MATEMATICA INTERVALAR: DAS ORIGENS AO ESTADO DA ARTE. por. Dalcidio M. Claudio. u~ 111iiii11

(1)

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MATEMATICA INTERVALAR: DAS ORIGENS AO ESTADO DA ARTE

por

Dalcidio M. Claudio

RP nQ 194 Janeiro 19ts9

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111iiii11

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PóS-GRADUAÇÃO EM CI2NCIA DA COMPUTAÇÃO Av. Osvaldo Aranha, 99

90.210 - Porto Alegre - RS - BRASIL Telefone: (0512) 21-84-99

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comlla~o Editorial: Tai•F SIIYa Weber

Carla Maria Dal saa•o Freltaa

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DFRGS:

Ré i to r I Ptof, GERBARD JACOB

P r 6-r e I to r de P e 8 q u i s a e P 6 8-GradUa ç a o I Pro I ,, A B I L I O A • B A E TA N B Y E S Coordénador do CPGCC: Profa, Jnlrid J , POrto

comlssllo coordenadora do CPGCC: Prol. Carlos! A·· aeuser Prol. Dalcldlo ~. Claudio Prof,; ,Flavio· w;a1aer

Profa, Inlrld, J . POrto Prol. Roberto T·. ,Frlc:e Prol. R~cardo Reli

BibllotecArla CPGCC/CPD: Marlarlda Bucbmaaa

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(3)

1 • · INTRODUÇÃO

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2. 3. FUNDAMENTOS

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APLICAÇÕES

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3. 1 3.2 3.3 3.4 3.5 Método de Newton

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Numérica sistemas lineares Diferenciação Resolução de Integração Numérica Outras Aplicações 4. OBSERVAÇÕES FINAIS

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5. BIBLIOGRAFIA

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1 1 4 4 5 6 7 9 9 1 1

(4)

-f\"','.'''

. .'':·

.i-,..-· ... J\.J ... ~-.J .,

·,/I

(5)

A Matemática Intervalar se baseia na possibilidade de se executar a análise de erros automaticamente em conec-ção com a própria computaconec-ção. ·Neste trabalho serão apresen-tadas algumas noções gerais sobre intervalos e o atual está-gio de desenvolvimento em algumas áreas.

PALAVRAS-CHAVE: Matemática Intervalar, aritmética interva-lar, método de Newton, sistemas lineares, integração numéri-ca.

ABSTRACT

Interval mathematics is based on the possibility of performing automatically the errors control. The techni-ques can be programmed for computers in order to obtain si-multaneously upper and lower bounds to exact solutions of equations of various types. Itwill be showed some basic concepts about intervals and point out.the actual state of art in some areas.

KEY WORDS: Interval Mathematics, interval arithmetic, Newton's method, linear equations, numerical integration.

(6)

····' . ·. ~ ' · .. i : .

· .. :·

... -:-'

(7)

1 • INTRODUçlO

O controle de erros dos processos numéricos ganhou nos últimos 30 anos uma posicão importante dentro de Matemá-tica Numérica. Quase todos os algoritmos da década de 60 utilizados para resolucão de um dado problema eram elabora-dos no corpo

A análise de também feita

dos números reais (IE'<) ou dos complexos (O:) •

erros ou a pesquisa da ordem de convergência era nestas estruturas. Quando se pensa em imple-mentar um desses algoritmos numa máquina digital precisa-se inicialmente representar os dados e as operacoes de

m

ou

a:

num sistema finito de números de máquina chamado, por~

plo, sistema de Ponto Flutuante (F). A execução de tal al-goritmo modelado de lR ou

a:

para F deve ser considerado co mo um experimento, tendo em vista que as mais simples regras de cálculo não são mais válidas ( [CLA 79]). Em [NIC 66] foi deixado claro que quase todos os cálculos computacionais são · sem sentido, se não se puder dar paralelamente cotas para o

erro cometido.

A Matemática Intervalar se baseia na possibilida-de possibilida-de se executar a análise possibilida-de erros automaticamente em ~

cão com a própria computação. Neste trabalho serao aprese~

tadas algumas nocões gerais sobre intervalos e o atual está-gio de desenvolvimento em algumas áreas.

FUNDAMENTOS

\

o

uso da aritmética intervalar foi desenvolvido i-nicialmente por [MOO 66]. Este grande e novo campo da mate-mática que vem a cada dia ganhando novas aplicacões,tem a s~

guinte idéia básica do ponto de vista computacional: Dada uma função f(x) de variável real x pertencente a um inter-lo X

=

[a,b] onde a e b sao números de máquina. Com isso temos a

<

x < b e portanto x está perfeitamente repre-sentado no sistema numérico da máquina. O domínio da f e

(8)

2

dado por

f (X)

=

{y y

=

f(x), a~ x ~ b} (2-1) Este domínio não e em geral dado exatamente, mas e sempre possível determinar um intervalo Y

=

[c,d] tal que f(X) C

'YI isto é- c ~ f(x) ~ d • Podemos então definir uma fun-cao intervalar F associada a f pela transformacão do

in-tervalo [a,b] em [c,d]·, isto é,

Y

=

F (X)

'2

f (X) • ' . L

(2-2) Esta funcão

F,

chamada extensão intervalar de f, deve ser aquela que se afasta o mínimo possív~l de f(X). A esse respeito encon-tramos diversos trabalhos

~orno

por exem-plo a avaliacão de

e~pressões

aritméticas.com exatidão máxi ma [Bôh

8:3] ./O

erro obtid() no cálculÔ de· f(x) a partir d; intervalo X 'e facilmente obtido at,ra~és do diâmetro D(F(X))

, isto e.,

... '. ·' -- D (F (X) )

=

d - . c (2-3)

·o

·cálculo de·- expressões ti.'àc âritmética intervalar consiste na extensão dàs 6peracões aritméticas, o qual jun-to com um conjunjun-to de funcões standards forma a Aritmética Intervalar. Tal pacote foi desenvolvido em diversas unive~

sidades e centros de pesquisa como Universidade de Wiscon-sin [REI 87] , Universidade de Karslruhe [PAS 86] e IBM,

[HIG 84].

A aritmética intervalar utiliza um arredondamen to especial, chamado arredondamento direcionado, o que sig-nifica que os resultados são arredondados para o menor e p~

ra o maior número de máquina que contém o resultado das op~

racões, obtendo-se com isso um intervalo de máquina, com diâmetro mínimal, no qual a solucão se situa.

Tomando-se como base o conjunto dos números Reais

m

as operacões básicas nos conjuntos dos Intervalos sobre

m

são dadas por

(9)

. / I . - ' C I· •. , k. [a,b] = [k.a, k.b] se k ::::

o

= [k.b, k.a] se k <

o

.

c®~!?}

-

[c ,d] = [a@ b-c] . "

[a,b] • [c,d]·= [Min {a.c, a.d, b.c, b.d}, Max {a.c, a.d, b.c, b.d}] [a , b] _, = [ b _, , a_, ] ab > O

=

indefinido se a

b

S

O

Para se trabalhar com intervalos i preciso que se disponha _de uma boa biblioteca que contenha as operações b~

sicas . bem como todas as fu~ções sta'ndards. está_ disponível, por exemplo em [PAS 86]. A

Tal software implement-'ição dessas operações ~ baseada no trabalho [KUL 80] realizado

. .

em sua maior parte pelo Prof.

Dr.

u

~- :Kúlisch e sua equipe na Universidade de Karlsuhe- R.F~A., onde ·alim das opera-ções básicas que foram implementadas com

ex~·tidão

máxima,

i~

to

é,

entre o resultado real e o de máquina não existe ne-nhum outro número de máquina, fóram também definidos algo-ritmos para :vetores .,e ·mat.r;izes igualmente com exatidão máxi • · • · ••• , _ < •• , • • · , • ..,/ • • •

-ma. Para esse\:gropósito foi :o,ecessário a realização do pro _!, _·• _{, . ,} _• _. -duto escalar com máxima exatidão, conhecido como Algoritmo de Bohlender. A partir daí seguiu-se a implementação de intervalos, matrizes sobre intervalos.reais e complexos,etc-? formando todos os espaços numéricos necessários para se tra balhar c•m cem~utaçãe científica.

- '\2,,.1 i·-1.<... __ //

~ possível também introduzirmos a partir de um e~

paço parcialmente ordenado M, o espaço IM de todos os in-tervalos sobre M, como por exemplo o de Intervalo de Oper~ dores ou Intervalo de Funções (Fig. 1)

a(t) c(t)-..._ d(t) b(t) -~ t

Fig. 1: Intervalo X = [a(t), b(t)] cem representantes c,d E X

(10)

(~)

Em [NIC 75] sao definidas diversas relações de ordem em IM e diversos aspectos teóricos desse espaço.

~J

3. APL:ICAC0ES

3.1 Método de Newton,o primeiro grande sucesso

Vamos considerar f raiz de. f npm intervalo X(O)

uma função contínua e x* uma

[ (O). (O)] S . -1.

=

x

1 , x2 • eJ a v a 1.

do sem perda de generalidade.

· f

(X (

0 ) ) < O· e f (x ( 0 ) ) > O 1 2 (3-1) m1 .>. O valha e para o intervalo M

= •

[m 1, m2 ] , 0 <

m·

,

....

4 f(x) - f(x*) _ f(x)

x -

x* x-x*

~

m

₂

< oo, x*

~

x E

x<

0> (3-2) então para a sequência {X(k)}oo_ dada por

k=O

X (k +H = {

m

(X ( k) ) - f (

m

(X ( k) ) ) }

n

X ( k) , k > O M Valem as propriedades: • x* E X (k) 1 k > 0 (3-3) (3-4)

• x<o>

=>

x<1>

:::>

x<2>

:J _{... com} lim x(k)

=

x*

k+oo

ou após um número finito de passos a termina [x*, x*] D(X(k+1)) _< _{( 1- -1)}m m2 D(X(k)) (3-5) seqüência (3-6) Isto significa que a seqüência {X(k)} convergeno

mín~o linear para x*, A figura 2 mostra graficamente tal iteração.

~ possível tornarmos a convergência quadrática simplesmente fazendo a cada passo M(k) =·f' (X(k)) (3-7)

(11)

fig. 2: Método Intervalar de Newton

Nos últimos anos foram apresentadas diversas varia çÕes deste método, alguns deles se encontram em [ALE 81] e uma bibliografia vasta sobre o assunto [GAR 85], [GAR 87] .Lá se encontram métodos para cálculo de raízes complexas, siste mas, etc.

~

3.2 Diferenciação Numérica

Há muito tempo faz parte ·do folclore da matemática que derivadas são difíceis de serem calculadas, no entanto [MOO 79] mostrou que derivadas quando calculadas recursiva-mente e guaTaados os resultados intermediários num certo array, podem ser um problema fácil de ser resolvido. Em

[RAL 83] é apresentada a diferenciação e geração de coefi cientes de Taylor em Pascal

se

e indicadas aplicações na so lução de sistemas não lineares, análise de sensitividade., oti-mizacão e solução de problemas de valores iniciais para

sis-temas de equaçoes diferenciais ordinárias.

No caso de diferenciação de dados nao exatos en-contram-se em [AND 84] fórmulas de diferencas finitas multi pontuais usando intervalos, onde sao analisadas suas perfor-mances numéricas.

(12)

6

3.3 Resolução de Sistemas Lineares

Vamos supor, por do sistema linear.

exemplo, que os coeficientes éiij .. e: A

podem ser representados exatamente por números de Então podemos afirmar

(3-8) máquina.

Teo~ema: Se for possível executar todos os passos de um me-todo dir~to (p/ex •. Gauss) para resolver em aritmética inter valar arredondada (se não ocorre divisão por um intervaloque contém o zero nem under(over)flow) então o sistema

tem uma única solução para cada matriz real A e cada

( 3-8) vetor real b e· e.sta. solução está contida no intervalo vetorial X

... :Podemos- exemplificar este teorema considerando o sistema mal condicionado.. .r: • ·

:i~

oo·o

_x1

+

3~001 X .•

2

-

1 • 0{)0·". (3-9) .6667 ·x·:

1 +

r.-ooo

x2

-

• 333"3; •

e resolvendo-o numa máquina decimal com 5 dígitos na mantis-sa. Ao eliminarmos x

1 ·na segunda equação se obtém

(1.000- (0.6667/2.000)3.001)x 2

=

.3333-(.6667/ 2.000)1.000 utilizando-se a partir daí intervalos, tem-se:

• 6 6 6 7

I

2 •

o o o

e: [ • 3 3 3 35 ,

o •

3 3 3 3 5

l

(.6667/2.000) 3.001 e: [1.0003.,1.0004] .3333- (.6667/2.000) 1.000 e: [- 0.00005, -0.00005] (1.000- (.6667/2.000)3.001 E (-0.00040₁ -0.00030) x 2 E [.12500, .16667]

Se_o nosso sistema tivesse 9 dígitos teríamos x₂ E [.130429111, .130429112]

(13)

Durante a eliminação da Gauss é possível que a com bina.cão das operações aritméticas levem a um intervalo final com um diâmetro grande. Tais fenômenos pode ser vistos em [Won 75] e . uma excelente técnica de soluç~o utilizando-se

a!

goritmos auto validáveis encontra-se em [Rum 80].

3.4 Integração Numérica

A fórmula do valor médio para integrais e dada por !b f(x) dx

=

(b-a) f(E)

a

onde f é contínua em A =· [a,b] e

r,

€ A.

(3-10)

· ·A manipulação numérica não intervalar de (3-1 O)

não

abrange toda i~formação dada pela fórmula do valor médio e subf?t·itui .. f (E) por a).gum valor. aproximado_,. como por exemplo f(a;b). Em termos de intervalos

t~r!amos

!~

f

(x}d~,

'=

o(b~~)

· f'(fi) E

(b-~)

: fjA) C (b-a) F (A)

onde F

é

uma extensão intervalar da . . . :função:· f. Portanto ne-nhuma informação é perdida e ganha-se

erro.

uma estimativa para o

Exigindo-se que F seja uma inclusão monotónica, Lipschtziana e extensão intervalar de f com F(A) definida pa-ra todo A C A₀, temos quando f for contínua para x em A.

!A f(x) dx E f(A) D(A) para todo A

c

A

0 (3-11)

Seja N E E e consideremos N subdivisões de A, do seguinte modo

A ₁

=

_{[a 1 , b 1 ] • • •} ~

=

[a"" , bN] , com

a= a₁ < b

1 = a2 < b2 = a3 < b3 ••• < bN = b

Utilizando-se a propriedade aditiva da integração chega-se facilmente ao Teorema: Existe uma constante arbi-trária L, independente de N ou do método de subdivisões tal que:

(14)

8 /b n a) _a.f(x.)dx e: L: F (Ai) D (Ai) i=1 n n D(Ai)2

b) _{D(i~1 F (Ai) D (Ai))} < L

_.L:,

(3-13) ~=

Para uma subdivisão uniforme de A= [a,b]oom· D ~i)=

··: ·b-a

N"'

i=1(1)N

s

_N

=

e por (3-13) vamos definir N SN (F ; A) = i~

1

F(Ai) (b-a)/N D (SN)

~

L

(b-a)

2/N e consequentemente 00 (3-14) ( 3-15)

!~

f(x) dx = (') SN (F;A) =· lim SN (F:A)

N= 1 N-+oo (3-16)

logo temos que a seqüência de intervalos Y

1 =

s

1, Yk+1 = ~+lnyk ,

\C~ 1 , 2. • • é uma · ·Seqüêhcià encaixante de intervalos

~Exemplo

( [MOO 79] )

convergente.

Seja f(x)

₌

1 /x e seja a e.xtensão intervalar F(X) =

1

/X.

De (3-11) obtemos para A = [ 1 '2] .r,2

_{( Í/X)}

_J

_X

_E _{(1/[1 ,2])} _[ 1 ~ =

_2'

e de (3-14) segue-se que N SN = E (1/(1 + [i-1, i]/N))/N i=1 N = i~

₁

[1/(N+i), 1/(N+i-1)] 1]

Utilizando-se um sistema de 3 dígitos com arredonda-mento direcionado obtem-se:

y1

=

[.5, 1.0]' y2 = [.583, .834] ••• y10 = [.663, .722]

Métodos mais rápidos do que esse, bem como fórmulas de Newton-Cotas fechadas e abertas, quadratura de Gauss e Euler-Maclaurin podem ser vistas em trabalhos como [MOO 79] , [GRA 75].

(15)

3.5 Outras aplicac6es

Infelizmente não

é

possível entrarmos nos detalhes de todas as atuais pesquisas na área de matemática interva-lar, citaremos aqui alguns dos recentes avanços e o. leitor

~interessado deverá procurar a bibliografia indicada.

~.

Otimização usando Matemática Intervalar

[NIC 86], [Kra 75], [MOO 79] , [Gar 85] , [G~ 87]

2. Resolução Numérica de Equac6es Diferenciais [Mar 85] , [MOO 79] , [Gar 85] , [Gar 87] .

3. Análise de circuitos elétricos

[Ske 79] [Pet 86] , [Gar 85] [Gar 87]

4. Aproximação, Interpolação

[Eng 85] , {Gar 80] , [Gar 85] , {Gar 87]

A Matemática Intervalar é atualmente um campo mui , to produtivo de trabalhos. Existem ainda muitas ~tões em estudo (em aberto) como por exemplo:

A Teoria de Análise de intervalos: nao . foram ainda c~etados os estudos sobre diferenciação e integra-cão de func6es intervalares.

Extensões Intervalares: como avaliar funções de modo a obtermos diâmetro mínimo com menor custo computa-cional?

pouco

cial.

Computação Gráfica: esta área foi até explorada pela matemática intervalar.

agora

Aplicac6es de intervalos à Engenharia Elétrica Aplicações de intervalos a inteligência artifi

(16)

10

-Para aqueles que desejam nao apenas trabalhar com intervalos, mas também buscam fazer tal tarefa de uma manei

.: . ra mais confortável e com exatidão optimal não podem deixar

. .

,. dê': ler os trabalhos que se encontram em [Kul 83] •

TÓda bibliografica com excessão dos livros descri ta em [Gar 85,87] pode ser obtida entrando-se em contato com Freiburger Interval Berichte, Unive'rsitãt Freiburg iBr, 7800 Freiburg i.Br., Alemanha Ocidental.

Agradecimentos

Parte desta pesquisa foi realizada com o apoio do CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e

(17)

5 • BIBLIOGRAFIA [Ale 81] [And 84] [CLA 79] [Eng 85] [Gar 80] [Gar 85] [Gar 87] [GRA 75] [Hig 84] (Kul 80]

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