M
ONTAGEM DO SISTEMA GLOBAL
Antes do sistema global ser montado, deve-se estabelecer um esquema de numeração global para especificar a topologia do sistema. A tabela abaixo define a conectividade dos elementos da malha da figura da página 55. Como trata-se de um caso unidimensional o esquema de numeração pode parecer trivial, mas para problemas de duas ou três dimensões é o único meio de se especificar quais nós pertence a quais elementos.
TOPOLOGIA DO SISTEMA PARA O ESQUEMA DE SEGMENTAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS DO PROBLEMA DA PÁGINA 55 Numeração dos nós
Elementos Local Global
1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 3 2 4 4 1 4 2 5
Uma vez que a topologia é fixada, a equação do elemento pode ser escrita para cada elemento usando coordenadas globais. Pode-se então adicioná-las uma a uma para montar o sistema global. O processo é ilustrado abaixo:
C
ONDIÇÕES DE CONTORNO
Note que quando as equações são montadas as condições de contorno se cancelam. Dessa maneira, o resultado final de [F] nas equações acima tem condições de contorno presentes apenas no primeiro e no último nó. Como T1 e T5 são dados, essas condições naturais nas extremidades das barras, dT(x1)/dx e
dT(x5)/dx, são incógnitas do problema. Portanto as equações podem ser reescritas como:
S
OLUÇÃO
A solução para a equação acima é a seguinte:
( )
1 =66 2 =173.75 3 =245 4 =253.75( )
x5 =−34 dx dT T T T x dx dTP
ÓS PROCESSAMENTO
Os resultados podem ser exibidos graficamente. A figura abaixo mostra a comparação dos resultados da solução do problema pelo MEF e da solução exata. Note que o MEF acompanha a tendência geral da solução exata e, nesse caso fornece uma solução exata nos nós. Entretanto há uma discrepância no interior de cada elemento devido à natureza linear das funções de forma.
P
ROBLEMAS BIDIMENSIONAIS
Embora o desenvolvimento matemático aumente consideravelmente, a extensão dos conceitos do MEF de uma para duas dimensões é imediata. Deve-se seguir os mesmos passos apresentados até agora.
D
ISCRETIZAÇÃO
Em duas dimensões utilizam-se basicamente dois tipos de elementos simples: triângulos e quadriláteros. Nossa análise será limitada a elementos triangulares do tipo apresentados na figura abaixo.
y x 2 3 1
M
ATRIZ DO ELEMENTO
Analogamente ao caso unidimensional, o próximo passo é desenvolver as equações para aproximar a solução dentro do elemento. Para um elemento triangular, a solução mais simples é uma função polinomial de 1a ordem:
u(x,y) = a0 + a1,1 x + a 1,2 y (32)
sendo u(x,y) a variável de estado, ai,j, os coeficientes e x e y, as variáveis independentes. Os valores
dessa função u nos nós do triângulo (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são:
u1 = a0 + a1,1 x1 + a1,2 y1 u2 = a0 + a1,1 x2 + a1,2 y2 (33) u3 = a0 + a1,1 x3 + a1,2 y3, ou em forma matricial: = 3 2 1 2 , 1 1 , 1 0 3 3 2 2 1 1 1 1 1 u u u a a a y x y x y x , cuja solução é
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
1 3 2 2 1 3 3 2 1]
2 , 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 1 , 1 1 2 2 1 3 3 1 1 3 2 2 3 3 2 1 0 2 1 2 1 2 1 x x u x x u x x u A a y y u y y u y y u A a y x y x u y x y x u y x y x u A a e e e − + − + − = − + − + − = − + − + − = (34)sendo Ae a área do elemento triangular, dada por:
(
) (
) (
)
[
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1]
2 1 y x y x y x y x y x y x Ae= − + − + − (35)As equações (34) podem ser substituídas em (32). Após agrupamento de termos, chega-se a:
u = N1u1 + N2u2 + N3u3 , (36) sendo
(
) (
) (
)
[
]
(
) (
) (
)
[
]
(
) (
) (
)
[
x y x y y y x x x y]
A N y x x x y y y x y x A N y x x x y y y x y x A N e e e 1 2 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 − + − + − = − + − + − = − + − + − =Como no caso unidimensional, a equação (36) fornece uma maneira de se estimar valores de u internos ao elemento com base nos valores nodais. A figura abaixo mostra as funções de forma e as funções de interpolação. Note que a soma das funções de interpolação é sempre igual a 1.
Analogamente ao caso unidimensional, há vários métodos disponíveis para se desenvolver as equações nos elementos baseado na EDP e nas funções de aproximação. As equações resultantes são consideravelmente mais complicadas que a (26). Entretanto, como as funções de aproximação são normalmente polinômios de ordem 1, os termos da matriz elementar final consistirão de polinômios de ordem baixa e constantes.
CONDIÇÕES DE CONTORNO E MONTAGEM DO SISTEMA GLOBAL
A imposição das condições de contorno e a montagem dos sistema global também ficam mais complicadas quando o MEF é aplicado em problemas bi e tridimensionais. Entretanto, como com a construção da matriz do elemento, a dificuldade se concentra mais na mecânica do processo que na complexidade conceitual. Por exemplo, o estabelecimento da topologia dos sistema que era trivial para uma dimensão torna-se um passo importantíssimo em duas e três dimensões. Em particular, a escolha de um dado esquema de numeração irá definir a estrutura de banda da matriz global e portanto a eficiência com a qual ele poderá ser resolvido. A figura abaixo mostra um esquema de numeração que foi desenvolvido para a solução, pelo MEF, de um problema de uma placa aquecida.
TOPOLOGIA DO SISTEMA PARA O ESQUEMA DE SEGMENTAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS DO PROBLEMA AO LADO
Numeração dos nós Elementos Local Global
1 1 2 2 1 3 7 1 1 2 7 2 3 6 1 2 2 3 3 3 8 etc.
A
PLICAÇÃO DO
M
ÉTODO DE
R
ESÍDUOS
P
ONDERADOS E
G
ALERKIN EM
DUAS DIMENSÕES
Seja a equação de Poisson em duas dimensões, sendo T a função temperatura: 0 ) , ( 2 + = ∇ T f x y Solução aproximada: T~
Substituindo na equação de Poisson resulta o resíduo:
R y x f T + = ∇2~ ( , ) Aplicação do M.R.P. e Galerkin (Wi = Ni):
∫∫
= eA NiRdA 0 , i =1, 2, ..., m, sendo m, o número total de nós.
Então
(
∇2~+ ( , ))
=0∫∫
N T f x y dA e A i , i =1, 2, m( )
∫∫
∫∫
∇ =− e e A i A Ni T dA N f(x,y)dA ~ 2Para se obter a forma fraca, aplica-se o Teorema de Green (integração por partes vetorial):
( )
∫∫
( ) ( )
∫
∫∫
∇ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ∇ S T C Su vdS u v nd u v dS " & 2 Então( )
∫∫
( )
( )
∫
∫∫
∇ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ∇ e e e A T i C i A Ni TdA N T nd N T dA ~ ~ ~ 2 "O primeiro termo do lado direito corresponde a uma integral de linha sobre o contorno de cada elemento, sendo que:
( )
n T n T ∂ ∂ = ⋅ ∇ ~ ~ &( )
( )
n c b T A T n N n T T N T j j j j e j j j j j j & & & ⋅ = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ ⇒ =∑
∑
∑
= = = 3 1 3 1 3 1 2 1 ~ ~Esse termo fornece a condição de contorno natural do problema (condição de Neumann, ou derivada normal).
Do segundo termo resultará a matriz de rigidez (“stiffness matrix”) do elemento, que para elementos triangulares de primeira ordem possui solução analítica, como segue:
[
a bx c y]
A N i i i e i = + + 2 1 , 1 2 3 2 1 3 1 2 2 1 3 3 1 2 1 3 2 3 1 1 3 2 2 3 1 3 2 1 2 3 3 2 1 , , , , , , x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a − = − = − = − = − = − = − = − = − = = ∇ i i e i c b A N 2 1 ,∑
∑
∑
= = = = ∇ = ∇ ⇒ = 3 1 3 1 3 1 2 1 ~ ~ j j j j e j j j j j j c b T A T N T T N T( )
( )
∫∫
[
]
∑
∫∫
[
]
∫∫
+ + ⋅ = ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = e e e A i i e A j j j j i i e A T i dA c b T c b T c b T c b A dA c b T c b A dA T N 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 3 1 2 4 1 4 1 ~O termo dentro do integrando não depende de x e y, podendo ser colocado para fora da integral, e
e
AdAe = A
∫∫
. Portanto a expressão acima fica:[
]
[
1(
1 1)
2(
2 2)
3(
3 3)
]
3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 1 4 1 c c b b T c c b b T c c b b T A c b T c b T c b T c b A e i i i i i i i i e + + + + + = + + ⋅ .Para cada elemento triangular, i = 1, 2, 3, e tem-se três equações, como segue:
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
) (
)
[
]
(
)
(
) (
)
[
]
+ + + + + + + + + + + + + + + 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 4 1 4 1 4 1 c c b b T c c b b T c c b b T A c c b b T c c b b T c c b b T A c c b b T c c b b T c c b b T A e e eque escritas em forma matricial ficam: ⋅ + + + + + + 3 2 1 3 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 . 4 1 T T T c c b b sim c c b b c c b b c c b b c c b b c c b b
Ae , sendo 1, 2 e 3 os vértices de cada triângulo da malha
de elementos finitos.
O vetor de carregamento dado por:
∫∫
Ae idA N y x f( , ) ,admitindo que f(x,y) é constante dentro de cada elemento e vale f, fica:
[
e e] [
e e]
e e e e e e G i G i i e G i e G i e i e A i A i A i e A i i i e A i A i Y c X b a f A Y c A X b A a A f ydA c xdA b dA a A f dA y c x b a A f dA N f dA N y x f + + = + + = = + + = + + = =∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
2 2 2 ) ( 2 ) , ( onde: 3 ; 3 3 2 1 3 2 1 y y y Y x x x X e e G G + + = + + =Substituindo na equação acima e após alguma álgebra, temos que:
=
∫∫
= 1 1 1 3 ) , ( 1,2,3 e A ii fA dA N y x f e .ou seja, o carregamento uniforme é distribuído eqüitativamente pelos nós do elemento no caso do elemento triangular.
Somando-se o termo de contorno, que dá as condições de contorno naturais do problema, chega-se a:
∫
∑
⋅ ⋅ + = e C j j j j e i e d n c b T A N fA " & 3 1 2 1 1 1 1 3 (37)Como a normal n aponta sempre para fora do elemento, para elementos internos ao domínio, com suas arestas não pertencendo ao contorno externo, ou seja, na interface entre dois elementos, o segundo termo acima se anula. Ele permanecerá apenas nas arestas que estão sobre o contorno externo do domínio. Se o contorno externo C do domínio é isolado termicamente do meio externo, ou seja, não há troca de calor com o exterior, então a integral acima é nula, e sobra apenas o primeiro termo.
M
ONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL
A montagem da matriz global é realizada de forma expedita a partir das matrizes de cada elemento finito, de maneira análoga ao caso unidimensional.
Para cada um dos elementos associamos duas numerações para seus vértices: uma global, resultante da numeração seqüencial de todos os vértices do domínio, e outra local, de 1 a 3, seguindo o sentido horário, como mostrado na figura abaixo.
y x 2 3 1 r s t
Duas matrizes serão construídas: a matriz de rigidez e o vetor de carregamento locais do elemento, como descrito no item anterior. A matriz do elemento é transportada para a matriz global de dimensão m×m (sendo m o número total de nós do domínio) seguindo a relação de correspondência
entre as numerações local e global, isto é, o elemento (1,1) da matriz local é somado ao elemento (r,r) da matriz global; o elemento (1,2) é somado ao elemento (r,s), e assim sucessivamente. A matriz resultante, assim como a matriz local, resulta simétrica. O exemplo a seguir ilustra esse processo.
1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 Numeração local 1 2 3 Elemento 1 1 2 4 Elemento 2 1 4 3 Elemento 3 3 4 6 Elemento 4 3 6 5
A figura a seguir mostra as configurações da matriz global e do vetor de carregamento para o problema acima.
I
NTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DE
D
IRICHLET
Após a montagem do sistema global de equações algébricas torna-se necessária a imposição das condições de contorno no problema do tipo Dirichlet, ou seja, valores conhecidos de T em alguma porção do contorno do domínio, o que não foi realizado até então.
Para impormos tal condição devemos efetuar algumas alterações no sistema original de modo que, após a solução desse sistema, resulte nos vértices de triângulos situados nas fronteiras o valor de T imposto.
Seja p um nó cujo valor de T é conhecido e vale T . Para que após a solução do sistema tenhamos Tp = T basta fazermos na matriz global e no vetor de ações as seguintes alterações. Sendo Kij
um termo genérico da matriz de rigidez e Fj um termo genérico do vetor de carregamento, faz-se:
Kpp = 1, Kpj = 0 e Fp = T , para j ≠ p
O procedimento anterior elimina a simetria da matriz global, o que não é interessante do ponto de vista da solução do sistema. Para se recuperar a simetria basta fazer:
Fjnovo = Fjantigo− Kjp .T ,
Kjp = 0, para j ≠ p
Como exemplo, suponhamos que o nó 4 do exemplo anterior tenha um valor de T conhecido igual a T . O sistema de equações após a introdução das condições de contorno será (Φ=T no esquema): T1 T2 T3 T4 T5 T6
