Programação Recursiva

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Programa¸c˜

ao Recursiva

Ricardo Silva

2001/02

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Aula Pr´

atica

Sintaxe e Semˆ

antica da Linguagem Scheme

1. (Exerc.: 2.2.1)

Converta as seguintes expressões aritméticas em expressões Scheme e avalie-as: a) 1.2 x (2- 1/3) + -8.7

b) (2/3 + 4/9)/(5/11 - 4/3) c) 1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2)) d) 1 x -2 x 3 x -4 x 5 x -6 x 7 2. (Exerc.: 1.2)

Traduza a seguinte express˜ao para nota¸c˜ao prefixa:

5 + 4 + (2 − (3 − (6 +45))) 3(6 − 2)(2 − 7) 3. (Exerc.: 1.3)

Defina um procedimento que tome trˆes n´umeros como argumentos e devolva a soma dos quadrados dos dois maiores.

4. (Exerc.: 1.4)

Observe que o nosso modelo de avalia¸cão permite combina¸cões cujos operadores sejam expressões compostas. Use esta observa¸cão para descrever o comporta-mento do seguinte procedicomporta-mento:

(define (a-mais-abs-b a b) ((if (> b 0) + -) a b)) 5. (Exerc.: 1.5)

O Bruno inventou um teste para descobrir se o interpretador de Scheme que está a usar avalia as expressões de acordo com a estratégia de redu¸cão normal ou aplicativa. Ele define os dois procedimentos seguintes:

(define (p) (p)) (define (teste x y)

(if (= x 0) 0 y))

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Em seguida avalia a express˜ao (teste 0 (p))

Qual o resultado de avaliar a expressão se o interpretador usar a estratégia de avalia¸cão aplicativa? E se usar a normal? Explique a sua resposta. (Assuma que a regra de avalia¸cão para a forma especial if é independente da estratégia utilizada. O predicado é avaliado em primeiro lugar e o resultado determina se se avalia o consequente ou a expressão alternativa).

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Aula Pr´

atica

Exemplos de Programa¸

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ao em Scheme

1. (Exerc.: 1.6)

A Alice não percebe porque é que o if tem de ser considerado como uma forma especial. ”Porque é que não o definimos como um procedimento normal a partir do cond?”, pergunta ela. Eva, amiga da Alice afirma que realmente é poss´ıvel fazê-lo e define uma nova versão do if :

(define (novo-if predicado ent~ao sen~ao) (cond (predicado ent~ao)

(else sen~ao)))

A Eva mostra `a Alice que o programa funciona: (novo-if (= 2 3) 0 5)

5

(novo-if (= 1 1) 0 5) 0

Encantada, Alice usa o novo-if para reescrever o programa das ra´ızes quadradas: (define (raiz-iter aproxima¸c~ao x)

(novo-if (pr´oximo? aproxima¸c~ao x) aproxima¸c~ao

(raiz-iter (melhora aproxima¸c~ao x) x)))

O que acontece quando a Alice tentar calcular ra´ızes usando o novo progra-ma? Porquˆe?

2. (Exerc.: 1.7)

O teste próximo? usado no cálculo das ra´ızes quadradas não é muito eficiente para calcular as ra´ızes quadradas de números muito pequenos (em valor abso-luto). Além disso, as opera¸cões aritméticas são sempre efectuadas com precisão limitada, o que torna o nosso teste inadequado para números demasiado grandes. Explique estas afirma¸cões, com exemplos mostrando como o teste falha em am-bos os casos. Uma estratégia alternativa para implementar próximo? consiste em observar a altera¸cão da aproxima¸cão entre duas itera¸cões e para quando essa altera¸cão for uma pequena fraçcão da aproxima¸cão.

Defina um procedimento raiz-quadrada que use este tipo de teste. O no-vo procedimento funciona melhor para os n´umeros extremamente grandes e os extremamente pequenos?

3. (Exerc.: 1.8)

O método de Newton para ra´ızes cúbicas baseia-se no facto de que se y é uma aproxima¸cão da raiz cúbica de x, então é poss´ıvel encontrar uma melhor aprox-ima¸cão dada pelo valor

(x/y2+ 2y) 3

Use esta f´ormula para implementar um procedimento raiz-c´ubica semelhante ao procedimento raiz-quadrada.

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4. (Exerc.: 2.4.2)

Determine o valor da seguinte express˜ao. Explique como obteve esse valor. (let ((x 9))

(* x

(let ((x (/ x 3))) (+ x x)))) 5. (Exerc.: 2.4.3 )

Reescreva as seguintes expressões de forma a que não haja conflitos de so-breposi¸cão das variáveis, ou seja, de forma a que uma variável ocorra sempre no âmbito de um único let ou lambda

a)

(let ((x 7) (y 3))

(+ (let ((x 2))(* x y)) (let ((y 5))(* x y)))) b) (let ((x (/ (expt a b) 4))) (* (let ((x (sqrt x))) (* 2 x)) (let ((x (* 4 x))) (expt (let ((x (sqrt x))) (sqrt x)) (/ (let ((x (* 4 x))) x) (* 2 x)))))) 6. (Exerc.: 1.34 )

Suponha que definimos o procedimento (define (f g) (g 2)) Ent˜ao temos (f quadrado) 4 (f (lambda (z) (* z (+ 1 z)))) 6

O que acontece se (perversamente) pedirmos ao interpretador para avaliar

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Recurs˜

ao e Itera¸

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ao

1. (Exerc.: 1.9)

Cada um dos seguintes dois procedimentos define um m´etodo para adicionar dois inteiros positivos em termos dos procedimentos inc, que incrementa uma unidade ao seu argumento, e dec, que decrementa uma unidade ao seu argu-mento. (define (+ a b) (if (= a 0) b (inc (+ (dec a) b)))) (define (+ a b) (if (= a 0) b (+ (dec a) (inc b))))

Ilustre o processo de avalia¸cão da expressão (+ 5 4) por cada um destes procedimentos. São processos iterativos ou recursivos?

2. (Exerc.: 1.11)

Seja f a fun¸c˜ao definida pela regra

f (n)=n, se n < 3 e

f (n)=f (n - 1) + 2 f (n - 2) + 3 f (n - 3), se n_{> 3.}

Escreva um procedimento que calcule f por meio de um processo recursivo, e outro que calcule f por meio de um processo iterativo.

3. (Exerc.: 1.12)

O seguinte padrão de números é chamado triângulo de Pascal. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 . . .

Os números fronteiros do triângulo são todos 1, e cada número no interior do triângulo é a soma dos dois números acima dele. Escreva um procedimento que calcule os elementos do triângulo de Pascal recursivamente.

4. (Exerc.: 1.16)

Escreva um procedimento que calcule a exponencia¸c˜ao iterativamente e que use quadrados suessivos para obter um n´umero de passos logaritmico, como faz exp-rapida.

5. (Exerc.: 1.17)

Os algoritmos de exponencia¸cão que vimos são baseados na ideia de calcular a exponencia¸cão através da repeti¸cão da multiplica¸cão. De forma análoga, pode-se calcular a multiplica¸cão inteira repetindo a adi¸cão. O seguinte procedimento para a multiplica¸cão é análogo ao procedimento exp.

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(define (* a b) (if (= b 0)

0

(+ a (* a (- b 1)))))

O número de passos deste algoritmo é linear em b. Suponhamos agora, que para além da adi¸cão, faz´ıamos uso das opera¸cões dobro, que duplica o valor dum inteiro, e metade, que divide um inteiro (par) por 2. Defina então um procedimento para a multiplica¸cão análogo a exp-rapida, com um número de passos logar´ıtmico.

6. (Exerc.: 1.18)

Usando os resultados dos dois exerc´ıcios anteriores, crie um procedimento iter-ativo para multiplicar dois inteiros em termos da adi¸cão, duplica¸cão e divisão por 2.

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Fun¸

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oes de ordem superior

1. (Exerc.: 1.30)

O procedimento somatorio gera uma recursão linear. Este procedimento pode ser reescrito para que a soma seja efectuada iterativamente. Mostre como fazê-lo preenchendo as expressões que faltam na seguinte defini¸cão:

(define (somatorio express~ao a seguinte b) (define (iter a resultado)

(if <??> <??>

(iter <??> <??>))) (iter <??> <??>))

2. (Exerc.: 1.31)

O procedimento somatorio é apenas o exemplo mais simples de um grande número de abstraçcões semelhantes que podem ser descritas como procedimen-tos de ordem superior. Escreva um procedimento produtorio que devolve o produto dos valores de uma fun¸cão calculados num conjunto de valores dado. Mostre como definir factorial em fun¸cão de produtorio. Use ainda produto-rio para aproximar π usando a f´ormula:

π

4 =

2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · ·· 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · ·· Fa¸ca vers˜oes recursiva e iterativa deste procedimento. 3. (Exerc.: 1.32)

Mostre que somatorio e produtorio são casos particulares de uma no¸cão ainda mais geral que denotaremos acumula que combina uma coleçcão de termos, usando uma fun¸cão de acumula¸cão qualquer:

(acumula combinador valor-nulo expressao a seguinte b)

acumula toma como argumentos as mesmas especifica¸cões que somatorio e produtorio, juntamente com um procedimento combinador que especifi-ca como o corrente termo deve ser combinado com a acumula¸cão dos termos precedentes, e um valor-nulo que indica qual o valor base a usar quando a fun¸cão é invocada sem termos. Escreva acumula e mostre como somatorio e produtorio podem ser definidos a partir de acumula.

Fa¸ca vers˜oes recursiva e iterativa deste procedimento. 4. (Exerc.: 1.33)

Podemos obter uma versão ainda mais geral de acumula (exerc´ıcio anterior) introduzindo a no¸cão de um filtro nos termos a ser combinados. Isto é, combi-namos apenas os termos que satisfazem uma condi¸cão especifica. A abstraçcão resultante,acumula-filtrado,tem os mesmos argumentos de acumula, junta-mente com um predicado unário adicional, que funciona como filtro. Escreva o procedimento acumula-filtrado. Use este procedimento para expressar: a) a soma dos quadrados dos números primos no intervalo de a a b (assu-mindo a existência de um predicado primo? )

b) o produto de todos os inteiros positivos menores que n que s˜ao primos entre si com n (isto ´e, todos os inteiros positivos i < n tais que MDC(i,n)=1 ).

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5.

Defina a fun¸c˜ao quadrado usando o procedimento

(define exp-curry (lambda (x) (lambda (y) (exp y x)))) 6. (Exerc.: 1.37)

Uma fraçcão cont´ınua infinita ´e uma expressão da forma

f = N1 D1+ N2

D2+_D3+···N3

Como exemplo, podemos referir que a expansão infinita em fraçcão cont´ınua com todos os Ni e os Di iguais a 1 produz 1/φ, onde φ ´e a razão de ouro. Uma

forma de aproximar uma fraçcão cont´ınua infinita é truncar a expansão após um certo número de termos. Ficamos assim com aquilo a que se chama uma fraçcão cont´ınua k-termos finita, com a forma:

N1

D1+ N2 . ._.+N3

Dk

Suponhamos que n e d são procedimentos de um argumento (o ´ındice i) que devolvem os Ni e os Di dos termos das fraçcão cont´ınua. Defina um

procedi-mento frac-cont tal que avaliar (frac-cont n d k) calcule o valor da fraçcão cont´ınua k-termos finita. Verifique se o procedimento está correcto aproximando 1/φ usando

(frac-cont (lambda (i) 1.0) (lambda (i) 1.0) k)

para sucessivos valores de k. Qual o menor k necessário para que se obten-ha uma aproxima¸cão correcta até 4 casas decimais? Fa¸ca versões recursiva e iterativa deste procedimento frac-cont.

7. (Exerc.: 1.38)

Em 1737, o matem´atico sui¸co Leonhard Euler publicou De Fractionibus

Con-tinuis, que incluia uma expans˜ao em fraçcão cont´ınua de e-2, onde e é a base dos logaritmos naturais. Nesta fraçc˜ao, os Nis˜ao todos 1, e os Disão sucessivamente

1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,... Escreva um programa que use o procedimento frac-cont do exerc´ıcio anterior para aproximar e, baseado na expans˜ao de Euler.

8. (Exerc.: 1.39)

Uma representa¸cão em fraçcão cont´ınua da fun¸cão tangente foi publicada em 1770 pelo matemático alemão J.H.Lambert:

tanx = x

1 −₃₋x2x2 5−...

onde x está em radianos. Defina um procedimento (tan-fc x k) que com-puta uma aproxima¸cão da fun¸cão tangente baseada na fórmula de Lambert. k especifica o número de termos a ter em conta, como no exerc´ıcio 5.

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9. (Exerc.: 1.40)

Defina um procedimento cubica que possa ser usado conjuntamente com meto-do-newton em express˜oes da forma

(metodo-newton (cubica a b c) 1)

para aproximar zeros da fun¸c˜ao c´ubica x3+ ax2+ bx + c. 10. (Exerc.: 1.41)

Defina um procedimento duplica que toma como argumento um procedimento unário e devolve um procedimento que aplica o procedimento original duas vezes. Por exemplo, se inc é um procedimento que adiciona 1 ao seu argumento, então (duplica inc) é um procedimento que adiciona 2 ao seu argumento. Qual é o valor devolvido por

(((duplica (duplica duplica)) inc) 5) 11. (Exerc.: 1.42)

Sejam f e g duas fun¸cões unárias. A composi¸cão f após g é a fun¸c˜_{ao x 7→}

f (g(x)). Defina um procedimento composicao que implementa a composi¸c˜ao. Por exemplo,

((composicao quadrado inc) 6) 49

12. (Exerc.: 1.43)

Escreva um procedimento repete que toma como argumentos uma fun¸cão un´ a-ria e um inteiro positivo e devolve a fun¸cão que consiste em n aplica¸cões suces-sivas de f. Por exemplo,

((repete quadrado 2) 5) 625

Pista: Pode ser ´util usar o procedimento do exerc´ıcio anterior. 13. (Exerc.: 1.46)

Vários dos métodos numéricos descritos neste cap´ıtulo são instâncias de uma estratégia computacional extremamente geral conhecida como refinamento iter-ativo. Refinamento iterativo significa que para calcular alguma coisa, come¸co com um palpite inicial para a resposta, testo se a resposta é suficientemente boa, se não for melhoro a resposta e continuo o processo, agora com a nova resposta. Escreva um procedimento refinamento-iterativo que toma dois procedimen-tos como argumenprocedimen-tos: um para verificar se uma resposta é boa, outro para melhorar uma resposta. refinamento-iterativo deve devolver um procedi-mento que toma uma resposta inicial como arguprocedi-mento e melhora a solu¸cão até ser boa. Reescreva os procedimentos raiz-quadrada e ponto-fixo em termos de refinamento-iterativo.

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Aula Pr´

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Estruturas de dados e programa¸

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ao por camadas

1. (Exerc.: 2.1)

Defina uma versão alternativa de make-racional que funcione para argumentos positivos e negativos. O novo procedimento deve normalizar o sinal de forma a que se o número racional for positivo, tanto o numerador como o denomi-nador devem ter sinais positivos, e se o número racional for negativo apenas o numerador deve ter sinal negativo.

2. (Exerc.: 2.3)

Implemente uma representa¸cão de rectângulos no plano. Crie procedimentos que calculem o per´ımetro e a área de um dado rectângulo, em termos dos con-strutores e selectores usados na representa¸cão dos rectângulos. Implemente ago-ra uma representa¸cão diferente dos rectângulos. Consegue conceber um sistema para que os mesmos procedimentos de cálculo da área e do per´ımetro funcionem para ambas as representa¸cões?

3. (Exerc.: 2.5)

Mostre que é poss´ıvel representar pares de inteiros não-negativos usando apenas números e opera¸cões aritm´eticas se representarmos o par a e b como o inteiro 2a₃b_{. Quais s˜}_{ao neste caso as defini¸c˜}_{oes correspondentes aos procedimentos}

cons, car e cdr? 4. (Exerc.: 2.6)

Caso a representa¸cão de pares como procedimentos não tenha sido suficien-temente confusa, reparemos que numa linguagem com a capacidade de ma-nipular procedimentos, não necessitamos de números (pelo menos inteiros n˜ ao-negativos) pois podemos implementar o zero e a opera¸cão de acrescentar 1 como (define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))

(define (soma-1 n)

(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))

Esta represent¸cão é conhecida como os numerais de Church, em homenagem a Alonzo Church, o inventor do c´alculo λ. Defina um e dois directamente (n˜ao em termos de zero e soma-1). Dê uma defini¸cão directa de soma (não em termos da aplica¸cão repetida de soma-1).

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Listas e opera¸

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oes sobre listas

1. (Exerc.: 2.20)

Os procedimentos +, * e list tomam um número arbitrário de argumentos. Uma forma de definir este género de procedimentos é através da nota¸cão ”dotted-tail”. Na defini¸cão de um procedimento, uma lista de parâmetros com um ponto antes do nome do último parâmetro indica que, quando o procedimento é chamado, os parâmetros iniciais (se existirem) terão como valores os primeiros argumentos, como usual, mas o valor do último parâmetro será uma lista dos restantes argumentos. Por exemplo, dada a defini¸cão

(define (f x y . z) <corpo>)

o procedimento f pode ser chamado com 2 ou mais argumentos. Se avaliar-mos

(f 1 2 3 4 5 6)

então no corpo de f, x toma o valor 1, y toma o valor 2, e z a lista (3 4 5 6) . Use esta nota¸cão para escrever uma fun¸cão mesma-paridade que toma um ou mais inteiros e devolve a lista de todos os argumentos que têm a mesma paridade do primeiro argumento. Por exemplo,

(mesma-paridade 1 2 3 4 5 6 7) (1 3 5 7) (mesma-paridade 2 3 4 5 6 7) (2 4 6) 2. (Exerc.: 2.21)

O procedimento lista-quadrados toma uma lista de n´umeros e devolve os seus quadrados.

(lista-quadrados (list 1 2 3 4)) (1 4 9 16)

Apresentamos em seguida duas defini¸c˜oes diferentes de lista-quadrados. Complete-as preenchendo as express˜oes assinaladas com ¡??¿.

(define (lista-quadrados elementos) (if (null? elementos)

null

(cons <??> <??>)))

(define (lista-quadrados elementos) (map <??> <??>))

3. (Exerc.: 2.22)

O Lu´ıs tentou reescrever o primeiro procedimento lista-quadrados do exerc´ıcio anterior de forma torn´a-lo iterativo.

(define (lista-quadrados elementos) (define (iter coisas resultado)

(if (null? coisas) resultado

(iter (cdr coisas)

(cons (quadrado (car coisas)) resultado))))

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Infelizmente, definir lista-quadrados desta forma faz com que a lista de resposta fique na ordem contrária à desejada. Porquê?

Lu´ıs tenta corrigir esta falha trocando os argumentos do cons: (define (lista-quadrados elementos)

(define (iter coisas resultado) (if (null? coisas)

resultado

(iter (cdr coisas) (cons resultado

(square (car coisas)))))) (iter elementos null))

Esta versão também não funciona. Explique porquê. 4. (Exerc.: 2.23)

O procedimento for-each é semelhante a map. Toma como argumentos um procedimento e uma lista de elementos. Contudo, ao invés de formar uma lista de resultados, for-each aplica o procedimento a cada um dos elementos se-quencialmente. Os valores devolvidos por aplicar o procedimento a cada um dos elementos não são usados. for-each é usado com procedimentos que exe-cutam uma açcão, como imprimir para o ecrã. Por exemplo,

(for-each (lambda (x) (newline) (display x)) (list 57 321 88))

57 321 88

Fa¸ca uma implementa¸c˜ao de for-each. 5. (Exerc.: 2.27)

Modifique o procedimento reverse para produzir o procedimento deep-reverse que toma uma lista como argumento e devolve a lista com os seus elementos por ordem inversa e com todas as suas sub-listas invertidas tamb´em. Por exemplo, (define x (list (list 1 2) (list 3 4)))

x ((1 2) (3 4)) (reverse x) ((3 4) (1 2)) (deep-reverse x) ((4 3) (2 1)) 6. (Exerc.: 2.28)

Escreva um procedimento folhas que tem como argumento uma ´arvore e devolve uma lista das folhas da ´arvore, ordenadas da esquerda para a direita. Como exemplo,

(define x (list (list 1 2) (list 3 4))) (folhas x) (1 2 3 4)

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7. (Exerc.: 2.29)

Um móbil binário consiste em dois ramos, um ramo direito e um ramo esquerdo. Cada ramo é uma haste com um certo comprimento, da qual está suspenso um peso ou então outro móbil binário. Podemos representar um móbil binário contruindo-o a pertir de dois ramos:

(define (make-mobile left right) (list left right))

Um ramo é constru´ıdo a partir de um comprimento (que é um número) juntamente com uma estrutura, que pode ser um número (representando um peso) ou outro móbil.

(define (make-branch length structure) (list length structure))

Escreva os correspondentes selectores ramo-esquerdo e ramo-direito, que devolvem os ramos de um móbil, e comprimento-ramo e estrutura-ramo que devolvem os componentes de um ramo. Usando os selectores que definiu, defina um procedimento peso-total que devolve o peso total de um móbil. Um m´obil diz-se equilibrado se as for¸cas de tors˜ao aplicadas pelos seus ramos direito e esquerdo são iguais (isto é, se o comprimento da haste esquerda multiplicado pelo suspenso dessa haste é igual ao produto correspondente para a haste direita) e se cada um dos submóveis suspensos dos seus ramos estiver equilibrado. Construa um predicado que testa se um móbil está equilibrado. Suponha que alteramos a representa¸cão de móveis para que os construtores sejam

(define (make-mobile left right) (cons left right))

(define (make-branch length structure) (cons length structure))

O que é necessário alterar aos programas já escritos para funcionarem de acordo com esta representa¸cão?

8. (Exerc.: 2.30)

Defina um procedimento árvore-quadrados, análogo a lista-quadrados, ou seja, árvore-quadrados deve comportar-se como se segue:

(´arvore-quadrados (list 1

(list 2 (list 3 4) 5) (list 6 7)))

(1 (4 (9 16) 25) (36 49))

Defina ´arvore-quadrados directamente (sem usar procedimentos de ordem superior). Redefina a fun¸c˜ao recorrendo a map.

9. (Exerc.: 2.31)

Na continua¸cão do exerc´ıcio anterior, escreva um procedimento árvore-map com a propriedade de árvore-quadrados poder ser definido como:

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10. (Exerc.: 2.32)

Podemos representar um conjunto como uma lista de elementos distintos, e podemos representar o conjunto dos subconjuntos de um conjunto dado como uma lista de listas. Por exemplo, se conjunto é (1 2 3), então o conjunto dos seus subconjuntos é (() (1) (2) (3) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3)). Complete a seguinte defini¸cão de um procedimento que gera o conjunto dos subconjuntos de um conjunto dado.

(define (subconjuntos s) (if (null? s)

(list null)

(let ((resto (subconjuntos (cdr s)))) (append resto (map <??> resto))))) 11. (Exerc.: 2.33)

Complete as seguintes defini¸c˜oes: (define (map p sequencia)

(acumula (lambda (x y) <??>) null sequencia)) (define (append seq1 seq2)

(acumula cons <??> <??>)) (define (length sequencia)

(acumula <??> 0 sequencia)) 12. (Exerc.: 2.34)

A avalia¸cão dum polinómio pode ser formulada como uma acumula¸cão. Avaliamos o polinómio

anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0

usando um algoritmo conhecido, dito regra de Horner, que estrutura o c´alculo na forma

(...(anx + an−1)x + ... + a1)x + a0)

Por outras palavras, come¸camos com an, multiplicamos por x, somamos an−1,

multiplicamos por x, e assim sucessivamente até chegarmos a a0. Complete o seguinte procedimento de forma a que avalie um polinómio de acordo com a regra de Horner. Assuma que os coeficientes do polinómio estão ordenados de

a0 a an.

(define (horner-eval x sequencia-coeficientes)

(acumula (lambda (este-coeficiente termos-superiores) <??>) 0

sequencia-coeficientes))

Por exemplo, para calcular 1 + 3x + 5x3_{+ x}5_{para x = 2 avaliar´ıamos:} (horner-eval 2 (list 1 3 0 5 0 1))

13. (Exerc.: 2.35)

Redefina conta-folhas como uma acumula¸cao: (define (count-leaves t)

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14. (Exerc.: 2.36)

O procedimento acumula-n é semelhante a acumula excepto que tem como terceiro argumento uma sequência de sequências, que se assume terem o mes-mo número de elementos. Aplica o procedimento de acumula¸cão a todos os primeiros elementos das sequências, depois a todos os segundos elementos, e devolve a sequência dos resultados. Tomemos como exemplo uma sequência s que tem quatro sequencias, ((1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)); então o valor de (accumulate-n + 0 s) deve ser a sequência (22 26 30). Acabe a defini¸cão de acumula-n.

(define (acumula-n op init seqs) (if (null? (car seqs))

null

(cons (acumula op init <??>) (acumula-n op init <??>)))) 15. (Exerc.: 2.37)

Suponha que representamos vectores v = (vi), como sequˆencias de n´umeros, e

matrizes m = (mij) como sequˆencias de vectores (as colunas da matriz). Por

exemplo, a matriz   1 2 3 4 4 5 6 6 6 7 8 9  

é representada como a sequência ((1 2 3 4)(4 5 6 6)(6 7 8 9)). Com esta representa¸cão podemos usar opera¸cões sobre sequências para exprimir concisa-mente as opera¸cões básicas sobre vectores e matrizes. Estas opera¸cões (descritas em qualquer livo de álgebra linear) são:

(produto-interno v w ) devolve a somaP_iviwi

(matriz-*-vector m v ) devolve o vector t, com ti=P_jmijvj

(matriz-*-matriz m n) devolve a matriz p, com pij =Pkmiknkj

(transposta m) devolve a matriz n onde nij = mji.

podemos definir o produto interno como: (define (produto-interno v w)

(acumula + 0 (map * v w)))

Complete os seguintes procedimentos para calcular as restantes oper¸c˜oes sobre matrizes:

(define (matriz-*-vector m v) (map <??> m))

(define (transposta mat) (acumula-n <??> <??> mat)) (define (matriz-*-matriz m n)

(let ((cols (transposta n))) (map <??> m)))

16. (Exerc.: 2.38)

O procedimento acumula também é conhecido como fold-right, porque com-bina o primeiro elemento da sequência com o resultado de combinar todos os elementos à direita. Também existe um fold-left, análogo a fold-right, mas que combina os elementos na ordem contrária.

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(define (fold-left op inicial sequencia) (define (iter resultado resto)

(if (null? resto) resultado

(iter (op resultado (car resto)) (cdr resto))))

(iter inicial sequencia)) Quais os resultados de

(fold-right / 1 (list 1 2 3)) (fold-left / 1 (list 1 2 3))

(fold-right list null (list 1 2 3)) (fold-left list null (list 1 2 3))

Que condi¸c˜ao deve satisfazer op, para que fold-right e fold-left produzam o mesmo resultado?

17. (Exerc.: 2.39)

Complete a seguinte defini¸c˜ao do procedimento reverse `a custa de fold-right e fold-left:

(define (reverse sequence)

(fold-right (lambda (x y) <??>) null sequencia)) (define (reverse sequence)

(fold-left (lambda (x y) <??>) null sequencia)) 18. (Exerc.: 2.40)

Defina um procedimento pares-unicos que, dado um inteiro n, gera a sequência de pares (i,j) com 1_{6 i < j 6 n. Use pares-unicos para simplificar a defini¸cão} da fun¸cão soma-pares-primos.

19. (Exerc.: 2.41)

Escreva um procedimento para encontrar todos os triplos ordenados de inteiros positivos distintos i,j e k menores ou iguais a um dado inteiro n e cuja soma totaliza um dado inteiro s.

20. (Exerc.: 2.42)

O problema das oito rainhas consiste em colocar oito rainhas num tabuleiro de xadrez de forma a que nenhuma rainha esteja em cheque por parte de outra (ou seja, garantindo que não há 2 rainhas na mesma linha, coluna ou diagonal). Uma forma de resolver o problema é percorrer o tabuleiro colocando uma rainha em cada coluna. Uma vez colocadas k-1 rainhas, temos de colocar a k-ésima numa posi¸cão em que não ponha em xeque nenhuma das rainhas que já estavam no tabuleiro. Podemos formular esta estratégia recursivamente: assumindo que gerámos a sequência de todas as formas válidas de colocar k-1 rainhas nas primeiras k-1 colunas. Para cada uma destas hipóteses, geramos um conjunto colocando um rainha em cada linha da k-ésima coluna. Finalmente filtramos as novas posi¸cões mantendo apenas aquelas em que a nova rainha não coloca em xeque nenhuma das restantes. Isto produz a sequência de todas as formas válidas de colocar k rainhas nas primeiras k colunas do tabuleiro. Continuando este processo encontramos não apenas uma solu¸cão, mas todas as solu¸cões para o problema.

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sequência de todas as solu¸cões do problema de colocar n rainhas num tab-uleiro n × n. rainhas tem um pocedimento interno rainhas-cols que devolve a sequência de todas as formas de colocar rainhas nas primeiras k colunas do tabuleiro.

(define (rainhas tamanho-tabuleiro) (define (rainhas-cols k)

(if (= k 0)

(list tabuleiro-vazio) (filter

(lambda (posicoes) (ok? k posicoes)) (flatmap

(lambda (resto-das-rainhas) (map (lambda (nova-linha)

(junta-posicao nova-linha k resto-das-rainhas)) (enumerate-interval 1 tamanho-tabuleiro))) (rainhas-cols (- k 1)))))) (rainhas-cols tamanho-tabuleiro))

Neste procedimento resto-das-rainhas é uma forma de colocar k-1 rain-has nas primeiras k-1 colunas, e nova-linha é a linha em que vamos colocar a rainha da k-ésima coluna. Complete o programa implementando uma rep-resenta¸cão para conjuntos de posi¸cões do tabuleiro, incluindo o procedimento junta-posicao, que acrescenta uma nova posi¸cão linha-coluna a um conjunto de posi¸cões, e tabuleiro-vazio que representa um conjunto vazio de posi¸cões. Escreva também o procedimento ok?, que para um dado conjunto de posi¸cões determina se a rainha da k-ésima posi¸cão está ou não em xeque e devolve #t caso não esteja.