ALGORITMO SPLINE LINEAR INTERPOLANTE APLICADO A CONCENTRAÇÃO DE NUTRIENTES NO SOLO.
João Ferreira de Santanna Filho1 Eliana Maria Acioli de Abreu2
RESUMO: Esta pesquisa aborda o funcionamento de uma técnica de interpolação utilizada para determinar funções que descrevam o comportamento da concentração de nutrientes no solo. Para analise dos nutrientes foram coletados solo de seis trincheiras nos pontos de 10cm, 20cm , 30cm e 40cm de profundidade. Para a pesquisa em questão somente um nutriente foi escolhido, o Magnésio(Mg). Foi calculada a media dos valores, para então desenvolver o método da spline linear interpolante que utiliza um sistema de duas variáveis, a primeira variável escolhida foi a profundidade do solo e a segunda variável foi o valor do nutriente nas profundidades em estudo. Posteriormente as funções encontradas foram usadas para determinar o valor do nutrientes em um ponto intermediário entre os pontos coletados. O algoritmo se mostrou adequado para esse tipo de interpolação.
PALAVRAS-CHAVE: Interpolação, spline linear interpolante, Nutrientes.
ABSTRACT: This paper is about linear spline tecnique used to determine functions that describes de nutrients concentrations in the soil. Six trenches with 10 cm , 20cm,30cm and 40 cm were made to collect soil. To made the interpolation just one micronutrient was selected , the magnesium(Mg). First of all we calculated the media of the values to develop the interpolation using the linear spline method, this technic uses two variable system: the soil depth and the nutrients concentration. Later, we use the functions constructed by the algorithm to determine intermediary values between the collected points. Based in the results the algorithm and the method is efficient in this case.
KEY WORDS: Interpolation, linear spline interpolantion, Nutrients.
1.INTRODUÇÃO
Interpolação é um método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais conhecidos. Em engenharia e ciências, comumente tem-se dados pontuais, obtidos a partir de uma amostragem ou experimento. Através da interpolação pode-se construir uma função ajuste em dados pontuais. Outra aplicação da interpolação é aproximação de funções complexas por funções mais simples. Suponha-se que tenhamos uma função, que seja complexa para avaliar de forma eficiente, podemos então, escolher alguns dados pontuais da função e tentar interpolar estes dados para construir uma função mais simples. Obviamente, quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro (Wikipédia, 2007)
1 Mestre em Ciência da Computação, ICIBE – Universidade Federal Rural da Amazônia(UFRA), E-mail: joão.santanna@ufra.edu.br
2
Engenheira Agrônoma, Doutoranda em Ciências Agrárias, Área de concentração: Agroecossistemas da Amazônia. Universidade Federal Rural da Amazônia(UFRA), Caixa postal 1917 , cep 66077-530, Belém -PA, E-mail: elbreu@yahoo.com.br
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x) , escolhida entre uma classes de funções definidas a priori e que satisfaça algumas propriedades( Ruggiero ,1996).A função g(x) é usada então em substituição a função f(x). A necessidade de se usar esta substituição surge principalmente quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado ( Ruggiero ,1996).
Matematicamente podemos considerar (n+1) pontos distintos : x0,x1,...,xn., chamados de nós da interpolação , e os valores de f(x) nesses pontos : f(x0), f(x1),...f(xn)
A interpolação de f(x ) consiste em se obter uma determinada g(x) tal que : g(x0) = f(x0) ,g(x1) = f(x1), g(x2) = f(x2), ... , g(xn) = f(xn).
Existem varias técnicas de interpolação cada uma com suas considerações e utilidades . Para cada fenômeno é indicado estudar que técnica se adequa melhor a cada caso . Escolhemos trabalhar com a técnica da spline linear interpolante por dois motivos : o primeiro é a simplicidade algorítmica do método , que conduz a códigos mais simples e mais fáceis de construir e demonstrar , o segundo motivo é que analisando os dados obtidos do solo, os valores apresentam um comportamento linear em função da profundidade. Em casos como esse a spline linear consegue valores com um erro estimado muito pequeno sendo indicada com uma das melhores técnicas para fenômenos com comportamento linear , se os valores tabelados tivessem natureza exponencial essa técnica seria inadequada( Ruggiero 1996). A técnica da spline linear interpolante consiste em se definir varias funções S(x) que aproximam de f(x). Ao invés de se aproximar de f(x) usando uma função apenas, a spline linear faz isso usando varias funções, uma para cada subintervalo.
Definimos a função spline linear interpolante de f(x) , S1(x), nos nós x0,x1,...,xn pode ser escrita em cada subintervalo [x i-1 , xi] , i= 1,2,..., n como
si(x)= f (xi1) xi x
xi xi1 + f (xi)
x xi1
xi xi1,x [xi1, xi]
A figura 1 mostra um exemplo de uma função spline interpolante que aproxima S(x) a f(x) usando três subintervalos [1,2] , [2,5] , [5,7].
Em um experimento de campo foram colhidos varias amostras de solo de pastagem nas profundidades de 10 , 20 , 30 e 40 cm , essas amostras foram processadas afim de se obter o valor dos nutrientes nas quatro profundidades. Caso o pesquisador deseje saber o valor de um nutriente em um ponto intermediário como por exemplo 25 cm e como tal coleta não existe no espaço amostral, utiliza-se então a técnica da interpolação para achar uma função que descreva a concentração de nutrientes no solo em função da determinada profundidade estimando-se o valor no ponto desejado.O Objetivo dessa pesquisa é mostrar a aplicação da técnica da interpolação para achar uma função estimada que se aproxime da função real, que descreva o fenômeno em questão, no nosso caso a distribuição de nutrientes no solo.
2. MATERIAL E MÉTODOS
O local de coleta dos dados do experimento fica localizado no campus da Universidade Federal Rural da Amazônia (UFRA), em Belém(PA), em uma área de pastagem. O solo para analise dos nutrientes foram retirados de seis trincheiras, procedendo-se coleta nos pontos de 10cm, 20cm , 30cm e 40cm de profundidade.
Para a pesquisa em questão somente um nutriente foi escolhido, o Magnésio(Mg) , visto que o objetivo do trabalho é apenas demonstrar o método de aproximação por interpolação e não analisar a distribuição dos nutrientes no solo. A tabela(1) a seguir, mostra os resultados de teores de Mg encontrados nas referidas profundidades.
Tabela1: Teores de magnésio(cmolc dm-3) em área de pastagem.
Profundidade do solo(cm) 10 10 10 10 10 10 4,15 4,15 3,6 4,3 3,9 3,2 Profundidade do solo(cm) 20 20 20 20 20 20 4 5 4,45 4,5 4 3,1 Profundidade do solo(cm) 30 30 30 30 30 30 4,45 4,9 5,25 4,05 5,1 4,25 Profundidade do solo(cm) 40 40 40 40 40 40 4,4 4,9 5,35 5,25 5,7 4,8
Com os dados da tabela 1, foi calculada a media dos valores, para então desenvolver o método da spline linear interpolante que utiliza um sistema de duas variáveis, a primeira variável escolhida foi a profundidade do solo e a segunda variável foi o valor do nutriente naquela profundidade, gerando a tabela 2 .
Tabela 2: Valores médios para interpolação
Profundidade do solo( cm) Nutriente Magnésio(cmolc dm-3) 10 3,88 20 4,18 30 4,67 40 5,07
Como se pode ver analisando os valores nas duas tabelas, o comportamento da distribuição dos nutrientes no solo no caso deste estudo tem comportamento quase linear , nesse caso a técnica da spline linear interpolante uma das técnicas mais adequadas pois tem um erro baixo sempre que aproxima f(x) com características lineares. O próximo passo no estudo foi montar o algoritmo utilizando as equações descritas na seção 4 , veja abaixo exemplo da equação utilizada para o primeiro subintervalo.
Tabela 3: Primeiro subintervalo de S(x)
X0 X1
x 10 cm 20 cm
S1(x) 3,88 4,18
De acordo com a definição e fazendo S1(x) temos: s1(x)= f (x0)
x1 x x1 x0 + f (x1) x x0 x1 x0 s1(x)= 3,88 20 x 10 20 + 4,18 x 10 20 10 , S1(x)= 0,03X +3,58 , Para todo X [10 , 20]
O algoritmo que resolve as expressões e determinas as equações interpolantes foi feito em C++ de maneira procedural utilizando as formulas da spline anteriormente discutidas , nesse algoritmo se primou pela simplicidade para facilitar o entendimento do algoritmo por alunos e pesquisadores que não tem sólida base em programação, ele está customizado para trabalhar com quatro pontos de interpolação gerando três subintervalos , mas nada impede que ele seja modificado para trabalhar com problemas com maior numero de pontos . Uma vez que o programa tem propósitos educacionais e que neste caso devemos primar pela portabilidade do código, o mesmo foi feito usando ANSI C++em ambiente Mac OSX mas pode ser facilmente recompilado para rodar em qualquer sistema operacional com um compilador compatível com ANSI C++ sem que seja necessário nenhuma adaptação, o código comentado está disponível na pagina do autor na internet(http://www.macx.xpg.com.br)
Com base nas três equações determinadas pelo programa poderemos achar qualquer valor entre as profundidades de 10 a 40 cm , usando as equações. No exemplo a seguir o programa foi utilizado para determinar as equações para o período selecionado .
Com base nos cálculos feitos pelo programa chegamos as três equações utilizadas nos subintervalos conforme segue:
S1(x)= 0,03 X+ 3,58 , para X [10,20] S2(x)= 0,049 X+3,2 , para X [20,30] S3(x) =0,04 X + 3,47 , para X [30,40]
De posse das equações podemos determinar qualquer valor dentro de intervalo de 10 a 40 cm de profundidade, na verdade o que conseguimos com o processo foi um conjunto de funções que descrevem a distribuição de Mg no solo em função da profundidade, para exemplificar vamos supor que se quisesse determinar o valor do teor do Mg a 22,5 cm de profundidade, nesse intervalo teríamos que trabalhar com S2 , uma vez que S2 é a função para profundidades entre 20 e 30 cm . O valor estimado ficaria com o seguinte valor de acordo com a equação abaixo.
S2(x)= 0,049 X+3,2 = 0,049(22,5) +3,2 = 4,3025.
3. RESULTADOS E DISCUSÃO
A obtenção das equações de distribuição de nutrientes no solo através do método da spline linear interpolante é essencial quando se necessita analisar matematicamente o conjunto de equações obtidas. Poderíamos estender o uso do algoritmo para outras profundidades e trabalhar com outros elementos da mesma forma que se fez com o magnésio, as equações obtidas desse estudo poderiam demonstrar matematicamente como cada um dos nutrientes se comporta no solo da área de pesquisa. É importante ressaltar que as equações devem ser obtidas toda vez que se muda a época ou o local da coleta , uma vez que a distribuição de nutrientes varia muito com o tipo de solo e com o clima da região estudada, isso implica em dizer que as equações só são validas para aquele solo naquele período de coleta.
4. CONCLUSÕES
O algoritmo se mostrou muito adequado a interpolar pontos da distribuição dos teores de magnésio em função da profundidade. As equações obtidas através do algoritmo foram comparadas com equações obtidas pelo software Maple que é um CAS ( Sistema de computação algébrica) comercial muito utilizado no meio cientifico e que calcula spline lineares interpolantes automaticamente . Tanto o algoritmo quanto o Maple chegaram ao mesmo conjunto de equações o que prova que para esse tipo de problema em particular o algoritmo é tão eficiente quanto um software comercial.
5.REFERÊNCIAS
Márcia A. Gomes Ruggiero , V. L. D. R. L. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: MAKRON Books. 1996. 406 p.
Wikipédia. Interpolação. Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Interpolação>. Acesso em 20/04/2007.
H. M. Deitel , P. J. D. C++: como programar Porto Alegre: Bookman. 2001
