AMBIENTE COMPUTACIONAL PARA DIMENSIONAMENTO
ÓTIMO DE PÓRTICOS DE AÇO UTILIZANDO PERFIS
COMERCIAIS
Márcio dos Santos
Gines Arturo Santos Falcón
marciodoss@yahoo.com.br gines@uenf.br
Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro (UENF). Laboratório de Engenharia Civil (LECIV).
Avenida Alberto Lamego, 2000, 28.013-602, Campos dos Goytacazes, Rio de Janeiro, Brasil.
Resumo Apresenta-se uma metodologia para minimização do peso próprio de pórticos
planos de aço utilizados em edificações. A finalidade é definir estruturas mecanicamente mais eficientes com o menor peso possível, através da determinação dos perfis ótimos de vigas e colunas, satisfazendo restrições mecânicas usuais (tensões e deslocamentos). Desenvolveu-se um banco de dados com perfis comerciais obtidos de fabricantes nacionais, com interfaces computacionais para acesso automático dos dados pelos módulos computacionais de análise e otimização. Foram implementados códigos computacionais para análise linear e não linear geométrica da estrutura, considerando o efeito P-∆. Adicionalmente, verifica-se a flambagem global e local da estrutura de acordo com as prescrições da norma NBR8800/2008. No processo de otimização são utilizados algoritmos genéticos com variáveis discretas associadas aos perfis estruturais. Os algoritmos genéticos possibilitam a busca do mínimo global do problema. Finalmente, são apresentadas aplicações que mostram resultados bastante satisfatórios em confrontação com resultados disponíveis na literatura.
Palavras-chave: Algoritmos Genéticos, Otimização estrutural, Otimização dimensional,
1 INTRODUÇÃO
A metodologia clássica para determinação da melhor configuração para um sistema estrutural decorre de um processo de tentativas e erros ao longo do tempo, tornando-se praticamente impossível testar todas as configurações possíveis (Arora, 2012). Desta forma, observa-se a importância de haver ferramentas computacionais que facilitem a busca das melhores configurações estruturais.
Para dimensionamento ótimo de estruturas existem diversas metodologias que buscam minimizar o peso, o custo ou melhorar a eficiência do comportamento estrutural, dentre outros objetivos. A modelagem matemática do problema começa pela definição de uma função de mérito, que serve de parâmetro de avaliação da qualidade da estrutura, da adequada escolha de variáveis de projeto e da definição das restrições, que limitam o espaço das soluções viáveis do projeto.
Na prática corrente da construção civil, as variáveis de projeto são discretas. No entanto, a maioria dos estudos de otimização estrutural se referem ao problema com variáveis contínuas (Arora, 2000; Pezeshk et al., 2000). Nos últimos anos, os métodos que utilizam variáveis de projeto discretas têm atraído muita atenção entre os pesquisadores e engenheiros.
Neste contexto, apresenta-se uma metodologia para minimização do peso total de pórticos planos de aço utilizados em edificações mediante a escolha ótima dos perfis estruturais comerciais das vigas e colunas. Os pórticos de aço apresentam um comportamento não linear geométrico, que se caracteriza pelo surgimento de esforços adicionais em estruturas suscetíveis a sofrerem grandes deslocamentos. Os esforços adicionais são causados por ações horizontais, como por exemplo, o vento, e também por ações gravitacionais. No presente trabalho, a resposta mecânica é obtida em termos de tensões e deslocamentos, através de uma análise não linear estática de primeira ordem e segunda ordem, considerando o efeito P-∆.
Um outro problema de grande importância aqui considerado é o da instabilidade estrutural, que consiste na perda de equilíbrio da estrutura gerada pela flambagem global ou local da estrutura. Nos últimos anos este problema acentuou-se pelo uso de elementos cada vez mais esbeltos, que definem sistemas estruturais com cargas críticas menores e com isso se tornam menos estáveis e seguros.
O Algoritmo Genético (AG) é uma heurística evolucionista de otimização baseada na evolução natural das espécies, existem, também, diversos outros algoritmos de otimização que se baseiam na observação da natureza. Estes algoritmos são procedimentos de busca de valores extremos globais amplamente aplicáveis que tem como estratégia encontrar o melhor indivíduo dentro de uma população de soluções. Na otimização estrutural, vários pesquisadores utilizam AGs para solução de diversos problemas. Dentre outros, têm-se: Goldberg e Samtani, (1986); Rajeev e Krishnamoorthy, (1992); Camp et al., (1997); Pezeshk et al., (2000); Kameshki e Saka, (2001); Degertekin, (2008); Artar e Daloglu, (2015). Os diversos estudos têm mostrado que os AGs são ferramentas bastante práticas e uteis na otimização de estruturas.
O presente projeto segue de acordo com a NBR8800/2008, para o dimensionamento de estruturas em aço. As implementações computacionais para cálculo da função objetivo e as restrições de projeto foram realizadas no ambiente computacional do MATLAB®. Os códigos computacionais de análise estrutural foram implementados tendo como base o programa de domínio público CALFEM. No módulo computacional de otimização, utilizou-se o Algoritmo Genético disponibilizado no toolbox de otimização do MATLAB®. Implementou-se, também,
um banco de dados dos perfis estruturais obtidos de catálogos de fabricantes nacionais, sendo este acessado automaticamente pelos módulos computacionais de análise estrutural e algoritmo de otimização.
As aplicações implementadas com a metodologia aqui proposta mostram resultados bastante satisfatórios em confrontação com resultados disponíveis na literatura.
2 ALGORITMOS GENÉTICOS
Em 1975, John Holland propôs um modelo heurístico computacional, os Algoritmos Genéticos (AGs). Os AGs têm como fundamento os mecanismos da genética natural combinando com a sobrevivência do mais apto de Darwin (Linden, 2012). Trata-se de uma estratégia para busca de soluções baseado nos mecanismos de evolução genética, conceitos de seleção natural e codificação genética. São diferentes dos métodos de otimização tradicionais nos seguintes aspectos: AGs trabalham com um conjunto codificado das variáveis e não com as próprias variáveis; a solução é procurada a partir de uma população de variáveis de projeto em vez de melhorar uma única variável de projeto e não usam informações dos gradientes das funções (Goldberg, 1989; Pezeshk et al., 2000).
Uma característica de um AG é a codificação das variáveis que descrevem o problema. O método mais comum é o que codifica para transformar as variáveis para uma cadeia binária de comprimento que depende das alternativas de soluções disponíveis. Neste trabalho, foi usado uma codificação binária que permite a utilização automatizada de um banco de dados com 128 perfis comerciais cadastrados.
No AG a população inicial é criada de forma aleatória. E cada elemento da população representa um pórtico candidato a solução, que é chamado de indivíduo. Todo indivíduo é composto por um cromossomo, que é uma sequência de unidades binárias (bits). Cada bit é chamado de gene, e pode assumir certos valores que são chamados de alelos. Estes conjuntos de cromossomos evoluem ao longo das gerações para obter novas populações e melhores indivíduos.
Os códigos binários de cada indivíduo na população são decodificados e perfis comerciais correspondentes são selecionados no banco de dados. Todos os pórticos candidatos a solução gerados em cada iteração são analisados para quantificação numérica das restrições de projeto. De acordo com cada resultado obtido pelos indivíduos na população, operadores de reprodução, crossover e mutação são aplicados, além de outros. Assim, a população inicial é substituída por uma nova população. Estes procedimentos são repetidos até que tenha sido obtida a convergência desejada.
Assim, a implementação do AG envolve o seguinte ciclo: (1) avaliar todos os indivíduos da população; (2) criar uma nova população através da realização de operações como a reprodução, cruzamento e mutação sobre os indivíduos cuja aptidão é medida (fitness); (3) descartar a população antiga e repetir usando a nova população.
3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
Objetiva-se desenvolver uma metodologia que minimize o peso (P) estrutural e que satisfaça restrições baseadas no comportamento mecânico da estrutura. A formulação matemática para esse problema pode ser expressa como:
Minimizar
i i Ne iL
= P
1 (1) Sujeito aR
k
0
k = 1,..., NeR
r
0
j = 1,..., Na,onde P é o peso da estrutura Ne é o número total de elementos, e Li e ρi são comprimento e peso por unidade de comprimento do elemento i, respectivamente. As desigualdades
k
R
eR
rrepresentam as restrições de resistência e de deslocamento. Na é o número depavimentos da estrutura.
A norma brasileira, NBR8800/2008, contém requisitos para Estado Limite Último e Estado Limite de Serviço, que constituem as restrições para o problema de otimização aqui estudado. O deslocamento horizontal é limitado pela norma: h/400, para pórticos de 2 ou mais pavimentos, onde h é altura do pilar analisado. As restrições de resistência
R
kpara os elementos submetidos a força axial e flexão são expressos pela fórmula:para 0,2 dres d N N 1 9 8 dresy dy dresx dx dres d M M M M N N (2) para 0,2 dres d N N 1 2 dresy dy dresx dx dres d M M M M N N (3),
onde
N
d ,M
dx eM
dy são esforços solicitantes de projeto.N
dresé o esforço axial resistente deprojeto, e
M
dresx eM
dresy são os momentos fletores resistentes de projeto nas direções x e y, sendo para estruturasM
dy igual a zero para pórticos planos.Devido às características do AG do toolbox de otimização do MATLAB® utilizado, o problema de otimização restrita definida na equação (1) é convertido em um problema irrestrito equivalente através de uma função de penalidade baseado no nível de violação das restrições. Por se tratar de restrições não lineares, o AG utiliza-se o método Lagrangeano Aumentado.
4 APLICAÇÕES
Para validação e verificação do ambiente computacional aqui proposto, são apresentados três exemplos ilustrativos de projeto. O banco de dados desenvolvido compreende as propriedades geométricas de 128 perfis metálicos disponíveis no mercado brasileiro, sendo 64 perfis laminados e 64 perfis soldados do tipo CVS. O código binário utilizado possui um comprimento de 7 bits para cada variável de projeto, desta forma, podendo assumir cada um dos 128 perfis disponibilizados no banco de dados.
Para cálculo do coeficiente de comprimento efetivo Kx, utilizou-se a fórmula de
aproximação do método de alinhamento (Alignment Chart Method - Duan e Chen, 1999). Para pórticos não contraventados tem-se:
5 . 7 5 . 7 ) ( 4 6 . 1 B A B A B A x G G G G G G K (4),
ondeGAe GBsão relações de rigidez de colunas e vigas nas extremidades A e B. Foram
verificadas, também, a flambagem global e a flambagem local da alma e da mesa dos perfis de acordo com a norma brasileira NBR8800/2008.
A validação dos resultados dos pesos ótimos obtidos foi realizada através da comparação com resultados da literatura. Para a determinação dos parâmetros do algoritmo genético utilizou-se como ponto de partida o trabalho de Pezeshk et al. (2000). Todos os exemplos avaliados neste estudo foram dimensionados no sistema internacional de unidades.
4.1
Exemplo 1
O primeiro exemplo é um pórtico plano de aço de 3 andares e duas baias, com 15 elementos, como ilustrado na Figura 1. Foram assumidos para todos os membros o módulo de Young, E = 2.0 x 1011 Pa e uma tensão de escoamento, fy = 250 MPa. Os elementos estão
dispostos em dois grupos, associando as seis vigas e nove colunas. No projeto, os perfis estruturais para as vigas e para os pilares são escolhidos do mesmo banco de dados com 128 seções. As restrições de deslocamentos não são aplicadas neste exemplo.
Para este exemplo, utilizou-se uma população com 80 indivíduos, com 24 indivíduos garantidos para sobreviver para a próxima geração, configurando uma taxa de 0,3 de elitismo. Além do operador crossover com probabilidade 0,85. As demais características do AG permaneceram padrão do toolbox de otimização do MATLAB®. O tempo total de processamento considerando análise linear e não linear foram de 17,15 e 69,44 segundos, respectivamente.
A Figura 2 mostra o histórico das iterações para obtenção do peso ótimo. Mostra-se a relação entre o melhor indivíduo e a média de cada geração, para análise linear. Todas as restrições ficaram dentro da tolerância estabelecida. A Figura 3, apresenta o histórico das iterações para obtenção do peso ótimo para análise não linear. Mostra-se a relação entre o melhor indivíduo e a média de cada geração. Todas as restrições também ficaram dentro da tolerância estabelecida. Os pontos que fogem da curva de iteração refletem todo
processamento dos operadores genéticos na formação da nova população de indivíduos. Os AGs apresentam este tipo de comportamento devido à sua natureza probabilística
A Tabela 1 apresenta os resultados obtidos neste estudo em paralelo com outros estudos disponíveis na literatura, utilizados para comparação e validação dos resultados obtidos. Nesta tabela estão os projetos de Pezeshk et al. (2000), usando AG, Camp et al. (2005), utilizando algoritmo colônia de formigas, Degertekin (2008) utilizando busca harmônica e Toḡan (2012) usando TLBO (Teaching–Learning Based Optimization).
Tabela 1. Resultados da otimização do exemplo 1 com análise linear.
Grupo (Elemento)
Perfis (Análise Linear)
AG Pezeshk et al. ACO Camp et al. HS Deḡertekin TLBO Toḡan AG (Presente estudo) 1 (Vigas) W24 x 62 W24 x 62 W21 x 62 W24 x 62 I 530 x 92.0 (W21x62) 2 (Colunas) W10 x 60 W10 x 60 W10 x 54 W10 x 49 I 530 x 74.0 (W21x50) Peso (kg) 8.523,91 8.523,91 8.297,12 8.068,96 8.103,30
Figura 2. Gráfico de iteração da otimização com análise linear.
A Tabela 2 apresenta os resultados desta pesquisa em confronto com os de Pezeshk et al. (2000), considerando-se análise geometricamente não linear com efeito P-∆. A ferramenta atingiu o mesmo peso ótimo encontrado na análise linear. E reduziu o peso em 8,44%, em relação a Pezeshk et al. (2000).
Tabela 2. Resultados da otimização do exemplo 1 com análise não linear.
Grupo (Elemento)
Perfis (Análise Não Linear) AG Pezeshk et al. AG (Presente estudo) 1 (Vigas) W24 x 62 Perfil I 530 x 92.0 (W21x62) 2 (Colunas) W10 x 68 Perfil I 530 x 74.0 (W21x50) Peso (kg) 8.850,50 8.103,30
Observa-se pelas Tabela 1 e 2, que o presente trabalho apresenta resultados semelhantes aos encontrados na literatura. Comparando-se os valores finais dos pesos ótimos obtidos com análise linear, a ferramenta computacional atingiu uma redução percentual de 4,93%, aproximadamente, em comparação com o Pezeshk et al. (2000). O perfil utilizado no Brasil, I 530 x 92.0, é equivalente ao perfil W21x62 de fabricação americana, e o I 530 x 74.0, equivalente ao perfil W21x50.
4.2
Exemplo 2
O segundo exemplo é um pórtico plano de 10 andares e uma baia, com 30 elementos no total. Foram assumidos para todos os membros o módulo de Young, E = 2.0 x 1011 Pa, e uma tensão de escoamento, fy = 250 MPa. Os elementos são dispostos em nove grupos. O mesmo
banco de dados com as 128 seções foi utilizado. Neste exemplo foi imposta a restrição de deslocamento lateral, de acordo com a norma brasileira (h/400).
As Figuras 4 e 5 mostram os gráficos de iteração para obtenção do peso ótimo, com a relação entre o melhor indivíduo e média de cada geração, para análise linear e não linear. Nota-se que, inicialmente as restrições não ficaram no espaço viável de solução, fazendo com que a função objetivo se aproximasse de zero. Apenas na oitava geração as restrições foram viáveis para o caso de análise linear e sétima geração para não linear.
Neste segundo exemplo utilizou-se uma população com 120 indivíduos no total, sendo 36 indivíduos garantidos para sobreviver para a próxima geração, configurando uma taxa de 0,3 de elitismo. E com um operador crossover com probabilidade 0,85. As demais características do AG permaneceram padrão do toolbox de otimização do MATLAB.
Os resultados do exemplo 2 são apresentados na Tabela 3 e Tabela 4, para análise linear e não linear, respectivamente. Na tabela 3 estão os projetos de Pezeshk et al. (2000), Camp et al. (2005), Degertekin (2008), e Toḡan (2012). A Tabela 4 apresenta os resultados do trabalho realizado pelo Pezeshk et al. (2000), e desta pesquisa, considerando análise geometricamente não linear com efeito P-∆.
Tabela 3. Resultados da otimização do exemplo 2 com análise linear.
Grupo (Elemento)
Perfis (Análise Linear)
AG Pezeshk et al. ACO Camp et al. HS Deḡertekin TLBO Toḡan AG (Presente estudo) 1 (colunas 1-2A) W14 x 233 W14 x 233 W14 x 211 W14 x 233 CVS 650 x 266 2 (colunas 3-4A) W14 x 176 W14 x 176 W14 x 176 W14 x 176 CVS 500 x 180 3 (colunas 5-6A) W14 x 159 W14 x 145 W14 x 145 W14 x 145 CVS 400 x 152 4 (colunas 7-8A) W14 x 99 W14 x 99 W14 x 90 W14 x 99 I 530 x 82.0 (W21x55) 5 (colunas 9-10A) W12 x 79 W12 x 65 W14 x 61 W12 x 65 I 360 x 39.0 (W14x26) 6 (vigas 1-3A) W33 x 118 W30 x 108 W33 x 118 W30 x 108 CVS 450 x 216 7 (vigas 4-6A) W30 x 90 W30 x 90 W30 x 99 W30 x 90 CVS 450 x 216 8 (vigas 7-9A) W27 x 84 W27 x 84 W24 x 76 W27 x 84 CVS 500 x 134 9 (vigas 10A) W24 x 55 W21 x 44 W18 x 46 W21 x 44 CVS 550 x 184 Peso (kg) 29.545,21 28.399,44 28.061,06 28.037,93 28.250,90
Observa-se pela Tabela 3, que a ferramenta computacional conseguiu atingir resultados competitivos em relação aos encontrados na literatura para análise linear, quando comparados os valores finais dos pesos ótimos obtidos. A ferramenta alcançou uma redução de peso de 4,38%, aproximadamente, em comparação com o Pezeshk et al. (2000). O perfil utilizado no Brasil, I 530 x 82.0, é equivalente ao perfil W21x55 de fabricação americana, e o I 360 x 39.0, equivalente ao perfil W14x26. O tempo total de processamento com análise linear e não linear, respectivamente, foram aproximadamente 4,25 e 7,3 minutos.
A Tabela 4 apresenta os resultados desta pesquisa em confronto com os de Pezeshk et al. (2000), considerando-se análise geometricamente não linear com efeito P-∆. A ferramenta, reduzindo o peso em 6,47% em relação a Pezeshk et al. (2000).
Tabela 4. Resultados da otimização do exemplo 2 com análise não linear.
Grupo (Elemento)
Perfis (Análise Não Linear) AG Pezeshk et al. AG (Presente estudo) 1 (colunas 1-2A) W14 x 233 CVS 600 x 278 2 (colunas 3-4A) W14 x 176 CVS 550 x 184 3 (colunas 5-6A) W14 x 132 CVS 550 x 184 4 (colunas 7-8A) W14 x 99 CVS 450 x 141 5 (colunas 9-10A) W12 x 65 I 530 x 82.0 (W21x55) 6 (vigas 1-3A) W36 x 150 CVS 500 x 150 7 (vigas 4-6A) W33 x 130 CVS 650 x 234 8 (vigas 7-9A) W27 x 94 CVS 550 x 184 9 (vigas 10A) W16 x 50 CVS 400 x 116 Peso (kg) 31.932,02 29.864,30
As restrições de tensão e deslocamento horizontal ficaram abaixo da tolerância estabelecida. O deslocamento obtido no topo da estrutura foi de 4,70 cm para análise linear, e 6,0 cm para análise não linear, sendo o deslocamento máximo permitido (h/400) igual a 9,37 cm. A Figura 6, a seguir, apresenta a geometria e as cargas do pórtico utilizado no segundo exemplo. 9,15 m 4,57 m 9@ 3,66 m 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 1 1 1 1 87,54 kN/m 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 22,25 kN 44,50 kN 44,50 kN 44,50 kN 44,50 kN 44,50 kN 44,50 kN 44,50 kN 44,50 kN 44,50 kN 87,54 kN/m 87,54 kN/m 87,54 kN/m 87,54 kN/m 87,54 kN/m 87,54 kN/m 87,54 kN/m 87,54 kN/m 43,77 kN/m
4.3
Exemplo 3
Um pórtico de 24 pavimentos com três baias e 168 elementos constitui o exemplo três (ver figura 9). Os elementos são dispostos em 20 grupos, com módulo de Young, E = 2.0 x 1011 Pa, e tensão de escoamento, fy = 250 MPa. Os carregamentos são w = 26,14 kN, w1 =
4,46 kN/m, w2 = 6,48 kN/m, w3 = 7,05 kN/m e w4 = 6,07 kN/m. Neste exemplo foi imposta a
restrição de deslocamento lateral, de acordo com a norma brasileira (h/400).
As Figuras 7 e 8 mostram os gráficos de iteração para obtenção do peso ótimo, com a relação entre o melhor indivíduo e média de cada geração, para análise linear e não linear, respectivamente. Inicialmente as restrições não foram viáveis, fazendo com que a função objetivo se aproximasse de zero.
Figura 7. Gráfico de iteração com análise linear.
Os resultados do terceiro exemplo para análise linear são apresentados na Tabela 5. Na Tabela 5 estão os projetos de Pezeshk et al. (2000), Camp et al. (2005), Degertekin (2008), e Toḡan (2012). A Tabela 6 apresenta os resultados desta pesquisa, considerando análise geometricamente não linear com efeito P-∆.
Tabela 5. Resultados da otimização do exemplo 3 com análise linear
Grupo (Elemento)
Perfis (Análise Linear)
ACO Camp et al. HS Deḡertekin TLBO Toḡan AG (Presente estudo) 1 (Vigas 1-23A, baia 1-3) W30 x 90 W30 x 90 W30 x 90 CVS 500 x 134 2 (Vigas 24A, baia 1-3) W8 x 18 W10 x 22 W8 x 18 I 310 x 21.0 (W12x14) 3 (Vigas 1-23A, baia 2) W24 x 55 W18 x 40 W24 x 62 I 530 x 92.0 (W21x62) 4 (Vigas 24A, baia 2) W8 x 21 W12 x 16 W6 x 9 I 360 x 39.0 (W14x26) 5 (Coluna 1-3A, Ext.) W14 x 145 W14 x 176 W14 x 132 CVS 400 x 152 6 (Coluna 4-6A, Ext.) W14 x 132 W14 x 176 W14 x 120 CVS 350 x 118 7 (Coluna 7-9A, Ext.) W14 x 132 W14 x 132 W14 x 99 CVS 400 x 103 8 (Coluna 10-12A, Ext.) W14 x 132 W14 x 109 W14 x 82 CVS 450 x 141 9 (Coluna 13-15A, Ext.) W14 x 68 W14 x 82 W14 x 74 CVS 400 x 87 10 (Coluna 16-18A, Ext.) W14 x 53 W14 x 74 W14 x 53 I 250 x 22.3 (W10x15) 11 (Coluna 19-21A, Ext.) W14 x 43 W14 x 34 W14 x 34 I 310 x 32.7 (W12x22) 12 (Coluna 22-24A, Ext.) W14 x 43 W14 x 22 W14 x 22 H 250 x 80.0 (W10x54) 13 (Coluna 1-3A, Int.) W14 x 145 W14 x 145 W14 x 109 CVS 450 x 141 14 (Coluna 4-6A, Int.) W14 x 145 W14 x 132 W14 x 99 CVS 450 x 156 15 (Coluna 7-9A, Int.) W14 x 120 W14 x 109 W14 x 99 CVS 550 x 184 16 (Coluna 10-12A, Int.) W14 x 90 W14 x 82 W14 x 90 I 530 x 82.0 (W21x55) 17 (Coluna 13-15A, Int.) W14 x 90 W14 x 61 W14 x 68 CVS 500 x 162 18 (Coluna 16-18A, Int.) W14 x 61 W14 x 48 W14 x 53 CVS 450 x 188 19 (Coluna 19-21A, Int.) W14 x 30 W14 x 30 W14 x 34 CVS 550 x 319 20(Coluna 22-24A, Int.) W14 x 26 W14 x 22 W14 x 22 I 530 x 66.0 (W21x44) Peso (kg) 100.001,31 97.458,93 92.082,95 97.925,50
Tabela 6. Resultados do exemplo 3 com análise não linear
Grupo (Elemento)
Perfis (Análise Não Linear) AG (Presente estudo) 1 (Vigas 1-23A, baia 1-3) CVS 500 x 150 2 (Vigas 24A, baia 1-3) CVS 400 x 87 3 (Vigas 1-23A, baia 2) CVS 400 x 87 4 (Vigas 24A, baia 2) I 360 x 51.0 (W14x34) 5 (Coluna 1-3A, Ext.) CVS 550 x 204 6 (Coluna 4-6A, Ext.) CVS 450 x 156 7 (Coluna 7-9A, Ext.) H 250 x 101.0 (W10x68) 8 (Coluna 10-12A, Ext.) CVS 450 x 141 9 (Coluna 13-15A, Ext.) CVS 450 x 130 10 (Coluna 16-18A, Ext.) CVS 450 x 141 11 (Coluna 19-21A, Ext.) I 200 x 26.6 (W8x18) 12 (Coluna 22-24A, Ext.) I 200 x 15.0 (W8x10) 13 (Coluna 1-3A, Int.) CVS 500 x 204 14 (Coluna 4-6A, Int.) CVS 400 x 87 15 (Coluna 7-9A, Int.) CVS 500 x 204 16 (Coluna 10-12A, Int.) CVS 500 x 162 17 (Coluna 13-15A, Int.) CVS 400 x 103 18 (Coluna 16-18A, Int.) I 310 x 28.3 (W12x19) 19 (Coluna 19-21A, Int.) I 530 x 82.0 (W21x55) 20(Coluna 22-24A, Int.) CVS 400 x 87 Peso (kg) 100.533,00
Para este exemplo foi utilizado uma população com 180 indivíduos, com 36 indivíduos garantidos para sobreviver para a próxima geração, configurando uma taxa de 0,2 de elitismo. E com um operador crossover com probabilidade 0,85, as demais características do AG padrão do toolbox de otimização do MATLAB. O tempo total de processamento da análise linear e não linear, respectivamente, foram aproximadamente 11 e 62 minutos.
A ferramenta alcançou uma redução de 2,07%, aproximadamente, em comparação com o Camp et al. (2005) para análise linear. As restrições de tensão e deslocamento horizontal ficaram abaixo da tolerância estabelecida. O deslocamento obtido no topo da estrutura foi de 18,61 cm para análise linear, e 17,97 cm para análise não linear, sendo o deslocamento máximo permitido igual a 21,96 cm.
5 CONCLUSÕES
Apresentou-se uma ferramenta computacional para projeto ótimo de pórticos planos de aço usando algoritmo genéticos. Foram consideradas análises lineares e não lineares geométricas para investigar o comportamento mecânico dos pórticos estudados e sua influência nas configurações ótimas obtidas. O projeto foi dimensionado de acordo com a NBR8800/2008. Os exemplos apresentados permitem observar o grande potencial da ferramenta computacional para atingir o menor peso estrutural possível, sem violar as restrições.
A ferramenta computacional alcançou uma redução de peso total da estrutura em relação aos pesos obtidos por outros autores da bibliografia. A diferença percentual de peso obtida no presente estudo em relação aos pesos obtidos por Pezeshk et al. (2000), para otimização com análise linear dos pórticos 1 e 2, foram de 4%, aproximadamente. Em relação a Camp et al. (2005), para o terceiro pórtico otimizado com análise linear, a diferença foi de 2%. O tempo de processamento total se mostrou competitivo na otimização com análise linear e com análise não linear. Nas curvas de iteração, o valor médio decresce tendendo ao valor da melhor solução de cada geração, indicando que o algoritmo convergiu.
Conforme demonstrado, de maneira geral, a otimização de pórticos planos de aço foi bem atendida. O programa é capaz de mostrar os detalhes finais da otimização, fornecendo para o projetista todas as propriedades do perfil otimizado. A metodologia apresentada determina as seções dos perfis aço ótimas disponíveis no banco de dados implementado. O banco de dados com os 128 perfis permitiu a realização da otimização discreta.
Os resultados obtidos mostram um bom comportamento do modelo de otimização proposto, e dos AGs para resolver este tipo de problema. Além disto, o ambiente computacional desenvolvido é amigável e de fácil compreensão, onde os dados de entrada e os limites de projeto podem ser facilmente modificados pelo usuário.
AGRADECIMENTOS
À FAPERJ pelo apoio financeiro concedido para a realização desta pesquisa. E ao laboratório de engenharia civil da universidade estadual do norte fluminense (LECIV-UENF).
REFERÊNCIAS
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