13- AÇÕES HORIZONTAIS NAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO

Prof. José Milton de Araújo - FURG 1

13- AÇÕES HORIZONTAIS NAS ESTRUTURAS

DE CONTRAVENTAMENTO

• A determinação dos esforços solicitantes nas estruturas de contraventamento, para um carregamento dado, é feita empregando-se os métodos convencionais da análise estrutural.

• Mesmo nas estruturas consideradas indeslocáveis, os esforços de primeira ordem, decorrentes das ações horizontais, devem ser calculados considerando-se a deslocabilidade da estrutura de contraventamento.

• Antes de calcular os esforços, é necessário fazer a repartição das ações horizontais para os elementos de contraventamento.

• Quando o contraventamento é feito por elementos do mesmo tipo (só pórticos; só paredes estruturais e pilares-parede), é possível fazer a repartição das forças horizontais sem levar em conta a interação ao longo da altura do edifício. Neste caso, basta analisar um pavimento tipo. (Processo simplificado)

• Quando o contraventamento é feito pela associação de pórticos e paredes e/ou pilares-parede, é necessário considerar a interação ao longo da altura (Capítulo 10, Volume 3, terceira edição). (Processo rigoroso)

• No processo simplificado, o problema pode ser isostático ou hiperestático.

Prof. José Milton de Araújo - FURG 3 a) Sistemas isostáticos

Exemplo 1: Estrutura de contraventamento formada por dois painéis e submetida à força horizontal P no nível da laje. _y

y l a b F₁ F₂ P_y x 1 2

Forças transmitidas aos painéis: _{1 y}; ₂ P_y.

l a F P l b F = =

Exemplo 2: Estrutura formada por três painéis de contraventamento. y 1 2 _F 2 b F₃ x 3 a F₁ P_y

Forças transmitidas aos painéis: _{1 y}; _{2 3} P_y.

b a F F P F = = =

Prof. José Milton de Araújo - FURG 5 b) Sistemas hiperestáticos

• É necessário calcular a rotação e os deslocamentos da laje no seu próprio plano, para a obtenção das forças em cada painel de contraventamento.

• Uma vez que cada painel só pode receber cargas no seu plano vertical, ele pode ser representado por uma mola de rigidez

K .

• A rigidez de cada painel de contraventamento é definida como a força horizontal que deve ser aplicada em um determinado nível, na direção de sua maior rigidez, para provocar um deslocamento unitário. Se o topo da estrutura for escolhido como referência para a aplicação da força, como é usual, a rigidez

K é dada por 3 3 tot eq h EI K = (7.5.3) onde EI_eq é a rigidez equivalente do pórtico plano e h_tot é a altura total da edificação.

• A rigidez equivalente EI_eq é determinada da maneira indicada na seção 5 : Estruturas Indeslocáveis.

• Se o painel de contraventamento for formado por um pórtico ou por um pilar-parede de seção variável, emprega-se um programa para análise de pórticos planos para a obtenção de EI_eq

(software PACON calcula a rigidez equivalente com o modelo de carga concentrada e carga distribuída).

Prof. José Milton de Araújo - FURG 7 P_x e_y e_x o P_y x 3 n i α_i 2 1 y LAJE Estrutura de contraventamento formada por n painéis.

Painel genérico i , inclinado de um ângulo α_i em relação ao eixo

x . i

K = rigidez do painel, representado por uma mola concentrada

no ponto P , correspondente ao centro do painel. _i

y,v x,u y_i x_i K_i P_i α_i u'_i θ o Painel de contraventamento genérico

Movimento de corpo rígido da laje: deslocamentos u e _o v nas _o

direções x e y , respectivamente, e rotação θ em torno da origem do sistema de eixos.

Deslocamentos do ponto P : _i θ i o i u y u = − ; v_i =v_o + x_iθ (7.5.4), (7.5.5)

Prof. José Milton de Araújo - FURG 9 Na forma matricial: u_i =NU_o (7.5.6) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = θo o o i i i i i v u x y v u U N u ; 1 0 0 1 ; (7.5.7)

Deslocamento u′, na direção da mola: _i i i i i i u v u′ = cosα + senα (7.5.8) Na forma matricial: u_i′ =Ru_i =RNU_o (7.5.9) R =

[

cosα_i,senα_i

]

(7.5.10) Força F transmitida ao painel: _i F_i = K_iu_i′ (7.5.11) Introduzindo a equação (7.5.9): F_i = K_iRNU_o (7.5.12) F_yi F_xi F_i y_i x_i α_i x y P_i o Decomposição da força no painel

Componentes de F_i: F_xi = F_i cosα_i; F_yi = F_i senα_i (7.5.13) Momento em relação à origem: M_i = F_yix_i − F_xiy_i (7.5.14) Pode-se escrever: F_i =

( )

RN T F_i (7.5.15) onde ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = i yi xi i M F F F (7.5.16)

Prof. José Milton de Araújo - FURG 11 Introduzindo a equação (7.5.12) em (7.5.15), resulta

o i i K U

F = (7.5.17)

( ) ( )

RN RN

K_i = K_i T (matriz de rigidez do painel i ) (7.5.18)

Vetor de forças externas aplicadas à laje:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = y x x y y x e P e P P P P (7.5.19) Equações de equilíbrio: _o n i i o K U U K P _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = =

∑

=1 (7.5.20)

Resolvendo o sistema de equações, obtêm-se os deslocamentos de corpo rígido da laje, contidos no vetor U . Encontrado _o U , _o calculam-se as forças nos vários painéis de contraventamento com o emprego da equação (7.5.12). Exemplo: 2 6 6 1 2 3 4 P_y=1000 x y o

Prof. José Milton de Araújo - FURG 13 Características dos painéis de contraventamento

Painel K x y α (graus) 1 2 2 4 90 2 1 8 4 90 3 1 14 4 90 Painel 1: _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 4 1 0 0 1 N ; R =

[ ]

0,1 ; RN=

[

0,1,2

]

( ) ( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⇒ = 8 4 0 4 2 0 0 0 0 1 1 1 RN RN K K K T Painel 2: _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 8 4 1 0 0 1 N ; R =

[ ]

0,1 ; RN =

[

0,1,8

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 64 8 0 8 1 0 0 0 0 2 K Painel 3: _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 14 4 1 0 0 1 N ; R =

[ ]

0,1 ; RN=

[

0,1,14

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 196 14 0 14 1 0 0 0 0 3 K

Prof. José Milton de Araújo - FURG 15 Matriz de rigidez global:

∑

= = 3 1 i i K K ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 268 26 0 26 4 0 0 0 0 K Vetor de cargas: ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = 8000 1000 0 y x x y y x e P e P P P P Solução: ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = 99 / 1500 99 / 15000 o o o u U KU P

Observação: O deslocamento u é indeterminado porque todos _o

os painéis estão na direção y . O sistema de contraventamento não é capaz de suportar nenhuma força horizontal na direção x . Em uma situação real, é necessário incluir alguns elementos de contraventamento nessa direção.

Forças nos painéis: F_i = K_i

( )

RN U_o 64

, 363

1 =

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13- IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS GLOBAIS

DOS EDIFÍCIOS

• O dimensionamento das estruturas de contraventamento deve levar em conta possíveis desvios da posição vertical.

• De acordo com o CEB/90, deve-se considerar uma inclinação do eixo da estrutura dada por

200 1 100 1 _≤ = l a α (7.6.1) onde l é a altura da estrutura em metros.

• Na figura seguinte, indica-se o funcionamento básico das estruturas de contraventamento.

• O pilar contraventado é representado com uma rótula na base, para indicar que ele não precisa absorver nenhuma ação horizontal nem os efeitos de imperfeições globais da estrutura.

(10.3.1) u u F_VA F_VB A l B F_VA F_VB ΔH ΔH u u A B α_a

A: pilar de contraventamento; B: pilar contraventado.

Funcionamento das estruturas de contraventamento

Força horizontal no pilar de contraventamento:

l F u

H = _VB

Δ (7.6.2)

onde F_VB é a carga do pilar contraventado e u =α_al é o deslocamento horizontal devido à inclinação da estrutura.

Prof. José Milton de Araújo - FURG 19 Momento na base do pilar de contraventamento:

H l uF

M_A = _VA + Δ (7.6.3)

Substituindo a expressão de HΔ , resulta

u F

M _A = _V (7.6.4) onde F_V = F_VA +F_VB é a carga total.

Conclusão: a estrutura de contraventamento deve suportar todo o efeito das imperfeições globais. Os pilares contraventados devem ser dimensionados apenas para suas imperfeições locais, como foi feito anteriormente pela consideração de uma excentricidade acidental. (10.3.3) (10.3.4) u_n u_i u₁ F_vn F_vi F_v1 α_a h_i l eixo inclinado Estrutura de contraventamento desaprumada

• F é a carga vertical total introduzida no andar i . _Vi

• A força F provoca um momento fletor na base da _Vi

estrutura igual a ΔM_i = F_Viu_i = F_Viα_ah_i (7.6.5)

onde u e _i h representam o deslocamento horizontal e a altura do _i

andar i .

Prof. José Milton de Araújo - FURG 21 Esse momento equivale a uma força horizontal aplicada no andar

i , dada por Vi a i F H =α Δ (7.6.6)

Logo, tudo se passa como se em cada andar da estrutura de contraventamento atuasse uma força horizontal adicional igual a

i

H

Δ .

Quando a subestrutura de contraventamento é formada por pórticos, a inclinação

α

_a pode ser multiplicada pelo fator de redução

α

_n <1, dado por

2 1 1 n n + =

α

(10.3.7) onde n é o número de prumadas do pórtico plano.

(10.3.6)

De acordo com a NBR-6118, para edifícios com predominância de lajes lisas ou cogumelo, deve-se considerar

1 =

n

α

.

S e gu nd o a N B R - 61 18 , a i nc lina çã o

α

_a de v e r e sp e ita r o va lo r m í nim o

α

_a ≥ 1 3 0 0 , pa r a e str u tur a s r e ticu la d a s e im p e r fe iç õ es loc a is.

N a s co m b ina ç õ es e ntr e a s c a r ga s d e v en to e d e d esa p r um o, e ss a s lim ita ç õe s de v a lor e s m ín im os p a ra

a

α

nã o p r e cis a m s er r es pe ita d a s, ou s e ja , c o nsid er a - s e o va lor ob tido da e qu a çã o (1 0. 3 . 1) .