Soluções Compatíveis e Soluções Equilibradas em Análise Dinâmica

Soluções Compatíveis e Soluções Equilibradas

em Análise Dinâmica

Aplicação no Domínio do Tempo a Estruturas Porticadas

Pedro Miguel Lopes Loreto dos Santos

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira

Orientador: Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida

Vogal:

Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Resumo

Esta tese considera uma abordagem equilibrada de elementos finitos, para a obtenção de um conjunto de equações alternativo às equações do Método dos Elementos Finitos compatível, preferencialmente utilizado nos problemas de raiz dinâmica.

O elemento considerado é uma estrutura plana porticada, com flexão baseada na teoria de Euler-Bernoulli e deformação axial. Apesar de se tratar de um tipo de estruturas de apenas uma dimensão, exemplifica as características dos problemas dinâmicos e o tipo de soluções obtidas. Este modelo alternativo discretiza impulsos, dos quais é possível obter, por derivação, um campo de esforços equilibrado. Os elementos finitos clássicos não permitem, em problemas dinâmicos, a obtenção de soluções deste tipo, dado que o equilíbrio é apenas garantido em termos de forças nodais equivalentes.

A discretização utilizada em ambos os modelos utiliza funções de aproximação de 3º grau. Este tipo de polinómios não permite a obtenção da solução exacta, pelo que foi considerado um refinamento da solução tipo-h.

Esta tese introduz as bases teóricas da formulação, tal como alguns exemplos e interessantes resultados obtidos da comparação dos dois modelos. Os resultados obtidos reflectem a importância de estudos complementares e mais aprofundados sobre o tema, de forma a melhor compreender as complementaridades de ambos os modelos, nomeadamente no campo da estimativa de erro.

Palavras-Chave

Elementos de Equilíbrio Elementos Compatíveis Estruturas Porticadas Análise Dinâmica Elasticidade Linear

Abstract

This thesis presents an equilibrium finite element formulation for dynamics, providing an alternative to the displacement based equations, used in most structural problems.

The element used is based on the Euler-Bernoulli beam, with axial strain. Although it is only a 1D problem, it exemplifies most of the characteristics of dynamical problems and of the solutions that are obtained.

This model discretizes the internal impulses, from which equilibrated stresses can be derived, unlike the classic finite element result, which is equilibrated only in terms of equivalent nodal forces. The discretization used in both models is based on 3rd degree polynomials. As in dynamical problems it is not possible to obtain the exact solution, the difference between them is studied using an h refinement strategy.

This thesis introduces the basis of this formulation, as well as some examples with interesting results in the comparison of both models. They reflect the importance of further studies, which may eventually be used to improve finite element results and error estimation.

Keywords

Equilibrium Finite Elements Compatible Finite Elements Dynamics

Frame Structures Linear Elasticity

Agradecimentos

Ao Professor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida, pelo volume dos seus ensinamentos e pela sua permanente disponibilidade. Após os meses em Erasmus, a sigla ZP deixou uma marca indelével na minha memória.

Notação

Alfabeto latino:

 – Matriz de compatibilidade do elemento ;

– Matriz de compatibilidade global;  – Área da secção;

 – Matriz de amortecimento generalizada;

 – Parâmetro de amortecimento por unidade de comprimento; – Amortecimento dual de um oscilador de um grau de liberdade; c – Amortecimento de um oscilador de um grau de liberdade;  – Amortecimento crítico;

 – Matriz de amortecimento generalizada;

 – Matriz de amortecimento nodal concentrado;

 – Matriz das relações constitutivas;  – Módulo de elasticidade do material;  - Matriz de flexibilidade;

 – Vector das forças nodais equivalentes;

 – Flexibilidade de um oscilador de um grau de liberdade (inverso da rigidez ); – Esforços transmitidos pelas barras;

 – Esforços nodais resultantes das suas características intrínsecas;

 – Espaço das matrizes Hermitianas de dimensão ;

 – Momento de inércia da secção na direcção ;  – Impulso aplicado no domínio do sistema;  – Termo imaginário;

 – Energia cinética;

 – Matriz de rigidez da malha;

 – Rigidez de um oscilador de um grau de liberdade; ∗ _{– Energia cinética complementar;}

 – Matriz de rigidezes generalizadas;

 – Matriz de rigidezes nodais concentradas;

 – Momento flector na secção;

– Matriz das massas consistente generalizada; ! – Matriz de mobilidade;

# – Mobilidade de um oscilador de um grau de liberdade (inverso da massa ");

 – Matriz de massas generalizadas; – Matriz de massas nodais concentradas;

$ – Esforço normal na secção; % – Matriz da normal à fronteira; & – Frequência natural do sistema;

' – Vector de forças aplicadas no sistema; &( – Frequência de vibração amortecida;

& – Frequência própria do modo de vibração i;

)*+ – Polinómios de Legendre de grau ";

&, – Carregamento axial;

&- – Carregamento transversal;

. – Força aplicada no sistema; /0 – Vector dos esforços aplicados; /01 – Esforços aplicados no nó;

.2 – Carregamento i em coordenadas modais;

3 – Parte real do número;

4 – Matriz de aproximação dos deslocamentos no elemento ;

5 – Matriz da normal à fronteira;

67 – Vector das forças aplicadas na fronteira; 8 – Energia potencial de deformação;

9 – Matriz das Funções de interpolação dos deslocamentos na malha; 8∗ _{– Energia complementar de deformação;}

: – Vector de deslocamentos;

:; – Vector dos parâmetros de deslocamento nos nós da malha; :0 - Vector dos deslocamentos aplicados;

: – Vector dos deslocamentos no elemento ;

:; – Vector dos deslocamentos nodais do elemento ;

:0 – Vector dos deslocamentos impostos no nó j;

:; – Vector dos parâmetros de deslocamento do nó ;

:< – Campo de deslocamentos da solução compatível;

=>*? – Solução complementar de um sistema dinâmico;

:@ – Campo de deslocamentos da solução equilibrada;

:@AB<CD– Campo de deslocamentos da solução exacta;

=?EFG – Solução particular de um sistema dinâmico;

=, – Deslocamento da barra na direcção do eixo das abcissas;

=- – Deslocamento da barra na direcção do eixo das ordenadas;

I∗ _{– Trabalho dos deslocamentos impostos;}

IJ– Trabalho da força /;

IJ∗ – Trabalho dos deslocamentos impostos pela força /;

K – Vector de forças do elemento  no referencial global;

|M| – Erro absoluto;

NO – Configuração longitudinal deformada;

NC – Configuração transversal deformada;

P01 – Termo independente do sistema dual;

QR – Vector dos parâmetros dos impulsos ST e dos deslocamentos :; dos nós na malha.

Alfabeto grego:

α – grau de indeterminação estática da estrutura V – Parâmetro do amortecimento de Rayleigh;

β – Parâmetro de velocidade do método de Newmark; X – Parâmetro do amortecimento de Rayleigh;

YZ – Fronteira cinemática;

Y\ – Fronteira estática;

γ – Parâmetro de aceleração do método de Newmark; ^ – Erro relativo;

_ – Extensão linear da secção; ` – Vector das deformações;

_,, – Extensões na secção na direcção +;

a – Taxa de amortecimento do sistema;

a – Taxa de amortecimento do modo de vibração i;

b – Função de interpolação  utilizada nos elementos finitos compatíveis;

c – Matriz das Funções de interpolação dos impulsos na malha; d – Impulso de forças;

S – Vector de impulsos de uma solução equilibrada; ST – Vector dos parâmetros dos impulsos dos nós na malha; S – Vector dos impulsos do elemento ;

Se – Vector de tensões virtual;

f1 – Deslocamento i em coordenadas modais; g

h< – Funcional na formulação equilibrada;

hi – Funcional na formulação compatível;

j – Massa por unidade de comprimento; k – Vector das tensões;

k< – Campo de esforços num elemento  na formulação compatível;

k@ – Campo de tensões da solução equilibrada;

l – Curvatura da secção;

mn – Matriz das funções de interpolação no elemento ;

o – Função de interpolação  utilizada nos elementos finitos compatíveis;

p – Domínio;

p – Domínio do elemento ;

q – Operador diferencial de compatibilidade; q∗ _{– Operador diferencial de equilíbrio;}

Índice

1.

Introdução

1

1.1. Contexto ... 1 1.2. Objectivo ... 2 1.3. Organização ... 2

2.

Hipóteses Consideradas

5

2.1. No Método dos Elementos Finitos ... 5

2.2. Nas acções ... 6

3.

Elementos Finitos Compatíveis - Formulação Primal

7

3.1. Equações Governativas ... 8

3.1.1. Compatibilidade ... 8

3.1.2. Relações constitutivas ... 9

3.1.2.1. Parcela axial ... 9

3.1.2.2. Parcela de flexão – Euler-Bernoulli ... 9

3.1.3. Equilíbrio ... 9

3.1.3.1. Parcela axial ... 9

3.1.3.2. Parcela de flexão – Euler-Bernoulli ... 11

3.2. Equação do Método dos Elementos Finitos ... 13

3.2.1. Amortecimento ... 15

3.2.2. Funções de Forma ... 19

3.2.3. Sistema Matricial Final e Novas Equações das barras ... 19

3.2.3.1. Relações constitutivas ... 20

3.2.3.2. Equilíbrio ... 20

4.

Elementos Finitos de Equilíbrio - Formulação Dual

23

4.1. Equações Governativas ... 24

4.1.1. Compatibilidade... 24

4.1.2. Relações constitutivas ... 24

4.1.3. Equilíbrio ... 24

4.2. Equação do Método dos Elementos Finitos ... 25

4.2.1. Amortecimento ... 30

4.2.2. Funções de Forma ... 32

4.2.3. Sistema Matricial Final ... 34

4.2.4. Matrizes Elementares ... 34

5.

Características das Formulações

37

5.1. Princípios Energéticos ... 37

5.1.1. Elementos Finitos Compatíveis – Formulação Primal ... 37

5.1.2. Elementos Finitos de Equilíbrio – Formulação Dual ... 38

5.2. Propriedades das matrizes ... 39

5.3. Frequências Próprias Naturais... 40

5.3.1. Formulação Primal ... 40

5.3.2. Formulação Dual ... 41

5.4. Modos de vibração ... 42

5.5. Número de equações ... 43

5.6. Comparativo entre as duas formulações com amortecimento de Rayleigh ... 43

6.

Integração numérica no tempo

45

6.1. Método de Newmark ... 45

6.1.1. Formulação Primal ... 46

6.1.2. Formulação Dual ... 47

7.

Avaliação do Erro na Solução

49

8.

Exemplo de teste - Consola

51

8.1. Solução Exacta Não Amortecida ... 52

8.1.1. Parcela axial ... 52

8.1.2. Parcela de flexão – Euler-Bernoulli ... 53

8.2.1. Parcela axial ... 55

8.2.2. Parcela de flexão – Euler-Bernoulli ... 56

8.3. Condições iniciais ... 57

8.4. Modelo de Teste ... 57

8.4.1. Frequências Próprias e Modos de Vibração ... 58

8.4.2. Convergência ... 64

8.4.3. Admissibilidade Estática e Garantia da Segurança ... 66

8.4.4. Esforços ... 66

9.

Problema Porticado

71

9.1. Condições iniciais ... 71

9.2. Modelo ... 71

9.2.1. Frequências Próprias e Modos de Vibração ... 72

9.2.2. Amplificação de deslocamentos ... 74

9.3. Tempo de Processamento ... 76

9.4. Relação entre deslocamentos em ambas as formulações... 77

10.

Conclusão

83

10.1. Conclusões ... 83 10.2. Desenvolvimentos futuros ... 84

11.

Bibliografia

87

12.

Anexos

89

12.1. Anexo I ... 89 12.2. Anexo II ... 92 12.3. Anexo III ... 94 12.4. Anexo IV ... 98

Índice de Figuras

Figura 3.1 - Esforços axiais na barra ... 9

Figura 3.2 – Esforços axiais na barra. ... 10

Figura 3.3 – Esforços de flexão na barra. ... 11

Figura 3.4 – Esquerda, Decaimento exponencial associado aos vários tipos de amortecimento; Direita, Regime livre subamortecido... 17

Figura 4.1 – Representação dos eixos considerados. ... 26

Figura 8.1 – Consola e forças aplicadas. ... 51

Figura 8.2 – Representação do modelo de teste – Consola. ... 58

Figura 8.3 – Discretização da consola em quatro elementos (Consola4)... 58

Figura 8.4 – Evolução das energias cinética e potencial no tempo, para s = 20wxyz − 1. ... 60

Figura 8.5 – Representação dos doze primeiros modos de vibração da formulação de elementos finitos compatíveis de uma discretização em 8 elementos. ... 63

Figura 8.6 – Representação dos doze primeiros modos de vibração da formulação de elementos finitos equilibrados de uma discretização em 8 elementos. ... 63

Figura 8.7 – Carregamento aplicado na extremidade livre da consola ... 66

Figura 8.8 – Esforços nas barras para o carregamento considerado. ... 67

Figura 8.9 – Deformadas em ambas as formulações para }1 = 1.5 × 10 − 3z. ... 68

Figura 8.10 – Novo carregamento aplicado na extremidade da consola. ... 68

Figura 8.11 – Deslocamento no bordo livre da consola nas discretizações Consola1 (à esquerda) e Consola4 (à direita). ... 69

Figura 8.12 – Esforço transverso no encastramento (Representação do deslocamento dual com desfasamento de 4.0 × 10 − 4z). ... 70

Figura 9.1 – Representação da Discretização2. ... 72

Figura 9.2 – Representação da Discretização1. ... 72

Figura 9.3 – Representação dos doze primeiros modos de vibração da estrutura na formulação de elementos finitos compatíveis (45 modos de vibração no total, obtidos de 45 equações). ... 73

Figura 9.4 – Representação dos doze primeiros modos de vibração da estrutura na formulação de elementos finitos equilibrados (48 modos de vibração no total, obtidos de 48+48+45 equações). ... 73

Figura 9.5 – Separação do carregamento em parcela simétrica e parcela anti-simétrica. ... 74

Figura 9.6 – Deslocamento transversal do ponto G na Discretização I. ... 75

Figura 9.7 – Deslocamento transversal no ponto A na Discretização2. ... 76

Figura 12.1 – Resposta sem amortecimento com um passo de integração de um vinte avos do

período. ... 89

Figura 12.2 – Resposta sem amortecimento com um passo de integração de um cinquenta avos do período. ... 90

Figura 12.3 – Resposta sem amortecimento com um passo de integração de um cinquenta avos do período. ... 90

Figura 12.4 – Resposta com amortecimento com um passo de integração de um vinte avos do período. ... 91

Figura 12.5 – Caso primal – deslocamento longitudinal. ... 92

Figura 12.6 – Caso dual – deslocamento longitudinal. ... 92

Figura 12.7 – Caso primal – deslocamento transversal. ... 93

Figura 12.8 – Caso dual – deslocamento transversal. ... 93

Figura 12.9 – Caso primal – erros relativos no deslocamento longitudinal. ... 94

Figura 12.10 – Caso primal – erros relativos no deslocamento longitudinal da discretização Consola16. ... 94

Figura 12.11 – Caso dual – erros relativos no deslocamento longitudinal. ... 95

Figura 12.12 – Caso dual – erros relativos no deslocamento longitudinal da discretização Consola16. ... 95

Figura 12.13 – Caso primal – erros relativos no deslocamento transversal. ... 96

Figura 12.14 – Caso primal – erros relativos no deslocamento transversal da discretização Consola16. ... 96

Figura 12.15 – Caso dual – erros relativos no deslocamento transversal. ... 97

Figura 12.16 – Caso dual – erros relativos no deslocamento transversal da discretização Consola16. ... 97

Figura 12.17 – Modos e frequências de vibração do pórtico na formulação primal. ... 98

Figura 12.18 – Modos e frequências de vibração do pórtico na formulação primal. ... 98

Índice de Tabelas

Tabela 8.1 – Comparação entre os valores aproximados e exacto das principais frequências próprias. ... 62

Tabela 8.2 – Erro absoluto e relativo dos deslocamentos horizontal e transversal máximos na formulação primal provocados por uma excitação igual a uma frequência própria. ... 65

Tabela 8.3 – Erro absoluto e relativo dos deslocamentos horizontal e transversal máximos na formulação dual provocados por uma excitação igual a uma frequência própria. ... 65

1. Introdução

1.1. Contexto

Com o advento dos computadores, o Método dos Elementos Finitos tem sido uma das ferramentas mais utilizadas na análise estrutural. Dado que, em geral, não é possível obter a solução exacta dos problemas, a obtenção de soluções aproximadas através deste método tem um papel crucial em toda a modelação hoje em dia. O dito consiste, simplificadamente, em dividir o domínio de um problema complexo, em subdomínios simples, onde são aproximadas variáveis e definidas equações, que conduzem à determinação do sistema global.

Tradicionalmente, são utilizados elementos finitos compatíveis, onde é, a priori, imposta a compatibilidade, enquanto a condição de equilíbrio o é apenas ponderadamente, por não ser possível verificá-la na totalidade. É um método muito simples e onde o equilíbrio é verificado em termos de forças nodais independentes, o que torna o método bastante imediato. No entanto, o não equilíbrio da solução, a possibilidade de existência de descontinuidades dos campos de tensões nas fronteiras entre elementos, a grande dependência entre o carregamento e a malha de elementos finitos, por exemplo, podem ir contra os objectivos de uma análise que pretenda grande exactidão no valor das tensões em qualquer um dos pontos pertencentes ao domínio. Estas e outras limitações, mesmo relacionadas com o campo de deslocamento, nomeadamente a dificuldade em impor descontinuidades locais, limitam os usos desta formulação.

Ainda assim, a simplicidade e intuitividade levou ao uso quase exclusivo dos elementos finitos compatíveis na resolução de problemas de raiz dinâmica. Daí que a literatura tenha a base da solução de problemas desta natureza nestes termos.

No entanto, desde sempre na História, uma visão alargada do conhecimento permitiu melhores soluções para os problemas com que o Homem se foi deparando. Por isso, faz todo o sentido abordar formulações alternativas. É isso que este documento faz, ao utilizar uma hipótese introduzida por [Toupin, 1952], que sugere o equilíbrio em termos de impulsos. A utilização desta hipótese no âmbito do Método dos Elementos Finitos, onde o equilíbrio é imposto a priori e a compatibilidade garantida apenas na forma dos resíduos pesados, foi sugerida por [Voibeke, 1973]. Outra importante diferença para a formulação clássica prende-se na discretização do campo de impulsos, ao invés do campo de deslocamentos.

Com esta nova formulação dinâmica, um âmbito alargado de aspectos poderia ser tratado. A aplicação na qual este documento mais se irá centrar é resposta da estrutura ao longo do tempo,

a qual se torna possível utilizando um dos inúmeros métodos de integração numérica no tempo que existem.

Por último, refira-se que este documento apenas considera o problema de uma estrutura porticada 1D. Com certeza que é apenas uma ínfima parte das aplicações de elementos finitos possíveis, mas pretende-se que este estudo seja o ponto de partida para outros cada vez mais aprofundados no âmbito da aplicação dinâmica desta formulação.

1.2. Objectivo

O objectivo central desta tese consiste na obtenção das equações dinâmicas da formulação equilibrada do Método dos Elementos Finitos, para estruturas porticadas em regime elástico, e aplicá-las numa análise ao longo do tempo.

Para isso, utilizam-se os mesmos pressupostos da formulação clássica, incluindo equações de compatibilidade, de equilíbrio e relações constitutivas. A consideração da hipótese dinâmica, e nomeadamente o amortecimento de Rayleigh, leva a uma alteração das equações que importa não deixar de ter em conta.

Obtidas as equações, estas são integradas ao longo do tempo de forma a testar e ilustrar a sua validade e utilização. Com a análise dos resultados obtidos, pretende-se testar a adequabilidade da sua utilização e lançar ideias para futuras investigações neste âmbito. Este objectivo não foi definido à partida, mas surgiu como uma extensão lógica do trabalho que se veio a desenvolver. Sendo o objectivo desta tese, todos os passos conducentes à obtenção desta forma alternativa das equações do Método dos Elementos Finitos são trabalho original do autor conjuntamente com o Professor J. P. Moitinho de Almeida. Refira-se, aliás, que este trabalho original é a base de todo o documento.

1.3. Organização

Essencialmente, este documento está dividido em quatro partes.

Início: Capítulos 1 e 2.

Trata das assumpções segundo as quais formulações são elaboradas.

Formulação Compatível: Capítulo 3.

Formulação Equilibrada: Capítulo 4.

Define as equações da formulação dual de elementos finitos.

Características das formulações e Integração no Tempo: Capítulos 5 e 6.

No Capítulo 5 são explicados alguns aspectos mais específicos das formulações, assim como é feito um comparativo entre ambas.

No Capítulo 6 é explicado como é feita a integração no tempo, neste caso o método de Newmark.

Aplicações e Conclusões: Capítulos 7, 8, 9 e 10.

No Capítulo 7 é mostrada a gama de erros de resultados que as aplicações têm.

No Capítulo 8 é apresentado um exemplo de teste, uma consola, e é comparada a sua solução, em ambas as formulações, com a solução exacta. É considerado ainda um modelo de um pórtico no Capítulo 9. Para ambos os modelos são analisados os resultados obtidos.

O Capítulo 10 é dedicado às conclusões e desenvolvimentos futuros. Neste capítulo não só são sistematizados alguns comentários e observações feitas ao longo de todo o documento, como também são acrescentadas algumas conclusões obtidas duma análise do global do documento. No final são sugeridos possíveis desenvolvimentos a seguir.

Neste trabalho as letras a negrito são utilizadas na representação de vectores ou matrizes, enquanto os escalares são apresentados em texto corrente.

Finalmente, de referir as diferentes terminologias utilizadas nas formulações. A formulação de Elementos Finitos Compatíveis é também chamada de Formulação/Caso Primal ou Formulação Clássica. Os Elementos Finitos Equilibrados são também denominados de Formulação/Caso Dual.

2. Hipóteses Consideradas

2.1. No Método dos Elementos Finitos

Neste documento são contempladas estruturas planas porticadas considerando dois tipos de deformação: axial e por flexão. Desde logo, o problema vai ser simplificado pela consideração das seguintes hipóteses:

1) Linearidade Física – as tensões variam linearmente com a deformação – Lei de Hooke –

sendo que, após a deformação devido à carga aplicada, o material retorna à posição inicial de equilíbrio;

2) Linearidade Geométrica – a estrutura sofre pequenas deformações pelo que as relações de

equilíbrio e de compatibilidade são lineares.

Ainda assim, a aplicação da teoria da elasticidade, no âmbito da mecânica dos meios contínuos, é desnecessariamente complexa para situações comuns, e pode implicar malhas envolvendo um excessivo número de elementos finitos. Daí a consideração de mais algumas assumpções:

3) A barra é recta e coincide com o centro geométrico da secção, o que garante que o esforço

axial não provoca nem tensões de flexão nem de torção;

4) O material que constitui a barra é isotrópico;

5) Hipótese das secções planas, i.e., não há empenamento das secções. Consequentemente as

tensões variam linearmente na secção;

6) Hipótese de Euler-Bernoulli – a secção mantém-se perpendicular ao eixo deformado; 7) A barra não tem libertações internas e é contínua;

8) A relação entre comprimento/largura e altura da barra é relativamente grande (>10), e

consequentemente as tensões perpendiculares à barra são muito menores que as paralelas à barra;

9) É desprezada a deformação por corte, havendo, por isso, uma subavaliação do deslocamento

transversal e uma sobreavaliação da rigidez da barra com o consequente incremento das frequências próprias;

10) É desprezada a inércia de rotação da secção. O corolário desta assumpção está relacionado

com os modos de vibração da estrutura, que, quando associados a frequências longe da frequência própria, se tornam progressivamente menos correctos, com a barra mais ‘dobrada’ e a energia cinética de rotação a deixar de ser negligenciável comparativamente à de translação.

2.2. Nas acções

Neste documento não são consideradas qualquer outro tipo de acções para além de forças pontuais aplicadas nos nós da estrutura. Dessas forças, grande parte são harmónicas. Isto porque um estudo feito para acções harmónicas pode ser estendido a outras acções periódicas, por estas poderem ser decompostas em termos de série de Fourier.

3. Elementos Finitos Compatíveis

Formulação Primal

A aproximação do domínio de um problema por um número finito de subdomínios é o conceito em que se baseia o Método dos Elementos Finitos (MEF). Os elementos finitos são esses subdomínios, neste caso barras de dimensão menor ou igual que as originais.

Na sua formulação os elementos satisfazem certas condições a priori. Aquelas que não o são, tentam ser aproximadas da melhor maneira. Utilizadas nessas condições, as variáveis em estudo são aproximadas, no interior de cada elemento, por funções simples. A solução aproximada consiste numa combinação linear dessas funções.

A formulação clássica do MEF, a que este Capítulo se refere, é baseada na aproximação do campo de deslocamentos e na verificação, a priori, de todas as condições de compatibilidade. No caso estático, com excepção das situações em que se obtém a solução exacta, as soluções obtidas por este método estão contra a segurança. Isto acontece porque as condições de equilíbrio não são respeitadas em cada ponto, por este ser garantido apenas na forma fraca. Estas condições, não sendo impostas pelo modelo, nem no domínio nem na fronteira, são apenas verificadas em termos das forças nodais equivalentes. Como consequência, a solução é caracterizada, por um lado, pela continuidade do campo de deslocamentos, mas por outro lado, pela existência de descontinuidades no campo de tensões nas fronteiras inter-elementares, dificultando a obtenção dos esforços reais nos elementos.

A convergência desta formulação está garantida, e o refinamento da solução será conseguido através da discretização num maior número de elementos – refinamento tipo-h – mantendo-se o grau das funções de aproximação.

Como se verá mais à frente, são utilizados modelos matemáticos independentes na definição da deformação axial e por flexão, daí que se tente, tanto quanto possível, fazer uma diferenciação dos dois casos, para um raciocínio mais claro e conciso.

Antes da definição das equações do MEF serão definidos os elementos que regem o comportamento do sistema: equações de compatibilidade, relações constitutivas e equilíbrio. Estes permitem a caracterização global do problema em estudo.

3.1. Equações Governativas

3.1.1. Compatibilidade

A deformação axial está relacionada com a variação dos deslocamentos no eixo das abcissas. Esta parcela é apresentada como:

_ =ƒ=_ƒ+,

(3.1)

Em que:

_ – Extensão linear da secção;

=, - Deslocamento da barra na direcção do eixo das abcissas.

A deformação por flexão da secção está relacionada com os deslocamentos no eixo das ordenadas sendo traduzida pela seguinte expressão:

l = −ƒ_ƒ+„=_„

(3.2)

Em que:

l – Curvatura da secção;

=- – Deslocamento da barra na direcção do eixo das ordenadas.

Como referido no início do capítulo, verifica-se que as parcelas são, por definição, totalmente independentes.

Resumidamente, estas equações tomam a seguinte forma matricial: ` = q: . .: †__{l‡ =} ˆ ‰ ‰ Š ƒ_ƒ+ 0 0 −_ƒ+ƒ„_„‹Œ Œ  †=_=-,‡ (3.3) As extensões na secção na direcção + de um ponto genérico da secção, __,, podem ser obtidas pela seguinte expressão:

_,,Ž = _ + lŽ

(3.4)

Sendo que a compatibilidade na fronteira estática Y_Z é dada por: : = :0

Em que:

:0 – Vector dos deslocamentos aplicados no nó.

3.1.2. Relações constitutivas

3.1.2.1. Parcela axial

O esforço normal $ numa secção é dado por: $ = _

(3.6) Em que:

 – Módulo de elasticidade do material;  – Área da secção

3.1.2.2. Parcela de flexão – Euler-Bernoulli

Admite-se que o momento flector  numa secção é proporcional à curvatura l e pode ser traduzido pela seguinte equação:

 = l

(3.7)

Em que:

 – Momento de inércia da secção na direcção . Estas relações têm a seguinte forma matricial:

k = `

. .: †$_{‡ = †} 0_{0 ‡ †l‡} _

(3.8)

3.1.3. Equilíbrio

3.1.3.1. Parcela axial

Considere-se a Figura 3.1, o diagrama de corpo livre de uma parte infinitesimal da barra. O equilíbrio na direcção axial é feito num elemento de comprimento y+.

Figura 3.2 – Esforços axiais na barra.

Nesta parcela infinitesimal de barra o deslocamento no eixo das abcissas é traduzido por =_,+, }. Estão ainda presentes os esforços axiais $+, } e $+, } +‘ ,,G_‘, y+, as forças de inércia j+y+‘’Z“

‘G’ onde j+ é a massa por unidade de comprimento, as forças de amortecimento +y+‘Z“,,G

‘G em que + é o parâmetro de amortecimento por unidade de comprimento, e o

carregamento axial &_,+, }.

$+, } +ƒ$+, }_{ƒ+ y+ − $+, } − j+y+}ƒ„=_ƒ},+, }_„ − +y+ƒ=,_ƒ}+, }+ &,+, }y+ = 0

(3.9) Simplificando obtém-se: ƒ$+, } ƒ+ − j+ƒ „₌ ,+, } ƒ}„ − +y+ƒ=,_ƒ}+, }+ &,+, } = 0 (3.10) A substituição da equação (3.1) na relação constitutiva da deformação axial (3.6) e a substituição deste conjunto na equação acima dá origem a:

ƒ

ƒ+ ”+ƒ=,ƒ+ • − j++, } ƒ

„_{=,+, }}

ƒ}„ − +ƒ=,_ƒ}+, }+ &,+, } = 0

(3.11) Como para o caso de estudo tem-se uma barra uniforme, o que se traduz por características mecânicas e sua massa constantes ao longo do seu comprimento – +, + e "+ constantes, a equação acima tem o seguinte aspecto:

$ +ƒ$_{ƒ+ y+} $ =,+ƒ=_{ƒ+ y+}, =, &,+, } ^–, $– ^„, $„ y+ y+ƒ=_ƒ}, jy+ƒ_ƒ}„=_„, &,y+ M

ƒ„=_ƒ+,+, }_„ − jƒ„=_ƒ},+, }_„ − ƒ=,_ƒ}+, }+ &,+, } = 0

(3.12)

3.1.3.2. Parcela de flexão – Euler-Bernoulli

A equação que governa o equilíbrio numa peça sujeita a flexão é obtida a partir do diagrama de corpo livre de uma parte infinitesimal da barra. O seu comprimento é y+ e está lateralmente limitada por faces planas perpendiculares ao seu eixo.

Figura 3.3 – Esforços de flexão na barra.

Neste diagrama estão presentes forças de corte —+, } e —+, } +‘˜,,G

‘, y+; os momentos

flectores +, } e +, } +‘™,,G

‘, y+; o carregamento transversal &-+, }y+; as forças de inércia

j+y+‘’Zš,,G

‘G’ e as forças resultantes do amortecimento +y+‘Zš_‘G,,G. O somatório das forças de corte deste diagrama é:

—+, } − ›—+, } +‘˜,,G_‘, y+œ + &-+, }y+ − j+y+‘

’_Zš,,G

‘G’ − +y+

‘Zš,,G

‘G = 0

(3.13) E o somatório dos momentos em relação à extremidade direita é o seguinte:

&-+, } N M – „ ^–, —– ^_„, —_„ = -=-+ƒ=_{ƒ+ y+} - +ƒ_{ƒ+ y+} — +ƒ—_{ƒ+ y+} jy+ƒ_ƒ}„=_„ -y+ƒ=_ƒ} - — y+ &-y+

−+, } − —+, }y+ + +, } +ƒ+, }_ƒ+ y+ž − &-+, }y+y+_{2 + Ÿj+y+}ƒ

„_{=-+, }}

ƒ}„  y+₂

+ Ÿ+y+ƒ=-_ƒ}+, } y+_{2 = 0}

(3.14)

Tendo em consideração que na equação anterior os termos que envolvem o carregamento e as forças de inércia multiplicam pelo quadrado do comprimento infinitesimal y+, ambos podem ser desprezados. Desta forma, as duas últimas equações apresentadas podem tomar o seguinte formato: ƒ—+, } ƒ+ + j+ƒ „₌ -+, } ƒ}„ + +ƒ= -+, } ƒ} − &-+, } = 0 (3.15) —+, } =ƒ+, }_ƒ+ (3.16)

Juntando as duas equações acima, tendo em conta a relação constitutiva (3.7) e equação de compatibilidade da barra (3.2) obtém-se a equação diferencial que rege a barra:

ƒ„ ƒ+„Ÿ−+ƒ „₌ -+, } ƒ+„   + j+ƒ „₌ -+, } ƒ}„ + +ƒ=-_ƒ}+, }− &-+, } = 0 (3.17) Tal como no caso do equilíbrio longitudinal, também se considera a barra uniforme, o que se traduz por características mecânicas, amortecimento e massa constantes ao longo do seu comprimento – +, + e j+ constantes. Por isso a equação tem o seguinte aspecto:

ƒ¡=_ƒ+-+, }_¡ − jƒ„=_ƒ}-+, }_„ − ƒ=-_ƒ}+, }+ &-+, } = 0

(3.18)

Genericamente as equações de equilíbrio (3.11) e (3.17) são apresentadas matricialmente da seguinte forma:

q∗_{k − j:¢ − :£ + ' = ¤}

(3.19) Finalmente, o equilíbrio na fronteira estática Y_\ é dado por:

%: = 67

(3.20) Em que:

% – Matriz da normal à fronteira;

3.2. Equação do Método dos Elementos Finitos

Na formulação clássica do MEF é apenas discretizado o campo de deslocamentos. Esta discretização é feita de forma a satisfazer a condições de admissibilidade cinemática. Uma solução é cinematicamente admissível se satisfizer as relações de compatibilidade no domínio e na fronteira.

A discretização do campo de deslocamentos leva a que este passe a ser definido a partir do deslocamento de um certo número de pontos, os nós da malha, utilizando para isso as funções de interpolação no domínio:

: = 9:;

(3.21) Em que:

: – Vector de deslocamentos de uma solução compatível

9 – Matriz das funções de interpolação dos deslocamentos na malha; :; – Vector dos parâmetros de deslocamento nos nós da malha.

Esta função de interpolação no domínio é obtida a partir das funções de interpolação elementares. Estas funções formam uma base para os deslocamentos considerados.

As funções escolhidas são contínuas e têm um valor unitário para o deslocamento a que se referem (rotação ou translação) e nulo para os outros deslocamentos. Para cada elemento a discretização toma a seguinte forma:

:= mn:;

(3.22) Em que:

mn− Matriz das funções de interpolação dos deslocamentos no elemento;

:; – Vector dos deslocamentos nodais do elemento.

Num elemento , (3.22) é traduzido por:

†=₌,_-‡ = ˆ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ Š ‹ Œ Œ Œ Œ Œ Œ  ˆ ‰ ‰ ‰ ‰ Š=R_=R– „ =R¥ =R¡ =R¦ =R§‹ Œ Œ Œ Œ  (3.23) Sendo que as funções no domínio e elementares coincidem em cada elemento:

9 = m, ∀+ ∈ p

A compatibilidade cinemática entre elementos é obtida por imposição do mesmo deslocamento transversal e rotação nas extremidades de barras adjacentes. As condições de fronteira cinemáticas são satisfeitas por imposição do valor dos deslocamentos no nó ª dessa fronteira cinemática Y_Z:

:«= :0«

(3.25) Em que:

:0« – Deslocamento aplicado no nó.

Estas condições são incluídas no sistema quando é feita a assemblagem, o que torna o sistema mais compacto e simples de representar. A continuidade do campo de tensões não é assegurada à partida, sendo o equilíbrio imposto em termos de forças nodais.

Tanto a formulação do problema como a equação do MEF Primal para o caso estático, isto é, sem a consideração nem de forças de inércia, nem de forças de amortecimento, está bem definida em qualquer literatura relacionada com o método. Essa equação é habitualmente apresentada como:

:; = 

(3.26)

Em que:

 – Matriz de rigidez da malha;

 – Vector das forças nodais equivalentes.

A matriz de rigidez  pode ser obtida adicionando os termos das várias matrizes de rigidez elementares:

n_{= ¬ qm}C__qm_yp ­®

(3.27) Não se consideraram molas nem qualquer outro tipo de rigidezes associadas às barras ou aos nós das barras, pelo que não há mais parcelas a adicionar.

O vector  é também obtido por adição dos termos dos vários elementos: _{= ¬ m}C_yp

­®

(3.28) No equilíbrio de forças especificado em (3.19), existe não apenas a força aplicada /0 a actuar, mas também a acção do amortecimento ‘:_‘G® e as forças de inércia j‘’_‘G:®_’ . Tem-se então que:

_{= ¬ m}C_{/0 − }ƒ: ƒ} − jƒ „_: ƒ}„ ž yp ­® ⇔ _{= ¬ m}C_/yp_{− ¬ m}C_ƒ: ƒ} yp ­® ­® − ¬ m C_jƒ„: ƒ}„ yp ­® (3.29) Aplicando (3.22), o deslocamento :_ é aproximado pelas funções de forma m_ e

deslocamentos nodais :;_. Desta forma, a equação acima é apresentada como: _{= ¬ m}C_/0yp ­® :;− ¬ m C_m_yp ­® ž y:; y} − ¬ m­® Cjmypž y„_:;  y}„ (3.30) Expandindo (3.26) obtém-se a Equação Fundamental da Dinâmica:

:; + :;£ + :;¢ = /01}

(3.31) Em que:

 – Matriz de amortecimento generalizada; – Matriz das massas consistente generalizada;

:;£ ≡(:;_(G, :;¢ ≡(_(G’:;’ notação que será a partir daqui utilizada.

Como consequência de (3.30), as matrizes elementares da equação acima podem ser então definidas como a seguir indicado:

n _{= ¬ 9}C_j9_yp ­® (3.32) n_{= ¬ 9}C_9_yp ­® (3.33) 3.2.1. Amortecimento

A definição da matriz de amortecimento , é complicada dado que os valores de  são difíceis de determinar. Sendo este um exemplo puramente académico, optou-se por uma formulação muitas vezes utilizada e simples para esta matriz, o amortecimento de Rayleigh. Este assume que a matriz de amortecimento é uma combinação linear das matrizes de massa consistente e de rigidez, i.e.:

 = V + X

(3.34) Há várias formas de determinar ou arbitrar os parâmetros V e X. Entre elas, a escolhida é baseada no arbítrio da taxa de amortecimento do sistema a. Para que se compreenda esta

grandeza, considere-se a equação fundamental da dinâmica para um oscilador livre de um grau de liberdade, dividida pela massa desse oscilador:

=¢ +_{" =£ +}c _{" = = 0}

(3.35) Definindo-se os seguintes parâmetros, & e , respectivamente a frequência natural e o amortecimento crítico do sistema:

& = ±_{" , a =} _c  = c 2√" (3.36) Consegue-se simplificar (3.35): =¢ + 2a&=£ + &„_{= = 0} (3.37) Para esta equação, e admitindo uma solução exponencial do tipo:

= = ³G_{, ´ ∈ ℂ}

(3.38) Obtém-se a equação característica do problema:

´„_{+ 2a&´ + &}„_{= 0}

(3.39) Por substituição dessa solução na equação diferencial.

Resolvendo em ordem a ´, esta equação apresenta-se simplesmente como: ´ = &−a ± ·a − 1

(3.40) Existem três tipos de resultados possíveis em (3.40). Quando:

a < 1 – O sistema é subamortecido (amortecimento abaixo do amortecimento crítico). ´ é um número complexo. A equação característica tem duas raízes complexas;

a = 1 ⇔ c = 2√" = 2"s – O sistema tem amortecimento crítico. As raízes são reais e repetem-se. O amortecimento crítico é o valor para o qual o sistema converge para o repouso sem oscilação e mais rapidamente (um valor acima do amortecimento crítico faz o sistema convergir mais lentamente para o repouso);

a > 1 – O sistema é sobreamortecido. As raízes são reais, mas distintas.

Neste trabalho são apenas considerados amortecimentos abaixo do amortecimento crítico. Um sistema subamortecido livre tem a seguinte solução:

=} = º»¼?Gcos &(} − ¿º, &(= ·1 − a„

(3.41)

Em que:

&( – frequência de vibração amortecida.

Desta equação, a parte »¼ÀÁG _{da solução é um decaimento exponencial, que vai provocar a} diminuição da energia do sistema. A segunda parte da solução é periódica (um co-seno) e vai provocar a oscilação do sistema em torno da posição de repouso, como exemplifica a Figura 3.4.

Figura 3.4 – Esquerda, Decaimento exponencial associado aos vários tipos de amortecimento; Direita, Regime livre subamortecido.

Voltando à equação fundamental da dinâmica (3.31), pode ser feita uma transformação ortogonal:

r5 _{rÂT¢ + r}5_{rÂT£ + r}5_{rÂT = r}5_/}

(3.42)

Utilizando a propriedade da ortogonalidade das matrizes de Massa e Rigidez com os modos de vibração normalizados em relação à matriz de massa (Capítulo 5 - Frequências Próprias) – i.e.:

m«C mÃ= ^«Ã (Ortogonalidade de )

(3.43) m«CmÃ= sĄ^«Ã (Ortogonalidade de )

(3.44) Obtêm-se, por simplificação, n equações correspondentes a n graus de liberdade:

f1¢ + 2ag sf1£ + sg „f1 = .g 2}  = 1,2,3 … Æ

(3.45) Em que:

f1 – Deslocamento i em coordenadas modais; g

0 2 4 6 8 10 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 tempo(s) ∆ /∆ 0 ζ<1 ζ=1 ζ>1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1 -0.5 0 0.5 1 tempo(s) ∆ /∆o T₀ 2T₀

a=_„·ÃÇ_Ç*Ç – Taxa de amortecimento do modo de vibração i;

s= È_*ÃÇ_Ç – Frequência própria do modo de vibração i;

.2 – Carregamento i em coordenadas modais.

A parte da transformação relacionada com a matriz de amortecimento  só é possível porque esta é função das matrizes e . Com esta transformação, a matriz de amortecimento de um sistema de Æ graus de liberdade reduz-se a:

r5_{r =} ˆ ‰ ‰ ŠV + Xs–„ 0 … 0 0 V + Xs„„ … 0 … … … 0 0 0 … V + XsɄ‹ Œ Œ  (3.46) O que traz óbvias vantagens em partes do tratamento matemático do problema. Por exemplo, a matriz acima pode reduzir-se a n equações da forma:

2as= V + Xs„  = 1,2,3 … Æ

(3.47) De onde se obtém, por simplificação:

a=_2sV +

Xs

2  = 1,2,3 … Æ

(3.48) Pela equação verifica-se que valores de frequência muito baixos ou altos traduzem valores de amortecimento demasiado altos. Se o primeiro caso não tem relevância, dado que as frequências dos sistemas estruturais comuns não são tão baixas, já para as frequências mais altas isso poderia ser problemático. Mas como os modos de vibração com uma frequência associada mais alta têm pouca influência no problema, dado que a frequência de excitação não vai atingir esses valores e porque o modelo adoptado não traduz bem a resposta para frequências longe da primeira frequência própria, considera-se este modelo aceitável.

Como já foi referido, a forma utilizada para definir V e X é o arbítrio de um valor para a taxa de amortecimento do sistema a. Para tal, basta resolver a equação (3.48) para duas frequências x e Ê, originando assim um sistema de duas equações a duas incógnitas conducentes à obtenção dos parâmetros pretendidos.

a =_2sV E+ XsE 2 ⋀ a =2sVÌ+ XsÌ 2 (3.49) Neste trabalho são utilizadas as duas frequências mais baixas de cada sistema para definir estes parâmetros. Esta foi a opção tomada, se bem que outras frequências pudessem ser utilizadas, nomeadamente as frequências não próprias do sistema ou mesmo a frequência de excitação.

3.2.2. Funções de Forma

As funções de forma são representadas em (3.23). As da parcela axial, para uma barra de comprimento L, traduzem-se pelas seguintes expressões:

o–+ = 1 −+_{Í  o}¡+ =+_Í

(3.50) Foi escolhida uma formulação bastante simples por apenas se pretender ter duas funções linearmente independentes, o que contrasta com as maiores dificuldades de cálculo associadas, por exemplo, a funções harmónicas ou polinómios de grau mais elevado. O facto de ter pelo menos uma função de primeira derivada contínua e não nula permite a obtenção de extensões não nulas (ainda que constantes, dado que _ =(Z_(,“) e consequentemente esforços axiais não nulos.

Na parcela de flexão foram considerados polinómios de Hermite Como se vê na sua representação, cada um desses polinómios está relacionado com um deslocamento independente. Estes, quando se referem a uma translação, têm um valor unitário para esse deslocamento; por sua vez, quando se referem a uma rotação, têm primeira derivada unitária (dado que Î = −‘Z_‘,).

o„=_Í1¥Í¥− 3Í+„+ 2+¥ ; o¦=_Í1¥3Í+„− 2+¥

o¥= −_Í1_„̈́+ − 2Í+„+ +¥ ; o§=_Í1_„−Í+„+ +¥

(3.51) Como a parcela do operador q referente à flexão é de segunda ordem, é necessário que a aproximação do campo de deslocamentos seja de classe
_–, o que se garante com a utilização de polinómios de 3º grau.

3.2.3. Sistema Matricial Final e Novas Equações das barras

Após a consideração do amortecimento de Rayleigh, as equações de compatibilidade e relações constitutivas tomam um formato diferente. Também a Equação Fundamental da Dinâmica (3.31) se apresenta como:

:; + V + X:;£ + :;¢ = /1}

(3.52) Que num instante i se simplifica para:

:; + X:;£ + :;¢ + V:;£ = /1

Fazendo um percurso inverso à discretização, está associada ao problema uma representação matricial alternativa das equações de equilíbrio (3.19):

qÏ` + X`£Ð − j:¢ + V:£ + ' = ¤

(3.54)

3.2.3.1. Relações constitutivas

Não considerando o conjunto de forças actuantes e de inércia obtém-se da relação constitutiva do problema:

k = ` + X`£

. .: †$_{‡ = †} 0_{0 ‡ †l‡ + X †}_  0_{0 ‡ ”l£}_£•

(3.55)

3.2.3.2. Equilíbrio

E as equações de equilíbrio com amortecimento de Rayleigh passam a: q∗_{k − j:¢ + V:£ + ' = ¤}

(3.56) As equações de compatibilidade mantêm-se inalteradas.

3.2.4. Matrizes Elementares

A forma das matrizes elementares com as simplificações e as condições consideradas é:

₌jÍ 420 ˆ ‰ ‰ ‰ ‰ Š140_{0 156}0 _22Í0 70_{0 54}0 _−13Í0 0 22Í 4̈́ _{0 13Í −3Í}„ 70 0 0 140 0 0 0 54 13Í 0 156 −22Í 0 −13Í −3̈́ _{0 −22Í 4Í}„ _‹Œ Œ Œ Œ  (3.57) ₌ ˆ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ Š _Í 0 0 −_Í 0 0 0 12_Í¥ 6_̈́ 0 −12_Í¥ 6_̈́ 0 6_̈́ 4_Í 0 −6_̈́ 2_Í −_Í 0 0 _Í 0 0 0 −12_Í¥ −6_̈́ 0 12_Í¥ −6_̈́ 0 6_̈́ 2_Í 0 −6_̈́ 4_{Í ‹}Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ  (3.58)

É ainda utilizada a matriz da normal à fronteira 5_ para orientar as matrizes segundo o sistema global de eixos: 5= ˆ ‰ ‰ ‰ ‰

Š_{− sin Î cos Î 0}cos Î sin Î 0 0₀ 0₀ 0₀

0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos Î sin Î 0 0 0 0 − sin Î cos Î 0 0 0 0 0 0 1‹Œ Œ Œ Œ 

Î – ângulo da normal à fronteira

(3.59) Sendo que os elementos da equação do MEF são afectados da seguinte forma por esta matriz:

= 5C5

= 5C5 = 5C 5

4. Elementos Finitos de Equilíbrio

Formulação Dual

Relativamente aos elementos finitos compatíveis, as equações que compõem esta formulação do MEF são diferentes, na medida em que satisfazem as condições de equilíbrio a priori e a compatibilidade apenas ponderadamente, na forma fraca.

Também as grandezas a discretizar não são as mesmas. Na formulação clássica são discretizados os deslocamentos, enquanto nesta o são os impulsos. Outra diferença prende-se na compactação do problema clássico, onde o equilíbrio é obtido em termos de deslocamentos nodais independentes, apresentando o sistema um número de equações igual ao grau de indeterminação cinemática do problema. Já na formulação equilibrada essa compactação não é obtida implicando a inclusão no sistema de equações de mais um conjunto de incógnitas, os deslocamentos nodais.

Introduza-se, por ora, a grandeza a discretizar, os impulsos de forças d. A definição desta grandeza é dada na física clássica por:

d = ¬ .y}

(4.1) Em que:

. – Força aplicada no sistema.

Note-se que, num corpo rígido, o impulso das forças aplicadas é igual à variação do momento linear do sistema.

Tal como no caso compatível, a convergência desta formulação está garantida, e o refinamento da solução será conseguido através da discretização num maior número de elementos – refinamento tipo-h – mantendo-se o grau das funções de aproximação.

A separação do problema em duas parcelas diferentes, vindo da formulação compatível, mantém-se. As hipóteses e condições são iguais.

4.1. Equações Governativas

As hipóteses avançadas após a consideração do amortecimento de Rayleigh mantêm-se, dado que só assim se podem comparar os resultados. Apresenta-se, de seguida, um resumo das equações que regem este sistema.

4.1.1. Compatibilidade

A compatibilidade é garantida na derivada no tempo das deformações _£. Dito isto, a velocidade de deformação axial resulta directamente da diferenciação no tempo de (3.1) e (3.2), tomando a seguinte forma matricial:

`£ = q:£ . .: ”_£l£• = ˆ ‰ ‰ Š ƒ_ƒ+ 0 0 −_ƒ+ƒ„_„‹Œ Œ  ”=£_=£,_-• (4.2) Obtendo-se, consequentemente, da derivada no tempo de (3.4), a velocidade das extensões na secção na direcção +, i.e.:

_£,,Ž = _£ + l£Ž

(4.3) Sendo que na fronteira cinemática Y_Z a condição a impor é dada por:

q∗_{S − Vj: +  = j:0£}

(4.4)

4.1.2. Relações constitutivas

Derivando no tempo as relações constitutivas já apresentadas para o caso primal (3.55), é possível apresentar as que regem este problema:

k£ = `£ + X`¢

. .: ”$£_£• = † 0_{0 ‡ ”l£• + X †}_£  0_{0 ‡ ”}_¢_l¢•

(4.5)

4.1.3. Equilíbrio

O equilíbrio é garantido na primitiva dos esforços, isto é, nos impulsos. Integrando (3.56) no tempo obtêm-se as equações de equilíbrio que regem o problema nesta formulação:

q∗_{S − j:£ + V: +  = ¤}

(4.6) Em que:

 – Impulso aplicado no domínio do sistema.

Finalmente, o equilíbrio na fronteira estática Y_\ é dado por: %S£ = 67

(4.7)

4.2. Equação do Método dos Elementos Finitos

Nesta formulação dos MEF são discretizadas as funções que aproximam os impulsos (e consequentemente de tensões). As equações satisfazem localmente as equações de equilíbrio e ainda as condições de fronteira estática. A compatibilidade é apenas imposta pela forma fraca, ou seja, não em todos os pontos, mas em termos médios. É também necessário acrescentar uma incógnita, os deslocamentos nos nós dos elementos, de forma a poder impor o equilíbrio nodal. Esta discretização dos deslocamentos é feita de modo a satisfazer as condições de fronteira cinemáticas, não garantindo compatibilidade entre os diferentes elementos da malha. As variáveis do sistema vão ser, portanto, os pesos das funções de aproximação dos impulsos nos elementos e ainda os deslocamentos nos nós dos elementos.

O campo de impulsos é definido a partir dos parâmetros dos impulsos da malha, utilizando as funções de interpolação no domínio.

S = cST

(4.8) Em que:

S – Vector de impulsos de uma solução equilibrada;

c – Matriz das funções de interpolação dos impulsos na malha; ST – Vector dos parâmetros dos impulsos na malha.

Outra vez a função de interpolação no domínio é obtida a partir das funções de interpolação elementares, formando uma base para os impulsos considerados (tal como o formam para os deslocamentos na formulação primal).

S= ÕST

(4.9) Em que:

Õ− Matriz das funções de interpolação dos impulsos no elemento;

Num elemento , esta equação é traduzida por: ”d d™• = ˆ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ Š ‹ Œ Œ Œ Œ Œ Œ  ˆ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ Šd֖ dք dÖ¥ dÖ¡ dÖ¦ dÖ§‹ Œ Œ Œ Œ Œ  (4.10) Sendo que as funções no domínio e elementares coincidem em cada elemento:

c = Õ, ∀+ ∈ p

(4.11) Estas funções são polinómios de Legendre, definidos no subcapítulo 4.2.2.

Num elemento , a relação entre os deslocamentos no referencial local (no sentido positivo dos impulsos internos/esforços correspondentes a cada parâmetro) e global, é dada por:

:= 45:;=
:;

(4.12) Em que:

:; – Vector dos parâmetros de deslocamento dos nós do elemento ;

4 – Matriz de aproximação dos deslocamentos no elemento . Esta matriz é de seguida apresentada: 4= ˆ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ Š−1₀ 0_{0 −1 0}0 1 0₀ 0₁ 0 2_Í 1 0 −2_{Í 1} 1 0 0 1 0 0 0 −6_{Í −1 0 −}6_{Í 1} 0 12_Í 1 0 −12_{Í 1‹}Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ  (4.13) 5 - Matriz da normal à fronteira, igual à anteriormente considerada para os elementos finitos compatíveis (3.59);

 - Matriz de compatibilidade do elemento .

Figura 4.1 – Representação dos eixos considerados. Referencial local Referencial global

A transformação dos esforços S£_ do referencial local, para forças K_ no referencial global dos

nós de uma barra e, é feita como indicado de seguida: K=
CS£

(4.14) Também o equilíbrio entre elementos e na fronteira estática Y_\ é dado de uma forma similar por:

/0 =
CS£

(4.15) Em que:

/0 – Esforços aplicados nos nós;

Esta condição de equilíbrio juntamente com a condição de equilíbrio no domínio assegura a admissibilidade estática da solução.

Para cada elemento , ao isolar o termo do campo de velocidades da equação de equilíbrio (4.6), a sua derivada vem como:

q:£= q”1_{j ×q}∗S+ Ø − V:•

(4.16) Por sua vez, invertendo a relação constitutiva (4.5) em ordem a `£, obtém-se outra definição para a derivada no tempo das deformações para o elemento :

`= »–S£− X`£

(4.17) `£= »–S¢− X`¢

(4.18) A partir destas duas equações, é garantida a compatibilidade das velocidades de deformação, (4.2), na forma fraca, ou seja, não em todos os pontos, mas em termos médios, ponderado com um campo de tensões virtual Se, i.e.:

¬ SeC_q :£ ­® yp _{= ¬ Se}5_`£ yp ­® (4.19) Generalizando a equação acima para o sistema, tem-se:

¬ c5_q1 j q∗S +  ­ yp − V ¬ c 5_q: ­ yp = ¬ c 5_»–_S¢ ­ yp − X ¬ c 5_`¢ ­ yp (4.20)

Serão agora estudados os vários termos da equação, procedendo-se à discretização dos campos de tensões e deslocamentos nodais.

1º Termo

Procedendo à integração por partes deste termo tem-se:

¬ c5_q1 j q∗S +  ­ yp = = − ¬ qc51 j qS + ÙÚ ­ yp + ¬ c 51 j qÚq∗S +  Û yY + ¬ qÜc 51 j q∗S +  Û yY = − ¬ qc51 j qS + ÙÚ ­ ypST + ¬ c 51 j qÚ:£ + V: Û yY + ¬ qÜc 51 j :£ + V: Û yY (4.21) Em que se utilizam os seguintes operadores diferenciais auxiliares, resultantes da integração por partes: qÚ eee = Ý1_{0 −}0ƒ ƒ+Þ, qeee = ÝÜ 0 0 0 _ƒ+ƒÞ  ÙÚ= †1 0_{0 −1‡} (4.22) Refira-se que a última igualdade é possível dado que, de acordo com (4.6):

1

j q∗S +  = :£ + V:

(4.23) Para simplificação, introduza-se a definição de Matriz de Mobilidade ! e vector de velocidades generalizadas impostas no sistema H01:

! = ¬ qc51 j qcyp ­ (4.24) H01 = ¬ qc5_ß1 j ÙÚà yp ­ (4.25) Nas parcelas de fronteira, ao invés de utilizar funções de forma no domínio c, é considerada a matriz de compatibilidade
(cuja obtenção é explicada em (4.12)) que transforma os deslocamentos no nó de um referencial global para o local. Assim sendo, o 1º termo toma o seguinte formato final:

−!ST − H01 −
:£1 − V
:;

(4.26) 2º Termo

= −V ¬ c5_»–

­ cypS£T + VX ¬ c 5_`£ ­ yp

(4.27) Esta igualdade foi obtida a partir da equação (4.17). Introduza-se agora a definição de Matriz de Flexibilidade :

 = ¬ c5_»–_cyp ­

(4.28) Utilizando esta definição, o 2º termo toma este formato:

= −VS£T + VX ¬ c5_{`£</sub> ­ yp (4.29) 3º Termo - ¬ c5<sub></sub>»–<sub>S¢</sub> ­ yp = ¬ c 5<sub></sub>»–<sub>c</sub> ­ ypS¢T = S¢T (4.30) 4º Termo - −X ¬ c5<sub>`¢} ­ yp = −X ¬ c 5_q:¢ ­ yp = −X ¬ c5_q1 j qS£ + ᣣ ­ yp + VX ¬ c 5_q:£ ­ yp (4.31) Neste caso, foi utilizada a equação (4.16). Utilizando a integração por partes considerada no 1º termo, este toma a seguinte forma:

= −X †−!S£T − H0£1 −
:¢1 − V
:£1‡ + VX ¬ c5_`£ ­ yp

= X †!S£T + H0£1 +
:¢1 + V
:£1‡ + VX ¬ c5_`£ ­ yp

(4.32) O somatório de todos os termos é:

−!ST − H01 −
:£1 − V
:; − VS£T + VX ¬ c5_`£

­ yp = S¢T + X †!S£T + H0£1 +
:¢1 + V
:£1‡ + VX ¬ c 5_`£ ­ yp

(4.33) De onde se obtém, por simplificação e troca de sinal:

!ST + VS£T + X!S£T + S¢T + V
5_{:; +}
5_{:£1 + X}
5_{:¢1 + VX}
5_{:£1 = −H01 − XH0£1}

Para a obtenção do sistema final de equações é necessário incluir o equilíbrio nodal, i.e.:  + = /01

(4.35) Em que:

 – Forças resultantes das suas características intrínsecas do nó (rigidez, de amortecimento ou

de massa);

– Forças transmitidas pelas barras;

/01 } – Forças aplicadas no nó.

As forças nodais  podem ser representadas como:

 =  :; +  :£1 + :¢1

(4.36) Em que na equação, as matrizes ,  e  têm os significados habituais, apenas com a ressalva de que, desta feita, estão apenas relacionadas com características nodais, ou seja:

– Matriz de massas nodais concentradas;

 – Matriz de amortecimento nodal concentrado;

 – Matriz de rigidezes Nodais concentradas;

Por sua vez, os esforços transmitidos pelas barras ao nó, _â, estão contemplados em (4.14) como:

â=
CS

(4.37) Com a consideração de (4.36) e (4.37), o equilíbrio nodal é dado por:

C_{S£ +}

:; +  :£1 + :¢1 = /01

(4.38) Para obter o sistema algébrico final da equação dos elementos finitos basta reunir os sistemas de equações obtidos em (4.35) e (4.38). A equação do MEF de equilíbrio é a seguinte:

¤QR +
ÚQ£T +
ÜQ¢T = P01 . .: ”! V
_¤ • Ÿ ST :;  + ”V + X! 1 + VX

C _ • Ý S£T :£1Þ + ” X
¤ • Ý S¢T :¢1Þ = Ý −H01 − XH0£1 /01 Þ (4.39) 4.2.1. Amortecimento

Considere-se a matriz de amortecimento ã:

Os parâmetros V e X utilizados são obtidos da mesma forma considerada na formulação clássica. Esta opção é tomada para se obter um amortecimento igual em ambos os casos. Num raciocínio análogo ao caso primal, obtém-se a equação dinâmica de um oscilador livre de um grau de liberdade, frequência natural do sistema, &, e a taxa de amortecimento do sistema, a:

d¢ + d£ + #d = 0,  =1_{ ,} =1_{ ,} # =_{" ,}1 & = ±#_{ ,} a =

 =

2·"

(4.41) Ainda analogamente aos elementos finitos compatíveis, há três tipos de amortecimento, cujas características físicas já anteriormente foram especificadas:

a < 1 – o sistema é subamortecido;

a = 1 ⇔ = 2·" = 2s – o sistema tem amortecimento crítico; a > 1 - o sistema é sobreamortecido.

Onde os sistemas subamortecidos livres têm a seguinte solução: d} = º»¼ÀÁGcos &(} − ¿º, &(= ·1 − a„

(4.42) A solução desta função é igual à do caso primal e tem as mesmas características, apenas com a ressalva de se referir a impulsos e não a deslocamentos. Mas, como já foi descrito anteriormente, os deslocamentos são função das tensões (derivadas dos impulsos). O que torna possível afirmar que também os deslocamentos, presentes na equação dos elementos finitos, vão apresentar um comportamento deste tipo, mas com uma desfasagem.

Esta formulação da matriz de amortecimento, à semelhança do caso primal, permite a obtenção de um amortecimento modal. Para o comprovar, considere-se a equação dinâmica da formulação dual (4.34) homogénea e apenas no seu domínio:

!ST + VS£T + X!S£T + S¢T = ¤

(4.43) Fazendo uma transformação ortogonal, utilizando os vectores próprios normalizados em relação à matriz de flexibilidade, i.e.:

r5_{rÂT¢ + r}5_{V + X!rÂT£ + r}5_{!rÂT = ¤} (4.44) m«CmÃ= ^«Ã (Ortogonalidade de ) (4.45) m«C!mÃ= &Ą^«Ã (Ortogonalidade de !) (4.46)

Obtém-se, por simplificação, um sistema de n equações a n graus de liberdade: f1¢ + 2ag sf1£ + &g „f1 = 0  = 1,2,3 …, Æ g

(4.47) Em que:

&= È_*_ – Frequência própria do modo de vibração i;

2a&= V + X&„  = 1,2,3 … Æ

f1 - Deslocamento i em coordenadas modais; g

a=_„·Ç_* – Taxa de amortecimento do modo de vibração i;

Em ambos os casos a taxa de amortecimento do modo de vibração , a_, é: a=_2sV

+

Xs

2 O que mostra que o amortecimento produzido é igual.

4.2.2. Funções de Forma

As funções de forma utilizadas, representadas em (4.26), são polinómios de Legendre. Na parcela axial são utilizados dois polinómios até ao 1º grau:

b–+ = 1 b¡+ =2+_Í

(4.48)

E na parcela de flexão são utilizados quatro polinómios até ao 3º grau (mínimo para formar uma base de elementos linearmente independentes):

b„= 1 ; b¦=1_{2 Ÿ3 ß}2_{Í +à} „ − 1  b¥=2+_{Í ; b}§=1_{2 Ÿ5 ß}2_{Í +à} ¥ −6_{Í +}  (4.49)

Listam-se agora algumas propriedades destes polinómios importantes de referir:

1) Para polinómios de grau consecutivo, as funções são alternadamente par e impar, i.e.: )É−+ = −1É)É+

(4.50) Onde )_É+ é um polinómio de Legendre de grau Æ.

2) Estes polinómios são ortogonais em relação ao seu produto interno no intervalo – Í/2 ≤ + ≤ Í/2;