Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DE MATRIZES

MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DE MATRIZES INTRODUÇÃO ... 2 NOÇÃO DE MATRIZ ... 2 MATRIZES ESPECIAIS ... 3 IGUALDADE... 6 ADIÇÃO ... 9 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO ... 9 MATRIZ OPOSTA ... 10 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ... 11

PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ ... 15

PROPRIEDADES DO PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ . 16 PRODUTO DE MATRIZES ... 20

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ... 24

MATRIZ TRANSPOSTA ... 29

PROPRIEDADES DA TRANSPOSIÇÃO DE MATRIZ ... 30

MATRIZ SIMÉTRICA ... 31

MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA ... 31

MATRIZ INVERSA ... 33

RESPOSTAS ... 39

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ... 45

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2.

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

INTRODUÇÃO

Em um observatório

meteorológico, um cientista foi incumbido de registrar, de hora em hora, a temperatura de uma região nas primeiras 12 horas do dia durante os 6 primeiros dias de um mês.

O resultado do trabalho está na tabela abaixo: i j 1 2 3 4 5 6 1 18 16 19 18 17 17 2 17 16 19 17 17 16 3 16 15 18 16 16 15 4 16 16 17 16 16 16 5 17 18 17 15 17 16 6 18 18 18 16 18 17 7 19 18 18 16 19 18 8 20 19 19 17 20 18 9 20 20 20 17 20 20 10 21 20 21 18 19 21 11 22 20 23 18 19 22 12 24 21 25 19 20 24 Na tabela, cada elemento da linha

i e da coluna j é a temperatura na hora i do dia j.

Note a simplicidade dessa tabela. Se quisermos, por exemplo, saber qual foi a temperatura às 9 horas do dia 4, basta olharmos a intersecção entre a

linha 9 e a coluna 4. Na tabela acima,

fazendo isto, encontramos 17ºC.

Tabelas como esta são denominadas matrizes. Vamos, agora, formalizar uma estrutura algébrica para as matrizes, ou seja, definiremos propriedades e operações envolvendo matrizes.

NOÇÃO DE MATRIZ

Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (indica-se m x n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas.          3 3 , 0 7 4 15 1 0 é uma matriz 2 x 3            12 4 2 5 3 1 é uma matriz 3 x 2     _{ } 3 3 4 1 2 é uma matriz 1 x 4            7 1 2 é uma matriz 3 x 1             8 3 5 2 5 7 1 3 9 é uma matriz 3 x 3.

MATEMÁTICA III 3 ESTUDO DE MATRIZES Em uma matriz qualquer M, cada

elemento é indicado por aij. O índice i indica a linha e o índice j indica a coluna

às quais o elemento pertence.

Existem duas convenções que são relevantes:

 Na representação de matrizes e de seus termos, sempre será indicado a linha e em seguida a coluna, nesta

ordem.

 Numa matriz de m linhas e n

colunas, as linhas são numeradas de

cima para baixo de 1 até m e as colunas são numeradas da esquerda para a direita de 1 até n.

Assim, temos as seguintes notações para matrizes de m linhas e n colunas::                  mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a M          3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 ou                  mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a M          3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 ou mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a M          3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 

Uma matriz M de m linhas e n

colunas pode ser representada por:

MATRIZES ESPECIAIS

Existem matrizes que, por apresentar características especiais e grande utilidade por estas características, recebem nomes especiais. São elas:

 Matriz linha  Matriz coluna  Matriz nula  Matriz quadrada  Matriz identidade  Matriz diagonal

Vamos falar de cada uma destacando suas propriedades.

 

a

ij _mxn

CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO MATRIZ LINHA

É toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, que possui uma única linha.

    _{ } 3 3 4 1 2 é uma matriz 1 x 4 _______________________ MATRIZ COLUNA

É toda matriz do tipo m x 1, ou seja, que possui uma única coluna.

           7 1 2 é uma matriz 3 x 1 _______________________ MATRIZ NULA

É toda matriz que possui TODOS os termos iguais a zero.

      0 0 0 0 e             0 0 0 0 0 0 0 0

são matrizes nulas

MATRIZ QUADRADA

É toda matriz do tipo Mn x n, ou seja, aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas.

Uma matriz de n linhas e n colunas é chamada de matriz quadrada de ordem n.                  nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a M          3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 _______________________ Existem dois grupos de elementos das matrizes quadradas que são relevantes: a diagonal principal e a

diagonal secundária.

A diagonal principal é formada por

todos os elementos que têm os índices iguais, ou seja:



aij|i j







a11,a22,a33,,ann



Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1, ou seja:

MATEMÁTICA III 5 ESTUDO DE MATRIZES A diagonal principal é {6, 4, 11} A diagonal secundária é {-2, 7, 11} A diagonal principal é {-3, -2, 3, 8} A diagonal secundária é {-1, 2, 5, 8} _______________________ MATRIZ IDENTIDADE

É toda matriz quadrada onde todos os termos da diagonal principal são iguais a 1 (um) e todos os demais valem 0 (zero), Matrizes como esta também são chamadas de matriz unidade.        1 0 0 1 2 I            1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I              1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 I                   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1          n I

CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO MATRIZ QUADRADA

É toda matriz onde os termos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.        5 0 0 3 A            5 0 0 0 2 0 0 0 3 B               8 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 C        0 0 0 0 D            7 0 0 0 7 0 0 0 7 E _______________________ Note que a matriz identidade é um caso particular de matriz diagonal.

IGUALDADE

Duas matrizes

 

n x m ij a A  e

 

bij _mxn

B são iguais se aij = bij para todo i  {1, 2, 3, ... m} e todo j  {1, 2, 3, ... n}, isto significa dizer que para duas matrizes serem iguais elas devem ser do mesmo tipo além de os termos correspondentes serem iguais.

               4 5 3 1 5 4 3 1 Pois a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 e a22 = b22.                        2 0 7 3 7 1 2 6 8 7 2 3 4 2 1 2 4 8 Pois a12  b12. ____________________

De forma genérica, temos que se

 

aij _mxn A e

 

n x m ij b B então:

j

e

i

b

a

B

A





_ij



_ij

,





MATEMÁTICA III 7 ESTUDO DE MATRIZES Determinar x e y de modo que





                1 2 3 1 4 2 y x xy y x y x . Resolução:

Devemos ter, simultaneamente,





              1 1 2 4 3 2 y x y x xy y x .

Montando um sistema com a primeira e a terceira equações, temos:

       y x x x 1 3 Daí encontramos x = 2 e y = 1 ____________________

1) Indicar explicitamente os termos da matriz

 

4 3 x

ij a

A  de tal forma que

j i a_ij   . 2) Construa a matriz

 

3 3 x ij a A  tal que       j i se j i se a_ij , 0 , 1 3) Construa a matriz

 

3 3 x ij a A  tal que         4 , 0 4 , 1 j i se j i se a_ij

CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 4) Calcule a, b, c e d para que

                0 2 5 6 1 3 d c d c b a .

5) Quais valores de x e y tornam verdadeira a igualdade                        2 3 0 2 2 2 xy y x y x ?

6) Forme todas as matrizes quadradas de ordem 2 onde dois de seus elementos são iguais a 1 e os outros dois são iguais a 2.

7) Quantas matrizes diferentes de duas linhas e três colunas podemos formar com três algarismos igual a 1 e três algarismos iguais a 2?

8) Qual o quantidade de matrizes quadradas de ordem três diferentes podemos formar utilizando três algarismos 1, três algarismos 2 e três algarismos 3?

MATEMÁTICA III 9 ESTUDO DE MATRIZES 9) Determine x, y z e t de forma que se

tenha _             t t z x x t y x x 5 3 5 4 2 2 2 . ______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 98 – Exercícios 04 e 07 Pág. 104 – Exercícios 01 e 02 ______________________

ADIÇÃO

Dadas duas matrizes

 

n x m ij a A  e

 

n x m ij b B chama-se soma A + B a matriz

 

n x m ij c

C tal que c_ij a_ijb_ijpara todo i e j.

Em outras palavras, podemos dizer que para somar duas matrizes de mesma ordem devemos somar seus termos correspondentes. A matriz soma será da mesma ordem que a matrizes A e B. Dadas               5 8 2 3 0 3 2 7 4 9 5 1 A e                1 8 2 1 4 9 4 2 5 2 5 3 B , calcular A + B. Resolução:

Como A e B são de mesma ordem (3 x 4) então elas podem ser somadas, assim, temos que:

 B A

 

 

 

 

                             1 5 8 8 2 2 1 3 4 0 9 3 4 2 2 7 5 4 2 9 5 5 3 1             6 16 0 2 4 6 6 5 9 11 0 4 _____________________

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

P1 - A adição de matrizes é associativa, isto é:



A



B





C



A





B



C



CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

Demonstração:

De fato, podemos notar que fazendo



AB



C X e A



BC



Ytemos



ij ij



ij ij ij ij ij a b c a b c x       e



ij ij



ij ij ij ij ij a b c a b c y       . Como x_ij y_ij então Y X e, consequentemente,



AB



CA



BC



.

P2 - A adição de matrizes é comutativa, isto é:

Demonstração:

Fazendo ABX e BAY temos que x_ij a_ijb_ij b_ija_ij y_ij, assim XY e ABBA.

P3 - A adição de matrizes admite elemento neutro, isto é:

(Lê-se: Existe N tal que A mais N é igual a A qualquer que seja A de

ordem m por n)

Demonstração:

Admitindo que A + N = A, temos

0     _{ij ij ij} ij n a n a logo N = 0.

Esta matriz N = 0 é chamada matriz nula e já foi citada na página 4 desta apostila.

P4 – Toda matriz admite elemento simétrico, isto é:

(Lê-se: Existe A’ tal que A mais A’ é

igual a matriz nula qualquer que seja A)

Demonstração:

Admitindo que A + A’ = N, temos ij

ij ij

ij a a a

a  ' 0 '  .

Assim, a simétrica de uma matriz A para a adição é a matriz A’ do mesmo tipo que A, onde cada elemento de A’ é simétrico aditivo ao seu correspondente em A.

MATRIZ OPOSTA

Dada uma matriz

 

n x m ij a A

chama-se oposta de A (representamos por –A) à matriz A’ tal que A + A’ = N.

A

B

B

A







n x m

A

A

N

A

N









|

n x m

A

N

A

A

A









'

|

'

 

B

A

B

A









MATEMÁTICA III 11 ESTUDO DE MATRIZES                                 0 3 1 3 5 3 6 8 2 0 3 1 3 5 3 6 8 2 A A                                    2 1 2 0 1 8 3 9 2 1 2 0 1 8 3 9 K K

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Dadas duas matrizes

 

n x m ij a A  e

 

n x m ij b B chama-se diferença A – B a matriz obtida a partir da soma de A com a matriz simétrica de B, ou seja:

Dadas as matrizes          2 1 7 4 3 2 A e _         0 4 2 5 4 3 B , faça A – B. Resolução:

 

B A B A   

 

 

                                                                 2 5 5 9 1 1 0 2 4 1 2 7 5 4 4 3 3 2 0 4 2 5 4 3 2 1 7 4 3 2 0 4 2 5 4 3 2 1 7 4 3 2

CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 10) Das as matrizes _         7 9 2 0 1 3 A e          9 3 4 2 5 3 B , faça: a) A + B b) A – B 11) Dadas _       11 9 3 7 5 1 A ,        12 10 8 6 4 2 B e _         7 4 1 5 1 0 C , calcule: a) A + B + C b) A – B + C c) A – B – C d) –A + B – C

MATEMÁTICA III 13 ESTUDO DE MATRIZES e) –A – B – C 12) Calcular a soma

 

3 3 x ij c C das matrizes

 

3 3 x ij a A e

 

3 3 x ij b B tais que a_ij i2 j2 e b_ij 2ij. 13) Seja

 

3 2 x ij c

C a soma das matrizes

       5 4 3 2 1 0 A e _       11 10 9 8 7 6 B , calcular a soma c21 + c22 + c23.

14) Determinar , , , e  de modo que

se tenha _                         3 2 1 0 2 2 1 1 .

CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 15) Determinar x e y de modo que se

tenha                             1 10 1 5 2 2 1 1 2 4 3 2 2 2 3 x y x y x y x y 16) Das as matrizes _       3 2 2 1 A ,        6 7 5 0 B e _         2 5 7 1 C , determinar

MATEMÁTICA III 15 ESTUDO DE MATRIZES 17) Resolver a equação matricial

X – A – B = C, sabendo que _       2 7 0 1 A ,        4 2 5 1 B e _        5 3 2 1 C .

18) Obter X tal que

                                   2 1 1 2 7 5 7 4 1 X . ______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 100 – Exercícios 08, 09, 10 e 11 Pág. 105 – Exercício 03 ______________________

PRODUTO DE UM NÚMERO

POR MATRIZ

Dados uma matriz

 

n x m ij a A e

um número real , chama-se produto de

 por A, a matriz

 

n x m ij b B tal que ij ij a b  , i e j.

Em outras palavras, multiplicar uma matriz A por um número real  é multiplicar cada termo de A por .

              9 21 0 6 15 3 3 7 0 2 5 1 3

CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO                                       3 4 3 8 9 8 0 3 1 6 3 2 3 14 15 2 2 4 3 4 0 2 1 9 1 7 5 1 3 2                    4 2 3 1 4 2 3 1 1

PROPRIEDADES DO PRODUTO

DE UM NÚMERO POR MATRIZ

Sendo A e B matrizes do tipo m x n e  e  números reais, temos as seguintes propriedades: P1 - 



A

  

  A P2 - 



AB



AB P3 -







AAA P4 - 1AA 19) Demonstre a P1 acima. 20) Demonstre a P2 acima. 21) Demonstre a P3 acima. 22) Demonstre a P4 acima.

MATEMÁTICA III 17 ESTUDO DE MATRIZES 23) Dadas as matrizes _       7 5 1 1 A e        6 9 3 0 B , calcule: a) 2A b) B 3 1 c)



AB



2 1 24) sendo _       6 2 7 1 A , _       3 4 1 2 B e        0 2 2 0

C , determine X em cada caso:

a) 2XA3BC

b) XA



BC



2 1

CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO c) 3XABX d)



XAB







XC



3 1 2 1 25) Dadas _       2 0 0 2 A e _       0 3 5 1 B ,

descubra as matrizes X e Y no sistema:

       B Y X A Y X 2 3

MATEMÁTICA III 19 ESTUDO DE MATRIZES 26) Determinar as matrizes X e Y que

satisfazem o sistema        B Y X A Y X sendo dadas A



1 4 7



e B



2 1 5



. 27) Sendo            9 3 1 A e            0 5 2 B , obter X e Y a partir do sistema          B A Y X B A Y X 4 3 3 2 .

CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

PRODUTO DE MATRIZES

28) Um corretor da bolsa de valores, calculando o patrimônio adquirido nas quatro primeiras horas de um dia por dois de seus clientes, investidores da empresa “Mina Mineração”, montou as seguintes tabelas: Tabela 1 1 2 3 4 Alan 5 000 2 000 1 800 1 000 Bosco 2 000 3 000 800 1 200 Tabela 2 U$ Hora 1 2 2 2,5 3 3 4 4

Na tabela 1 estão representadas as quantidades de ações adquiridas por cada investidor em cada hora a partir do início do pregão, ou seja, Alan adquiriu 1800 ações da empresa “Mina

Mineração” às 3 horas.

Na tabela 2 estão os preços, em dólares, de cada ação na hora indicada.

O Corretor pretende preencher a tabela a seguir destacando o investimento de cada um dos clientes ao final das quatro horas.

U$ Alan

Bosco

Com base nos dados

apresentados, utilize o espaço abaixo para calcular os valores que devem ser apresentados em cada célula desta tabela.

MATEMÁTICA III 21 ESTUDO DE MATRIZES Dadas duas matrizes

 

n x m ij a A e

 

p x n ij b B , chama-se produto AB a matriz

 

p x m ij c C tal que: nk in k i k i ik a b a b a b c  ₁ ₁  ₂ ₂   ou



   n j jk ij ik a b c 1 para todo i



1,2,,m



e k



1,2,,p



Da definição acima, podemos tirar algumas conclusões:

1. Só é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. 2. Sendo C = AB, a matriz produto C

terá a mesma quantidade de linhas que a matriz A e a mesma quantidade de colunas que a matriz B.

3. Para encontrar o termo cik da matriz produto, devemos tomar os

n termos da linha i da matriz A.

Em seguida tomamos os n termos da coluna k da matriz B. Em seguida multiplicamos os termos correspondentes e, por fim, somamos os produtos obtidos. Esta soma será o termo cik.

Observe o diagrama que ilustra a primeira e a segunda conclusões destacadas na página anterior.

Ex.: Vamos efetuar o produto AB das matrizes abaixo:         3 4 1 8 5 2 A e            0 2 1 1 6 3 4 3 4 B . Resolução:

Em princípio de vemos verificar se o produto é possível e, em caso afirmativo, vamos determinar o tipo da matriz produto.

O produto é possível e a matriz resultado será do tipo 2 x 3, ou seja:

       23 22 21 13 12 11 c c c c c c C

Agora vamos calcular cada termo seguindo os passos da conclusão 3 da coluna ao lado:.

 

 

 

3 0 8 1 4 4 1 21 2 3 6 4 3 1 13 1 3 3 4 4 1 13 0 8 1 5 4 2 52 2 8 6 5 3 2 31 1 8 3 5 4 2 23 22 21 13 12 11                                              c c c c c c

Agora vamos montar a matriz C com os valores encontrados:

       8 21 13 13 52 31 C

CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 29) Dadas as matrizes _       4 3 1 2 A ,        6 5 2 1 3 4 B , _       5 4 C , D



3 2



e            3 2 1

E , determine, quando existir, os seguintes produtos.

a) AB

b) AC

MATEMÁTICA III 23 ESTUDO DE MATRIZES d) BD

e)



AB



E

f) A



BE



30) Sendo I3 a matriz identidade de ordem 3 (pág. 07), e         3 4 1 8 5 2 A ,

encontre a matriz produto AI₃.

31) Determinar a matriz X tal que

              7 9 1 4 1 5 X . ______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 103 – Exercícios 13, 14 e 15 Pág. 106 – Exercício 09

CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

PROPRIEDADES DA

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

P1 – A multiplicação de matrizes admite a propriedade associativa, ou seja, dadas as matrizes Am x n, Bn x p e Cp x r Demonstração: Dadas

 

n x m ij a A  ,

 

p x n jk b B e

 

ckt _pxr C e fazendo

 

p x m jk d B A D   ,



A B



C

 

eit _mxr E    e

 

r x n jt f C B F   , temos: jt n j ij p k kt jk n j ij p k n j kt jk ij p k kt n j jk ij p k kt jk it f a c b a c b a c b a c d e







 

 



                                         1 1 1 1 1 1 1 1 Logo,



AB



CA



BC



P2 – A multiplicação de matrizes é distributiva à esquerda em relação à adição, ou seja, dadas as matrizes Am x n, Bm x n e Cn x p Demonstração: Fazendo D



AB



C

 

d_{ik mxp}, temos:













   



























n j jk ij n j jk ij n j jk ij jk ij n j jk ij ij jk

c

b

c

a

c

b

c

a

c

b

a

d

1 1 1 1 Então



AB



CACBC. P3 – A multiplicação de matrizes é distributiva à direita em relação à adição, ou seja, dadas as matrizes Am x n, Bm x n e Cn x p A demonstração é análoga à de P2.



A



B





C



A





B



C





A



B





C



A



C



B



C



B

C



A

B

A

C

A













MATEMÁTICA III 25 ESTUDO DE MATRIZES P4 - Dadas as matrizes Am x n, Bn x p

podemos afirmar que :

A demonstração: não será colocada aqui pois é elementar devido ao fato de tratar de propriedades dos somatórios.

____________________

Três situações são importantes de se observar A primeira observação importante é de que a multiplicação de matrizes NÃO É COMUTATIVA, ou seja, não necessariamente ABBA.

Há casos em que AB existe mas BA não existe. Um exemplo é que A é do tipo m x n, B é do tipo n x p e m  p. Observe o diagrama abaixo:

Existem situações em que AB e

A

B são possíveis mas as matrizes produto são de tipos diferentes. Isto acontece, por exemplo, quando A é do tipo m x n e B é do tipo n x m. Observe o diagrama a seguir:

Quando A e B são do mesmo tipo e quadradas, então AB e BAtêm o mesmo tipo mas não necessariamente são iguais. Veja este exemplo

Sendo _       3 2 0 1 A e _       0 6 5 4 B , temos que: _        10 26 5 4 B A e _        0 6 15 14 A B . __________________

Quando A e B são tais que

A B B

A   então dizemos que as matrizes A e B comutam. Note que uma condição necessária (mas não suficiente) para que A e B comutem é que sejam ambas quadradas de mesma ordem.

CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO Veja exemplos de matrizes que

comutam:       d b c a comuta com _      1 0 0 1       d b c a comuta com _      0 0 0 0       d b c a comuta com _        a c b d ________________

Por fim é importante lembrar que existe uma propriedade dos números que não é valida para matrizes. Sendo x e y números reais, sabemos que:

0 0 0    y x ouy x

Com matrizes isto não ocorre necessariamente. Veja o exemplo a seguir.                     0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Nenhuma das duas matrizes é nula porém o produto o é.

________________ 32) Sendo _        2 0 1 1 A , qual das

matrizes abaixo comuta com A.

a) _       3 2 B b) _        1 1 0 3 1 2 C c) _       0 1 0 0 D d) _       3 0 2 5 E

33) Determinar x e y de forma que as

matrizes _       0 1 2 1 A e _       y x B 0 1 comutem.

MATEMÁTICA III 27 ESTUDO DE MATRIZES 34) Obter todas as matrizes que

comutam com _        0 3 1 1 A .

35) Calcular, em cada caso, as matrizes que comutam com A.

a) _       0 1 1 2 A b) _       1 1 1 0 A c)            1 1 0 0 1 1 0 0 1 A

CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 36) Calcular todas as matrizes A,

quadradas de 2º ordem tais que A2 _{= 0.}

37) Calcular todas as matrizes A, quadradas de 2º ordem tais que A2 _{= I}

MATEMÁTICA III 29 ESTUDO DE MATRIZES 38) Calcular todas as matrizes A,

quadradas de 2º ordem tais que A2 _{= A.}

MATRIZ TRANSPOSTA

Dada uma matriz

 

n x m ij a A  , chamamos de transposta de A e representamos por At_{, a matriz}

 

ji _nxm t _a

A  ' . Em outras palavras, At _é uma matriz cujas linhas, ordenadamente, as colunas de A.

Veja nos exemplos abaixo:

                           4 1 2 7 1 3 6 5 1 4 7 6 1 1 5 2 3 1 t A A                    f e c d b a B f c b e d a B t                                9 4 0 2 4 8 1 6 0 1 3 5 2 6 5 1 9 4 0 2 4 8 1 6 0 1 3 5 2 6 5 1 t C C





               2 1 8 2 1 8 Dt D

 

3  

 

3  _Et E

CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

PROPRIEDADES DA

TRANSPOSIÇÃO DE MATRIZ

P1 – A transposta da transposta de A é

a própria matriz A.

P2 – A transposta da soma de A com B

é a soma da transposta de A com a transposta de B.

P3 – Sendo k um número real, a

transposta de kA é igual a k vezes a transposta de A.

P4 – A transpostas do produto de duas

matrizes é igual ao produtos das transpostas em ordem invertida.

As demonstrações ficam a cargo do aluno na questão 39 a seguir.

39) Dadas as matrizes _       d c b a A e        h g f e

B além do número real k, verifique a validade das propriedades da transposição de matrizes. a)

 

At t A b)





t t t B A B A  

 

A

t t



A





t t t

B

A

B

A











t

 

t

A

k

A

k











t t t

A

B

B

A







MATEMÁTICA III 31 ESTUDO DE MATRIZES c)





t

 

t A k A k   d)



AB



t BtAt

MATRIZ SIMÉTRICA

É chamada de matriz simétrica toda matriz quadrada A tal que _A _At_.

Desta definição, decorre que se

 

aij _mxm A é simétrica então:



m



j i a a_ij  _ji, 1,2,3,...,       c b b a ,           f e c e d b c b a ,             j i g d i h f c g f e b d c b a

MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA

É chamada de matriz ANTI-simétrica toda matriz quadrada A tal que

t A A .

Desta definição, decorre que se

 

aij _mxm A é simétrica então:



m



j i a a_ij  _ji ,  1,2,3,...,       b c b a ,              f e c e d b c b a ,                   j i g d i h f c g f e b d c b a

CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 40) Determinar a matriz X,

desconhecida, em cada caso: a) t X _         3 2 7 1 7 5 2 1 b) t X _              3 2 0 0 1 5 2 1 c) t X _       4 3 2 1 1 1 2 d) _              2 7 4 1 7 2 1 1 3_Xt

41) Determinar x, y e z para que a matriz

             3 4 7 2 5 1 z y x M seja simétrica

42) Determinar x, y e z para que a matriz

              3 2 1 0 2 4 0 z y z x N seja anti-simétrica.

43) Provar que se A e B são matrizes simétricas de ordem n então A + B também é simétrica.

MATEMÁTICA III 33 ESTUDO DE MATRIZES

MATRIZ INVERSA

Se A é uma matriz quadrada de ordem n e existe uma única matriz A-1 _tal que n I A A A A 1  1 

então A é chamada inversível, e A-1 _é sua inversa.

Pela definição acima, pode-se concluir que A-1 _{também deve ser} quadrada de ordem n pois A-1 _comuta com A. Ex.: (1) A matriz _       7 2 3 1 A é inversível e _          1 2 3 7 1 A .pois:                                       0 0 1 1 7 2 3 1 1 2 3 7 1 2 3 7 7 2 3 1 Ex.: (2) A Matriz            2 5 0 1 3 0 7 2 1 B é inversível e                3 5 0 1 2 0 19 31 1 1 B pois                          3 5 0 1 2 0 19 31 1 2 5 0 1 3 0 7 2 1                                    1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 5 0 1 3 0 7 2 1 3 5 0 1 2 0 19 31 1

Ex.: (3) Qual a inversa da matriz

       11 5 7 3 A ? Resolução: Fazendo _        d c b a A 1 , temos:                                            1 0 0 1 11 7 5 3 11 7 5 3 1 0 0 1 11 5 7 3 2 1 d c d c b a b a d c b a I A A 2 7 2 11 0 11 7 1 5 3             b e a b a b a  e 2 3 2 5 1 11 7 0 5 3             d e c d c d c  assim,               2 3 2 5 2 7 2 11 1 A pois, também,                           1 0 0 1 2 3 2 5 2 7 2 11 11 5 7 3

CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

Ex.: (4) Qual a inversa da matriz

       8 4 2 1 A ? Resolução:                                            1 0 0 1 8 2 4 8 2 4 1 0 0 1 8 4 2 1 2 1 d c d c b a b a d c b a I A A         0 8 2 1 4 b a b a impossível e         1 8 2 0 4 d c d c impossível

neste caso, dizemos que a matriz A é singular, ou seja, não admite inversa. Ex.: (5) Qual a inversa da matriz

           1 9 4 1 3 2 1 1 1 A ? Resolução: Fazendo             i h g f e d c b a A 1 , temos:                                  1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 9 4 1 3 2 1 1 1 i h g f e d c b a                              i h g i h g i h g f e d f e d f e d c b a c b a c b a 9 3 4 2 8 3 4 2 9 3 4 2            1 0 0 0 1 0 0 0 1

Daí temos que:

1 4 3 0 0 9 3 1 4 2                      c b a c b a c b a c b a  2 12 3 1 0 1 8 3 0 4 2                     f e d f e d f e d f e d  2 12 5 3 1 0 9 3 0 4 2                     i h g i h g i h g i h g  Assim,                       2 1 2 5 3 2 1 2 3 1 1 4 3 1 A .

Nota: Como visto neste último exemplo,

é bastante trabalhoso determinar a inversa de uma matriz de ordem maior que 2. Mais a frente, entretanto, veremos uma forma menos trabalhosa de fazer isto.

MATEMÁTICA III 35 ESTUDO DE MATRIZES 44) Determinar a inversa de cada matriz

abaixo: a) _       5 4 6 5 A b) _       3 1 5 2 B c) _       2 0 0 1 C d) _        1 1 1 1 C

CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 45) Determinar a inversa de cada matriz

abaixo: a)            1 1 0 1 0 1 0 1 1 E b)            4 2 1 3 2 1 1 0 1 F            4 4 6 2 1 3 5 9 1 G

MATEMÁTICA III 37 ESTUDO DE MATRIZES 46) Resolver a equação _                1 1 3 2 4 3 X .

47) Resolva as duas equações matriciais a seguir: a) _               a a X a a a a 2 sen 2 cos cos sen sen cos b) _               7 9 0 1 1 0 X 48) Considere _       0 4 1 5 K . Determine: a) ₄_K 1

CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO b) K1

 

K1 t

c)

 

_K1 2

49) Supondo invertíveis e de mesma ordem todas as matrizes envolvidas, isole a matriz X em cada caso abaixo: a) XBA

b) BXCA

MATEMÁTICA III 39 ESTUDO DE MATRIZES

RESPOSTAS

1)            7 6 5 4 6 5 4 3 5 4 3 2 A 2)            1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 3)            0 0 1 0 1 0 1 0 0 A 4) a = 2, b = 4, c = 1, d = 1 5) x = y = 1 6)       2 2 1 1 , _      1 2 2 1 , _      2 1 2 1 , _      1 2 1 2 ,       2 1 1 2 e _      1 1 2 2 7) 20 8) 1680 9) x = 0, y = 3, z = 4 e t = 1 10) a) _        2 6 6 2 4 0 B A b) _            16 12 2 2 6 0 B A 11) a) _         30 23 12 8 8 3 C B A b) _            6 3 4 4 0 1 C B A c) _             8 5 6 6 2 1 C B A d) _            6 3 4 4 0 1 C B A e) _                30 23 12 8 8 3 C B A 12)            36 25 16 25 16 9 16 9 8 C 13) 42 14)  1  15) x = -3 e y = 2 16) Resolução: Fazendo _       t z y x X , temos a

seguinte expressão matricial:

                             2 5 7 1 6 7 5 0 3 2 2 1 t z y x                      2 6 5 7 7 5 1 0 3 2 2 1 t z y x

CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 16) (cont.)                   8 2 2 1 3 2 2 1 t z y x 5 8 3 0 2 2 4 2 2 0 1 1                   t t z z y y x x

então concluímos que _

       5 0 4 0 X . 17) _       11 12 3 1 X 18)             7 2 5 X 19) Sendo

 

n x m ij a A , cada termo de A   é a_ij. Multiplicando cada termo de A por  , temos



A



 

 e tais termos serão do tipo



aij



   . Assim,







   a_ij  







a_ij 







A

20) Fazendo C = A + B temos que,

j e i b a c B A C   _ij  _ij _ij  

Os elementos de C são do tipo







   c_ij  a_ij b_ij  B A b a_ij  _ij         

21) Fazendo   temos que os termos de Asão do tipo a_ij

j e i   . Assim,







   a_ij   a_ij  A A a a_ij  _ij         

22) Os termos de 1A são 1a_ij. Como este produto é a_ij, podemos concluir que 1Aé a própria matriz A.

23) a) _        14 10 2 2 2 A b) _       2 3 1 0 3 1 B c)





              5 7 2 7 2 1 2 1 B A 24) a)           _  2 3 6 1 2 5 X b)               2 9 1 2 15 0 X c)                  4 3 2 1 2 3 4 1 X

MATEMÁTICA III 41 ESTUDO DE MATRIZES 24) d) _       27 14 20 9 X 25) Resolução

Somando termo a termo as equações do sistema, temos:



A B



X B A X B A Y X Y X 2 3 2 1 2 3 2 2 3         

Subtraindo termo a termo as

equações do sistema, temos:



A B



Y B A Y B A Y X Y X 2 3 2 1 2 3 2 2 3          Desenvolvendo X



3A 2B



2 1 _  encontramos _       2 3 0 4 X e desenvolvendo Y



3A 2B



2 1 _  encontramos _         6 3 5 2 Y 26)      6 2 5 2 3 X e _ 1_ 2 3 2 1 Y 27)               9 38 15 X e            9 28 11 Y 28) U$ Alan 24 400 Bosco 18 700 29) a) _      27 29 20 8 11 10 b) _      32 13 c) _      10 15 8 12

d) Não é possível pois o número de

colunas de B é diferente do número de linhas de B. e) _      159 56 f) _      159 56 30)       3 4 1 8 5 2 31) Resolução:

Inicialmente devemos determinar o tipo da matriz X.

Logo vemos que a matriz X deverá ter 2 linhas e 1 coluna e podemos escrever _       y x X .

CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

31)

(cont.) Substituindo na expressão proposta,

temos, então :                                     7 9 4 5 7 9 1 4 1 5 y x y x y x 1 2 7 4 9 5             y e x y x y x 

Desta forma, a matriz procurada é

        1 2 X . 32)        3 0 2 5 E 33) 2 1  x e 2 1   y 34) Resolução:

Para que exista uma matriz B que

comute com, B deve,

necessariamente, ser quadrada de ordem 2, assim, podemos dizer que

       d c b a

B , desta forma, temos que:

                             0 3 1 1 0 3 1 1 d c b a d c b a

daí temos então a igualdade:

                   c d c a b a b a d b c a 3 3 3 3 então,

 

 

 

 

4 3 2 1 3 3 3 3                  c b d c a a d b b a c a 34) (cont.) de (1) e (4) temos c3b de (2) e (3) temos dab

Montando agora a matriz resposta,

temos:          b a b b a B 3 35) a) _       b a b b a 2 com a,b b) _      b a b b a com a,b c)           a b c a b a 0 0 0 com a ,,b c 36) Resolução: Fazendo _       d c b a A , temos então:                     0 0 0 0 d c b a d c b a                  0 0 0 0 2 2 d cb dc ac bd ab bc a









 

 

 

 

4 3 2 1 0 0 0 0 2 2                d bc d a c d a b bc a

Considerando agora duas possibilidades, temos:

MATEMÁTICA III 43 ESTUDO DE MATRIZES 36) (cont.)

 

 

4 0 0 0 0 1 0 2 2          d d a a b

 

   

b a c a bc e a d d a b 2 2 4 1 0 2 0             

Assim, temos duas soluções:        0 0 0 c A ou            a b a b a A 2 onde a,b,c 37)          1 0 0 1 A ou           bc c b bc A 1 1 ou           bc c b bc A 1 1 com b,c e bc1 38)        0 0 0 0 A ou _       1 0 0 1 A ou                  2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 bc c b bc A ou 38) (cont.)                  2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 bc c b bc A com b,c e 4 1  bc 39) Demonstrações 40) a)               3 7 2 5 7 2 1 1 b) _         2 5 0 1 X c)                  2 2 1 2 3 2 1 1 2 1 X d)              3 5 1 3 5 0 X 41) x = 2, y = 5 e z = -4 42) x = 4, y = -2 e z = -1 43) c_ij a_ijb_ij a_jib_ji c_ji,



n



j i,  1,2,3,... 

CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 44) a) _          5 4 6 5 1 A b) _          2 1 5 3 1 B c)           2 1 0 0 1 1 C d)              2 1 2 1 2 1 2 1 1 D 45) a)                      2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 E b)                 2 2 0 2 3 1 2 2 2 1 F c)                      1 13 25 13 3 2 1 1 0 2 1 13 8 13 2 1 G 46) Resolução: Fazendo _A      3 2 4 3 e _B        1 1 46)

(cont.) vemos que a equação dada é B

X A 

Notando que A é uma matriz inversível, podemos escrever

B A X B X A    1 assim,                              1 1 1 1 3 2 4 3 1 B A X logo, _        1 1 X 47) a) _       a a X 3 sen 3 cos b) _       9 7 X 48) a) _      5 4 1 0 b)          4 5 4 5 5 5 c)             16 29 4 5 16 5 4 1 49) a) _{ } 1 B A X b) XB1



AC



c) XAB1

MATEMÁTICA III 45 ESTUDO DE MATRIZES

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto; Matemática, Volume único. São Paulo, Atica, 2005.

IEZZI, Gelson e outros; Matemática, Volume único. São Paulo, Atual, 2002.

IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição, 1977.

PAIVA, Manoel; Matemática; Volume 2. São Paulo, Moderna, 1995.

PAIVA, Manoel; Matemática; 2ed. Volume 2. São Paulo, Moderna, 2013.

VÍDEOS

Conceito de Matrizes http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/video-matrizes-conceitos/ Soma de Matrizes http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/video-soma-de-matrizes/ Multiplicação de matrizes http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/video-multiplica-matrizes/