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AULA 42 ‐‐‐‐APLICAÇÕES DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
OBJETIVOS:
— APLICAR A TEORIA DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES A PÊNDULOS
42.1 ‐‐‐‐ PÊNDULO SIMPLES:
O pêndulo simples é constituído por uma partícula de massa suspensa por uma corda inextensível de comprimento e de massa desprezível. Quando solta de uma posição que faz um ângulo com a vertical, sob ação da força da gravidade, a partícula oscila sob ação da força da gravidade no plano vertical, descrevendo um arco de círculo em torno da posição de equilíbrio que é a vertical. A Figura 42‐1 mostra o pêndulo e as forças que atuam nele.
Figura 42‐‐‐‐1111: O pêndulo simples
A diferença entre a tensão na corda e a componente do peso da partícula na direção radial produz a força centrípeta necessária para que a partícula tenha movimento circular no plano vertical. A componente tangencial do peso da partícula obriga o pêndulo a sempre voltar para a posição de equilíbrio e faz o papel da força restauradora. Se medirmos o deslocamento angular , relativo à posição de equilíbrio, no sentido trigonométrico, a força restauradora terá sempre sentido oposto ao do aumento do ângulo ; assim, podemos escrever para ela:
576 Como a força restauradora não é proporcional ao ângulo , o movimento do pêndulo não é um movimento harmônico simples. Com efeito, a equação do movimento do pêndulo é:
Esta equação diferencial não é linear e requer métodos especiais para ser resolvida. Entretanto, se o ângulo for pequeno, podemos escrever que (em radianos!). Logo, o deslocamento da partícula ao longo do arco é . Podemos dizer que:
isto é, a força pode ser considerada como proporcional ao deslocamento e o movimento, como no harmônico simples.
A tabela abaixo mostra vários valores de , e a diferença percentual entre esses valores:
(graus) (radianos) Dif. (%)
0 0.0000 0.0000 0.00
5 0.0873 0.0872 0.11
10 0.1745 0.1736 0.51
15 0.2618 0.2588 1.14
A equação do movimento do pêndulo fica, então, com essas aproximações:
ou:
ou, ainda,
cuja solução é:
em que é a amplitude do movimento.
O período do pêndulo simples em movimento harmônico simples independe da massa dele. Com efeito, da definição de período:
577 Essa equação mostra também que o período independe da amplitude do movimento (desde que ela seja pequena!). Embora o movimento oscilatório do pêndulo diminua com o tempo por causa da ação de forças dissipativas, o período continua praticamente constante. Por isso, ele foi o primeiro mecanismo usado em relógios mecânicos. Em um relógio de pêndulo, a perda de energia é compensada por um mecanismo que foi inventado por Christian Huygens (1629 – 1695).
Para grandes amplitudes, o período do pêndulo pode ser colocado na forma:
o que mostra que o período depende da amplitude.
Atividade 42.1: Procure na internet informações sobre C.Huygens e sobre o pêndulo isócrono, que é um pêndulo cujo período independe da amplitude de oscilação, qualquer que seja ela.
42.2 ‐‐‐‐ O PÊNDULO DE TORÇÃO
O pêndulo de torção consiste em um disco suspenso por um fio inextensível e de massa desprezível e preso ao centro de massa do disco (Figura42‐2). Se o disco é girado de um ângulo a partir de sua posição de equilíbrio (indicada pela linha OP da figura), o fio é torcionado dando origem a um torque restaurador que tende a fazer o fio voltar à sua forma original.
Figura 42‐‐‐‐2222: O pêndulo de torção
Para pequenas torções, o torque restaurador é proporcional ao deslocamento angular do disco e podemos escrever:
578 em que é a constante de torção do fio, que depende das propriedades dele. Como:
em que é o momento de inércia do disco relativo ao centro de massa, a segunda lei de Newton para a rotação nos dá:
ou:
(42.2) que mostra que, para pequenas deformações do fio, o movimento do pêndulo é harmônico simples.
A solução da equação acima é:
(42.3) sendo a ampitude do movimento e dado por:
(42.4) O período do pêndulo é:
Em geral, o pêndulo pode ser qualquer corpo laminar, isto é, cuja espessura seja muito menor que as suas outras dimensões.
Exemplo 42.1: Uma barra fina de massa 0,1 kg e comprimento m forma um pêndulo de torção. Ela é colocada para oscilar e verifica‐se que o período é de 2,0 s. Substitui‐se, então, a barra por uma placa triangular equilátera, que é colocada para oscilar. Seu período é medido, dando como resultado 6.0 s. Calcule o momento de inércia da placa, relativamente ao eixo que coincide com o fio do pêndulo.
Solução: O momento de inércia da barra, relativo a uma eixo perpendicular a ela e passando pelo seu centro de massa é: .Então:
579 Mas, da expressão do período, a relação entre o período da barra para o da placa triangular é:
Então:
42.3 ‐‐‐‐ O PÊNDULO FÍSICO
O pêndulo físico consiste em um corpo posto para oscilar preso por de seus pontos, o qual chamamos de pivô, podendo se mover no plano vertical. A Figura 42‐3 mostra um corpo rígido preso pelo ponto P, podendo girar sem atrito em torno de um eixo horizontal passando por P.
Figura 42‐‐‐‐3333: O pêndulo físico
Em equilíbrio, a linha OP que liga P ao centro de massa C do corpo é vertical. Quando o corpo é tirado dessa posição, PC faz com a vertical um ângulo e a força peso do corpo exerce sobre ele um torque relativo a P, que tende a tornar PC vertical. O torque é dado por:
em que é o módulo do vetor . O sinal negativo indica que o torque se opõe ao deslocamento do corpo. O torque é proporcional a mas, para pequenos valores de , podemos escrever:
580 Então, tal como no pêndulo de torção, a equação de movimento de rotação para o corpo é:
ou:
(42.5) O período de oscilação do pêndulo físico é:
Para amplitudes grandes, o pêndulo físico continua a ter movimento harmônico, mas ele não é harmônico simples.
A equação acima pode ser resolvida para o momento de inércia, dando:
que permite obter o momento de inércia do corpo por medida do período de oscilação.
Notemos que o pêndulo simples é um caso particular do físico. Com efeito, como toda a massa do pêndulo simples está concentrada na extremidade livre dele, o seu momento de inércia relativo ao ponto de suspensão é ; o centro de massa do pêndulo simples coincide com a massa . Então, . Assim, o período do pêndulo é:
Atividade 42.2: Encontre o comprimento de um pêndulo simples cujo período seja o mesmo do pêndulo físico.
Exemplo 42.2: Um disco homogêneo de raio é suspenso por um pivot (P) preso em sua borda. Ache o período de oscilação do disco para pequenas amplitudes e o centro de oscilação dele.
581 Figura 42‐‐‐‐4: O pêndulo físico formado por um disco
Solução: O momento de inércia do disco, em relação a um eixo perpendicular ao seu plano e passando pelo seu centro (que também é seu centro de massa) é:
Como o pivot está à distância do centro de massa, o teorema dos eixos paralelos nos dá que:
O período é:
O pêndulo simples que possui o mesmo período tem um comprimento:
Atividade 42.3: Se aplicarmos o pivot no ponto O situado à distância do centro do disco, qual será o período de oscilação dele?
A Atividade 42.3 ilustra uma propriedade geral do centro de oscilação O. Quando o pivô do pêndulo é colocado no seu centro de oscilação relativo a um ponto dado (por exemplo P), o período de oscilação não muda e este ponto (P) passa a ser o centro de oscilação relativo a O.
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RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
Atividade 42.1
Utilize o fórum de discussão para compartilhar os resultados de sua busca. Atividade 42.2
Igualando os períodos dos pêndulos, temos:
de onde tiramos:
Essa atividade nos mostra que, no que se refere ao período do pêndulo físico, sua massa pode ser considerada como concentrada em um ponto Q cuja distância ao ponto de suspensão do pêndulo é . Esse ponto Q é denominado centro de oscilação do pêndulo físico. Sua localização depende do ponto de suspensão; para cada ponto O de suspensão, temos um centro de oscilação Q cuja posição obedece à equação acima.
Atividade 42.3
Nesse caso, temos e:
O período é:
tal como no Exemplo 42.1.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
E42.1 Um pêndulo simples tem comprimento L = 1.00 m e completa 100 oscilações em 201 segundos em um certo local. Qual é o valor da aceleração da gravidade neste local?
