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DETERMINANTE 2016
1. (Uerj 2016) Considere uma matriz A com 3 linhas e 1 coluna, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, de cima para baixo.
Considere, também, uma matriz B com 1 linha e 3 colunas, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, da esquerda para a direita.
Calcule o determinante da matriz obtida pelo produto de A B.
2. (Feevale 2016) O determinante da matriz
sen(x) 0 1 1 sec(x) 0 0 0 cot g(x) é a) 0 b) 1 c) sen(x) d) cos(x) e) tg(x)
3. (Uece 2016) Sobre a equação detM 1, na qual M é a matriz
1 2 x 2 x 1 x 1 x e detM é o determinante da matriz M, pode-se afirmar corretamente que a equação
a) não possui raízes reais.
b) possui três raízes reais e distintas.
c) possui três raízes reais, das quais duas são iguais e uma é diferente. d) possui três raízes reais e iguais.
4. (G1 - ifal 2016) O valor do determinante abaixo: cos x sen x sen x cos x é: a) 1. b) cos 2x. c) sen 2x. d) tg 2x. e) cos x2 sen x.2
www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 6 5. (Uern 2015) Considere a seguinte matriz A(a )ij 3X3:
2 2 2 1 log 8 1 2 4 3 log 4 1
Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é a) 8.
b) 9. c) 15. d) 24.
6. (Udesc 2015) Considerando que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e inversível, se
2
det(3A)det(A ), então det(A) é igual a: a) 9
b) 0 c) 3 d) 6 e) 27
7. (Acafe 2015) Sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, marque com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
( ) Uma matriz A é quadrada de ordem 4, e seu determinante vale 3, então, o valor do determinante da matriz 2A é 48. ( ) O sistema 2x 3y 5 8x ay b
não admite solução para a12 e b20.
( ) Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, det A0. ( ) Para quaisquer matrizes A e B tais que existam os produtos AB e BA, tem-se
2 2 2
(AB) A 2AB B .
A sequência correta, de cima para baixo, é: a) V - F - V - F
b) V - F - V - V c) F - V - F - V d) F - V - F - F
8. (Fgv 2015) Os elementos da matriz A(a )ij 3 3 representam a quantidade de voos diários apenas entre os aeroportos i, de um país, e os aeroportos j, de outro país. A respeito desses voos, sabe-se que:
- quando j2, o número de voos é sempre o mesmo; - quando i j, o número de voos é sempre o mesmo; - quando i3, o número de voos é sempre o mesmo; - a110, e det A0.
De acordo com as informações, é correto afirmar que o conjunto solução com as possibilidades de a11 é igual a
a) {a ,a21 13} b) {a ,a21 23} c) {a22,a13}
www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 6 d) {a ,a21 22}
e) {a ,a13 22}
9. (Ifsul 2015) Sejam as matrizes A2 2 , onde
j ixj i 2 2 ,se i j a , B I , j ,se i j e I é a matriz
identidade. Sabendo que A é a matriz transposta de A, qual é o determinante de t (AtB)? a) 11
b) 11 c) 9 d) 9
10. (Pucrs 2014) Dadas as matrizes A
1 2 3
e 4 B 5 , 6 o determinante det A B
é igual a a) 18 b) 21 c) 32 d) 126 e) 72011. (Uece 2014) Uma matriz quadrada P(aij) é simétrica quando aijaji. Por exemplo, a matriz 2 3 5 3 7 4 5 4 1 é simétrica. Se a matriz x y x y xy M 1 y x 2y 6 x 1 1
é simétrica, pode-se afirmar corretamente que o determinante de M é igual a
a) – 1. b) – 2. c) 1. d) 2.
12. (Uepb 2014) Se x e y são números reais não nulos e
2 2 2 x y x y x 0 x 0, 2 3 5 então o valor de 2x3y é: a) 10 b) 4 c) 7 d) –5 e) 5
www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 6 Gabarito: Resposta da questão 1: Desde que 1 A 2 13 e B
1 2 13 ,
temos
1 1 2 13 A B 2 1 2 13 2 4 26 . 13 13 26 169 Portanto, observando que a matriz A B apresenta filas proporcionais, podemos concluir que det(A B) 0.
Resposta da questão 2: [B]
sen(x) 0 1
1 cos(x)
1 sec(x) 0 sen(x) sec(x) cot g(x) sen(x) 1
cos(x) sen(x) 0 0 cot g(x) Resposta da questão 3: [C] Tem-se que 2 3 2 1 2 x det M 1 2 x 1 1 x 1 x x 2x 2x x 1 4x 1 x (x 1) 0.
Logo, a equação possui três raízes reais, das quais duas são iguais a x0 e a outra é x1. Resposta da questão 4: [A] 2 2 cos x sen x cos x sen x 1 sen x cos x Resposta da questão 5: [C]
Reescrevendo a matriz A, tem-se:
2 2 2 1 log 8 2 1 3 1 2 4 1 2 4 3 log 4 1 3 2 1
O determinante da mesma será: det A 4 12 6 18 16 1
det A 15
www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 6 Resposta da questão 6:
[E]
Pelo Teorema de Binet, sabemos que det(A B) det(A) det(B), com A e B sendo matrizes invertíveis. Além disso, temos det(kA)kndet(A), em que k é um número real e n é a ordem da matriz invertível A. Portanto, segue que
2 3 2
det(3A) det(A ) 3 det(A) det (A) det(A) (det(A) 27) 0 det(A) 27. Resposta da questão 7: [A]
VERDADEIRA. Se det A3, então det(2A)2ndet A, sendo n a ordem da matriz. Assim, tem-se: det(2A)24 3 48.
FALSA. Se a12 e b20 o sistema será possível e indeterminado, pois:
2x 3y 5 8x 12y 20
sistema
8x 12y 20 8x 12y 20 possível e indeterminado
Ou ainda: 2x 3y 5 2 3 0 2a 24 0 a 12 8x ay b 8 a
VERDADEIRA. A condição necessária para a existência da inversa de uma matriz quadrada é que deu determinante seja diferente de zero.
FALSA. O produto notável não se aplica pois, na multiplicação de matrizes a matriz AB não é necessariamente igual a matriz BA.
Resposta da questão 8: [A] Tem-se que A . α α φ β α γ α α α
Logo, sabendo que det A0 e a110, pela propriedade das filas paralelas, deve-se ter β α ou φ α . Portanto, o resultado é a11{a , a21 13}.
www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 6 Resposta da questão 9:
[A]
Determinando a matriz A de acordo com a lei de formação proposta, temos:
1 2 2 2 2 2 2 4 A 1 4 1 2
Considerando que B é a matriz identidade de ordem 2, temos: 1 0 B 0 1 Portanto,At B 2 1 1 0 3 1 4 4 0 1 4 5
E o determinante de (AtB) será dado por: 3 1 3 5 4 1 11 4 5 Resposta da questão 10: [C]
A B 1 4 2 5 3 6 32 e det(A B) 32 Resposta da questão 11: [B] x y x y xy x y 1 6 x y 1 M 1 y x 2y x y y x x 1 x y 6 6 x 1 1 xy 2y 1 x 1 2y Resolvendo o sistema, temos: x = 3 e y = 2.
Portanto, 5 1 6 det(M) 1 1 4 2. 6 4 1 Resposta da questão 12: [E]
Desenvolvendo o determinante da equação, temos:
3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3x 5xy 3x (x y ) 2x y 0 3x 5xy 3x 3xy 2x y 0 5xy 3xy 2x y 0 xy( 5 3y 2x) 0
Como o produto
