A
NÁLISE DOA
LGORITMOG
ENÉTICO NAS
OLUÇÃO DOP
ROBLEMA DEA
LOCAÇÃO DEC
HAVES EMA
LIMENTADORESR
ADIAIS DED
ISTRIBUIÇÃO DEE
NERGIAE
LÉTRICAJônatas Boás Leite [1]
E-mail:jonataslei@aluno.feis.unesp.br
José Roberto Sanches Mantovani[2]
E-mail: mant@dee.feis.unesp.br
[1][2]Grupo de Pesquisa em Planejamento de Sistemas de Energia Elétrica
Departamento de Engenharia Elétrica – Unesp - Ilha Solteira Av. Brasil Norte, 364 – Caixa Postal 31.
15.385-000ILHA SOLTEIRA,SP,BRASIL.
RESUMO
Os objetivos deste trabalho estão relacionados com a implementação e análise crítica da metaheurísticas GA (Genetic Algorithm) para solução no problema de minimização do Custo de Interrupção do Cliente (CIC) através da alocação de chaves de manobras em alimentadores radiais de distribuição de energia. O modelo matemático e o algoritmo para cálculo de CIC são detalhados considerando-se uma topologia básica qualquer do alimentador, um conjunto de ramais preestabelecido para alocar/realocar chaves e um número fixo de chaves de manobras, independente da metaheurística utilizadas no processo de busca das soluções ótimas ou soluções otimizadas de boa qualidade. Após esta etapa de conhecimento do problema de alocação de chaves para melhorar os índices de confiabilidade dos alimentadores, analisa-se detalhadamente os aspectos relevantes que influenciam no desempenho computacional e robustez do GA para solução do problema: desenvolvimento de uma heurística para calibrar os parâmetros de controle, proposta de um sistema de codificação eficiente para o problema, algoritmo eficiente para avaliação da função objetivo. Apresentam-se resultados dos testes realizados com o GA implementado em um alimentador real de distribuição com 133 barras.
PALAVRA-CHAVE – Algoritmo Genético, Metaheurísticas, Confiabilidade. ÁREA PRINCIPAL: Metaheurísticas
ABSTRACT
The objectives of this paper are related to implement and critical analysis of GA (Genetic Algorithm) metaheuristics for solving the Client Interruption Costs (CIC) minimization problem by allocating manual and automatic sectionalizing switches in energy radial distribution systems. The mathematical model and the algorithm for the CIC calculus are detailed considering any basic topology of the feeder, a predefined branch set for allocate/reallocate keys and a fixed number of sectionalizing switches, without considering the meta heuristics used on searching the optimal solutions or optimized solutions of good quality. After this stage of recognizing the key allocation problem for improving the reliability index of the feeders, the relevant aspects that influence the computational performance and the GA robustness are analyzed in details. These details include the solution problem of developing a metaheuristic for adjusting the control parameters, an efficient codification system proposal for the problem, an efficient algorithm for evaluating the objective function. Results are presented for the GA algorithm implemented for a distribution system with 133 busses.
KEY-WORD – Genetic Algorithm, Metaheuristics, Reliability. MAIN AREA: Metaheuristics.
Uma etapa importante no planejamento de uma rede de distribuição de energia elétrica é a alocação de chaves seccionadoras, para viabilizar a restauração quando qualquer contingência ocorrer na rede. Durante a ocorrência de faltas permanentes estas chaves são manobradas de tal forma que a seção com problema seja isolada, e o sistema passe a operar em seu estado restaurativo. Em redes que estão em operação há algum tempo, estuda-se a realocação das chaves já existentes, com a finalidade de melhorar a sua confiabilidade e reduzir a interrupção do fornecimento de energia aos consumidores.
A alocação ou realocação de chaves é um problema de otimização combinatória, que busca com base num conjunto de ramos candidatos e número preestabelecido de chaves que é permitido alocar no alimentador, determinar a configuração de chaves que devem ser instaladas de modo que as interrupções do serviço de fornecimento de energia sejam mínimas na incidência de faltas permanentes. Outros parâmetros que devem ser considerados no problema estão relacionados com as potências das cargas ligadas nas seções, índices de faltas permanentes anuais, tipos de consumidores, capacidade de fornecimento de energia das subestações e de transferências de cargas do alimentador sob estudo para os alimentadores vizinhos. Dessa forma obtém-se um modelo de programação não linear inteiro misto (PNLIM) para o problema.
Como característica deste tipo de problema, sua função objetivo é não linear o que dificulta o emprego de métodos clássicos de otimização para sua solução. O espaço de busca do problema é composto por todas as possíveis combinações entre os ramos onde se permite alocar chaves de manobras e o número de chaves que é permitido alocar, e devem ser efetuadas buscas neste espaço de soluções com vistas a obter soluções otimizadas de boa qualidade ou até mesmo o valor ótimo global. Este é um processo iterativo e demorado, uma vez que dependendo da quantidade de chaves e das dimensões do conjunto de pontos candidatos à alocação de chaves e da rede, este domínio pode tender ao infinito. Uma forma viável de se encontrar o mínimo global, ou mesmo, um mínimo local de boa qualidade, é utilizar técnicas de busca adaptadas que reduzem o domínio, de modo que o tempo de processamento também seja reduzido. A técnica proposta e exaustivamente analisada neste trabalho é a metaheurística AG.
Utilizando a formulação e a estrutura do problema, propõe-se um algoritmo para calcular o valor da função objetivo (CIC) para cada proposta de alocação das chaves no alimentador. Estas propostas são geradas por processos adaptados e aleatórios, através das metaheurísticas AG, e que são discutidas e apresentadas nas próximas seções. As análises de testes utilizando a implementação desta metaheurísticas são efetuadas para um alimentador real de distribuição e o seu desempenho computacional é criteriosamente comparado, determinando os parâmetros de controle, sistema de codificação e avaliação da função objetivo que sejam eficientes para solução deste problema.
2. Formulação do Problema
O problema da alocação/re-alocação de chaves consiste em determinar a partir de um número e um conjunto preestabelecido de ramais candidatos, os melhores ramais para se alocar essas chaves. Cada proposta de alocação de chaves na rede determina um conjunto de seções, e o objetivo é que na incidência de faltas permanentes o sistema entre no estado restaurativo, e os danos aos consumidores devido à interrupção do serviço sejam mínimos. Considera-se que cada seção possui determinada carga e tipos específicos de clientes, assim como dados históricos e estatísticos do alimentador. Para ilustrar o modelo matemático utilizado para o problema de alocação/realocação de chaves em alimentadores radiais de distribuição Teng e Liu (2003), seja o alimentador da Fig. 1 onde estão definidos os possíveis pontos (ramos) para alocação/re-alocação de chaves de manobras para fins de restauração, pontos de cargas e interligações com alimentadores vizinhos.
SE
x
x
Lx
x
L
x
x
L
x
x
• • Seção 1 Seção 2 ... Seção n+1NA - Subestação - Chave - Barra Candidata SE x - Disjuntor Alimentador vizinho
Chave 1 Chave 2 ... Chave n
Figura 1 – Configuração de um alimentador típico de distribuição.
Utilizando dados históricos do alimentador, como tempo necessário para detecção do local, isolação e restauração, quando uma falta ocorre no sistema em qualquer seção do alimentador, o tempo de interrupção do fornecimento de energia devido esta falta em todas as seções do alimentador pode ser expresso numa matriz de tempo da seguinte forma:
]
[
γ
ijγ
=
(1)Onde:
γij: Tempo de duração de interrupção da seção j para uma falta permanente na seção i.
O custo de interrupção por kilowatt da seção j devido a uma falha na seção i pode ser expresso como: )) ( * (%) ) ( * (%) ) ( * (%) (Re j ij j ij j ij ij s fr Com fc Ind fi C = γ + γ + γ (2) Onde:
Resj(%), Comj(%), Indj(%): São as porcentagens das cargas residenciais, comerciais e industriais na seção j;
Fr(γij), Fc(γij) Fi(γij) Funções dos custos de interrupção (IC) de residência, comércio e indústria, respectivamente.
Baseado na Eq. (2), o custo de interrupção (IC) do fornecimento de energia devido à indisponibilidade da seção i ocasionada por uma falta permanente pode ser expresso como:
) ( i1 1 i2 2 i3 3 in in i i C L C L C L C L IC = λ + + +L + (3) Em que: i
L
: Carga total alimentada pela seção i;i
λ
: Índice de falta permanentes (falha/km - ano) da seção i.A função objetivo do problema que representa o custo de interrupção de energia no período de um ano, devido a ocorrência de contingências no alimentador sob análise, é expressa por:
∑
+∑
= + =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
1 1 1 1min
n i n j j ij i il
C
L
CIC
λ
(4) li : Comprimento da seção i.Desta forma, os índices de faltas permanente no alimentador e a natureza das cargas são considerados na formulação.
2.1. Algoritmo para determinar o CIC
O cálculo da função objetivo é realizado para cada proposta de solução do problema ilustrada na Fig. 2. Nesse sistema de codificação as seções do alimentador estão completamente definidas, e são função do número de chaves e os ramos onde as chaves estão alocadas. No procedimento de solução do problema de alocação de chaves, a avaliação da função objetivo (Eq. (4)) é a parte do algoritmo que consome maior tempo computacional considerando que as redes de distribuição de grande porte possuem grande número de consumidores e de ramais laterais. Para avaliar computacionalmente de forma eficiente a Eq. (4), propõe-se a seguinte heurística:
i) ENTRADA DOS PARÂMETROS NC E NB; {NC é o número de chaves e NB é o número de barras do alimentador}.
ii) FAÇA e NS = NC+1; {NS é o número de seções e i conta as seções que são funções do número de chaves a serem alocadas. Neste passo a variável i é iniciada e igualada a zero}.
0
=
i
iii) SE i ≠ 0, FAÇA Resi(%) = R/(R+C+I), Comi(%) = C/(R+C+I) E Indi(% )= I/(R+C+I); {R, C e I
são, respectivamente, a quantidade de cargas residenciais, comerciais e industriais da seção i e Resi(%), Comi(%) e Indi(%) são os percentuais de cargas residenciais, comerciais e industriais da
seção}.
iv) FAÇA i=i+1; {incremento em 1 no contador de seção}.
v) SE
i
=
1
, FAÇAP
=
POS
i−
1
; {considere a chave alocada no ramo candidato mais distante da subestação, sendo que , conforme a representação do vetor na Fig. 2. P representa um ponteiro que aponta para os ramos da seção analisada}.)
(i
CH
POS
i=
vi) FAÇA Li = Li+LPOSi {Li carga da seção i, LPOSi carga da barra final do ramal onde está
posicionado o ponteiro(P)} E
l
i=
l
i+
l
POSi { comprimento da seção i, comprimento do ramal onde está posicionado o ponteiro};i
l
l
POSivii) CASO LPOSi SEJA RESIDENCIAL FAÇA R = R+1, CASO LPOSi SEJA COMERCIAL FAÇA
C = C+1 E CASO LPOSi SEJA INDUSTRIAL FAÇA I = I+1 ;
viii) FAÇA P = P−1; {decremento em 1 no ponteiro de ramos}.
ix) ENQUANTO P≥1, EXECUTE os passos vi, vii e viii. SE P<1, EXECUTE os passos iii e iv; {Se , as informações para a seção i estão completas, a execução do passo iii finaliza a seção i e o passo iv indica o início de uma nova seção}.
1 <
P
x) SE
i
=
NS
, FAÇAP
=
NB
; {SeP
=
NB
o ponteiro aponta para a barra mais próxima da subestação, sendo viável devido à numeração seqüencial da rede onde, a barras periféricas possuem uma numeração de menor valor}.xi) ENQUANTO P > POSi, EXECUTE os passos vi, vii e viii . SE P < POSi , EXECUTE os passos
iii e iv; {Quando o ponteiro for menor que a ultima posição de chave, as informações para a seção(NS) estão completas}
xii) SE
i
>
1
ei
<
NS
FAÇAP
=
POS
i−
1
; {O ponteiro está apontando para as barras entre duas chaves}.xiii) ENQUANTO
P
>
POS
i−1, EXECUTE os passos vi, vii e viii. SEP
<
POS
i−1, EXECUTE os passos iii e iv; {Sabendo que uma seção pode ser limitada por duas chaves, logo quando i for menor que a posição da segunda chave, indica que as informações da seção (i) estão completas}.xiv) ENQUANTO , EXECUTE os passos v, x e xii; {A variável i indica o número de seções da configuração devido ao número de chaves}.
NS
i
<
Este algoritmo permite uma codificação eficiente para o problema de alocação de chaves, pois, transformam-se as posições onde estão alocadas as chaves em seções, obtendo-se todos os dados necessários de cada seção (cargas residenciais, comerciais, industriais, índice de falta permanente, comprimento, custos de desligamentos) para cálculo do CIC. Caso seja uma rede ramificada o algoritmo possui a mesma estrutura lógica, com a alteração de que as posições de ramificação devem ser guardadas. Para que este algoritmo funcione adequadamente é necessário que o conjunto de barras do alimentador seja renumerado seqüencialmente por camadas a partir do nó raiz da subestação.
3. Técnica de Solução
O Algoritmo Genético pertence à classe das metaheurísticas e é uma técnica de busca reduzida no domínio do problema de alocação de chaves, que é função do número de chaves e da dimensão do conjunto de ramos candidatos à alocação ou realocação de chaves.
3.1 Algoritmo Genético (AG)
O AG está entre os programas de inteligência artificial que simulam comportamentos naturais, para encontrar solução para problemas cujos domínios são independentes. São programas probabilísticos, onde a resposta é uma aproximação do valor ideal, mas que satisfaz às condições necessárias de respostas esperadas para o problema.
Codificação:
Devido à utilização do algoritmo para avaliar com eficiência a função objetivo, não é necessária uma codificação que considere todo o conjunto de ramos candidatos à alocação/re-alocação de chaves. Como cada posição da chave no alimentador é um número inteiro (no computador digital, o número inteiro, é representado por uma fileira de bits), um indivíduo do AG, representa uma configuração da rede, é dado por um vetor cuja dimensão corresponde ao número de chaves que deve ser alocado na rede. Desta forma, o individuo fornece então as posições de alocação/re-alocação das chaves na rede. Assim sendo, cada cromossomo representa o local da chave no alimentador, e cada gene um bit do valor deste local escrito com palavra binária. Esta representação está ilustrada na Fig. 2.
Figura -2 – Representação dos indivíduos – AG.
Na representação do individuo dado pela Fig. 2, tem-se, Indiduo1: POS1=2, POS2=5, POS3=8 e
POS4=15, que indica uma possível configuração. Daí conclui-se que a rede possui 15(24-1) posições
candidatos para alocação de chaves, no caso, as chaves seriam alocadas nas posições 2, 5, 8 e 15, ou seja, deseja-se alocar 4 chaves.
Geração da População Inicial:
Como cada elemento do domínio é formado pelo conjunto de ramos onde estão alocadas as chaves, o mesmo é representado pelo AG, ou seja, cada indivíduo da população é formado por um conjunto de cromossomos, de dimensão igual ao número de chaves, em que cada cromossomo representa um ramo diferente para alocação da chave. O número de indivíduos é determinado anteriormente fixando o tamanho da população, e os cromossomos são gerados aleatoriamente, evitando gerar indivíduos iguais.
Seleção:
No processo de seleção natural o algoritmo usa uma condição relacionada com o valor da função objetivo para selecionar os indivíduos. Como o objetivo é encontrar um valor mínimo, assim no processo de seleção natural utiliza-se a técnica de torneios. Selecionam-se aleatoriamente três indivíduos e seleciona-se aquele com menor valor da função objetivo.
Recombinação e Mutação:
Na recombinação seleciona-se, aleatoriamente, o ponto onde será realizada a recombinação entre dois indivíduos. Na situação hipotética da Fig. 3 (a), o ponto de recombinação é entre o terceiro e o quarto cromossomo: Individuo [1] = (0010)(0101)(1000)-(1111) Individuo [2] = (0001)(0110)(0111)-(1001) (a) IndividuoFilho [1] = (0010)(0101)(1000)(1001) IndividuoFilho [2] = (0001)(0110)(0111)(1111) (b)
Figura - 3: Ilustração do processo de recombinação implementado.
Assim, após a etapa de recombinação, os novos indivíduos serão dados pelo arranjo da
Fig. 3 (b).
Dentre os dois novos indivíduos obtidos através da recombinação, o indivíduo que fará parte da nova geração é o que apresentar o menor valor da função objetivo.A mutação é muito semelhante à recombinação, com a diferença que o valor da função para o novo indivíduo, não é analisado. No processo de mutação escolhe-se aleatoriamente um cromossomo do indivíduo para realizar a mutação. Um valor, entre o cromossomo anterior e o posterior ao selecionado, é gerado aleatoriamente, e o cromossomo selecionado é alterado para este novo valor. Na Fig. 4(a), está ilustrado o procedimento de mutação utilizado, em que o cromossomo 2 é o selecionado aleatoriamente para sofrer mutação. Na Fig. 4(b) está ilustrado o processo de mutação do individuo.
Individuo[1] = (0010)-(0101)-(1000)(1111)
(a)
Individuo[1] = (0010)(0100)(1000)(1111)
(b)
Figura – 4: Ilustração do processo de mutação dos indivíduos.
Critério de Parada
O critério de parada do AG é determinado pela quantidade de gerações, tamanho da população, taxas de recombinação e de mutação que são parâmetros do AG, e depende da quantidade de chaves, conjunto de ramos candidatos à alocação de chaves e topologia do alimentador.
4. Determinação dos parâmetros do AG
Dependendo dos parâmetros do AG (tamanho da população, quantidade de gerações, taxa de recombinação e de mutação), o resultado obtido por este pode ser o valor desejado (mínimo global), um valor próximo ao esperado ou ainda um valor muito diferente.
A fim de padronizar a determinação dos parâmetros do AG para solução do problema de alocação de chaves de diferentes instâncias, de modo que a resposta seja a mais uniforme possível, ou seja, resulte no valor desejado ou num valor muito próximo, é proposto o método heurístico descrito pelo algoritmo a seguir:
1) Especificam-se valores iniciais para os parâmetros do AG; 2) Um número N de simulações é executado;
3) Define-se:
(5)
VMIN=min{Vi}, i=1,2,3,...,N (6)
Vi Valor da função objetivo (Eq. (4)) obtido pelo AG na simulação i;
VMEDIO Média aritmética dos valores da função objetivo obtidos pelo AG;
VMIN Menor valor da função objetivo obtido pelo AG na N simulações;
N Número de simulações executadas; 4) Calcula-se o erro relativo (E) da etapa 3) dado por:
E=(VMEDIO-VMIN)/VMIN (7)
5) Compara-se o Erro obtido com o erro especificado (E0); SE E>E0 ENTÃO
Alteração dos parâmetros;
As etapas 2, 3, 4 e 5 são executadas novamente;
SENÃO
Parâmetros do AG encontrados;
Fim do método;
FIM SE
Alteração dos parâmetros
Testes práticos demonstram que:
-Alterações no tamanho da população e/ou na quantidade de gerações causam maiores variações no tempo de processamento do AG (AJUSTE GROSSO);
-Alterações na taxa de recombinação, causam variações moderadas no tempo de processamento do AG (AJUSTE MEDIO);
-Alterações na taxa de mutação, causam pequenas variações no tempo de processamento do AG (AJUSTE FINO).
O AG é considerado eficiente computacionalmente quando encontra o resultado desejado com reduzido tempo de processamento. Desta forma a alteração dos parâmetros do AG para buscar eficiência computacional é realizada seguindo a ordem:
2) Alteração na taxa de recombinação (TR) 3) Alteração na quantidade de gerações (QG) 4) Alteração no tamanho da população (TP) As alterações são realizadas de modo linear, da seguinte forma:
PARÂMETROi = PARÂMETROi-1+PASSO (8)
PARÂMETROi Corresponde ao valor do parâmetro para iteração atual
PARÂMETROi-1 Corresponde ao valor do parâmetro na iteração anterior
PASSO É o incremento dado no parâmetro em cada iteração Para que a Eq. (8) seja possível, para cada parâmetro deve-se especificar:
-Parâmetro Inicial: TM0, TR0, QG0, TP0;
-Parâmetro Final: TMF, TRF, QGF, TPF;
-Passo: TMP, TRP, QGP, TPP;
Com os conceitos apresentados acima é possível definir o programa para calibrar os parâmetros do AG, dado pelo fluxograma da Fig. 5.
Equacionamento dos parâmetros
Executando o programa computacional implementado a partir do diagrama de blocos ilustrado na Fig. 5, para cada parâmetro sob análise é possível montar a Tabela 1.
Tabela 1 - Apresentação dos parâmetros obtidos e a quantidade de chaves utilizada.
Execução Quantidade de chave (Ci) Parâmetro (
P
ij*)0 C0 P0j 1 C1 P1j 2 C2 P2j 3 C3 P3j 4 C4 P4j (*) i=0,1,2,3,4, …, NEX; j=1(TM), j=2 (TR), j=3 (QG), j=4 (TP).
Na Tabela 1 verifica-se que os parâmetros do AG são dados em função da quantidade de chaves que é permitido alocar (P=f(C)), fixando-se o conjunto de ramos candidatos à alocação. Utilizando o método de interpolação das diferenças divididas com polinômio de Newton, pode-se determinar a expressão de
P
j. O polinômio de Newton é dado por:Pj(C)=P0j+(C-C0)ΔP0j+(C-C0)(C-C1)Δ2P0j+(C-C0)(C-C1)(C-C2)Δ3P0j+(C-C0)(C-C1)(C-C2)(C- C3)Δ4P0j (9) Sendo: ΔP0j=(P1j –P0j)/(C1 –C0) (10) Δ2P 0j =(ΔP1j –ΔP0j)/(C2 –C0) (11) Δ3P0j =(Δ2P1j –Δ2P0j)/(C3 –C0) (12) Δ4P 0j=(Δ3P1j –Δ3P0j)/(C4 –C0) (13) 4 , 3 , 2 , 1 = j
TM Å TM + TMP TM Å 0 TR Å TR + TRP TR Å TRP QG Å QG + QGP TP Å TP + TPP QG Å TP ENTRADA DE DADOS
-topologia e dados elétricos do alimentador -conjunto de pontos candidatos á alocação de chaves
-número de chaves a serem alocadas -parâmetros iniciais, finais, passos, N e E0
CALCULA E E ≤ E0 TM ≤ TMF SAIDA DE DADOS Parâmetros: TP QG TR TM Valores: VMIN TMIN TR ≤ TRF QG ≤ QGF E QG ≤ 2QGP TR ≤ TRF
MENSAGEM: Não foi possível obter os
parâmetros!
FIM N N N N N S S S S SO AG foi implementado utilizando a linguagem C++, e simulado em um computador com processador AMD Athlon 64 3000 + 1,8GHz com 448MB. A rede de teste possui 133 barras e sua topologia está ilustrada na Fig. 6.
Figura -6: Topologia do alimentador de distribuição real com 133 barras.
Na Fig. 6, a linha vermelha representa a seção principal da rede, a área marcada de verde corresponde aos consumidores comerciais, a área marcada em azul os consumidores industriais e as demais os consumidores residenciais. A taxa de falhas permanentes em toda a rede é 4 falhas/160 km - ano, e as funções custo de interrupção para manutenção na rede são
f
r(
tm
)
=
7
.
0
$US, $US e US$, e para os tempos de chaveamentos os custos são00
.
30
)
(
tm
=
f
if
c(
tm
)
=
200
.
00
55
.
0
)
(
tc
=
f
r $US,f
r(
tc
)
=
0
,
55
US$,f
i(
tc
)
=
5
$US ef
c(
tc
)
=
40
.
0
$US. O conjunto de ramos candidatos é composto de 45 ramos todos localizados na seção principal da rede.Tendo com objetivo determinar o mínimo CIC, para uma configuração de rede com 18 chaves, apresentam-se nas próximas subseções os resultados dos testes efetuados.
5.1 - Determinação dos Parâmetros do AG
Para determinar os parâmetros do AG para a classe de problemas de alocação de chaves representado pelo alimentador da Fig. 6, foi utilizado o programa dado pelo fluxograma da Fig. 5. Variou-se o número de chaves possibilitando a construção da Tabela 2, e o equacionamento de cada parâmetro do AG.
Os valores iniciais adotados para obter os parâmetros do AG são os seguintes: -Erro relativo: E0=0,1%;
-Numero de simulações: N=20;
-Parâmetros iniciais: TM0=5, TR0=10, QG0=50 e TP0=50;
-Parâmetros finais: TMF=70, TRF=90, QGF=400 e TPF=400;
Tabela-2: valores do tamanho da população e quantidade de chaves Execução (i) Ci TPi QGi TRi TRi 0 2 50 50 10 45 1 6 100 150 80 20 2 10 100 200 90 15 3 15 200 300 90 30 4 20 350 400 90 5
Dos resultados obtidos a partir da tabela-2, utilizando o método de interpolação de Newton (Eq. (9)), encontram-se as seguintes equações para cada parâmetro:
i)Tamanho da população: Equação: TP(C)=-0,021C4+0,9841C3-14,4043C2+83,2812C-66,482 Para 18 chaves: TP(18)=300 ii)Quantidade de gerações: Equação: QG(C)=-0,0135C4+0,6298C3-9,7669C2+74,7056C-65,166 Para 18 chaves: QG(18)=370 iii)Taxa de recombinação: Equação: TR(C)=-0,0057C4+0,311C3-6,1506C2+52,3568C-72,508 Para 18 chaves: TR(18)=92 iv)Taxa de mutação: Equação: TM(C)=-0,0044C4+0,1335C3-0,7572C2-5,7264C+58,484 Para 18 chaves: TM(18)=26%.
5.2-Cálculo do mínimo CIC
Usando os parâmetros determinados através da metodologia proposta: TP=300, QG=370, TR=92% e TM=26%, foram realizadas 20 simulações para a rede de 133 barras, considerando-se que o número máximo de chaves que é permitido alocar é 18 chaves. Os resultados obtidos para o tempo de processamento e valor da função objetivo para 20 simulações estão apresentados nas figuras 7 e 8.
Tempo de processamento 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 5 10 15 20Sim ulação tem po (s) Valor do CIC 20000 20500 21000 21500 22000 22500 0 5 10 15 20sim ulação CIC ($)
Figura -7: Gráfico que mostra o tempo de
processamento do AG em cada simulação.
Figura -8: Valores de CIC encontrados pelo AG
necessário para que o Algoritmo Genético chegue a uma solução, de onde é possível concluir que a variação de tempo de processamento entre todas as simulações realizadas é baixa, com um ΔT=±1,22s. O valor médio do tempo de processamento TMEDIO é de 69,15s, sendo assim o tempo de processamento
do AG pode ser definido por T=69,15±1,22s.
Na Fig. 8 apresentam-se os valores de CIC obtidos pelo algoritmo Genético, que como o esperado apresenta um comportamento uniforme entre os valores obtidos ao longo das simulações, com valores de CIC muito próximos do mínimo global. Ainda, na Fig. 8 observa-se que o mínimo CIC vale $US 22.445,00 e que o erro relativo é de E=0,05%. Estes resultados estão de acordo com o comportamento esperado, devido à técnica proposta para a calibração dos parâmetros do AG.
6. Conclusões
Neste trabalho o problema de alocação de chaves é formulado como um problema de PNLIM e são cuidadosamente analisadas a implementação e desempenho da metaheurística AG para solução deste problema.
O Algoritmo Genético foi implementado com vistas a obter um excelente desempenho utilizando o sistema de codificação, que a partir das posições das chaves na rede é capaz de definir as seções, com suas características, tais como: quantidade de carga, comprimento da seção e percentuais de clientes (residências, comerciais e industriais) que estão na seção.
Entretanto o desempenho do AG, também depende da perfeita calibração de seus parâmetros, que foi realizada utilizando o algoritmo ilustrado no diagrama de blocos da Fig. 5. Adotando-se como meta um erro relativo de 0,1%, determinam-se as equações dos parâmetros do GA em função da quantidade de chaves e do número de ramos candidatos à locação de chaves no alimentador. Com estas equações determinou-se a parametrização para uma configuração de 18 chaves em uma rede de 133 barras. Através dos resultados apresentados nos gráficos das figuras 7 e 8, verifica-se a eficiência da metodologia proposta, obtendo-se erro relativo de E=0,05%.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – CNPq(Processos 501375/2007-4 e 301060-2006-1), pelo financiamento deste projeto de pesquisa.
Referências Bibliográficas
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