Álgebra Linear III
i
ÍNDICE
MATRIZES
Definição 1
Igualdade 2
Matrizes Especiais 2
Operações com Matrizes 3
Classificação de Matrizes Quadradas 9
Operações Elementares 11
Matriz Equivalente por Linha 11
Matriz na Forma Escalonada 11
Aplicações de Operações Elementares 12
Exercícios 15
Respostas 18
Apêndice A – Determinante 19
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Definição 24
Matrizes Associadas a um Sistema Linear 24
Classificação de Sistemas 25
Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana 25
Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 26
Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 28
Sistema Homogêneo 37
Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes 38
Exercícios 39
Respostas 40
ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA
Definição 41
Subespaço Vetorial 42
Combinação Linear 43
Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 44
Vetores Linearmente Independentes e Dependentes 45
Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 46
Operações com Subespaços Vetoriais 47
Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada 49
Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base 50
Exercícios 51
Respostas 54
ii
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Transformação Linear 58
Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 59
Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 62
Transformação Linear Injetora 64
Transformação Linear Sobrejetora 64
Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo 65
Matriz Associada a uma Transformação Linear 66
Operações com Transformações Lineares 68
Exercícios 69
Respostas 73
Apêndice C – Teoremas 74
PRODUTO INTERNO
Definição 76
Norma de um Vetor 76
Distância entre dois Vetores 77
Ângulo entre dois Vetores 77
Ortogonalidade 77 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeção de um Vetor sobre um
Subespaço. 77
Complemento Ortogonal 80
Exercícios 81
Respostas 83
Apêndice D – Teoremas 84
AUTOVALORES E AUTOVETORES
Definição 86
Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços 87
Multiplicidade de Autovalores 89
Diagonalização de Operadores Lineares 90
Exercícios 91
Respostas 91
Apêndice E – Teoremas 92
ESPAÇOS VETORIAS COM PRODUTO INTERNO E OPERADORES LINEARES
Operador Adjunto 93
Operador Auto-Adjunto 93
Operador Ortogonal 93
Operador Normal 93
Exercícios 94
Apêndice F – Teoremas 95
BIBLIOGRAFIA
961
MATRIZES
Definição
Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.
=
mn m
m
n n
a ... a a
... ... ... ...
a ... a a
a ... a a
A
2 1
2 22
21
1 12
11
Notação: A=(aij)m×n com i=1,2,...,me j=1,2,...,n ij
a - elemento genérico da matriz A
i - índice que representa a linha do elemento aij j - índice que representa a coluna do elemento aij
n
m× - ordem da matriz. Lê-se “m por n”. Representações: A=
( )
A=[ ]
A=Exemplos:
1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 8×8.
2) A matriz A=(aij)2×3 onde aij =i2 + j é 2 3 4 5 6 7
.
3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas:
cidade A cidade B cidade C cidade D
0 1036 2704
957
1036 0
3572 1244
2704 3572
0 638
957 1244 638
0
D cidade
C cidade
B cidade
A cidade
Esta é uma matriz 4×4(quatro por quatro).
4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina distribuída nas três lojas encarregadas da venda.
shorts blusas saias jeans
25 70 120 30
60 0 100 70
40 25 80 50
III loja
II loja
I loja
2
Igualdade
Duas matrizes de mesma ordem A=(aij)m×n e B=(bij)m×n são iguais quando aij =bij para todo m
i=1,2,..., e para todo j=1,2,...,n.
Matrizes Especiais
1. Matriz Linha
Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: A=(aij)1×n
Exemplo:
(
−8 3 4)
1×32. Matriz Coluna
Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: A=(aij)m×1
Exemplo: 1 3 1 9 3
×
3. Matriz Nula
Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, 0
= ij
a para todo i=1,2,...,m e para todo j=1,2,...,n. Notação: 0m×n
Exemplo:
3 2 0 0 0
0 0 0
×
4. Matriz Quadrada
Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é, m=n.
Notação:
=
= ×
nn n
n
n n
n n ij
a a
a
a a
a
a a
a
a A
... ... ... ... ...
... ...
) (
2 1
2 22
21
1 12
11
Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde i= j para todo i, j=1,2,...,n.
Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde i+ j=n+1 para todo i, j=1,2,...,n.
Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA. nn
n
k
kk a a a
a
trA=
∑
= + + + =... 22 11 1
Exemplo:
− =
× 9 1 10
0 7 5
4 3 2
3 3
A
Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10.
18 9 7 2+ + = =
3
5. Matriz Diagonal
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, aij =0quando i≠ j para todo i, j=1,2,...,n.
Exemplo:
3 3 3 0 0
0 1 0
0 0 2
×
6. Matriz Identidade
Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal forem todos iguais a um.
Notação: In Exemplo:
2 2 2
1 0
0 1
× =
I
7. Matriz Triangular Superior
Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, aij =0quando i> j para todo i, j=1,2,...,n.
Exemplo:
− −
× 2 0 0 0
0 1 0 0
7 6 5 0
4 3 2 1
4 4
8. Matriz Triangular Inferior
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, aij =0quando i< j para todo i,j=1,2,...,n.
Exemplo:
−3 0 × 7
0 8 4
0 0 1
3 3
Operações com Matrizes
1. Adição
Sejam A=(aij)m×n e B=(bij)m×n matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma C =A+B tal que C=(cij)m×n e cij =aij +bij para todo i=1,2,...,m e para todo j=1,2,...,n.
Exemplos:
1) Sejam
−
=
4 3 5
1 2 1
A e
−
− =
5 5 , 0 4
5 , 2 7 0
B .
Então
− =
+ +
−
+ − − +
= +
9 5 , 3 1
5 , 1 5 1 5
4 5 , 0 3 4 5
5 , 2 1 7 2 0 1 B
4 2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e
transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes. preço custo preço custo
compra transporte compra transporte
2 5
8 12
15 3
C substância
B substância
A substância
5 3
9 9
8 6
C substância
B substância
A substância
Fornecedor 1 Fornecedor 2
A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias A, B e C é dada por:
7 8
17 21
23 9
Propriedades da Operação de Adição
A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem, (A+B)+C= A+(B+C). A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, A+B=B+ A.
Dem.: Considere matrizes de ordem m×n, A+B=C e B+A=D. ij
ij ij ij ij
ij a b b a d
c = + = + = para todo i=1,...,m e para todo j=1,...,n. Assim, C=D.
Logo, a operação de adição é comutativa.
A3. Elemento Neutro: para toda matriz A, AA+0m×n =0m×n +A= .
A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem m×n existe uma matriz S de mesma ordem tal que A+S =S+ A=0m×n.
Sendo A=(aij)m×n tem-se S=(sij)m×n =−(aij)m×n. Notação: S=−A
Assim, A+(−A)=(−A)+ A=0m×n. Além disso, A+(−B)= A−B.
A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, tr(A+B)=trA+trB. Dem: Considere as matrizes de ordem n.
) ( ) ( ) ... (
) ... (
) (
... ) (
)
(A B a11 b11 a b a11 a b11 b tr A tr B
5
2. Multiplicação por Escalar
Sejam A=(aij)m×n uma matriz e k∈R um escalar, define-se a matriz produto por escalar B=k⋅A tal que B=(bij)m×n e bij =k⋅aij para todo i=1,2,...,m e para todo j=1,2,...,n.
Exemplos:
1) Sejam e 3
7 1
5 3
0 1
− =
− −
= k
A .
Então
− − − =
− −
−
− − −
− −
= ⋅ −
21 3
15 9
0 3
7 ). 3 ( ) 1 ).( 3 (
) 5 ).( 3 ( 3 ). 3 (
0 ). 3 ( 1 ). 3 ( )
3
( A
2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano.
TRIGO CEVADA MILHO ARROZ
REGIÃO I 1200 800 500 700
REGIÃO II 600 300 700 900
REGIÃO III 1000 1100 200 450
Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é:
900 400
2200 2000
1800 1400
600 1200
1400 1000
1600 2400
Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar
E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k1,k2∈R, (k1 +k2)⋅A=k1⋅A+k2 ⋅A. E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k1,k2∈R, (k1⋅k2)⋅A=k1 ⋅(k2 ⋅A).
E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k∈R, B
k A k B A
k⋅( + )= ⋅ + ⋅ .
Dem.: Considere matrizes de ordem m×n,k⋅(A+B)=k⋅C=D e k⋅A+k⋅B=E+F =G. ij
ij ij ij ij
ij ij ij
ij k c k a b k a k b e f g
d = ⋅ = ⋅( + )= ⋅ + ⋅ = + = , para todo i=1,...,m e para todo j=1,...,n.
Assim, D=G.
Logo, vale a propriedade.
E4. Para toda matriz A de ordem m×n, 0⋅A=0m×n. E5. Para toda matriz A de ordem m×n, 1⋅A=A.
6
3. Multiplicação
Sejam as matrizes A=(aij)m×p e B=(bij)p×n, define-se a matriz produto C= A⋅B tal que
n m ij c
C=( ) × e
∑
= ⋅ = p k kj ikij a b
c
1
, isto é, cij =ai1⋅b1j +ai2 ⋅b2j +...+aip ⋅bpj para todo i=1,2,...,m e para todo j=1,2,...,n.
Exemplos: 1) Sejam − = 4 1 1 2 0 1
A e
− = 1 0 1 1 3 2 B . Então − + − + − + − − + + + − + + + = ⋅ ) 1 .( 4 1 ). 1 ( 0 . 4 3 ). 1 ( 1 . 4 2 ). 1 ( ) 1 .( 1 1 . 2 0 . 1 3 . 2 1 . 1 2 . 2 ) 1 .( 0 1 . 1 0 . 0 3 . 1 1 . 0 2 . 1 B A − − = 5 3 2 1 6 5 1 3 2
Observe que A=(aij)3×2 ,B=(bij)2×3eC=(cij)3×3.
2) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II.
A B C 1 0 5 0 3 4 II alimento I alimento
Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por:
(
)
(
5 4 2 5 5 3 2 0 5 0 2 1) (
30 15 2)
1 0 5 0 3 4 25 = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅
Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C.
Propriedades da Operação de Multiplicação
M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens m×p ,p×lel×n, respectivamente, )
( )
(A⋅B ⋅C= A⋅ B⋅C .
Dem.: Considere (A⋅B)⋅C=D⋅C=E e A⋅(B⋅C)=A⋅F =G. = ⋅ ⋅ = ⋅ =
∑
∑ ∑
= = = l k kj p t tk it l k kj ikij d c a b c
e 1 1 1 ) ( lj pl ip l i j p ip i j p ip
i b a b c a b a b c a b a b c
a ... ) ( ... ) ... ( ... )
( 1 11 + + 1 1 + 1 12 + + 2 2 + + 1 1 + +
= lj pl ip lj l i j p ip j i j p ip j
i b c a b c a b c a b c a b c a b c
a + + + + + + + + +
= 1 11 1 ... 1 1 1 12 2 ... 2 2 ... 1 1 ... ) ... ( ... ) ...
( 11 1 12 2 1 1 1 2 2
1 j j l lj ip p j p j pl lj
i b c b c b c a b c b c b c
a + + + + + + + +
= ij p t tj it p t l k kj tk
it b c a f g
a ⋅ ⋅ = ⋅ =
=
∑
∑
∑
=
=1 =1 1
)
( para todo i=1,...,m e para todo j=1,...,n. Assim, E=G.
7 M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem
p
m× , para toda matriz C de ordem p×n e para toda matriz D de ordem l×m, C
B C A C B
A+ )⋅ = ⋅ + ⋅
( e D⋅(A+B)=D⋅A+D⋅B.
M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, A⋅In =In ⋅A=A M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, tr(A⋅B)=tr(B⋅A).
M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo k∈R, )
( )
( )
(A B k A B A k B
k⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n, A.0n×n =0n×n ⋅A=0n×n
Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. Assim, A⋅B≠B⋅A.
Quando A⋅B=B⋅A, diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes que comutam entre si.
Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. Exemplos:
1) Sejam as matrizesA=(aij)2×3 e B=(bij)3×2. A B D d
c C B
A⋅ = =( ij)2×2 ≠( ij)3×3 = = ⋅ .
2) Sejam as matrizes A=(aij)2×3 e B=(bij)3×1. 1
2 )
( ×
= =
⋅B C cij
A e a matriz produto B⋅A não é definida.
3) Sejam
=
4 3
2 1
A e
− =
2 1
0 1
B .
A B B
A = ⋅
− − ≠
= ⋅
10 7
2 1 8
1 4 1
4) Sejam
− =
1 2
2 1
A e
− =
1 1
1 1
B .
Assim, A B =B⋅A
− = ⋅
3 1
1 3
.
Logo, as matrizes A e B comutam entre si.
Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n.
n I A0 =
A A1 =
A A A2 = ⋅
... A A A A
Ak = ⋅ k−1 = k−1⋅
8 Exemplos:
1) Seja
=
1 0
3 1
A .
Então
= ⋅ = ⋅ =
1 0
6 1 1 0
3 1 1 0
3 1 2
A A
A .
2) Sejam o polinômio f(x)=x2 +2x−11 e a matriz
− =
3 4
2 1
A .
Determinando o valor f(A):
0 1
2 2
11 2
11 2 )
(x x x x x x
f = + − = + −
2 1
2 0 1
2
11 2
11 2
)
(A A A A A A I
f = + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅
⋅ −
− ⋅ +
−
− =
1 0
0 1 11 3 4
2 1 2 17 8
4 9 ) (A
f
=
− − +
− +
−
− =
0 0
0 0 11 0
0 11 6
8 4 2 17 8
4 9
A matriz A é uma raiz do polinômio, já que f(A)=02×2.
Matriz Idempotente
Uma matriz quadrada A é idempotente quandoA2 = A.
Exemplo: A matriz
− −
− −
−
4 5 5
3 4 3
1 1 2
é idempotente. (Verifique!)
4. Transposição
Seja a matriz A=(aij)m×n, define-se a matriz transposta B tal que B=(bij)n×m e bij =aji, isto é, é a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes.
Notação: B=At
Propriedades da Operação de Transposição
T1. Involução: para toda matriz A, A(At)t = .
T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, (A+B)t = At +Bt.
Dem.: Considere matrizes de ordem m×n,(A+B)t =Ct =D e At +Bt =E+F =G. ij
ij ij ji ji ji
ij c a b e f g
d = = + = + = para todo i=1,...,m e para todo j=1,...,n. Assim, D=G.
T3. Para toda matriz A e para todo escalar k∈R, (k⋅A)t =k⋅At.
T4. Para toda matriz A de ordem m×p e para toda matriz B de ordem p×n, (A⋅B)t =Bt ⋅At.
9
Classificação de Matrizes Quadradas
1. Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada A é denominada simétrica quando At = A.
Exemplo: − − 5 0 1 0 2 3 1 3 4
Os elementos da matriz dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.
2. Matriz Anti-simétrica
Uma matriz quadrada A é denominada anti-simétrica quando At =−A.
Exemplo: − − − 0 7 1 7 0 3 1 3 0
Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal têm sinais contrários.
3. Matriz Invertível ou Não-singular
Uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem tal que A⋅B=B⋅A=In. A matriz B é dita matriz inversa da matriz A.
Notação: B=A−1
n I A A A
A⋅ −1 = −1⋅ = Exemplos:
1) A matriz 3 1 5 2
é invertível e sua inversa é − − 2 1 5 3 pois: = ⋅ − − = − − ⋅ 1 0 0 1 3 1 5 2 2 1 5 3 2 1 5 3 3 1 5 2
2) Obtendo a matriz inversa da matriz − = 0 1 1 2 A
Considere
= t y z x B
Se A⋅B=In então
= − − = ⋅ − 1 0 0 1 2 2 0 1 1 2 z x t z y x t y z x Assim, = = − = = − 1 0 2 0 1 2 z t z x y x
Desta forma,
10 Verifica-se também que B⋅A=In.
Então a matriz inversa da matriz A é
− = −
2 1
1 0 1
A .
3) A matriz
9 8 7
6 5 4
3 2 1
não possui inversa.
Propriedades das Matrizes Invertíveis
I1. Involução: (A−1)−1 = A.
I2. (A⋅B)−1 =B−1⋅A−1.
dem.: (A⋅B)⋅(B−1⋅A−1)=(A⋅(B⋅B−1))⋅A−1 =(A⋅In)⋅A−1 = A⋅A−1 =In.
Analogamente, (B−1 ⋅A−1)⋅(A⋅B)=(B−1⋅(A−1 ⋅A))⋅B=(B−1⋅In)⋅B=B−1⋅B=In. Logo, o produto é invertível.
I3. (At)−1 =(A−1)t.
Semelhança de Matrizes
Duas matrizes A,B∈Matn(R) são semelhantes quando existe uma matriz invertível P∈Matn(R) tal que B=P−1AP.
Exemplo: As matrizes
0 1
1 0
e
−1 1
0 1
são semelhantes.
Considere
− =
1 1
1 2
P e
− = −
3 2 3 1
3 1 3 1 1
P . Assim,
− ⋅ ⋅
− =
− 1 1
1 2 0 1
1 0 1
1 0 1
3 2 3 1
3 1 3 1
.
4. Matriz Ortogonal
Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando A−1 = At.
Exemplo:
−
θ θ
θ θ
cos cos
sen
sen
5. Matriz Normal
Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é, A
A A
A⋅ t = t ⋅ .
Exemplo:
−
6 3
11
Operações Elementares
São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares: OE1. A troca da linha i pela linha j.
j
i L
L ↔
OE2. A multiplicação da linha i por um escalar k∈R não nulo. i
i k L L ← ⋅
OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com k∈R não nulo. j
i
i L k L
L ← + ⋅
Exemplo:
5 1
4 2
0 0
L1↔L3
1 5 2 4 0 0
L2←
1 2L2
1 5 1 2 0 0
L2←L2+(-1)L1
− 0 0
3 0
5 1
Matriz Equivalente por Linha
Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A, quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações elementares sobre as linhas da matriz A.
Exemplo: A matriz 0 0 2 4 1 5
é equivalente a matriz
− 0 0
3 0
5 1
, pois usando somente operações
elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda.
Matriz na Forma Escalonada
Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas.
Exemplos:
−1 0 0 0
6 2 0 0
5 0 1 0
3 0 1 7
2 0 0 5 0 0 3 1 0 0 0 5 0 0 0 0
1 2 3 0 0 0
−
0 0 0 0
0 0 0 0
0 4 1 0
5 0 2 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
12
Escalonamento por Linha de uma Matriz
Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma escalonada: Exemplos: 1) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2
2 L ( 4)L
L ← + −
− − 9 8 7 6 3 0 3 2 1 1 3
3 L ( 7)L L ← + −
12 6 0 6 3 0 3 2 1 − − − − 2 3
3 L ( 2)L L ← + −
− − 0 0 0 6 3 0 3 2 1 2)
−1 3 0 2 1 0 0 3 0 2 0 0 3 1 L L ↔
−1 3 0 2 0 0 0 3 0 2 1 0 1 2
2 L ( 3)L
L ← + −
− − 3 1 0 2 0 0 6 0 0 2 1 0 1 4
4 L L
L ← +
− 5 0 0 2 0 0 6 0 0 2 1 0 2 6 1 2 ( )L L ← −
0 1 2
0 0 1
0 0 2
0 0 5
2 3
3 L ( 2)L L ← + −
0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 5 2 4
4 L ( 5)L
L ← + −
0 1 2
0 0 1
0 0 0
0 0 0
A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é aumentar o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha.
Posto de uma Matriz
O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A. O número de linhas não nulas após o escalonamento é o posto da matriz A.
Notação: PA
Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois.
Aplicações de Operações Elementares
1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n. Passo 1: Construir a matriz
(
A|In)
de ordem n×2n.Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz
(
A|In)
de forma a transformar o bloco A na matriz identidade In.Caso seja possível, o bloco In terá sido transformado na matriz A−1.
Se não for possível transformar A em In é porque a matriz A não é invertível.
Exemplo: Seja = 1 1 1 0 1 3 2 2 1
A . A matriz inversa é
13 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 3 0 0 1 2 2 1 1 2
2 L ( 3)L
L ← + −
− − − 1 0 0 1 1 1 0 1 3 6 5 0 0 0 1 2 2 1 1 3
3 L ( 1)L L ← + −
− − − − − − 1 0 1 1 1 0 0 1 3 6 5 0 0 0 1 2 2 1 3 2 L L ↔ − − − − − − 0 1 3 6 5 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 2 2 1 2 2 ( 1)L
L ← −
− − − − 0 1 3 6 5 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 2 2 1 2 3 3 L 5L
L ← +
− − − 5 1 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 2 2 1 2 1
1 L ( 2)L
L ← + −
− − − − 5 1 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 2 0 1 0 0 1 1 3 3 ( 1)L L ← −
− − − − 5 1 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 2 0 1 0 0 1 3 2
2 L ( 1)L L ← + −
− − − − 5 1 2 1 0 0 6 1 3 0 1 0 2 0 1 0 0 1
Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa
Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente por linha a matriz In.
Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz In, transforma a matriz In na matriz A−1.
Exemplo: Considere a matriz = 3 0 2 1 A .
A redução da matriz A à matriz identidade é:
− + ← ← 1 0 0 1 L ) 2 ( L L 1 0 2 1 L 3 1 L 3 0 2 1 2 1 1 2 2
Aplicando em In a mesma seqüência de operações:
− − + ← ← 3 1 0 3 2 1 L ) 2 ( L L 3 1 0 0 1 L 3 1 L 1 0 0 1 2 1 1 2 2
Assim, a matriz
− 3 1 0 3 2 1
14
2. Cálculo do Determinante
A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante
da matriz.
Notação: detAou A
É importante observar que:
a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A, seu determinante troca de sinal.
b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de uma certa linha forem multiplicados por k.
c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo Li ←Li +k⋅Lj. (Teorema de Jacobi).
d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, respeitando-se as propriedades de determinantes acima.
Exemplos: 1) = − 1 6 2 9 6 3 5 1 0 det = − 1 6 2 3 2 1 5 1 0 det 3 = − − 1 6 2 5 1 0 3 2 1 det ) 3 ( = − − − 5 10 0 5 1 0 3 2 1 det ) 3 ( 165 ) 55 ( 1 1 ) 3 ( 55 0 0 5 1 0 3 2 1 det ) 3 ( = − ⋅ ⋅ ⋅ − = − − −
2) =
− − − − 3 2 1 0 5 2 1 1 3 0 0 2 1 4 3 2 det = − − − − − 3 2 1 0 1 4 3 2 3 0 0 2 5 2 1 1 det ) 1 ( = − − − − 3 2 1 0 11 0 1 0 7 4 2 0 5 2 1 1 det ) 1 ( = − − − 3 2 1 0 7 4 2 0 11 0 1 0 5 2 1 1 det = − − − 8 2 0 0 29 4 0 0 11 0 1 0 5 2 1 1 det = − − − − 29 4 0 0 8 2 0 0 11 0 1 0 5 2 1 1 det ) 1 ( = − − − − 29 4 0 0 4 1 0 0 11 0 1 0 5 2 1 1 det ) 2
( ( 2) 1 1 1 45 90
45 0 0 0 4 1 0 0 11 0 1 0 5 2 1 1 det ) 2 ( = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =− − − − −
15
3.Resolução de Sistemas
Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes no próximo capítulo.
Exercícios
1) Resolva a equação matricial ,
6 7
1 8 4
2
3
=
− +
+ −
d a c d
c b b a
indicando os valores para a, b, c e d.
2) Considere
− − =
4 1 2
5 4 0
3 1 2
A ,
− − − =
6 7 4
2 1 0
5 3 8
B ,
− =
9 9 3
4 7 1
3 2 0
C e k =4. Verifique se:
a) (A⋅B)⋅C= A⋅(B⋅C) b) k⋅(B−C)=k⋅B−k⋅C c) tr(A+B)=trA+trB d) tr(A⋅C)=trA⋅trC
3) Seja
=
6 3
2 1
A . Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não nula tal que A⋅B=02×2.
4) Seja
=
1 1
1 2
A . Resolva a equação matricial A⋅X =I2, onde X =(xij)2×2.
5) Mostre que, em geral, A2 −B2 ≠(A−B)⋅(A+B), sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem.
6) Seja
=
1 0
2 1
A . Encontre An.
7) Verifique que a matriz
−1 8
0 3
é uma raiz do polinômio f(x)=x2 −2x−3.
8) Considere =
1 4
0 2
A .
a) Indique a matriz A2 −2⋅A+I2
b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique A−3 =(A−1)3.
9) Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz 1 0 0 0
quanto com a matriz 0 1 0 0
são múltiplas de I2.
10) Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz
−2 1 2 1
16
11) Sejam
− =
4 3
2 1
A e
− =
7 6
0 5
B . Verifique a igualdade (A⋅B)t =Bt ⋅At.
12) Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e A⋅B= A⋅C então B=C. (Lei do Corte)
13) Sejam
−
=
1 0 0
2 0 1
3 1 2
A e
=
3 2 1
B . É possível calcular X, na equação A⋅X =B?
14) Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações, considerando X a variável.
a) A⋅B⋅X =C b) C⋅A⋅Xt =C
c) A⋅X2 ⋅C=A⋅X ⋅B⋅C d) A⋅B−1 ⋅X =C⋅A e) A2 ⋅Xt = A⋅B⋅A
15) Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz (At ⋅A) é invertível. A matriz A⋅(At ⋅A)−1⋅At é simétrica? E idempotente?
16) Mostre que a matriz
−
θ θ
θ θ
cos cos
sen
sen
é uma matriz ortogonal.
17) Determine a, b e c de modo que a matriz
c b a
2 1 2 1 0
0 0 1
seja ortogonal.
18) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica. 19) Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas.
20) Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz B⋅A2 também é simétrica? Justifique.
21) Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique.
22) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique.
23) Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o elemento aij da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo refrigerante.
17 Gelato Delícia Suave
2 , 0 2 , 0 6 , 0
1 , 0 5 , 0 4 , 0
1 , 0 1 , 0 8 , 0
Suave Delícia
Gelato
a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato?
b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas.
24)Verifique se a matriz
− − −
−
3 7 2
5 1 1
4 2 1
é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa.
25)Para que valores de a a matriz
−
a 1 1
1 1 0
1 2 1
admite inversa?
26) Dada a matriz
− =
2 1 0
1 5 2
0 3 1
A . Indique a matriz
(
A|I3)
e determine A−1.27) Dada a matriz
− −
− =
−
1 2 1
2 1 0
3 3 1 1
A . Indique a matriz A.
28) Determinar o valor de a a fim de que a matriz
a 2 1
2 1 2
1 1 1
seja invertível.
29) Calcule o determinante das matrizes
1 2 4
2 3 5
3 4 6
− − −
e
−4 1 2 6 4 2
1 0 3
.
30)Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que detA=5, determine: a) det(3⋅A)
b) detAt c) det(−A) d) detA2
31)Encontre todos os valores de a para os quais 0 3 0
5 1
det =
+ −
a a
18
Respostas
1)a=5,b=−3,c=4,d =1
23) a) 0,1 e 0,6 b)
12 , 0 20 , 0 68 , 0 11 , 0 31 , 0 58 , 0 11 , 0 15 , 0 74 , 0 3) ∈ − −
= 2 2 *
R ,t,z t z t z B 24) − − − − − = − 2 1 2 3 2 5 2 1 2 5 2 7 1 3 11 16 A
4)
− − = 2 1 1 1
X 25) a≠−2
6)
= 1 0 2 1 n An 26) − − − − = − 1 1 2 1 2 4 3 6 11 1 A
8) a) 1 0 4 0
b) − 1 0 2 7 8 1 27) − − = 6 1 6 5 6 1 3 1 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 A 10) ∈
− y x ,x,y R y
x
28) a≠1
13) Sim, − = 3 0 4
X 29) 0 e 24, respectivamente.
14) a) X =B−1⋅A−1⋅C
b) X =(A−1)t c) X =B
d) X =B⋅A−1⋅C⋅A e) X =(A−1⋅B⋅A)t
30) a) 3n ⋅5 b) 5 c)
−5 casocontrário par for se 5 n d) 25
15) Sim. Sim. 31) a=1oua=−3
17) e 22
2
2 =−
= c
b ou e 22
2
2 =
−
= c
19
Apêndice A - Determinante
Permutações
Seja um conjunto finito A qualquer, uma permutação em A é qualquer função bijetora f :A→A. Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem n! permutações possíveis.
Exemplos:
1) Seja }A={a,b e as bijeções abaixo:
a a a a
b b b b
A notação usual é:
b a
b a
a b
b a
Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos reorganizados.
2) Seja }A={1,2,3 . 1 2 3
2 1 3
, 1 2 3 1 3 2
e 1 2 3 3 1 2
são três das seis permutações possíveis em A.
3) Seja }A={a,b,c,d .
a d c b
d c b a
é uma das 24 permutações possíveis.
Se A for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos - dentre os elementos reorganizados - “fora de ordem” for par e é ímpar quando este número for ímpar. Exemplos:
1) Seja A={1,2,3} com a ordem numérica usual, isto é, 1 2≤ ≤3. 1 2 3
2 1 3
e 1 2 3 1 3 2
são permutações ímpares e 1 2 3 3 1 2
é par.
2) Seja }A={a,b,c,d com a ordem lexicográfica (alfabética) usual.
a d c b
d c b a
é uma permutação ímpar.
20
O Determinante
Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado
determinante da matriz A.
Notação: detA A det(aij)n×n
Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3,
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A , e as permutações
possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}.
A partir da permutação ímpar 1 2 3 1 3 2
associa-se o produto “−a11a23a32” , tal que os índices linha correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação.
O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas.
Assim, o determinante é dado por:
31 23 13 32 21 13 31 23 12 33 21 12 32 23 11 33 22 11
detA=a a a −a a a −a a a +a a a +a a a −a a a
Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o número obtido do somatório dos produtos sinalizados de elementos aij da matriz, combinados de acordo com as permutações do conjunto de índices {1, 2,..., n}.
Exemplos: 1) det(6)=6
2) ( 1).7 0.2 7
7 2
0 1
det = 11 22 − 12 21 = − − =−
−
a a a a
3) 11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 2
1 0
0
4 0 1
2 5 2
det =a a a −a a a −a a a +a a a +a a a −a a a
−
−
0 . 0 ). 2 ( 2 1 ). 1 ).( 2 ( 0 . 4 . 5 0 ). 1 .( 5 2 1 . 4 . 2 0 . 0 .
2 − − − + + − − − −
=
21
Desenvolvimento de Laplace
Seja uma matriz quadrada de ordem n,
= nn n n n n a .... a a .... ... ... .... a .... a a a .... a a A 2 1 2 22 21 1 12 11
Considere um elemento aij qualquer, com i, j=1,...,n e a submatriz Aij de ordem (n−1) obtida a partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante da submatriz Aij sinalizado por (−1)i+j é denominado o cofator do elemento aij.
Exemplo: Seja a matriz
− − 0 0 4 0 1 2 5 2 2 1 .
O cofator do elemento a23, isto é, de 4 é : ( 1).1 1 2 1 0 5 2 det . ) 1
( 2 3 = − =−
− +
O cofator do elemento a31 =0a31 é: 1.20 20 4 0 2 5 det . ) 1
( 3 1 = =
− − +
Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por:
∑
= + ⋅ − ⋅ = n j ij j i ij A a A 1 det ) 1 ( detA expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores) conhecida como desenvolvimento de Laplace.
Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a expressão passa a ser:
∑
= + ⋅ − ⋅ = n i ij j i ij A a A 1 det ) 1 ( det Exemplos:1)
− = 7 2 0 1
A fixada a linha 2.
22 2 2 22 21 1 2
21( 1) det ( 1) det
detA=a − + A +a − + A =2.(−1)3.0 +7.(−1)4.−1 =2.(−1).0+7.1.(−1) =−7
2) − − = 0 0 4 0 1 2 5 2 2 1
A fixada a linha 1.
13 3 1 13 12 2 1 12 11 1 1
11( 1) det ( 1) det ( 1) det
detA=a − + A +a − + A +a − + A
22 Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes:
+ − + − = + + ] det . ) 1 .( 4 det . ) 1 .( 0 .[ 1 . 2
detA 11 A11 1 2 A12
+ − + − − − + + ] det . ) 1 .( 4 det . ) 1 ).( 1 ).[( 1 .(
5 1 1 A11 1 2 A12
] det . ) 1 .( 0 det . ) 1 ).( 1 .[( 1 ). 2
(− − − 1+1 A11+ − 1+2 A12
] 0 ). 1 .( 0 2 1 . 1 ). 1 .[( 1 ). 2 ( ] 0 ). 1 .( 4 0 . 1 ). 1 ).[( 1 .( 5 ] 2 1 ). 1 .( 4 0 . 1 . 0 .[ 1 .
2 + − + − − + − + − − + −
= 3 1 4 2 1 . 1 ). 2 ( 0 ). 1 .( 5 ) 2 .( 1 .
2 − + − + − =− + =−
=
Propriedades
Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e k∈R não nulo.
D1. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então detA=a11a22...ann.
dem: Considere a matriz
= nn n n a .... .... ... ... . a .... a a .... a a A 0 0 ..
0 22 2
1 12
11
.
Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes,
1 1 1 21 1 2 21 11 1 1 11 1 1 1
1( 1) det ( 1) det ( 1) det ... ( 1) det
det n n n
n
i
i i
i A a A a A a A
a
A + + +
= + = − + − + + − − =
∑
∑
− = + − = = 1 1 1 1 1 11 3 33 2 23 2211 ( 1) det
... 0 0 .. ... ... ... 0 ... det n i i i i nn n n A a a a a a a a a a ] det ) 1 ( ... det ) 1 (
[ ( 1)1
1 1 11 1 1 22 11 − + − + + + − − = n n nn A a A a a
∑
− = + − = = 2 1 1 1 1 22 11 4 44 3 34 33 2211 ( 1) det
... 0 0 .. ... ... ... 0 ... det n i i i i nn n n A a a a a a a a a a a a ] det ) 1 ( ... det ) 1 (
[ 33 1 1 11 2 1 ( 2)1
22 11 − + − + + + − −
= n n
nn A a A a a a nn a a a11 22...
=
Corolários: i) det0n =0 ii) detIn =1
iii)Se A é uma matriz diagonal então detA=a11a22...ann. D2. detA=0, quando A possuir uma linha (ou coluna) nula. D3. detA=0, quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais. D4. det(k⋅A)=kn ⋅detA
23 D7.Considere a matriz A e B a matriz obtida a partir de A por aplicação de operações elementares:
a) Li ↔Lj : detB=−detA b) Li ←k.Li : detB=k⋅detA
dem: Considere a matriz
= nn n n in i i n a a a a a a a a a A ... .... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 1 12 11 .
Fixando a linha i para o cálculo dos determinantes,
∑
= + − = n j ij j i ij A a A 1 det ) 1 ( detSeja a matriz
= nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a B ... .... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 1 12 11
obtida pela operação elementar Li ←k.Li.
A k A a k A ka B n j ij j i ij n j ij j i
ij)( 1) det ( 1) det det
( det 1 1 ⋅ = − ⋅ = − =
∑
∑
= + = +c) Li ←Li + k.Lj : detB=detA
D8. A é uma matriz invertível se e somente se detA≠0. D9. Se A é uma matriz invertível então
A A
det 1 det −1 = . D10. Se A e B são matrizes semelhantes então detA=detB. D11. Se A é uma matriz ortogonal então detA=±1.
Exercícios
1) Calcule o determinante usando permutações.
a) 1 2 3 4
b)
1 4 7 2 5 8 3 6 9
2) Calcule o determinante usando desenvolvimento de Laplace.
a)
1 4 7 2 5 8 3 6 9 b)
− 1 0 2 1 1 4 1 3 1 1 5 2 1 1 0 1
3) Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis.
24
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Definição
Dados os números reais a1,a2,...,an,b, com n≥1, a equação a1 ⋅x1 +a2 ⋅x2 +...+an ⋅xn =b onde
n x x
x1, 2,..., são variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis x1,x2,...,xn. Os números reais a1,a2,...,an são denominados coeficientes das variáveis x1,x2,...,xn, respectivamente, e b é denominado de termo independente.
Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de m≥1 equações lineares com n≥1 variáveis, e é representado por:
= ⋅ + + ⋅ + ⋅
= ⋅ + + ⋅ + ⋅
= ⋅ + + ⋅ + ⋅
m n mn m
m
n n
n n
b x a ... x a x a
.. ... ... ... ... ..
b x a ... x a x a
b x a ... x a x a
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
...
Com aij,bi∈R, i=1,...,me j=1,...,n.
Matrizes Associadas a um Sistema Linear
Sistemas podem ser representados na forma matricial:
=
⋅
m n
mn m
m
n n
b b b
x x x
a ... a a
... ... ... ...
a ... a a
a ... a a
... ...
2 1 2
1
2 1
2 22
21
1 12
11
4 4
4 3
4 4
4 2
1 { {
C X B
Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos Independentes.
Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial
B X
C⋅ = .
Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema.
=
m mn m
m
n n
b ... b b
a ... a a
... ... ... ...
a ... a a
a ... a a
A 2
1
2 1
2 22
21
1 12
