

r

= 0 , que para facilitar escrevemos

13

14

Figura 2.1:

x

+ y

+ z

+ ax + by + cz + d = 0 , (2.1) onde:

a =

2 u , b =

2 v , c =

2 w e

d = u

+ v

+ w

r

.

Esta equa¸c˜ ao ´ e chamada de equa¸c˜ ao geral da superf´ıcie esf´ erica.

A intersec¸c˜ ao entre superf´ıcies esf´ ericas no espa¸co:

Sejam duas superf´ıcies esf´ ericas S

e S

de centros C

e C

e raios r

e r

, respectiva- mente. Sem perda de generalidade assuma que r

r

. ´ E f´ acil perceber que a intersec¸c˜ ao entre elas pode ser:

1. o conjunto vazio, se d ( C

, C

) > r

+ r

ou d ( C

, C

) < r

r

, 2. um ponto, se d ( C

, C

) = r

+ r

ou d ( C

, C

) = r

r

,

3. uma circunferˆ encia, se r

r

< d ( C

, C

) < r

+ r

.

Agora vamos analisar a inser¸c˜ ao de uma terceira superf´ıcie esf´ erica ` as duas analisadas

anteriormente. Partindo-se do pressuposto que h´ a intersec¸c˜ ao entre as trˆ es esferas, ou

15 seja, que S

S

S

= φ , podemos descartar o caso 1. Caso as duas primeiras su- perf´ıcies possuam apenas um ponto em comum, este ponto ser´ a a intersec¸c˜ ao entre as trˆ es superf´ıcies.

Caso a intersec¸c˜ ao entre as duas primeiras for uma circunferˆ encia, ao inserirmos uma terceira superf´ıcie, a intersec¸c˜ ao entre a circunferˆ encia e essa superf´ıcie nos fornecer´ a um ou dois pontos!

Figura 2.2:

Assim, quando introduzimos uma quarta superf´ıcie ` as outras trˆ es, de tal forma que S

S

S

S

= φ , a intersec¸c˜ ao entre elas vai ser, necessariamente, apenas um ponto.

Como demonstrar isso matematicamente?

A seguir apresentamos o Teorema que nos garante isso!

Teorema 2.1.1. Se quatro superficies esf´ ericas possuem pelo menos um ponto em comum e seus centros s˜ ao n˜ ao coplanares, ent˜ ao essa intersec¸c˜ ao consiste em um ´ unico ponto.

Demonstra¸c˜ ao. Sejam S

, S

, S

e S

as superf´ıcies esf´ ericas com centros C

, C

, C

e C

respectivamente.

16 Devemos provar que, se existe P

S

e C

, C

, C

e C

s˜ ao n˜ ao coplanares ent˜ ao S

S

S

S

=

Assim, como visto na se¸c˜ ao (2.1), as equa¸c˜ oes gerais dessas superf´ıcies esf´ ericas S

, onde j = 1 , 2 , 3 , 4, ser˜ ao representadas por

x

+ y

+ z

+ a

x + b

y + c

z + d

= 0 .

Temos assim quatro equa¸c˜ oes com termos quadr´ aticos que, se subtrairmos duas a duas podemos obter equa¸c˜ oes lineares em x , y e z , pois os termos x

, y

e z

ser˜ ao eliminados.

Ao subtrair as equa¸c˜ oes S

e S

, obt´ em-se a equa¸c˜ ao de um plano que cont´ em S

S

. Dessa forma, fazendo-se S

S

, S

S

e S

S

, obtemos as equa¸c˜ oes dos planos que contˆ em, respectivamente, S

S

, S

S

e S

S

. Temos ainda que, se P = ( x, y, z ) est´ a em S

S

S

S

ent˜ ao ( x, y, z ) ´ e solu¸c˜ ao do sistema linear

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

( a

a

) x + ( b

b

) y + ( c

c

) z + ( d

d

) = 0 , ( a

a

) x + ( b

b

) y + ( c

c

) z + ( d

d

) = 0 , ( a

a

) x + ( b

b

) y + ( c

c

) z + ( d

d

) = 0 .

Pelo M´ etodo de Cramer, sabemos que se o determinante da matriz principal do sistema acima for diferente de zero, ent˜ ao o sistema possui uma ´ unica solu¸c˜ ao, provando assim o Teorema. Assim sendo temos que mostrar que

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

= 0 .

Sendo C

= ( u

, v

, w

) o centro de S

, j = 1 , 2 , 3 , 4, temos a

=

2 u

, b

=

2 v

, c

=

2 w

de modo que, substituindo, obtemos o sistema equivalente abaixo

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

(

2 u

+ 2 u

) x + (

2 v

+ 2 v

) y + (

2 w

+ 2 w

) z + ( d

d

) = 0 ,

(

2 u

+ 2 u

) x + (

2 v

+ 2 v

) y + (

2 w

+ 2 w

) z + ( d

d

) = 0 ,

(

2 u

+ 2 u

) x + (

2 v

+ 2 v

) y + (

2 w

+ 2 w

) z + ( d

d

) = 0 .

Colocando-se o n´ umero dois em evidˆ encia teremos que

17

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

= 8

u

u

v

v

w

w

u

u

v

v

w

w

u

u

v

v

w

w

.

E como C

, C

, C

e C

s˜ ao n˜ ao coplanares, segue que o determinante ` a direita ´ e n˜ ao nulo e, portanto, o sistema linear tem uma ´ unica solu¸c˜ ao, o que prova o teorema.

Uma observa¸c˜ ao extremamente importante: Resolver sistemas com equa¸c˜ oes quadr´ aticas subtraindo duas a duas para que desapare¸cam os termos quadr´ aticos s´ o

´ e perfeitamente poss´ıvel nesse caso pois sabemos que o sistema possui uma solu¸c˜ ao, ou seja, a solu¸c˜ ao que encontrarmos no sistema linear ser´ a tamb´ em solu¸c˜ ao do sistema quadr´ atico pois, afinal de contas, sabemos que os sinais saem de um aparelho e que esse aparelho existe, existindo assim uma solu¸c˜ ao para o problema. H´ a que se frisar a importˆ ancia do que ´ e dito no Teorema: se quatro superf´ıcies esf´ ericas possuem um ponto em comum, ent˜ ao ele ´ e ´ unico! E sabemos que esse ponto existe (o aparelho GPS).

2.2 Das Coordenadas cartesianas para as coordenadas geogr´ aficas

Temos que ressaltar que o sistema de coordenadas cartesianas n˜ ao ´ e o sistema mais usual para localiza¸c˜ ao de pontos na Terra. Normalmente a localiza¸c˜ ao mais utilizada se d´ a pela latitude, longitude e a eleva¸c˜ ao que o ponto se encontra em rela¸c˜ ao ao n´ıvel do mar. Dessa forma, h´ a que se fazer a transforma¸c˜ ao das coordenadas cartesianas, onde o ponto ´ e dado por P = ( x, y, z ), para as coordenadas esf´ ericas, onde o mesmo ponto ´ e dado por P = ( θ, ϕ, h ), onde

θ ´ e a latitude,

ϕ ´ e a longitude e

18 h ´ e a eleva¸c˜ ao em rela¸c˜ ao ao n´ıvel do mar.

Partimos assim do sistema ortogonal de coordenadas cartesianas definido anterior- mente, onde a origem O ´ e o centro da Terra, o eixo Oz positivo aponta para o P´ olo Norte, o plano Oxy ´ e o plano que cont´ em o equador com o eixo Ox positivo cortando o meridiano na longitude 90

E .

Com isso, dado um ponto P = ( x, y, z ) no espa¸co, os ˆ angulos θ e ϕ , conforme figura a seguir, v˜ ao nos dar a latitude e longitude, respectivamente. Ver mais detalhes em [2].

Figura 2.3:

Do triˆ angulo ΔOPB temos

cos(90

θ ) = OB

OP = z

x

+ y

+ z

. E como cos(90

θ ) = sin( θ ), ent˜ ao

sin θ = z

x

+ y

+ z

.

Assim, quando z > 0 significa que a latitude de P ´ e θ

N (Norte) e quando z < 0 a latitude de P ´ e (

)

S (Sul). Al´ em disso do triˆ angulo ΔOAC temos:

sin ϕ = AC

OA = y

x

+ y

e cos ϕ = OC

OA = x

x

+ y

.

Com essas express˜ oes definimos a longitude de P . Se y > 0 ent˜ ao a longitude ´ e ϕ

E

(leste). E quando y < 0, a longitude de P ´ e (

)

W (oeste).

19 Mas as coordenadas geogr´ aficas de um ponto P s˜ ao dadas pelo conjunto: P(latitude, longitude, eleva¸c˜ ao).

E como calcular a eleva¸c˜ ao? Simples, a eleva¸c˜ ao ´ e dada pela diferen¸ca entre OP = d ( O, P ) =

x

+ y

+ z

e o raio da Terra.

Cap´ıtulo 3

A necessidade do quarto sat´ elite

3.1 Solu¸ c˜ ao com apenas 3 sat´ elites

A parte matem´ atica descrita no cap´ıtulo anterior funcionaria em um mundo perfeito.

Como j´ a mencionado, na pr´ atica, devido ` a discrepˆ ancia entre a precis˜ ao dos rel´ ogios presentes nos sat´ elites e nos receptores, ´ e necess´ ario uma an´ alise um pouco mais profunda.

Teoricamente a capta¸c˜ ao de sinais vindos de trˆ es sat´ elites apenas seriam suficientes para se determinar a localiza¸c˜ ao de um aparelho receptor. Isso acontece porque um dos dois pontos de intersec¸c˜ ao das trˆ es esferas estar´ a sempre muito distante da superf´ıcie terrestre. E isso se deve ` a maneira com que os sat´ elites foram posicionados. (nunca trˆ es sat´ elites estar˜ ao colineares).

Portanto, seguindo a teoria descrita no cap´ıtulo 2 ter´ıamos apenas as trˆ es primeiras equa¸c˜ oes das esferas:

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

x

+ y

+ z

+ a

x + b

y + c

z + d

= 0 , x

+ y

+ z

+ a

x + b

y + c

z + d

= 0 , x

+ y

+ z

+ a

x + b

y + c

z + d

= 0 . Subtraindo duas a duas obtemos:

⎧⎨

⎩

( a

a

) x + ( b

b

) y + ( c

c

) z + ( d

d

) = 0 , ( a

a

) x + ( b

b

) y + ( c

c

) z + ( d

d

) = 0 .

20

21 E como os sat´ elites s˜ ao posicionados de tal maneira que nunca trˆ es sat´ elites est˜ ao colineares, isso garante que pelo menos um dos determinantes 2

2 abaixo seja diferente de zero:

a

a

b

b

a

a

b

b

,

a

a

c

c

a

a

c

c

,

b

b

c

c

b

b

c

c

.

Supondo o primeiro determinante diferente de zero, usamos a Regra de Cramer para obter solu¸c˜ oes de x e y em fun¸c˜ ao de z :

x =

( c

c

) z + ( d

d

) b

b

( c

c

) z + ( d

d

) b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

,

y =

( a

a

) ( c

c

) z + ( d

d

) ( a

a

) ( c

c

) z + ( d

d

)

a

a

b

b

a

a

b

b

.

Substituindo esses valores de x e y na equa¸c˜ ao:

x

+ y

+ z

+ a

x + b

y + c

z + d

= 0 ,

encontraremos uma equa¸c˜ ao quadr´ atica em z , de onde obteremos as solu¸c˜ oes z

e z

. E

de posse desses dois valores, voltamos ` as equa¸c˜ oes de x e y acima e encontramos x

, x

,

y

e y

. Assim, obtemos os dois pontos ( x

, y

, z

) e ( x

, y

, z

), dos quais um ´ e descartado

por estar completamente fora da Terra.

22

3.2 O erro e o quarto sat´ elite

Como os rel´ ogios dos receptores tem baixa acuracidade, os lapsos de tempos calculados por eles s˜ ao fict´ıcios, os quais denominaremos T

. Esse tempo ´ e calculado da seguinte forma:

T

= (tempo de chegada do sinal no rel´ ogio do receptor) - (tempo de partida do sinal no rel´ ogio do sat´ elite)

O erro entre o tempo fict´ıcio T

calculado pelo receptor e o verdadeiro tempo t

´ e sempre o mesmo, independentemente do sat´ elite a partir do qual foi tomada a medida.

Assim T

= τ + t

para i = 1 , 2 , 3 , onde

t

= (tempo de chegada do sinal no rel´ ogio do sat´ elite) - (tempo de partida do sinal no rel´ ogio do sat´ elite)

e τ ´ e dado pela equa¸c˜ ao

τ = (tempo de chegada do sinal no rel´ ogio do receptor) - ( tempo de chegada do sinal no rel´ ogio do sat´ elite).

A constante τ representa assim o erro existente entre as tomadas de medidas dos rel´ ogios dos sat´ elites e dos receptores. Com isso, uma quarta inc´ ognita ´ e introduzida ao sistema original que tinha apenas x , y e z . Com 3 sat´ elites obt´ınhamos trˆ es tempos, que eram suficientes para resolver o sistema, agora com mais uma inc´ ognita, precisamos de mais uma equa¸c˜ ao, da´ı a necessidade do quarto sat´ elite! Temos assim as equa¸c˜ oes das quatro esferas:

( x

u

)

+ ( y

v

)

+ ( z

w

)

= c

( T

τ )

, ( x

u

)

+ ( y

v

)

+ ( z

w

)

= c

( T

τ )

, ( x

u

)

+ ( y

v

)

+ ( z

w

)

= c

( T

τ )

, ( x

u

)

+ ( y

v

)

+ ( z

w

)

= c

( T

τ )

.

Assim, como visto na se¸c˜ ao (2.1), as equa¸c˜ oes gerais dessas superf´ıcies esf´ ericas S

,

23

onde j = 1 , 2 , 3 , 4, ser˜ ao representadas por

x

+ y

+ z

+ a

x + b

y + c

z + d

= c

( T

τ )

, sendo que

a =

2 u , b =

2 v , c =

2 w e

d

= u

+ v

+ w

.

Tiramos o raio ao quadrado do coeficiente d , pois ´ e nele que se encontra a nova inc´ ognita τ . Subtraindo duas a duas temos o sistema:

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

( a

a

) x + ( b

b

) y + ( c

c

) z = 2 c

τ ( T

T

) + A

, ( a

a

) x + ( b

b

) y + ( c

c

) z = 2 c

τ ( T

T

) + A

, ( a

a

) x + ( b

b

) y + ( c

c

) z = 2 c

τ ( T

T

) + A

, onde

A

= c

( T

T

)

( d

d

) , A

= c

( T

T

)

( d

d

) , A

= c

( T

T

)

( d

d

) .

Nesse sistema, aplica-se a Regra de Cramer para se determinar os valores de x , y e z em fun¸c˜ ao de τ :

x =

2 c

τ ( T

T

) + A

b

b

c

c

2 c

τ ( T

T

) + A

b

b

c

c

2 c

τ ( T

T

) + A

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

,

24

y =

a

a

2 c

τ ( T

T

) + A

c

c

a

a

2 c

τ ( T

T

) + A

c

c

a

a

2 c

τ ( T

T

) + A

c

c

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

,

z =

a

a

b

b

2 c

τ ( T

T

) + A

a

a

b

b

2 c

τ ( T

T

) + A

a

a

b

b

2 c

τ ( T

T

) + A

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

.

Como os sat´ elites est˜ ao dispostos de tal maneira que nunca quatro sat´ elites vis´ıveis por um ponto na Terra est˜ ao no mesmo plano, ent˜ ao o determinante do denominador ´ e diferente de zero.

Substituindo as solu¸c˜ oes acima na equa¸c˜ ao

( x

u

)

+ ( y

v

)

+ ( z

w

)

= c

( T

τ )

,

obteremos uma equa¸c˜ ao do segundo grau em τ , de onde obteremos τ

e τ

. Voltando nas equa¸c˜ oes de x , y e z acima, obteremos dois pontos poss´ıveis para o receptor, dos quais um, como explicado anteriormente, ´ e eliminado por estar completamente fora da Terra.

Com isso, o problema do erro existente em fun¸c˜ ao da baixa precis˜ ao dos rel´ ogios

presentes nos receptores fica resolvido, e o receptor localizado de maneira precisa.

25

3.3 A escolha dos sat´ elites

Caso o aparelho receptor consiga captar mais de quatro sat´ elites, quais ele dever´ a escolher? Ele dever´ a escolher aqueles que produzam o menor erro. Como o erro do tempo

´

e sempre o mesmo, independentemente do sat´ elite escolhido, a escolha ser´ a de acordo com a posi¸c˜ ao ocupada pelos sat´ elites. Como os tempos medidos s˜ ao todos aproximados, as distˆ ancias calculadas s˜ ao tamb´ em aproximadas. Sendo assim podemos representar as esferas calculadas aumentando a espessura de suas “cascas”, o que faz com que a intersec¸c˜ ao entre as esferas se transforme em uma “regi˜ ao”. Para mais detalhes consultar [4]

Sendo assim, o aparelho dever´ a escolher os sat´ elites que proporcionam uma menor regi˜ ao, conforme figuras abaixo:

Figura 3.1: Geometria Inadequada.

Figura 3.2: Geometria Adequada.

Matematicamente, os valores de x , y e z em fun¸c˜ ao de τ s˜ ao obtidos atrav´ es da divis˜ ao

26 por

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

a

a

b

b

c

c

.

Quanto menor o denominador, maior o erro. Assim, o receptor deve escolher os quatro

sat´ elites que maximizam esse denominador! Para maiores detalhes consultar [1].

Cap´ıtulo 4

Aplicabilidade em Sala de Aula

•

Objetivos da Aula:

Aprender conceitos de escala, ampliar os conceitos de geometria plana e espacial atrav´ es de suas aplica¸c˜ oes na funcionalidade do GPS. As id´ eias para essa atividade foram inspiradas no texto [5].

•

Roteiro:

1. Trabalhar o conceito de escala;

2. Apresentar os conceitos de circunferˆ encia e esfera para os alunos;

3. Propor a Atividade “Perdido no Mapa”;

4. Explicar o funcionamento do GPS.

•

Aplica¸c˜ ao:

Veja o exemplo aplicado em salas do nono ano do Ensino Fundamental do Col´ egio Agostiniano S˜ ao Jos´ e da cidade de S˜ ao Jos´ e do Rio Preto. As perguntas abaixo foram entregues aos alunos que estavam distribu´ıdos em grupos de trˆ es.

1. Segundo o mapa do estado de Mato Grosso 2 cm no mapa corresponde a 100 km no real. Encontre a escala desse mapa.

Nesta etapa, de posse do mapa do estado de Mato Grosso, foi explicado aos alunos como “funciona”a escala, solicitando a eles que retirassem algumas

27

28 distˆ ancias entre cidades.

2. Se uma pessoa se encontra a 100 km da cidade de Porto Murtinho, desenhe no mapa onde pode estar essa pessoa. Qual figura geom´ etrica vocˆ e desenhou?

Mostrar aos alunos a ideia de Lugar Geom´ etrico atrav´ es da circunferˆ encia no plano e da esfera no espa¸co.

3. Imagine que uma pessoa se encontra foragida no estado de Mato Grosso. Trˆ es delegacias de pol´ıcias de cidades diferentes captaram sinais emitidos por um aparelho fixo no tornozelo do indiv´ıduo. Campo Grande - informou que o indiv´ıduo se encontra a 125 km de sua cidade. ´ Agua Clara - informou que o indiv´ıduo se encontra a 225 km de sua cidade. Chapad˜ ao do Sul - informou que o indiv´ıduo se encontra tamb´ em a 225 km de sua cidade. Localize o indiv´ıduo no mapa!! Ele se encontra pr´ oximo de qual cidade?

Distˆ ancias:

125 km de Campo Grande 225 km de Chapad˜ ao do Sul 225 km de ´ Agua Clara

Esse item consiste em o aluno descobrir, de posse de um mapa e de alguns dados, onde exatamente um indiv´ıduo perdido se encontra. (Problema da Tri- latera¸c˜ ao).

De posse das distˆ ancias em quilˆ ometros e da escala o aluno ´ e capaz de con- verter a medida para o mapa, obtendo circunferˆ encias. Com apenas uma cir- cunferˆ encia o aluno percebe que o indiv´ıduo pode estar em qualquer ponto sobre a circunferˆ encia. Ao tra¸car a segunda circunferˆ encia obt´ em-se dois pontos de intersec¸c˜ ao, e com a terceira circunferˆ encia o aluno obter´ a apenas um ponto, que ´ e exatamente onde o indiv´ıduo se localiza.

Veja a sequˆ encia que se ´ e esperada dos alunos:

A escala do mapa ´ e de 1 : 5000000 o que significa que cada 1 cm no mapa

29 corresponde a 50 km no real. Dessa forma o aluno converte as distˆ ancias acima para o mapa:

2 , 5 cm de Campo Grande 4 , 5 cm de Chapad˜ ao do Sul 4 , 5 cm de ´ Agua Clara

Tra¸cando-se a primeira circunferˆ encia com centro em Campo Grande e raio 2 , 5 cm obtemos:

Figura 4.1:

Introduzindo a segunda circunferˆ encia com centro em Chapad˜ ao do Sul e raio

4 , 5 cm obtemos dois pontos (poss´ıveis locais onde o indiv´ıduo se encontra):

30

Figura 4.2:

E por fim, tra¸cando-se a terceira circunferˆ encia com centro em ´ Agua Clara

e raio 4 , 5 cm obtemos um ponto de intersec¸c˜ ao, que ´ e onde o indiv´ıduo se

encontra:

31

Figura 4.3:

Pelo mapa chegamos ` a conclus˜ ao de que o indiv´ıduo se encontra nas proximidades da cidade de S˜ ao Gabriel do Oeste!!

4. O Funcionamento do GPS

Ap´ os a atividade das circunferˆ encias, realizada pelos alunos, explica-se o fun- cionamento do GPS atrav´ es da analogia, transferindo-se a atividade do plano para o espa¸co, ou seja, da intersec¸c˜ ao de circunferˆ encias para a intersec¸c˜ ao de esferas! (utiliza¸c˜ ao de figuras e v´ıdeo).

Intersec¸c˜ ao entre esferas:

32

Figura 4.4:

•

Avalia¸c˜ ao Geral e Conclus˜ oes sobre a Atividade em Sala

1. A receptividade e o interesse por parte dos alunos foi muito grande;

2. O ´ındice de grupos que conseguem realizar a atividade de modo satisfat´ orio ´ e alto;

3. O tempo ideal para realiza¸c˜ ao dessa atividade ´ e de, no m´ınimo, duas aulas;

4. A maior dificuldade apresentada por parte dos alunos ainda ´ e conceitual, no que se diz respeito aos conceitos de c´ırculo, circunferˆ encia e esfera;

5. A transposi¸c˜ ao do plano para o espa¸co apresentada com figuras ´ e essencial para

compreens˜ ao (visualiza¸c˜ ao) do aluno.

Referˆ encias Bibliogr´ aficas

[1]

Mathematics and Technology, p. 01-36, Springer 2000.

[2]

A geometria do globo terrestre, II Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´ atica, . Mitteil. der Math. , 2004.

[3]

Desvendando a Matem´ atica do GPS, 2013.

[4] Miguens, Pires, Altineu. Navega¸c˜ ao eletrˆ onica e em condi¸c˜ oes especiais, Bras´ılia, 28/09/2000. Dispon´ıvel em: < https://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/cap- 37.pdf > . Acesso em: 10/07/2014.

[5] Gasparoto, Lut´ ecia. Matem´ atica na pr´ atica: GPS, Curitiba, 20/01/2009. Dispon´ıvel em: < http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1480 > . Acesso em: 14/12/2014.

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