Centro Federal de Educação Tecnológica
Unidade de Nova Iguaçu Ensino de Graduação
Matemática
Cálculo 3 Lista 2
Limites-Continuidade-Derivada Direcional-Derivada Parcial-Plano Tangente-Gradiente
Prof. Rildo Soares Limites
1) Calcule os limites se for possível. • (a) lim (x,y)→(0,1) x − xy + 3 x2+ 5xy − y3 • (b) lim (x,y)→(3,4) p x2+ y2 • (c) lim (x,y)→(0,0) x2− xy √ x −√y • (d) lim (x,y)→(1,1) (x − 1)2+ (y − 1)2 p(x − 1)2+ (y − 1)2+ 1 − 1 (resp. 2) • (e) lim (x,y)→(1,1) 2x2− xy − y2 x2− y2 (resp. 3/2) • (f) lim (x,y)→(0,0) x4− y4 x2+ y2 (resp. 0) • (g) lim (x,y)→(0,0) xy p 2x2+ y2 (resp. 0) • (h) lim (x,y)→(0,0) e−x2−y2 − 1 x2+ y2 (resp.-1) • (i) lim (x,y)→(1,0) (x − 1)2ln(x) (x − 1)2+ y2 (resp. 0)
2) Mostre que os limites não existem: • (a) lim (x,y)→(0,0) x x2+ y2 • (b) lim (x,y)→(0,0) x2− y2 x2+ y2 • (c) lim (x,y)→(0,0) x2y x4+ y2 • (d) lim (x,y)→(0,0) xy x2+ xy + y2 • (e) lim (x,y)→(0,0) x3y x4+ y4 • (f) lim (x,y)→(0,0) x2y2 x4+ 3y4 • (g) lim (x,y)→(0,0) x3y x6+ y2 • (h) lim (x,y)→(0,0) x2 x2+ y2 • (i) lim (x,y)→(0,0) xy x2+ y2 • (j) lim (x,y)→(0,0) x2+ sen2y 2x2+ y2
Bônus: Troque todos os pontos do limite para todos os exercícios anteriores e resolva-os.
3) Usando a de nição de limite ou teoremas, calcule os limites abaixo. • (a) lim (x,y)→(0,0)(x 2+ y2)sen 1 xy • (b) lim (x,y)→(0,0) (1 + y2)sen(x) x • (c) lim (x,y)→(0,0) 3x2y x2+ y2 (tome δ = 3) • (d) lim (x,y)→(0,0) 4xy2 x2+ y2 (tome δ = 4) • (e) lim (x,y)→(0,0)tan −1 |x| + |y| x2+ y2
(use que a in-versa da tangente é contínua em (−π
2, π 2)) • (f) lim (x,y)→(0,0)cos x3− y3 x2+ y2 (use o cosseno da soma, depois veja que um é limitado e o outro vai pra zero, use o exercício seguinte.)
• (g) lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2+ y2 (separe um x e veja que
um é limitado e o outro vai pra zero.) Continuidade
1) Obtenha extensões contínuas em R2 para as funções:
• (a)f(x, y) = 2xy 2 x2+ y2 • (b)f(x, y) = xy x2− y2 x2+ y2 Derivada Direcional
3) Encontre a derivada direcional de cada função abaixo no ponto indicado e na direção indicada. • (a)f(x, y) = x2+ y2 no ponto P (1, 2) na direção do vetor ~u = (3, 4);
• (b)f(x, y) = ex2+y2
no ponto P (−1, 1) na direção do vetor ~u = (0, 2); • (c)f(x, y) = x2y3− y4 no ponto P (2, 1) na direção θ = π
4;
• (d)f(x, y) = xexy+ y no ponto P (2, 0) na direção θ = 2π 3 ;
• (e)f(x, y) = x2z + y2 no ponto P (1, 2) na direção do vetor ~u = (3, 4);
• (f)f(x, y, z) = x2+ y3z2− xyz no ponto P (1, 2, 1) na direção do vetor ~u = (−1, 0, 3);
09) Calcule a derivada direcional de cada função f abaixo no ponto p = (a, b) dado na direção do vetor ~v = (v1, v2).
Usando limites:
a) f(x, y) = x2+ xy + 2y2, P
0(2, 1), ~v = (3, −4);
b) f(x, y) = x2+ y2, P
0(1, 1), em um vetor com direção de 45◦ com o eixo x;
c) f(x, y) = x2− 2x2y + xy2− 1, P
0(1, 2), na direção do vetor ~v = 4i + 6j;
d) f(x, y, z) = x2− y2+ z, P
0(2, 2, 1), ~v = (3, 4, 12);
• (e)] f(x, y) = xcos(y), P0(x, y), na direção do vetor ~u = (2, 1);
Usando qualquer método:
a) f(x, y) = x2− 2xy − y2+ 4y − x + 20, P 0(2, 1), ~u = ( √ 2 2 , √ 2 2 );
b) f(x, y, z) = ex+ycos(z) + ez−xsen(y), P
0(0, 0, 0), ~v = (1, −1, 2);
Derivadas Parciais - Regra da Cadeia
5) Encontre as derivada parciais pedidas para cada função abaixo. a) F (x, y) = 5x4y2+ xy3+ 4, ∂f (x, y) ∂x ∂f (x, y) ∂y ; b) z = cos(xy) ∂z ∂x ∂z ∂y ; c) z = x3+ y2 x2+ y2 ∂z ∂x ∂z ∂y ; d) F (x, y) = e−x2−y2 , ∂f (x, y) ∂x ∂f (x, y) ∂y ; e) F (x, y, z) = x2ln(x2+ y2+ z2+ 1), ∂f (x, y, z) ∂x ∂f (x, y, z) ∂y ∂f (x, y, z) ∂z ; f) F (x, y) = xye−xy, ∂f (x, y) ∂x ∂f (x, y) ∂y ∂2f (x, y) ∂x2 ∂2f (x, y) ∂y∂x ∂2f (x, y) ∂x∂y ; g) F (x, y, z) = (x2y2z2)ln(x2y2z2), ∂f (x, y, z) ∂x ∂f (x, y, z) ∂z ∂2f (x, y, z) ∂y2 ∂2f (x, y, z) ∂y∂x ∂2f (x, y, z) ∂z∂y ∂3f (x, y, z) ∂x∂y∂z ;
h) F (x, y) = ecos(exysen(ln(x2y)))
, ∂f (x, y) ∂x
∂f (x, y) ∂y . Planos Tangentes
7) Determine a equação do plano tangente em cada caso:
a) Equação do plano tangente à superfície dada pela expressão: z = yln(x) no ponto (1, 4, 0).[Resposta: z = 4x − 4];
b) Equação do plano tangente à superfície dada pela expressão: z = 4x2−y2+2yno ponto (−1, 2, 4);
c) Equação do plano tangente à superfície dada pela expressão: z = ycos(x − y) no ponto (2, 2, 2); d) Equação do plano tangente ao grá co da função f(x, y) = x + y
ex+y quando (x, y) = (1, 2).
Gradiente
10) Para as seguintes funções, encontre a direção de maior crescimento da função a partir do ponto indicado. Determine a derivada da função nessa direção.
a) f(x, y) = x2+ 3xy − y2, P 0(1, 2); b) f(x, y) = xey − ye2x, P 0(0, 0); c) f(x, y, z) = ln(xy) − 3ln(xz) + ln(yz), P0(1, 1, 1); d) f(x, y) = xy2− eycos(x), P 0(0, 1); e) f(x, y) = x2− y2− 4arctg(xy), P 0(1, 1); b) f(x, y, z) = xyz − x2+ y2− z2, P 0(1, 1, −1).
11) Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = x2− y2 na direção tangente â curva α(t) =
(2cos(t), sen(t)), quando t = π4, no ponto α(π4).
12) Represente gra camente o campo de vetores e as curvas de nível correspondente a função f(x, y) = x2+ y2− 9.
13) Determine ∂z ∂x e ∂z ∂y quando x3+ y3+ z3+ 6xyz = 1. (resp.∂z ∂x = −(y2+2yz) (z2+2xy) ) e ( ∂z ∂y = −(y2+2xz) (z2+2xy) )
14) Ache os extremos de f(x, y) = xy, restrita a curva 4x2+ y2 = 4.
(possivelresposta : M ax.(− √ 2 2 , − √ 2), ( √ 2 2 , √ 2))e (Min.( √ 2 2 , − √ 2), (− √ 2 2 , √ 2))
15) Encontre os extremos da função f(x, y) = e−xy considerando apenas a região do domínio dada
pela desigualdade: x2+ 4y2 ≤ 1. Use Lagrange para avaliar sobre a fronteira da região.
16) Estude os extremos das funções: a) f(x, y) = x3 3 + 2y3 3 − 3x2+ 10y2+ 8x + 42y + 2, P C.P0 = (4, 7), P1 = (4, 3), P2 = (2, 7), P3 = (2, 3); b) f(x, y, z) = −x2− y2− z2+ 4y + 2z − 5, P C.P 0= (0, 2, 1) c) f(x, y) = 2x2+ 3y2−x3 3 − y3
3 + 1, P C.P1(0, 0)min., P2(0, 6)eP3(4, 0)sela, P4(4, 6)max;
d) f(x, y) = sen(x) + sen(y + π
2), P C.P1( π
2, 0)max.
17) Uma empresa de entregas aceita caixas de no máxima 240cm como soma total das três arestas básicas. Encontre o volume máximo que se pode encaixotar para ser entregue por essa empresa. 18) Uma caixa de volume 1litro deve ser obtida se modo que sua área lateral seja mínima. Calcule
as dimensões da caixa e justi que seus cálculos.
19) Uma loja de roupas vende dois tipos de suéteres semelhantes, porém de diferentes fabricantes. O primeiro tipo custa R.40, 00 para a loja, enquanto que o segundo tipo custa R.50, 00. A experiên-cia mostra que se x e y forem os preços de venda do primeiro e do segundo tipo, respectivamente, então a quantidade vendida do primeiro tipo, por semana, será de 3.200 − 50x + 25y, enquanto que 400 − 25y + 25x será a venda do segundo tipo.
a)Qual o lucro bruto na venda de um suéter do primeiro tipo e do segundo tipo? b) Qual o lucro bruto L(x, y) semanal na venda dos dois suéteres?
c) Qual é o lucro bruto semanal se os suéteres forem vendidos por R.90, 00 e R.100, 00, respecti-vamente?
d) Qual é o lucro bruto semanal se os suéteres forem vendidos por R.100, 00 e R.90, 00, respec-tivamente?
e)A que preços o lucro será máximo?
f ) Quando o lucro for máximo, qual a quantidade de suéteres vendida?
20) Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha de 12cm de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a ter uma capacidade máxima. Na folha será dobrado em ambos os lados uma medida x formando um ângulo θ com a horizontal, (formando um trapézio invertido). Quais as medidas de x e θ que maximizam a capacidade da calha?
21) A temperatura T de uma placa circular aquecida, em qualquer dos seus pontos (x, y) é dada por T (x, y) = 100
x2+ y2+ 2
estando a origem no centro da placa. No ponto P0 = (2, −1) determine:
22) A temperatura de uma chapa de metal é dada por T (x, y) = ex 2cos(πy
3 ). A partir do ponto (0, 1),
determine:
(a) o gradiente da temperatura;
(b)a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa; (c)a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa; (d) a direção em que a temperatura não varia;
23) A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela função f(x, y, z) = 28 + x2 − y2 + z2.
Uma abelhinha se encontra na posição (1, 2, 1) e deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em que direção ela deve voar?
