Uma breve introdução ao estudo de equações diferenciais 1

Uma breve introdução ao estudo de equações diferenciais

Este texto tem o objetivo de apresentar os métodos de resolução dos modelos mais básicos de equações diferenciais. A ideia é fornecer um treinamento mínimo na condução de problemas econômicos cuja análise dinâmica é essencial e, portanto, carece do entendimento sobre a resolução e interpretação de uma equação diferencial ou de um de um sistema destas em tempo contínuo. Com isto em mente a primeira seção tratará dos métodos de resolução de equações diferenciais e lineares de primeira ordem.

Equações Diferenciais de Primeira Ordem 𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑦)

(1) Onde 𝑓 é uma função dada de duas variáveis. Qualquer função diferenciável 𝑦 = 𝜙(𝑡) que satisfaz essa equação para todo 𝑡 em algum intervalo é chamada de solução.

Se a função 𝑓 em (1) depender linearmente da variável dependente 𝑦, então (1) é dita uma equação diferencial linear de primeira ordem. Um exemplo disto é:

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = −𝑎𝑦 + 𝑏

(2) onde 𝑎 e 𝑏 são constantes dadas. Vamos considerar agora a equação linear de primeira ordem mais geral, obtida substituindo-se os coeficientes 𝑎 e 𝑏 em (2) por funções arbitrárias de 𝑡. Em geral escreveremos a equação linear de primeira ordem geral na forma-padrão

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡)

(3) onde 𝑝 e 𝑔 são funções dadas na variável independente 𝑡. A Eq. (2) pode ser resolvida pelo

seguinte método de integração; se 𝑎 ≠ 0 e 𝑦 ≠ 𝑏/𝑎, podemos escrever a equação na forma: (𝑑𝑦

𝑑𝑡) 𝑦 −𝑏_𝑎

= −𝑎

(4)

Então, integrando, obtemos:

ln |𝑦 − (𝑏

𝑎)| = −𝑎𝑡 + 𝐶 Elevando tudo à exponencial obtêm-se:

𝑒ln|𝑦−(𝑏𝑎)| _{= 𝑒}−𝑎𝑡+𝐶

Lembre aqui que a função exponencial é a inversa do 𝑙𝑛: 𝑦 −𝑏 𝑎= 𝑒 −𝑎𝑡+𝐶 𝑦 = 𝑒−𝑎𝑡𝑒𝑐+𝑏 𝑎 𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒−𝑎𝑡+𝑏 𝑎 (5)

1 _{Estas tem como base Boyce e DiPrima (2011).}

Onde 𝐴 = 𝑒𝑐 é apenas uma constante arbitrária. A equação (5) é a solução geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Quase sempre o procedimento é definir uma condição inicial com o objetivo de estipular um valor particular para a constante arbitrária 𝐴. Por exemplo, se supusermos que em 𝑡 = 0, isto é, no instante zero do modelo, 𝑦(0) = 0, obtemos:

𝑦(0) = 𝐴 +𝑏 𝑎 ⇒ 𝐴 = 𝑦(0) − 𝑏 𝑎 Então: 𝑦(𝑡) = [𝑦(0) −𝑏 𝑎] 𝑒 −𝑎𝑡₊𝑏 𝑎

Uma das formas de estudar modelos matemáticos compostos por equações diferenciais é analisar se tais modelos são estáveis, isto é, se quando 𝑡 → +∞, a função converge para um determinado valor. Por exemplo, podemos notar que a equação (5) pode modelar uma variável que possui uma tendência de longo prazo, como por exemplo, preços de commodities. Note:

lim

𝑡→+∞𝑦(𝑡) =

𝑏 𝑎 Ou seja, 𝑏

𝑎, o valor do equilíbrio do modelo dinâmico representado por (5) e este valor é estável.

Infelizmente este método direto não pode ser usado para resolver a equação geral (3) de modo que precisamos do método desenvolvido por Leibniz, conhecido como método do fator integrante. Este método envolve a multiplicação da equação diferencial (3) por uma determinada função 𝜇(𝑡) escolhida de modo que a equação resultante seja facilmente integrável. A função 𝜇(𝑡) é denotada como fator integrante, e a principal dificuldade do método é determina-la.

Exemplo: Resolva: 𝑑𝑦 𝑑𝑡+ 1 2𝑦 = 1 2𝑒 𝑡 2 (6)

O primeiro passo é multiplicar (6) por 𝜇(𝑡): 𝑑𝑦 𝑑𝑡𝜇(𝑡) + 1 2𝜇(𝑡)𝑦 = 1 2𝜇(𝑡)𝑒 𝑡 2 (7)

O truque agora é determinar 𝜇(𝑡) de modo que a expressão à esquerda do sinal de igualdade em (7) seja reconhecida como a derivada de alguma expressão particular. Aqui é preciso lembrar dos tipos de derivada, e verificar qual mais se aproxima o lado esquerdo da equação (7). Note que a para o lado esquerdo desta equação ser a derivada de um produto de funções, a única condição é 𝑑𝜇(𝑡)

𝑑𝑡 = 1 2𝜇(𝑡). Lembre que: 𝑑(𝑦(𝑡)𝜇(𝑡)) 𝑑𝑡 = 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 𝜇(𝑡) + 𝑑𝜇(𝑡) 𝑑𝑡 𝑦(𝑡) (8) Comparando (8) e (7) percebe-se que o lado esquerdo de (7) será a derivada do produto de funções 𝜇(𝑡)𝑦(𝑡) desde que: 𝑑𝜇(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 2𝜇(𝑡) (9) Partindo desta condição obtém-se que:

(𝑑𝜇(𝑡) 𝑑𝑡 ) 𝜇(𝑡) = 1 2 (10) Que é equivalente à: 𝑑 𝑑𝑡ln|𝜇(𝑡)| = 1 2 (11) Integrando dos dois lados:

ln|𝜇(𝑡)| =1 2𝑡 + 𝐶

(12) assim:

𝜇(𝑡) = 𝑐𝑒12𝑡 (13)

A função 𝜇(𝑡) dada por (13) é um fator integrante para a equação (6). Como não precisamos do fator integrante mais geral possível, escolheremos 𝑐 = 1 e usaremos (13) como: 𝜇(𝑡) = 𝑒2𝑡.

O passo seguinte é multiplicar a equação (6) por ser fator integrante encontrado em (13): 𝑒𝑡2𝑑𝑦 𝑑𝑡+ 1 2𝑒 𝑡 2_{𝑦 =}1 2𝑒 𝑡 3_𝑒 𝑡 2 ₌ 𝑒2𝑡𝑑𝑦 𝑑𝑡+ 1 2𝑒 𝑡 2_{𝑦 =}1 2𝑒 5𝑡 6 (14)

Note que o lado esquerdo de (14) é facilmente reconhecido como a derivado do produto de 𝑒2𝑡𝑦,

assim (14) fica: 𝑑 𝑑𝑡(𝑒 𝑡 2_{𝑦) =}1 2𝑒 5𝑡 6 (15)

Integrando os dois lados de (15) obtém-se: 𝑒2𝑡_{𝑦 =}3

5𝑒

5𝑡

6 _{+ 𝑐,} (16)

Resolvendo para 𝑦, obtemos a solução geral de (6), a saber, 𝑦 =3 5𝑒 𝑡 3_{+ 𝑐𝑒}− 𝑡 2 (17)

Suponha adicionalmente que desejamos encontrar a solução cujo gráfico contém o ponto (0,1) isto é, que passa pelo ponto 𝑡 = 0 e 𝑦 = 1. Para obter esta solução particular basta em (17) fazer:

1 =3 5𝑒 0 3_{+ 𝑐𝑒}− 0 2 _{→ 1 =}3 5+ 𝑐 ⇒ 𝑐 = 1 − 3 5= 2 5 Então temos que (17) pode ser reescrita como:

𝑦 =3 5𝑒 𝑡 3₊2 5𝑒 −₂𝑡 (18)

Vamos agora estender o método dos fatores a equações da forma: 𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑎𝑦 = 𝑔(𝑡)

(19) onde 𝑎 é uma constante dada e 𝑔(𝑡) é uma função dada. Procedendo como no exemplo interior, podemos perceber que o fator integrante 𝜇𝑡 tem que satisfazer:

𝑑𝜇 𝑑𝑡 = 𝑎𝜇

(20) Logo, o fator integrante é 𝜇(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡. Multiplicando (19) por 𝜇(𝑡), obtemos:

𝑒𝑎𝑡𝑑𝑦 𝑑𝑡+ 𝑎𝑒 𝑎𝑡_{𝑦 = 𝑒}𝑎𝑡_𝑔(𝑡) 𝑑 𝑑𝑡(𝑒 𝑎𝑡_{𝑦) = 𝑒}𝑎𝑡_𝑔(𝑡) (21) Integrando (21), encontramos 𝑒𝑎𝑡𝑦 = ∫ 𝑒𝑎𝑡𝑔(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐, (22)

onde 𝑐 é uma constante arbitrária. Para muitas funções simples 𝑔(𝑡) podemos calcular a integral em (22) e expressar a solução 𝑦 em termos de funções elementares. No entanto, para funções mais complicadas, pode ser necessário deixar a solução em forma integral. Nesse caso,

𝑦 = 𝑒−𝑎𝑡∫ 𝑒𝑎𝑠𝑔(𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑡𝑜

+ 𝑐𝑒−𝑎𝑡 (23)

Note que denotamos por 𝑠 a variável de integração (23), para distingui-la da variável independente 𝑡, e escolhemos algum valor conveniente para 𝑡₀ como limite inferior da integração.

Exemplo:

Resolva a equação diferencial

𝑑𝑦

𝑑𝑡 − 2𝑦 = 4 − 𝑡

(24) Discuta o comportamento quando 𝑡 → +∞. Observe que (24) é uma equação da forma (19), como 𝑎 = −2; logo, o fator integrante é 𝜇(𝑡) = 𝑒−2𝑡. Multiplicando a equação diferencial (24) por 𝜇(𝑡), obtemos; 𝑒−2𝑡𝑑𝑦 𝑑𝑡− 2𝑒 −2𝑡_{𝑦 = 4𝑒}−2𝑡_{− 𝑡𝑒}−2𝑡 (25) Ou 𝑑 𝑑𝑡(𝑒 −2𝑡_{𝑦) = 4𝑒}−2𝑡 _{− 𝑡𝑒}−2𝑡 (26) 𝑒−2𝑡𝑦 = ∫ 4𝑒−2𝑡𝑑𝑡 − ∫ 𝑡𝑒−2𝑡𝑑𝑡 (27)

Resolvendo a primeira integral obtemos,

∫ 4𝑒−2𝑡_{𝑑𝑡 = 4}𝑒 −2𝑡 −2 = −2𝑒 −2𝑡 Resolvendo a segunda, ∫ 𝑡𝑒−2𝑡𝑑𝑡 ⇔ ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 Usando o algoritmo LIATE, temos que:

𝑑𝑣 = 𝑒−2𝑡𝑑𝑡 ⇔ 𝑣 =𝑒 −2𝑡 −2 = − 𝑒−2𝑡 2 Dessa forma, ∫ 𝑡𝑒−2𝑡𝑑𝑡 = −𝑡 2𝑒 −2𝑡 _{− ∫ (−}𝑒 −2𝑡 2 ) 𝑑𝑡 = −𝑡 2𝑒 −2𝑡_{+ ∫}𝑒 −2𝑡 2 𝑑𝑡 = − 𝑡 2𝑒 −2𝑡 ₋𝑒 −2𝑡 4 = − ( 𝑡 2𝑒 −2𝑡 ₊𝑒 −2𝑡 4 ) De posse das integrais calculadas basta plugar na equação (27):

𝑦𝑒−2𝑡 = −2𝑒−2𝑡 + (𝑡 2𝑒 −2𝑡 ₊𝑒−2𝑡 4 ) + 𝑐 𝑦 = −2𝑒−2𝑡𝑒2𝑡+ (𝑡 2+ 1 4)𝑒 −2𝑡_𝑒2𝑡_{+ 𝑐𝑒}2𝑡 𝑦 = −2 +1 4+ 𝑡 2+ 𝑐𝑒 2𝑡 𝑦 = 𝑡 2+ 𝑐𝑒 2𝑡₋7 4 Vamos voltar para a equação linear geral de primeira ordem (3)

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡),

(28) onde 𝑝 𝑒 𝑔 são funções dadas. Para determinar um fator integrante apropriado, multiplicamos (3) por uma função 𝜇(𝑡) a ser determinada, obtendo:

𝜇(𝑡)𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑝(𝑡)𝜇(𝑡)𝑦 = 𝜇(𝑡)𝑔(𝑡)

(29) Seguindo o mesmo raciocínio condutor do primeiro exemplo, vemos que a expressão a esquerda em (28) é a derivada de um produto 𝜇(𝑡)𝑦, desde que 𝜇(𝑡) satisfaça a equação

𝑑𝜇(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝑝(𝑡)𝜇(𝑡)

(30) Supondo 𝜇(𝑡) positiva, temos

𝑑𝜇(𝑡) 𝑑𝑡

𝜇(𝑡) = 𝑝(𝑡) Em consequência,

ln 𝜇(𝑡) = ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑘

Escolhendo a constante 𝑘 = 0, obtemos a função mais simples possível para 𝜇, a saber,

𝜇(𝑡) = 𝑒∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 ₍₃₁₎

Voltando para (29), temos

𝑑

𝑑𝑡[𝜇(𝑡)𝑦] = 𝜇(𝑡)𝑔(𝑡)

Portanto,

𝜇(𝑡)𝑦 = ∫ 𝜇(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐 (33)

onde 𝑐 é uma constante arbitrária. Algumas vezes a integral em (33) pode ser calculada em termos de funções elementares. No entanto, isso não é possível, em geral, de modo que a solução geral da equação (3) é 𝑦 = 1 𝜇(𝑡)[∫ 𝜇(𝑠)𝑔(𝑠)𝑑𝑠 𝑡 𝑡0 + 𝑐] (34)

Observe que a Eq. (34) envolve duas integrações, uma para obter 𝜇(𝑡) da Eq. (30) e outra para determinar 𝑦 da equação (34).

Exemplo:

Resolva o problema de valor inicial

𝑡𝑦′+ 2𝑦 = 4𝑡2 (35)

𝑦(1) = 2 (36)

Para determinar 𝑝(𝑡) 𝑒 𝑔(𝑡) corretamente, precisamos primeiro colocar (35) na forma padrão (3), 𝑦′+ (2

𝑡) 𝑦 = 4𝑡

(37) De modo que 𝑝(𝑡) = 2/𝑡 e 𝑔(𝑡) = 4𝑡. Para resolver a (37), primeiro calculamos o fator integrante 𝜇(𝑡):

𝜇(𝑡) = 𝑒∫2𝑡𝑑𝑡 _{= 𝑒}2 ln|𝑡| _{= 𝑡}2

Multiplicando (36) por 𝜇(𝑡) = 𝑡2, obtemos:

𝑡2_𝑦′_{+ 2𝑡𝑦 = (𝑡}2_{𝑦) = 4𝑡}3 e, portanto, 𝑡2_{𝑦 = 𝑡}4_{+ 𝑐} onde, 𝑦 = 𝑡2 + 𝑐 𝑡2 (38)

Aplicações às Ciências Econômicas Equilíbrio de Mercado3

Suponha que, para uma mercadoria especifica, as funções demanda e oferta são as seguintes:

𝑄𝑑= 𝛼 − 𝛽𝑝 (39)

𝑄𝑠= −𝛾 + 𝛿𝑝 (40)

3

Então de acordo com a pressuposição de equilíbrio o preço será tal que igualará oferta e demanda. É fácil ver que quando 𝑄_𝑑 = 𝑄_𝑠, obtêm-se:

𝑝∗= 𝛼 + 𝛾 𝛽 + 𝛿

(41)

Se por acaso o preço no tempo inicial, 𝑝(0) estiver exatamente no nível de 𝑝∗, o mercado já estará claramente em equilíbrio e nenhuma análise dinâmica será necessária. No entanto, se 𝑝(0) ≠ 𝑝∗, o preço de equilíbrio será possivelmente obtido após um processo de ajuste, durante o qual não somente o preço sofrerá variação ao longo do tempo, mas 𝑄_𝑑 𝑒 𝑄_𝑠, sendo funções de 𝑝, também deverão variar ao longo do tempo. Para saber se o 𝑝(0) realmente tenderá a 𝑝∗, antes de mais nada, precisa-se estabelecer como se dá o padrão de variação do preço.

Em geral, variações de preços são regidas pela intensidade relativa das forças de demanda e de oferta no mercado. Supondo, que a taxa de variação do preço em relação ao tempo, a qualquer instante, é sempre diretamente proporcional ao excesso de demanda (𝑄_𝑑− 𝑄_𝑠) prevalecente naquele instante. Tal padrão de variação pode ser expresso como:

𝑑𝑝

𝑑𝑡 = 𝑗(𝑄𝑑− 𝑄𝑠) (𝑗 > 0)

(42)

Onde por simplicidade, 𝑗, representa um coeficiente de ajuste constante. É fácil ver que a partir das funções demanda e oferta, (42) pode ser expressa da seguinte forma:

𝑑𝑝

𝑑𝑡+ 𝑗(𝛽 + 𝛿)𝑝 = 𝑗(𝛼 + 𝛾)

(43) A partir da equação (31) temos que o fator de integração para (43) é dado por:

𝜇(𝑡) = 𝑒𝑗(𝛽+𝛾)𝑡 (44)

Tomando o produto de (43) por (44) obtemos: 𝑒𝑗(𝛽+𝛾)𝑡𝑑𝑝

𝑑𝑡+ 𝑗(𝛽 + 𝛿)𝑒

𝑗(𝛽+𝛾)𝑡_{𝑝 = 𝑗(𝛼 + 𝛾)𝑒}𝑗(𝛽+𝛾)𝑡 (45)

Tomando como referência a regra da derivada do produto temos que lado esquerdo de (45) pode ser entendido como 𝑑

𝑑𝑡(𝑝𝑒

𝑗(𝛽+𝛾)𝑡_{). Deste modo podemos reescrevê-la como:}

𝑑 𝑑𝑡(𝑝𝑒 𝑗(𝛽+𝛾)𝑡_{) =𝑗(𝛼 + 𝛾)𝑒}𝑗(𝛽+𝛾)𝑡 (46) Integrando (46) obtemos: 𝑝𝑒𝑗(𝛽+𝛾)𝑡₌𝛼 + 𝛾 𝛽 + 𝛿𝑒 𝑗(𝛽+𝛾)𝑡_{+ 𝑐} (47) Resolvendo para 𝑝: 𝑝(𝑡) =𝛼 + 𝛾 𝛽 + 𝛿𝑒 𝑗(𝛽+𝛾)𝑡_𝑒−𝑗(𝛽+𝛾)𝑡_{+ 𝑐𝑒}−𝑗(𝛽+𝛾)𝑡 (48) A solução geral é: 𝑝(𝑡) = 𝑐𝑒−𝑗(𝛽+𝛾)𝑡+𝛼 + 𝛾 𝛽 + 𝛿 (49) Definindo uma condição inicial geral, isto é um valor para quando 𝑡 = 0. Obtemos:

𝑝(𝑡) = [𝑝(0) −𝛼 + 𝛾 𝛽 + 𝛿] 𝑒

−𝑗(𝛽+𝛾)𝑡₊𝛼 + 𝛾

𝛽 + 𝛿

(50) A partir de (50) é fácil perceber que 𝑝(𝑡) tende a 𝑝∗ _{quando 𝑡 → +∞. Isto é,}

lim 𝑡→+∞𝑝(𝑡) = 𝛼 + 𝛾 𝛽 + 𝛿= 𝑝 ∗ (51) Modelo de Solow

Outra aplicação interessante de equações diferenciais, bastante difundida é a equação principal do modelo de Solow e Swan (1956) onde temos:

𝑑𝑘 𝑑𝑡 = 𝑠𝑘

𝛼_{− (𝑛 + 𝑔 + 𝛿)𝑘} (52)

No entanto, este modelo dinâmico é definido por uma espécie de condição terminal que impõe em linhas gerais que 𝑑𝑘

𝑑𝑡 → 0, quando, 𝑡 → +∞. Dessa forma não precisamos de nenhuma ferramenta

para encontrar o valor de “longo prazo” de 𝑘. No entanto, para fins de ilustração vamos demonstrar a trajetória de 𝑘. Note que (52) pode ser reescrita como:

𝑑𝑘

𝑑𝑡+ (𝑛 + 𝑔 + 𝛿)𝑘 = 𝑠𝑘

𝛼 (53)

Da equação (31) obtemos o fator de integração de (53) como:

𝜇(𝑡) = 𝑒(𝑛+𝑔+𝛿)𝑡 (54)

Tomando o produto de (54) por (53): 𝑑𝑘

𝑑𝑡𝑒

(𝑛+𝑔+𝛿)𝑡_{+ (𝑛 + 𝑔 + 𝛿)𝑒}(𝑛+𝑔+𝛿)𝑡_{𝑘 = 𝑠𝑘}𝛼_𝑒(𝑛+𝑔+𝛿)𝑡 (55)

Logo podemos reescrever (55) como: 𝑑 𝑑𝑡(𝑘𝑒 (𝑛+𝑔+𝛿)𝑡_{)= 𝑠𝑘}𝛼_𝑒(𝑛+𝑔+𝛿)𝑡 (56) Integrando (56), obtemos: 𝑘𝑒(𝑛+𝑔+𝛿)𝑡 = 𝑠∫ 𝑘𝛼𝑒(𝑛+𝑔+𝛿)𝑡𝑑𝑡 (57) Assim: 𝑘 = 𝑠𝑒−(𝑛+𝑔+𝛿)𝑡∫ 𝑘𝛼𝑒(𝑛+𝑔+𝛿)𝑠𝑑𝑠 𝑡 𝑡0 (58)

A partir de (58) podemos perceber a conveniência da hipótese steady state do Solow e Swan (1956) que simplifica todo o processo assumindo que 𝑑𝑘

𝑑𝑡 = 0 quando 𝑡 → +∞. O que simplifica (52) para:

𝑠𝑘𝛼 _{= (𝑛 + 𝑔 + 𝛿)𝑘 (59)} Implicando que: 𝑘 = ( 𝑠 𝑛 + 𝑔 + 𝛿) 1 1−𝛼 (60)