Quest˜ ao 1. O sistema linear

(1)

1

^a

Prova de ´ Algebra Linear II – PEM – 06/set/2011 – Prof. Paulo Goldfeld

Quest˜ ao 1. O sistema linear







1 2 3 1 −3

−1 −2 −1 2 −4

2 8 9 2 −8

1 −6 −3 2 0

2 0 3 3 −5







´ e consistente.

1.a. Determine o seu conjunto-solu¸c˜ ao.

1.b. Verifique se a sua resposta ao item anterior est´ a correta.

Quest˜ ao 2. Com o objetivo de se resolver os sistemas A~ x = ~b e A~ x = ~c, escalonou-se a matriz de coeficientes aumentada de dois lados-direitos. Eis o resultado do escalonamento:

h

A

5×5

~b ~c i

∼







1 −2 0 0 5 1 11

0 0 1 0 0 9 0

0 0 0 1 3 2 −1

0 0 0 0 0 7 0





 .

Determine os conjuntos-solu¸c˜ ao dos sistemas abaixo. Se n˜ ao houver informa¸c˜ ao suficiente para determin´ a-los completamente, diga tudo o que for poss´ıvel com base na informa¸c˜ ao dispon´ıvel.

2.a. A~ x = ~b 2.b. A~ x = ~c

2.c. A~ x = (11, 0, −1, 0, 0)

2.d. A~ x = ~ 0

Quest˜ ao 3. O conjunto-solu¸c˜ ao de A~ x = (1, 1, 1, 1) ´ e (2, 3, 4, 5, 6) + D

(1, 2, 3, 4, 5) E . Sabe-se ainda que A(0, 1, 0, 1, 0) = (0, 1, 1, 1) e que A(0, 2, 0, 1, 0) = (0, 0, 1, 1).

3.a. Determine o conjunto-solu¸c˜ ao de A~ x = (3, 5, 6, 6).

3.b. A~ x = ~b tem solu¸c˜ ao para todo lado-direito ~b? Justifique.

Quest˜ ao 4. Considere A

6×8

=

~a

₁

~a

₂

· · · ~a

₈

. E dado que o conjunto-solu¸c˜ ´ ao de A~ x = ~ 0 ´ e

D

(1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0), (−3, 2, −2, 0, 0, 0, 0, 1) E

. Determine se { ~a

1

, ~a

2

, · · · , ~a

6

} ´ e

linearmente independente. (Aten¸c˜ ao! A pergunta se refere ao conjunto das seis primeiras

colunas de A, e n˜ ao ao de todas as oito colunas de A.)