A (Im)Pertin^encia da Historia ao Aprendizado
da Fsica (um Estudo de Caso)
The(IN)convenienceofhistoryinlearningphysics(acase study)
Penha MariaCardoso Dias
InstitutodeFsica
InstitutoAlbertoLuizCoimbra dePos-Graduac~ao
ePesquisaemEngenharia(COPPE)
UniversidadeFederaldoRio deJaneiro
email:penha@if.ufrj.br
Recebidoem21/04/2001. Aceitoem20/06/2001
Nesteartigo, assumoquea Historiadeumaparticular ci^enciaeum legtimoforo deinvestigac~ao
de seusfundamentos. A Historia revela \oporqu^e" das categoriasconceituais daci^encia,
clari -cando,assim,osigni cadodosconceitos. Parailustrar,apresentoumestudodecaso: Umaanalise
conceitual daTeoriadoCalor.
InthispaperIholdtheviewthattheHistoryofaparticularscience isthemostlegitimatetoolto
investigateitsfoundations. Thehistoryofaparticularsciencedisclosesthe\why"oftheconceptual
categories of thatscience; henceit clari es themeanings ofitsvariousconcepts. Toexemplify,I
presenta\casestudy",theTheoryofHeat,whichisaconceptualanalysisofThermodynamics.
I Introduc~ao: Meu tipo de
historia da fsica
Paraqu^eserveaHistoriadaFsica? Ou,mais
especi -camente,eaHistoriade umaci^encianecessariaou,ao
menos, util para a analise de seus fundamentos?
En-tendoque:
A Historiaeoforo,ondeaanalise conceitual pode
serfeita; ela permite reverconceitos, critica-los,
recu-perasigni cadoseosentendealuzdenovas
descober-tas. Elae,pois,oinstrumentodaformac~ao intelectual
e da assimilac~ao de conceitos. Consequentemente, a
Historiadeumaci^enciaeessencial aheursticada
des-cobertacient ca. Elaeo instrumentode formac~ao de
pensadores. Na medida em que critica, ela subverte,
mas dentro de metodos e categorias do pensamento:
Portanto, a Historia e o instrumento da formac~ao de
umamente disciplinadamenteindisciplinada nacrtica
dos conceitos cient cos.
Haoutrosmodos desefazer Historia daFsica. A
Historiadeumaci^enciapermiteumamultiplicidadede
enfoques, dependendo das perguntas asquais o
histo-riador se dirige: O pano de fundo cultural, social e
poltico ou, no jarg~ao, a Weltanschauung para a
lei-turados conceitos e metodos; o contexto loso co do
rais,ques~aoospressupostosepistemologicosda
possi-bilidade do pensamento cient co, tais como,
causali-dade, subst^ancia,etc, ecategorias loso cas
particula-res,comoovnculoadoutrinas loso casparticulares,
taiscomoatomismo, ocasionalismo,etc;aHistoriadas
instituic~oes cient cas;etc. Essesmodosn~ao precisam
serestanqueserevelamaci^enciacomoatividade
cultu-raldaespeciehomo sapienssapiens.
Porem,nemtodososmodosdesefazerHistoria
ser-vem aoproposito do aprendizado deconceitos ou
ser-vem aos fundamentos da ci^encia. Na proxima sec~ao,
exempli coquest~oes defundamentosdaFsicaque
en-contramrespostaemsuaHistoria. Naoutrasec~ao,
ilus-tro esseusocomumexemploespec co: Aconstruc~ao
dasduasleisdaTeoriadoCalor;essaconstruc~aop~oea
descobertoseusfundamentos.
II PARTE I - Uso da historia na
clari cac~ao de conceitos
(I)AFsicaen~ao-trivial,emsuaess^encia. Porem,ouso
deumconceito,aolongodemuitosanose,ateseculos,
tendeatrivializaron~aotrivial;istoe,di culdades
conceitoss~ao\magicos".
Exempli cando: A Fsica comeca enumerando as
tr^esleisdaMec^anica. Ora,aLeida Inercia,aprimeira
delas,nemsequeremotivodeobservac~aonodiaadia.
Quegraudecon abilidadepode-seter,pois,nessaLei?
Opontoequeadiscuss~aodoproblemadaexist^enciaou
n~aodovacuo edapossibilidade,aindaquemeramente
racional,domovimentoinercial,nosseculosXIIIeXIV,
mostra os problemas que os conceitos de vacuo e de
seuassociado,omovimento inercial,pretendem
soluci-onar, mostra os argumentos que convenceram aqueles
quefundaramaFsica.
E claro que, ao perguntar sobre o\grau de
con -abilidade" esta colocado todo um problema de
Epis-temologia. Esse ramo da Filoso a estuda a natureza
do conhecimento cient co, tenta provar que o
conhe-cimento da naturezae possvele traca os c^anones do
pensamento cient co. Por exemplo, uma ci^encia tem
de ser capaz de predizer o comportamento da
Natu-reza;acondic~aoparaissoserpossvelequaaNatureza
obedeca a leis; mas, ent~ao, qual aorigem dessas leis?
N~aotenho apretens~aode atacar problemas loso cos
controversoseque t^em sidodiscutidos pelosmais
bri-lhantes losofos. O problema a que me dirijo e bem
maiselementar. Assumindoprovadaapossibilidadeda
ci^encia, assumindo que aci^encia, de fato,\explica
al-gumacoisa",oproblemaeodetornarinteligvelasleis
da Fsica, entender seu signi cado fsico e metafsico;
e o de tornar \menos magicos", conceitos t~ao pouco
intuitivos e naturais, como, por exemplo, as Leis de
Newton. A nal,asleisdaFsicaedaMatematica
tor-naram possvel mandar foguetes a Saturno e Jupiter,
inventar computadores, as leis da Biologia est~ao
des-vendandoocodigogenetico,desvendandoa\vida",
en-quanto a Epistemologia ainda tenta provar que tudo
issoepossvel.
A Historia da descoberta de um conceito mostra
n~ao somente como o conceito foi criado, mas,
sobre-tudo, seu porqu^e; a Historia mostra as quest~oes para
cujassoluc~oesoconceitofoiintroduzido,revelaoqu^eo
conceito fazna teoria,suafunc~aoeseu signi cado. A
Historia revive oselementos do pensar de uma epoca,
revelando,pois,osingredientescomqueopensamento
poderiatercontadonaepocaemquedeterminada
con-quista foi feita. Ela desvenda a logica da construc~ao
conceitual; nesse esforco, ela revela, tambem, os
\bu-racos logicos" que o conceito preenche, revivendo o
proprioatointelectualdacriac~aocient ca.
(II)Algumas quest~oes dosFundamentos da Fsica
s~ao loso cas em sua natureza. Essas quest~oes s~ao o
proprioestofodaFiloso a daFsicae,damesmaforma
que,emFiloso a,aperspectivahistoricaeparteda
me-todologia,assimoeaqui. Paracitaralgunsexemplos:
(1) Por que seria \o Livro da Natureza escrito na
linguagemdaMatematica"?
(2) As moleculas e atomos obedecem as leis da
pode, ent~ao, o determinismo microscopico ser
concili-ado com o indeterminismo macroscopico da Segunda
Lei da Termodin^amica? A respostaaessa quest~ao
ge-rouramosdaFsica(Mec^anicaEstatstica)eramosda
Matematica(TeoriaErgodica,que,porsuavez,geroua
TeoriadeSistemasDin^amicos,aquealgunsd~aoonome
deTeoriadoCaos). Qualarelac~aoentreoconceitode
probabilidadeeodeindeterminismo? Probabilidade
en-tra na Fsica por uma quest~ao de ignor^ancia humana
quanto a \preparac~ao" do sistema ou e outra coisa?
Ouseja,pondoapergunta emoutraspalavras, qualo
conceitode`probabilidade'maisapropriadoaMec^anica
Estatstica?
(3) O qu^e dizer da Mec^anica Qu^antica? Qual o
conceito derealidade mais apropriadoa ela? Durante
decadasessaquest~aofoi tratadaem departamentosde
Filoso anosEstadosUnidoseInglaterra(ondealguns
departamentos de Filoso a s~ao genuinamente
dedica-dosaFiloso adaNatureza); depoisdos experimentos
deAbnerShimonyeseusassociados,paraprovaras
de-sigualdades de Bell, os departamentos de Fsica
\des-cobriram"oproblema.
(4) Por que o programa mecanicista, fundado nos
seculos XVII e XVIII, porRene Descartes, Christian
Huygens, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz,
deolharparaaNaturezacomomateriaemmovimento
\dacontadomundo",\funciona"t~aobem? Seraqueo
mundo(daFsica)esoisso,\materiaemmovimento"?
(5) A Fsica nasceu do problema colocado na
An-tiguidade Hel^enica de explicar transformac~oes em
ge-ral, incluindo o movimento local, isto e, o
desloca-mento. Ora, colocar o movimento nesse bolo foi
es-sencial. Mais essencial, ainda, foi entender queo
mo-vimentopoderiasertratadocomoumaqualidade como
qualqueroutra,talcomobondade,cor,etc,portantoa
eleseaplicariamasleismedievaispara tratar
qualida-des. Aplicac~ao dessas leis corresponde atrataro
mo-vimentono\espaco"extens~ao intenc~ao outempo
velocidade instant^anea. Issodeuorigem aCinematica.
Aqui,ospressupostos loso cosagiram\a favor". Ou
seramaisqueumacaso? Qualovalorepist^emicodessas
analogiaspositivas?
(6) O qu^e dizer dos princpios de economia, como
osPrincpiosde Maupertuis, aLei deFermat, etc? A
justi cativadelesemetafsica: ExistenaNaturezauma
tend^enciaaagir\simpleseeconomicamente";ora,isso
funcionava no seculo XVIII,quando a Natureza
espe-lhavaosdesgniosdoCriador;ehoje, naci^enciaateia,
qual osigni cado desses princpios? Porexemplo, eu
provei que Leonhard Euler interpretou os princpios
de Maupertuis como um processo de convers~oes
ins-tant^aneas,sucessivas,deenergiapotencialemcinetica,
fundando, assim, a Mec^anica Analtica; 1
com isso, o
princpiometafsicotorna-sefsico.
(7) Por falar em energia, qual o sentido fsico da
de transformac~oes can^onicas; em particular, aenergia
\gera"omovimento,noespacodefase. Oproprio
\sta-tus"ontologicodaenergiaecurioso;elaemateria,ou,
na linguagem aristotelica, subst^ancia, isto e, uma das
categorias do pensamento. Quantidades conservadas
n~ao poderiam, portanto, estar relacionadas a propria
possibilidade da Fsica, serem criterios ontologicos de
de nic~aodosistema?
Talvez seja signi cante, nesse contexto,o fato que
aexist^encia deuma unica quantidade,aenergia,
\ex-plica"oequilbriotermodin^amico,istoe,adistribuic~ao
micro-can^onicadeestadosnoespacodefase,como
des-coberto por Ludwig Boltzmann (neste ponto, esta-se
retornandoa(2),acima).
(8)Porque causas s~ao iguaisa seusefeitos? Uma
dascrticasdeJeanLeRondD'Alembert aequac~aode
Newton,equeelaexigequeseigualeacausa, ~
F,aseu
efeito,m~a.
(9)Odebatesobreanaturezadoespacoedotempo
entre Newton (ou melhor, seu \menino de recados",
Samuel Clarke) e Leibniz deu-se em torno do
con-ceito de continuidade, da relatividade do movimento,
doprincpio daraz~aosu ciente(Deusn~aoprecisa car
continuamente\dandocorda"nomundo,como queria
Newton, para o mundo funcionar, pois nada acontece
sem raz~aoqueassim seja). SegundoLeibniz,seo
mo-vimentoerelativo,ent~aoespacon~aopodeserabsoluto.
Porem, deve existir um elemento absoluto, que traga
uma acerta\identidade"ascoisas;para ele,eaforca,
aquientendidan~aosocomoacausadaacelerac~ao,mas,
tambemnosentidometafsicode forca ativa primitiva
ouentelequiaeforcapassivaprimitivaousubst^ancia. O
pontoe: Qualanaturezadoespacoedotempo? A
Te-oriadaRelatividadeGeral,assiminicialmente
denomi-nadapor AlbertEinstein,devesercapazderesponder
aquest~ao.
(10) Muitas quest~oes acima, tidas como
\me-tafsicas", podem vir a adquirir resposta dentro da
Fsica,perdendoostatusde metafsicas. Masnem
to-das. Categorias de Subst^ancia, Qualidade, Relac~ao e
outras s~ao princpios a-priori do pensamento e
deter-minamotipodequest~aoque sepodeperguntar sobre
a Natureza. Segundo Emmanuel Kant, s~ao condic~oes
de possibilidade do pensamento cient co. Se assim
for, ent~aoeimpossvelfazer ci^encia sem uma dose de
princpiosmetafsicos.
Alem disso, se assim for, a verdade das ci^encias e
condicionada a formac~ao das categorias do pensar do
homosapienssapiens,aofuncionamentodocerebro
hu-mano. N~aohaveria,aqui,umproblema\ovo-galinha"?
Ocomportamentoneuro- siologicodocerebrodepende
das leisda Fsica eda Qumica, por outro lado,essas
leiss~aooprodutodaquele.
(III)Existeumarelac~aoprofundaentre aHistoria
da Ci^encia e a Epistemologia. Segundo E. J.
Dijks-terhuis, a Historia e o Laboratorio da Epistemologia. 2
construc~aooudescobertadoconceito,revelandoograu
de racionalidade doatodadescoberta. Algunsautores
(Imre Lakatos) foram alem e postularam que so
\re-search programmes"e n~ao teorias isoladas podem ser
falsi cadas, portanto o valor epist^emico da ci^encia so
podeseravaliadoaolongodesuaHistoria.
III PARTE II - Estudo de caso:
A teoria do calor
O exemplo e uma das mais belas paginas do
pensa-mentohumano|adescobertadaSegundaLeida
Ter-modin^amica e de sua misteriosa acompanhante,a
en-tropia.
Algumas perguntas podem surgir ao estudante
crtico:
(1)PorqueamaquinadeCarnotenvolveduas
tem-peraturasen~ao uma? A nal,oqueexistedeintuitivo
ou,pelomenos,deglutvel,nociclodeCarnot?
(2) O qu^e signi ca asegunda lei? O qu^ee entr
o-pia? Elamedeoqu^e? Seria H
dQ
T
0inteligvelcomo
express~aomatematicadaquiloqueaentropia mede?
A Historia da Teoria do Calor tem muito a dizer
sobre algumasdessasquest~oes. Oqueapresento,aqui,
eumaleituradosfundamentosdaTeoriadoCalor,
ex-tradosde suaHistoria. Paraos detalhes daHistoria,
remeto o leitor a meus artigos mencionados no nal
do texto, onde vasta bibliogra a e citada. Nem e o
textoum meiode iniciaroestudo da Termodin^amica;
pelocontrario,osfundamentosdeumaci^encias~aopara
quem ja a estudou uma vez, teve duvidas, colocou
quest~oesegostadepensar.
A maquina termica
Amaquinatermicausacalorparagerarmovimento,
istoe,trabalho mec^anico.
Maquina de Watt.
Agua e aquecida em uma
fornalha (fonte quente), formando vapor (subst^ancia
de trabalho). O vapor entra em um cilindro,
previa-mente aquecido atemperaturado vapor, empurrando
um^emboloerealizandotrabalho. Depoisqueo^embolo
e empurradoum pouco, osuprimento de vapore
cor-tadoeovaporexpandeporsiso,continuandoa
empur-rar o^embolo e arealizartrabalho. Quandoo^embolo
atinge o nal do cilindro, o vapor expande para um
cilindro, mantido auma temperatura, fria, obastante
para condensarovapor (condensador oufonte fria); o
vapor e, pois, \destrudo". Em decorr^encia, forma-se
umvacuonocilindroprincipaleo^embolopodeser
tra-zidodevoltaaposic~aoinicial.
Princpiodefuncionamentodamaquinatermica
funda-JamesWatt,istoe,comoeporqu^eamaquinafazoque
faz.
Princpio de Carnot. O funcionamento da
maquina termicaconsistena transfer^encia de calor de
umafonte quenteparaumafria en~aoemumconsumo
de calor. Como consequ^encia, calor e conservado na
operac~aodamaquina: ocalorretiradodafonte quente
etodo eletransferidoparaafonte fria.
Fundamentac~aodo princpiode Carnot
(1)Carnotentendeuque:
(i)AmaquinadeWatttemdesercapazdereiniciar
novo ciclo de operac~oes (eclaro, ninguem desejauma
maquinaquesofuncione umaunica vez).
(ii)Amaquinatemdefaz^e-lo,semprecisarformar
uma novasubst^anciade trabalho. 3
Ora,paravoltaraocomecodasoperac~oes,epreciso
queasubst^anciadetrabalhojogueforaocalorque
re-cebeu dafonte quente: A fonte fria existepara receber
da subst^ancia de trabalho (parte d)o calor recebido da
fornalha.
(2) Princpio de Economia. Carnot entendeu
que, havendo contato entre dois corpos a
temperatu-ras diferentes,caloretransferidosemquetrabalho seja
realizado,istoe,trabalho e\deixadodeserrealizado",
logo e \perdido". Assim, para a maquina \trabalhar
bem",istoe,n~aodeixarderealizartodo otrabalho que
pode, potencialmente, realizar,deve-se evitar que
par-tesadiferentes temperaturasentrememcontato;issoe
umprincpio de economia.
(3) O Ciclo econ^omico. Carnotinventouum
ci-clo de operac~oes de uma maquina, cuja subst^ancia de
trabalhoeumgasperfeito,capazdetransferircalorda
fonte quenteparaafria,semperdas:
(i) Expans~ao isotermica: A fonte quente e a
subst^anciadetrabalhoest~aoemcontato,amesma
tem-peratura, cumprindo a condic~ao de economia.
A
me-dida queasubst^anciarecebecalor dafonte quente,ela
expande,empurrandoo^embolo.
(ii) Expans~ao adiabatica: Calor n~ao e trocado
com oexterior. A subst^ancia esfriaa medida que
ex-pande. Oprocessoeinterrompido,quandoasubst^ancia
atingir atemperaturadafonte fria.
(iii) Compress~ao isotermica: A fonte fria e a
subst^anciadetrabalhoest~aoemcontato,amesma
tem-peratura, cumprindo a condic~ao de economia.
A
me-dida queasubst^ancia forcomprimida,calor e
transfe-ridodasubst^anciadetrabalhoparaafontefria. Quando
asubst^anciaatingir\certovolume"(qual?),deve-se
in-terromperessafase.
(iv)Compress~aoadiabatica: Calorn~aoetrocado
comoexteriorououtra qualquerparteeasubst^ancia
esquenta amedida que for comprimida. Oprocessoe
interrompido, quando asubst^ancia atingir a
tempera-4
Figura1. O Ciclo de Carnot. O ciclode Carnote
de-senhado no \espaco" volumepress~ao ; como a
tempera-tura e ligada a V eP pelas equac~oes da isoterma(s)e da
adiabatica(s),segue-seque,dadasascurvas,ociclosotem
duasvariaveisindependentes,P eV. Ascurvas12e34s~ao
isotermas,respectivamente,as temperaturasT
+
, quente, e
T ,fria;ascurvas23e41s~aoadiabaticas.
(4) Carnotraciocinacomo secalor fosseum uido
muito no, capaz de penetrar os menores poros da
materia; esse uido era chamado de calorico. O
fun-cionamentodamaquinaconsiste,pois,natransfer^encia
decalorico dafonte quentepara afonte fria. Findoo
ciclocompleto,amaquinarecuperasuascondic~oes
ini-ciais. Como postopor Carnot, o Princpio de Carnot
euma condic~aode recuperabilidade das condic~oes
ini-ciais da maquina; para isso, a subst^ancia de trabalho
tem de voltar as suas condic~oes originais, livrando-se
docaloricorecebido. Nesseprocesso,ocaloricoe
con-servado,poisn~aoeutilizado,gasto,\consumido",eso
um\meiodetransporte".
Oteorema de Carnot
Carnot demonstra um teorema, segundo o qual a
e ci^encia da maquina termica, funcionando de acordo
com ociclo acima, n~ao depende da subst^ancia de
tra-balho usada, isto e, se um gas perfeito ou outro gas
perfeitoousealgumaoutrasubst^ancia.
Para provar o teorema, Carnot sup~oe duas
maquinas, operando entre as duas mesmas
tempera-turas,T
+
eT , uma operandono ciclo direto e a
ou-tra, no ciclo reverso de operac~oes; porem, elas usam
diferentes subst^ancias de trabalho. As maquinas s~ao
acopladas, isto e, o trabalho, W, obtido na primeira
eusadoparaoperarasegunda. Carnotassumeque
so-mente uma parte do trabalho, W 0
(W 0
< W), gerado
naprimeiraprecisaserusadonasegundamaquina. 5
A
maquina direta traz calor, Q, da fonte quente para a
de-
equeafonte quenteeasubst^anciade trabalho
recupe-ramsuascondic~oesiniciais. Porem,resultaumtrabalho
gratis,W W 0
, tirado donada, pois soseusou parte
do trabalho obtido na maquina direta. Ora, e um dos
princpiosmetafsicosdaFsica(e,talvez, davida)que
sedevepagarporumtrabalho realizado. 6
Carnot
con-cluiquesuahipotesedequesopartedotrabalhoobtido
fossenecessarioparaoperaramaquinarevertidaera
er-rada: Ambasproduzem(eutilizam,quandorevertidas)
amesmaquantidadedetrabalho. Como, porhipotese,
as maquinasoperamcom subst^ancias diferentes, o
re-sultado e que o trabalho independe da subst^ancia de
trabalho.
Figura2. OTeoremadeCarnot,comoentendidopelo
proprio Carnot. Amaquinadiretaretiraumcalor,Q,da
fontequentee,nesseprocesso,dealgumaforma,produz
tra-balho,W;asubst^anciadetrabalholivra-sedeQ,lancando-o
nafontefria. OtrabalhoW eusadoparaoperaramaquina
reversa,cujaoperac~aoedevolverQafontequente.
Emoutraspalavras,ae ci^encia,
trabalho
calorretiradodafontequente ;
independe da subst^ancia de trabalho. Mas, ent~ao, do
qu^e depende? Ora, so pode depender do que for
nu-mericamente igualnosdoisciclos,odireto eoreverso.
Ora,asvariaveis\iguais"s~ao: porhipotese,Q,T
+ ,T
e,pelo teorema,W.
O dilemade Thomson
WilliamThomson, ofuturo LordeKelvin, colocou
oseguintedilema:
(i) James Prescott Joule demonstrou, por
experi-mentos,quecalorpodesertransformadoemtrabalhoe
vice-versa.
(ii) Portanto, se a maquina realiza trabalho, calor
n~aopodeser,todo ele,transportadodeuma fontepara
aoutra. Eletemde \virar"trabalho,istoe,ser
consu-mido,usado,gasto.
(iii)Logo, ou CarnotestacertoeJoule errado; ou
Clausius respondea Thomson
RudolfJuliusEmmanuelClausiusentendeuquen~ao
ha contradic~ao entre os dois princpios, desde que o
Princpio de Carnotsofrapequenamodi cac~ao:
(1)Clausius aceita os resultadosde Joule: Calore
trabalho,logosetrabalhoeobtido,caloreconsumido.
(2) Clausius corrige Carnot: O calor retirado da
fonte quente n~ao pode ser todo ele transferido, mas
partee consumida. Eledistingue,pois,duasoperac~oes
nasmaquinastermicas:
(i) Transformac~ao de calor em trabalho ou
con-sumo de calor: Parte do calor recebido da fonte
quenteetransformadaemtrabalho,duranteaexpans~ao
isotermica.
(ii)Transportedecalordafontequenteparaafonte
fria: Aparterestantedocalor,quefoirecebidodafonte
quente,etransferidapara afonte fria, durantea
com-press~ao isotermica.
Figura3. OTeoremadeCarnot,comoentendidopor
Clausius. A maquinadireta retira umcalor, Q,dafonte
quente: Parte desse calor e transformada emtrabalho: W
e, pois,o calor consumido; orestante,Q W,e
transpor-tadopara afonte fria. O trabalhoW e usadopara operar
amaquinareversa,cujaoperac~aoedevolverQ W afonte
quente.
(3) Teorema de Carnot. A maquina direta
re-tira calor,Q, dafonte quente. Partedessecalore
con-sumido, isto e, transformado em trabalho, W. O
ca-lor restante, Q W, etransportadopara a fonte fria.
O mesmo W eusado para operar a maquinareversa;
porem, assume-se que essatransporteum calorQ 0
da
fonte fria para a fonte quente. Ora, se for Q 0
> Q,
oresultado nal doacoplamento dasmaquinaseuma
quantidadedecalor,Q 0
Q,transportadadafontefria
para a fonte quente sem nenhum trabalho gasto para
isso, pois todo o W foi usadopara operar amaquina
reversa;paraproibirisso,Clausius\tiradobolso"o
se-guinte princpio: o uxo natural do calor edos corpos
quentes paraosfrios. Logo,Q 0
=Q. 7
O princpiode Joule
O Princpio de Joule signi caque calor e trabalho
s~aograndezashomog^eneas;logo:
trabalho
calorconsumido =1:
Comoasquantidadess~aomedidasemunidades
diferen-tes, em vez de 1aparece um outro valorpara a
cons-tante, A; e circunstancial que A = 4;18 joule
caloria , pois
esses valor resulta do fato de que, por algumaraz~ao,
\alguem" usou caloria para medir calor e joule para
medir trabalho.
Depois de muita conta (ap^endice), Clausius
rees-creveaexpress~aoacimacomo:
dU= pdV +dQ:
As contas n~ao s~ao \iluminantes", exceto pelo
se-guinte: Segue-se, no uirdos calculos, que dU euma
diferencialtotal,istoe,Ueintegravel,enquantoQeW
n~ao s~ao integraveis, logo dQ e dW n~ao s~ao
diferenci-ais totais. Portanto, oPrincpio de Jouleeumalei de
conservac~ao: Aoterminode umciclo, asubst^ancia de
trabalhovoltaassuascondic~oesiniciais. Alei deJoule
signi ca: oconte udodecalordasubst^anciadatrabalho,
U, erecuperado, aposum ciclo completo da maquina
direta.
Generalizac~ao doteorema de Carnot
(1) Clausius entendeu que ademonstrac~ao do
teo-rema,envolvendo,apenas,duastemperaturas,emuito
simples, pois consumose daem uma dasduas
tempe-raturasentreas quaisseefetua atransfer^encia,porem
pode ser que as relac~oes entre as quantidades de
ca-lorenvolvidasemuma eoutra operac~aovarie
diferen-temente com a temperatura. Assim, Clausius
inven-touumciclo maiscomplicado,comtr^estemperaturas:
Todoocalorabsorvidonafontecomamaior
tempera-tura(T
+
)etransformadoemtrabalho(consumo);todo
o calor absorvido na fonte com a temperatura
inter-mediaria (T
i
)e transportadopara afonte fria
(trans-porte),T .
Figura4. OCiclo deTr^esTemperaturas. Ocalor
reti-radodafontequente, T
+
,e todoele transformadoem
tra-balho. Ocalor retirado dafonte intermediaria e todo ele
transferidoafontefria,T .
(2)Clausiussegueainspirac~aooriginaldeCarnotde
queoprincpio defuncionamento damaquinatermica
expressa uma lei de conservac~ao. Mas de qu^e? Para
responder,eleinventaoutrademonstrac~aodoTeorema
de Carnot.
Clausius raciocina que, apos um ciclo, as duas
operac~oessecancelam,poishaumavoltaascondic~oes
iniciais. Ele, ent~ao, atribui valores de eq uival^encia as
duasoperac~oes:
c OPERAC ~ AO VALORDEEQ UIVAL ^ ENCIA
transformac~aodecaloremtrabalhonatemperaturaT
+
W f(T
+ )
transformac~aodetrabalhoemcalornatemperaturaT
+
+W f(T
+ )
transportedecalornatemperaturaT
i emcalornatemperaturaT +Q transportado F(T i ;T )
transportedecalornatemperaturaT emcalornatemperaturaT
i Q transportado F( T i ;T ) d
Aleideconservac~aointroduzidaporClausius,apos
umciclo,e: W f( T + )+Q transportado F( T i ;T )=0: (1)
Aplicandoaexpress~aoauma maquinarevertida
si-milar,masoperandocomatemperaturaaltacomvalor
T i <T 0 <T +
ecapazdetransportaramesma
quanti-dadedecalorQ transportado : +W 0 f T 0 + Q transportado F(T i ;T )=0: (2) Somando: Wf(T + )+W 0 f T 0 =0: (3)
Signi caqueaoperac~aodasmaquinas,agindo
acopla-damente,eatransformac~aodeumaquantidadede
ca-lor,W,emtrabalhonatemperaturaT
+ edeuma quan-tidade,W 0 ,detrabalhoemcaloremT 0 + . Ora,seafonte T 0 +
,agindocomofria,recebeumcalorW 0
eafonteT
+ ,
agindo como quente, cede W, signi ca que o
acopla-mentoeequivalenteaumamaquinaoperandoentreT
+
e T 0
+
, que realiza trabalho W W 0 e transporta W 0 ; logo: (W W 0 )f( T + )+W 0 F T + ;T 0 + =0: (4) SomandoesubtraindoW 0 f( T + )a(3)eagrupando ter-mos: (W W 0 )f(T + )+W 0 f T 0 + f(T + ) =0 (3 0 ) Mas(3 0 )e
(4)descrevemamesmamaquina,logo:
F T + ;T 0 + =f T 0 + f(T + ) :
(3)Ademonstrac~aoacimaenvolveousodamaquina
revertida. Logo, a seguinte condic~ao de conservac~ao
valeparaumciclocompleto,reversvel:
Wf(T + )+Q transportado [f(T ) f(T + ) ]=0:
Mudandoanotac~aoedenotandoporT n~ao maisa
temperatura,masumafunc~aosodatemperatura,
de -nida por f 1
T
,o Teorema de Carnottemaseguinte
express~ao: 8
leideconservac~aodocicloreversvel: j=3 X j=1 Q j T j =0:
\Claro"queaformulaacimapodesergeneralizada:
H
dQ
T
= 0. O Teorema de Carnot produz, pois, uma
diferencial total, dS dQ
T
. OPrincpio de Carnote,
defato,umalei de conservac~ao: Aoterminodeum
ci-clo damaquinarevertida, afonte quente volta assuas
condic~oes iniciais, recuperando seu conte udo de calor.
Paraisso, apos umciclo damaquinadireta, a
quanti-dade S tem de recuperar seu valor original. (4) Mas
Clausiusjapartedeumaexpress~aosuspeitaparao
va-lorde eq uival^encia. Trapaca?
Eclaro: Elejadeviater
resolvido milh~oes de ciclos para o gas perfeitoe a
ex-press~ao P j=3 j=1 Q j Tj
=0,comtodacerteza,sempre
apare-cia. Entretanto,existeumaraz~aoparaessaexpress~ao.
Oresultado do Teorema de Carnot, ja modi cado
porClausius,equedoisgasesperfeitos,diferentes,
tra-balhandoentreasmesmasduas temperaturas,que
pro-duzem omesmo trabalho, transferempara afonte fria
Os gases, sendo diferentes, as equac~oes de estado
(istoe,aleidogasperfeito)dosdoisgasest^em
diferen-tes constantes:
PV =
massa
pesomolecular
R T = (numerodemoles)R T ;
portanto dois gases t^em curvas id^enticas somente
quandot^emomesmonumerodemoles.
W e n~ao integravel, logo depende das trajetorias
que comp~oemociclo; como asequac~oes diferem,para
que W tenhaomesmo valor nosciclos, as gurasdos
doisciclosn~aosepodemsuperpor: Mesmoqueas
tem-peraturassejam iguaiseosprocessospartamdas
mes-mascondic~oesiniciais,asposic~oesdasisotermas edas
adiabaticasdosdoisciclosno\espaco"V P n~ao
pre-cisamcoincidir(istoe,osvaloresdeV eP ondeos
pro-cessos comecam e terminam n~ao precisam coincidir);
nemprecisamostracadosdosdoiscicloscoincidir,isto
e,ascurvaturasdecadaumadascurvasquecomp~oem
ociclopodem serrespectivamentediferentes nosciclos
deumgas edooutro.
Asconsequ^enciass~ao:
(i) Qualquer quantidade que tenha o mesmo
va-lor nos dois ciclos, portanto, independentemente das
posic~oesedaformadosciclosnoespacoVP sopode
dependerdeV eP atravesdeQ,T
+
eT . Carnotfez
dW =dQf( T);ClausiusfezdS=dQf( T).
(ii)Carnotestaerrado,porqueW dependedociclo
e, de fato, a condic~ao de que seja o mesmo nos dois
ciclos determina (junto, e claro, com asequac~oes das
curvas)otracadodociclo.
(iii) OTeorema de Carnot, como generalizadopor
Clausius, e mais bem entendido assim: Dado que o
Princpio deCarnoteumacondic~aodeconservac~aono
ciclo reversvele dado que aquantidade conservadae
func~aodeQ,T
+
eT ,somente,Clausiussup^osqueela
tivesseaformaQf(T);ent~ao,eleprovaqueaequac~ao
queosQf(T)'s,nasvariasfasesdociclo, t^emde
obe-decere H dQ T =0. 9 Conclus~ao
Em que a explicac~ao das duas leis da
Termo-din^amicaapresentadaacimaemelhorqueoutras?
Mi-nha defesaeque ousodaHistoria daFsica realca os
problemasequest~oesqueforcaramCarnoteClausiusa
formularemaTermodin^amica. E,porisso,querocrer,
torna as leis menos \magicas". A Historia coloca em
evid^enciaa\operac~aomental"quelevado\Laboratorio
daNatureza"aleigeral. Haargumentopara se
enten-der \a forca das evid^encias" mais forte do que o qu^e
Ap^endice:
O princpiode Joule
Figura5. Ciclo deCarnot in nitesimal. Ociclopodeseraproximadoporumparalelogramo. Osacrescimosdevolume
nospontos1,2,3e4s~aomostrados.
calorem1: Q(V;T) calorem2: Q(V +dV;T) calorem4: Q(V +ÆV;T dT) calorem3: Q(V +d 0 V +ÆV;T dT)=Q(V +dV +Æ 0 V;T dT)
relac~aoentreos acrescimosdevolume: dV +Æ 0
V =ÆV +d 0
V (C).
Expans~oesemserie de Taylor d~ao:
calorretiradodafontequente: Q(V +dV;T) Q(V;T)= @Q
@V
dV (1)
calorcedidoafonte fria: Q(V +d 0 V +ÆV;T dT) Q(V +ÆV;T dT) @Q(V;T) @V d 0 V + @ 2 Q(V;T) @V 2 ÆV d 0 V @ 2 Q(V;T) @V@T d 0 V dT (2) calorconsumido: (1)-(2) @Q(V;T) @V dV h @Q(V;T) @V + @ 2 Q(V;T) @V 2 ÆV @ 2 Q(V;T) @V@T dT i d 0 V (3)
processoadiabatico: Q(V +ÆV;T dT)=Q(V;T)
@Q(V;T) @V ÆV = @Q( V;T) @T dT (B)
processoadiabatico: Q(V +dV;T)=Q(V +dV +Æ 0 V;T dT) @Q(V;T) @V + @ 2 Q( V;T) @V 2 dV Æ 0 V = @Q(V;T) @T + @ 2 Q(V;T) @V@T dV dT (A)
Asexpress~oes(A),(B)e(C)s~aovnculoses~aousadasparacalcularÆV,Æ 0
V ed 0
V emfunc~aodedV edT. Para
facilitar,derivadasparciaisprimeirasser~aoindicadasporndicesT eV ederivadasparciaissegundas,porVV,TT,
VT eTV. Oresultadoe: ÆV = Q T QV dT (a) Æ 0 V = dT Q V Q T Q VV Q V Q T dV +Q TV dV (b) d 0 V = dV + Q VV Q T Q 2 + Q TV Q V dV dT (c)
Substituindoessesvaloresem(3): calorconsumido: @ 2 Q(V;T) @T@V @ 2 Q(V;T) @V@T dTdV : (4)
Paraescreveraexpress~aodoPrincpiodeJoule,queeoobjetivodessaconta,aLeidosGasesPerfeitosenecessaria:
leidosgasesperfeitos,1mol: PV =R T; P =R T V ; @P @T = R V Ent~ao:
princpiodeJoule: @ 2 Q(V;T) @T@V @ 2 Q(V;T) @V@T dV dT R V dV dT =A: (5)
Issopodeserescrito:
Q TV Q VT = AR V A @P @T @ @T @Q @V AP @ @V @Q @T =0
Emoutraspalavras,dQn~aoeumadiferencialtotal,masexisteumadU queediferencialtotaletal que:
@U @V = @Q @V AP @U @T = @Q @T : Logo: dU @U @V dV + @U @T dT = APdV + @Q @V dV + @Q @T dT = APdV +dQ: d IV Notas
1. \Euler's \Harmony" Between the Principles of
\Rest" and \Least Action" (The Conceptual Making
ofAnalyticalMechanics)",ArchiveforHistoryofExact
Sciences54(1999),67-86.
2. Dijksterhuisescreveuumadasmelhoreshistorias
daMec^anica: TheMechanizationoftheWorldPicture;
em Ingl^es, Oxford University Press, 1961; Princeton
UniversityPress,1986.
3. Ouseja, maquinasavaporn~ao s~ao boas, poiso
vaporesempredestrudoecaloradicionalegastopara
formarum novovapor. Assim,Carnotsup^osuma
ou-trasubst^anciaparaamaquinaideal;elepensouemar,
masemelhorpensaremumgasperfeito.
4. Aequac~aodaisotermaefacilmenteobtida:
LeidosGasesPerfeitos: PV =R T = constante:
Carnotn~ao conheciaa equac~ao da adiabatica, que
foiachadaporPoisson,porvoltade1824. Elaeobtida
resolvendoosistemadeequac~oes:
equac~aoconstitutiva: dU =C v dT LeideJoule: dU C v dT = PdV
LeidosGasesPerfeitos: PV =R T :
c
Asequac~oess~ao:
isoterma: PV = constante adiabatica: PV = constante=TV 1 = C p C v = C v +R C v =1+ R C v :
Afunc~aodosprocessosadiabaticosetransportarcalordeumafonteaoutra,semperdas;elesfornecemequac~oes
devnculo: T + V 1 2 =T V 1 3 T + V 1 1 =T V 1 4 ; V2 V = V3 V :
Osprocessosisotermost^emfunc~aodin^amica,poisproduzemtrabalhoas custasdecalorouvice-versa:
calorretiradodafontequente: Q=T
+ ln V 2 V 1 ;
calortransferidoparaafontefria: q=T ln V 3 V 4 =T ln V 2 V 1 ; trabalho: W =Q q=( T + T )ln V 2 V 1 : d
5. Seamaquinadiretaproduzirmenostrabalhoque
areversa,esoinverterofuncionamento dasmaquinas
para queoargumentodaprovapossaseraplicado. De
formaqueahipotesedeCarnotn~aoerestritiva.
6. Nocasodamaquinaavapor,oprecoepagoem
\moeda" de combustvel queimadopara formar vapor
eparaaquecerafonte quente.
7. Se for Q 0
< Q, e so inverter o funcionamento
dasmaquinasparaqueoargumentodaprovapossaser
aplicado. Deformaqueahipotesen~aoerestritiva.
8. Clausius nunca provou que a func~ao T e a
propria temperatura; ele so o mostra para o gas
per-feito. Posteriormente, em sua axiomatica da T
ermo-din^amica (1865), ele postula que T e a temperatura e
muda o nome valor de eq uival^encia da transformac~ao
para entropia, uma palavra que ele cunhou para
lem-brartransformac~ao(trope,emgrego)eenergia.
9. No caso de tr^es temperaturas, a e ci^encia
de-pende, tambem, de raz~oes dos volumes: As fontes
quente e intermediaria fornecem calor Q
+ e Q
i ,
res-pectivamente,ent~ao:
e ci^encia= W Q + +Q i = = (T + T i )ln V4 V 3 +(T + T )ln V5 V 6 (T + T i )ln V4 V 3 +T + ln V5 V 6 :
No caso tratado por Clausius, em que Q
+ = W, segue-seque V 4 V 3 V 5 V 6 = T Ti
e,ent~ao,ae ci^enciasodepende
dastemperaturas.
Pelo teorema,Q eW s~ao iguaispara as maquinas
construdascomdiferentessubst^anciasdetrabalho,logo
a e ci^encia e a mesma. Entretanto, volumes podem
aparecer na express~ao da e ci^encia, como acima. A
condic~ao para que o teorema seja valido e que as
raz~oes V4 V3 e V5 V6
sejam,respectivamente,iguaisnasduas
maquinas,mas n~ao necessariamente osvalores V
3 , V 4 , V 5 eV 6 tomadosseparadamente.
No caso de duas temperaturas, a situac~ao e mais
simples. O gra co de Carnot, para diferencas
in ni-tesimais de press~ao e de volume pode ser reduzido a
um ret^angulo, dV dP; logo a expans~ao de volume na
isoterma quente e igual a compress~ao de volume na
isoterma fria, logo, no ciclo in nitesimal, V
1 V 4 e V 2 V 3
; como ociclo nito pode serentendido como
compostodeciclosin nitesimais,omesmovaleparao
ciclototal, nito.
Agradecimentos
Agradeco a Professora Teresa Stuchi, colega e
amiga, pelas muitas discuss~oes e sugest~oes, que,
cer-tamente,melhoraram meuartigo.
Este trabalho contou com suporte nanceiro da
Fundac~ao UniversitariaJoseBonifacio(FUJB)ao
De-partamentodeFsicaMatematicadoInstitutodeFsica
daUFRJ.
Leitura Suplementar
Essa leitura da Termodin^amica e defendida nos
meus artigos seguintes, onde o leitor podera
encon-trar, tambem, ampla bibliogra a da Historia da T
er-modin^amica:
|SadiCarnot: HistoriasePre-Historias,Revista
daUSP,7(1990),61-78.
|A Path from Watt's Engine to the Principle
ofHeatTransfer,in:DagPrawitzeDagWesterst_ahl
(editores), Papers in Logic, Methodology and
Philo-sophy of Science, Kluwer Academic Publishers,
Dor-drecht,1994,425-437.
|TheConceptualImportofCarnot's Theorem
totheDiscoveryoftheEntropy,juntocomSimone
PinheiroPintoeDeisemarHollandaCassiano,Archive
forHistory ofExactSciences, 49(1995),135-161.
| Sadi Carnot: O Prometeu Moderno, in:
Il-deu de Castro Moreira (editor), Colec~ao Classicos da
Ci^encia, prefacioaovol.1,\Re ex~oessobre aPot^encia
MotrizdoFogo, deSadi Carnot",editoradaUFRJ,a
