UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA – PPGEE
EQUAÇÃO PARABÓLICA NO DOMÍNIO DO TEMPO APLICADA AO PROBLEMA DE PREDIÇÃO DE COBERTURA
RADIOELÉTRICA
Mateus Motta Evangelista
Dissertação submetida à banca examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós- Graduação em Engenharia Elétrica da Unversidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica
Orientador: Prof. Cássio Gonçalves do Rego
Belo Horizonte, Fevereiro de 2016
Esse trabalho é dedicado a meus pais que, apesar de não compreenderem a real
natureza do meu trabalho (tanto profissional, quanto acadêmico), sempre ofereceram
apoio incondicional às minhas decisões e objetivos.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a meu orientador, Prof. Cássio Gonçalves do Rego, pela orientação, confiança e a oportunidade de realizar esse trabalho, assim como as produtivas conversas sobre música e a vida em geral.
Ao Prof. Fernando Moreira, pelos ensinamentos e contribuições acadêmicas, profissionais e em aspectos da vida em geral, além das sadias discussões futebolísticas.
Aos professores e funcionários do PPGEE, por proporcionarem a possibilidade de trabalhar em um ambiente de grande enriquecimento acadêmico.
Aos colegas do GAPTEM.
À família Andrade (Geraldo, Eliana, Rodrigo e Roney), pela acolhida no difícil momento de transição Graduação/Mestrado.
A meus amigos e familiares, que nos últimos anos souberam compreender e
lidar com minha ausência em vários momentos importantes, sempre apoiando quando
necessário.
“... and one day it will reward you for the burden of wait”
Wintersun, Time
Resumo
O objetivo desse trabalho trabalho é tratar o problema de propagação de ondas eletromagnéticas, sendo motivado pela crescente demanda de técnicas mais precisas de predição de cobertura radioelétrica para o projeto/planejamento de redes sem fio de alto desempenho. Para isso, a formulação utilizada é baseada na Equação Parabólica no Domínio do Tempo, considerando os terrenos analisados eletricamente suaves, desprezando assim o retro-espalhamento e que o comprimento do enlace é bem maior que a altura máxima do mesmo. Para resolver as equações, é utilizado o Método de Crank-Nicolson, de forma a garantir a estabilidade da solução.
Para que sejam realizadas as simulações de ambientes de propagação mais realistas, são consideradas perdas no solo utilizando uma condição de contorno deduzida a partir da condição de Leontovich. Também é levada em conta a variação do índice de refração da atmosfera com a altitude. O truncamento do domínio de interesse é feito através da implementação de camadas de absorção utilizando uma janela de Hanning.
Para a verificação da formulação, a mesma é aplicada a problemas envolvendo perfis canônicos (terra plana, colina gaussiana, cunha), observando os resultados obtidos para diferentes parâmetros elétricos do solo. É feita também uma comparação dos resultados obtidos para um perfil canônico com resultados obtidos utilizando Equações Integrais no Domínio do Tempo e a Teoria Uniforme da Difração no Domínio do Tempo
Palavras-chave: Propagação de ondas eletromagnéticas, Equação Parabólica no
Domínio do Tempo, Método de Crank-Nicolson, Camadas absorventes, Atmosfera
inomogênea.
The main objective of this work is to deal with electromagnetic wave propagation, motivated by the constant growing of faster and more precise techniques of radioelectric prediction to enhance the project and planning of modern high performance wireless networks. To accomplish this task, a scheme based on the Time Domain Parabolic Equation is developed, considering the terrain inhomogeneous and electrically smooth, neglecting the back-scattering and considering the lenght of the radio link much bigger than its maximum height. To solve these equations, the Crank- Nicolson Method was used, in order to assure the stability of the solution.
To simulate a more realistic enviroment, the losses due the finite conductivity of the soil were considered using a modified Leontovich impedance boundary condition. It was also taken in account the variations of the atmospheric refractive index with the altitude. The Computational Domain was truncated using absorbing layers based on Hanning windows.
The developed method is verified with canonical propagation scenarios, observing the results for different soil electric parameters.
Keywords: Electromagnetic wave propagation, Time Domain Parabolic Equation,
Crank-Nicolson Method, absorbing layers, Inhomogeneous atmosphere.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Retro-espalhamento da energia pelo solo ... 4
Figura 2.2 - Descrição do problema de interesse ... 5
Figura 2.3 - Descrição geométrica da TDPE (imagem – A. V. Popov e V. V. Kopeikin [15]) ... 11
Figura 2.4 - Representação do relevo como "linear por partes" ... 12
Figura 2.5 - Descrição do domínio computacional (imagem - Asif Iqbal e Varun Jeoti [10]) ... 13
Figura 2.6 - Camadas de absorção (imagem – M. Levy) ... 13
Figura 2.7 - Variação de N definindo a formação de dutos topográficos em: a) superfície, b) superfície elevada e c) duto elevado ... 15
Figura 2.8 – Forma da matriz A para o domínio de interesse ... 17
Figura 2.9 - Discretização "staircase" do perfil de relevo ... 20
Figura 3.1 - Classificação dos enlaces quanto à visada Tx/Rx ... 24
Figura 3.2 - Forma de onda espacial do sinal fonte f(ct) ... 24
Figura 3.3 - Diagrama de radiação da fonte utilizada (perfil Gaussiano) ... 26
Figura 3.4 - Representação do modelo de relevo Terra Plana (imagem – Cláudio Garcia [5]) ... 26
Figura 3.5 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo plano e solo do tipo seco ... 27
Figura 3.6 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo plano e solo do tipo médio ... 28
Figura 3.7 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo plano e solo do tipo lago/lagoa ... 28
Figura 3.8 - Comparação entre os sinais recebidos para os 3 tipos de solo, para uma distância d = 1km ... 29
Figura 3.9 - Perfil de relevo do tipo "cunha" ... 30
Figura 3.10 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo "cunha" e solo do tipo seco 31 Figura 3.11 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo "cunha" e solo do tipo médio ... 32
Figura 3.12 - Comparação entre os sinais recebidos para os 2 tipos de solo, para uma distância d = 1km ... 32
Figura 3.13 - Perfil de relevo do tipo "colina gaussiana" ... 33
Figura 3.14 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo "colina gaussiana" e solo do tipo seco ... 34
Figura 3.15 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo "colina gaussiana" e solo do tipo médio ... 34
Figura 3.16 - Comparação entre os sinais recebidos para os 2 tipos de solo, para uma distância d = 1km ... 35
Figura 3.17 - Comparativo dos sinais recebidos em 100, 200, 300, 400 e 500m para ν=750 ... 36
Figura 3.18 - Comparativo dos sinais recebidos em 100, 200, 300, 400 e 500m para ν=250 ... 37
Figura 3.19 - Descrição do problema da cunha por Temperino [30] ... 39
Figura 3.20 - Sinal da Fonte ... 40
Figura 3.21 - Sinal recebido em d = 200m para um receptor com h = 5m para a formulação de Temperino [30] ... 40
Figura 3.22 - Sinal recebid para d = 200m com um receptor com h = 5m para a formulação da TDPE ... 41
TDPE ... 42 Figura 3.25 - Sinal recebido em d = 200m para um receptor com h = 30m para a formulação de Temperino [30] ... 43 Figura 3.26 - Sinal recebid para d = 200m com um receptor com h = 15m para a formulação da TDPE ... 43
Lista de Tabelas
Tabela 3.1 - Tipos de solos e seus parâmetros elétricos [5] ... 25 Tabela 3.2 - Valores dos parâmetros utilizados na simulação ... 27 Tabela 3.3 - Tempo de processamento para o cálculo do enlace para os 3 cenários - solo Médio ... 38
PE – Parabolic Equation
TDPE – Time Domain Parabolic Equation PWE – Progressive Wave Equation MCN – Método de Crank-Nicolson PEC – Condutor Elétrico Perfeito LOS – Linha de Visada
nLOS – Quase em Visada Direta NLOS – Sem Visada Direta
MFIE – Equação Integral do Campo Magnético
TD-UTD – Teoria Uniforme da Difração no Domínio do Tempo
SUMA RIO
Capítulo 1. Introdução ... 1
1.1 Motivação ... 1
1.2 Objetivos ... 3
1.3 Estrutura da Dissertação ... 3
Capítulo 2. Desenvolvimento ... 4
2.1 TDPE e propagação radioelétrica ... 4
2.1.2 Equação Parabólica no Domínio do Tempo (TDPE) ... 9
2.1.3 – Condição de Contorno de impedância do Solo ... 11
2.1.4 Condição de contorno absorvente ... 12
2.1.5 Variação atmosférica ... 14
2.2 Formulação Numérica ... 15
2.2.1 Discretização da TDPE ... 16
2.2.2 Implementação da condição de contorno de impedância... 18
2.2.3 Implementação da camada absorvente ... 20
2.3 – Conclusões Parciais ... 21
Capítulo 3. Resultados ... 22
3.1 Instabilidade e Nova Formulação ... 22
3.2 Modelo de terra plana ... 25
3.3 – Relevo Cunha ... 30
3.4 Perfil Gaussiano ... 33
3.4 – Ângulo de propagação da TDPE ... 35
3.5 – Desempenho da Camada de Absorção ... 37
3.6 – Tempos de processamento ... 38
3.7 – Análise da propagação de um relevo cunha utilizando a TDPE e Equações Integrais no Domínio do Tempo ... 39
Capítulo 4. Conclusões ... 45
4.1 Considerações finais ... 45
4.2 – Propostas de Continuidade ... 47
Referências Bibliográficas ... 48
1 Introdução
Capítulo 1. Introdução
1.1 Motivação
O planejamento e análise de sistemas de comunicação sem fio é um tema de grande importância atualmente. Os recentes avanços tecnológicos na área de comunicações móveis (como o advento dos smartphones, padrões IEEE 802.11, WiMax, etc) fizeram com que as redes sem fio se tornassem cada vez maiores e mais complexas. Com isso, há um grande interesse no desenvolvimento de técnicas mais precisas (e sofisticadas) para previsão de cobertura radioelétrica e capacidade de transmissão de dados, de forma a tornar as ferramentas de projetos mais eficientes e reduzir os custos com manutenção da rede e testes em campo.
As ferramentas comerciais mais utilizadas atualmente baseiam-se em modelos semi- empíricos, como as recomendações ITU-R P.1546 [1], ITU-R P.1411 [2] e empíricos como o modelo de Okumura-Hata e variantes [3]. A grande vantagem desses métodos é seu baixo custo computacional e grande agilidade, porém são necessárias longas campanhas de medição para realizar a calibração dos modelos de propagação, o que pode tornar sua utilização economicamente inviável em vários casos. Com o avanço dos computadores, o surgimento de algoritmos com técnicas de aceleração e técnicas de cálculo paralelo, ferramentas baseadas em modelos analíticos, como o Método dos Momentos (MoM) [4], FDTD [2-4] e Equação Parabólica (PE) [11-13] têm se mostrado como alternativas interessantes no projeto de rádio-enlaces, dada a maior precisão e rigor nas predições. Além dessas características, há a possibilidade de incorporar determinadas particularidades à simulação dos ambientes de propagação (variações atmosféricas, terrenos com diferentes parâmetros elétricos e de relevo irregular, etc)
Outra questão muito importante no projeto de enlaces de rádio é com relação à caracterização de sistemas de comunicação banda-larga. A maior parte dos modelos semi- empíricos e vários dos métodos analíticos são baseados em equações que consideram o sinal transmitido como uma portadora monocromática não modulada. Esse fato não acarreta em grandes problemas na análise do desempenho de sistemas de comunicação convencionais, como transmissão de voz, radiodifusão FM, etc. Porém, para sistemas de comunicação modernos, como radiodifusão digital, sistemas de comunicação celular de 3ª e 4ª gerações (baseados em modulações spread-spectrum e OFDM) e enlaces de grande capacidade (que utilizam modulações com maior eficiência espectral – e mais complexas), cresce o interesse no desenvolvimento de técnicas no “Domínio do Tempo”, dado que a alternativa de se analisar frequência a frequência nesses casos é computacionalmente muito onerosa e a variação do comportamento do canal ao longo da faixa de operação também deve ser levada em conta.
O uso da TDPE (Equação Parabólica no Domínio do Tempo) para a predição da
propagação de ondas foi introduzido por Claerbout [11] nos anos 1970, sendo utilizada para
calcular a propagação de ondas sísmicas em aplicações de prospecção de petróleo. Mais
tarde, a mesma técnica também seria utilizada no cálculo da propagação de ondas acústicas
e pesquisas submarinas [12-13].
Alguns algoritmos computacionais baseados na PE para o domínio do tempo já eram conhecidos e utilizados [14], porém a introdução de sua versão no domínio do tempo para problemas eletromagnéticos foi feita por Popov et al. [15], que deduziram uma condição de contorno de impedância aplicando uma inversão de Fourier adequada à condição de contorno de Leontovich modificada. Nessa formulação o terreno é modelado como linear por partes (levando em conta a inclinação em cada segmento do terreno discretizado), sendo capaz assim de tratar perfis de propagação com um relevo de forma arbitrária. Para isso são feitas as considerações de incidência rasante sobre o solo, terreno eletricamente suave e que o comprimento do enlace é muito maior que a altura máxima de interesse do mesmo, reduzindo os erros causados devido ao truncamento das derivadas em relação à altura.
Para o truncamento do domínio computacional, Popov formulou uma condição de contorno de transparência não-local (dependente de valores prévios da função). Outra forma de truncamento do domínio computacional muito utilizada na literatura é baseada na utilização de camadas absorventes utilizando funções especiais (janela de Hanning, etc), conforme demonstrado por Levy [8]. A formulação apresentada por Levy mostra-se como a mais simples para a implementação.
Para garantir a estabilidade do algoritmo de marcha das diferenças finitas, utilizado na solução numérica da equação diferencial, tanto Claerbout quanto Popov utilizaram o Método de Crank-Nicolson (MCN), calculando implicitamente os valores da componente de campo para cada passo. O método de Crank-Nicolson é largamente utilizado no cálculo de derivadas por diferenças finitas devido ao mesmo se apresentar como incondicionalmente estável para a maioria das formulações.
Yongqin e Yunliang [16] sugeriram uma nova alteração na TDPE para levar em conta a variação do índice de refração na atmosfera, de forma a obter uma melhor performance na aplicação da técnica no cálculo de enlaces de grandes comprimentos e em cenários clássicos de sistemas de rádio enlace em situações de atmosfera inomogênea (inversão atmosférica, formação de dutos troposféricos, enlaces sobre água, etc).
Nesse trabalho é estudada a formulação proposta por Yongqin e Yunliang, que leva
em consideração a variação do índice de refração atmosférico com a altitude. É feita a
consideração do terreno linear por partes, invariante na direção perpendicular à direção de
propagação, eletricamente suave e com perfil topográfico arbitrário. São considerados
enlaces onde a incidência sobre o solo é rasante. As perdas são aproximadas através da
utilização da extensão da condição de contorno de Leontovich para o domínio do tempo e o
truncamento da parte superior do domínio computacional é feita através da implementação
de camadas absorventes baseadas na janela de Hanning.
3 Introdução
1.2 Objetivos
Os objetivos principais desse trabalho são o desenvolvimento e aplicação de um software de cálculo de propagação baseado na TDPE e a aplicação do mesmo em diferentes cenários de propagação, levando em consideração efeitos naturais do ambiente como relevo irregular, atmosfera inomogênea e perdas no solo, validando a formulação através do estudo de problemas canônicos. O principal foco dessa aplicação é ao cálculo de enlaces relacionados à telefonia móvel celular.
A contribuição esperada desse trabalho é a implementação de um módulo de cálculo de enlaces de rádio utilizando uma nova formulação no domínio do tempo. Espera-se que esse módulo seja integrado às ferramentas de análises desenvolvidas no GAPTEM (Grupo de Antenas, Propagação e Teoria Eletromagnética), de forma a ampliar as classes de enlaces que podem ser estudados, além da possibilidade de analisar um enlace utilizando técnicas diferentes, melhorando a confiabilidade dos resultados obtidos.
1.3 Estrutura da Dissertação
O presente trabalho está organizado em quatro capítulos. No Capítulo 2 é apresentada a formulação empregada no desenvolvimento do software para o cálculo da propagação em enlaces de rádio. O desenvolvimento parte da dedução da TDPE a partir das equações de Maxwell até a implementação do Método de Crank-Nicolson para o algoritmo de diferenças finitas. Também é apresentada a formulação para a condição de contorno de impedância que irá aproximar as perdas no solo e a implementação das camadas absorventes para truncar o domínio computacional.
No Capítulo 3 são apresentados os resultados obtidos e uma avaliação da técnica através da solução do cálculo da propagação em perfis canônicos, simulando cenários de interesse para o projeto de links de rádio.
O capítulo 4 apresenta as conclusões, considerações finais e propostas de
continuidade.
Capítulo 2. Desenvolvimento
O objetivo desse capítulo é apresentar a formulação do problema utilizando a TDPE para a o cálculo da propagação sobre terrenos irregulares. Na primeira parte é apresentada a dedução da TDPE a partir das equações de Maxwell, assim como a dedução da versão no domínio do tempo para a condição de Leontovich para terrenos lineares por partes (que será utilizada para estimar as perdas no solo). Na segunda parte, é apresentada a formulação do esquema de Diferenças Finitas baseado no Método de Crank-Nicolson para a solução numérica do problema, assim como a implementação das camadas absorventes baseadas na janela de Hanning utilizadas para o truncamento da parte superior do domínio computacional
.2.1 TDPE e propagação radioelétrica
A modelagem numérica da propagação de ondas eletromagnéticas através da TDPE apresenta uma série de fatores interessantes, como abordar a solução considerando os diversos mecanismos de propagação (difração, refração, etc) e permitir incluir diversas informações relativas ao caminho de propagação (perfil de relevo, características elétricas do terreno e condições atmosféricas) que permitem a simulação de um grande número de classes de enlaces extremamente interessantes para o projeto de redes sem fio. Outro ponto a se destacar na técnica é que ela realiza os cálculos no domínio do tempo, ao contrário de várias técnicas tradicionais que são no domínio da frequência. Dessa forma, é possível obter uma solução para diferentes tipos de serviços de comunicação (inclusive os modernos sistemas banda larga) e que operam em várias faixas de frequências com apenas uma simulação. Um ponto extremamente interessante na análise temporal da propagação é o fato de todas as frequências da faixa de interesse serem simultaneamente calculadas, bastando apenas uma análise de espectral (ex: através de uma transformada de Fourier) para verificar o comportamento de cada componente específica. Dependendo do nível de detalhamento necessário (resolução das componentes em frequências), a técnica pode
Figura 2.1 - Retro-espalhamento da energia pelo solo
5 Desenvolvimento
Figura 2.2 - Descrição do problema de interesse
tornar-se muito menos custosa que as convencionais técnicas no domínio da frequência.
Outra característica importante dessa técnica é o fato da mesma desprezar o retro- espalhamento da energia (soluções que se propagam no sentido da fonte, conforme mostrado na Figura 2.1), reduzindo assim o custo computacional da técnica. Essa consideração é uma aproximação bastante razoável para grande parte das aplicações de interesse (em especial as aplicações ponto-a-ponto, como representado na figura 2.2), em que na grande maioria das vezes o terreno pode ser suposto como eletricamente suave (sem descontinuidades e com curvatura muito maior que os comprimentos de onda de interesse).
Levar em consideração a variação do índice de refração da atmosfera com a altitude
é de grande interesse para aplicações práticas. Vários enlaces de rádio são realizados sobre
situações em que mostra-se necessário considerar a dispersão causada pelas variações
atmosféricas, como regiões com alto nível de precipitação (pluvial ou neve), zonas litorâneas
e enlaces marítimos (que apresentam a formação de dutos troposféricos e inversão
atmosférica), florestas tropicais (com alto índice de evaporação) e enlaces muito longos,
onde a curvatura da terra tem um efeito proeminente e diferenças nos valores preditos
devido à variações de altitude são mais acentuadas. Dessa forma é possível modelar de
forma mais completa enlaces de alto desempenho que operam sob condições adversas, que
desempenham um papel muito importante nas redes de comunicação de países que
apresentam variações de ambientes de propagação muito drásticas (como é o caso do Brasil)
2.1.1 – Equação Parabólica
As equações de Maxwell em sua forma harmônica [17], suprimindo o termo
e desconsiderando possíveis fontes de corrente e cargas no domínio computacional, são dadas por
⃗⃗⃗ ⃗⃗
(2.1)⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗
(2.2)[ ( ) ⃗⃗⃗ ]
(2.3)⃗⃗⃗⃗
(2.4)onde ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ são os vetores de campo elétrico e magnético, é a permeabilidade magnética do meio (considerada como constante e igual ao valor para o vácuo - 4π x 10
-7H/m), ( ) é a permissividade elétrica do meio (que varia com a posição) e é a frequência angular.
Utilizando as propriedades vetoriais do operador diferencial , podemos reescrever a equação do divergente do vetor deslocamento elétrico na forma
[ ( ) ⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗
(2.5)e
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
( )
(2.6)Considerando que a variação da permissividade elétrica se dê apenas na direção ̂ (conforme a Figura 2.2) e que a mesma é muito pequena ( | ( )| | ( )| ), podemos reescrever a equação anterior como:
⃗⃗⃗
(2.7)Calculando o rotacional da intensidade de campo elétrico na equação (2.1) e
utilizando a equação (2.2), obtém-se a equação de onda vetorial do mesmo
7 Desenvolvimento
⃗ [ ( ) ⃗ ]
(2.8)Considerando que a permissividade elétrica do meio varia apenas na dimensão z, e que o número de onda é definido como
( )
(2.9)e que
( ) ( )
(2.10)e
⃗ ( ⃗ ) ⃗
(2.11)podemos, com o auxílio da equação (2.7), escrever a equação de onda para o campo elétrico
⃗ ( ) ⃗
(2.12)onde ( ) representa o índice de refração atmosférico para uma determinada altura z e a permissividade elétrica do vácuo (8.854 x 10
-12F/m). A equação de onda para o campo magnético pode ser obtida utilizando o princípio de dualidade [17].
Para a modelagem do problema, assumiu-se que o relevo é invariante na direção perpendicular à direção de propagação. Esse fato, junto à consideração que o campo incidente também não varia na mesma direção, garante que não haja variação do campo elétrico na direção ̂. Considerando uma solução do tipo TM
y, podemos reescrever a equação (2.12) na forma escalar
⃗ ( ) ̂
(2.13)e
( ) ( ) ( ) ( )
(2.14)Para a dedução da PE no domínio da frequência, primeiramente será introduzida a
seguinte função reduzida
( )
( )
(2.15)Substituindo (2.15) em (2.14)
( )
( ) ( )
( )
(
( ))
( )
( )
( )
( ( )
( )
( ))
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ( ) ] ( )
(2.16)A equação (2.16) pode ser formalmente dividida em 2 termos, onde cada um representa uma solução que se propaga nas direçoes positiva e negativa do eixo x. Dessa forma
[ ( )] [
( )] ( )
(2.17)onde
[ ]
⁄ (2.18)e
( )
(2.19)O segundo termo à esquerda da equação (2.17) representa as soluções que
propagam no sentido negativo do eixo x e será descartada. Fazendo uma aproximação por
série de Taylor [18] para o operador da equação (2.18) e considerando apenas o primeiro
termo, temos a seguinte aproximação:
9 Desenvolvimento
(2.20)
A condição em (2.20) requer que os ângulos de propagação sejam pequenos, para que o erro ao se fazer a aproximação em séries de Taylor seja pequeno. Essa condição é automaticamente tomada para uma série de aplicações de interesse, como por exemplo enclaces de microondas, onde o comprimento do enlace normalmente é muito maior que a altura relativa entre transmissor e receptor. Outras aproximações para o valor de são encontradas na literatura, como por exemplo a aproximação de Padè, porém o emprego das mesmas resulta no surgimento de derivadas de maior ordem na equação parabólica e o consequente aumento na complexidade e custo computacional da formulação.
Dessa forma, considerando apenas o primeiro termo à esquerda em (2.17) e utilizando (2.19) e (2.20), obtemos a forma clássica da PE considerando a variação do índice de refração da atmosfera com a altitude
( )
( )
[ ( ) ] ( )
(2.21)2.1.2 Equação Parabólica no Domínio do Tempo (TDPE)
Para obter uma versão da PE no domínio do tempo, é definida uma transformada de Fourier especial [19]
( )
∫ ̃( ) ( )
(2.22)
onde ̃( ) representa uma função espectral escolhida de forma a satisfazer as condições de aplicabilidade da PE, ( ) representa o sinal recebido em um ponto ( ), é a distância da frente de onda paraxial e é a velocidade da luz no vácuo.
A solução em (2.22) se aproxima da solução exata quando ̃( ) é escolhida de tal forma que seu espectro está confinado em torno de um
que satisfaça a condição de aplicabilidade da PE, a saber:
⁄
(2.23)onde D é o tamanho do domínio de interesse onde a TDPE será aplicada (conforme mostrado na Figura 2.3). Um exemplo forma de ̃( ) é a de um pulso exponencial centrado em
que obedece a condição em (2.23).
Aplicando a transformação apresentada em (2.22) à PE em (2.21), após multiplicar ambos os lados por ̃( ), obtemos a TDPE utilizada nesse trabalho
( )
( )
[ ( ) ] ( )
(2.24)
Para resolver o problema, devem ser levadas em consideração outras duas condições de contorno. A primeira relacionada à fonte e a segunda como condição de causalidade do problema. Matematicamente
( ) ( ) ( )
(2.25)( )
(2.26)onde ( ) é uma função de transitório espacial que representa a variação temporal do sinal emitido pela fonte e ( ) representa a variação da distribuição do campo ao longo do eixo z (diagrama de radiação da fonte). A segunda condição indica que o valor da solução em todos os pontos do problema para é nulo (condição inicial de repouso)
A TDPE é uma aproximação paraxial ou de ângulos pequenos (tomando como
referência o eixo paralelo à direção de propagação – nesse caso, o eixo x) válida para uma
faixa espacial estreita (sendo a altura máxima da região de interesse e o
comprimento do enlace) e descreve pulsos curtos , sendo o comprimento
(distribuição espacial do sinal) comparável com o desvio da frente de onda do plano
. Uma descrição geométrica da TDPE é encontrada na figura 2.3
11 Desenvolvimento
Figura 2.3 - Descrição geométrica da TDPE (imagem – A. V. Popov e V. V. Kopeikin [15])
2.1.3 – Condição de Contorno de impedância do Solo
Para estimar as perdas decorrentes da interação entre as ondas eletromagnéticas propagantes e o terreno, é utilizada uma condição condição de contorno de Leontovich modificada para o domínio do tempo. Partindo de sua versão no domínio da frequência [15]
(
)
[ √ ̃
̃ ( )] (
)
(2.27)onde
̃
(2.28)
sendo a condutividade do solo, ( ) a função que descreve a altura em cada ponto e ( ) a inclinação em cada segmento do terreno (que foi definido como linear por partes).
Aplicando a transformada definida em (2.22) à condição de contorno (2.27), temos uma condição de contorno não-local [20] no domínio do tempo, que é utilizada para calcular as perdas aproximadas no solo
( )
∫ [ √ √ ( )
] ̃( ) ( )
∫ ( ) ̃( ) ( )
(2.29)
Figura 2.4 - Representação do relevo como "linear por partes"
onde ⁄ e ( ) ⁄ .
Dessa forma
( )
[ ( ) √
] ( )
√
∫ ( )
( )
(2.30)e
( )
( ∫
( )( )
)
(2.31)sendo I
1a função de Bessel modificada de primeira ordem.
2.1.4 Condição de contorno absorvente
Camadas absorventes são adicionadas acima do domínio de interesse, aplicada à
TDPE de forma a absorver a energia que se propaga para cima e que é refletida na borda
superior do mesmo. A implementação das condições absorventes de contorno é
extremamente importante na solução do problema pois a energia proveniente de reflexões
13 Desenvolvimento
Figura 2.5 - Descrição do domínio computacional (imagem - Asif Iqbal e Varun Jeoti [10])
espúrias deve ser mínima possível e as mesmas devem ser eficientes para que tenham a menor espessura possível, de forma a controlar o custo computacional (figura 2.5).
Uma maneira simples mas efetiva de implementar camadas absorventes é atráves da Janela de Hanning (vastamente utilizada em processamento de sinais). Ela é dada pela equação [8]
( ) (
)
(2.32)onde H é a largura total da camada absorvente.
A janela de Hanning satisfas as condições ( ) ( ) e possui derivada nula nas extremidades, o que garante uma transição suave para o resto do domínio. Para esse tipo de camada de absorção, as perdas (em dB) [8] associadas com um raio lançado a um ângulo
Figura 2.6 - Camadas de absorção (imagem – M. Levy)
(figura 2.6) após a reflexão no topo da camada absorvente (modelada como um PEC)
é aproximadamente
∫ [ ( )]
(2.33)Vemos a dependência da atenuação com o ângulo dos raios que propagam ao longo das camadas absorventes. Para valores maiores de , vemos que o método perde eficiência e é necessário utilizar camadas mais espessas para obter o mesmo nível de atenuação, o que torna o método mais custoso. Devido à sua simplicidade, a implementação da camada absorvente utilizando uma janela de Hanning apresenta-se como uma alternativa interessante.
A condição de contorno para a parede lateral esquerda é definida como a fonte utilizada no problema. Não há a necessidade de definir uma condição de contorno especial para a parede lateral direita, uma vez que o método considera apenas as soluções que propagam no sentido positivo do eixo x. Assim, a mesma é truncada pelo próprio algoritmo de marcha utilizado.
2.1.5 Variação atmosférica
Como citado anteriormente, nesse trabalho foi considerada a variação do índice de refração atmosférico com a altitude. Para isso, será utilizada a recomendação ITU-R P.453-10 [21], que define o valor de n para a atmosfera padrão como
( )
( ⁄ )
,
(2.34)onde:
N
0: valor médio da refratividade atmosféria ao nível do mar = 315 e z
0: altura de escala = 7.35 km. N
0e z
0são determinados estatisticamente para climas diferentes. Os valores aqui citados são valores são referências para uma média global.
Outro tipo de perfil de refratividade de grande interesse para aplicações em comunicações é aquele que representa a formação de dutos troposféricos. Esses perfis podem ser modelados como variações lineares subsequentes da variação do valor de N, conforme apresentado na Figura 2.7. Lembrando que
( )
(2.35)15 Desenvolvimento
Figura 2.7 - Variação de N definindo a formação de dutos topográficos em: a) superfície, b) superfície elevada e c) duto elevado
Os perfis de refratividade mostrados na Figura 2.7 representam a formação de um duto troposférico (inversão da variação do índice de refratividade) para três cenários distintos: Duto Superficial, duto de superfície elevada e duto elevado. Esses três perfis são interessantes para modelar diferentes cenários onde ocorre a inversão atmosférica devido à evaporação, como regiões costeiras, florestas tropicais, superfícies de lagos, etc. Esses cenários são comumente encontrados no Brasil, sendo de grande valia seu estudo.
2.2 Formulação Numérica
Para a implementação computacional da TDPE, é utilizado um esquema de Diferenças Finitas [22], baseado no método de Crank-Nicolson [23], de forma a tentar garantir a estabilidade do algoritmo. Para isso, as aproximações das derivadas serão feitas através de uma expansão em série de Taylor da forma:
(2.36)
e
(2.37)
onde representa cada passo de tempo .
O domínio computacional é subdividido em 3 regiões: domínio de interesse, camada absorvente e condição de contorno de impedância (Figura 2.5). A TDPE é aplicada nas duas primeiras regiões, onde o campo será calculado. A condição de contorno de impedância deduzida na equação (2.30) é empregada de forma a considerar a influência do solo na propagação do sinal e para tal será utilizada uma implementação modificada do esquema de diferenças finitas
2.2.1 Discretização da TDPE
Para utilizar o esquema de Crank-Nicolson, a equação (2.24) é reescrita da seguinte forma
(2.38)
onde
[ ]
(2.39)
sendo o valor do índice de refração em cada ponto e:
(2.40)
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
17 Desenvolvimento
(2.45)
e
[
]
(2.46)com os índices e representando cada ponto e no plano (x,z).
A partir do conjunto de equações anteriores, juntamente com as condições de contorno estabelecidas em (2.25) e (2.26), é possível calcular o valor de
para cada passo . Reescrevendo a equação de uma forma adequada, é possível construir um sistema de equações da forma onde a matriz é tridiagonal e possui vários algoritmos eficientes para a solução [23].
Reescrevendo a equação (2.38), de maneira a explicitar a forma tridiagonal do sistema:
(
)
(
)
(2.47)(
) ( )
( )
( )
( )
2 2 3 0
0
2 2 3 0
2 0 2 3
0 2 0
2 3
Figura 2.8 – Forma da matriz A para o domínio de interesse
Como é possível observar na equação (2.47) e na figura 2.8, temos um sistema matricial tridiagonal com a matriz diagonalmente dominante [23], ou seja
|
| ∑|
|
(2.48)
Essa é uma das condições em que o algoritmo de Thomas apresenta estabilidade e pode ser utilizado [23]. A utilização desse algoritmo permite economizar recursos computacionais, uma vez que não é necessário armazenar os elementos fora das 3 diagonais principais, que são nulos. Outro ponto interessante no algoritmo de Thomas é sua simplicidade de implementação.
2.2.2 Implementação da condição de contorno de impedância
Um procedimento similar à formulação das equações (2.40) a (2.47) é feito para determinar o esquema de diferenças finitas para a condição de contorno. É feita uma aproximação unilateral para a derivada em
, uma vez que o campo abaixo da superfície é desconhecido. Dessa forma, o campo é calculado não na superfície, mas um pouco acima dela. Porém, devido ao baixo valor de , essa aproximação não deve implicar em grandes erros. Sendo assim:
(
)
[ (
)
(
)
]
(2.49)Substituindo (2.30) no segundo termo do lado direito da equação acima (
)
[ (
)
[ ( ) √
] (
)
]
[ √
∫ (
)
( ) ]
(2.50)Utilizando (2.50) em (2.24), temos a TDPE no solo
19 Desenvolvimento
[ (
)
[ ( ) √
] (
)
]
[ √
∫ (
)
( ) ]
(2.51)(
)
[ (
) ] (
)
Deve-se notar que a aproximação da derivada segunda em z é calculada no ponto
⁄ . Contudo, isso não deve resultar em erros significativos, uma vez que é um valor baixo (normalmente da ordem de dezenas centímetros) [24].
A equação (2.51) é então reescrita em um sistema de Diferenças Finitas de forma similar à TDPE. Para isso, a integração presente na equação pe aproximada utilizando a regra trapezoidal, que apresenta um equacionamento mais simples e é mais fácilmente integrado ao esquema de marcha do algoritmo. Já o núcleo ( ) é calculado utilizando a regra de
⁄ de Simpson, devido à maior oscilação da função ( ). Sendo assim, a condição de contorno é reescrita como
( )
(
)
(2.52)
( ( √
) )
( )
( )
onde
(
) (( ) ) (
) ( )
∑(
)
(( ) )
(2.53)Dessa forma, basta substituir os elementos da primeira linha da matriz (figura 2.8) pelo lado esquerdo da equação (2.52) (assim como o lado direito à matriz do sistema linear) para incorporar a condição de contorno à marcha do algoritmo. A interface ar/solo é representada através de uma discretização do tipo “staircase” do perfil do relevo , conforme mostrado na figura (2.9).
2.2.3 Implementação da camada absorvente
Para a implementação da condição absorvente, foi utilizada uma função do tipo janela de Haning. A equação (2.32) foi utilizada como geratriz de um vetor que, multiplicando os termos da matriz correspondentes à região da janela em cada ponto correspondente do vetor solução do sistema linear, reduz a magnitude do valor da função ( ) dentro da área da camada de absorção e consequentemente as reflexões espúrias causadas pelo truncamento do domínio computacional em
, que apresenta o comportamento de um condutor elétrico perfeito. O algoritmo da marcha é o mesmo da região de interesse, conforme descrito na equação (2.47). Essa aproximação do relevo permitiu transformar a derivada normal em relação ao solo presente na condição de contorno da superfície em uma derivação relativa a
Figura 2.9 - Discretização "staircase" do perfil de relevo
21 Desenvolvimento
2.3 – Conclusões Parciais
Nesse capítulo foi apresentada a formulação da TDPE aplicada a problemas de propagação eletromagnética. Foi demonstrada a dedução da forma temporal da equação parabólica a partir das equações de Maxwell, assim como a formulação da condição de contorno de impedância que representa as perdas no solo. Foi apresentada a geometria básica do problema de propagação e as considerações utilizadas para reduzir a complexidade do problema como assumir o terreno estudado eletricamente suave, a aproximação paraxial para as derivadas ao longo do eixo z e desprezar o retro- espalhamento.
Foram também apresentadas a formulação numérica do problema e a estratégia de utilização de camadas absorventes para reduzir o tamanho máximo do domínio de cálculo, de forma a controlar o custo computacional da implementação. Essas formulações foram utilizadas na construção do software para a prediçaõ de cobertura radioelétrica.
No capítulo 3 serão apresentados problemas encontrados na implementação do algoritmo, alterações feitas na formulação para contorná-los e resultados da simulação de perfis canônicos (terra plana, colina gaussiana e cunha) utilizando o software construído, de forma a realizara validação do mesmo e definir estratégias para aprimorar o algoritmo implementado.
Capítulo 3. Resultados
O objetivo deste capítulo é apresentar os resultados obtidos a partir da utilização do software construído, baseado na formulação apresentada no capítulo anterior. São apresentados os resultados para 3 perfis de propagação canônicos: Terra Plana, colina Gaussiana e relevo em forma de cunha. Para todos os casos, são descritas as características físicas do relevo e os parâmetros utilizados na simulação, como nível de discretização do domíno computacional, fontes utilizadas e altura do receptor.
Em seguida são apresentados resultados variando a distância entre transmissor e receptor, de forma a avaliar a inflência da variação do ângulo de propagação na qualidade da predição de cobertura, fazendo uma breve discussão sobre a viabilidade da técnica para a predição do tipo ponto-área. São apresentados também resultados variando a espessura da camada absorvente, observando o desempenho da mesma e sua influência nos resultados.
Por último é
feito um estudo do tempo de processamento para cada perfil analisado, realizando uma breve discussão sobre possíveis alternativas para aumento do desempenho do algoritmo.
3.1 Instabilidade e Nova Formulação
A implementação da TPDE levando em consideração o índice de refração atmosférico apresentou instabilidade (apesar da utilização do MCN para a marcha de diferenças finitas), onde a solução começava a divergir após alguns passos do algoritmo.
Foram feitas algumas alterações na formulação, na tentativa de contornar o problema da instabilidade. Incialmente foi feita uma alteração na formulação em relação às derivadas temporais e espaciais em relação ao eixo x - pontos ( ⁄ ) , de forma que todos as derivadas estejam centradas na mesma posição a esse eixo, ao contrário da formulação original proposta por Yongqin e Yunliang [16]. Tentou-se verificar se a discretização e formulação em relação ao eixo
x iria influenciar no sinal recebido. Osresultados não foram conclusivos, dado que essa solução também apresentou instabilidade.
Outras alterações na formulação numérica de forma a tentar garantir a estabilidade
da solução da TDPE foram a de ponderar as derivadas espaciais e nos tempos ,
e , assim como centrar a derivada temporal no tempo da marcha, de forma
análoga à tentativa anterior. Pretendia-se verificar se a assimetria entre a posição central
das derivada e era a razão para a instabilidade do algoritmo. Essa alteração não surtiu
efeito, persistindo a instabilidade do algoritmo.
23 Resultados
Como as três alterações propostas anteriormente também apresentaram instabilidade numérica e o fator comum a todas é a derivada segunda no tempo, foi feita uma alteração na equação (2.24), fazendo ( ) na mesma, de forma a obter um esquema de diferenças finitas estável. Essa alteração vem com o preço de não ser mais possível analisar a influência da variação atmosférica (especialmente a formação de dutos troposféricos). Porém como o objetivo principal deste trabalho é avaliar a aplicabilidade da TDPE na predição de cobertura radioelétrica em enlaces terrestres, essa decisão foi tomada para que as outras características da TDPE pudessem avaliadas. Apesar da alteração que despreza os efeitos da variação causada pela atmosfera inomogênea, ainda há uma grande classe de enlaces de rádio (ponto-a-ponto e ponto-área) que podem apresentar resultados satisfatórios com a aplicação da técnica.
Desse modo, fazendo ( ) para todo na equação (2.24) temos a nova forma da TDPE
( )
( )
(3.1)
que leva a um novo esquema de marcha para a solução por diferenças finitas
( )
(
) ( )
(3.2)
(
) ( )
(
) ( )
com o valor de seguindo a equação (2.40) e alterado para
(3.3)
A condição de contorno em (2.52) também foi alterada, de forma a ser condicionada ao novo algoritmo:
(
( √ )
)
(
)
(3.4)
[
] √
( √ )
[
]
Figura 3.1 - Classificação dos enlaces quanto à visada Tx/Rx
prosseguindo com a mesma forma da equação (2.53).
Nota-se que o novo esquema de diferenças finitas mantém a forma tridiagonal com a diagonal principal dominante, o que permite que o algoritmo de Thomas continue a ser utilizado na solução do sistema.
Figura 3.2 - Forma de onda espacial do sinal fonte f(ct)
25 Resultados
Para testar a nova formulação, foram simulados 3 tipos de terrenos canônicos (terra plana, cunha e perfil Gaussiano), dispondo transmissor, receptor e altura máxima do relevo de forma que o enlace estudado configurasse as 3 classificações comuns a engenheiros de transmissão quanto ao percurso do mesmo: LOS, nLOS e NLOS. Uma descrição para esses cenários de propagação (muito comuns no projeto de enlaces de rádio) é encontrada na figura 3.1.
3.2 Modelo de terra plana
O primeiro modelo utilizado na formulação foi o da terra plana. Para esse cenário, foram considerados 3 tipos diferentes de solo: Seco, Médio e Lago/Lagoa, cujos parâmetros elétricos são descritos na tabela 3.1
O sinal de origem utilizado é um pulso exponencial banda larga não-modulado (figura 3.2). Sua forma é descrita pela equação (2.25), sendo:
( )
( ( ))( ( )
) ( )
(3.5)e ( ) ( ( ⁄ )
⁄ )
(3.6)onde é o valor discretizado do passo de tempo e é a largura espacial do sinal, representa a altura da antena e controla o diagrama de radiação da fonte (largura da distribuição gaussiana do perfil de radiação – figura 3.3).
Para as simulações da propagação sobre o perfil “Terra Plana” (representado na figura 3.4), foram selecionados 3 tipos de terrenos descritos na tabela 3.1: solo seco, solo médio e lago/lagoa. Os parâmetros de discretização estão descritos na tabela 3.2
Tipos de Solo
[ ]
Solo Seco 1 6 0,001
Solo Médio 1 15 0,012
Solo Úmido 1 27 0,02
Mar / Oceano 1 81 2
Lago / Lagoa 1 81 0,01
Areia Seca 1 3 0,001
Areia Úmida 1 30 0,01
Tabela 3.1 - Tipos de solos e seus parâmetros elétricos [5]
Figura 3.3 - Diagrama de radiação da fonte utilizada (perfil Gaussiano)
Nas figuras 3.5 a 3.8 temos o sinal recebido na distância de 1km em função do comprimento do sinal, para os tipos de solo seco, médio e lago/lagoa, respectivamente, assim como uma comparação entre o sinal recebido para os três cenários.
Figura 3.4 - Representação do modelo de relevo Terra Plana (imagem – Cláudio Garcia [5])
27 Resultados
Parâmetros Valor
0,667ns
0,2m
0,2m
0,2m
750m
30m
10m
Largura Camada Absorvente
250m
Tabela 3.2 - Valores dos parâmetros utilizados na simulação
Figura 3.5 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo plano e solo do tipo seco
Figura 3.6 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo plano e solo do tipo médio
Figura 3.7 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo plano e solo do tipo lago/lagoa
29 Resultados
Figura 3.8 - Comparação entre os sinais recebidos para os 3 tipos de solo, para uma distância d = 1km
Conforme observado nas figuras 3.6 a 3.8, o aumento da permissividade relativa do solo causou uma maior dispersão do sinal recebido. Esse cenário indica que a eficiência de um enlace sobre a água seria menor em comparação com os demais tipos de solo, uma vez que seriam necessários um sistema de equalização mais complexo no receptor, além da utilização de esquemas de modulação mais robustos (que normalmente apresentam uma menor eficiência espectral).
As oscilações percebidas no sinal mostram a ação de uma forte componente reflexiva
do solo. Esse resultado era esperado, uma vez que para a inciência rasante (que é uma
consideração aceitável para o enlace simulado), o coeficiente de reflexão tende a -1, o que
ocasiona uma inversão de fase da componente espalhada em relação à visada direta. Nota-
se que a componente reflexiva para a superfície do tipo lago é bem mais acentuada que as
dos demais tipos de solo. Esse era um resultado esperado, devido às características físicas
dos três tipos de condições de contorno.
3.3 – Relevo Cunha
O segundo cenário avaliado foi o do relevo em forma de cunha. A cunha está centrada em , com altura máxima de e extensão de . A representação do mesmo pode ser vista na figura 3.9.
Dada a altura do transmissor, receptor e da cunha, esse cenário de propagação é uma representação de um enlace NLOS. Dessa forma, o sinal recebido é proveniente da difração do topo da cunha. Para esse relevo, foram considerados os parâmetros do solo para os tipos “seco” e “médio”, observando a influênica da modelagem da condição de contorno implementada no solo no problema.
Os parâmetros dessa simulação são os mesmos contidos na Tabela 3.2, com o receptor novamente posicionado em e a descrição do sinal em função da variável .
Conforme mostrado nas figuras 3.10 a 3.12, o cenário considerando o solo “médio”
apresentou um sinal recebido de maior intensidade em comparação com o terreno do tipo
“seco”, fator esse advindo provavelmente da interação do sinal propagante com um tipo de material que apresenta uma permissividade elétrica 2,5 vezes maior.
Figura 3.9 - Perfil de relevo do tipo "cunha"
31 Resultados
Outro ponto observado na análise desse tipo de ambiente de propagação foi que o sinal difratado apresentou baixos níveis de dispersão se comparado ao sinal original (formas de onda sem alteração severa). Isso indica a possibilidadede se realizar um enlace de rádio mesmo em situações onde não é possível encontrar um caminho LOS. Esse fator é muito interessante do ponto de vista econômico, uma vez que a princípio apenas seriam necessários melhores equipamentos de amplificação e demodulação no receptor, ao invés do alto custo do gasto com repetidores e/ou refazendo as rotas de ligação entre os pontos da rede. Outro ponto é a possibilidade do mesmo apresentar melhores resultados que as aproximações feitas para os modelos mais utilizados atualmente, que são baseados em métodos semi-empíricos [26].
Figura 3.10 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo "cunha" e solo do tipo seco
Figura 3.11 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo "cunha" e solo do tipo médio
Figura 3.12 - Comparação entre os sinais recebidos para os 2 tipos de solo, para uma distância d = 1km
33 Resultados
3.4 Perfil Gaussiano
O terceiro cenário apresentado é o do relevo em forma de colina gaussiana. A colina está centrada em , com altura máxima de . A representação do mesmo pode ser vista na figura 3.13. Dada a altura do transmissor, receptor e da cunha, esse cenário de propagação é uma representação de um enlace nLOS. Novamente foram utilizados os modelos de solo “seco” e “sédio”, os parâmetros contidos na Tabela 3.2, com o receptor novamente posicionado em .
Figura 3.13 - Perfil de relevo do tipo "colina gaussiana"
Figura 3.14 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo "colina gaussiana" e solo do tipo seco
Figura 3.15 - Sinal recebido em d = 1km para um perfil de relevo "colina gaussiana" e solo do tipo médio
35 Resultados
Figura 3.16 - Comparação entre os sinais recebidos para os 2 tipos de solo, para uma distância d = 1km
