ESCOLA MUNICIPAL DO BAIRRO TROPICAL
21ª Atividade Remota de Matemática – Professora: Daniela – 9º ano Tema: Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º gau- Turma: _______
Período: 30/08/2021 a 03/09/2021 ORIENTAÇÕES:
1) Separe um caderno para a matéria;
2) Leia a explicação com bastante atenção. Você pode anotar em seu caderno as informações que julgar importantes.
3) Realize as atividades propostas, fazendo os registros pertinentes no caderno, sempre que possível.
Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º grau
O método da soma e produto é um método prático utilizado para determinar as raízes das equações do 2º grau. Ele é conhecido desta forma, porque faz uso de duas importantes relações de soma e produto entre as raízes e os coeficientes a, b e c da equação do segundo grau.
Soma e Produto
A equação do 2º grau “ax² + bx + c = 0” possui duas importantes relações entre as suas raízes x’ e x” e os seus coeficientes a, b e c. Essas relações são conhecidas como Soma e Produto ou, também, como Relações de Girard.
Reparem na imagem seguinte, que de acordo com as Relações de Girard, a soma das duas raízes x’ e x” de qualquer equação do 2º grau, resulta sempre no valor oposto ou contrário ao quociente entre os coeficientes b e a da equação. Além disso, o produto das mesmas raízes x’ e x” resulta no valor do quociente entre os coeficientes c e a da equação.
Pensando nestas duas relações (literalmente!) é possível descobrir o valor numérico das duas raízes da equação do 2º grau de forma simples e prática. Vamos entender no próximo item como e quando devemos usar o método da soma e produto. Acompanhem!
Como utilizar o método da soma e do produto?
1º Passo: obtenha os valores numéricos equivalentes aos quocientes –b/a e c/a e monte as relações de soma e produto.
Dada a equação x²– 10x + 21 = 0, sabemos que a = 1, b = – 10 e c = 21. Portanto, o quociente
– b/a = - (- 10)/1 = 10 e o quociente c/a = 21/1 = 21. Assim, chegamos as seguintes relações:
x’ + x” = 10 e x’ ∙ x” = 21.
2º Passo: analise a relação de produto entre as raízes e determine algumas possibilidades que resultam no valor de c/a.
x’ ∙ x”= 21
Segundo a relação acima, precisamos encontrar dois números cujo produto gera como resultado o valor 21. As possibilidades nesse caso se resumem as seguintes:
1 x 21 ou 21 x 1= 21 3 x 7 ou 7 x 3 = 21.
Uma dica importante nesse passo é reparar no sinal dos resultados obtidos nas relações de soma e produto. Neste exemplo, 10 e 21 são dois valores positivos. De acordo com as regras dos sinais para a adição e para a multiplicação, isso só pode significar que ambas as raízes da equação serão positivas também. Caso algum dos resultados fosse negativo, saberíamos que uma ou as duas raízes poderiam ser negativas, e assim, o número de possibilidades poderia aumentar.
3º Passo: teste as possibilidades encontradas na relação de soma entre as raízes e verifique se alguma delas resulta no valor de –b/a.
1 + 21 = 22 3 + 7 = 10
E não é que uma das possibilidades que encontramos para o produto também funciona para a relação de soma entre as duas raízes? Isso nos permite concluir que as raízes x’ e x” da equação x² – 10x + 21 = 0 são iguais a 3 e 7.
3 + 7 = 10 3 ∙ 7 = 21 S = {3, 7}
QUANDO O MÉTODO DA SOMA E PRODUTO NÃO É O MAIS APROPRIADO
Como comentamos no início do texto, o método da soma e produto pode facilitar e agilizar muito a obtenção das raízes de uma equação do 2º grau, principalmente quando estas são números inteiros. Contudo, quando as raízes são fracionárias ou complexas, fica difícil ou até mesmo impossível defini-las através deste método.
Dada a equação 2x²+ 3x – 5 = 0, sabemos que a = 2, b = 3 e c = – 5. Portanto, o quociente – b/a é igual a – 3/2 e o quociente c/a é igual a – 5/2. Assim, chegamos as seguintes relações:
x’ + x” = – 3/2 x’ ∙ x” = – 5/2.
E aí, pessoal, quais são os números reais que somados resultam em – 3/2 e que multiplicados resultam em – 5/2? Quem já praticou muito o método da soma e produto ou tem facilidade com a soma e a multiplicação de frações, vai identificar que as raízes x’ e x” que procuramos valem 1 e – 5/2. Mas, para muitos alunos, esses resultados podem não ser tão claros, principalmente de forma rápida.
EQUAÇÕES DO 2º GRAU RESOLVIDAS PELO MÉTODO DA SOMA E PRODUTO No conjunto , resolva as seguintes equações:ℝ
1) x²+ 3x – 10 = 0
Dada a equação x² + 3x – 10 = 0, sabemos que a = 1, b = 3 e c = – 10. Portanto, o quociente – b/a é igual a – 3 e o quociente c/a é igual a – 10. Assim, chegamos as seguintes relações:
x’ + x”= – 3 x’ ∙ x” = – 10.
Agora, é hora de elencarmos algumas possibilidades de números inteiros que multiplicados resultam em – 10.
– 1 x 10 ou 1 x (– 10) = – 10 – 2 x 5 ou 2 x (– 5) = – 10
Será que alguma dessas possibilidades vai dar certo na relação de soma? Levando em consideração as regras dos sinais para a adição, parece lógico que a raiz de maior módulo seja negativa, afinal, o resultado da relação de soma deve ser um valor negativo. De qualquer forma, vamos conferir!
– 1 + 10 = 9 1 – 10 = – 9 – 2 + 5 = 3 2 – 5 = – 3
Perfeito! Isso significa que as raízes x’ e x” da equação x² + 3x – 10 = 0 são iguais a – 5 e 2.
– 5 + 2 = – 3 – 5 ∙ 2 = – 10
S = {– 5, 2}
2) x² – x – 6 = 0
Dada a equação x² – x – 6 = 0, sabemos que a = 1, b = –1 e c = – 6. Portanto, o quociente – b/a é igual a 1 e o quociente c/a é igual a – 6. Assim, chegamos as seguintes relações:
x1 + x2 = 1 x1 ∙ x2 = – 6.
Mais uma vez, levando em conta as regras dos sinais para a multiplicação, temos as seguintes possibilidades de números inteiros que satisfazem a relação de produto estabelecida.
– 1 x 6 ou 1 x (– 6) = – 6 – 2 x 3 ou 2 x (– 3) = 6
E aí, só de olhar, vocês conseguem perceber qual das possibilidades vai satisfazer a relação de soma estabelecida também? Vamos aos testes!
– 1 + 6 = 5 1 – 6 = – 5 – 2 + 3 = 1
2 – 3 = – 1
Assim, as raízes x1 e x2 da equação x² – x – 6 = 0 só podem ser iguais a – 2 e 3.
– 2 + 3 = 1 – 2 ∙ 3 = – 6
S = {– 2, 3}
3) x² – 8x + 16 = 0
Dada a equação x² – 8x + 16 = 0, sabemos que a = 1, b = – 8 e c = 16. Portanto, o quociente – b/a é igual a 8 e o quociente c/a é igual a 16. Assim, chegamos as seguintes relações:
x1 + x2 = 8 x1 ∙ x2 = 16.
Vamos listar as possibilidades de números inteiros que multiplicados resultam em 16:
1 x 16 = 16 2 x 8 = 16 4 x 4 = 16.
Essa ficou fácil, não é, pessoal? De qualquer forma, vamos fazer todos os testes para conferir.
1 + 16 = 17 2 + 8 = 10 4 + 4 = 8
Desse modo, as raízes x1 e x2 da equação x² – 8x + 16 = 0 são reais e iguais a 4.
4 + 4 = 8 4 ∙ 4 = 16
S = {4}
Para aprofundar um pouco mais o conhecimento, consulte o livro “Convergências Matemática” – 9º ano, páginas 54 a 56.
Referências:
PROFESSOR FERRETO. Disponível em: <https://blog.professorferretto.com.br/equacao-do-2- grau-e-o-metodo-da-soma-e-produto/> Acesso em 11 de agosto de 2021.
ATIVIDADES
1) Determine a soma e o produto das equações seguintes, sem resolvê-las.
a) x² – x – 20 = 0 b) 16x² + 8x + 1 = 0
c) 6x² – 4x – 3 = 0 d) 10x² + 3x – 4 = 0
2) Considere a equação a seguir:
x² – 3mx + m = 0
Se a soma das raízes dessa equação é 15, qual é o produto dessas raízes?
3) Considere que o produto das raízes da equação x² – 2mx + m = 0 é 4, qual é a soma dessas raízes?
4) Descubra as raízes de cada uma das equações a seguir.
a) x² – 5x + 6 = 0 b) x² – 10x + 24 = 0 c) x² – 4x – 12 = 0
5) Assinale o par de números que são raízes de uma equação de 2.º grau, cuja soma dessas raízes é – 7, o produto é 12 e onde o coeficiente de x² é um (a = 1).
( ) 2 e 6 ( ) – 8 e 1 ( ) – 3 e – 4
6) Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das equações:
a) x² – 6x – 7 = 0 (S) = ______ (P) = ______
b) 3y² + 4y + 1 = 0 (S) = ______ (P) = ______
7) Se a soma das raízes da equação x² – ( 2k – 3)x – 12 = 0 é igual a 7, determine o valor de k.
8)Na equação 4y² – 8y + 4p = 0, o produto de suas raízes é 1. Determine o valor de p.
9) Descubra o produto das raízes da equação x² - 3mx + 4m = 0, sabendo que a soma de suas raízes é 6.
10) Em uma equação de 2.º grau, a soma de suas raízes é 5 e o produto dessas raízes é – 14.
Sabendo que o coeficiente do termo em x² é 1, então qual é essa equação?
Faca a atividade do livro.
Pagina 56 – número 28.
