Matemática
Módulo 2
M7
Função Exponencial 3 - 10
M8
Função Logarítmica 11 - 22
M9
Noções de Matemática Financeira 23 - 28
M10 Progressões 29 - 36
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
M
7
TERCEIR
ÃO FTD
Função Exponencial
Caderno de
Atividades
1
(Uniderp-MS) Se n, y 7 ς são tais quey 3 7 3 3 2 3 n 2 n n 1 n 1 = − 9 0 9 0 0 0 , então y é igual a: a) 5 2 39 n c) 5 6 e) 3 6 n 01 b) 5 2 39 n 01 d) 7 3 y 3 7 3 3 2 3 n 2 n n 1 n 1 = − 9 0 9 0 0 0 y 9 3 7 3 3 3 6 3 n n n n = 9 − 9 0 9 9 y 3 9 7 3 6 3 n n = − 0 9 ( ) y 5 6 =
2
(FGV-SP) Num concurso que consta de duas fases, os candidatos fizeram uma prova de múltipla escolha, com 30 questões de 4 alternativas cada uma. Na segunda fase, outra prova continha 30 questões do tipo falso ou verda-deiro. Chamando de n1 o número dos diferentes modos de responder à prova da 1a fase e de n2, o número dos
diferen-tes modos de responder à prova da 2a fase, tem-se que:
a) n1= 2n2 c) n1= 4n2 e) n1= 4309 n 2 b) n1= 30n2 d) n1= 2309 n 2 X X
Se, na 1a fase, o candidato deve escolher apenas uma das quatro
alterna-tivas de cada questão, então: n1= 4 9 4 9 4 9 ... 9 4 = 430= 260
30 fatores
Na 2a fase, o número de maneiras de responder é:
n2 = 2 9 2 9 2 9 ... 9 2 = 2 30 30 fatores Então, n n 2 2 n n 2 n 2 n 1 2 60 30 1 2 30 1 30 2 = → = → = 9 . 144424443 144424443
3
(MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais que x y 81 x y 729 4 2 2 4 9 = 9 = − − , então o produto x 9 y é igual a:
a) 3 c) 3 3 e) 3 b) 1 3 d) 1 9 x y 81 x y 729 x y x y 81 729 x y 1 9 xy 1 3 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 9 = 9 = 99 = = = − − − − → → →
4
(UESPI) A equação exponencial dada por3 1 x x 1
( )
0 =admite duas soluções, x1 e x2. O valor da soma (x10 x2) é: a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 3 1 3 3 x x 0 x x 1 x x 0 2 2
( )
[
]
0 = →( )
0 =( )
→ 0 = x(x 0 1) = 0 Logo: x10 x2= 0 − 1 = −1 X X x1= 0 ou x2= −1Matemática
4Função Exponencial
M
7
2 3 1 13 2 3 2 3 1 13 2 2 3 3 2 2 1 1 1 x x x x x x 0 = 9 0 = 9 9 9 − 0 − 2x 2 3 1 2 13 2 3 3 2 x x x 0 = 9 9 2 3 1 2 3 13 2 1 3 2 x x 0 = 9 9 2 3 1 13 6 2 3 2 x x 0 = 9 Substituindo y, temos: 2 3 x = y y y y 2 2 1 13 6 6 6 6 13 6 0 = 9 Θ 0 = Portanto: S = {1, −1} Logo: Se y x x =2 = Θ = 3 2 3 2 3 1 , temos: . Se y x x = temos: = = Θ = − − 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 , .7
(UESPI) O conjunto verdade da equação 2x− 2−x= 5(1 − 2−x) é igual a: a) {1, 4} c) {0, 1} e) { } b) {1, 2} Xd) {0, 2} 2 2 5 1 2 2 1 2 5 1 1 2 x x x x x x − − = ( − −)Θ − = − y− y = − y 1 5 5 2x= 4 ou 2x= 1 2x= 22 2x= 20 x = 2 x = 0 Portanto: S = {0, 2} y2− 1 = 5y −5 y2− 5y 0 4 = 0 y1= 4 y2= 1 Substituindo 2x ⫽ y, temos:5
(UEPG-PR) A equação 52x0 125 = 6 9 5x 0 1 admitecomo soluções os números a e b, com a . b. Então, assi-nale o que for correto:
(01) b a =1 (02) a 9 b é um número par. (04) a . 0 e b , 0 (08) a 0 b , 5 (16) a b é um número natural.
Em questões como a 5, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
y1= 25 y2= 5 6y2− 13y 0 6 = 0 y1 2 3 = y2 3 2 =
6
(UCDB-MS) O conjunto verdade da equação exponencial 2 3 1 13 2 3 2 2 1 1 x x x x 0 = 90 − é: a) 2 3 3 2 , c) −2 3 3 2 , e) {1, −1} b) − − 2 3 3 2 , d) {1, 0} X 01. Incorreto 52x 0 125 = 6 9 5x 0 1 52x0 125 = 6 9 5x9 5 Substituindo 5x= y, temos: y20 125 = 30y y2− 30y 0 125 = 0 Logo: 5x = 25 Θ 5x = 52 Θ x = 2 = a 5x = 5 Θ x = 1 = b b a 1 2 = 02. Correto ab = 2 9 1 = 2 04. Incorreto a = 2 . 0 e b = 1 . 0 08. Correto a 0 b = 2 0 1 = 3 , 5 16. Correto a b 2 1 2 = = Portanto: 2 0 8 0 16 = 26M
7
Função Exponencial
L(t) = T(t) 8 9 10t= 1 000 9 2t 10t = 125 9 2t 10 2 125 t t = 5t = 125 5t= 53 t = 3 anos8
(UFSM-RS) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1 000 traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e traíras ocorra, respectivamente, segundo as leis L(t) = L010t e T(t) = T02 t,
em que L0 é a população inicial de lambaris, T0, a população inicial de traíras, e t, o número de anos que se contam a partir do ano inicial.
Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos?
a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 Xe) 3 X 3−1 = 3−2t −2t = −1 Devemos ter M(t) M 3 . Logo: 0 = M(t) M 2t 2t = 9 = 9 − − M M 0 0 0 3 3 3 1 3 3 2 = − t t= ou t= 1 2 0,5 s
9
(UFPB) Sendo a e k constantes reais e sabendo-se que o gráfico da função f(x) = a2kx passa pelos pontos A(0, 5) eB(1, 10), o valor da expressão 2a 0 k é: a) 15 b) 13 Xc) 11 d) 10 e) 12 f(x) = 32x 0 10 m 9 3x0 1 f(x) = 32x9 3 0 m 9 3x0 1 f(x) = 3 9 (3x)20 m 9 (3x) 0 1 a) m = −4 Θ f(x) = 0 Θ 3 9 (3x)2 – 4 9 (3x) 0 1 = 0
11
(Vunesp-SP) Considere a função dada por f(x) = 32x 0 10 m 9 3x0 1.a) Quando m = −4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0.
b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m 0 1 não tem solução real x.
10
(UCDB-MS) Certa substância radioativa de massa M0, no instante t = 0, tende a se transformar em outra substância não radioativa.Para cada instante t > 0, dado em segundos, a massa da substância radioativa restante obedece à lei M(t) = M0 3−2t.
Nessas condições, o tempo necessário, em segundos, para que a massa da substância radioativa seja reduzida a um terço da massa inicial, é igual a:
a) 3 b) 2,5 c) 1,5 d) 1 e) 0,5
b) f(x) = m 0 1 Θ 3 9 (3x)20 m 9 (3x) 0 1 = m 0 1
3 9 (3x)20 m 9 (3x) − m = 0
Fazendo 3x= y, resulta a equação: 3y20 m 9 y − m = 0.
Essa equação não tem soluções reais se, e somente se, suas raízes y1
e y2 não forem reais ou se ambas forem reais negativas.
• As raízes y1 e y2 não são reais Θ ∆ = m
2 0 12m , 0 Θ −12 , m , 0.
• Para que as raízes y1 e y2 sejam ambas reais e negativas, devemos
ter ∆ > 0, y1 0 y2 = −m 3 < 0 e y1 . y2 = −m
3 > 0, que se verifica apenas para m = 0. Concluímos, então, que –12 , m < 0.
3 4 2 6 3 1 ou 3 1 3 x 0 ou x 1 x= ± → x= x= → = = −
Como o gráfico passa pelos pontos A e B, temos: A(0, 5) Θ a 9 2k 9 0= 5 Θ a 9 20= 5 Θ a = 5 쩸 B(1, 10) Θ a 9 2k 9 1 =10 Θ a 9 2k= 10 쩹 Substituindo a = 5 em 쩹, vem: 5 9 2k= 10 2k= 2 k = 1 Logo: 2a 0 k = 2 9 5 0 1 = 11
Matemática
6Função Exponencial
M
7
15
(UFSM-RS) A solução da equação exponencial 5x(5x− 1) = 20: a) pertence ao intervalo (−∞, −3[. b) pertence ao intervalo ]4, +∞). c) pertence ao intervalo ]0, 2[. d) é um número par. e) é um número irracional. Se y = 5 Θ 5x= 5 Θ x = 1 Se y = −4 Θ 5x = −4 Θ Ξ x 7 ςComo x = 1, pertence ao intervalo ]0, 2[. y1= 5 y2 = −4
Substituindo 5x = y, vem:
y(y − 1) = 20 Θ y2 − y − 20 = 0
X
12
(UFPel-RS) A função exponencial serve de modelo matemático para resolver várias situações do cotidiano. Um exemplo é o de uma cultura de bactérias inicialmente com 1 000 elementos, contados a partir do instante zero, na qual a população dobra a cada hora.Essa situação é representada pela função f(x) = 1 000 9 2x,
em que x é o tempo decorrido.
Com base na função acima, em seus conhecimentos, con-siderando ς o conjunto dos números reais, analise as afir-mativas abaixo.
I. O domínio da função é o conjunto dos números reais. II. O domínio da função é D = {x 7 ς \ x > 1 000}. III. O domínio da função é D = {x 7 ς \ x > 0}.
IV. A imagem da função é Im = {y 7 ς \ y > 1 000}. V. A imagem da função é Im = {y 7 ς \ y > 0}. Estão corretas somente as afirmativas:
a) I e IV c) II e IV e) III e IV
b) III e V d) I e V f) I.R.
13
(MACK-SP) O número de indivíduos de um certo grupo é dado porf(x) 10 1 10x
= − 9 1 000, sendo x o tempo medido em dias.
Desse modo, entre o 2o e 3o dia, o número de indivíduos
do grupo:
a) aumentará em exatamente 10 unidades. b) aumentará em exatamente 90 unidades. c) diminuirá em exatamente 9 unidades. d) aumentará em exatamente 9 unidades. e) diminuirá em exatamente 90 unidades.
X
Sendo y = 1 000 9 2x, temos:
I. Incorreta
O domínio é D = {x 7 ς \ x > 0}, pois a população dobra a cada hora. II. Incorreta III. Correta IV. Correta O gráfico de y = 1 000 9 2x é: Im = {y 7 ς \ y > 1 000} 0 y x 1 1 000 2 000 V. Incorreta X Se f(x) 10 1 10x
= − 9 1 000, sendo x o tempo medido em dias e f(x) o número de indivíduos do grupo, então:
• f(2) 10 1 10 1 000 10 1 100 1 000 = 2 = − 9 = − 9 = 10 000 − 10 = 9 990 • f(3) 10 1 10 1 000 10 1 1 000 1 000 = 3 = − 9 = − 9 = 10 000 − 1 = 9 999 • f(3) − f(2) = 9 999 − 9 990 = 9
• Entre o 2o e o 3o dia, o número de indivíduos do grupo aumentará em
exatamente 9 unidades.
14
(UFMA) Se a curva da figura abaixo representa o gráfico da função y = 2x, o valor da área sombreada é:a) 4 b) 2 c) 8 Xd) 6 e) 10
Se: x = 0 Θ y = 20Θ y = 1
x = 2 Θ y = 22Θ y = 4
A área sombreada é igual a: A = 2 9 1 0 1 9 4 Θ A = 2 0 4 = 6 y 2 0 y = 2x 3 x
M
7
Função Exponencial
17
(UFF-RJ) Em um meio de cultura especial, a quan-tidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q defi-nida, para t > 0, por Q(t) = k5kt, sendo t o tempo, emminuto, e k uma constante.
A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25Q(0). Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto: a) 12,5 b) 25 Xc) 312,5 d) 625 e) 1 000 Portanto: Q(8) Q(8) 54 = 9 = 9 9 1 2 5 1 2 1 2 8 Q(8) = 312,5 Pelos dados, temos: se t = 0 Θ Q(0) = k 9 5k 90 = k se t = 4 Θ Q(4) = k 9 54k Como Q(4) = 25 9 Q(0), vem: k 9 54k = 25 9 k 54k = 25 54k= 52 4k = 2 k= 1 2
16
(MACK-SP) O menor valor assumido pela funçãog(x) 1 2 (2 x )2 = − é: a) 8 b) 4 c) 1 2 d) 1 4 e) 1 8 X
A função exponencial g de base 1
2 é estritamente decrescente. O míni-mo valor de g, portanto, corresponde ao máximíni-mo valor do expoente. O gráfico da função f: ς Θ ς definida por f(x) = −x20 2 é:
e o máximo valor de f é 2. O mínimo valor de g é 1 2 2 = 14. f(x) 2 x − 2 2 a) Sendo x = 30 e y = 20, temos: a) Determine o valor de k.
b) Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (va-lor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.
19
(UNI-RIO/Ence-RJ) Conforme dados obtidos pelo IBGE, relativos às taxas de analfabetismo da população brasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possível ajustar uma curva de equação y = 30kx0 10, em quek . 0, representada a seguir: y y y = 9 0 Θ = 9 0 Θ = Λ 30 1 3 10 30 1 3 10 40 3 13 33 1 30 2 60 , %
O ano de 2020 corresponde a 2020 − 1960 = 60. Logo:
y=309 0 Θ =y 9 0 Θ =y 1 3 10 30 1 10 40 1 30 0 %
b) O ano de 1960 corresponde a x = 0. Logo:
20 30 10 1 3 1 3 1 3 30 30 1 30 30 = 9k 0 Θk = Θ =k = 0 10 20 20 30 40 50 tempo (anos) taxa (%)
18
(MACK-SP) Dadas as funções f(x) = 2x2− 4e g(x) = 4x2 − 2x , se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é: a) 1 4 b) 1 c) 8 d) 4 e) 1 2 X Se f(x) = 2x2 − 4 e g(x) = 4x2 − 2x , com f(x) = g(x), temos: 2x2 − 4 = 4x2 − 2x Θ 2x2 − 4 = 22x2 − 4x Θ 2x2− 4x = x2− 4 x2− 4x 0 4 = 0 Θ x = 2 Portanto: 2x= 22= 4.
Matemática
8Função Exponencial
M
7
Temos f [g(x)] g(x) = 0 172 1. Assim, quanto maior for o valor de 2
g(x)0 1, menor
será o valor de f [g(x)]. Logo, f [g(x)] assumirá um valor mínimo quando 2g(x) 0 1 assumir um valor máximo, o que ocorrerá quando g(x) assumir
um valor máximo. Como g(x) = 3 0 2x − x2, trata-se de uma função
quadrática e, como o coeficiente de x2 é negativo, seu gráfico é uma
pará-bola com concavidade para baixo e, portanto, ela assumirá um valor máxi-mo, o qual ocorrerá quando o valor de x for igual à abscissa do vértice, isto é, quando
x= −2 1.
9 − =
2 ( 1) Assim g(1) é o valor máximo assumido pela função g e, portanto, o valor mínimo da composta será:
22
(UFCE) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x)= 0 17 2x 1 e g(x) = 3 0 2x − x 2. O valor mínimo de f [g(x)] é: a) 1 4 b) 1 3 c) 1 2 d) 1 e) 2 f [g(1)]= g(1) 0 = 0 = = 17 2 1 17 2 1 17 17 1 4 X20
(UEPG-PR) Dadas as funções definidas porf(x)= e g(x)= 4 5 5 4 x x , é correto afirmar: (01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam. (02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente. (04) g(−2) 9 f(−1) = f(1) (08) f [g(0)] = f(1) (16) f( 1)− 0g(1)= 5 2
Fazendo o gráfico das funções, temos: 4 5 5 4 4 5 4 5 1 x x x x = Θ = − Substituindo: y, vem: 4 5 x = y=y Θ =y y −1 1 Se y x = − Θ1 4 = − 5 1 01. Incorreto, pois os gráficos se interceptam em:
y2= 1 y = Σ1 Se y= Θ1 = 4 5 1 x 4 5 4 5 0 x = Ξ x 7 ς x = 0 Portanto: 4 + 8 + 16 = 28 0 x y g(x) 1 f(x) Os gráficos se interceptam em (0, 1).
02. Incorreto, pois f(x) é decrescente e g(x) é crescente. 04. Correto g(−2)= 5 = = 4 1 5 4 16 25 2 2 − f(− =) = = − 1 4 5 1 4 5 5 4 1 f(1)= = 4 5 4 5 1 Logo: g( 2) f( 1)− 9 − = 9 = =f(1) 16 25 5 4 4 5 08. Correto g(0)= = 5 4 1 0 f(1)= = 4 5 4 5 1 16. Correto g(1)= = 5 4 5 4 1 Logo: f( 1)− 0g(1)= 0 = = 5 4 5 4 10 4 5 2
21
(EEM-SP) A curva abaixo mostra a evolução do número de peças montadas em uma linha de produção por um operário recém-contratado.Admitindo que a curva seja descrita pela função Q(t) = 500 − A 9 2−k 9 t, determine o número de peças que
o operário montará em sua segunda semana de trabalho.
Se: t = 0 Θ 200 = 500 − A 9 20Θ 200 = 500 − A Θ A = 300 t = 1 Θ 350 = 500 − A 9 2−k 9 1 350 = 500 − 300 9 2−k 300 9 2−k = 150 2−k = 1 2 2−k= 2−1 k = 1 A função é: Q(t) = 500 − 300 . 2−t Se t = 2 semanas, temos: Q(2) = 500 − 300 9 2−2 Q(2) = 500 − 75 Q(2) = 425 peças Q 1 2 3 t (semanas) 350 200 0
M
7
Função Exponencial
24
(UFPB) O total de indivíduos, na enésima geração, de duas populações P e Q é dado, respectivamente, por P(n) = 4n e Q(n) = 2n. Sabe-se que, quandoP(n)
Q(n) > 1 024,
a população Q estará ameaçada de extinção. Com base nessas informações, essa ameaça de extinção ocorrerá a partir da: a) décima geração b) nona geração c) oitava geração d) sétima geração e) sexta geração
26
(FGV-SP) O gerente de produção de uma indústria construiu a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários com sua experiência.X 4 2 1 024 n n > 2 2 1 024 2n n > 2n> 1 024 2n> 210 n > 10
A ameaça de extinção ocorrerá a partir da 10a geração.
a) Supondo que A seja uma constante real e t o tempo de experiência em meses, temos: Q(0) = 200 500 − A 9 e0= 200 Ι A = 300 Q(6) = 350 500 − 300 9 e−6k= 350 300 9 e−6k= 150 e 1 2 e 2 6k k t 6 − = Ι − = − Logo, Q(t) = 500 − 300 9 2 t 6 − . Com Q(t) = 425, temos: 500 − 300 9 2 t 6 − = 425 300 9 2 t 6 − = 75 2 = 1 4 = 2 t 6 2 − − − = − Ι = t 6 2 t 12 meses b) Como Q(t) 500 300 2 t 6
= − , podemos afirmar que: • quanto maior for t, tanto mais Q(t) se aproximará de 500; • Q(t) , 500.
Podemos concluir, então, que a produção máxima possível é de 499 unidades por hora.
Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à expe-riência t, por meio da função Q(t) = 500 − A 9 e−k 9 t,
sendo e = 2,72 e k um número real, positivo.
a) Considerando que as projeções do gerente de produção dessa indústria estejam corretas, quantos meses de ex-periência serão necessários para que os operários pos-sam produzir 425 unidades por hora?
b) Desse modo, qual será a máxima produção possível dos operários dessa empresa?
Experiência (meses) 0 6
Produção (unidades por hora) 200 350
Devemos ter P . 31 000. Logo: 32 000 (1 − 2−0,1t) . 31 000 32 (1 − 2−0,1t) . 31 32 − 32 9 2−0,1t . 31 −32 9 2−0,1t . −1 32 9 2−0,1t , 1 2 1 32 0 1 −, t, 2−0,1t , 2−5 −0,1t , −5 t . 50 dias
23
(Unipac-MG) A relação P = 32 000 9 (1 − 2−0,1t)descreve o crescimento de uma população P de bactérias,
t dias após o instante 0. O valor de P é superior a 31 000
se, e somente se, t satisfizer a condição:
a) t . 50 c) t . 16 e) 32 , t , 64 b) t , 30 d) 2 , t , 16
X
25
(FERJ-SC) A solução da inequação (0,7)x(x − 3), (0,49)x − 2 é: a)% d) {x 7 ς\x , 2 ou x . 3} b) {x 7 ς\1 , x , 4} e) {x 7 ς\x , 1 ou x . 4} c) {x 7 ς\2 , x , 3} X (0,7) (0,49) (0,7) (0,7) x(x 3) 3x 2x − − − − , , x x 2 4 2 Logo: S = {x 7 ς\x , 1 ou x . 4}. x2 − 3x . 2x − 4 x2 − 5x 0 4 . 0 x1 = 4 x2 = 1 { { } 1 4 x x2 − 5x 0 4 = 0Matemática
10Função Exponencial
M
7
27
(ECM-AL) O conjunto de todos os valores de x para os quais 1<44 ,82 x é: a) [0, 12[ c) [0, 6[ e) [0, 3[ b) [0, 8[ d) [0, 4[ S = {x 7 ς\0 < x , 12} = [0, 12[ Fazendo a intersecção, temos:14243 44 82 x , 44 1 x > I II II 4 1 4 4 4 4 0 x x > > x 4 >0 x > 0 I 4 8 2 2 4 2 2 4 3 2 x x , , ( ) ( ) 22 26 x , x 2 ,6 x , 12
29
(UFF-RJ)a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio: “ Como 1 4 1 8 . , tem-se 1 2 1 2 2 3 . e conclui-se que 2 . 3.”
Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda.
b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz a inequação: 1 2 1 4 4 1 m m . 0
a) José cometeu o erro na última etapa de seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por
f(x)= 1 2 x é decrescente, ou seja, à medida que aumentamos o valor de x, o valor de f(x) diminui.
4 2 2 4 2 2 0 m m m m , 0 − − , 4 2 2 0 2 − m − m , m 2 2 4 0 2 m m m 0 − . 2 1 2 0 (m )(m ) m − 0 .
Conclui-se que o menor número inteiro e positivo m que satisfaz a inequação é 2. Como m.0, temos 0, − 0 . − 0 . 2 1 2 0 1 2 ( )( ) ( )( ) m m m → m m ou seja, m , −2 ou m . 1. X 0 12 12 0 I II II I 5 b) 1 2 1 4 1 2 1 2 4 1 4 2 2 m m m m . Θ . 0 0 Como a base 1 2
é um número compreendido entre zero e um, a fun-ção é decrescente e o sinal da desigualdade muda, ou seja:
{ {
}
−2 1 x
28
(ITA-SP) Seja ε um número real, com 0 , ε , 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais queε ε , 2x 2x 1 1 2 : a) ]−∞, 0] 6 [2, 0∞[ d) ]−∞, 0[ b) ]−∞, 0[ 6 ]2, 0∞[ e) ]2, 0∞[ c) ]0, 2[ Do enunciado, temos: ε 9 ε , 2x 2x 1 1 2 ε 9 ε , − 2x 2x 1 2
( )
ε2x9 ε−x2 , ε0 ε2x − x2 , ε0 Se 0 , ε , 1, temos: 2x − x2. 0. Raízes: 2x − x2 = 0 Θ x(2 − x) = 0 x1= 0 x2= 2 ou { } 0 2 } Portanto: 0 , x , 2 ou ]0, 2[ II 1<44 ,82 x I XM
8
Função Logarítmica
TERCEIRÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIRÃO FT
D
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
M
8
TERCEIRÃO FTD
Função Logarítmica
3
(UFG) Suponha que o total de sapatos produzidos por uma pequena indústria é dado, aproximadamente, pela função S(t) = 1 000 log2 (1 0 t), em que t é o número de anos e S o número de sapatos produzidos, contados a par-tir do início de atividade da indústria. Determine: a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano deatividades da indústria;
b) o tempo necessário para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano.
a) Após o primeiro ano de atividade, temos que t = 1; então:
S(1) = 1 000 log2 (1 0 1) Θ S(1) = log2 2 Θ S(1) = 1 000; portanto,
foram produzidos 1 000 pares de sapatos no primeiro ano.
b) Se no primeiro ano a produção é de 1 000 pares de sapatos, o triplo será 3 000 pares, ou seja:
S(t) = 3 000 = 1 000 log2 (1 0 t) Θ log2 (1 0 t) = 3 Θ 1 0 t = 2 3Θ
Θ 1 0 t = 8 Θ t = 7; então, depois de 7 anos, a produção total será o triplo da produção do primeiro ano.
1
(UEPG-PR) Sendo: (25) 1 125 p −2 = q = log16 8 r log 4 log 27 2 3 =É correto afirmar que: (01) p , r , q (02) q . p (04) r , q (08) p . r (16) r , p , q
Em questões como a 1, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
01. Correto 25 1 125 p −2 = → 52p − 4 = 5−3 → 2p − 4 = −3 → p 1 2 = r log 4 log 27 r 2 3 2 3 = → = q = log16 8 → 16 q= 8 → 24q= 23→ 4q = 3 → q 3 4 = Logo: 1 2 2 3 3 4 , , → p , r , q. 02. Correto 3 4 1 2 . → q . p 04. Correto 2 3 3 4 , → r , q 08. Incorreto 1 2 2 3 , → p , r 16. Incorreto 2 3 1 2 , → r , p Portanto: 1 0 2 0 4 = 7
2
(Vunesp-SP) O valor de x na equaçãolog x 1 3 3 3 = é: a) 1 3 3 3 c) 3 3 e) 3 log x 1 3 x 3 3 3 3 1 3 = → =
(
)
x 3 x 3 3 1 3 3 2 1 3 =(
)
→ = x 3 x 3 1 2 = → = XCaderno de
Atividades
b) 3 3 3 d) 33Função Logarítmica
M
8
Matemática
124
(MACK-SP) Se 23 logb 27 0 2 logb 2 − logb 3 = −1,
0 , b ϑ 1, o valor de b é: a) 2 c) 1 9 e) 1 8 b) 1 12 d) 3
8
(MACK-SP) Se a e b são números reais não-nulos, tais que a2 + b2 = 28ab, então, adotando-selog 3 12 25 = , o valor de log (a b) ab 3 2 0 é: a) 37 12 b) 3 c) 25 13 d) 17 5 e) 7 2
39 logb 27 0 2 9 logb 2 − logb 3 = −1
log (b 3) 3 2 3 0 log b 2 2 − log b 3 = −1 log 3 2 3 1 b 29 2 = − Ι logb 12 = −1 b−1 = 12 Ι b 1 12 =
5
(Furg-RS) Sendo x a solução da equação2
1 2
3 2
log log x = , o valor de x3 é:
a) 1 2 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 2 2 1 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 log log x= − Θlog log x= − Θlog x= Θ =x
Assim: x3= 2 =2 =2 1 3 3 3 3
( )
6
(UFOP-MG) Resolva o sistema:2x9 8y= 32 Θ 2x9 23y= 25Θ x 0 3y = 5 log8 1 3 1 3 8 2 xy= Θxy= Θxy= Resolvendo o sistema, obtemos:
123 x 0 3y = 5 xy = 2 x = 2 e y = 1 ou Θ x=3e y= 2 3 2x9 8y= 32 1 42 43 log8 1 3 xy=
7
(MACK-SP) Se a . 0 e b . 0, considere as afirma-ções:I. log (ab) = log a 0 log b II. log (a 0 b) = (log a) 9 (log b) III. log 1 = 0
Então:
a) I, II e III são corretas. b) I, II e III são incorretas. c) apenas I e II são corretas. d) apenas II e III são corretas. e) apenas I e III são corretas.
I. Correta. log (a 9 b) = log a 0 log b II. Incorreta. log (a 0 b) = (log a) 9 (log b)
Para a = b = 1, por exemplo, temos: log 2 = (log 1) 9 (log 1)
III. Correta. log10 1 = 0, pois 100= 1.
Sendo dados a20 b2 = 28ab e
log 3 12 25 = , temos: • (a 0 b)2= a20 b20 2ab = 28ab 0 2ab = 30ab
• log (a b) ab log 30ab ab log 30 3 2 3 3 0 = = log3 3 0 log3 10 = 1 0 25 12 37 12 = X X X X
M
8
Função Logarítmica
9
(EEM-SP) Sendo log10 3 = a, calcule: log1018 log10 .3 20 0
log10 (9 9 2) 0 log10 3 − log10 (10 9 2)
log10 9 0 log10 2 0 log10 3 − (log10 10 0 log10 2)
2 log10 3 0 log10 2 0 log10 3 − log10 10 − log10 2
3 log10 3 − log10 10
3a − 1
Usando as propriedades, temos:
log1018 log10 log10 log10 log10
3
20 18 3 20
0 = 0 −
10
(UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação:T = T00 ke−ct
Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem de-terminadas.
Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100 )C, colocada numa sala de temperatura 20 )C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40 )C.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala.
b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.
11
(Vunesp-SP) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são planta-das até completarem 10 anos, são daplanta-das respectivamente pelas funções:altura: H(t) = 1 0 (0,8) 9 log2 (t 0 1) diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) 9 2
t 7
com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.
a) Substituindo os dados:
a) No momento em que elas são plantadas, t = 0. Assim: H(0) = 1 0 (0,8) 9 log2 (0 0 1) H(0) = 1 0 0,8 9 log2 1 H(0) = 1 0 0,8 9 0 H(0) = 1 m D(0) = (0,1) 9 270 D(0) = (0,1) 9 20 D(0) = 0,1 m ou D(0) = 10 cm b) Se H(t) = 3,4 m, temos: 1 0 0,8 9 log2 (t 0 1) = 3,4 0,8 9 log2 (t 0 1) = 2,4 log2 (t 0 1) = 3 t 0 1 = 8 t = 7 anos Portanto: D(7) = 0,1 9 277→ D(7) = 0,1 9 2 = 0,2 m ou 20 cm
12
(Unifesp-SP) Uma droga na corrente sangüínea é eliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, par-tindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q0(0,64)t miligramas. Determine:a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em 1 hora;
b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade. Utilize log10 2 = 0,30.
a) Q(1) = Q09 0,64 1
Após 1 hora, há 64% da quantidade inicial da droga no sangue; portan-to, em 1 hora, 36% da droga é eliminada pelos rins.
b) De Q(t) 1 2Q0 = , temos: Q 0, 64 1 2 Q 0 t 0 9 = 9 log 0,64t= log 2−1 t log 2 10 log 2 6 2 = −
t(6 log 2 − 2 log 10) = −log 2
t(1,8 − 2) = −0,3 Ι t = 1,5 hora ou 1h 30min T0 = 20 )C, T(0) = 100 )C e T 1 3 = 40 )C na relação T = T0 0 ke −ct, encontraremos: e 1 4 c 3 − = → ec3 = 4 Desenvolvendo, temos: e 1 64. C − = Como queremos T 5 6
, basta observarmos que 5 6 1 3 5 2 = 9 . T 5 6 = 20 0 80 e c 3 5 2 − = 20 0 80 1 4 5 2 = 20 0 80 9 1 32= 22,5 )C b) Pela lei do resfriamento, teremos 50 = 20 0 80e−ct, ou seja, e−ct= 3
8. Como e 1 64 c − = , teremos 1 64 3 8 t = . Usando logaritmos: t 3 ln 2 ln 3 6 ln 2 1 2 1,1 4, 2 1 2 11 42 21 11 42 10 42 5 21h 5 21 60 min 15 min = − = − = − = − = = = = 9 Λ
Função Logarítmica
M
8
Matemática
1414
(UERJ) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% a.a., enquanto a segunda cresce 15% a.a.Admita que essas taxas de crescimento permaneçam cons-tantes nos próximos anos.
a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. b) Essas duas populações serão iguais após determinado
tempo t, medido em anos. Se
t 1 log x
= , determine o valor de x.
15
(UFPel-RS) Um dos motivos que levam as pessoas a enfrentar o problema do desemprego é a busca, por parte das empresas, de mão-de-obra qualificada, dispensando funcionários não habilitados e pagando a indenização a que têm direito.Um funcionário que vivenciou tal problema recebeu uma indenização de R$ 57 000,00 em três parcelas, em que a razão da primeira para a segunda é
4 5 e a razão da segun-da para a terceira, 6 12. Dados: log 1,06 = 0,0253 log 1,01 = 0,0043
Com base no texto e em seus conhecimentos, determine: a) o valor de cada parcela;
b) o tempo necessário para que o funcionário aplique o valor da primeira parcela, a juro composto, a uma taxa de 1% a.m., para acumular um montante de R$ 12 738,00;
c) a taxa mensal que deve ser aplicada, a juro simples, à segunda parcela, para que o funcionário, no final de 2 anos, obtenha o montante de R$ 25 800,00.
a) Primeira parcela: p1 Segunda parcela: p2 Terceira parcela: p3 p1 0 p2 0 p3 = 57 000 쩸 a) x 0 10x = 12 100 000 11x = 12 100 000 x = 1 100 000 Logo: 1 100 000 9 1,15 = 1 265 000 habitantes b) Em t anos as populações serão:
• subúrbios = 10x 9 1,02t • favelas = x 9 1,15t 10x 9 1,02t = x 9 1,15t 10 9 1,02t = 1,15t log (10 9 1,02t) = log (1,15t) 1 0 t 9 log 1,02 = t 9 log 1,15 1 = t 9 log 1,15 1,02 t 1 log 1,127 = x = 1,127 ano
13
(UFES) Um pesquisador constata que, em um dado instante, existem 400 tartarugas da espécie A e 200 tarta-rugas da espécie B em uma reserva marinha. Nessa reser-va, a população de tartarugas da espécie A diminui a uma taxa de 20% a.a., enquanto a população da espécie B au-menta a uma taxa de 10% a.a.Determine, usando duas casas decimais, quanto tempo é necessário, a partir desse instante, para que as populações sejam iguais. (Considere: log 11 = 1,04 e log 2 = 0,30.)
Pelos dados, vem:
400(0,8)t= 200(1,1)t→ 2(0,8)t= (1,1)t
Aplicando logaritmo decimal em ambos os membros, vem: log 2(0,8)t= log (1,1)t
log 2 0 log (0,8)t= t 9 log 1,1
log 2 0 t 9 log (0,8) = t 9 log 1,1
log 2 t log 8 10 t log 11 10 0 9 = 9
log 2 0 t(log 8 − log 10) = t(log 11 − log 10) log 2 0 t(3 log 2 − log 10) = t(log 11 − log 10) Substituindo os valores dos logaritmos, vem: 0,30 0 t(3 9 0,3 − 1) = t(1,04 − 1) 0,30 − t 9 0,1 = t 9 0,04 t(0,04 0 0,1) = 0,30 t 0, 30 0,14 = t 15 7 anos = ou seja, 2 anos e 1
7 ano ou 2 anos, 1 mês e 21 dias aproximadamente.
De 쩹: p 4p 5 1 2 = De 쩺: p3= 2p2 Substituindo 쩹 e 쩺 em 쩸, temos: 4p 5 2 0 p2 0 2p2 = 57 000 4p2 0 5p2 0 10p2 = 285 000 19p2 = 285 000 p2= 15 000 Logo: p1= R$ 12 000,00 p2= R$ 15 000,00 p3= R$ 30 000,00 b) M = C(1 0 i)t 12 738 = 12 000(1 0 0,01)t 1,06 = 1,01t log 1,06 = log 1,01t log 1,06 = t 9 log 1,01 0,0253 = t 9 0,0043 t Λ 5,88 meses
Portanto, aproximadamente 6 meses. c) J = M − C J = 25 800 − 15 000 J = 10 800 ou R$ 10 800,00 Daí, temos: J C i t 100 = 9 9 10 800 15 000 i 24 100 = 9 9 i = 3% a.m. p p 4 5 1 2 = p p 6 12 2 3 = 쩹 e 쩺
M
8
Função Logarítmica
16
(UFAL) Resolva, no universo ς, a equação log3 x 0 log3 (x 0 2) = 1.x1= 1
x2= −3 (não serve) Ι x . −2 Resolvendo a equação, temos: log3 x(x 0 2) = 1
x(x 0 2) = 31
x20 2x = 3
x20 2x − 3 = 0
Da equação, devemos ter: x . 0
x 0 2 . 0 Θ x . −2
a) Com x − 2 . 0 e x 0 2 . 0, isto é, com x . 2, temos: log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2 log [(x − 2)(x 0 2)] = log 100 log (x2 − 4) = log 100 x2 − 4 = 100 x2= 104 x=2 26 ou x= −2 26
Com a condição x . 2, temos x = 2 26 . b) Com x . 0 e log x = t(10t = x), temos:
xlog x = 100x Θ (10t)t = 102 9 10t
10t2 102 t
= 0
t2 = 2 0 t
t2− t − 2 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos: t = 2 ou t = −1
t = 2 Θ x = 102 Θ x = 100
t = −1 Θ x = 10−1Θ x = 1
10
18
(FGV-SP)a) Resolva a equação log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2. b) Quais as raízes da equação xlog x= 100x?
123
17
(IBMEC-SP) Zé Munheca e João Gastão são dois ir-mãos que têm hábitos bem diferentes quando se trata de dinheiro. Zé Munheca, sempre muito econômico e atento aos melhores investimentos, consegue duplicar, num prazo de 2 anos, qualquer capital que lhe seja disponibilizado. Já João Gastão, muito esbanjador, não consegue contro-lar seus gastos, vendo seu dinheiro se reduzir à metade a cada 3 anos.Ciente disso, seu pai, antes de morrer, não dividiu igual-mente sua fortuna entre os dois filhos: reservou a João Gastão uma quantia igual a 1 024 vezes à quantia dada a Zé Munheca.
Considere em seus cálculos apenas o dinheiro que os ir-mãos herdaram de seu pai.
a) Quanto tempo depois de receberem suas partes na he-rança os dois irmãos terão a mesma quantia em di-nheiro?
b) Quanto tempo depois de receber sua parte na herança, aproximadamente, Zé Munheca terá uma quantia igual a 5 vezes à quantia de João Gastão? Se necessário, uti-lize log 2 = 0,30.
a) Sendo t o tempo em anos (t = 0 hoje, t = 1 daqui a um ano etc.), podemos escrever: Para Zé: at = x 9 2 t 2 Para João: bt = 1 024 9 x 9 1 2 t 3 at= btΘ x 9 2 t 2 = 1 024 9 x 9 1 2 t 3 Θ 2 2 2 t 2 t 3 10 9 = Θ 25t6 = 210 t = 12 anos b) at= 5bt x 9 2t2 = 5 9 1 024 9 x 9 1 2 t 3 2 5t 6= 10 9 512 log 2 5 6 t = log 10 0 log 29 5 6t 9 log 2 = 1 0 9 log 2 5 6t 9 0,30 = 1 0 9 9 0,30 t = 14,8 anos
Função Logarítmica
M
8
Matemática
16colog3 [log5 (log2 2125)]
−log3 [log5 (log2 2 125)]
−log3 [log5 (125 9 log2 2)]
−log3 [log5 125]
−log3 [3 log5 5]
−log3 3 = −1
20
(Fafi-BH) O valor de colog3 [log5 (log2 2125)] é:a) 0 Xb)−1 c) 2 d) 3 e) 1
19
(UEM-PR) Sobre logaritmos e exponenciais, assi-nale o que for correto.(01) Se 1 10 1 10 x y . , então x . y.
(02) Se log4 3 = a e log3 7 = b, então log2 21 = 2a(1 0 b). (04) Se log15 3 = c, então log 15 1 1 c 5 = − .
(08) Se (2x)x 0 1= 64, então a soma dos valores de x que
satisfazem essa equação é igual a 5. (16) A função f definida por
f(x) 2
x
=
( )
, x 7 ς, é cres-cente.(32) Para analisar fraturas em construções, usam-se raios X. Quando os raios penetram no concreto, a sua intensidade é reduzida em 10% a cada 20 cm percorri-dos no concreto. A profundidade d em que a intensi-dade dos raios será de 0,09% da intensiintensi-dade inicial é
d 20
log (0, 0009) log (0, 9)
= .
21
(UFRJ) Sendo x e y números reais e y ϑ 0, expresse o logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e log2 3. log 3 log 3 log 2 x log 3 y log 2 x log 3 y 2 x 2 x 2 y 2 2 2 y = = = 01. Incorreto 1 10 1 10 x y . Θ x , y 02. Correto log 3 log 3 log 4 a log 3 2 log 3 2a 4 2 2 2 2 = → = → = log 7 log 7 log 3 b log 7 2a log 7 2ab 3 2 2 2 2 = → = → = Portanto:
log2 21 = log2 (7 9 3) = log2 7 0 log2 3 = 2ab 0 2a = 2a(b 0 1)
04. Correto log 3 c log 3 log 15 c log 3 log 5 log 3 c 15 5 5 5 5 5 = = 0 = → → log 3 1 log 3 5 5
0 = c Θ log5 3 − c log5 3 = c Θ log5 3 9 (1 − c) = c
log 3 c 1 c
5 = −
Daí, vem:
log5 15 = log5 (5 9 3) = log5 5 0 log5 3 = 1 0
c 1 c 1 1 c − = − 08. Incorreto (2x)x 0 1= 64 Θ 2x2 0 x = 26 x20 x = 6 x2 0 x − 6 = 0 A soma é igual a: S = 2 − 3 = −1 16. Correto
Como a base 2 é maior que 1, a função f(x)=
( )
2 x é crescente. 32. CorretoA intensidade I em função da profundidade d é dada por: I I (1 0 0,1) I I (0, 9) d 20 0 d 20 = − → = Fazendo I = 0,09% I0, vem: 0,09% I0 I (0, 9)0 d 20 = 0 0009, = 0, 920d log 0, 0009 log(0, 9) d 20 = log 0, 0009 d 20 log 0, 9 = 9 d 20 log 0, 0009 log 0, 9 = 9 x’ = 2 x” = −3 Portanto: 2 0 4 0 16 0 32 = 54
M
8
Função Logarítmica
• 2n = 5 Θ log 2n = log 5 Θ n log 2 = log 5
• log log log log log ( ) log
log log log
50 2 4 4 50 2 2 5 5 2 2 2 5 5 = = 9 9 = 0 0 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 log log log log log log 0 = 0 9n = 2 2 2 1 2 2 1 2 log log 9 0( n) = 0 n
22
(UA-AM) Sendo 2n= 5, então log50 4 em função de n é igual a: a) 2 10 n c) 1 10 n e) 2 20 n b) 1 10 n2 d) 2 10 n2
24
(ECM-AL) Considerando log 2 = 0,30, o valor de log4 3,2 é: a) 5 3 b) 6 5 c) 1 2 d) 5 6 e) 20 X XSubstituindo os valores dos logaritmos, temos: Aplicando a fórmula de mudança de base, vem:
log , log , log log log log log log 43 2 2 3 2 4 32 10 2 32 10 2 2 = = = − log log log log log log 2 10 2 2 5 2 10 2 2 5 − = − log , , , , , 43 2 5 0 30 1 2 0 30 0 5 0 6 5 6 = 9 − 9 = =
25
(UFU-MG) Determine todos os valores de x 7 ς tais que satisfaçam a equação log4 (x − 3) = 1 0 log16 (x − 3).A condição de existência é: x − 3 . 0 Θ x . 3
Resolvendo a equação, temos:
log ( ) log ( ) log log ( ) log ( ) 4 4 4 4 4 3 1 3 16 3 1 3 2 x x x x − = 0 − − = 0 −
Como 19 . 3, o conjunto solução é S = {19}. 2 log4 (x − 3) = 2 0 log4 (x − 3)
log4 (x − 3) = 2 x − 3 = 16 x = 19
26
(UFF-RJ) São dados os números reais positivos a, b e x tais que a ϑ 1 e b ϑ 1.Sabe-se que loga x = 2 e logb x = 4.
Calcule logaba x. Mas a2= x e b4= x. Assim, a2= b4 e b2 = a Θ b= a. log log log log log log log log log ab a a a a a a a a a x a x ab a x a b x b = = 0 0 = 0 0 1 1 2 1 log log ab a a x a = 0 9 0 = 0 0 = = 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 3 2 4 3 Logo:
23
(UFC) O número real x, positivo e diferente de 1, que satisfaz a equação logx (2x) 9 log2 x = 3 − log2 xéigual a: a) 23 d) 4 b) 2 e) 4 23 c) 2 23 X
Mudando para a base 2, temos:
log (2x) log x log x 3 log x log 2 2 2 2 2 2 9 = − log 2 log x log x log x 3 1 2 log log 2 2 2 2 2 2 2 0 9 = − x 1 log x 3 log x 2 2 2 0 = − 2 0 2 log2 x = 6 − log2 x 3 log2 x = 4 log x 4 3 2 = x=2 23
Função Logarítmica
M
8
Matemática
1827
(Fuvest-SP) Se x é um número real,x . 2 e log2 (x − 2) − log4 x = 1, então o valor de x é: a) 4 − 2 3 d) 4 02 3 b) 4 3− e) 2 04 3 c) 2 02 3 Com x . 2, temos: log2 (x − 2) − log4 x = 1 log2 (x − 2) − log log 2 2 x 4 = 1 log2 (x − 2) − 1 2 log2 x = 1 2 log2 (x − 2) − log2 x = 2 log (x 2) x 2 2 2 − = (x 2) x 2 2 2 − = (x − 2)2 = 4x x2 − 8x 0 4 = 0 x= ±4 2 3 Da condição x . 2, temos x 4 2 3= 0 .
28
(UFMG) Neste plano cartesiano estão representa-dos o gráfico da função y = log2 x e o retângulo ABCD, cujos lados são paralelos aos eixos coordenados.A abscissa de A é 1 4. Logo, a abscissa de D é 1 4. y = log2 x Θ y log 1 4 2 1 4 2 y = → = Θ 2y= 2−2Θ y = −2 A ordenada de D é −2. A abscissa de B é 8. Logo: y = log2 8 Θ 2 y = 8 Θ 2y = 23 Θ y = 3. A ordenada de B é 3. X Sabe-se que:
• os pontos B e D pertencem ao gráfico da função y = log2 x; • as abscissas dos pontos A e B são, respectivamente,
1 4
e 8.
Então, é correto afirmar que a área do retângulo ABCD é:
a) 38,75 b) 38 c) 38,25 d) 38,5 x y A B y = log2 x D C
29
(FGV-SP) Considere as funções: f(x) = 3x − 3 eg(x) = log3 (x 0 1), sendo loga (b) o logaritmo de b na base a. a) Esboce a representação gráfica das funções f(x) e g(x)
num mesmo sistema cartesiano de eixos.
b) Escreva a equação das retas r e s, assíntotas das funções f(x) e g(x), respectivamente.
c) Determine as coordenadas dos pontos P e R, intersecções das funções f(x) e g(x), respectivamente, com o eixo Ox e as coordenadas dos pontos Q e S, intersecções das funções f(x) e g(x), respectivamente, com o eixo Oy. d) Determine graficamente o número de soluções da
equa-ção f(x) = g(x). a) x y y = g(x) y = f(x) 1 0 1 2 3 4 5 2 3 −1 −1 −2 −3 r s
b) As equações das retas r e s são, nessa ordem, y = −3 e x = −1. c) De 3x− 3 = 0, temos 3x= 3, ou seja, x = 1 (P).
De log3 (x 0 1) = 0, temos x 0 1 = 1, ou seja, x = 0 (R). De f(x) = 3x− 3, temos f(0) = 30− 3 = −2 (Q).
De g(x) = log3 (x 0 1), temos g(0) = log3 (0 0 1) = 0 (S).
d) As curvas y = f(x) e y = g(x) interceptam-se em apenas dois pontos distintos. Portanto: AD = 3 − (−2) = 5 AB 8 1 4 31 4 = − =
A área do retângulo ABCD é: S 5
31 4 38, 75
= 9 =
M
8
Função Logarítmica
30
(UENF-RJ) Um grupo de 20 ovelhas é libertado para reprodução numa área de preservação ambiental. Subme-tidas a um tratamento especial, o número N de ovelhas existentes após t anos pode ser estimado pela seguinte fór-mula: N 220 1 10(0, 81)t = 0Admita que a população de ovelhas seja capaz de se man-ter estável, sem esse tratamento especial, depois de atin-gido o número de 88 ovelhas.
a) Calcule o número de ovelhas existentes após 6 meses. b) Considerando ln 2 = 0,7, ln 3 = 1,1 e ln 5 = 1,6,
calcu-le a partir de quantos anos não haverá mais a necessi-dade de tratamento especial do rebanho.
31
(Vunesp-SP) A função p(t) 9 8 1 12 3 (0,1)t = 0 0 9 −expressa, em função do tempo t (em anos), aproximada-mente, a população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do grá-fico dessa função, para 0 < t < 80, é dado na figura.
t (em anos) (gráfico fora de escala) População
(em milhões de hab.)
32 80 9 10 15 17 0
a) Quando a população atingiu 12 milhões de habitantes: p(t) = 12 Θ 9 0 8 1 12 30 9 −(0,1)t = 12 8 1 12 30 9 −(0,1)t = 3 Θ 3 0 12 9 31 − 0,1t= 8 31 − 0,1t= 5 12 Θ 1 − 0,1t = log3 5 12 1 − 0,1t = log3 5 − 2 log3 2 − log3 3
0,1t = −1,4 0 2 9 0,6 0 2 Θ 0,1t = 1,8 t = 18 anos, ou seja, em 1950 0 18 = 1968. b) Em 1950, isto é, para t = 0 temos
p(0) = 9 0 8
13 Λ 9,61 milhões de habitantes.
Com base no gráfico, o conjunto solução de p(t) > 15 é S = [32, 80]. De acordo com o gráfico, a equação p(t) = k tem soluções reais para p(0) < k < p(80) Θ 9,61 < k < 17, aproximadamente, em milhões de habitantes.
a) De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de habitantes. (Use as aproximações log3 2 = 0,6 e log3 5 = 1,4.) b) Determine aproximadamente quantos habitantes tinha
o país em 1950. Com base no gráfico, para 0 < t < 80, admitindo que p(80) = 17, dê o conjunto solução da inequação p(t) > 15 e responda, justificando sua res-posta, para quais valores de k a equação p(t) = k tem soluções reais. a) Com 6 meses = 1 2 ano, temos: N 220 1 10(0, 81) 1 2 = 0 Θ N = 22 ovelhas b) 220 1 10(0, 81) 88 (0, 81) 3 20 9 10 3 20 t t 2t 0 > → < → < 2t(ln 9 − ln 10) < ln 3 − ln 20 t ln 3 ln 20 2(ln 9 ln 10) > − − t ln 3 2 ln 2 ln 5 4 ln 3 2 ln 2 2 ln 5 > − − − − t 1,1 2 0,7 1,6 4 1,1 2 0,7 2 1,6 > − 9 − 9 − 9 − 9 t > 9,5 anos
Função Logarítmica
M
8
Matemática
20 1 1 2 2 3 3 −1 −1 쩸 쩸 5 쩹33
(UFSM-RS) O domínio da funçãof(x)= − 0 0 − 0 x x x x 1 1 10 5 6 2 log ( ), em ς, é o sub-conjunto: a) ]−∞, −1[ 6 [1, 2[ 6 ]3, 0∞[ b) ]−∞, 0∞[ c) ]−∞, 1] 6 [2, 0∞) d) {x 7 ς\x , −1 ou x > 1} e) {x 7 ς\x , 1 ou x . 3} X Devemos ter: x2 − 5x 0 6 . 0 쩹 1 4 2 4 3 x x − 0 > 1 1 0 y1= x − 1 x − 1 = 0 Θ x = 1 x x com x − 0 > ϑ − 1 1 0, 1 y2= x 0 1 x 0 1 = 0 Θ x = −1 Quadro de sinais Portanto: D = {x 7 ς\x , −1 ou 1 < x , 2 ou x . 3} ou D = ]−∃, −1[ 6 [1, 2[ 6 ]3, 0∃[ 쩹 x2− 5x 0 6 . 0 쩸 5 쩹: 1 } { x −1 } { x − { { −1 1 1 −1 y1 y2 { { } 2 3
32
(UFBA) O número de bactérias de determinada cul-tura varia de acordo com a lei N(t) =100 29 −1
2 , em que
o tempo t é dado em horas. Nessas condições, pode-se afirmar:
(01) No instante t = 0, o número de bactérias existentes na cultura é igual a 200.
(02) Depois de 8 horas, o número de bactérias existentes na cultura é menor que 7.
(04) Em 4 horas, a quantidade de bactérias na cultura se reduz a
1
4 da quantidade inicial.
(08) Na cultura, a quantidade de bactérias se reduz de
2
5 da quantidade inicial no tempo t= 2
5 3 2 log . (16) Em relação ao tempo, a variação da quantidade de bactérias é represen-tada pelo gráfico ao lado.
01. Incorreto. Sendo t = 0, temos:
N(0)=100 29 − ΘN(0)=100 29 =100
0
2 0
02. Correto. Fazendo t = 8, obtemos:
N(8)= 9 = 9 = = = (6, 25 , 7) − − 100 2 100 2 100 2 100 16 6 25 8 2 4 4 , 04. Correto. Se t = 4, temos: N(4)= 9 = = = 9100 − 100 2 100 4 25 25 1 4 4 2 08. Incorreto. Sendo N(t)= 9100=40, temos: 2 5 40 100 2 2 5 2 2 5 2 2 2 2 = 9 −t Θ = −t Θlog =log −t t= 2 5 2 2 log
16. Incorreto. Tabelando a função, temos:
Portanto: 2 0 4 = 6 N(t) t 0 100 x 0 1 2 4 y 100 50 t N 0 100 2 50 4 25 쩸 쩸
M
8
Função Logarítmica
34
(UFBA) O gráfico representa a funçãof: ς Θ ]1, 0∞[; f(x) = a 0 b 9 2kx, sendo a, b e k constantes
reais. A partir dessas informações, calcule f−1(x).
Com base no gráfico de f(x) = a 0 b 9 2kx, conclui-se que a função
g(x) = b 9 2kx sofreu uma translação de 1 unidade, logo a = 1.
Além disso, pelo gráfico tem-se que f(0) = 3 e f(−1) = 5. f(0) = 3 Θ 3 = 1 0 b Θ b = 2
f(−1) = 5 Θ 5 = 1 0 2 9 2−kΘ 4 = 2 9 2−k Θ 22= 21 − k
2 = 1 − k Θ k = −1
Logo, f(x) = 1 0 2 9 2−x= 1 0 21 − x.
Cálculo da função inversa f−1(x):
y = 1 0 21 − x Θ y − 1 = 21 − x Θ log 2 (y − 1) = 1 − x Θ x = 1 − log2 (y − 1) Portanto, f−1(x) = 1 − log 2 (x − 1). y x 5 3 1 0 −1
35
(UFOP-MG) Resolva a inequação log2 (x − 3) 0 log2 (x − 2) , 1.Devemos ter: x − 3 . 0 Θ x . 3 x − 2 . 0 Θ x . 2
Resolvendo a inequação, temos: log2 (x − 3)(x − 2) , 1 (x − 3)(x − 2) , 2 x2 − 5x 0 6 , 2 x2− 5x 0 4 , 0 x1= 4 x2= 1 Raízes: x2− 5x 0 4 = 0 S = {x 7 ς\3 , x , 4} Fazendo 쩸 5 쩹, obtemos: Θ 1 , x , 4 쩹 { { } 1 4 x 3 3 4 4 1 쩹 쩸 쩸 5 쩹
36
(Fuvest-SP) O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log2 (2x 0 5) − log2 (3x − 1) . 1 é o intervalo: a) −∞, − 5 2 d) 1 3, 7 4 b) 7 4, ∞ e) 0, 1 3 c) − 5 2, 0 Ι x . 3 쩸 log2 (2x 0 5) − log2 (3x − 1) . 1 log 2x 5 3x 1 2 0 − . 1 e 3x − 1 . 0 2x 5 3x 1 0 − . 2 e 3x − 1 . 0 x 7 4 e x 1 3 1 3 x 7 4 , . → , ,37
(Vunesp-SP) Considere as funçõesf(x) x 2 = e g(x) = log2 x, para x . 0.
a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas re-tangulares, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8. b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto
solu-ção da inequasolu-ção
x
2, log2 x e justifique por que
π 2 , log2π. f(x) x 2 = g(x) = log2 x a) b) π 2 , log2 x Θ 2 , x , 4 Se 2 , π , 4, então π 2 , log2π. x 1 2 4 8 f(x) 1 2 1 2 4 x 1 2 4 8 g(x) 0 1 2 3 x 1 0 1 2 4 2 4 8 1 2 f g y X
Função Logarítmica
M
8
Matemática
2241
(UFRJ) Ana e Bia participaram de um site de relacio-namentos. No dia 1o de abril de 2005, elas notaram queAna tinha exatamente 128 vezes o número de amigos de Bia. Ana informou que, para cada amigo que tinha no fi-nal de um dia, três novos amigos entravam para sua lista de amigos no dia seguinte. Já Bia disse que, para cada amigo que tinha no final de um dia, cinco novos amigos entravam para sua lista no dia seguinte. Suponha que ne-nhum amigo deixe as listas e que o número de amigos aumente, por dia, conforme elas informaram.
a) No dia 2 de abril de 2005, 20 novos amigos entraram para a lista de Bia.
Quantos amigos havia na lista de Ana em 1o de abril?
b) Determine a partir de que dia o número de amigos de Bia passa a ser maior do que o número de amigos de Ana. Se precisar, use a desigualdade
1,584 , log2 3 , 1,585.
a) No dia 2 de abril, entraram 20 novos amigos para a lista de Bia. Logo: 5b1= 20 Θ b1= 4
Então, Bia tinha 4 amigos em 1o de abril.
No dia 1o de abril, Ana tinha:
128 9 4 = 512 amigos
b) No enésimo dia, o número de amigos de cada uma é: Ana Θ an = 512 9 4n − 1 Bia Θ bn = 4 9 6n − 1 Portanto: bn . an Θ 4 9 6n − 1 . 512 9 4n − 1 6 4 512 4 n 1 n 1 − − . 3 2 2 n 1 7 − . n 1 7 log 3 2 1 − . − n 7 log 3 2 1 1 . − 0
Sendo 1,584 , log2 3 , 1,585, vem:
7 0,585 7 log 3 1 7 0,584 11,96 7 log 3 1 11,98 2 2 , − , → , − ,
A partir de 13 de abril, o número de amigos de Bia supera o de Ana. a) Devemos ter y > 1,2. Logo:
y > 1,2
3 − 3 9 (0,95)t > 1,2
−3 9 (0,95)t > −1,8
(0,95)t < 0,6
Tomando os logaritmos decimais do 1o e 2o membros, temos:
log (0,95)t< log 0,6 Θ t 9 log 0,95 < log 0,6
Como log 0,95 Λ −0,02 e log 0,6 = −0,22, obtemos: t9 −( , )< − , Θ >t Θ .t dias
, ,
0 02 0 22 0 22
0 02 11
b) Por outro lado, quanto maior é o valor de t, tanto mais o valor de (0,95)t
aproxima-se de zero e, assim, o valor de y aproxima-se de 3. O gráfico de y em função de t é dado pelo esboço a seguir:
39
(FGV-SP) O anúncio de certo produto aparece dia-riamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição (t exposições diárias), o número de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado por y = 3 − 3 9 (0,95)t, em que y é dado em milhões de pessoas.a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhão de pessoas conhecendo o produto?
b) Faça o gráfico de y em função de t.
40
(UFMA) A função f(x) (2x = − 2 5 3 x log ) possui como domínio, no conjunto ς dos números reais, o intervalo: a) ]−3, 0∞[ c) ]3, 0∞[ e) ]−2, 0∞[ b) 5 2,0∞ d) − 0∞ 7 2, 2x − 5 . 0 Θ 2x . 5 Θ x. 5 2 log3 (2x − 5) . 0 Θ log3 (2x − 5) . log3 1Devemos ter: 14243 De 쩸 e 쩹 vem: {x 7 ς\x . 3}, ou seja, ]3, 0∞[ 2x − 5 . 1 2x . 6 x . 3 X 0 3 y t
38
(Unicamp-SP) Um capital de R$ 12 000,00 é aplica-do a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizaaplica-dos anual-mente. Considerando que não foram feitas novas aplica-ções ou retiradas, encontre:a) o capital acumulado após 2 anos;
b) o número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial.
(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.)
O capital acumulado após n anos é dado, em R$, por C(n) = 12 000 9 1,08n.
a) C(2) = 12 000 9 1,082 C(2) = 12 000 9 1,1664 Ι C(2) = 13 996,80 b) De C(n) . 12 000 9 2, temos: 12 000 9 1,08n. 12 000 9 2 1,08n. 2 log (1,08)n. log 2 n 9 log 1,08 . log 2 n 9 [log (229 339 10−2)] . log 2
n 9 [(2 log 2 0 3 log 3 − 2)] . log 2 n 9 (0,602 0 1,431 − 2) . 0,301 n 9 0,033 . 0,301 n 0,301 0,033 . n . 9,12
O menor valor inteiro de n é, portanto, igual a 10.
쩸
M
9
Noções de Matemática Financeira
Caderno de
Atividades
TERCEIRÃO FTD
TERCEIR
ÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
M
9
TERCEIRÃO FTD
Noções de Matemática
Financeira
O faturamento será de 0,9 9 1,20 = 1,08 do faturamento anterior. Logo, aumentou em 8%.
2
(UFPE) Quando o preço da unidade de determinado produto diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% du-rante certo período. No mesmo período, de que percentual aumentou o faturamento da venda deste produto?a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 30%
X
90% do lucro obtido em 2002 é 0,9 9 350 000 = 315 000 (reais). Logo, o lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido no ano anterior.
3
(ENEM) As “margarinas” e os chamados “cremes ve-getais” são produtos diferentes, comercializados em em-balagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciar um produto do outro, deve ler com atenção os dizeres do rótulo, geralmente em letras muito pequenas. As figuras que seguem representam rótulos desses dois produtos.As quantidades de lipídios em 200 g de creme vegetal e 200 g de marga-rina são, respectivamente, 35% 9 200 g = 70 g e 65% 9 200 g = 130 g. Uma pessoa que, inadvertidamente, utiliza creme vegetal em vez de mar-garina estará usando
70 g 130 g 7 13 0, 54% 54% = Λ = da quantidade
ne-cessária de lipídios. A melhor aproximação desse resultado é “a metade”. X
Podemos afirmar que:
a) o lucro da empresa em 2003 foi 15% superior ao lucro de 2001.
b) o lucro da empresa em 2005 foi 30% superior ao lucro de 2001.
c) o lucro da empresa em 2004 foi 10% inferior ao de 2002. d) o lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido pela empresa
no ano anterior.
d) o lucro obtido em 2005 superou em 17% o do ano an-terior.
X
Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentí-cias é torná-las mais maalimentí-cias. Uma pessoa que, por desatenção, use 200 g de creme vegetal para preparar uma massa cuja receita pede 200 g de margarina, não obterá a consistência desejada, pois estará utilizando uma quanti-dade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproxi-madamente: a) o triplo d) um terço b) o dobro e) um quarto c) a metade Peso líquido500 g MARGARINA 65% de lipídios
valor energético por porção de 10 g: 59 kcal
Peso líquido500 g
CREME VEGETAL 35% de lipídios
valor energético por porção de 10 g: 32 kcal Não recomendado para uso culinário
0 500000 reais 300000 300000 350000 315000 340000 405000 100000 200000 400000 2001 2002 2003 2004 2005 ano
1
(FGV-SP) O gráfico abaixo representa os lucros anuais, em reais, de uma empresa ao longo do tempo.Noções de Matemática Financeira
M
9
24
Matemática
Seja x o valor de lançamento.
O valor atual é de x 0 4x = 5x, que representa um aumento de 400% em relação a x.
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(PUC-RS) O valor de um produto foi acrescido de qua-tro vezes o da época de seu lançamento no mercado. A porcentagem que o valor atual representa, em relação ao preço inicial, é de:a) 500% b) 450% Xc) 400% d) 5% e) 4%
Em questões como a 4, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
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(UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s): (01) Se uma pessoa A pode fazer uma peça em 9 dias detrabalho e outra pessoa B trabalha com velocidade 50% maior do que A, então B faz a mesma peça em 6 dias de trabalho.
(02) Uma empresa dispunha de 144 brindes para distri-buir igualmente entre sua equipe de vendedores, mas como no dia da distribuição faltaram 12 vendedores, a empresa distribuiu os 144 brindes igualmente en-tre os presentes, cabendo a cada vendedor um brinde a mais. Logo, estavam presentes 36 vendedores no dia da distribuição.
(04) Se reduzindo o preço x em 20% se obtém y, então y deve sofrer um acréscimo de 20% para se obter nova-mente x.
(08) A soma de dois números naturais é 29. Então o valor mínimo da soma de seus quadrados é 533.
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(UFPE/UFRPE) A população de pobres de um certo país, em 1981, era de 4 400 000, correspondendo a 22% da popu-lação total. Em 2001, esse número aumentou para 5 400 000, correspondendo a 20% da população total. Indi-que a variação percentual da população do país no período.6
(UFG) Um cliente encomendou 12 centos de quibe e 5 centos de empadinha de camarão, cujo custo total era de R$ 305,00. Quando foi pagar a mercadoria, o cliente pediu um desconto e o comerciante deu 10% de desconto no preço do cento do quibe, mas não deu desconto no cento da empadinha de camarão. Com o desconto dado, o cliente pagou R$ 287,00 pela mercadoria. Calcule: a) o desconto obtido pelo cliente no valor da conta, emporcentagem;
b) o preço pago pelo cliente nos centos do quibe e da empadinha de camarão. 01. Correta Dias Velocidade 9 v x 1,5v 02. Correta 144 x 12 144 x 1 − = 0 144 x(x 12) 144(x 12) x(x 12) x(x 12) − = − 0 − − x2 − 12x − 1 728 = 0 Θ 9 x = 1, 5v v Θ x = 6 dias
A população de pobres era igual a: 1981 Θ 4 400 000 0, 22 = 20000000 2001 Θ 5 000 0, 20 400 = 27000000 A variação percentual é: (27000 000 20 000 000 −20 000 000) = 0,35 ou 35% a) O desconto d é igual a: 305 − d 9 305 = 287 305d = 18 d Λ 0,06 ou d Λ 6%
b) Os preços dos centos de quibe q e da empadinha de camarão c satisfa-zem o sistema: 123 , cuja solução é q = 15 e c = 25. 12q 0 5c = 305 12(0,9)q 0 5c = 287 x1= 48 x2= −36 (não serve) Estavam presentes: 48 − 12 = 36 vendedores. 04. Incorreta
Sendo x o preço, temos:
y = x − 20%x Θ y = x − 0,2x Θ y = 0,8x Estabelecendo uma regra de três, temos: 0,8x − 100%
x − a
O acréscimo deverá ser de 25%. 08. Incorreta
Se x e y são números naturais tais que x 0 y = 29, temos: x y 720 222= 49 0 484 = 533 0 29 820 212= 64 0 441 = 505 1 28 920 202= 81 0 400 = 481 2 27 1020 192= 100 0 361 = 461 . . 1120 182= 121 0 324 = 445 . . 122 0 172 = 144 0 289 = 433 . . 132 0 162 = 169 0 256 = 425 7 22 142 0 152 = 196 0 225 = 421 8 21 9 20 . . . . . .
O valor mínimo de x2 0 y2 não é 533 e sim 421.
Portanto: 1 0 2 = 3 → → 0, 8x x 100 a a 125% = =
Sendo 10% de 15,00 = 0,1 9 15,00 = 1,50, o cliente pagou pelo cento do quibe: 15,00 − 1,50 = R$ 13,50 e R$ 25,00 pelo cento da empadinha de camarão.
M
9
Noções de Matemática Financeira
80% da causa: 0,8 9 200 000 = 160 000 100% − 15% = 85%: 0,85 9 160 000 = 136 000 Ele receberá R$ 136 000,00.
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(Unesp-SP) Um advogado, contratado por Marcos, con-segue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 200 000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de:a) 24 000,00 c) 136 000,00 e) 184 000,00 b) 30 000,00 d) 160 000,00
X
9
(MACK-SP) Numa loja, uma caixa com 5 barras de chocolate está à venda com a inscrição “Leve 5, pague 4”. O desconto aplicado ao preço de cada barra corresponde, em porcentagem, a:a) 8 d) 20
b) 10 e) 25
c) 12,5
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(UFRJ) No gráfico abaixo, x representa a quantida-de quantida-de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca quantida-de seu Custódio, em um dia de feira, e y representa o valor, em reais, arrecadado com essa venda. A partir das 12 horas, o movimento diminui e o preço do quilograma de batatas também diminui.X
Suponhamos que, sem desconto algum, o preço de uma barra seja x reais. Assim, sem desconto, o preço de 5 barras seria 5x reais.
Com o desconto, o preço de 5 barras passa para 4x reais. Há, portanto, um desconto de x reais em cada 5x reais. O desconto é dado por
x 5x 1 5 = , o que corresponde a 20%.
a) Antes das 12 h, a redução é de: 72
60 = 1,20 reais/kg
A partir das 12 h, a redução é de:
90 72 80 60 18 20 − − = = 0,90 real/kg
a) Calcule a redução percentual do preço do quilograma de batatas a partir das 12 horas.
b) Se o preço não diminuísse, teria sido arrecadado um valor V na venda de 80 kg.
Determine o percentual de V que corresponde à perda causada pela redução do preço.
x (kg) y (R$) 60 80 72 90 0
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(UFSC) Um quadro cujo preço de custo era R$ 1 200,00 foi vendido por R$ 1 380,00. Justifique se o lucro obtido na venda, sobre o preço de custo, foi de 18%.O lucro é de:
1 380,00 − 1 200,00 = 180,00
A porcentagem do lucro sobre o preço de custo é de: 180 00
1 200 00 ,
, = 0,15 = 15% A redução percentual é igual a:
1, 20 0, 90 1, 20 0, 30 1, 20 − = = 0,25 = 25%
b) A arrecadação com preço inicial de R$ 1,20 é: 80 9 1,20 = R$ 96,00
Se o valor arrecadado é R$ 90,00, o percentual de perda é:
96 90 96 6 96 − = = 0,0625 = 6,25%
Seja x o preço inicial:
x(1 0 0,10)(1 0 0,20) = x 9 1,1 9 1,2 = 1,32x = x(1 0 0,32) Sofreu um aumento total de 32%.
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(UFOP-MG) O preço de uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos, de 10% e 20%. De quantos por cen-to foi o aumencen-to cen-total dessa mercadoria?a) 30% Xb) 32% c) 25% d) 22% e) 12%
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(PUC-SP) Em uma indústria é fabricado certo pro-duto ao custo de R$ 9,00 a unidade. O proprietário anun-cia a venda desse produto ao preço unitário de x reais, para que possa, ainda que dando ao comprador um des-conto de 10% sobre o preço anunciado, obter um lucro de 40% sobre o preço unitário de custo. Nessas condições, o valor de x é:a) 24 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12
Do enunciado, o preço de venda é 0,9 9 x, e o lucro é de 0,4 9 9. Logo:
0,9x = 9 0 0,4 9 9 0,9x = 12,6
x = 14
