Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 1
O AMBIENTE COMPUTACIONAL GEOGEBRA COMO RECURSO PARA O ENSINO DE ÁLGEBRA E GEOMETRIA NA LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
Ana Regina Brunet Universidade Luterana do Brasil – FAPA
anabrunet@cpovo.net
José Carlos Pinto Leivas Universidade Luterana do Brasil
leivasjc@yahoo.com.br
Magda Leyser Universidade Luterana do Brasil
magda.leyser@gmail.com
Rosvita Fuelber Franke Universidade Luterana do Brasil
rosvitafranke@ig.com.br
Resumo: A Geometria Dinâmica possibilita formas de interação entre aluno e conteúdo
permitindo criar novos ambientes de aprendizagem e assim proporcionar formas de pensar e aprender por meio de situações problemas. Acreditamos que essa iteração permite criar soluções e estabelecer relações a partir de hipóteses previamente elaboradas. Neste trabalho apresentamos os resultados parciais de uma investigação realizada com dezenove alunos, sendo dezesseis da Licenciatura em Matemática de uma universidade gaúcha usando o programa GeoGebra. Durante 4 horas aula os participantes foram desafiados a construir triângulos conhecendo apenas a medida de dois de seus lados, registrando suas conjecturas, justificativas e conclusões as quais constituíram os dados para este trabalho. Da análise realizada concluiu-se que houve mudança de pensamento a respeito da construção e da unicidade de triângulos. O uso do software GeoGebra possibilitou a visualização dinâmica de soluções além das pitagóricas e inteiras.
Palavras-chave: Álgebra e Geometria. Geometria Dinâmica. Geometria no ensino
superior.
Introdução
A oferta de alguma disciplina, em currículos de Licenciaturas em Matemática do Rio Grande do Sul, de Geometria que utilize recursos tecnológicos, foi um dos itens da pesquisa realizada por Leivas (2009), a qual apontou que aproximadamente 50% de tais disciplinas fazem alusão aos recursos e que “Muitos abordam a ferramenta computacional
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 2 por si mesma, sem especificar temas a que esteja relacionada. Em apenas um dos cursos é explicitada a linguagem Logo.” (p. 51).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) do Ensino Fundamental estão postos desde 1998 e, ainda, há muito desconhecimento de suas orientações para o ensino básico. “As tecnologias da comunicação e informação, além de serem veículos de informações, possibilitam novas formas de ordenação da experiência humana, com múltiplos reflexos, particularmente na cognição e na atuação humana sobre o meio e sobre si mesmo” (BRASIL, 1998, p. 135). Dessa forma, o uso das tecnologias na sala de aula deve estar diretamente ligado às concepções de ensino e de aprendizagem estabelecidas no Projeto Político Pedagógico das escolas e do qual o professor deve ser um dos construtores, a fim de que possa se adequar, se preparar e executar o que lhe compete. E como o professor poderá fazer isso se, em sua formação, esses conhecimentos não forem construídos? Particularmente, concordamos com o documento quando o mesmo afirma que a utilização do computador permite criar novos ambientes de aprendizagem a fim de proporcionar novas formas de pensar e aprender, uma vez que seu uso:
[...] possibilita a problematização de situações por meio de programas que permitem observar regularidades, criar soluções, estabelecer relações, pensar a partir de hipóteses, entre outras funções;
[...] favorece a aprendizagem cooperativa, pois permite a interação e a colaboração entre alunos (da classe, de outras escolas ou com outras pessoas) no processo de construção de conhecimentos, [...];
[...] favorece aprendizagem ativa controlada pelo próprio aluno [...]; [...] desenvolve processos meta cognitivos, na medida em que o instrumento permite pensar sobre os conteúdos apresentados e as suas formas de representação, levando o aluno a “pensar sobre o pensar”; [...] oferece recursos rápidos e eficientes [...] (BRASIL, 1998, p. 147).
Sobre a utilização de tecnologias computacionais, Almeida (2000, p. 20), afirma que “muitos dos desafios enfrentados atualmente têm a ver com a fragmentação do conhecimento, que resulta tanto de nossa especialidade quanto, e principalmente, do processo educacional do qual participamos”. Assim, usar softwares, especialmente os de distribuição livre, para o ensino de disciplinas da formação do professor nos parece uma forma de renovar o que tem sido feito ao longo dos anos em termos de Matemática e seu ensino em universidades brasileiras.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 3 Uma mudança que parece ser necessária na escola é formar uma concepção do que significa a Informática na Educação e qual deva ser o uso do computador no processo. Para Valente (2002), o computador pode ser usado na escola de duas formas: como meio de transmissão de informações e para a construção de conhecimentos. Há uma conservação da prática pedagógica que ainda perdura na grande maioria das escolas no primeiro caso e, no segundo caso, há uma falta de preparo muito grande dos profissionais para desempenhar uma função inovadora na educação. Em nossa concepção o uso do computador para a construção de conhecimento pode, e deve ser feito, na Licenciatura em Matemática.
Para Papert (1994), um objetivo do construcionismo1 é ensinar para que haja uma aprendizagem mais eficiente com um mínimo de ensino. Assim, o papel do professor é menor do que o do aluno e isto é um choque nas concepções dos professores, em sua grande maioria, que se julgam detentores do conhecimento.
Papert (1994), afirma que atividades desenvolvidas pelos estudantes com o uso de computadores oferecem maior eficiência com um menor esforço para a aprendizagem de conceitos matemáticos. Além disso, o uso do computador corrobora o que Fischbein (1987), indica sobre o uso da intuição como uma forma de construção de conhecimento, bem como nas pesquisas sobre o Cálculo Gráfico de Tall (1991), indicam relevância em intuições visuais em disciplinas constituintes do currículo do futuro professor, e que estas permitem manipulações de conceitos matemáticos.
A utilização de software “ajuda os alunos a interpretarem situações baseadas em intuições visuais” (EISENBERG e DREYFUS, 1991, p. 34), como é o caso de declividade de curvas, áreas sob uma curva e soluções de equações diferenciais. Indicam, ainda, o trabalho de Artigue na construção de um currículo que utiliza software educacional envolvendo métodos gráficos acompanhados de métodos numéricos, os quais proporcionam obtenção de comportamento qualitativo de equações diferenciais, por exemplo, um tema comum, porém, nada elementar em Matemática. Além disso, indicam que “Gráficos e informações visuais desempenham um papel para além de meras representações de um problema. Eles são os objetos centrais a partir dos quais a informação é processada tanto simbólica quanto visualmente.” (p. 34). Outros
1 O termo construcionismo tratado aqui, se apóia nas ideias de Papert e Harel, encontradas no livro
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 4 pesquisadores ainda são apontados por eles quanto à utilização de tecnologias no currículo, tais como Heid, Schwarz, Ruthven (apud Eisenberg e Dreyfus, 1991).
A pesquisa
A pesquisa qualitativa, embora sejam apresentados dados quantitativos para uma melhor compreensão do leitor, foi realizada com um grupo de dezenove indivíduos, sendo dezesseis da Licenciatura em Matemática de uma universidade gaúcha, na qual os autores são docentes e foi estendida para alunos já graduados, tendo havido a participação de 3 nessa modalidade.
Disponibilizou-se um ambiente computacional com o software GeoGebra instalado e foi utilizado um roteiro com 5 etapas para realização da atividade de pesquisa. As etapas foram distribuídas sequencialmente, durante o período de 4 horas, as quais serão aqui apresentadas e analisadas com as respectivas considerações. Os quatro pesquisadores se intercalaram nas orientações e acompanhamento das atividades. Para o registro, por parte dos indivíduos pesquisados, foram distribuídas folhas com as questões de investigação e espaço correspondente para as considerações, as quais posteriormente foram tabuladas, categorizadas e analisadas.
Entendemos que licenciandos e licenciados em Matemática apresentam uma tendência na construção de triângulos. Quando conhecidas apenas as medidas de dois lados, as soluções se restringem ao triângulo retângulo por meio de trincas pitagóricas com valores inteiros positivos. Por outro lado, o uso de tecnologias vem interferindo nos processos de ensino aprendizagem, segundo nossa vivência como professores da Licenciatura em Matemática. Dessa forma, partimos das seguintes hipóteses:
1. Dadas as medidas 3 e 4 para os lados de um triângulo, os indivíduos as utilizam como catetos e determinam a medida do terceiro lado como sendo o da hipotenusa.
2. O ambiente computacional GeoGebra permite, por meio de visualização dinâmica, possibilidades de mudança de pensamento.
Inicialmente, sem indicar o uso do computador ou qualquer outro recurso, foi proposto o que segue:
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 5 Por meio de uma busca livre, encontre soluções para a seguinte questão: Existe
triângulo cujas medidas de seus lados são 3, 4 e c unidades de comprimento, com c real? Se sim, quanto vale c? Nesse caso, ele é único?
Na segunda etapa foi solicitado a cada participante que fizesse o registro de sua solução (ou conjectura) para o problema proposto na folha que lhe foi entregue, incluindo ali uma justificativa para sua resposta. Conforme cada aluno encerrava seu registro as folhas eram devolvidas aos pesquisadores.
Somente após a conclusão dessas duas etapas e recolhidos os registros, um dos pesquisadores fez uma rápida apresentação do software, indicando e discutindo algumas ferramentas do mesmo, informando o modo como pode ser obtido sem custos para o usuário. Seguindo as referências teóricas de que o aluno é o próprio „descobridor‟ do seu conhecimento, foi indicado um tempo livre de 15 minutos para os mesmos interagirem com o programa.
Na quarta etapa os pesquisadores orientaram para que fosse usado o software apresentado para verificar a solução ou conjectura que cada um tinha feito a respeito do problema inicial. Foi solicitado que cada um descrevesse, passo a passo, a construção realizada na segunda folha recebida.
Na próxima etapa da pesquisa, frente aos resultados encontrados nas anteriores, foi indicado aos participantes que avaliassem e registrassem suas conclusões a respeito do que foi inicialmente conjecturado e sobre a sua construção final.
As conjecturas e observações feitas pelos alunos nas etapas iniciais da pesquisa foram tabuladas e foi possível observar que os dezenove participantes registraram que existe triângulo cujas medidas de seus lados são 3, 4 e c unidades de medida. Quanto ao valor de c, constatamos que dezesseis exibiram valor para c baseados no Teorema de Pitágoras, ou seja, utilizando a “fórmula” ou a trinca clássica. Apenas dois destes alunos pensaram em 4 como um possível valor para a hipotenusa. Dois alunos não apresentaram c e alegaram falta de dados. No caso, ambos se referiram ao ângulo formado pelos lados 3 e 4. Um dos participantes exibiu valor apenas para c, mas não exibiu resolução.
Quanto a unicidade, dez alunos registraram apenas uma solução, 8 afirmaram que c não é único e 1 não respondeu de forma clara.
Nos apontamentos referentes à última etapa foi possível verificar que dos dez alunos que inicialmente julgaram que c era único, 4 mudaram de opinião durante a
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 6 investigação, 4 não mudaram de opinião e 2 não foram claros nos seus registros. Os 8 alunos que afirmaram que c não era único confirmaram sua conjectura e, novamente encontramos 1 aluno cujo registro não pode ser avaliado.
Com os registros dos participantes, coletados e tabulados, passamos a analisá-los com o objetivo de verificar a validade ou não das hipóteses traçadas no trabalho.
Análise das questões de pesquisa
A partir dos registros dos indivíduos foi possível confirmar o relatado por Eiseberg e Dreyfys (1991), a respeito da influência de recursos computacionais na interpretação de situações por meio de visualização. Pois dos dezenove alunos pesquisados observamos que 7 tiveram alguma mudança de opinião em relação a sua conjectura inicial. Destes, 4 passaram a considerar o fato de c não ser único, como haviam pensado inicialmente. Dos 3 que já haviam concluído que c não era único, 1 considerou a possibilidade de c ser um número não inteiro, e os outros dois observaram que ele dependia do ângulo entre os lados dados. Também foi possível identificar nos registros que um dos participantes determinou o intervalo de variação da medida do lado c.
Ao interagirem com o GeoGebra constatamos que, na construção do triângulo, os participantes intuíram a existência de mais de um triângulo com as características determinadas. Dessa forma entendemos que a intuição e a possibilidade de novas construções, na obtenção de novos conhecimentos, possibilitaram uma reestruturação e reformulação das conclusões, corroborando com Fischbein (1987).
Conclusões
No que observamos e analisamos constatamos a validade das hipóteses indicadas na pesquisa, uma vez que dos dezenove indivíduos pesquisados dezesseis apresentaram valor para c baseados no Teorema de Pitágoras utilizando a fórmula ou a trinca clássica. Desses apenas 2 encontraram uma solução não inteira, pois consideram o lado de medida 4 como sendo a hipotenusa do triângulo retângulo e c, como um dos catetos.
Consideramos que a segunda hipótese lançada neste trabalho também foi validada, uma vez que após a interação com o ambiente computacional Geogebra, o qual possibilita
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 7 visualização dinâmica na manipulação e reconstrução de conceitos matemáticos, foi possível verificar a mudança de pensamento por parte dos pesquisados, conforme os dados apresentados na análise.
Pensamos ser importante usar o ambiente computacional GeoGebra com atividades que não limitem a exploração do ambiente por si mesmo. Os recursos disponíveis no software possibilitam relacioná-lo a um tema ou problema. Os registros dessas relações podem ser uma forma de organizar e ordenar a experiência na interação com o programa e pode promover uma prática pedagógica de forma a desempenhar uma função inovadora na educação matemática. Oferece uma possibilidade de aprendizagem em que o aluno é o controlador do processo de forma eficiente e rápida, pois durante o pouco tempo em que durou a coleta de dados houve mudança de pensamento por parte significativa dos participantes envolvidos na pesquisa.
O presente trabalho é uma avaliação inicial dos registros dos participantes da pesquisa e consideramos que as análises feitas fornecem indicativos de continuidade da investigação, como previsto no projeto de pesquisa dos proponentes para o corrente ano. Nesse projeto os pesquisadores mostram uma preocupação com a melhoria da formação inicial dos professores de Matemática com vista à qualificação dos futuros profissionais para atuarem na escola básica, atendendo indicativos ou orientações emanadas de órgãos públicos.
Referências
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
ALMEIDA, Maria Elizabeth B. de. Informática na Educação: Proposta para uma teoria. In: ALMEIDA, M. E. B. Informática e formação de professores. Brasília, Secretaria de
Educação a Distância, 2000. p. 13-24. Disponível em:
<http://escola2000.net/eduardo/textos/proinfo/livro09-Elizabeth%20Almeida.pdf>. Acesso em: 10 abril 2008.
EISENBERG, T.; DREYFUS, T. On the reluctance to visualize in Mathematics. In: ZIMERMANN, W. E CUNNINGHAM, S. (Eds.). Visualization in teaching an learning
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 8 FISCHBEIN, Efraim. Intuition in science and mathematics: an educational approach. Dordrecht: Reidel, 1987.
LEIVAS, J.C.P. (2009). Imaginação, Intuição e Visualização: a riqueza de possibilidades da abordagem geométrica no currículo de cursos de licenciatura de Matemática. 2009. Tese (Doutorado em Educação) – Brasil: Universidade Federal do Paraná. 2009.
PAPERT, Seymour. A Máquina das Crianças: repensando a escola na era da informática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.
TALL, D.. Advanced mathematical thinking. Dordrecht: Kluwer, 1991.
VALENTE, José Armando. Informática na educação: instrucionismo x construcionismo. 2002. Disponível em: <http://www.divertire.com.br/artigos/valente2.htm>.Acesso em: 08 abril 2008.
