ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA SISEA LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS

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ESCOLA POLITÉCNICA DA USP

DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA

SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS

www.usp.br/sisea

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Prof. Dr. José R Simões Moreira

2o semestre/2016 versão 1.5 primeira versão: 2005

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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME

3361 - Processos de Transferência de Calor (antiga PME

2361) ministrada aos alunos do 3º ano do curso de

Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP.

O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos

assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de

Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Dewitt.

Também foram utilizados outros livros-texto sobre o

assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o

caso do “Transferência de Calor” de Holman.

O objetivo deste material é servir como um roteiro de

estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De

forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais

completo e deve ser consultado e estudado.

(3)

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor

____________________________

http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2016

3

Prof. José R. Simões Moreira

Currículo Lattes:http://lattes.cnpq.br/2457667975987644

Breve Biografia

Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação do Instituto de Energia e Meio Ambiente (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq, consultor ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos, energia solar, ciclos termoquímicos e sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural, termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por meio do PECE da Poli desde 2011 em sua décima segunda edição. Tem sido professor de cursos de extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações industriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras, Ultragaz e Fapesp/BG-Shell. Foi agraciado em 2006 com a medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicação na área automobilística. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor dos livros "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999) e “Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética (2016) e autor de um capítulo do livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou mais de 20 mestres e doutores, além de cerca de 50 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um número superior a 90 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos.

(4)

AULA 1 - APRESENTAÇÃO

1.1. INTRODUÇÃO

Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a seguinte dúvida entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há diferença entre elas”?

Para satisfazer à essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de aplicação de cada disciplina. Para isso, vamos recordar um pouco das premissas da Termodinâmica.

A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é baseada em três leis fundamentais:

- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de

temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura)

- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) - Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de

conversão de uma forma de energia em outra”)

Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas:

(a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira

Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, TG Tf

inicial final

As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina:

Termodinâmica: QT U mcT - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico médio – APENAS ISTO!

frasco ambiente f T T  Tf TG t 

(5)

____________________________

5

Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto

tempo

 

 levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente t

(gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou

aumentar) esse tempo?

Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t para que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco (Tf ) com a da geladeira (T ) seja G

atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência

de Calor vai permitir estimar o tempo t , bem como definir quais parâmetros podemos

interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode se dar no interior de um corpo ou sistema ou na interface da superfície deste corpo e um meio fluido.

(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor

TERMIDINÂMICA: 1ª Lei: wc qeqc. Permite conhecer ou estabelecer o trabalho

e os fluxos de calor envolvidos, mas não permite dimensionar os equipamentos (tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, como o COP: c e w q COP

TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de

transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: - Qual o tamanho do evaporador / condensador?

- Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras questões semelhantes.

c w c q e q compressor válvula condensador evaporador

(6)

Problema-chave da transferência de calor: o conhecimento do fluxo de calor. O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite:

- Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; - Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de circuitos de refrigeração;

- Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, etc.

1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR

A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos.

(a) Condução de calor

- Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para as menos energéticas.

- Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral).

A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)

dx dT A q_x

onde: A: área perpendicular ao fluxo de calor qx

T: temperatura 2 T 1 T

.

x sólido x q

(7)

____________________________

7 A constante de proporcionalidade  é a condutividade ou condutibilidade térmica do material, k, ou seja:

dx dT kA q_x 

As unidades no SI das grandezas envolvidas são: [q ] = _x W,

[A] = m2,

[T] = K ou oC,

[ x ] = m .

assim, as unidades de k são: [k] = C m W o  ou m K W 

A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção de apêndices dos livros-texto.

Necessidade do valor de (-) na expressão

Dada a seguinte distribuição de temperatura: Para T₂  T₁ T2 T1 T 

x



T x x1 x2 0  x

q (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,

portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)

Além disso, do esquema; 0 0 0           x T x T

, daí tem-se que o gradiente também será positivo, isto é:

(8)

0 

dx dT

mas, como k 0 (sempre), e A0 (sempre), concluí-se que,

então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de Fourier) para manter a convenção de que qx 0

Se as temperaturas forem invertidas, isto é, T₁  , conforme próximo esquema, a T₂

equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)

De forma que a Lei da Condução de Calor é:

Lei de Fourier (1822)

(b) Convecção de Calor

A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)

) (T  T_

A q _S

Onde a proporcionalidade  é dada pelo coeficiente de transferência de calor por

convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que: dx dT kA q_x  ) (   hAT T q _S

(9)

____________________________

9 onde:

A: Área de troca de calor;

S

T : Temperatura da superfície;



T : Temperatura do fluido ao longe.

- O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato fluido-superfície (área da superfície, sua rugosidade e sua geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no seu valor.

(c) Radiação Térmica

A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e Boltzmann, de forma teórica (1884).

Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica

(para um corpo negro)



 constante de Stefan – Boltzmann (5,669x10-8_W/m2_K4₎ Corpos reais (cinzentos) 4

AT

q  , onde  é a emissividade da superfície que é

sempre menor que a unidade.

Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas

ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de calor da irradiação solar que atinge nosso planeta.

4

AT q 

(10)

AULA 2

– CONDUÇÃO DE CALOR

CONDUÇÃO DE CALOR

Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k

Da Lei de Fourier da

condução

de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:

x T k q    

 _{, onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a} condutividade térmica do material.

As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:

 

  

_{ }

x T A q k  

 

m C m W k _o 2  

 

C m W k _o   ou K m W . Sendo:

k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de apêndice do livro-texto.

Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k

isolante

x A Resistência elétrica T1T2T3 T4 T5 T6 T7 i Pontos de medição de temperatura q A

(11)

____________________________

11

No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica enrolada em torno da haste do bastão. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido dentro da haste para fora do bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de temperatura (termopares, por ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de temperaturas como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil temperatura de é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo de calor fornecido é a própria potência elétrica dissipada, ou seja, qRI2 UI. Sendo a seção transversal A conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade térmica do material da haste, k. Neste caso,

x T A q k    .

Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico.

Gases

O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica flui. Pode-se mostrar que.

T k

Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão, desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico.

Líquidos

Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais complexa devido à menor mobilidade das moléculas.

(12)

Sólidos

Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos: vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.

O diagrama a seguir ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutividade térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutividade aumenta na sequência de gases, líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.

EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS

Balanço de energia em um volume de controle elementar

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____________________________

13

BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI)

Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de calor que calor de variação calor que entra no + gerada = da energia + deixa o V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C.

(I) (II) (III) (IV)

Sejam os termos:

(I) Fluxo de calor que entra no V.C.

Direção x x T dA k x T dz dy k q_x _x _x          Direção y y T dz dx k q_y _y       y T dzdxkq yy    Direção zy T dydxkq zz   

(II) Taxa de calor gerado

dz q

 'G'' dxdy EG

onde: q = Taxa de calor gerado na unidade de volume. _g'''

 

₃

m W

(III) Taxa temporal de variação da energia interna

t T c dz dy dx t u m t U Ear            

onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e  a densidade.

C kg kJo/

(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor:

Direção x: xd x q qq x xdxx     dx 0(dx2) x q q q x x dx x _      Direção y:       dy y q q q_y _dy _y y z T dy dx k q_z _z      

(14)

Direção z:       dz z q q q z z dz z

Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:

dz z q q dy y q q dx x q q t T cdxdydz dxdydz q q q q z z y y x x G z y x _                  '''  + ordem superior simplificando os termos q_x,q_y e q_z, vem:

, '' ' dz z q dy y q dx x q t T cdxdydz dxdydz qG x y z            

e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor,

dxdydz k z dxdydz k y dxdydz k x t T cdxdydz dxdydz q_G _x _y _z z T y T x T '' '                                

Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente:

Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica para a mesma, porque se trata de um problema que depende das condições inicial e de contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da geometria do problema, do tipo (regime permanente) que perfazem as condições de contorno e inicial. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: T T(x,y,z,t). A seguir são apresentados alguns casos básicos.

Casos:

A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe de T) k k k k_x  _y  _z  t T k q z T y T x T 'g'' T               1 2 2 2 2 2 2 2          onde, t T z T y T x T '"                                 c q k z k y k x x y z G 

(15)

____________________________

15

 ₌

c k

 é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no SI é:

   

_{  }

s m s s J m W K kg J m kg K m W c k ² ² 3                        

Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:

onde: 2 2 2 2 2 2 2 z y x         

 é o operador matemático chamado de Laplaciano no sistema cartesiano de coordenadas.

Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois, embora ela tenha sido deduzida acima para o sistema cartesiano de coordenadas, a formulação simbólica do laplaciano independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o Laplaciano do sistema de interesse, como exemplificado abaixo,

- Cilíndrico: 2 2 2 2 2 2 1 1 z r r r r r                    - Esférico: 2 2 2 2 2 2 2 2 sen 1 sen sen 1 1                                 r r r r r r

B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, qG''' 0

(Eq. de Fourier)

C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0  

t T

(Eq. de Poisson)

D) Regime permanente e k constante e uniforme

(Eq. de Laplace) t T k q T G       1 '' ' 2 1 2 t T T      0 '' ' 2    k q T G 0 2 _  T

(16)

AULA 3

– CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME

PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA

O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado na figura abaixo em que uma parede de espessura L, tendo a face esquerda mantida a uma temperatura T1, enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da parede é linear, como indicado na figura, com T1 > T2.

Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida na aula anterior, isto é:

t T k q T G       1 '' ' 2

Introduzindo as simplificações do problema, vem:

i. Não há geração interna de calor: qG0 ii. Regime permanente: _ 0

t T iii. Unidimensional (1D):  1 2 2 2 x    

Assim, com essas condições, vem que ₂ 0

2

 x

T d

, e a solução procurada é do tipo T(x).

Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis:

dx dT

 

Logo, substituindo na equação, vem que 0

dx d

(17)

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor

____________________________

17 Integrando por separação de variáveis vem:



d C1, ou seja:  C1

Mas, como foi definido

dx dT    C1 dx dT 

Integrando a equação mais uma vez, vem:

2 1 )

(x C x C

T   Que é a equação de uma reta, como já antecipado. Para se obter as constantes C1 e C2, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos matemáticos isso quer dizer que

(A) em x = 0  T  T₁ (B) e em x = L  T T₂ De (A): C₂  T₁ e de (B): T₂ C₁LT₁  L T T C 2 1 1   Assim,

Para efeito de ilustração, suponha queT₁  , como mostrado na figura abaixo. T₂ Cálculo do fluxo de calor transferido através da

parede .

Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:

dx dT k q  

e, substituindo a distribuição de temperaturas, vem:









L T T k T L x T T dx d k q 2 1 1 1 2         _ _    , ou,

em termos de fluxo de calor por unidade de área, temos: ''



2 1





W m2



L T T k q q    

Esquecendo o sinal de (-), vem

1 1 2 ) ( ) ( T L x T T x T    L T k q''  

(18)

Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: Aumentar o fluxo de calor q”:

. Com o uso de material bom condutor de calor, isto é com k

. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L

Ou diminuir o fluxo de calor q”:

. Com o uso de material isolante térmico k

. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L

CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM

GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO.

Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua aplicação é para tubos cilíndricos.

A equação geral é da forma

t T k q T G       1 '' ' 2

Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:

t T k q z T T r r T r r r G                       1 1 1 ''' 2 2 2 2 2 Introduzindo as simplificações:

i. Não há geração interna de calor: q_G0 ii. Regime permanente: _ 0

t T

iii. Unidimensional (1D): que é válido para um tubo muito longo, ou seja, T não depende de z, logo ₂ 0

2    z T

iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 0

2 2     T

As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:

(19)

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor

____________________________

19 0        dr dT r dr d

, onde a solução procurada é do tipo T T(r)

As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:

A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: rr_iT T_i

A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:

e

e T T

r

r   

Solução:

1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:



        1 0dr C dr dr dT r d  C₁ dr dT r 

Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:



 ₁ C₂ r dr C dT

Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não linear como no caso da parede plana.

Determinação de C₁ e C₂ por meio da aplicação das condições de contorno: (A) rri T Ti  Ti C1ln(ri)C2

(B) r r_e T T_e  T_e C₁ ln(r_e)C₂

Fazendo-se (A) – (B), temos que

e i 1 r r ln C T Ti e  , ou e i 1 r r ln e i T T C  

Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:

Distribuição de temperatura, supondo Ti Te.

 

r C1ln(r) C2 T  

 

e e i T T T r T    e e i r r ln r r ln

(20)

Te Ti re ri raio Lei logarítmica T

O fluxo de calor é obtido por meio da Lei de Fourier, isto é,

dr dT k q

Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área da seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica ilustrada abaixo.

rL

A2 (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo

Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,

2 1ln( ) ) (r C r C T   , vem: ] ) ln( [ 2 C1 r C2 dr d rL k q  

ou, efetuando a derivação, temos:

r kLrC q2 11 ou, ainda: q2 kLC ₁ Substituindo, C1:





















e i

r

ln

2 kL

T

e

T

i

q



(W)

O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas! Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área q'' depende da posição radial

         e i i e r r T T rL kL A q q ln ) ( 2 2 ''           e i i e r r T T r k q ln ) ( ''



2



m W

(21)

____________________________

21

AULA 4

– PAREDES PLANAS COMPOSTAS

Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes compostas.

Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes equações: - parede 1: 1 2 1 1 ) ( L T T A k q   A k qL T T 1 1 2 1  - parede 2: 2 3 2 2 ) ( L T T A k q   A k qL T T 2 2 3 2  - parede 3: 3 4 3 3 ) ( L T T A k q   A k qL T T 3 3 4 3 

Assim, somando os termos _____________ de todas as paredes: A k L q T T i i



  ₄ 1 ou, simplesmente, R T q 

Onde, T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas eRé a resistência térmica da parede composta, dada por

A k L R i i



 ANALOGIA ELÉTRICA

Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:

q i T U TÉRMICO ÔHMICO R R 

(22)

Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.

Circuito elétrico equivalente

Fluxo de calor que é:

T total R T q  5 // 1 R R R R_T    com 4 3 2 // 1 1 1 1 R R R R   

Resistência térmica de contato

Quando as superfícies de dois sólidos são colocadas em contato para formar uma parede composta, a região interfacial entre eles pode ter uma resistência térmica de contato, ��," , devido ao fato de que não existe uma contato “perfeito” entre as duas superfícies, como ilustrado abaixo, devido à rugosidade superficial. A transferência de calor se dará por condução nos pontos de contato dos picos das rugosidades e pela condução através do fluido que preenche o espaço entre as superfícies. Radiação térmica também pode estar presente.

(23)

____________________________

23

A resistência térmica de contato é dada por ��," = � _�− �

�"

Alguns valores de resistência térmica estão indicados na Tabela 3.2 do livro do Incropera, reproduzida a seguir.

CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR

Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. Exemplos de formas de energia convertidas em calor:

1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor (efeito Joule)

2

RI

P (W)

Onde: P : potência elétrica transformada em fluxo de calor por efeito Joule (W)

R: resistência ôhmica ( )

I : corrente elétrica (A)

Ainda, U: diferença de potencial elétrico (V)

UI P ou R U P 2  Em termos volumétricos, ''' G q (W/m3), V P q_G''' 

(W/m3), onde V : volume onde o calor é gerado.

2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica (qG'''0) como, por

exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma reação endotérmica, ''' _0

G

q .

(24)

Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). L b T₁ T₂ 2 L 2_b i Equação geral t T k q T G       1 ''' 2 , sendo que 0   t T (regime permanente) 0 ''' 2 _ _  k q T G T T(x) Condições de contorno: (1) xL T  T₁ (2) xL T  T₂ Solução

Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência):

dx dT   , Então k q dx d G '''   

Integrando essa equação por partes, vem:



   1 '' ' C dx k q d_ G , mas como 1 ''' então , x C k q dx dT dx dT __ G _  

(25)

____________________________

25 Integrando novamente:

Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.

 Como no caso da resistência elétrica '''

G

q (geração de calor) é positivo e, claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo _x2_{é negativa}

 parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''

G

q for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.

Determinação das constantes C e ₁ C : ₂

Condições de contorno (1) ₁ ''' 2 ₁ ₂

2k C L C L

q

T __ G _ _ - temperatura da face esquerda conhecida

(2) ₂ ''' 2 ₁ ₂

2k C L C L

q

T __ G _ _ - temperatura da face direita conhecida

Somando (1)+(2), vem: 2 2 ''' 2 1 2C k L q T T _ _ G _  k L q T T C G 2 2 2 ''' 2 1 2    . Substituindo em (1) ou (2), tem-se L T T C 2 1 2 1  

Então, a distribuição final de temperaturas é:

 CASOS:

(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma

temperatura: T₁ T₂ T_S. Daí, resulta que: 2 1 2 '' ' 2 ) ( Cx C k x q x T _ G _ _ 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( 1 2 1 2 2 2 ''' T T L x T T k x L q x T _ G  _ _ _  S G _T k x L q x T    2 ) ( ) ( 2 2 '' '

(26)

É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde x0 (note a simetria do problema). Se for o caso pouco comum de uma reação endotérmica, ou '''

G

q < 0, a concavidade seria voltada para abaixo e, no plano central, haveria a mínima temperatura.

Também poderia se chegar a essa expressão usando 0 dx dT S G C MÁX _k T L q T T    2 2 '''

O fluxo de calor (lei de Fourier)

dx dT kA

q ou, o fluxo de calor por unidade de área,

dx dT k A q

q''  _{, substituindo a distribuição de temperaturas, vem:}

            G''' _S '' _T k ) x L ( q dx d k q 2 2 2 , ou, simplesmente:

No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das condições de contorno.

Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, _q''_0

(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: Por exemplo, 2

1 T

T  , como ilustrado abaixo a seguir.

''' ''

G

xq q 

(27)

____________________________

27

Plano em que ocorre a máxima temperatura, Tmáx (xmáx)

Sabemos que o fluxo de calor é nulo em xmáx:

0   máx x dx dT k ou 0 2 2 ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 2 '''        _ _ _ _T T L x T T x L k q dx

d G , que resulta em:

0 2 ) ( ₂ ₁ '' '     L T T x k q máx G Cuja solução é:

Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se

o valor da máxima temperatura Tmáx. Tente fazer isso!

PENSE: Suponha que você é um engenheiro-perito e é chamado para dar um parecer sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico. Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não sobreaquecimento à luz do assunto tratado nesta aula?

'' ' 1 2 2 ) ( G máx Lq k T T x  

(28)

AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM

GERAÇÃO INTERNA DE CALOR e COEFICIENTE

GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR

Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna

de calor em cilindros maciços. Como exemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figura ao lado.

Partindo da equação geral da condução de calor:

t T k q T ' ' ' G       1 2 (Regime permanente)

Neste caso, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:

2 2 2 2 2 2 1 1 z T T r r T r r r T                    Hipóteses adicionais - simetria radial: ₂ 0 2   

 (não há influência da posição angular numa seção transversal, pois há simetria radial)

- o tubo é muito longo: 2₂ 0 



z (não há efeitos de borda na direção axial)

Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou seja, T T(r)

Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:

0 1 _ ''' _       k q dr dT r dr d r G

Ou, integrando por partes:

1 ''' C rdr k q dr dT r d   G      



, ou, ainda: 2 ₁ ''' 2k C r q dr dT r  G 

Integrando novamente por separação de variáveis:

2 1 '' ' 2 r dr C C r k q dT G            



2 1 2 '' ' ln 4 ) ( C r C k r q r T  G  

(29)

____________________________

29

*condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2:

(1) T(r )r0 TS a temperatura da superfície TS é conhecida

(2) 0 0   r dr dT

simetria radial na linha central

Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência, também pode-se afirmar que a máxima temperaturaTmáxocorre nessa linha.

Da segunda condição de contorno, vem que:

0 2 lim 1 ''' 0 _        _r C k r qG r

Do que resulta em C1 0, para que a expressão permaneça sempre nula. Da primeira condição de contorno.

2 2 ''' 4k C r q T G S   ou, k r q T C G S 4 2 0 ''' 2 

Finalmente, a equação da condução de calor fica:

É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !

Sendo, S G máx T k r q T   4 2 0 '' '





S G T r r k q T ₀2 2  ''' 4

(30)

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a T_i.

Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''

G

q uniforme.

a) calcule a distribuição de temperaturas;

b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); c) determine a temperatura da superfície externa.

Solução:

Hipóteses: as mesmas que as anteriores.

Eq. 1 0 '''         k q dr dT r dr d r G Condições de contorno:

(1) T(r )ri Ti (temperatura interna constante)

(2) 0

e

r dr dT

(fluxo de calor nulo na superfície)

A solução geral, como já visto, é:

2 1 2 '' ' ln 4 ) ( C r C k r q r T  G  

(31)

____________________________

31 i i e i e G T r r r r r k r q r T                   2ln 4 ) ( ₂ 2 2 2 '' ' k r q C G e 2 2 '' ' 1  ;                  2ln( ) 4 2 2 '' ' 2 i e i e G i r r r k r q T C Assim, O fluxo de calor é: dr dT kA q ) ( ) 2 ( T r dr d rL k q 

Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:



2 2



'' ' i e G r r q L q __ _ _(W/m) A temperatura máxima é: e máx T T  i i e e e i e G e máx

T

r

k

r

q

T

































2 ln

4

2 2 2 2 '' '

OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a 95oC e o coeficiente de

transferência de calor vale 10kW/m2oC.

Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de 70cm e sua condutibilidade térmica vale 22,5W/moC

(32)

C Tc267o

Solução:

Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.

R U Ri P 2 2 _  ; A L R m    ₇₀ ₁₀8  m L0,3 , 6 2 2 3 2 10 0425 , 8 4 ) 10 2 , 3 ( 4 m D A                   2 6 8 10 6111 , 2 10 0425 , 8 3 , 0 10 70 R kW P 3,830 10 6111 , 2 100 2    _ 3 , 0 10 0425 , 8 10 83 , 3 10 83 , 3 6 3 3          _ L A V P qG 3 9 10 587 , 1 m W qG  hA P T T T T hA P ( P  )  P    3 , 0 ) 10 2 , 3 ( 10 10 10 83 , 3 95 ₃ ₃ 3        _  P T C T_P 222o k r q T T G o P c 4 2     5 , 22 4 ) 10 6 , 1 ( 10 587 , 1 222 2 3 9        c T

(33)

____________________________

33

RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações

- paredes planas R T T q 1 2 kA L R - circuito elétrico - paredes compostas - Circuito elétrico Ainda, onde 4 3 2 // 1 1 1 1 R R R R    5 // 1 R R R R_EQ    EQ R T T q 1 2

(34)

- Tubo cilíndrico R T T q i e ; kL r r R i e  2 ln       

- Tubo cilíndrico composto

- Circuito elétrico

i

eq R

R 

Para dois tubos:

L k r r R 1 1 2 1 2 ln         L k r r R 2 2 3 2 2 ln         L k r r R i i i eq _ 2 ln 1         

(35)

____________________________

35

Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?

Lei de convecção (Newton)

) (  _ hA T T q p e hA T T q p 1    onde, hA

1 _{é a resistência térmica de convecção}

- Circuito elétrico

Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:

(36)

Tabela-resumo de Resistências Térmicas Circuito Elétrico Fluxo de Transferência de calor Resistências Térmicas Parede plana R T T q 1 2 kA L R

Parede plana com convecção R T T q 1 2 3 2 1 R R R R   A h kA L A h R 2 1 1 1 _ _  Paredes compostas EQ R T T q 1 2 5 // 1 R R R R_EQ    4 3 2 // 1 1 1 1 R R R R    Tubo cilíndrico R T T q i  e kL r r R i e  2 ln        Tubo cilíndrico composto EQ e i R T T q  L k r r R i i i eq _ 2 ln 1          Convecção em tubo cilíndrico EQ e i R T T q  hA kL r r R i e eq 1 2 ln         

(37)

____________________________

37

COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U

O coeficiente global de transferência de calor é definido por:

total

T

UA

q





Claramente, U está associado com a resistência térmica,

- parede plana A h kA L A h R 2 1 1 1    T UA R T q    R UA 1 ou RA U  1 Logo, 2 1 1 1 1 h k L h U    - tubo cilíndrico

Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à área interna do tubo, Ui, ou à área externa, Ue. No entanto, os dois valores são

intercambiáveis mediante a seguinte expressão:

total i i total e eA T U A T U    Logo, UeAe UiAi

(38)

U referido à área externa:

 

e r r e e h kL A U i e 1 2 ln 1   

U referido à área interna:

 

e e i r r i i

h

A

kL

A

U

i e







2 ln

1

RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO

As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isoladas do meio ambiente a fim de restringir a perda (ou ganho) de calor do fluido, que implica em custos e ineficiências. Aparentemente, alguém poderia supor que a instalação pura e simples de camadas de isolantes térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta operação.

Como visto, o fluxo de calor é

 

h Lr kL T T q e r r i i e   2 1 2 ln     ou,

_{ }

h r k T T L q e r r i i e 1 ln ) ( 2     

Note que o raio externo que aparece no denominador dessa expressão tem duas contribuições: uma no termo de condução e a outra no termo de convecção. De forma que, se o raio externo do isolamento aumentar, ele

diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que a resistência térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um ponto de maximização. Do cálculo, sabe-se que a máxima transferência de calor ocorre quando a derivada é nula, isto é,

(39)

____________________________

39 h k rcrit 

 

                       2 . 1 . 1 2 1 ln ) ( 2 0 e r h e r k h r k T T L dr dq e r r i e i e  Assim, 2 1 1 e e hr kr   crit

r é o chamado raio crítico de isolamento.

Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que

h

k _{a transferência de calor}

será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão de fato diminuir a perda de calor.

Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por convecção de h = C m W o 2

7 (convecção natural). A tabela a seguir indica os raios críticos de isolamento para alguns isolantes térmicos.

material

 

W_m_C o k r_crit(mm) Teflon 0,350 50,0 Papel 0,180 25,7 Couro 0,159 22,7 Borracha macia 0,130 18,6 Silicato de cálcio 0,055 7,9 Lã de vidro 0,038 5,4 Poliestireno expandido 0,027 3,9 Folhas de papel e alumínio de

(40)

A

ULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido.

Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por



 



hAT T

q _s , onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a área de troca de calor e Tse T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).

Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso, aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o fluxo de calor trocado, como dado pela expressão de Newton. Porém, há um preço a pagar e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte para movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos). Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como as ilustradas abaixo.

Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo aumento da área exposta ou de contato entre a superfície aquecida e o fluido.

(41)

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 41

____________________________

http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2016 Alguns poucos exemplos de aplicação de aletas:

(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar, como os do “velho” fusca e motores de motocicletas;

(2) carcaça de motores elétricos;

(3) condensadores e evaporadores, como os de aparelhos de ar condicionado; (4) dissipadores de componentes eletrônicos e de cpus de computadores; (5) orelhas de elefantes.

TIPOS DE ALETAS

A figura abaixo ilustra uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).

Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a) aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico truncado; (i) pino parabólico.