Prismas
Objetivo
Reconhecer os tipos de prismas através das classificações. Aprender a calcular área e volume de todos os prismas retos. Saber calcular as diagonais dos prismas especiais.
Se liga
Para essa aula é importante saber sobre área das principais figuras planas.
Curiosidade
Se olharmos à nossa volta, podemos ver várias figuras geométricas ao nosso redor. Na natureza, uma delas pode ser notada no favo de mel produzido pelas abelhas. Ele tem formato de um prisma hexagonal onde possui o maior espaço para armazenamento de mel com a menor quantidade de material para construção produzindo assim uma grande quantidade de mel. Viu como a matemática está nas belezas do mundo?
Teoria
Elementos e classificação
Prisma é um solido geométrico caracterizado por ter faces opostas paralelas e iguais chamadas de bases.
Em relação ao número de lados dos polígonos das bases, os prismas podem ser classificados como:
• Triangulares: as bases são triângulos
• Quadrangulares: as bases são quadriláteros
• Pentagonais: as bases são pentágonos
• Hexagonais: as bases são hexágonos E assim por diante.
Bases: ABCD e A’B’C’D’
Arestas das bases: Inferior: AB, AD, BC, CD Superior: A’B’, A’D’, B’C’, C’D’
Arestas Laterais: AA’, BB’, CC’, DD’
Altura: h
Números de Faces = 6
Quando as bases de um prisma reto são polígonos regulares (todos os lados iguais), ele é chamado de prisma regular.
Em relação a inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser classificados como:
• Oblíquos: as arestas laterais são oblíquas, em relação à base
• Retos: as arestas laterais são perpendiculares à base. Em todo prisma reto as faces laterais são retângulos e a altura do prisma coincide com as arestas laterais.
Área Volume
𝐴 𝑡 = 2𝐴 𝑏 + 𝐴 𝑙 𝑉 = 𝐴 𝑏 ∙ 𝐻
Onde: 𝐴
𝑡= Área total Onde: V= Volume 𝐴
𝑏= Área da base 𝐴
𝑏= Área da base
𝐴
𝑙= Área lateral 𝐻 = Altura Prismas Especiais:
• Paralelepípedo: suas bases são paralelogramos.
Em um paralelepípedo reto-retângulo, todas as faces têm a forma de retângulos.
𝑑 = √𝑎
2+ 𝑏
2+ 𝑐
2𝐴
𝑇= 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐
• Cubo: possui todas as arestas iguais (suas faces são quadrados).
𝑑 = 𝑎√3
𝐴
𝑇= 6𝑎
2𝑉 = 𝑎
3Exercícios de fixação
1. Dado um paralelpípedo retângulo de dimensões 𝑎 = 3 𝑐𝑚, 𝑏 = 2 𝑐𝑚 𝑒 𝑐 = 6 𝑐𝑚, calcule a diagonal desse paralelepípedo:
2. Em um prisma regular de base triangular, sabe-se que a aresta da base mede 4 cm e a altura mede 6 cm, o valor da área lateral é:
a) 8(√3 + 9) cm² b) 18(√3 + 9) cm² c) 4(√3 + 9)
3. Uma piscina tem o formato de prisma regular de base hexagonal cuja aresta da base mede 4 cm e a aresta lateral mede 8 cm. O volume dessa piscina é:
a) 192 cm³ b) 192√3 𝑐𝑚
3c) 24√3
4. Um dado em forma de cubo tem volume igual a 125 cm³. Qual o valor da aresta lateral desse dado?
a) 3 cm³ b) 4 cm³ c) 5 cm³
5. Um dado em forma de cubo tem volume igual a 125 cm³. A diagonal desse cubo mede:
a) 3√3 cm
b) 5√3 cm
c) 5 cm
Exercícios de vestibulares
1. Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de:
a) 12 cm³.
b) 64 cm³.
c) 96 cm³.
d) 1216 cm³.
e) 1728 cm³.
2. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:
a) 5 cm.
b) 6 cm.
c) 12 cm.
d) 24 cm.
e) 25 cm
3. Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.
Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m³ desse tipo de silo.
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc. embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é:
a) 110.
b) 125.
c) 130.
d) 220.
e) 260.
4. Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d’água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma. Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é
a) oito vezes maior.
b) quatro vezes maior.
c) duas vezes maior.
d) a metade.
e) a quarta parte.
5. Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é a) tetraedro.
b) pirâmide retangular.
c) tronco de pirâmide retangular.
d) prisma quadrangular reto.
e) prisma triangular reto.
6. Um mestre de obras deseja fazer uma laje com espessura de 5 cm utilizando concreto usinado, conforme as dimensões do projeto dadas na figura. O concreto para fazer a laje será fornecido por uma usina que utiliza caminhões com capacidades máximas de 2 m³, 5 m³ e 10 m³ de concreto.
Qual a menor quantidade de caminhões, utilizando suas capacidades máximas, que o mestre de obras deverá pedir à usina de concreto para fazer a laje?
a) Dez caminhões com capacidade máxima de 10 m³.
b) Cinco caminhões com capacidade máxima de 10 m³.
c) Um caminhão com capacidade máxima de 5 m³.
d) Dez caminhões com capacidade máxima de 2 m³.
e) Um caminhão com capacidade máxima de 2 m³.
7. Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm³ cada, que ficarão totalmente submersas.
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de
a) 14.
b) 16.
c) 18.
d) 30.
e) 34.
8. A figura mostrada a seguir representa uma embalagem de papelão em perspectiva, construída pelo processo de corte, vinco e cola. Determine a quantidade de material para fabricar 500 embalagens, sabendo que a aresta da base mede 10 cm, a altura mede 30 cm e que serão necessários 20% a mais de papelão em virtude dos vincos. Use √3 ≅ 1,7.
a) 138,6 m²
b) 123,30 m²
c) 115,5 m²
d) 11 550 m²
e) 1 386 m²
9. A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Quer- se construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo.
A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 20 cm necessárias para fazer esse telhado é a) 10
4b) 10
5c) 5 ∙ 10
3d) 5 ∙ 10
4e) 25 ∙ 10
410. Um processo de aeração, que consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo:
uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o faz passar pelo aerador A1, que aumenta o volume do líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele fica armazenado num tanque T2, de acordo com a figura.
Os tanques T1 e T2 são prismas retos de bases retangulares, sendo que a base de T1 tem comprimento c e largura L, e a base de T2 tem comprimento
𝑐2e largura 2L.
Para finalizar o processo de aeração sem derramamento do líquido em T2, o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido que já saiu de T1, denotada por x, e a altura da coluna de líquido que chegou a T2, denotada por y.
A equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por a) 𝑦 = 1,265𝑥
b) 𝑦 = 1,250𝑥
c) 𝑦 = 1,150𝑥
d) 𝑦 = 1,125𝑥
e) 𝑦 = 𝑥
Gabaritos
Exercícios de fixação
1. Calculamos a diagonal do paralelepípedo retângulo com a seguinte fórmula:
𝑑 = √𝑎
2+ 𝑏
2+ 𝑐
2Sabemos que 𝑎 = 3 𝑐𝑚, 𝑏 = 2 𝑐𝑚 𝑒 𝑐 = 6 𝑐𝑚,, então 𝑑 = √3
2+ 2
2+ 6
2𝑑 = √9 + 4 + 36 𝑑 = √49
𝑑 = 7 𝑐𝑚
2. A
Podemos calcular a área total pela seguinte fórmula: 𝐴 𝑡 = 2𝐴 𝑏 + 𝐴 𝑙
A área da base é dada por:
𝐴
𝑏= 𝑙
2√3
4 = 4
2√3
4 = 4√3 𝑐𝑚² E a Área lateral é dada por:
𝐴
𝑙= 3 ∙ 4 ∙ 6 = 72 𝑐𝑚²
𝐴
𝑡= 2𝐴
𝑏+ 𝐴
𝑙→ 𝐴
𝑡= 2 ∙ 4√3 + 72 → 𝐴
𝑡= 8√3 + 72 → 𝐴
𝑡= 8(√3 + 9)
3. B
Podemos calcular o volume de um prisma através da fórmula 𝑉 = 𝐴
𝑏∙ 𝐻
𝐴
𝑏= 3 ∙ 4²√3
2 = 24√3 𝑐𝑚² Então ,
𝑉 = 𝐴
𝑏∙ 𝐻
𝑉 = 24√3 ∙ 8 = 192√3 𝑐𝑚³
4. C
O volume do cubo é calculado da seguinte forma:
𝑉 = 𝑎
3, onde 𝑎 = aresta do cubo
Como o volume é 125 cm³, então
125 = 𝑎
3 √125
3= 𝑎 𝑎 = 5 cm
5. B
O volume do cubo é calculado da seguinte forma:
𝑉 = 𝑎
3, onde 𝑎 = aresta do cubo Como o volume é 125 cm³, então 125 = 𝑎
3 √125
3= 𝑎 𝑎 = 5 cm Como a diagonal do cubo é dada por 𝐷 = 𝑎√3 D = 5√3 𝑐𝑚
Exercícios de vestibulares
1. D
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto será:
Volume do cubo externo – Volume do cubo interno = (12 𝑐𝑚)³ – (8 𝑐𝑚)³ = 1 216 𝑐𝑚³ 2. B
Sendo V
Pe V
Cos volumes das barras de chocolate de
formato “paralelepípedo” e “cubo”, respectivamente, e sendo a a medida da aresta do cubo, temos:
𝑉
𝑃= 3 𝑐𝑚 × 18 𝑐𝑚 × 4 𝑐𝑚 = 216 𝑐𝑚³ 𝑉
𝐶= 𝑎³
𝑉
𝑃= 𝑉
𝐶𝑎³ = 216 𝑐𝑚³ ⇒ 𝑎 = 6 𝑐𝑚
3. A
Para cada metro de altura, a largura do topo tem 0,5 metros a mais do que a largura do fundo, assim, em 2 metros de altura, a largura do topo tem 2 × 0,5 = 1 metro a mais do que a largura do fundo. Logo, a largura do fundo passa a ser 1 metro menor, assim, sendo 5 metros.
Assim, o volume do silo será:
𝑉 = (6 + 5) ∙ 2
2 ∙ 20 = 220 𝑚³
Temos que 1 tonelada de forragem ocupa 2 m³, assim, caberão 1 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎 − 2 𝑚³
𝑥 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 − 220 𝑚³ 𝑥 = 220
2
𝑥 = 110 toneladas de forragem.
4. B
Sendo a o comprimento das arestas da base e b a altura, pode escrever:
A
antigo= a² . b
V
novo= (2ª)² . b -> V
novo= 4a² . b V
novo= 4 . V
antigoSendo 𝑎 o comprimento das arestas da base e 𝑏 a altura, pode escrever:
𝑉
𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜= 𝑎
2∙ 𝑏
𝑉
𝑛𝑜𝑣𝑜= (2𝑎)
2∙ 𝑏 → 𝑉
𝑛𝑜𝑣𝑜= 4𝑎
2∙ 𝑏 𝑉
𝑛𝑜𝑣𝑜= 4 ∙ 𝑉
𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜5. E
Como a figura 2 possui faces opostas paralelas e iguais e base triangular, sua representação é dada por um prisma triangular reto.
6. C
Desde que a área exibida no projeto pode ser dividda em três retângulos de dimensões 8𝑚 × 8 𝑚, 1𝑚 × 7 𝑚 𝑒 3 𝑚 × 5 𝑚, podemos concluir que o volume da laje é dado por 0,5 ∙ (8 ∙ 8 + 1 ∙ 7 + 3 ∙ 5) = 4,3 𝑚
3.
Portanto, segue que um caminhão com capacidade máxima de 5m
3será suficente.
7. A
Lembrando do Princípio de Arquimedes, segue que o volume total das bolinhas deve corresponder ao volume de líquido que sobe. Como o recipiente está cheio de água até 8 cm de altura, para alcançar os 15 cm altura, faltam 7 cm. Portanto, se 𝑛 é o número de bolinhas que devem ser colocadas no
recipiente e cada bolinha tem volume igual a 6 cm³. Então, 𝑛 ∙ 6 = 4 ∙ 3 ∙ 7 → 𝑛 = 84
6 → 𝑛 = 14
Logo, a resposta correta é a alternativa A.
8. A
𝐴
𝑡= 𝐴
𝐿+ 2 ∙ 𝐴
𝑏= 6 ∙ 10 ∙ 30 + 2 ∙ 6 ∙ 10
2∙ √3
4 = 2310
A Área do prisma com ascréscimo de 20% = 1,2 ∙ 2310 = 2772
Material para 500 embalagens = 500 ∙ 2772 = 1386000 𝑐𝑚
2= 138,6 𝑚² 9. A
Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que 𝑎 = 5 𝑚. Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5 𝑚 × 30 𝑚 serão cobertas por telhas, segue que o resultado pedido é dado por
2 . 5 . 30 3 . 10 −2 = 10 4
10. A
O volume de T1 pode ser calculado por 𝑉
𝑇1= 𝑥 ∙ 𝑐 ∙ 𝐿
Como para chegar em T2 temos um aumento de 15% e depois de 10%, o volume de liquido dentro de T2 será 𝑉 𝑇2 = (𝑥 ∙ 𝑐 ∙ 𝐿) ∙ 1,15 ∙ 1,1 = 1,265 ∙ (𝑥 ∙ 𝑐 ∙ 𝐿)
Porém, o volume de T2 também pode ser calculado por 𝑉
𝑇2= 𝑦 ∙
𝑐2
