Đề thi Xử Lý Ảnh
GV: Trần Tiến Đức
MỤC LỤC
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN MÔN XỬ LÝ ẢNH SỐ
Chương 3 gồm 13 câu từ câu 1 đến câu 13
Câu 1. Xây dựng và cài đặt thuật toán làm âm ảnh.
Đáp án:
Cách làm âm ảnh được cho bằng phương trình: s=L-1-r trong đó L=256 là số lượng
mức xám, r là mức xám đầu vào, s là mức xám đầu ra
Quan sát đồ thị ta thấy: Mức xám đầu ra “ngược” với đầu vào, tức là thuật toán này
biến ảnh đen trở thành ảnh trắng và trắng thành đen.
Code:
void Negatives(BYTE **f, BYTE **g) {
int x, y; BYTE r,s;
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) { r = f[x][y]; s = L-1-r; g[x][y] = s;
S
R
(0,0
)
L-1
L-1
}
return; }
Câu 2. Xây dựng và cài đặt thuật toán biến đổi logarit ảnh.
Đáp án:
Phương trình biến đổi:
s=c log(1+r)
trong đó:
•
r là mức xám đầu vào
•
s là mức xám đầu ra
•
c: hằng số dương
•
log(1+r): tránh trường hợp log = 0.
Quan sát đồ thị thấy đường log làm cho ảnh trở nên sáng hơn.
Hằng số c được
tính như
sau:
Ta có phương
trình: s=c
log(1+r)
Rõ ràng r=0 thì s=0
Ta cần có: r=L-1 thì
s=L-1
c=
log(1L+−L1−1)
Với L = 256 thì
c= 45.9859
Code:void Logarithm(BYTE **f, BYTE **g)
{
int x, y;
double r,s;
double c = (L-1)/log(1.0*L);
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) { r = f[x][y]; s = c*log(1+r); g[x][y] = (int)s; } return; }
Intensit
y
log
L-1
L-1
(0,0)
Negativ
e
Câu 3. Xây dựng và cài đặt thuật toán biến đổi lũy thừa ảnh.
Đáp án:
Biến đổi lũy thừa được cho bằng phương
trình: s=cr
γvới r là mức xám đầu vào, s là mức xám
đầu ra, c, γ là các hằng số dương.
•
γ<1: làm cho ảnh sáng hơn
•
γ>1: làm cho ảnh tối hơn.
c: được tính như sau:
Ta thấy trên đồ thị:
•
r=0 thì s=0
•
r=L-1 thì s= L-1
L-1=c(L-1)
γ
c=
( 1)γ 1 − − L L Code:void Power(BYTE **f, BYTE **g) { int x, y; double r,s; double gamma = 5.0; double c = (L-1)/pow(1.0*(L-1),gamma); for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) { r = f[x][y]; s = c*pow(1.0*r,gamma);; g[x][y] = (int)s; } return; }
Câu 4. Xây dựng và cài đặt thuật toán biến đổi tuyến tính từng phần.
Đáp án:
3
γ=0,4
γ=1
γ=1,5
S
R
s
L-1
(r2,s2)
(r1,s1)
Quan sát trên đồ thị ta thấy:
Biến đổi ảnh đen ít thành ảnh đen nhiều, làm cho ảnh trắng ít trở thành trắng nhiều.
Tức là làm tăng độ tương phản của ảnh (kéo giãn độ tương phản).
Ta có:
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm (x1,y1) và (x2,y2) là:
1 2 1 y y y y − −
=
1 2 1 x x x x − −Y=
1 2 1 2 x x y y − −(x-x1)+y1
•
Đoạn I: điểm (0,0) và (r1,s1)
S=
1 1 r sr
•
Đoạn II: điểm (r1,s1) và (r2,s2)
S=
1 2 1 2 r r s s − −(r-r1)+s1
•
Đoạn III: điểm (r2,s2) và (L-1,L-1)
S=
((LL−−11))−−rs22(r-r2)+s2
trong đó: (r1,s1) và (r2,s2) được cho trước.
Code:void PiecewiseLinear(BYTE **f, BYTE **g) {
double r1,s1,r2,s2,rmin,rmax,s,r,m,sum;
int x, y; rmin = f[0][0]; rmax = f[0][0];
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) { r = f[x][y]; if (r<rmin) rmin = r; if (r>rmax) rmax = r; } r1 = rmin; s1 = 0; r2 = rmax; s2 = L-1; for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) { r = f[x][y]; if (r<r1) s = s1/r1*r; elseif (r<r2) s = (s2-s1)/(r2-r1)*(r-r1)+s1; else s = (L-1-s2)/(L-1-r2)*(r-r2)+s2; g[x][y] = (int)s; } return; }
Câu 5. Xây dựng và cài đặt thuật toán cân bằng histogram.
Đáp án:
Mục đích của cân bằng histogram là làm cho histogram đồng đều. Khi đó ta làm tăng
được độ tương phản của ảnh.
Cân bằng histogram được cho bằng phương trình:
s=T(r)=(L-1)
∫
r r w dw p 0 ) (với p
r(w) : Xác suất xảy ra mức xám w
Trong xác suất, tích phân của hàm mật độ là hàm phân phối. Công thức trên có w là
biến liên tục, ta không thể lập trình nó. Ta phải dùng công thức rời rạc:
s
k=T(r
k)=(L-1)
∑
= k j j rr
p
0)
(
với k= 0,1,2,…,L-1
Code:{ double T[L]; int k, j, x, y; BYTE r; double s; double p[L]; Histogram(f,p); for (k=0; k<L; k++) { T[k] = 0; for (j=0; j<=k; j++) T[k] = T[k] + p[j]; } for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) { r = f[x][y]; s = T[r]; g[x][y] = (int)(s*(L-1)); } return; }
Câu 6. Xây dựng và cài đặt thuật toán đặc tả histogram.
Đáp án:
Không phải cân bằng histogram lúc nào cũng tốt, nên đôi khi ta phải đưa ảnh về
histogram như ta mong muốn.
Tính histogram của ảnh rồi suy ra hàm biến đổi histogram tự động
p
r(r
j)=
MN njs
k=T(r
k)=
∑
= k j j rr
p
0)
(
Cho histogram mong muốn p
z(z
i)
Biến đổi histogram mong muốn.
v
k=G(z
k)=
k k j j zz
s
p
=
∑
=0)
(
Cho r
k, ta suy ra z
knhư sau:
z
k= G
-1(T(r
k))
Mục tiêu: có mức xám đầu vào r
k, ta suy ra mức xám đầu ra z
k.
Ví dụ cho histogram mong muốn như hình vẽ sau:
Để mô tả histogram mong muốn như hình vẽ, ta dùng phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm (x
1,y
1) và (x
2,y
2):
1 2 1 y y y y − −=
1 2 1 x x x x − −=>y=
1 2 1 2 x x y y − −(x-x1)+y1
Code:void HistogramSpecification(BYTE **f, BYTE **g) { double pz1,pz2,pz3,pz4,pz5,pz6; int z1,z2,z3,z4,z5,z6; double pz[L]; double G[L]; double pr[L]; double T[L]; double sum; int z, k, i, j, x, y; // Histogram dac ta z1 = 0; pz1 = 0.75; z2 = 10; pz2 = 7; z3 = 20; pz3 = 0.75; z4 = 180; pz4 = 0; z5 = 200; pz5 = 0.7; z6 = 255; pz6 = 0; for (z=0; z<L; z++) if (z<z2) pz[z] = (pz2-pz1)/(z2-z1)*(z-z1) + pz1; elseif (z<z3) pz[z] = (pz3-pz2)/(z3-z2)*(z-z2) + pz2; elseif (z<z4) pz[z] = (pz4-pz3)/(z4-z3)*(z-z3) + pz3;
elseif (z<z5)
pz[z] = (pz5-pz4)/(z5-z4)*(z-z4) + pz4;
else
pz[z] = (pz6-pz5)/(z6-z5)*(z-z5) + pz5;
// Chuan hoa pz sao cho tong xac suat bang 1
sum = 0; for (z=0; z<L; z++) sum += pz[z]; for (z=0; z<L; z++) pz[z] = pz[z]/sum; for (k=0; k<L; k++) { G[k] = 0;
for (i=0; i<=k; i++)
G[k] = G[k] + pz[i]; }
// Histogram cua anh
Histogram(f,pr); for (k=0; k<L; k++) { T[k] = 0; for (j=0; j<=k; j++) T[k] = T[k] + pr[j]; } // Matching 2 histogram BYTE r; double s; for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) { r = f[x][y]; s = T[r]; for (k=0; k<L; k++) if (G[k]>=s) break; g[x][y] = k; } return; }
Câu 7. Xây dựng và cài đặt thuật toán cân bằng histogram cục bộ.
Đáp án:
Trong trường hợp 2 mức xám kề nhau chênh lệch quá nhỏ, nếu ta cân bằng histogram
tự động sẽ không có kết quả. Trong trường hợp đó ta phải dùng histogram cục bộ.
Chọn cửa sổ có kích thước lẻ để có phần tử trung tâm, ví dụ: m=n=3, cân bằng
histogram của dữ liệu lấy từ cửa sổ và thay phần tử trung tâm bằng phần tử mới.
Code:
void LocalHistogram(BYTE **w, int m, int n, double *p) { int x, y, k; BYTE r; for (k=0; k<L; k++) p[k] = 0; for (x=0; x<m; x++)
for (y=0; y<n; y++) { r = w[x][y]; p[r]++; } for (k=0; k<L; k++) p[k] = p[k]/(m*n); return; }
void LocalHistogramEqualization(double *p, double *T) { int j, k; for (k=0; k<L; k++) { T[k] = 0; for (j=0; j<=k; j++) T[k] = T[k] + p[j]; } return; }
void LocalEnhancement(BYTE **f, BYTE **g) { int m, n; m = 3; n = 3; BYTE **w; int x, y, s, t, a, b; a = m/2; b = n/2; double p[L]; double T[L]; BYTE r;
w = (BYTE **)Alloc2D(m,n,sizeof(BYTE));
for (x=a; x<M-a; x++)
for (y=b; y<N-b; y++) {
for (s=-a; s<=a; s++)
for (t=-b; t<=b; t++) w[s+a][t+b] = f[x+s][y+t]; LocalHistogram(w,m,n,p); LocalHistogramEqualization(p,T); r = f[x][y]; g[x][y] = (int)((L-1)*T[r]);
}
Free2D((void **)w);
return; }
Câu 8. Xây dựng và cài đặt thuật toán nâng cao chất lượng ảnh bằng
thống kê histogram.
Đáp án:
Nếu sự chênh lệch mức xám quá nhỏ thì cân bằng histogram cho toàn bộ ảnh sẽ không
thấy được sự chênh lệch đó. Nếu cân bằng histogram cục bộ tức cân bằng cho từng
khối ảnh, ta sẽ thấy được sự chênh lệch nhưng lại làm thay đổi ảnh.
Vì vậy ở phần này ta nêu ra tiêu chuẩn chọn khối ảnh để làm rõ.
Tiêu chuẩn chọn khối ảnh căn cứ vào 2 đại lượng thống kê là mean (giá trị trung bình
hay giá trị kỳ vọng) và variance (phương sai). Xem xét các ví dụ sau:
Ta có:
mean=
N 1∑
− = 1 0 N i ix
và
variance=
N 1∑
−−
= 1 0 2)
(
N ix
i
mean
= độ lệch chuẩn =
var ianceVí dụ: Cho 2 nhóm số liệu:
[0 8 12 20] và [8
9 11 12]
x
x-mean
(x-mean)
20
8
12
20
-10
-2
2
10
100
4
4
10
variance = 208/4 = 52
x
x-mean
(x-mean)
28
9
11
12
2
-1
1
2
4
1
1
4
Variance=10/4=2.5
Deviation=
var iance=1.58
Ý nghĩa:
Variance (phương sai) dùng để đo sự phân tán của dữ liệu xa hay gần giá trị mean.
Nếu variance bằng không nghĩa là dữ liệu bằng nhau.
Để đo 2 khối dữ liệu với nhau thì mean và variance của khối phải gần bằng nhau.
Tiêu chuẩn chọn khối trong ảnh để làm rõ:
2
: là phương sai, còn là độ lệch chuẩn.
Khối được chọn là 3*3.
G(x,y)=
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
x
E f
m
sxy:mean của khối ảnh
m
G: mean của toàn bộ ảnh
sxy:
độ lệch chuẩn khối ảnh
G:
độ lệch chuẩn của toàn bộ ảnh.
với E=4.0, k
0=0.4, k
1=0.02, k
2=0.4.
Code:double Mean(BYTE **a, int sizex, int sizey) {
double m;
int x, y; m = 0;
for (x=0; x<sizex; x++)
for (y=0; y<sizey; y++) m = m + a[x][y];
Nếu m
sxy<=k
0m
Gvà k
1 G<=
sxy<=k
2 Gm = m/(sizex*sizey);
return m; }
double StandardDeviation(BYTE **a, int sizex, int sizey, double mean) {
double variance;
int x, y; variance = 0;
for (x=0; x<sizex; x++)
for (y=0; y<sizey; y++)
variance = variance + (a[x][y]-mean)*(a[x][y]-mean); variance = variance/(sizex*sizey);
return sqrt(variance); }
void HistogramStatistics(BYTE **f, BYTE **g) { int m, n; m = 3; n = 3; BYTE **w; int x, y, s, t, a, b; a = m/2; b = n/2;
double MG, DG, msxy, sigmasxy;
double E = 4.0, k0 = 0.4, k1 = 0.02, k2 = 0.4; MG = Mean(f,M,N);
DG = StandardDeviation(f,M,N,MG); w = (BYTE **)Alloc2D(m,n,sizeof(BYTE));
for (x=a; x<M-a; x++)
for (y=b; y<N-b; y++) {
for (s=-a; s<=a; s++)
for (t=-b; t<=b; t++)
w[s+a][t+b] = f[x+s][y+t]; msxy = Mean(w,m,n);
sigmasxy = StandardDeviation(w,m,n,msxy);
if (msxy <= k0*MG && (k1*DG <= sigmasxy && sigmasxy <= k2*DG)) g[x][y] = (int)E*f[x][y];
else g[x][y] = f[x][y]; } Free2D((void **)w); return; }
Câu 9. Xây dựng và cài đặt thuật toán lọc tuyến tính làm trơn.
Đáp án:
Người ta dùng một cửa sổ nhỏ được gọi là mặt nạ (hay bộ lọc), chẳng hạn bộ lọc có
kích thước 3x3.
Lọc trong không gian được cho bằng phương trình:
G(x,y)=w(-1,-1)f(x-1,y-1)+w(-1,0)f(x-1,y)+…+w(0,0)f(x,y)+…+w(1,1)f(x+1,y+1)
Mặt nạ lọc người ta sẽ cho tùy vào bài toán cụ thể.
Tổng quát lọc trong không gian được cho bằng phương trình :
g(x,y)=
∑
− = a a s∑
=−+
+
b b tt
y
s
x
f
t
s
w
(
,
)
(
,
)
Trong đó :
mxn là kích thước của bộ lọc, m và n thường là số lẻ để bộ lọc có phần tử trung tâm.
a=m/2 và b=n/2 là kích thước nữa bộ lọc.
Phép toán lọc trong không gian được gọi là tổng chập (convolution).
Đối với lọc tuyến tính, mặt nạ lọc thường là bộ lọc trung bình.
Ví dụ: mặt nạ lọc trung bình và mặt nạ Gauss:
Code:
void Convolution(BYTE **f, int M, int N, BYTE **g, double **w, int m, int n, BOOL border) { int bx, by, a, b, x, y, s, t, p, q; double r; a = m/2; b = n/2; if (border) { bx = 0; by = 0; } else { bx = a; by = b; } for (x=bx; x<M-bx; x++)
for (y=by; y<N-by; y++) { r = 0;
for (s=-a; s<=a; s++)
for (t=-b; t<=b; t++) { p = x+s; x 9 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
16 1x
1
2
1
2
4
2
1
2
1
q = y+t; if (p<0) p = p+M; if (p>=M) p = p-M; if (q<0) q = q+N; if (q>=N) q = q-N; r = r + w[s+a][t+b]*f[p][q]; } g[x][y] = (int)r; } return; }
void LinearFilter(BYTE **f, BYTE **g) {
int m, n; m = 35; n = 35;
double **w;
w = (double **)Alloc2D(m,n,sizeof(double));
int s, t; for (s=0; s<m; s++) for (t=0; t<n; t++) w[s][t] = 1.0/(m*n); Convolution(f, M, N, g, w, m, n, TRUE); Free2D((void **)w); return; }
Câu 10. Xây dựng và cài đặt thuật toán lọc median.
Đáp án:
Lọc median (lọc trung vị) là lấy vị trí chính giữa.
Lọc median đặc biệt hiệu quả khi trong ảnh có nhiễu xung, nhiễu xung còn được gọi là
nhiễu muối tiêu. Nhiễu muối tiêu là những đốm đen và đốm trắng trong ảnh.
Thực hiện lọc median như sau:
Lấy số liệu vào từng cửa sổ (3x3). Tạo mảng một chiều, sắp tăng dần và phần tử f(x,y)
được thay bằng phần tử chính giữa.
void Sort(BYTE **a, int sizex, int sizey) {
int i, j;
BYTE *b = *a; BYTE temp;
int n = sizex*sizey;
for (i=0; i<n-1; i++)
for (j=i+1; j<n; j++) if (b[i] > b[j]) { temp = b[i]; b[i] = b[j]; b[j] = temp; } return; }
void MedianFilter(BYTE **f, BYTE **g) {
int m=3,n=3;
int a,b,x,y,s,t; a = m/2; b = n/2; BYTE **w;
w = (BYTE **)Alloc2D(m,n,sizeof(BYTE));
for (x=a; x<M-a; x++)
for (y=b; y<N-b; y++) {
for (s=-a; s<=a; s++)
for (t=-b; t<=b; t++) w[s+a][t+b] = f[x+s][y+t]; Sort(w,m,n); g[x][y] = w[a][b]; } Free2D((void **)w); return; }
Câu 11. Xây dựng và cài đặt thuật toán nâng cao chất lượng ảnh bằng
đạo hàm cấp một.
Đáp án:
Người ta dùng đạo hàm cấp một hoặc cấp hai để làm tăng độ nét của ảnh.
Yêu cầu đaọ hàm cấp một:
-
Đạo hàm cấp một bằng 0 trong miền có mức xám đồng đều.
-
Đạo hàm cấp một khác 0 ở điểm đầu của mức xám bước hoặc mức xám thoai
thoải.
-
Đạo hàm cấp một khác 0 dọc theo mức xám thoai thoải.
Đạo hàm cấp một của hàm hai chiều được gọi là gradient, ký hiệu là
∇và được định
nghĩa như sau :
∇
=grad(f)=
y
x
g
g
=
∂
∂
∂
∂
y
f
x
f
trong đó:
x f gx ∂ ∂ =: đạo hàm cấp một theo x
y f gy ∂ ∂ =:đạo hàm cấp một theo y
Đạo hàm cấp một theo x được định nghĩa là :
x f ∂ ∂
=f(x+1,y)-f(x,y)
Đạo hàm cấp một theo y được định nghĩa là :
y f
∂ ∂
=f(x,y+1) – f(x,y)
Độ lớn của vectơ gradient f kí hiệu là :
M(x,y)=mag(
∇
f)=
2 2y x g
g +
Nếu tính căn bậc hai sẽ lâu nên ta tính trị tuyệt đối cho nhanh.
M(x,y)
≈
|g
x|+|g
y|
Gọi số liệu trong mặt nạ 3x3 là
z
1z
2z
3z
4z
5z
6z
7z
8z
9Đạo hàm cấp một theo hướng x là : g
x= z
8-z
5Đạo hàm cấp một theo hướng y là : g
y= z
6-z
5và đạo hàm cấp một theo y là : g
y=z
8-z
6Ta có hai mặt nạ g
xvà g
yvà gọi là mặt nạ Roberts.
Mặt nạ Roberts có kích thước chẵn nên không có phần tử trung tâm. Do đó Sobel đã
mở rộng định nghĩa đạo hàm cấp một như sau :
g
x=
x f ∂ ∂=(z
7+2z
8+z
9)-(z
1+2z
2+z
3)
và g
y=
y f ∂ ∂=(z
3+2z
6+z
9)-(z
1+2z
4+z)
Viết dưới dạng mặt nạ như sau :
Code:
void ConvolutionInt(BYTE **f, int M, int N, int **g, double **w, int m, int n, BOOL border) { int bx, by, a, b, x, y, s, t, p, q; double r; a = m/2; b = n/2; if (border) { bx = 0; by = 0; } else { bx = a; by = b; } for (x=bx; x<M-bx; x++)
for (y=by; y<N-by; y++) { r = 0;
for (s=-a; s<=a; s++)
for (t=-b; t<=b; t++) { p = x+s;
q = y+t; if (p<0) p = p+M; if (p>=M) p = p-M; if (q<0) q = q+N; if (q>=N) q = q-N; r = r + w[s+a][t+b]*f[p][q]; } g[x][y] = (int)r; } return; }
void Gradient(BYTE **f, BYTE **g) {
int **gx, **gy, **Mag;
int x, y;
gx = (int **)Alloc2D(M,N,sizeof(int)); gy = (int **)Alloc2D(M,N,sizeof(int)); Mag = (int **)Alloc2D(M,N,sizeof(int));
int m = 3, n = 3;
double **Sobelx, **Sobely;
Sobelx = (double **)Alloc2D(m,n,sizeof(double)); Sobely = (double **)Alloc2D(m,n,sizeof(double)); Sobelx[0][0] = -1; Sobelx[0][1] = -2; Sobelx[0][2] = -1; Sobelx[1][0] = 0; Sobelx[1][1] = 0; Sobelx[1][2] = 0; Sobelx[2][0] = 1; Sobelx[2][1] = 2; Sobelx[2][2] = 1; Sobely[0][0] = -1; Sobely[0][1] = 0; Sobely[0][2] = 1; Sobely[1][0] = -2; Sobely[1][1] = 0; Sobely[1][2] = 2; Sobely[2][0] = -1; Sobely[2][1] = 0; Sobely[2][2] = 1; ConvolutionInt(f,M,N,gx,Sobelx,m,n,TRUE);
ConvolutionInt(f,M,N,gy,Sobely,m,n,TRUE);
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
Mag[x][y] = abs(gx[x][y]) + abs(gy[x][y]);
int max,r; max = Mag[0][0];
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (Mag[x][y] > max) max = Mag[x][y];
for (x=0; x<M; x++)
r = Mag[x][y];
g[x][y] = (int)(1.0*r/max*255); }
Free2D((void **)gx); Free2D((void **)gy); Free2D((void **)Mag); Free2D((void **)Sobelx); Free2D((void **)Sobely);
return; }
Câu 12. Xây dựng và cài đặt thuật toán nâng cao độ nét của ảnh bằng
đạo hàm cấp hai.
Đáp án:
Yêu cầu của đạo hàm cấp hai:
-
Đạo hàm cấp hai bằng 0 ở vùng có mức xám đồng đều.
-
Đạo hàm cấp hai khác 0 ở đầu và cuối của mức xám bước hoặc mức xám thoai
thoải.
-
Đạo hàm cấp hai bằng 0 dọc theo mức xám thoai thoải.
Định nghĩa đạo hàm cấp hai của hàm một chiều như sau:
x f ∂ ∂
=f(x+1) – f(x)
Định nghĩa đạo hàm cấp hai của hàm một chiều như sau:
x
f
2 2∂
∂
=f(x+1) + f(x-1) – 2f(x)
Định nghĩa đạo hàm cấp hai của hàm hai biến là:
f 2 ∇
=
2 2x
f
∂
∂
+
2 2 y f ∂ ∂∇
: gradient (đạo hàm cấp một của hàm 2 biến)
Đạo hàm cấp 2 của ảnh còn được gọi là toán tử Laplace.
Nhắc lại:
Đạo hàm cấp hai theo hướng x:
2 2x
f
∂
∂
=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)
2 2 y f ∂ ∂
=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)
Đạo hàm cấp hai của ảnh là:
) , (
2f x y
∇
=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)
Hay viết dưới dạng mặt nạ như sau :
Ta mở rộng thêm các mặt nạ đào hàm cấp hai như sau :
Tùy bài toán mà ta dùng mặt nạ cho phù hợp.
Nâng cao độ nét của ảnh được cho bằng phương trình:
g(x,y)=f(x,y)+c[
∇2 f(x,y)]
Trong đó:
c=-1 nếu tâm mặt nạ âm
c=1 nếu tâm mặt nạ dương
Mức xám đầu ra sẽ có giá trị nhỏ hơn 0 và lớn hơn 255 nên ta phải chuẩn hóa để mức
xám đầu ra nằm trong khoảng 0..255.
Đơn giản nhất: nếu đầu ra có giá trị âm thì cho bằng 0, nếu đầu ra >255 thì cho bằng
255.
Chuẩn hóa cách khác:
Ta có giá trị min (giá trị âm) và max, ta phải chuyển khoảng min max vào 0…255
bằng công thức sau :
g[x][y]=
min max min ] ][ [ − − y x g255
Code:void ConvolutionInt(BYTE **f, int M, int N, int **g, double **w, int m, int n, BOOL border) { int bx, by, a, b, x, y, s, t, p, q; double r; a = m/2; b = n/2; if (border) { bx = 0; by = 0; } else { bx = a; by = b; } for (x=bx; x<M-bx; x++)
for (y=by; y<N-by; y++) { r = 0;
for (s=-a; s<=a; s++)
for (t=-b; t<=b; t++) { p = x+s; q = y+t; if (p<0) p = p+M; if (p>=M) p = p-M; if (q<0) q = q+N; if (q>=N) q = q-N; r = r + w[s+a][t+b]*f[p][q]; } g[x][y] = (int)r; } return; }
void Laplace(BYTE **f, BYTE **g) {
int **temp;
temp = (int **)Alloc2D(M,N,sizeof(int));
int m = 3, n = 3;
double **w;
w = (double **)Alloc2D(m,n,sizeof(double)); w[0][0] = 0; w[0][1] = 1; w[0][2] = 0;
w[1][0] = 1; w[1][1] = -4; w[1][2] = 1; w[2][0] = 0; w[2][1] = 1; w[2][2] = 0; ConvolutionInt(f,M,N,temp,w,m,n,TRUE);
// Chuan hoa anh Laplace int min;
min = temp[0][0];
int max;
max = temp[0][0];
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) {
if (temp[x][y] < min) min = temp[x][y]; if (temp[x][y] > max) max = temp[x][y]; } double scale = 0.3; for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
temp[x][y] = (int)(scale*(temp[x][y]-min)/(max-min)* 255);
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) {
r = f[x][y] - temp[x][y]; if (r < 0) r = 0; if (r > 255) r = 255; g[x][y] = r; }
Free2D((void **)temp); Free2D((void **)w);
return; }
Câu 13. Xây dựng và cài đặt thuật toán nâng cao độ nét ảnh bằng mặt
nạ làm nhòe và lọc tăng cường.
Đáp án:
Nâng cao độ nét của ảnh dùng mặt nạ làm nhòe thường dùng trong công nghệ in ảnh,
quá trình gồm các bước sau đây:
-
Làm nhòe ảnh.
-
Lấy ảnh gốc trừ với ảnh đã làm nhòe ta được một ảnh mới gọi là mặt nạ làm
nhòe.
-
Cộng mặt nạ làm nhòe với ảnh gốc.
Kí hiệu:
f_______(x,y): là ảnh đã làm nhòe,
Mặt nạ làm nhòe được biểu diễn bằng các phương trình sau:
gmask(x,y)=f(x,y) -
f_______(x,y)g(x,y) = f(x,y) + k.gmask(x,y)
k được chọn > 0, khi k=1 ta gọi là mặt nạ làm nhòe, khi k>1 ta gọi là lọc tăng
cường.
Mặt nạ Gauss dùng để làm nhòe ảnh được cho bằng phương trình :
gauss(x,y)
=
2 2 2 2σ y xe
+ −σ
: độ
lệch chuẩn được cho trước.
Code:void ConvolutionDouble(BYTE **f, int M, int N, double **g, double **w, int m, int n, BOOL border) { int bx, by, a, b, x, y, s, t, p, q; double r; a = m/2; b = n/2; if (border) { bx = 0; by = 0; } else { bx = a; by = b; } for (x=bx; x<M-bx; x++)
for (y=by; y<N-by; y++) { r = 0;
for (s=-a; s<=a; s++)
for (t=-b; t<=b; t++) { p = x+s; q = y+t; if (p<0) p = p+M; if (p>=M) p = p-M; if (q<0) q = q+N; if (q>=N) q = q-N;
r = r + w[s+a][t+b]*f[p][q]; } g[x][y] = r; } return; }
void UnsharpMask(BYTE **f, BYTE **g) {
double **Gauss, sigma=3, sum;
int x, y;
int m = 5, n = 5;
double **fbar, **gmask;
fbar = (double **)Alloc2D(M,N,sizeof(double));
// Tao mat na Gauss
Gauss = (double **)Alloc2D(m,n,sizeof(double));
for (x=-m/2; x<=m/2; x++)
for (y=-n/2; y<=n/2; y++)
Gauss[x+2][y+2] = exp(-(1.0*x*x+1.0*y*y)/(2*sigma*sigma)); sum = 0;
for (x=0; x<m; x++)
for (y=0; y<n; y++)
sum += Gauss[x][y];
for (x=0; x<m; x++)
for (y=0; y<n; y++)
Gauss[x][y] = Gauss[x][y]/sum; ConvolutionDouble(f, M, N, fbar, Gauss, m, n, TRUE); gmask = (double **)Alloc2D(M,N,sizeof(double));
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
gmask[x][y] = (f[x][y] - fbar[x][y]);
int s;
double k = 4.5;
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) {
s = int(f[x][y] + k*gmask[x][y]);
if (s > 255) s = 255; if (s < 0) s = 0; g[x][y] = s; }
Free2D((void **)Gauss); Free2D((void **)fbar); Free2D((void **)gmask);
return; }
Chương 9 gồm câu 6 câu từ câu 14 đến câu 19
Câu 14. Xây dựng và cài đặt thuật toán Erosion.
Đáp án:
Erosion là bào mòn.
Cho A và B là 2 tập trong Z,
bào mòn A bởi B kí hiệu là
.
Ta lấy tập B dời đi một độ dời z sao cho tập vừa dời là tập con của A.
Code:void Erosion(BYTE **f, int M, int N, BYTE **B, int m, int n, BYTE **g, BOOL border) { int bx, by, a, b, x, y, s, t, p, q; BOOL flag; a = m/2; b = n/2; if (border) { bx = 0; by = 0; } else { bx = a; by = b; } for (x=bx; x<M-bx; x++)
for (y=by; y<N-by; y++) { flag = TRUE;
for (s=-a; s<=a; s++)
for (t=-b; t<=b; t++) { p = x+s; q = y+t; if (p<0) p = p+M; if (p>=M) p = p-M; if (q<0) q = q+N; if (q>=N) q = q-N;
if (B[s+a][t+b] == 1 && f[p][q] != 255) { flag = FALSE; goto Exit; } } Exit: if (flag) g[x][y] = 255; else g[x][y] = 0; } return; }
Câu 15. Xây dựng và cài đặt thuật toán Dilation.
Đáp án:
Dilation là giãn nở
Cho A và B là 2 tập trong Z, giãn nở A bởi B kí hiệu là
được định nghĩa
là:
Lấy tập dời đi một độ dời z sao cho tập vừa dời giao với tập A khác rỗng.
Lưu ý phương trình này dựa trên tập phản xạ của B, nhưng do B thường là đối
xứng nên = B.
Code:
void Dilation(BYTE **f, int M, int N, BYTE **B, int m, int n, BYTE **g, BOOL border) { int bx, by, a, b, x, y, s, t, p, q; a = m/2; b = n/2; BOOL flag; if (border) { bx = 0; by = 0; } else {
bx = a; by = b; }
for (x=bx; x<M-bx; x++)
for (y=by; y<N-by; y++) { flag = FALSE;
for (s=-a; s<=a; s++)
for (t=-b; t<=b; t++) { p = x+s; q = y+t; if (p<0) p = p+M; if (p>=M) p = p-M; if (q<0) q = q+N; if (q>=N) q = q-N; if (B[s+a][t+b] == 1 && f[p][q] == 255) { flag = TRUE; goto Exit; } } Exit: if (flag) g[x][y] = 255; else g[x][y] = 0; } return; }
Câu 16. Xây dựng và cài đặt thuật toán Opening.
Đáp án:
Opening của tập A bởi phần tử cấu trúc B ký hiệu là
, được định nghĩa như sau:
Opening thường dùng để xóa nhiễu.
Code:void Openning(BYTE **f, int M, int N, BYTE **B, int m, int n, BYTE **g) {
BYTE **temp;
temp = (BYTE **)Alloc2D(M,N,sizeof(BYTE)); Erosion(f,M,N,B,m,n,temp,FALSE);
Free2D((void **)temp);
return; }
Câu 17. Xây dựng và cài đặt thuật toán Closing.
Đáp án:
Closing của tập A bởi phần tử cấu trúc B ký hiệu là A • B và được định nghĩa như sau:
A • B = (A B) B
Closing thường dùng để lấp những khe hở.
Code:void Closing(BYTE **f, int M, int N, BYTE **B, int m, int n, BYTE **g) {
BYTE **temp;
temp = (BYTE **)Alloc2D(M,N,sizeof(BYTE)); Dilation(f,M,N,B,m,n,temp,FALSE);
Erosion(temp,M,N,B,m,n,g,FALSE); Free2D((void **)temp);
return; }
Câu 18. Xây dựng và cài đặt thuật toán trích biên.
Đáp án:
Biên của tập A kí hiệu là
Đầu tiên ta bào mòn A bởi B, lấy ảnh A ban đầu
trừ đi ảnh đã bào mòn, ta sẽ được biên.
Code:
void Boundary(BYTE **f, BYTE **g) {
int x, y; BYTE **temp; BYTE **B;
temp = (BYTE **)Alloc2D(M,N,sizeof(BYTE));
// Hieu chinh anh for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (f[x][y] < 128) f[x][y] = 0;
f[x][y] = 255;
int m = 3, n = 3;
B = (BYTE **)Alloc2D(m,n,sizeof(BYTE));
for (x=0; x<m; x++)
for (y=0; y<n; y++) B[x][y] = 1;
Erosion(f,M,N,B,m,n,temp,FALSE); Free2D((void **)B);
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
g[x][y] = f[x][y] - temp[x][y]; Free2D((void **)temp);
return; }
Câu 19. Xây dựng và cài đặt thuật toán lấp lỗ trống.
Đáp án:
Cho một đối tượng ở bên trong có lỗ trống, mục đích là ta phải lấp lỗ trống này.
Lấp lỗ trống được cho bằng phương trình:
Thuật toán ngừng khi X
kcủa bước trước sau không thay đổi.
Ghi chú: X là ảnh có kích thước bằng ảnh A.
Code:void Complement(BYTE **f, BYTE **Ac) {
int x, y;
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (f[x][y] == 0) Ac[x][y] = 255; else Ac[x][y] = 0; return; }
void Intersect(BYTE **a, int M, int N, BYTE **b, BYTE **c) {
int x, y;
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (a[x][y]==255 && b[x][y] == 255) c[x][y] = 255;
else
c[x][y] = 0;
}
void HoleFilling(BYTE **f, POINT p) { BYTE **X; BYTE **B; BYTE **Ac; BYTE **temp; BYTE **Xn;
X = (BYTE **)Alloc2D(M,N,sizeof(BYTE));
int x,y;
X[p.y][p.x] = 255;
//X[x-1][y] = 255; X[x+1][y] = 255; //X[x][y-1] = 255; X[x][y+1] = 255; int m=3, n=3;
B = (BYTE **)Alloc2D(m,n,sizeof(BYTE));
for (x=0; x<m; x++)
for (y=0; y<n; y++) B[x][y] = 1; B[0][0] = 0; B[0][2] = 0; B[2][0] = 0; B[2][2] = 0;
// Hieu chinh anh for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (f[x][y] < 128) f[x][y] = 0;
else
f[x][y] = 255; Ac = (BYTE **)Alloc2D(M,N,sizeof(BYTE)); Complement(f,Ac);
BOOL flag;
while (TRUE) {
temp = (BYTE **)Alloc2D(M,N,sizeof(BYTE)); Dilation(X,M,N,B,m,n,temp,FALSE);
Xn = (BYTE **)Alloc2D(M,N,sizeof(BYTE)); Intersect(temp,M,N,Ac,Xn);
flag = TRUE;
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (X[x][y] != Xn[x][y]) { flag = FALSE;
goto Thoat; }
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) X[x][y] = Xn[x][y]; Free2D((void **)Xn);
Free2D((void **)temp);
if (flag==TRUE)
break; }
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
f[x][y] = f[x][y]+X[x][y]; Free2D((void **)X);
Free2D((void **)B); Free2D((void **)Ac);
return; }
Chương 10 gồm 7 câu từ câu 20 đến câu 26
Câu 20. Xây dựng và cài đặt thuật toán phát hiện cạnh ảnh bằng đạo
hàm cấp hai.
Đáp án:
Có 3 bước cơ bản phải làm để phát hiện cạnh ảnh:
•
Làm trơn ảnh để giảm nhiễu.
•
Phát hiện những điểm ở trên cạnh.
•
Bỏ những điểm ở trên cạnh không cần thiết.
Người ta dùng mặt nạ đạo hàm cấp hai để phát hiện cạnh ảnh, nhưng cạnh ảnh sẽ bị
dày lên gấp đôi, và ta phải xử lí trường hợp này.
Ngoài ra người ta dùng các mặt nạ đạo hàm cấp hai sau đây để phát hiện cạnh ảnh.
Nếu muốn phát hiện đường thẳng trong ảnh thì ta dung lần 4 mặt nạ này lần lượt quét
qua ảnh.
Ta gọi đầu ra tại 1 điểm ảnh là R1, R2, R3 và R4.
Điểm ảnh cần lấy có
Khi lập trình có 4 đầu ra, ta lấy điểm ảnh có Rmax.
Lưu ý tổng các hệ số trong mặt nạ đều = 0
Mục đích là khi quét mặt nạ qua vùng ảnh có độ sáng đồng đều thì đầu ra sẽ = 0.
Code:void LineDetectionLaplace(BYTE **f, BYTE **g) {
int x, y, r;
temp = (int **)Alloc2D(M,N,sizeof(int));
int m = 3, n = 3;
double **w;
w = (double **)Alloc2D(m,n,sizeof(double)); w[0][0] = 2; w[0][1] = -1; w[0][2] = -1; w[1][0] = -1; w[1][1] = 2; w[1][2] = -1; w[2][0] = -1; w[2][1] = -1; w[2][2] = 2; ConvolutionInt(f,M,N,temp,w,m,n,TRUE);
// Chuan hoa anh Laplace cach 1 int min;
int max;
max = temp[0][0]; min = temp[0][0];
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) {
if (temp[x][y] < min) min = temp[x][y]; if (temp[x][y] > max) max = temp[x][y]; } double scale = 1.0; for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
g[x][y] = (int)(scale*(temp[x][y]-min)/(max-min)*255);
Free2D((void **)temp); Free2D((void **)w);
return; }
Câu 21. Xây dựng và cài đặt thuật toán phát hiện cạnh ảnh bằng đạo
hàm cấp một.
Đáp án:
Ta dùng mặt nạ đạo hàm cấp một để phát hiện cạnh ảnh.
Có 2 mặt nạ đạo hàm cấp một thường dùng là Sobel, Prewitt.
Gọi g
xlà ảnh đạo hàm theo hướng x.
g
ylà ảnh đạo hàm theo hướng y.
Ảnh độ lớn:
hay dùng công thức xấp xỉ.
Ảnh của hướng (direction) hay là ảnh góc pha:
Ta có thể kết hợp thêm với ngưỡng để lấy những điểm ảnh trên cạnh cho tốt.
Chẳng hạn ta lấy ngưỡng =33% giá trị max của đạo hàm cấp 1, nếu ta phát hiện điểm
ảnh nhỏ hơn ngưỡng thì ta bỏ qua.
Code:
void LineDetectionGradient(BYTE **f, BYTE **g) {
int **temp;
int x, y, r;
temp = (int **)Alloc2D(M,N,sizeof(int));
int m = 3, n = 3;
double **w;
w = (double **)Alloc2D(m,n,sizeof(double)); w[0][0] = 2; w[0][1] = -1; w[0][2] = -1; w[1][0] = -1; w[1][1] = 2; w[1][2] = -1; w[2][0] = -1; w[2][1] = -1; w[2][2] = 2;
ConvolutionInt(f,M,N,temp,w,m,n,TRUE); // Chuan hoa anh gradient cach
int min;
min = temp[0][0]; int max;
max = temp[0][0]; for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (temp[x][y] < min) min = temp[x][y]; double scale = 1.0;
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
g[x][y] = (int)(scale*(temp[x][y]-min)/(max-min)*255); Free2D((void **)temp);
Free2D((void **)w);
return; }
Câu 22. Xây dựng thuật toán phát hiện cạnh Marr – Hildreth.
Đáp án:
Ta có hàm Gauss
Được gọi là độ lệch chuẩn
được gọi là phương sai
Ta dùng hàm Gauss để làm trơn ảnh và lọc nhiễu.
Suy ra đạo hàm cấp 2 của Gauss
Đạo hàm cấp 2 của hàm 2 chiều Gauss còn được gọi là Laplace của Gauss và viết tắt
là LoG.
Thuật toán Marr-Hildreth gồm các bước sau đây.
-
Dùng mặt nạ Gauss để làm trơn ảnh
-
Tính Laplace của ảnh ở bước 1.
-
tìm điểm cắt 0 của ảnh đạo hàm cấp 2, điểm cắt 0 là điểm ảnh ở bước 2 mà
trước đó có giá trị dương và sau đó có giá trị âm và ngược lại.
Ta thường cho
= 4 và kích thước của bộ lọc là n = 6
Câu 23. Xây dựng thuật toán phát hiện cạnh Canny.
Đáp án:
Cho đến nay phương pháp phát hiện cạnh của Canny là tốt nhất.
Phương pháp của Canny dựa trên 3 mục tiêu sau đây:
•
Tốc độ sai số thấp.
•
Các điểm ở trên cạnh là đúng.
•
Xóa bỏ các điểm thừa ở trên cạnh.
Ta có hàm Gauss:
Ta dùng hàm Gauss để làm trơn ảnh và xóa nhiễu:
Trong đó:
là phép chập.
f(x,y) là ảnh đầu vào.
G(x,y) là mặt nạ Gauss.
f
s(x,y) là ảnh đã làm trơn.
Tiếp theo ta dung mặt nạ đạo hàm cấp 1 như Sobel hay Prewitt để phát hiện cạnh
của ảnh đã làm trơn.
Sau đó xóa bỏ đỉnh nhỏ, dùng ngưỡng kép và phân tích liên thông để phát hiện biên
không bị đứt nét.
Tóm lại, thuật toán phát hiện Canny gồm 4 bước:
•
Bước 2: tính ảnh đạo hàm cấp 1 và ảnh góc pha: M(x,y) và α(x,y).
•
Bước 3: xóa những đỉnh nhỏ.
•
Bước 4: dùng ngưỡng kép và phân tích liên thông để nối các cạnh bị đứt.
Ví dụ: ngưỡng thấp được chọn T
L=0.04, ngưỡng cao được khoảng 2.5 T
L.
Câu 24. Xây dựng thuật toán liên kết cạnh bằng xử lý cục bộ.
Đáp án:
Dùng mặt nạ đạo hàm cấp một như Sobel hay Prewitt để phát hiện cạnh của ảnh đã
làm trơn.
Bước 1: Tính M(x,y) và α(x,y)
Bước 2: Tạo ảnh nhị phân g, theo công thức sau đây.
T
Mlà ngưỡng, A là góc của cạnh cần quan tâm, T
Alà phạm vi góc
Bước 3: Quét từng dòng qua ảnh và lấp những lổ trống, nếu chiều dài của lổ trống đó
không vượt quá K.
Bước 4: Phát hiện lổ trống theo hướng khác bằng cách là quay ảnh một góc , lặp lại
bước 3 và quay ngược trở lại
A được cho có thể là 0, -180
o, 90
o, -90
o, 45
o, -45
o.
Câu 25. Xây dựng thuật toán liên kết cạnh bằng xử lý trên miền.
Đáp án:
Sau khi tách biên và lấy ngưỡng, ta được các điểm rời nhau. Bây giờ ta phải nối các
điểm đó lại với nhau.
Hình sau đây biểu diễn tập các điểm của một đường cong hở, có điểm đầu là A và
điểm cuối là B.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B, tiếp theo ta tính khoảng cách từ
các điểm còn lại đến đường thẳng đó và chọn khoảng cách lớn nhất, trong trường hợp
này là điểm C. Viết phương trình đường thẳng qua AC và BC. Tính khoảng cách còn lại
từ các đỉnh và chọn khoảng cách lớn nhất D… Nối A B C D E F.Nếu khoảng cách từ
các điểm đến đường thẳng nhỏ hơn ngưỡng T thì ta dừng và không chia tiếp. Như vậy
ta đã xấp xỉ 1 đường đứt nét thành đường gấp khúc.
Hai vấn đề khó nhất là:
Thứ nhất làm sao ta biết được hai điểm ban đầu, thứ hai là sao biết được thứ tự của
đỉnh. Ta có thể chọn điểm bên phải nhất và bên trái nhất làm điểm ban đầu. Cách khác
là ta tìm những điểm xa nhất của đường cong. Còn bây giờ thuật toán phải cho trước
hai điểm ban đầu và cho trước các đỉnh theo thứ tự.
Thuật toán như sau:
Bước 1: cho trước P là tập hợp các đỉnh có thứ tự, cho trước hai đỉnh bắt đầu A và
B.
Bước 2: khai bao ngưỡng T, ví dụ cho T=5, khai báo 2 stacks là open và closed.
Bước 3: đặt điểm A vào stacks open và điểm B vào stacks closed. Đối với đường
cong khép kín thì bước 3 có thay đổi một chút, điểm A được đưa vào stacks open và
điểm B được đưa vào stacks open và stacks closed.
Bước 4: viết phương trình đường thẳng của hai đỉnh sau cùng trong stacks closed
và stacks open.
Bước 5: Tính khoảng cách từ các đỉnh giữa hai đỉnh ở bước 4 với đường thẳng ở
bước 4 và chọn đỉnh có khoảng cách lớn nhất.
Bước 6: Nếu khoảng cách lớn nhất lớn hơn ngưỡng thì đưa đỉnh đó vào stack
opend và quay trở lại bước 4
Bước 7: Ngược lại, lấy đỉnh trong open và đưa vào closed.
Bước 8: Nếu open chưa rỗng thì đến bước 4.
Bước 9: đến khi nào open rỗng thì thôi, các đỉnh trong stacks closed là các đỉnh cần
tìm.
Câu 26. Xây dựng và cài đặt thuật toán biến đổi Hough.
Đáp án:
Mục đích của biến đổi Hough là để phát hiện ra đường thẳng và đường tròn, hoặc
đường bất kì. Thông thường nhất là dùng biến đổi Hough
để phát hiện đường thẳng.
Cho điểm x
i, y
iở trong mặt phẳng x, y.
Phương trình đường thẳng y=ax+b.
Nếu đường thẳng đi qua điểm (xi,yi) thì nó sẽ là y
i=ax
I+b.
Khi cho a, b thay đổi thì có rất nhiều đường thẳng đi qua
(x
i,y
i).
Ta có thêm một điểm (x
j,y
j) nữa thì cũng có vô số đường
thẳng đi qua (x
j,y
j).
Như vậy sẽ có một đường thẳng đi qua hai điểm (x
i,y
i) và (x
j,y
j).
Và đường thẳng đó sẽ có a, b giống nhau.
Y
i= ax
i+b
Y
j= ax
j+b
Dùng mặt phẳng a, b không biết được kích thước ảnh là
bao nhiêu vì cho ảnh chạy từ -∞, ∞ và b: -∞, ∞
Để khắc phục a, b có thể ra tới ∞, thì ta chuyển phương
trình đường thẳng qua tọa độ cực:
Do các điểm ảnh có tọa độ x dương, y dương nên chạy
từ -90
0đến 90
0và phạm vi của là
, trong đó D là
khoảng cách xa nhất giữa 2 góc đối diện ở trong ảnh.
Code:
void TransformHough(BYTE **f, HDC hdc, int xc, int yc) {
BYTE **Hough;
int RHO = (int)(2*sqrt(2.0)*sqrt(1.0*M*M+N*N)+1);
int THETA = 181;
int theta, rho;
int x, y;
double pi = 4.0*atan(1.0);
Hough = (BYTE **)Alloc2D(RHO,THETA,sizeof(BYTE));
for (theta = -THETA/2; theta<=THETA/2; theta++)
for (rho=-RHO/2; rho<=RHO/2; rho++)
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0;y<N; y++)
if (f[x][y] == 0)
if ((int)(x*cos(theta*pi/180)+y*sin(theta*pi/180)) == rho) Hough[rho+RHO/2][theta+THETA/2] += 20; BYTE r;
for (x=0; x<RHO; x++)
for (y=0; y<THETA; y++) { r = Hough[x][y];
SetPixel(hdc,xc+y,x,RGB(r,r,r)); }
FILE *fp;
fprintf_s(fp,"P5 %d %d 255 ",THETA,RHO); fwrite(*Hough,sizeof(BYTE),THETA*RHO,fp); fclose(fp);
Free2D((void **)Hough);
return; }
Chương 4 gồm 10 câu từ câu 27 đến câu 36
Câu 27. Trình bày các bước lọc ảnh trong miền tần số.
Đáp án:
Lọc ảnh trong miền tần số gồm 7 bước sau đây:
Bước 1: Cho ảnh đầu vào f(x,y) có kích thước MxN. Mở rộng ảnh có kích thước là PxQ.
Cụ thể P=2M, Q=2N.
Bước 2: Thêm zero vào phần mở rộng, ta được ảnh f
p(x,y).
Bước 3: Nhân f
p(x,y) với (-1)
x+yđể dời F(0,0) vào tâm ảnh.
Bước 4: Biến đổi Fourier của ảnh ở Bước 3 ta được F(u,v).
Bước 5: Cho hàm lọc có giá trị thực H(u,v) đối xứng qua tâm (P/2,Q/2). Thực hiện phép
nhân
G(u,v) = F(u,v)H(u,v).
Bước 6: Thu được ảnh đã xử lý bằng biến đổi Fourier ngược, lấy phần thực và dời trở
lại gốc tọa độ
Bước 7: Bỏ phần đã mở rộng, ta thu được ảnh g(x,y) có kích thước MxN.
Biểu diễn bằng sơ đồ khối:
Câu 28. Xây dựng và cài đặt thuật toán
làm trơn ảnh trong miền tần
số dùng bộ lọc lowpass lý tưởng.
Đáp án:
Lọc trong miền tần số được cho bằng phương trình:
Trong đó F(u,v) là biến đổi Fourier của ảnh f.
Để làm trơn trong miền tần số ta dùng bộ lọc lowpass (thông thấp).
Có 3 loại bộ lọc thông thấp thông dụng:
Bộ lọc lowpass lý tưởng, Butterworth, Gauss.
Bộ lọc lowpass lý tưởng không thể chế tạo được bằng phần cứng do quán tính của linh
kiện điện tử. Tuy nhiên ta có thể lập trình bằng phần mềm. Bộ lọc lowpass lý tưởng
được cho bằng phương trình:
trong đó:
D
0là tần số cắt.
D(u,v) là khoảng cách từ một điểm bất kì (u,v) đến tâm của ảnh
void IdealLowpassFiltering(BYTE **f, BYTE **g) { double **FR, **FI, **H, **gp; int x, y, u, v; constint P = 1024; constint Q = 1024; double D0 = 10, Duv;
FR = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); FI = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); H = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); gp = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double));
// Buoc 1 va 2 Mo rong anh va them zero for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
FR[x][y] = f[x][y];
// Buoc 3 Doi vao tam anh for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
FR[x][y] = -FR[x][y];
// Buoc 4 Bien doi Fourier
fft2d(FR,FI,P,Q,-1);
// Buoc 5 Tao H va F*H // Lowpass ly tuong
for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
Duv = sqrt(1.0*(u-P/2)*(u-P/2) + 1.0*(v-Q/2)*(v-Q/2)); if (Duv <= D0)
H[u][v] = 1; else
H[u][v] = 0; }
// Buoc 6 Bien doi Fourier nguoc, lay phan thuc va nhan voi (-1)^(x+y)
fft2d(FR,FI,P,Q,1);
for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
gp[x][y] = -FR[x][y];
else
gp[x][y] = FR[x][y];
// Buoc 7 Bo phan them vao for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (gp[x][y] > 255) g[x][y] = 255;
elseif (gp[x][y] < 0) g[x][y] = 0;
else
g[x][y] = (int)gp[x][y]; Free2D((void **)FR);
Free2D((void **)FI); Free2D((void **)H); Free2D((void **)gp);
return; }
Câu 29. Xây dựng và cài đặt thuật toán
làm trơn ảnh trong miền tần
số dùng bộ lọc lowpass Butterworth.
Đáp án:
Lọc trong miền tần số được cho bằng phương trình:
Trong đó F(u,v) là biến đổi Fourier của ảnh f.
Để làm trơn trong miền tần số ta dùng bộ lọc lowpass (thông thấp).
Có 3 loại bộ lọc thông thấp thông dụng:
Bộ lọc lowpass lý tưởng, Butterworth, Gauss.
Trong đó :
D
0là tần số cắt
n : gọi là bậc bộ lọc
D(u,v) là khoảng cách từ một điểm bất kì (u,v) đến tâm của ảnh
Đồ thị của bộ lọc lowpass Butterworth
void ButterworthLowpassFiltering(BYTE **f, BYTE **g) { double **FR, **FI, **H, **gp; int x, y, u, v; constint P = 1024; constint Q = 1024; double D0 = 10, Duv;
FR = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); FI = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); H = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); gp = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double));
// Buoc 1 va 2 Mo rong anh va them zero for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
FR[x][y] = f[x][y];
// Buoc 3 Doi vao tam anh for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
FR[x][y] = -FR[x][y];
// Buoc 4 Bien doi Fourier
fft2d(FR,FI,P,Q,-1);
// Buoc 5 Tao H va F*H // Lowpass Butterworth for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
Duv = sqrt(1.0*(u-P/2)*(u-P/2) + 1.0*(v-Q/2)*(v-Q/2)); H[u][v] = 1.0/(1.0+pow(Duv/D0,2*n));
}
// Buoc 6 Bien doi Fourier nguoc, lay phan thuc va nhan voi (-1)^(x+y)
fft2d(FR,FI,P,Q,1);
for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
gp[x][y] = -FR[x][y];
else
gp[x][y] = FR[x][y];
// Buoc 7 Bo phan them vao for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (gp[x][y] > 255) g[x][y] = 255;
elseif (gp[x][y] < 0) g[x][y] = 0;
else
g[x][y] = (int)gp[x][y]; Free2D((void **)FR);
Free2D((void **)FI); Free2D((void **)H); Free2D((void **)gp);
}
Câu 30. Xây dựng và cài đặt thuật toán
làm trơn ảnh trong miền tần
số dùng bộ lọc lowpass Gauss.
Lọc trong miền tần số được cho bằng phương trình:
Trong đó F(u,v) là biến đổi Fourier của ảnh f.
Để làm trơn trong miền tần số ta dùng bộ lọc lowpass (thông thấp).
Có 3 loại bộ lọc thông thấp thông dụng:
Bộ lọc lowpass lý tưởng, Butterworth, Gauss.
Bộ lọc lowpass Gauss được cho bằng phương trình
Trong đó:
: được gọi là độ lệch chuẩn
: được gọi là phương sai.
Cho
nên ta được:
với D
0là tần số cắt.
Đồ thị của bộ lọc Gauss:
void GaussLowpassFiltering(BYTE **f, BYTE **g) { double **FR, **FI, **H, **gp; int x, y, u, v; constint P = 1024; constint Q = 1024; double D0 = 10, Duv, n;
FR = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); FI = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); H = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); gp = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double));
// Buoc 1 va 2 Mo rong anh va them zero for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
FR[x][y] = f[x][y];
// Buoc 3 Doi vao tam anh for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
FR[x][y] = -FR[x][y];
fft2d(FR,FI,P,Q,-1);
// Buoc 5 Tao H va F*H // Lowpass Gauss for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
Duv = sqrt(1.0*(u-P/2)*(u-P/2) + 1.0*(v-Q/2)*(v-Q/2)); H[u][v] = exp(-Duv*Duv/(2*D0*D0));
}
// Buoc 6 Bien doi Fourier nguoc, lay phan thuc va nhan voi (-1)^(x+y)
fft2d(FR,FI,P,Q,1);
for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
gp[x][y] = -FR[x][y];
else
gp[x][y] = FR[x][y];
// Buoc 7 Bo phan them vao for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (gp[x][y] > 255) g[x][y] = 255;
elseif (gp[x][y] < 0) g[x][y] = 0;
else
g[x][y] = (int)gp[x][y]; Free2D((void **)FR);
Free2D((void **)FI); Free2D((void **)H); Free2D((void **)gp);
return; }
Câu 31. Xây dựng và cài đặt thuật toán làm nét ảnh trong miền tần số
dùng bộ lọc highpass lý tưởng.
Đáp án:
Người ta dùng bộ lọc thông cao để làm tăng độ nét của ảnh
Bộ lọc thông cao (highpass) là hiệu của một và bộ lọc thông thấp:
Bộ lọc highpass lý tưởng được cho bằng phương trình:
trong đó:
D
0là tần số cắt.
D(u,v) là khoảng cách từ một điểm bất kì (u,v) đến tâm của ảnh
Đồ thị của bộ lọc highpass lý tưởng
Code:
void IdealHighpassFiltering(BYTE **f, BYTE **g) {
double **FR, **FI, **H, **gp;
int x, y, u, v;
constint P = 2048;
constint Q = 2048;
FR = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); FI = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); H = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); gp = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double));
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
FR[x][y] = f[x][y];
// Buoc 3 Doi vao tam anh for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
FR[x][y] = -FR[x][y];
// Buoc 4 Bien doi Fourier
fft2d(FR,FI,P,Q,-1);
// Buoc 5 Tao H va F*H // Highpass ideal for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) { Duv = sqrt(1.0*(u-P/2)*(u-P/2) + 1.0*(v-Q/2)*(v-Q/2)); if (Duv <= D0) H[u][v] = 0; else H[u][v] = 1; }
for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
FR[u][v] = FR[u][v]*H[u][v]; FI[u][v] = FI[u][v]*H[u][v]; }
// Buoc 6 Bien doi Fourier nguoc, lay phan thuc va nhan voi (-1)^(x+y)
fft2d(FR,FI,P,Q,1);
for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
gp[x][y] = -FR[x][y];
else
gp[x][y] = FR[x][y];
// Buoc 7 Bo phan them vao for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (gp[x][y] > 255) g[x][y] = 255;
elseif (gp[x][y] < 0) g[x][y] = 0;
else
g[x][y] = (int)gp[x][y]; Free2D((void **)FR);
Free2D((void **)FI); Free2D((void **)H); Free2D((void **)gp);
return; }
Câu 32. Xây dựng và cài đặt thuật toán làm nét ảnh trong miền tần số
dùng bộ lọc highpass Butterworth.
Đáp án:
Người ta dùng bộ lọc thông cao để làm tăng độ nét của ảnh
Bộ lọc thông cao (highpass) là hiệu của một và bộ lọc thông thấp:
Ta có 3 loại bộ lọc highpass thông dụng là: lý tưởng, Butterworth, Gauss.
Bộ lọc highpass Butterworth được cho bằng phương trình:
trong đó:
n là bậc của bộ lọc, D
0là tần số cắt.
D(u,v) là khoảng cách từ một điểm bất kì (u,v) đến tâm của ảnh
Code:
void ButterworthHighpassFiltering(BYTE **f, BYTE **g) {
double **FR, **FI, **H, **gp;
int x, y, u, v;
constint P = 2048;
constint Q = 2048;
FR = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); FI = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); H = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); gp = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double));
// Buoc 1 va 2 Mo rong anh va them zero for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
FR[x][y] = f[x][y];
// Buoc 3 Doi vao tam anh for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
FR[x][y] = -FR[x][y];
// Buoc 4 Bien doi Fourier
fft2d(FR,FI,P,Q,-1);
// Buoc 5 Tao H va F*H // Highpass Butterworth for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
Duv = sqrt(1.0*(u-P/2)*(u-P/2) + 1.0*(v-Q/2)*(v-Q/2)); H[u][v] = 1/(1+pow(D0/Duv,2*n));
}
for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
FR[u][v] = FR[u][v]*H[u][v]; FI[u][v] = FI[u][v]*H[u][v]; }
// Buoc 6 Bien doi Fourier nguoc, lay phan thuc va nhan voi (-1)^(x+y)
fft2d(FR,FI,P,Q,1);
for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
gp[x][y] = -FR[x][y];
else
gp[x][y] = FR[x][y];
// Buoc 7 Bo phan them vao for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (gp[x][y] > 255) g[x][y] = 255;
elseif (gp[x][y] < 0) g[x][y] = 0;
else
g[x][y] = (int)gp[x][y]; Free2D((void **)FR);
Free2D((void **)FI); Free2D((void **)H); Free2D((void **)gp);
return; }
Câu 33. Xây dựng và cài đặt thuật toán làm nét ảnh trong miền tần số
dùng bộ lọc highpass Gauss.
Đáp án:
Người ta dùng bộ lọc thông cao để làm tăng độ nét của ảnh
Bộ lọc thông cao (highpass) là hiệu của một và bộ lọc thông thấp:
Ta có 3 loại bộ lọc highpass thông dụng là: lý tưởng, Butterworth, Gauss.
Bộ lọc highpass Gauss được cho bằng phương trình:
trong đó:
D
0là tần số cắt.
D(u,v) là khoảng cách từ một điểm bất kì (u,v) đến tâm của ảnh
Đồ thị của bộ lọc highpass Gauss:
Code:
void GaussHighpassFiltering(BYTE **f, BYTE **g) {
double **FR, **FI, **H, **gp;
int x, y, u, v;
constint P = 2048;
constint Q = 2048;
FR = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); FI = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); H = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); gp = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double));
// Buoc 1 va 2 Mo rong anh va them zero for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
// Buoc 3 Doi vao tam anh for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
FR[x][y] = -FR[x][y];
// Buoc 4 Bien doi Fourier
fft2d(FR,FI,P,Q,-1);
// Buoc 5 Tao H va F*H // Highpass Gauss for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
Duv = sqrt(1.0*(u-P/2)*(u-P/2) + 1.0*(v-Q/2)*(v-Q/2)); H[u][v] = 1.0 - exp(-Duv*Duv/(2*D0*D0));
}
for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
FR[u][v] = FR[u][v]*H[u][v]; FI[u][v] = FI[u][v]*H[u][v]; }
// Buoc 6 Bien doi Fourier nguoc, lay phan thuc va nhan voi (-1)^(x+y)
fft2d(FR,FI,P,Q,1);
for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
gp[x][y] = -FR[x][y];
else
gp[x][y] = FR[x][y];
// Buoc 7 Bo phan them vao for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
if (gp[x][y] > 255) g[x][y] = 255;
elseif (gp[x][y] < 0) g[x][y] = 0;
else
g[x][y] = (int)gp[x][y]; Free2D((void **)FR);
Free2D((void **)FI); Free2D((void **)H); Free2D((void **)gp);
return; }
Câu 34. Xây dựng và cài đặt thuật toán biến đổi Laplace trong miền
tần số.
Đáp án:
Ta có biến đổi Fourier của vi phân cấp n của hàm f(x)
Cụ thể biến đổi Fourier của vi phân cấp 2 của hàm một chiều là:
Mở rộng biến đổi fourier của vi phân cấp 2 của hàm hai chiều là:
vì j
2= -1
Vậy đạo hàm cấp 2 của ảnh là:
Đặt
Ta phải biến đổi H(u,v) để H(u,v) là đối xứng qua tâm của ảnh.
Sau đó ta dùng phép biến đổi Fourier ngược để được ảnh Laplace
Code:
void LaplaceFrequency(BYTE **f, BYTE **g) {
double **FR, **FI, **H, **gp;
int x, y, u, v;
constint P = 1024;
constint Q = 1024;
double Duv, pi = 4.0*atan(1.0);
FR = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); FI = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); H = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); gp = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double));
// Buoc 1 va 2 Mo rong anh va them zero for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
FR[x][y] = 1.0*f[x][y]/255;
// Buoc 3 Doi vao tam anh for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
FR[x][y] = -FR[x][y];
// Buoc 4 Bien doi Fourier
fft2d(FR,FI,P,Q,-1);
// Buoc 5 Tao H va F*H for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
Duv = sqrt(1.0*(u-P/2)*(u-P/2) + 1.0*(v-Q/2)*(v-Q/2)); H[u][v] = -Duv*Duv;
}
for (u=0; u<P; u++)
for (v=0; v<Q; v++) {
FR[u][v] = FR[u][v]*H[u][v]; FI[u][v] = FI[u][v]*H[u][v]; }
// Buoc 6 Bien doi Fourier nguoc, lay phan thuc va nhan voi (-1)^(x+y)
fft2d(FR,FI,P,Q,1);
for (x=0; x<P; x++)
for (y=0; y<Q; y++)
if ((x+y)%2 == 1)
gp[x][y] = -FR[x][y];
else
gp[x][y] = FR[x][y];
double max, min; max = gp[0][0];
min = gp[0][0];
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) {
if (gp[x][y] > max) max = gp[x][y]; if (gp[x][y] < max) min = gp[x][y]; } max = fabs(max); for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
gp[x][y] = gp[x][y]/max;
double scale = 120;
double r;
for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++) {
r = f[x][y]-scale*gp[x][y]; if (r<0) g[x][y] = 0; elseif (r>255) g[x][y] = 255; else g[x][y] = (int)r; } Free2D((void **)FR); Free2D((void **)FI); Free2D((void **)H); Free2D((void **)gp);
return; }
Câu 35. Xây dựng và cài đặt thuật toán mặt nạ làm nhòe, lọc tăng
cường và lọc nâng tần số cao.
Đáp án:
Mặt nạ làm nhòe được cho bằng phương trình:
Trong miền tần số thì
là biến đổi Fourier ngược.
Nâng cao độ nét của ảnh dùng mặt nạ làm nhòe được cho bằng phương trình:
g(x,y) = f(x,y) + k*g
mask(x,y)
Nếu k=1 ta gọi là mặt nạ làm nhòe. Nếu k>1 ta gọi là lọc tăng cường.
Biểu diễn trong miền tần số:
hay
Biểu thức nằm trong cặp dấu ngoặc vuông được gọi là bộ lọc nâng tần số cao.
Tổng quát lọc nâng tần số cao được cho bằng phương trình:
trong đó k
1>= 0 điều khiển độ dời từ gốc và k
2>= 0 điều khiển sự tham gia của tần số
cao.
Cụ thể, bộ lọc highpass là bộ lọc Gauss có D
0= 40, k
1= 0.5, k
2= 0.75.
void HighFrequencyEmphasis(BYTE **f, BYTE **g) { double **FR, **FI, **H, **gp; int x, y, u, v; constint P = 1024; constint Q = 1024; double D0 = 40, Duv; double k1 = 0.5, k2 = 0.75;
FR = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); FI = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); H = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double)); gp = (double **)Alloc2D(P,Q,sizeof(double));
// Buoc 1 va 2 Mo rong anh va them zero for (x=0; x<M; x++)
for (y=0; y<N; y++)
FR[x][y] = f[x][y];
// Buoc 3 Doi vao tam anh for (x=0; x<P; x++)