I REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS

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Prof. Laura Maria Saporski Cachuba

I – REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS

1. Elementos Básicos de Matemática 1.1 Regras de Sinais

ADIÇÃO:

- quando os números tem o mesmo sinal, somam-se os módulos e atribui-se ao resultado o sinal comum.

Ex: (+5)+(+9)=+14 ou 14 (-3)+(-5)= -8

- quando os números tem sinais contrários, subtraem-se seus módulos e atribui-se ao resultado o sinal do maior número em módulo.

Ex: (+17)+(-12)=+5 ou 5 (+4)+(-16)= -12

SUBTRAÇÃO:

- na subtração ou diferença de dois números relativos, deve-se somar o primeiro número com o simétrico do segundo.

Ex: (+5)-(+3)= (+5) + (-3) = +2 ou 2 Ex: (+5)-(-3)= (+5) + (+3) = +8 ou 8 Ex: (-5)-(-3)= (-5) + (+3) = -2 Ex: (-5)-(+3)= (-5) + (-3) = -8

Obs: quando se opera com diversos números relativos, primeiro somam-se todos os positivos entre si e todos os negativos entre si. Por fim aplica-se a regra anterior.

Ex: 13+5-8+2 – 4 - 7 = +20 – 19 = +1 ou 1

-2+11-14-5+6-7+6-12+13 – 2 - 21 = +36 – 63 = -27 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

- Para a multiplicação (ou produto) de dois números relativos, multiplicam-se os módulos e atribui-se ao resultado o sinal positivo (+), se os dois números possuírem sinais iguais; e o sinal negativo ( -), se os dois números possuírem sinais contrários. A mesma regra é utilizada para a divisão de dois números relativos.

Ex: (+13) . (+3) = +39 ou 39 (+5) . (-8) = -40 (+12) : (+2) = +6 ou 6 (-100) : (-25) = +4 ou 4 (-3) . (-2) . (-5) = -30 (-1) . (+6) . (-7) = +42 ou 42

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1.2. Teoria dos Conjuntos - Noções de Conjuntos Símbolos

: pertence : existe

N : não pertence : não existe

: está contido _{: para todo (ou qualquer que seja)} : não está contido : conjunto vazio

: contém N: conjunto dos números naturais N=



0,,12,3,,n,



: não contém Z: conjunto dos números inteiros Z:



,4,3,2, ,10, ,12,3,4,



/ : tal que

Q: conjunto dos números racionais (conjunto dos quocientes entre dois números inteiros, com p e q inteiros e q  0) Q:             ,, , 5 2 ; 3 2 , 2 , , 3 1 , 2 1 ,1 , 0 qp : implica que

Q'= I: conjunto dos números irracionais (não admite representação por nº inteiro em forma de fração; nº não exato cuja representação decimal infinita não é periódica). Ex. 2 ,14142136 : se, e somente se R: conjunto dos números reais (engloba os nº reais

e irracionais)

1.2.1 Conceitos de conjuntos

Conjuntos são coleções de elementos de qualquer tipo (objetos, pessoas, animais, plantas, fenômenos, números,...). São geralmente indicados por letra maiúsculas do alfabeto latino. Um conjunto é bem definido quando está claro se um objeto pertence ou não a ele. A sua notação usual é escrever seus elementos separados por vírgulas e entre chaves, por exemplo, A



a,b,c



. Um conjunto pode conter um número finito ou infinito de elementos.

Para expressaro fato de a ser elemento do conjunto A escrevemos aA (Lê-se o elemento a pertence ao conjunto A). De forma semelhante, se o elemento d não é elemento do conjunto A, representamos: d A (Lê-se o elemento d não pertence ao conjunto A).

Conjunto Universo: é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos com a característica definida. Geralmente é indicado por U. Conjuntos com apenas um elemento são denominados unitários.

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B (lê-se A está contido em B). Observações:

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O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:

Intersecção de Conjuntos:dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja

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Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B não vazios, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja

Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A.

Símbolos das operações

: A intersecção B : A união B a - b: diferença de A com B a < b: a menor que b : a menor ou igual a b a > b: a maior que b : a maior ou igual a b : a e b : a ou b A - B

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Prof. Laura Maria Saporski Cachuba : B A A está contido em B B A : A contém B

1.3. Conjuntos Numéricos – Os conjuntos numéricos existentes são:

- Conjunto dos Números Naturais (N): representa os números positivos, juntamente com o zero, podendo ser representado em uma reta orientada: N 



0,1,2,3,4,5,6,



.

- Conjunto dos Números Inteiros (Z): são os números naturais acrescidos dos números negativos. Sua representação é: 



,4,3,2,1,0,1,2,3,4,



. Assim: N ZN . Os números que se encontram à mesma distância do zero, em uma representação gráfica, são denominados números opostos: +5 é o oposto de -5; +4 é o oposto de -4; +n é o oposto de –n. Módulo ou valor absoluto de um número inteiro é a distância desse número até o valor2 zero em uma representação gráfica. Na prática, basta usar o valor desprovido de seu sinal. A notação matemática para módulo é a colocação do número entre duas barras verticais: |+5|=5 (Lê-se: módulo de +5 é igual a 5); |-4|=4 (lê-se: módulo de -4 é igual a 4).

- Conjunto dos Números Racionais (Q): é o conjunto dos números inteiros, acrescentadas as frações positivas e negativas. Este conjunto admite números representados por meio de frações dos seguintes tipos: I) todos os decimais exatos; II) todas as dízimas periódicas; III) todos os números inteiros; IV) todos os números naturais. Sua representação é:

      _ _ _  / ,coma Z eb 0 b a x x Q . Assim, Q Z N Q N Q Z    

- Conjunto dos números irracionais (I): são números que não podem ser escritos sob a forma de

uma fração; são números decimais infinitos e não periódicos. Ex:

... 4142135 , 1 2 ... 1415926535 , 3 ... 7320508 , 1 3 ... 4142135 , 1 2       .

Podemos dizer que fazem parte do conjunto dos números irracionais, além do número , todas as raízes não exatas e todos os decimais infinitos e não periódicos.

- Conjunto dos Números Reais (R): abrange todos os números racionais unidos com os irracionais. Podemos representar o conjunto dos números reais por:



x x Qoux I



I

Q

R   /   . Assim, são números reais: I) todos os números irracionais; II) todos os números racionais; III) todos os números inteiros; IV) todos os números naturais. Assim:

R Q Z N R N R Z R Q R I      

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- Conjunto dos Números Complexos (C): é constituído por todos os números que podem ser representados da forma



abi



onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, ou seja,

1

 

i . Assim, podemos dizer que RC.

1.4. Potências – Potência é um produto de fatores iguais à base, sendo tomados tantos fatores quanto for o expoente.

             expoente m expoente n base a : onde fatores n       a a  a a an a) a0 1 b|) a1 a c) aman amn Ex.2325 28 256 d) aman amn coma 0 EX.34 32 32 9 e) 0,015625 4 1 4 1 3 3 _ _    _Ex. n n a a f)

 

am n amn Ex.

 

23 5 215 32.768 g) 0,16 5 2 5 2 Ex. 0 b para ₂ 2 2                 n n n b a b a h) amn nam Ex.225 522  ,1319508 i)



abc



n an bn cn Ex.



245



2 224252 1.600 Observações:

- Quando a base é positiva a potência do número é positiva;

- Quando a base é negativa, o sinal da potência depende do expoente: base negativa e expoente par  potência do número positiva; base negativa e expoente ímpar  potência do número negativa. quando o expoente é inteiro negativo, n _n

a a  1

, quaisquer que sejam o número real a, não nulo, e o inteiro n.

- Potências de 10: o uso de notação científica – as potências de 10 – tem grande aplicação em todas as áreas. Exemplos:



2 10

 

3 10

 

4 10



24 10 240 000 . 000 . 4 003 , 0 02 , 0 10 5 , 4 10 5 , 4 000 . 1 5 , 4 0045 , 0 10 10 1 000 . 1 1 001 , 0 10 10 1 1 , 0 10 8 , 3 000 . 38 000 . 5 10 5 000 . 1 10 1 6 3 2 3 3 3 3 1 4 3 3                              

1.5. Radicais: chama-se raiz enésima de um número real Y, ao número real A que elevado a n é

igual a Y. n AY  n Y A raiz a é Y e raiz da índice o é n e radicando o é A onde .

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Prof. Laura Maria Saporski Cachuba Exemplos: 36 6 6 36   2 

 

4 64 4 64 3 3      R 

16 (não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte em -16). - Analisando os exemplos anteriores, podemos deduzir que:

a) se o índice do radical é um número ímpar, a sua raiz é única e tem o mesmo sinal do radicando; b) os números negativos não tem raiz de índice par no campo dos números reais;

c) se o índice do radical é par, os números positivos tem sempre duas raízes reais diferentes e simétricas;

Ainda: é possível retirar um fator do radical; para isso, basta dividir o expoente do radicando pelo índice do radical - n am amn.

Ex. 4 38 384 32 9 4 4 2 4 8 4 2 45 2 5 3 2 5 3       5 6 5 3 2 5 3 2 180  2 2     3 3 2 3 3 9 2 3 11 4 8 2 2 2 2 2     

De forma recíproca, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do radical - n n n

b a b a   Ex: 3 3 3 3 54 2 3 2 3    4 4 8 4 2 280 . 1 5 2 5 2    

a) Adição e subtração de radicais semelhantes: 3 3 3₇ ₃ ₇ ₄ ₇ 7 5 8 5 4 5 5 3 .      Ex

b) Multiplicação e Divisão de radicais de mesmo índice: 5 5 5 5₅ ₄ ₃ ₂ ₄ ₅ ₃ ₈ ₁₅ 2 .      Ex

c) Redução dos radicais ao mesmo índice.

12 2 2 6 2 6 4 3 3 3 5 .      e 5 5 radicando. do expoente como m.m.c. pelo divisão da valor mesmo o se -acresenta índice; novo o determinar para radical, do expoente do valor pelo resultado do valor o se -multiplica e radical do valor pelo m.m.c o se -divide 12 (4,6) m.m.c e Ex 12 3 3 4 3

d) Multiplicação ou divisão do índice e do expoente do radicando pelo mesmo número:

2 3 3 6 9 3 6 9 10 2 5 2 5 7 7 7 9 3 3 .        Ex

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Prof. Laura Maria Saporski Cachuba e) Potencialização de radicais:

 



4 2 3



3 4 6 9 3 2 2 3 4 3 4 3 5 5 .     Ex

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais.

Ex.  =

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetuar a operação. Ex. f) Radiciação de Radicais: n mY nmY;Y  0 e n,mZ_ 6 3 4 5 5 5 5 .   Ex g) Expoente fracionário: 7 7 2 7 7 2 7 1 7 2 5 2 5 2 12 3 2 3 2 3 2 2 2 .        Ex h) Racionalização de denominadores:

- A racionalização de denominadores consiste em obter uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior que possuía um ou mais radicais em seu denominador. Considere a fração onde seu denominador é um número irracional. Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por _{, obtendo uma fração equivalente:}

. Agora a fração

equivalente possui um denominador racional. Principais casos de racionalização:

1º caso: O denominador é um radical de índice 2.

é o fator racionalizante de , pois X = _=a 2º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2.

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é o fator racionalizante de _. é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de

1.6. Logaritmos: Logaritmo do número N real e positivo, em determinada base a real, positiva e diferente de 1, é o expoente x que se deve elevar a base a de modo a se obter N.

            logaritmo 1 base 0 a tmo antilogari ou do logaritman 0 log x a N N a x N x a

N é o antilogaritmo - antilog_ax N ax N

Ex. 25 5 2 log 3 2 2 8 2 8 log 2 2 2 4 2 4 log 2 5 3 2 2 2                    x x x anti x x x x x x x x

Note-se que: pois:

- O logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0 (zero);

        1 0 1 0 1 log a a ax a , pois 1 0 _ a .

- O logaritmo da base, qualquer que seja ela, é igual a 1.

a a a

a 1 1 

log pois .

- A potência de base a e expoente log_aN N. alogaN N , pois o logaritmo de N na base a é justamente o expoente que se deve dar à base a para que a potência fique igual a N.

- Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais. C

B C

B a

a log  

log , pois log_aB log_aC alogaC B C B. Exemplos:

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



2 3 3 2 2 2 8 4 3 log 4 3 log log 8 1 2 3 log 8 2 3 log 2 3 3 3 27 3 27 3 27 log 3 1 5 5 5 5 5 log 8 1 2 1 2 3 log 16 4 2 log 0 1 5 1 log 2 16 4 16 4 16 log 32 32 2 32 2 32 log 3 2 2 2 4 3 2 3 2 2 1 3 2 1 3 3 1 3 3 5 3 3 2 2 4 5 2 4 5 2                                                           x x anti x anti x anti x anti x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

- Sistema decimal é aquele cuja base vale 10. Ex. log₁₀3log3; quando o logaritmo for decimal a indicação é somente log.

- Sistema de logaritmos neperianos (ou natural) é aquele que possui base e (e é um número irracional que vale 2,71828... e o nome deriva de John Napier); quando o logaritmo for neperiano a indicação será somente ln.

Propriedades:

Produto: log_a



AB



log_aAlog_aB Ex.







3 a



log3 loga log 1 5 log 2 log 5 2 log        Quociente: A B B A a a a log log log         Ex. 3 log log 3 log 176091 , 0 2 log 3 log 2 3 log      a a

Potência: log_aAm mlog_aA

Ex. 523719 , 2 2 log 4 2 log log 3 log 505150 ,1 2 log 5 2 log 3 4 3 3 5      a a Raiz: m A A m A a a m a 1 log log log  

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Prof. Laura Maria Saporski Cachuba Ex. 2 log log 068160 , 0 7 3 log 3 log 732487 , 0 2 5 log 5 log 5 5 7 3 3 x x      Mudança de Base:

Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usa-se:

1.7 Produtos Notáveis

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja o quadro abaixo:

Produtos notáveis Exemplos

(a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9 (a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9 (a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9 (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8 (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8 (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8

Exercícios: 1) Desenvolva:

a) (3x+y)2

(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2 b) ((1/2)+x2)2

((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4 c) ((2x/3)+4y3)2

((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6 d) (2x+3y)3

(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3

a

x

b b a

log



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e) (x4+(1/x2))3

(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6) f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5))

((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2 2) Efetue as multiplicações: a) (x-2)(x-3) (x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6 b) (x+5)(x-4) (x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20 3) Simplifique as expressões: a) (x+y)2–x2-y2

(x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)

(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) = x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29

c) (2x-y)2-4x(x-y)

(2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2

II – EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU (COM UMA VARIÁVEL)

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. Exemplo de equações;

2x + 8 = 0 5x – 4 = 6x + 8 3a – b – c = 0

Não são exemplos de equações: 4 + 8 = 7 + 5 (não é uma sentença aberta1) x – 5  3 (não é uma igualdade)

5  -2 (não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau é dada por: ax b 0 onde a e b são os números conhecidos (constantes) racionais e a  0. Para resolver, subtraímos b em ambos os lados, obtendo:

b

ax  _{. Dividindo agora a (em ambos os lados):} a b x 

Considere a equação 2x – 8 = 3x – 10. A incógnita da equação (elemento desconhecido) é x. Tudo o que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro e o que o sucede, 2º membro:

      membro 2º membro 1º 10 3x 8 2x  

. Qualquer parcela do 1º ou do 2º membro é um termo da equação.

1_{Entende-se como sentença fechada aquela que não possui um elemento variável; por consequência, a sentença aberta é}

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Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:

- Substituir a incógnita por esse número.

- Determinar o valor de cada membro da equação.

- Verificar a igualdade; sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. Exemplos:

- Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F) Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F) Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V) Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F) - Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F) Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F) Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F) Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F) - A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Resolução de uma equação

Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo: Resolver uma

equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo , resolva a equação . MMC (4, 6) = 12 -9x = 10 => Multiplicador por (-1) 9x = -10 Como , então .

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2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

- Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: 2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3 3x = -1 Como  Q 3 1 , então        3 1 V

Equações impossíveis e identidades

Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1). Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1 12x - 8 = 12x - 3

12x - 12x = - 3 + 8 0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando _e

Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x. Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 8 0 . x = 0

- Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções.

Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.

Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.

Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim: Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º

elemento e y é o 2º elemento.

Observações:

(16)

Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.

Representação gráfica de um Par Ordenado:

Podemos representar um par ordenado através de um ponto num plano. Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

Coordenadas Cartesianas: Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado num plano cartesiano.

Esse plano é formado por duas retas, x e y perpendiculares entre si.

A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x). A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

Localização de um Ponto

Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática: - O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.

- O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.

No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:

(17)

Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

Assim, obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por: B

y A

x  e 

Logo:

- Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde x A e y B







x y x A y B



AxB  , /  e 

Lê-se: o produto cartesiano AxB é igual ao par ordenado x,y tal que (/) x pertence a A e Y pertence a B.

2.1 Inequações de 1º grau

Inequação de 1º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de 1º grau. Símbolos de desigualdade: >, <, ≥; ≤.

Exemplos: 2x > 4 3x – 5 < -3 4x – 8 ≤ 8 – 2x

A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor da variável. Para alguns valores da variável, a inequação será verdadeira e, para outros, será falsa.

- Resolução de uma inequação de 1º grau: para determinar o conjunto-solução de uma inequação do 1º grau, deve-se isolar a variável no primeiro membro de forma análoga à solução de uma equação do 1º grau.

(18)

Observação: sempre que se multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da desigualdade. Exemplo:

 





 

4 17 4 17 1 4 17 4 21 4 21 4 4 3 24 1 4 4 2 3 1 2 1 2 2 4                                  x x x x x x x x x x x x x x x x

III. EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU (COM DUAS VARIÁVEIS)

Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y

Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação equivalente mais simples. Assim:

2x + 3y = 5 + 6

2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .

Denominamos equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida sob a forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

Na equação ax + by = c, denominamos: te independen termo -c y de e coeficient -b x de e coeficient -a incógnita ou variáveis -y x Exemplos: 8 0 3 2 48 7 3 10 4 15 3 2 30               y x y x y x y x y x y x

Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Quais os valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira? Observe os pares abaixo: x = 6, y = 1 x - 2y = 4 6 - 2 . 1 = 4 6 - 2 = 4 4 = 4 (V) x = 8, y = 2 x - 2y = 4 8 - 2 . 2 = 4 8 - 4 = 4 4 = 4 (V)

(19)

Prof. Laura Maria Saporski Cachuba x = -2, y = -3 x - 2y = 4 -2 - 2 . (-3) = 4 -2 + 6 = 4 4 = 4 (V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.

Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

Uma equação do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto universo .

Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

- Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.

Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim: 3x - y = 8 3 . (1) - y = 8 3 - y = 8 -y = 5 ==> Multiplicamos por -1 y = -5

O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação. V = {(1, -5)} Resumindo:

Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b valores não-nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis:

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de uma equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. 1º par: A (4, 0)

2º par: B (0, 4)

(20)

Prof. Laura Maria Saporski Cachuba x y 4 0 0 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.

Sistemas de Equações

Considere o seguinte problema:

Um jogador, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: x + y = 25 (total de arremessos certos)

2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)

Essas equações contém um sistema de equações. Costuma-se indicar o sistema usando chave.        55 3 2 25 y x y x

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema.

(21)

Resolução de Sistemas

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos: Método da substituição        3 3 2 4 y x y x Solução:

- Determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y - Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y) -3y = 3 - Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 3 -5y = -5 => Multiplicamos por -1

5y = 5 1 5 5 _  y

- Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. x + 1 = 4

x = 4 - 1 x = 3

- A solução do sistema é o par ordenado (3, 1) - V = {(3, 1)} Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

Resolva o sistema abaixo:

       6 10 y x y x Solução:

- Adicionamos membro a membro as equações:

2x = 16

x = 8

- Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 8 + y = 10

y = 10 - 8 y = 2

(22)

- A solução do sistema é o par ordenado (8, 2) V = {(8, 2)}

IV – FUNÇÕES

Função é uma relação R de A em B que associa a cada elemento x  A um único elemento y

 B, tal que (x,y)  R, denominada função de A em B e é indicada por:

 

x x f

 

x f y y x f B A f     ou ou : :

Ou seja, de um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma função de A em B se e somente se, para todo x  A existe um único y  B de modo que x se relacione com y.

O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.

O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida.

Domínio e Imagem de uma Função:

O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x  A estiver associado a um elemento y  B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).

Exemplo: se f é uma função de N em N (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2. Então temos que:

 A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3;

 A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2.

Numa função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f.

Existem duas condições para que uma relação f seja uma função:

1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A deve ter um correspondente valor em B; se tivermos um elemento de A sem elemento em B, a relação não é função.

2ª) Cada elemento de A deve ter uma única correspondência em B; se um elemento de A tiver mais de um valor de correspondência, a relação não é função.

Observações:

 Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis (ou incógnitas).

 A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.

 Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x).

(23)

EXERCÍCIOS:

1) Considere a função f: A  B representada pelo diagrama a seguir:

Determine:

a) o domínio (D) de f; b) f(1), f(-3), f(3) e f(2);

c) o conjunto imagem (Im) de f; d) a lei de associação

Resolução:

a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A. b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4.

c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}.

d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.

2) Dada a função f:R R (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:

a) f(2), f(3) e f(0);

b) o valor de x cuja imagem vale 2. Resolução:

a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0 f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0 f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2 -5x+6=2. Utilizando a fórmula de Bháskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.

Obtenção do Domínio de uma Função:

O domínio é o subconjunto de R no qual todas as operações indicadas em y=f(x) são possíveis.

Vamos ver alguns exemplos:

-1 -3 3 2 1 9 4 5 A B

(24)

Agora o denominador: como 3 - x está dentro da raiz devemos ter 3 - x  0, mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3 - x  0. Juntando as duas condições devemos ter: 3 - x > 0, ou seja, x < 3 (condição 2).

Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 temos:

3 2 3 2 3 2         x x x x x

Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo. Portanto, D={x  R | 2  x < 3}.

Raízes de uma Função:

Dada uma função y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados raízes de uma função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo:

x y x1 x2 x3 1) (condição 2 seja, ou , 0 2 ter devemos então raiz, da dentro está 2 -x como : numerador o primeiro analisar Vamos 3 2 ) ( ) 3 } 1 / { : Então . 1 seja, ou , 0 1 Portanto zero). por divisão existe não (pois nulo ser poderá não ele r, denominado é 1 Como 1 5 ) ( ) 2 } 2 / { então, , 2 seja, ou , 0 4 2 se R em possível é só 4 2 Como 4 2 ) ( ) 1                          x x x x x f x R x D x x x x x f x R x D x x x x x f

(25)

FUNÇÃO DE 1º GRAU

Definição: Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x – 1. Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x y

0 -1

3

1 0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos diante, está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos b

b a

y  0  . Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. Zero e Equação do 1º Grau

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0.

Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos: Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:

(26)

f(x) = 0 2x - 5 = 0 Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:

g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

Crescimento e decrescimento

Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -10 -7 -4 -1 2 5 8

Notamos que, quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente.

Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

- A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); - A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); Justificativa:

- Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

- Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Sinal

Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.

Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b e vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula para raiz

a b

x . Há dois casos possíveis: 1º) a > 0 (a função é crescente)

(27)

y > 0 ax + b > 0 x > y > 0 ax + b < 0 x <

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente) y > 0 ax + b > 0 x < y > 0 ax + b < 0 x <

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição: Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

(28)

Prof. Laura Maria Saporski Cachuba f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:

- Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 2 1  4 1  0 0 1 2 2 6 Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bháskara:

a a c b b x        2 4 2 Temos: Observação:

- A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

(29)

- quando é zero, há só uma raizreal; - quando é negativo, não há raiz real. Coordenadas do vértice da parábola

- Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; - Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

(30)

2ª quando a < 0,

Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

- O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

- Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;

- O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); - A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;

- Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

(31)

Sinal

Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.

Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º - > 0 - Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola

intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0 y > 0 (x < x1 ou x > x2) y < 0 x1 < x < x2 quando a < 0 y > 0 x1 < x < x2 y < 0 (x < x1 ou x > x2) 2º - = 0

(32)

Prof. Laura Maria Saporski Cachuba quando a > 0 quando a < 0 2º - < 0

(33)

quando a > 0