Introdu¸c˜
ao a ECI
Grafos e Combinat´
oria
F´abio BotlerPrograma de Engenharia de Sistemas e Computa¸c˜ao Universidade Federal do Rio de Janeiro
Matem´
atica Discreta
Matem´atica Discreta ´e o estudo de estruturas matem´aticas que s˜ao fundamentalmente discretas em vez de cont´ınuas. Em
contraste com os n´umeros reais que tˆem a propriedade de variar “suavemente”, os objetos estudados em matem´atica discreta -como n´umeros inteiros, grafos e declara¸c˜oes em l´ogica - n˜ao variam suavemente dessa forma, mas tˆem valores distintos e separados.
Matem´
atica Discreta
Matem´atica Discreta ´e o estudo de estruturas matem´aticas que s˜ao fundamentalmente discretas em vez de cont´ınuas. Em
contraste com os n´umeros reais que tˆem a propriedade de variar “suavemente”, os objetos estudados em matem´atica discreta -como n´umeros inteiros,grafose declara¸c˜oes em l´ogica - n˜ao variam suavemente dessa forma, mas tˆem valores distintos e separados.
Grafos
Um grafo ´e um par ordenado (V , E ) onde V ´e um conjunto n˜ao vazio e E ´e um conjunto de pares de elementos de V .
Grafos
Um grafo ´e um par ordenado (V , E ) onde V ´e um conjunto n˜ao vazio e E ´e um conjunto de pares de elementos de V .
Grafos
Um grafo ´e um par ordenado (V , E ) onde V ´e um conjunto n˜ao vazio e E ´e um conjunto de pares de elementos de V .
Colora¸c˜
oes ´ımpares
´
E poss´ıvel colorir as arestas de um grafo de forma que os graus de cada cor sejam sempre ´ımpares?
Colora¸c˜
oes ´ımpares
´E poss´ıvel colorir as arestas de um grafo de forma que os graus de cada cor sejam sempre ´ımpares?
Colora¸c˜
oes ´ımpares
I E sempre poss´ıvel colorir com´ quatro cores?
SIM Pyber, 1991
I Qual o comportamento mais comum? Quase certamente ´e poss´ıvel colorir com
I duascores se G tem um n´umero par de v´ertices I trˆescores se G tem um n´umero ´ımpar de v´ertices
Colora¸c˜
oes ´ımpares
I E sempre poss´ıvel colorir com´ quatro cores?
SIM Pyber, 1991
I Qual o comportamento mais comum? Quase certamente ´e poss´ıvel colorir com
I duascores se G tem um n´umero par de v´ertices I trˆescores se G tem um n´umero ´ımpar de v´ertices
Colora¸c˜
oes ´ımpares
I E sempre poss´ıvel colorir com´ quatro cores?
SIM Pyber, 1991
I Qual o comportamento mais comum?
Quase certamente ´e poss´ıvel colorir com
I duascores se G tem um n´umero par de v´ertices I trˆescores se G tem um n´umero ´ımpar de v´ertices
Colora¸c˜
oes ´ımpares
I E sempre poss´ıvel colorir com´ quatro cores?
SIM Pyber, 1991
I Qual o comportamento mais comum? Quase certamente ´e poss´ıvel colorir com
Colora¸c˜
oes m´
odulo k
E se quisermos colorir de forma que os graus de cada cor sejam sempre1 m´odulo k?
´
E poss´ıvel colorir com 5k2log k cores. Scott, 1997
´
E poss´ıvel colorir com 200k cores.
Mas quase certamente ´e poss´ıvel colorir com k e k + 1 cores (dependendo da paridade do n´umero de v´ertices)
Botler, Colucci, Kohayakawa, 2020
´
Colora¸c˜
oes m´
odulo k
E se quisermos colorir de forma que os graus de cada cor sejam sempre1 m´odulo k?
´
E poss´ıvel colorir com 5k2log k cores. Scott, 1997
´
E poss´ıvel colorir com 200k cores.
Mas quase certamente ´e poss´ıvel colorir com k e k + 1 cores (dependendo da paridade do n´umero de v´ertices)
Botler, Colucci, Kohayakawa, 2020
´
Colora¸c˜
oes m´
odulo k
E se quisermos colorir de forma que os graus de cada cor sejam sempre1 m´odulo k?
´
E poss´ıvel colorir com 5k2log k cores. Scott, 1997
´
E poss´ıvel colorir com 200k cores.
Mas quase certamente ´e poss´ıvel colorir com k e k + 1 cores (dependendo da paridade do n´umero de v´ertices)
Botler, Colucci, Kohayakawa, 2020
´
Colora¸c˜
oes m´
odulo k
E se quisermos colorir de forma que os graus de cada cor sejam sempre1 m´odulo k?
´
E poss´ıvel colorir com 5k2log k cores. Scott, 1997
´
E poss´ıvel colorir com 200k cores.
Mas quase certamente ´e poss´ıvel colorir com k e k + 1 cores (dependendo da paridade do n´umero de v´ertices)
Botler, Colucci, Kohayakawa, 2020
´
Colora¸c˜
oes m´
odulo k
E se quisermos colorir de forma que os graus de cada cor sejam sempre1 m´odulo k?
´
E poss´ıvel colorir com 5k2log k cores. Scott, 1997
´
E poss´ıvel colorir com 200k cores.
Mas quase certamente ´e poss´ıvel colorir com k e k + 1 cores (dependendo da paridade do n´umero de v´ertices)
Botler, Colucci, Kohayakawa, 2020
´
Colora¸c˜
oes localmente irregulares
E se quisermos colorir de forma que v´ertices adjacentes tenham graus diferentes?
Colora¸c˜
oes localmente irregulares
E se quisermos colorir de forma que v´ertices adjacentes tenham graus diferentes?
Colora¸c˜
oes localmente irregulares
E se quisermos colorir de forma que v´ertices adjacentes tenham graus diferentes?
Colora¸c˜
oes localmente irregulares
E se quisermos colorir de forma que v´ertices adjacentes tenham graus diferentes?
Colora¸c˜
oes localmente irregulares
E se quisermos colorir de forma que v´ertices adjacentes tenham graus diferentes?
Orienta¸c˜
oes
Uma orienta¸c˜ao de G ´e uma atribui¸c˜ao de uma dire¸c˜ao para cada aresta de G
Orienta¸c˜
oes
Uma orienta¸c˜ao de G ´e uma atribui¸c˜ao de uma dire¸c˜ao para cada aresta de G
Orienta¸c˜
oes
Uma orienta¸c˜ao de G ´e uma atribui¸c˜ao de uma dire¸c˜ao para cada aresta de G
Orienta¸c˜
oes
Uma orienta¸c˜ao de G ´e uma atribui¸c˜ao de uma dire¸c˜ao para cada aresta de G
Orienta¸c˜
oes
De quantas formas podemos orientar um grafo?
Cada aresta pode ser orientada em duas dire¸c˜oes.
Ent˜ao s˜ao 2|E (G )| formas.
Qual ´e o n´umero m´aximo de formas que podemos orientar um grafo de forma a evitar um determinado padr˜ao?
Orienta¸c˜
oes
De quantas formas podemos orientar um grafo?
Cada aresta pode ser orientada em duas dire¸c˜oes.
Ent˜ao s˜ao 2|E (G )| formas.
Qual ´e o n´umero m´aximo de formas que podemos orientar um grafo de forma a evitar um determinado padr˜ao?
Orienta¸c˜
oes
De quantas formas podemos orientar um grafo?
Cada aresta pode ser orientada em duas dire¸c˜oes.
Ent˜ao s˜ao 2|E (G )| formas.
Qual ´e o n´umero m´aximo de formas que podemos orientar um grafo de forma a evitar um determinado padr˜ao?
Orienta¸c˜
oes
De quantas formas podemos orientar um grafo?
Cada aresta pode ser orientada em duas dire¸c˜oes.
Ent˜ao s˜ao 2|E (G )| formas.
Qual ´e o n´umero m´aximo de formas que podemos orientar um grafo de forma a evitar um determinado padr˜ao?
Orienta¸c˜
oes
Orienta¸c˜
oes
Orienta¸c˜
oes
Orienta¸c˜
oes
O n´umero m´aximo de formas de orientar sem K3 um grafo com n v´ertices ´e 2bn2/4c.
Al´em disso, O (´unico) grafo que maximiza o n´umero de tais orienta¸c˜oes ´e obipartido completo
Ara´ujo–Botler–Mota, 2020
Orienta¸c˜
oes
O n´umero m´aximo de formas de orientar sem K3 um grafo com n v´ertices ´e 2bn2/4c.
Al´em disso, O (´unico) grafo que maximiza o n´umero de tais orienta¸c˜oes ´e obipartido completo
Ara´ujo–Botler–Mota, 2020
Permuta¸c˜
oes
Uma permuta¸c˜ao ´e uma ordena¸c˜ao do conjunto {1, . . . , n}.
ex: 1476235.
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao alternante?
Sim: 1726354.
Permuta¸c˜
oes
Uma permuta¸c˜ao ´e uma ordena¸c˜ao do conjunto {1, . . . , n}.
ex: 1476235.
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao alternante?
Sim: 1726354.
Permuta¸c˜
oes
Uma permuta¸c˜ao ´e uma ordena¸c˜ao do conjunto {1, . . . , n}.
ex: 1476235.
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao alternante?
Sim: 1726354.
Permuta¸c˜
oes
Uma permuta¸c˜ao ´e uma ordena¸c˜ao do conjunto {1, . . . , n}.
ex: 1476235.
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao alternante?
Sim: 1726354.
Permuta¸c˜
oes
Uma permuta¸c˜ao ´e uma ordena¸c˜ao do conjunto {1, . . . , n}.
ex: 1476235.
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao alternante?
Permuta¸c˜
oes
Dada uma permuta¸c˜ao P = (x1, x2, . . . , xn), o vetor diferen¸ca de P ´e o vetor
diff (P) = (|x2− x1|, |x3− x2|, . . . , |xn− xn−1|)
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao para a qual diff (P) tamb´em ´e uma permuta¸c˜ao?
Sim: 1726354, pois diff (P) = 654321.
E se quisermos evitar alguns valores em diff (P)?
Permuta¸c˜
oes
Dada uma permuta¸c˜ao P = (x1, x2, . . . , xn), o vetor diferen¸ca de P ´e o vetor
diff (P) = (|x2− x1|, |x3− x2|, . . . , |xn− xn−1|)
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao para a qual diff (P) tamb´em ´e uma permuta¸c˜ao?
Sim: 1726354, pois diff (P) = 654321.
E se quisermos evitar alguns valores em diff (P)?
Permuta¸c˜
oes
Dada uma permuta¸c˜ao P = (x1, x2, . . . , xn), o vetor diferen¸ca de P ´e o vetor
diff (P) = (|x2− x1|, |x3− x2|, . . . , |xn− xn−1|)
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao para a qual diff (P) tamb´em ´e uma permuta¸c˜ao?
Sim: 1726354, pois diff (P) = 654321.
E se quisermos evitar alguns valores em diff (P)?
Permuta¸c˜
oes
Dada uma permuta¸c˜ao P = (x1, x2, . . . , xn), o vetor diferen¸ca de P ´e o vetor
diff (P) = (|x2− x1|, |x3− x2|, . . . , |xn− xn−1|)
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao para a qual diff (P) tamb´em ´e uma permuta¸c˜ao?
Sim: 1726354, pois diff (P) = 654321.
Permuta¸c˜
oes
Dada uma permuta¸c˜ao P = (x1, x2, . . . , xn), o vetor diferen¸ca de P ´e o vetor
diff (P) = (|x2− x1|, |x3− x2|, . . . , |xn− xn−1|)
Sempre h´a uma permuta¸c˜ao para a qual diff (P) tamb´em ´e uma permuta¸c˜ao?
Sim: 1726354, pois diff (P) = 654321.
Permuta¸c˜
oes
Qual a rela¸c˜ao disso com grafos?
1 2 3 4 5 6 7 8
Permuta¸c˜
oes
Qual a rela¸c˜ao disso com grafos?
1 2 3 4 5 7 8
Permuta¸c˜
oes Montanha-Russa
Uma permuta¸c˜ao π = x1x2· · · xn ´e alternante se x1 > x2< x3 > x4< · · · ou
x1 < x2> x3 < x4> · · ·
ex: 18273645.
Possui 4 picos e 4 vales.
Permuta¸c˜
oes Montanha-Russa
Uma permuta¸c˜ao π = x1x2· · · xn´e alternante se x1 > x2< x3 > x4< · · · ou
x1 < x2> x3 < x4> · · ·
ex: 18273645.
Possui 4 picos e 4 vales.
Permuta¸c˜
oes Montanha-Russa
Uma permuta¸c˜ao π = x1x2· · · xn´e alternante se x1 > x2< x3 > x4< · · · ou
x1 < x2> x3 < x4> · · ·
ex: 18273645.
Possui 4 picos e 4 vales.
Permuta¸c˜
oes Montanha-Russa
Uma permuta¸c˜ao π = x1x2· · · xn´e alternante se x1 > x2< x3 > x4< · · · ou
x1 < x2> x3 < x4> · · ·
ex: 18273645.
Possui 4 picos e 4 vales.
Permuta¸c˜
oes Montanha-Russa
Uma permuta¸c˜ao π = x1x2· · · xn´e alternante se x1 > x2< x3 > x4< · · · ou
x1 < x2> x3 < x4> · · ·
ex: 18273645.
Possui 4 picos e 4 vales.
Permuta¸c˜
oes Montanha-Russa
Uma permuta¸c˜ao ´e dita montanha russa se maximiza a soma o n´umero de picos e vales sobre todas as suas subsequˆencias.
1 8 2 7 3 6 4 5
594 picos e vales totais 4 6 2 8 1 7 3 5
Permuta¸c˜
oes Montanha-Russa
Uma permuta¸c˜ao ´e dita montanha russa se maximiza a soma o n´umero de picos e vales sobre todas as suas subsequˆencias.
1 8 2 7 3 6 4 5
594 picos e vales totais
4 6 2 8 1 7 3 5
Permuta¸c˜
oes Montanha-Russa
Uma permuta¸c˜ao ´e dita montanha russa se maximiza a soma o n´umero de picos e vales sobre todas as suas subsequˆencias.
1 8 2 7 3 6 4 5 4 6 2 8 1 7 3 5
Permuta¸c˜
oes Montanha-Russa
1 20 2 19 3 18 4 17 5 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 116757290 picos e vales totais
10 15 5 18 2 12 8 20 4 14 7 17 1 13 9 19 3 16 6 11
Introdu¸c˜
ao a ECI
Grafos e Combinat´
oria
F´abio BotlerPrograma de Engenharia de Sistemas e Computa¸c˜ao Universidade Federal do Rio de Janeiro
