MEC2348 Transferência de Calor II Departamento de Engenharia Mecânica

MEC2348

Transferência de Calor II

2015-2

Departamento de Engenharia Mecânica

Angela Ourivio Nieckele

• Termodinâmica: estuda as interações de energia

entre um sistema e a vizinhança (calor e trabalho). Trata de estados em equilíbrio. Não trata da natureza da interação.

2 Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio

• Fenômenos de Transporte

 Dinâmica dos fluidos: transporte de quantidade de movimento

 Transferência de calor: transporte de energia

 Transferência de massa: transporte de massa de espécies químicas

Observação:

1. Freqüentemente ocorrem simultaneamente

2. As equações básicas são muito semelhantes e as ferramentas matemáticas para resolver problemas são similares, porque os mecanismos moleculares são diretamente relacionados.

• Transferência de calor

: estuda os mecanismos

de transferência de calor, e relações para o

cálculo das taxas de transferência de calor.

• Exemplos: Projetos de paredes refratárias,

calor perdido em equipamentos, trocadores

de calor, etc.

• Modos de transferência de calor:

• condução, convecção e radiação

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Modos de transferência de calor

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Condução:

movimentos randômicos translacionais (difusão) de moléculas (fluidos) ou elétrons (sólidos)

Convecção:

é o processo de transferência de calor

efetuado pelo escoamento de fluidos (transferência de calor + escoamento de fluidos)

Radiação:

Todo corpo (sólido, líquido ou gás) com tempera-tura acima do zero absoluto, emite energia (ondas eletroma-gnéticas com velocidade da luz).

• Não é necessário um meio material para a propagação de energia.

Comentários

 A determinação da taxa de transferência de calor e taxa de

transferência de massa na interface entre fases em um sistema fluido é um dos grandes objetivos de um engenheiro. Em

geral, deseja-se determinar a transferência entre uma interface sólido-fluido, onde o fluido encontra-se em movimento em relação a superfície sólida estacionária, mas também existem aplicações onde a interface é entre um líquido e um gás.

 Se o fluido estiver em repouso, o problema torna-se ou um simples problema de condução de calor onde existe um

gradiente de temperatura normal a interface (superfície), ou um simples problema de difusão de massa onde existe um gradiente de concentração de massa normal a superfície.

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Comentários

 Contudo, se houver movimento de fluido, haverá transporte de energia e massa por gradientes potenciais e pelo movimento do fluido propriamente dito. Este complexo processo de

transporte é chamado de convecção. Este é o foco do presente

curso

 O maior desafio para resolver um problema de convecção, consiste em analisar uma situação que envolve uma

combinação da transferência de calor, transferência de massa e reações químicas.

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7

Propriedades dos Fluidos

 Matéria é formada por moléculas em movimento, colidindo. As

propriedades de matérias estão relacionadas com o comportamento molecular

 Pressão (P): resultante da colisão das moléculas com as paredes do recipiente

 Densidade (r): relaciona-se com a ocupação da

matéria

 Volume específico (n): relaciona-se com a

ocupação da matéria

 Densidade relativa (d): razão entre a densidade

da substância e a densidade da água (adimensional)         Pa m N área Força P 2         r 3 m kg m         r    n kg m 1 m 3 O 2 H d r r 

8

 Temperatura (T): é uma medida da energia cinética das

moléculas. Medida relativa T (o_C, o_{F) ou absoluta T (K, R)}

 Igualdade de temperatura  equilíbrio térmico

 Viscosidade absoluta(m): razão entre a tensão cisalhante(t)

e a taxa de deformação ( )  Viscosidade cinemática (u)  t  m   r m  u Fluidos

 Líquidos: força coesiva entre moléculas é forte.

Possui superfície livre

 Gases: força coesiva entre moléculas é fraca.

Ocupa todo recipiente.

9

 Para entender o comportamento da matéria seria

necessário considerar cada molécula, conhecendo a

história de cada uma, velocidade, aceleração e modos de iteração. Isto é inviável sem um tratamento estatístico, devido ao elevado número de moléculas.

m/

d d*

Molecular Continuo

 Na maioria das aplicações da engenharia, desejamos estudar

uma quantidade de volume de fluido contendo um grande

número de moléculas  hipótese do contínuo: admite-se que os fluidos são meios contínuos, esquecendo-se da sua estrutura molecular.

 Para demonstrar o conceito do contínuo, considere a

propriedade densidade:

 ex: densidade: r(x,y,z,t) = lim m/ dd*

10  A hipótese do contínuo falha quando as dimensões

envolvidas forem da ordem do caminho médio livre entre colisões moleculares:

 Distância média entre colisões de moléculas do ar nas CNTP:

 1, 6 x 10-5 cm

 ex. arraste em satélites. A Teoria cinética dos gases trata desta área.

z y x y e z e e x r        r z r z e e r r      ( ) r  ) , ( r  r  r e_r  

 Não importa qual a partícula que está no ponto em um determinado instante de tempo, mas sim em que condições a partícula que passar pelo ponto naquele instante possui.

 Conceito do contínuo está associado com o conceito de campo, i.e., todas as grandezas são definidas no espaço e no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc.

 O vetor posição r pode ser escrito em diferentes sistemas de coordenadas:

 Cartesiano:  Cilíndrico:  Esférico:

11

Método Lagrangeano versus Euleriano

 Método Lagrangiano: As equações de conservação

são aplicadas a um sistema arbitrário, o qual pode ser infinitesimal ou finito.

 A variável física é descrita para um determinada partícula  A variável independente é um “rótulo” da partícula, como por

exemplo, a coordenada da partícula em um determinado instante de tempo: é a posição da partícula P em t = 0  Esta função descreve como a função  da

partícula P varia com o tempo  Ex: policial seguindo carro

P r ) , (r_P t   

12

Método Lagrangeano versus Euleriano

 Método Euleriano: As equações de conservação são

aplicadas a um volume de controle arbitrário, o qual pode ser infinitesimal ou finito

 A variável física é descrita em relação a um ponto do espaço  Para cada instante t, a partícula em é uma partícula

diferente

 é a posição da partícula P em t

 Esta função descreve a função  na posição da partícula P em função do tempo

 Ex: controlador de tráfego

r r ) , (r t   

Vamos utilizar a formulação Euleriana, juntamente com o conceito de campo, i.e., todas as propriedades são definidas em função de sua localização no espaço e no tempo

 Derivada total de uma grandeza  (pressão, temperatura,

velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento (= como  varia com o tempo para uma determinada partícula

) , , , (x y z t







Descrição Euleriana

   w v u particula d t z d z t d dy y t d dx x t d dt t t d d          _{   }             ) ( . ) ( convectiva variação partícula da mov ao devido tempo o com variação de taxa fixa posição tempo o com variação de taxa w z v y u x t t D D           _{   } 13 Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio

i i x e x e x e x e                         3 3 2 2 1 1 grad 14  Vetor Velocidade:

 Produto escalar entre vetores:

 Operador gradiente: i i i i i z y x v e w e u e u e u e u e u e e u V        ₁ ₁  ₂ ₂  ₃ ₃      i i ij j i j i j i j j i i e B e A B e e A B A B A B A               Operador Divergente: i i ij i j j i i j j j i i x A x A e e x A A e x e A A                         div

15

Deseja-se medir variação da pressão com o tempo, em três situações diferentes:

1 - Estação Metereológica p=p(t)  dp dt

p t

 _

2 - Avião com velocidade

    V_a  u i_a v j_a w k_a  dp dt p t dt dt p x dx dt p y dy dt p z dz dt p t p xu p yv p zw a a a  _  _  _  _  _  _  _  _

3 - Balão sem propulsão, se deslocando com a velocidade do ar, do fluido, com velocidade V  u i v jw k dp dt p t dt dt p x dx dt p y dy dt p z dz dt p t p xu p yv p zw p t V p D p D t  _  _  _  _  _  _  _  _  _     Va i i x u t t D D ou V t t D D                    Derivada Material

16 V V a t V t D V D            _ z v y v x v t v t v t D v D y

V

v

u

v

w

a





_













_



_



_



_ z w y w x w t w t w t D w D z V w u v w a   _    _  _  _  _

Aceleração:

aceleração aceleração local temporal convectiva

i k k i i k k i k t u k k k k j ij i k t u k k j j i i t e u t V t D V D x e u u x u e u e e a e u x u e e u x e e u V V a k k k k                              _ ) ( ) (       k a j a i a a k w j v i u V _{x y z}               , Em coordenadas cartesianas: z u y u x u t u t u t D u D x V u u v w a   _    _  _  _  _ y e_j e_j e_i e_i x

17 Em coordenadas cilíndricas: z z r r z z r r e a e a e a a e u e u e u V                   , r u u u u u V a z u z r u r u r t u r t u t D u D r r r r r r r 2              _{      }     r u u u u u u V a r z u z r u r u r t u t u t D u D                               z u z r u r u r t u z t u t D u D z z z V u z u z u z u z a   _    _  _  _ _  _ V V a t V t D V D            _

Aceleração:

i k k i i k k i k t u k k x e u u x u e u e e a k        _ y e_r e_ e_ e_r r  x

18  Tipos de Campos:

 Campo escalar:

 massa específica: r(r ,t); temperatura: T(r ,t); pressão p(r ,t)

 Campo vetorial:

 velocidade: V(r ,t); aceleração: a(r ,t); força F(r ,t)

 Campo Tensorial:

 tensão: s(r ,t); gradiente de velocidade:  V(r ,t);

taxa de deformação D(r ,t)

Fluidos em Movimento

 O escoamento dos fluidos é determinado a partir do conhecimento da velocidade em cada ponto do

escoamento, isto é, a partir do campo das diversas grandezas relevantes.

Equações Governantes

da Mecânica

 massa

 quantidade movimento linear (2ª. Lei de Newton)

 quantidade de movimento angular

 energia (1ª. Lei da termodinâmica)

 massa de espécies químicas

 entropia

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Equações constitutivas:



Difusão de calor: lei de Fourier,



Difusão de massa: lei de Fick



Difusão de quantidade de movimento: lei da

viscosidade de Newton,



Transferência de calor por convecção: lei de

Newton,



Transferência de calor por radiação: lei de

Stefan-Boltzman

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Modos de transferência de calor

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Condução:

• Modo de transferência de calor em sólidos ou fluidos em repouso

T q  Κ grad

Lei de Fourier: fornece a taxa de transferência de calor por condução T₁ T₂ q”_x L x Area A x T A k q A q x T q x x x              A q q_x  x T₁ > T₂ calor irá de T₁  T₂

q_x = taxa de calor que cruza a área A (Watt ou Btu/h)

k = condutividade térmica [W /(K m)]

fluxo de calor (W/m2₎

22 Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio

Condução:

• Lei de Fourier:

• K= tensor condutividade térmica

T T q   Κ grad  Κ  k q j q i q q   _x   _y   _z  _k z T j y T i x T T                               z T k y T k x T k q_{x xx xy xz}                  z T k y T k x T k q_{z zx zy zz}                  z T k y T k x T k q_{y yx yy yz} devido a simetria: k_xy= k_yx ; k_xz= k_zx ; k_yz= k_zy

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Condução:

• Lei de Fourier:

 K= tensor condutividade térmica

T T

q   Κ grad  Κ 

o K é uma propriedade do material e depende de:

 temperatura, T

 densidade (gases, material sinterizado)

 direção (materiais anisotrópicos).

o Para materiais isotrópicos: k_xy= k_xz= k_yz= 0

em geral k_xx= k_yy= k_zz=k x T k q_x      y T k q_y      z T k q_z      T k q   

Modos de transferência de calor

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Convecção

• é o processo de transferência de calor efetuado pelo escoamento de fluidos (transferência de calor +

escoamento de fluidos)

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• É composto por dois mecanismos:

• Difusão (movimento molecular aleatório) • Advecção: (energia transferida devido ao

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Convecção

s A q q   ) (  _  h A T T q _{s s} 0         y fluido k c y T k q q

Lei de Newton: taxa de calor que cruza a superfície:

h = coeficiente de transferência de calor ou coeficiente

de filme de transferência de calor

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Classificação da convecção

• Convecção forçada: movimento do fluido é causado por agentes externos (bombas, ventiladores, movimento de um veículo, etc.)

• Convecção natural: movimento do fluido ocorre devido a campos externos como o gravitacional (forças de empuxo), agindo no gradiente de densidade induzido pelo próprio

processo de transporte (de massa ou energia).

• Convecção mista: natural + forçada

• Evaporação/Condensação: casos especiais de

convecção, onde a energia é transferida na forma de calor latente.



Lei de Newton de resfriamento: fornece a

taxa de transferência de calor por convecção

q"

=

h(T

_s

-

T

_¥

)

h - coeficiente de troca de calor por convecção (W/mT_s - temperatura da superfície 2K) T_- temperatura do fluido

Exemplo:

Em convecção natural, h_ar  10 W/m2_{K e h}

água  100 W/m2K

 q”_água> q”_ar (i.e., para um mesmo intervalo de tempo, um corpo na água perde mais calor do que um no ar)

T_ar=20 0_C

T_água=20 0_C

27

Convecção

 Ordem de grandeza de h (W/m2K):

 Convecção natural: gases - 2 a 25

líquidos - 50 a 1000  Convecção forçada: gases - 25 a 250

líquidos - 50 a 20000

Modos de transferência de calor

Radiação

• Todo corpo (sólido, líquido ou gás) com temperatura

acima do zero absoluto, emite energia (ondas eletromagnéticas com velocidade da luz).

• Não é necessário um meio material para a propagação de energia.

Lei de Steffan-Boltzman: Fluxo máximo de

radiação que pode ser emitida por uma superfície

corpo negro: q"

s

Ts4

s=5,67×10-8 _W/(m2_K4_{) → constante de Stefan Boltzmann}

T em temperatura absoluta

Radiação

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inc abs inc trans inc ref abs trans ref inc q q q q q q q q q q " " " " " " 1 " " " "        Radiação incidente:

• a → absortividade, 0≤ a≤1 (fração da energia absorvida) • r → refletividade, 0≤ r≤1 (fração da energia refletida)

• t → transmissividade, 0≤ t≤1 (fração da energia transmitida) → Conservação de energia: art1

Radiação

Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio 31

Emissão de corpo real:

corpo cinza: ea(Lei de Kirchhoff)

e → emissividade, 0≤ e≤1

4

" T_s

q 

e

s

– Aplicações: espaçonaves, câmaras de combustão; coletor solar

) ( ₁4 ₂4 12 2 12 A T T q   s  12

 _{= fator de forma ou fator de configuração, depende:}

- propriedades

- geometria (como as superfícies se enxergam) troca de calor entre duas superfícies

Difusão de Massa

31 Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio

Lei de Fick:

w₁ (x) > w₁ (x+dx)

Por exemplo: hidrogênio se difunde através de uma camada estagnada de oxigênio

rr₁ r₂ = massa específica total

D₁₂ = difusividade de massa da espécie 1 na espécie 2

fluxo de difusivo de massa [kg/(sm2_)]

Fração em massa da espécie 1

A M m_1x  1x x A D M _x     1 12 1 r w  x

M₁ taxa de difusão da espécie 1 que cruza a área A

(kg/s)

Lei de Fick:

Modo de transferência de massa difusivo

r r w 1

1 

32

Difusão de calor e massa para fluidos

binários:

• Para um fluido puro em regime permanente, as taxas na qual calor e massa se difundem em relação a velocidade média

baseada na massa podem ser determinados com precisão como sendo proporcionais aos gradientes de temperatura e de fração em massa, respectivamente.

• Se os gradientes forem muito grandes, as relações lineares perdem precisão. Da mesma forma, se o fluido está sujeito

simultaneamente a difusão tanto de calor como de massa, os dois fluxos influenciam um ou outro, de tal forma que podem ser

previstos por uma combinação linear dos forçamentos dados pelos gradientes de temperatura e fração em massa. Esta interdependência é devido ao movimento das partículas que

transferem massa, mas também transferem energia e vice-versa.

33 • Expressões gerais para um fluido com multi-componentes são

muito complexas, mas para o caso de um fluido binários, os fluxos difusivos de calor e massa podem ser dados por







(





                      Dufour efeito difusão term o iva interdifus convecção Fourier de condução m M M M T R m H H T k q                ₁ 2 1 2 1 2 1 a

• onde H₁ e H₂ são as entalpias específicas de cada espécies, M₁, M₂ são as

massas moleculares de cada espécie e M é a massa molecular da mistura. R é a constante do gás e a é o fator de difusão térmica.

• O termo de convecção interdifusiva é normalmente desprezível. Indica que a transferência de massa difusiva induz a um fluxo de energia, mesmo quando o fluxo líquido difusivo é nulo, mas as partículas de massa das diferentes espécies carregam quantidades diferentes de energia a mesma temperatura.

• O termo de difusão chamado efeito de Dufour (descoberto por Dufour em 1873) indica que o fluxo de massa difusiva induz a um fluxo de energia e depende do fator de difusão térmica a. Este termo, também é normalmente desprezado, porém pode ser importante quando, por exemplo, hélio é soprado através de uma superfície porosa em uma corrente de gás quente, com o objetivo de proteger a superfície do gás quente.

34

onde p é a pressão e e são forças de corpo

 

(



                                         Soret de efeito térmica difusão corpo de força de difusão pressão de difusão Fick de difusão T T D B B T R D M M p p D M M D m _                            r w w w w r w1w2 12 a 2 1 12 2 1 2 1 1 12 2 1 1 12 1 1 B B2

• O termo de difusão de pressão indica que o movimento líquido da espécie 1

pode ocorrer se um gradiente de pressão é imposto. Apesar de ser normalmente desprezado, pode ser importante em escoamentos com rotação (swirl) onde

altíssimos gradientes de pressão podem ser encontrados, como é o caso de centrífugas

• O termo de difusão de força de corpo é diferente de zero somente quando forças de corpo diferentes atuam nos dois componentes. Isso pode ocorrer na

tecnologia de plasma, onde o fluido interage com forças elétricas e magnéticas e em sistemas ionizados. Se o campo gravitacional for o único responsável pelas forças de corpo, então o termo de difusão de força de corpo desaparece.

• O termo de difusão térmica, chamado de efeito Soret, descreve a tendência de uma espécie de massa difundir na presença de um imposto gradiente de

temperatura, e é desprezível a menos que o gradiente encontrado seja muito grande. Este efeito tem sido utilizado na separação de isótopos na coluna de Clusius-Dickel, a qual combina convecção para alcançar a separação.

35

Lei de Newton de viscosidade

O tensor extra é proporcional a taxa de deformação do elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de compressão ou expansão): y u A F F_{ext yx s}     m y u A F_yx yx _   

m

t

fluido Newtoniano Força  Tensão  m = viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica, propriedade do fluido Lei de Newton:

36

Vetor tensão

 A dependência de t_n em n pode ser obtida através de um balanço de forças em um tetraedro com a altura h 0.

 Da 3ª. Lei de Newton

 então

0

0        

 F   t_n dA t_x dA(n e_x ) t_y dA(n e_y ) t_z dA(n e_z )

 O vetor tensão t_n é a força de contato por unidade de área que um material dentro de (t) faz no material fora de (t).

 Hipótese de Cauchy: t_n = t_n (n) n t  z z y y x x t ; t t ; t t t_   _   _  



t e t e t e



n σ n ) e (n t ) e (n t ) e (n t t_n  _x  _x  _y  _y  _z  _z   _{x x}  _{y y}  _{z z}   e_x e_y e_z

37

Tensor tensão

 Então substituindo as tensões nos planos perpendiculares as direções x, y e z, tem-se  sé o tensor tensão:  Note que: z z y y x xe t e t e t σ    ] t [e e ] t [e e ] t [e e t ] t [e e ] t [e e ] t [e e t ] t [e e ] t [e e ] t [e e t z z z z y y z x x z y z z y y y y x x y x z z x y y x x x x                   ] t [e e e ] t [e e e ] t [e e e ] t [e e e ] t [e e e ] t [e e e ] t [e e e ] t [e e e ] t [e e e σ z z z z z y y z z x x z y z z y y y y y y x x y x z z x x y y x x x x x                                        z z z y z x y z y y y x x z x y x x t e t e t e t e t e t e t e t e t e σ t_z t_-x t_-z t_y t_x t_{-y e} y e_z e_x e_z t_z e_y e_x  A matriz s

38

Tensor tensão

 Substituindo as tensões nos planos perpendiculares as direções x, y e z, tem-se  Definindo  o tensor tensão sé :            zz zy zx yz yy yx xz xy xx s s s s s s s s s σ etc ; t e ; t e ; t e_{x x xy y x xz z x} xx   s   s   s

 1º subscrito indica a superfície do cubo na qual a tensão atua, enquanto que o 2º índice

indica a direção da tensão

xx s yx s yy s y x z yz s zz s xz s xy s zx s zy s

39

Fluido em repouso:

 I é a matriz identidade, que também pode ser representada pelo operador delta de kronecker Compressão isotrópica: I σ P P P P P                             1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 P xx  s P xx  s P zz  s P yy  s P yy  s P zz  s y x z j i se j i se ij     0 1 

40

Fluido em movimento:

Surge uma tensão adicional: s PI t,onde té o tensor extra-tensão (extra-tensão de tensões viscosas)

xx xx P t s    yx yx t s  yy yy P t s    y x z yz yz t s  zz zz P t s    xz xz t s  xy xy t s  zx zx t s  zy zy t s 























zz zy zx zy yy yx xz xy xx

t

t

t

t

t

t

t

t

t

τ

41

Taxa de deformação angular:

yx yx t yx yx D y u x v t y t du x t dv 2 0                         a  a   lim tan tan 

Taxa de deformação linear:

xx xx t xx xx D x u t x t du                 0 lim  =dv t =(v/x)xt =du t =(u/y)yt v (x) u (y) u (x) u (y) =dv t =(v/y)yt =du t =(u/x)xt v (y)

Taxa de deformação volumétrica:

V z w y v x u zz yy xx      _{ }                      

42

Taxa de Deformação: D

                                                                                             z w y w z v x w z u z v y w y v x v y u z u x w y u x v x u 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D

Diagonal: taxa de deformação linear do elemento de fluido

43

Gradiente de Velocidade:



v

Em coordenadas cartesianas: dr = e_x dx + e_y dy + e_z dz e v = e_x u + e_y v + e_z w I V 3 2 V V  T 

  [grad  (grad ) ]  div

 (                                                                  z w z v z u y w y v y u x w x v x u w v u z y x V V   grad                                      z w y w x w z v y v x v z u y u x u V)T (grad  ;             1 0 0 0 1 0 0 0 1 I _ij d v = d r •  v

44

Taxa de Deformação: D

                       e vorticidad deformação de taxa 2 1 2 1    _{  }     _{  }   T T V V V V V ( ) ( )



T



V

V

(

)

2

1

D













                                                                                             z w y w z v x w z u z v y w y v x v y u z u x w y u x v x u 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D

45

Taxa de rotação:

(



(



z yx yx t yx yx W x v y u t y t du x t dv w          a  a    _                       2 1 2 1 2 1 0 lim tan tan  =du t=(u/y)yt v (x) u (y) =-dv t =-(v/x)xt

46

Vorticidade: W

Vorticidade                        e vorticidad deformação de taxa 2 1 2 1    _{  }     _{  }   T T V V V V V ( ) ( )    _{  }  _{V ( V)}T W   2 1                                                                                                      0 0 0 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 x y x z y z y w z v x w z u z v y w x v y u z u x w y u x v w w w w w w W

w_x, w_y e w_z são taxas de rotação médias (velocidades angulares)

47

Lei de Newton de viscosidade

O tensor extra é proporcional a taxa de deformação do elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de compressão ou expansão):

onde

 Viscosidade:

 m : primeiro coeficiente de viscosidade molecular, viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica

 l – 2/3 m : segundo coeficiente de viscosidade

 l 0: para escoamento de fluido incompressível

  : viscosidade global

 em geral  0para escoamentos compressíveis, com

exceção de escoamento com ondas de choque e explosões

I D τ  V         m  m 3 2 2    _{  }  _{V ( V)}T D   2 1



Lei de Newton em coordenadas cilíndricas

48 V 3 2 r u 2 r u r u r u _r rr r r r    m    m  t              m  t  t _{ }   , V 3 2 r u r u 2 r u z u_{r z r} zr rz    m            m  t            m  t  t , _  V 3 2 z u 2 r u z u _z zz z z z    m    m  t             m  t  t_{ }  ,  notação indicial ij k k i j j i ij x u 3 2 x u x u  m m t                 

Fenômenos de Transporte

49 Lei de Fourier: x T k q_x      (  x h x T cp cp k         r a r r Lei de Fick: (  x D x D M _x         1 12 1 12 1 r w r w 

Lei de Newton de viscosidade: (  ( 

y u y u y u          r u r r m m t

akrcp = difusividade térmica, u = mr= viscosidade cinemática

Razão entre difusividades: No. de Prandtl  térmica de difusivida movimento de quantidade de de difusivida   a u Pr No. de Schmidt  2 1

12 difusividade da espécie na espécie

movimento de quantidade de de difusivida D   u Sc No. de Lewis  térmica de difusivida espécie na espécie da de difusivida D₁₂ 1 2   a Le Le = Pr/Sc

50  Regime permanente:  V = V(r ); isto é  ( ) /  t = 0  Regime transiente:  V=V(r ,t) Caso geral:  ( ) /  t ≠ 0

Tipos de Escoamento

 Escoamento uniforme: a velocidade é a

mesma em qualquer ponto do escoamento

 Escoamento não uniforme: a velocidade

Dimensão

 Uni-dimensional: v depende somente de uma

coordenada espacial

 Bi-dimensional: v depende somente de duas

coordenadas espaciais

 Tri-dimensional: v depende das três coordenadas

52

 Fluido perfeito, sem viscosidade:

t ≈ 0 ( )

 Fluido viscoso : t≠ 0

0

 

Caracterização dos Fluidos quanto ao seu

comportamento sob esforços normais compressivos:

 Compressíveis: quando há variação apreciável de volumes

devido à compressão. Gases em geral se comportam

assim. r ≠ constante (M>0,3), onde M= V/c é o número de Mach; c = velocidade do som

 Incompressíveis: quando a variação do volume é pequena

para grandes compressões. A maioria dos líquidos se comporta desta forma. r≈ constante

53 Regime de Escoamento:

 Escoamento laminar: movimento regular

 Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no escoamento, causando um movimento de mistura. O turbilhamento provoca um regime não

permanente. Porém o tempo característico de

flutuação turbulenta < < escala de tempo que define o regime permanente ou transiente

•Se o escoamento é laminar, eventuais perturbações serão amortecidas e desaparecerão (Fig. a). Durante a transição, picos esporádicos de turbulência surgirão (Fig. b). Durante o

regime turbulento, o escoamento flutuará continuamente (Fig. c).

54 

Experiência de Reynolds

Laminar: filamento de corante não se mistura Turbulento: o corante mistura rapidamente O escoamento turbulento

ocorre a altas velocidades. A transição é caracterizada pelo no. de Reynolds

m r V D 

Re

 Reynolds altos  esc. turbulento