Dinamica populacional de microrganismos e a conservação de alimentos

(1)

INSTITUTO DE MATEM ÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇ ÃO CIENTÍFICA

Departamento de Matem´atica Aplicada

Disserta¸c˜ao de Mestrado

Dinˆ

amica Populacional de

Microrganismos e a

Conserva¸c˜

ao de Alimentos

por

Roberta Regina Delboni

Mestrado em Matem´atica Aplicada - Campinas - SP

Orientador:

Prof. Dr. Hyun Mo Yang

(2)

i

(3)

(4)

iii

(5)

(6)

Agradecimentos

Aos meus pais, José Roberto e Palmira: foi com vocês que despertei o gosto pela Matemática. Agrade¸co pelo apoio imprescind´ıvel, pelo incentivo incondicional, pelo carinho, paciência e compreensão nos momentos dif´ıceis. Muito obrigada por tudo o que vocês tem me proporcionado!

Aos meus irm˜aos, Juliano e Emerson, pelo carinho, apoio e incentivo sempre.

Ao professor, Hyun Mo Yang, pela compreensão, dedica¸cão, e por todo o conhecimento e experiência transmitidos durante uma trajetória que come¸cou na Inicia¸cão Cient´ıfica, pela orienta¸cão que permaneceu no Mestrado e espero continuar no Doutorado. Agrade¸co pela paciência durante todos esses anos, pelo incentivo e pela possibilidade de trabalhar com Biomatemática e poder reunir em um mesmo trabalho duas áreas tão fascinantes.

Ao professor Marco Antˆonio Teixeira e professor Alain Jacquemard, pelas sugest˜oes para o aprimoramento deste trabalho.

`

As pesquisadoras Izildinha Moreno e Renata Bromberg, por “abrirem portas”, anos atrás, para realiza¸cão de estágio no Instituto de Tecnologia de Alimentos, uma pequena experiência, porém fundamental, para instigar a curiosidade por um assunto tão interessante e princi-palmente, pela pesquisa. À Izildinha pela aten¸cão, prestatividade e contribui¸cões para apri-moramento deste trabalho, e pela possibilidade de um novo trabalho colaborativo futuro.

Ao professor, Wilson C. Ferreira Jr., por compartilhar seu conhecimento em uma palestra sobre o tema “quorum sensing”, que despertou o meu interesse pelo assunto e fez mudar um

(7)

pouco o rumo deste trabalho.

Aos professores do Instituto de Matemática da Unicamp (IMECC), aos que me incenti-varam e motiincenti-varam já na gradua¸cão.

Aos meus queridos amigos do Laboratório Epifisma: Licia, Márcio, Andressa, Norberto, Salvador, Ângelo. Juntos constru´ımos um ambiente agradável e motivador, que contribuiu diretamente para a realiza¸cão deste trabalho. Muito obrigada pela amizade e pela cola-bora¸cão com discussões, programas e troca de informa¸cões.

Aos novos integrantes do grupo: Lorena, C´ıntia, Rodrigo e Márcio e à todos aqueles que passaram pelo Epifisma: biólogos, médicos, matemáticos, f´ısicos e estat´ısticos, comparti-lhando conhecimento através de seminários e palestras.

`

A todas as amizades conquistadas durante a gradua¸c˜ao e mestrado. As horas e finais de semana que compartilhamos e nos dedicamos aos estudos valeram a pena!

`

A secretária da SPG Tânia, pela disposi¸cão e prestatividade em esclarecer minhas inúmeras dúvidas em processos burocráticos.

Aos funcionários da biblioteca, da informática, da limpeza e do café, que fazem parte do nosso cotidiano e que fazem a diferen¸ca pelo simples “Bom dia” com um sorriso.

`

A Funda¸cão de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), pela concessão da Bolsa de estudos e apoio financeiro.

Aos colegas do grupo de ora¸c˜oes da Unicamp, pelo apoio nos momentos dif´ıceis e pela for¸ca espiritual.

Agrade¸co sobre tudo `a Deus, pela minha vida e de todas essas pessoas que fazem parte dela, por tudo que tem me proporcionado e por me guiar em todos os meus caminhos, renovando minhas esperan¸cas.

(8)

vii

“Gra¸cas, porém, a Deus que, em Cristo, sempre nos conduz em triunfo e, por meio de nós, manifesta em todo lugar a fragrância do seu conhecimento”.

(9)

Um grande desafio para a indústria de alimentos é, por um lado, atender a demanda dos consumidores por alimentos minimamente processados, livres de aditivos qu´ımicos e submeti-dos a tramentos térmicos mais bransubmeti-dos, devido ao forte apelo como “alimentos naturais”, mas, ao mesmo tempo, garantir a seguran¸ca microbiológica destes produtos. Para abordar quantitativamente o controle biológico como técnica de conserva¸cão, apresenta-se um modelo matemático da intera¸cão entre bactérias lácticas e o patógeno Listeria monocytogenes. A partir deste modelo, estuda-se a poss´ıvel a¸cão do ácido láctico e da bacteriocina, produzidos pela bactéria láctica, na redu¸cão do crescimento da Listeria no alimento. Através do conhe-cimento bioqu´ımico de regula¸cão da bioss´ıntese de bacteriocina, desenvolve-se outro modelo, com enfoque na bacteriocina nisina. Mostra-se o efeito da nisina na resposta do sistema que regula a expressão de genes necessários para a bioss´ıntese. Expandindo esse modelo, são inclu´ıdas equa¸cões para descrever também o processo de bioss´ıntese, e avalia-se a resposta do sistema regulatório quando se aumenta a densidade de células da bactéria produtora. Observa-se comportamento t´ıpico de histerese. Mostra-se, assim, o funcionamento do meca-nismo de “quorum sensing”, ou seja, a produ¸cão da nisina regulada de maneira dependente da densidade celular, devido a uma transi¸cão entre o estado ativado e desativado do sistema regulatório, que correspondem às duas solu¸cões estacionárias assintoticamente estáveis.

Palavras-chave: conserva¸cão de alimentos, modelo matemático, sistema dinâmico, “quorum sensing”, histerese.

(10)

(11)

A major challenge for the food industry is the attending of demands of consumers for minimally processed foods, which do not contain chemical preservatives neither were sub-mitted to intensive heat treatments, but at the same time ensuring microbiological safety of these products. To study quantitatively the biological control as a technique of conservation, we developed a mathematical model to describe the interaction between lactic acid bacteria and the pathogen Listeria monocytogenes in the food. The steady states and dynamical trajectories analyses of the model allowed us to study the possible action of the lactic acid and the bacteriocin, produced by lactic acid bacteria, in the reduction of activity of Listeria in the food. Through the knowledge of the bacteriocin biosynthesis biochemical regulation, we developed other model focusing on the production of bacteriocin nisin. We then have shown the effect of nisin on the response of the system which regulates the expression of genes required for biosynthesis. This model was extended to include synthesis of nisin in order to study the dynamic of the regulatory system in a growing bacterial population. Both models demonstrate a typical behavior of hysteresis. Using the last model, we have shown the cell-density-dependent regulation of bacteriocin production, called mechanism of quorum sensing, which is the switch between two stable steady solutions corresponding to non-activated and activated states of the regulatory system.

Keywords: food conservation, mathematical model, dynamical system, quorum sensing, hysteresis.

(12)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Intera¸cão entre bactérias lácticas e Listeria monocytogenes 5

2.1 Bact´erias L´acticas . . . 7

2.2 Bacteriocinas . . . 8

2.3 Aplica¸cões de Bactérias Lácticas . . . 10

2.4 Modelo matemático . . . 11 2.5 Pontos de equil´ıbrio . . . 14 2.6 Análise de estabilidade . . . 25 2.6.1 Equil´ıbrio trivial . . . 25 2.6.2 Equil´ıbrios não-triviais . . . 28 2.7 Resultados numéricos . . . 35

2.7.1 Estabilidade do equil´ıbrio de coexistência para fraca intera¸cão do ácido láctico e da bacteriocina com a Listeria . . . 35

2.7.2 An´alise de Bifurca¸c˜ao . . . 38

2.7.3 Estabilidade dos equil´ıbrios de coexistência para forte intera¸cão do ácido láctico e da bacteriocina com a Listeria . . . 43

2.8 Possibilidades de Aplica¸c˜oes . . . 45 xiii

(13)

2.9 Conclus˜oes . . . 53

3 Efeito de “Quorum sensing” em bactérias lácticas 55 3.1 Regula¸cão da expressão de genes . . . 55

3.2 Modelagem matem´atica do efeito de “quorum sensing” . . . 59

3.3 Equil´ıbrio estacion´ario . . . 63

3.4 An´alise de bifurca¸c˜ao . . . 67

3.4.1 Avaliando o efeito do aumento da concentra¸c˜ao de nisina . . . 67

3.5 Simula¸cões Numéricas e Discussões . . . 71

4 Regula¸c˜ao da bioss´ıntese de nisina 81 4.1 O mecanismo de “quorum sensing” na produ¸c˜ao de nisina . . . 81

4.2 Modelo matem´atico de bioss´ıntese da nisina . . . 85

4.3 Equil´ıbrio estacion´ario . . . 90

4.4 An´alise de bifurca¸c˜ao . . . 94

4.4.1 Avaliando o efeito do aumento da densidade de c´elulas . . . 94

4.5 Simula¸cões Numéricas e Discussões . . . 99

5 Conclus˜oes Finais 111 A Teoremas Auxiliares 115 A.1 Regra de Sinais de Descartes . . . 115

A.2 Crit´erio de estabilidade de Hurwitz e de Routh . . . 116

A.3 Estabilidade Global . . . 118

B Obten¸c˜ao dos pontos de bifurca¸c˜ao 121

(14)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

Tem aumentado significativamente, em todo o mundo, a frequência de relatos sobre doen¸cas infecciosas de origem alimentar. Dentre os patógenos associados a alimentos, destaca-se a Listeria monocytogenes, não apenas devido a sua capacidade de sobrevivência aos mais diversos tipos de ambientes, mas, principalmente, devido à severidade da doen¸ca relacionada, que apresenta taxa de mortalidade elevada, podendo chegar a 70% nas manifesta¸cões mais graves da doen¸ca. A s´ındrome cl´ınica associada à listeriose é semelhante à causada pelo v´ırus influenza, podendo evoluir para meningo-encefalite, septicemia e endocardite, podendo ainda causar aborto e outras complica¸cões em mulheres grávidas [42].

Um grande desafio imposto para a indústria de alimentos é, por um lado, atender a de-manda dos consumidores por alimentos minimamente processados, livres de aditivos qu´ımicos e submetidos a tramentos térmicos mais brandos, devido ao forte apelo como “alimentos na-turais”, mas, ao mesmo tempo, garantir a seguran¸ca microbiológica destes produtos. O sur-gimento de microrganismos tolerantes ao frio representa também uma grande preocupa¸cão para a indústria. Listeria monocytogenes é capaz de se multiplicar em uma ampla faixa de temperatura, representando um risco para a seguran¸ca de alimentos conservados através de refrigera¸cão.

Bactérias lácticas são tradicionalmente utilizadas na produ¸cão de alimentos e bebidas fer-1

(15)

mentados, contribuindo para o desenvolvimento de sabor e aroma, e com potencial em inibir microrganismos indesejáveis através da produ¸cão de ácido láctico. São capazes de produzir, também, outras substâncias inibitórias como as bacteriocinas, que são compostos protéicos que inibem (efeito bacteriostático) ou destroem (efeito bactericida) espécies relacionadas, e outras bactérias tais como Listeria monocytogenes, Bacillus cereus, Staphylococcus aureus e Clostridium botulinum.

Bacteriocinas de bactérias lácticas são geralmente estáveis ao calor, degradadas pela a¸cão de enzimas proteol´ıticas do trato intestinal humano e não induzem altera¸cões nas pro-priedades organolépticas dos alimentos. Essas caracter´ısticas conferem a essas bacteriocinas interesse especial, devido ao seu potencial biopreservativo em alimentos, e representa uma op¸cão atrativa para indústria, podendo contribuir para o aumento da vida de prateleira dos alimentos. Além disso, a a¸cão combinada do ácido láctico e bacteriocina também pode ser efetiva contra bactérias oportunistas indesejáveis em alimentos fermentados.

A contamina¸cão microbiana de alimentos assume destacada relevância tanto para ind´ us-tria, quanto para saúde pública. Para a indústria as perdas econômicas ocorrem devido a exigência de recolhimento de alimentos contaminados, processos civis, além do impacto com a propaganda negativa. Para saúde pública, a severidade da doen¸ca e custos com hospitaliza¸cão e tratamentos também são notórios.

Atualmente, existem muitas aplica¸cões bem sucedidas de matemática em ciências biológi-cas, em especial na ecologia. Os modelos matemáticos têm sido usados com bastante sucesso para descrever a dinâmica de intera¸cão entre diferentes espécies, e no controle biológico de espécies nocivas. Por exemplo, para controlar o mosquito transmissor da dengue, utiliza-se de machos irradiados para controlar a popula¸cão natural de Aedes aegypti [16].

Técnicas de modelagem matemática em microbiologia de alimentos são comumente apli-cadas para prever o crescimento ou inativa¸cão de bactérias deterioradoras e patógenos de origem alimentar. Apenas recentemente tem sido dada alguma aten¸cão para microrganismos benéficos tais como bactérias lácticas.

No segundo cap´ıtulo, desenvolvemos um modelo matemático que visa descrever as in-tera¸cões entre bactérias lácticas produtoras de bacteriocinas e a Listeria monocytogenes no alimento. A análise estática e a dinâmica do modelo, representado por um sistema de

(16)

CAP. 1 • INTRODUC¸ ˜AO 3

equa¸cões diferenciais ordinárias não-lineares, fornecem informa¸cões sobre o comportamento das solu¸cões, e, também, permitem estudar a poss´ıvel a¸cão do ácido láctico e da bacterio-cina, produzidos pela bactéria láctica, na redu¸cão e inibi¸cão do crescimento da Listeria no alimento.

A produ¸cão de bacteriocinas em algumas bactérias é parte de um mecanismo chamado de “quorum sensing”. O processo de “quorum sensing” em bactérias consiste de um mecanismo de sinaliza¸cão qu´ımica que altera a expressão gênica e ativa um comportamento cooperativo entre bactérias da mesma espécie, quando se atinge uma densidade celular limiar [1].

No cap´ıtulo 3, formulamos um modelo matemático baseado no conhecimento bioqu´ımico do sistema regulatório de bioss´ıntese da bacteriocina nisina, composto por dois componentes (histidina quinase e regulador de resposta), e a própria nisina que, além de agir como pept´ıdeo antimicrobiano, também age como sinal que induz sua própria bioss´ıntese. O objetivo desta modelagem é analisar a fun¸cão da nisina como molécula sinalizadora no mecanismo de “quo-rum sensing”, e avaliar a resposta do sistema regulatório quando aumenta-se a concentra¸cão extracelular de nisina.

A transcri¸cão dos genes para bioss´ıntese da nisina depende da concentra¸cão extracelular desse pept´ıdeo que, por sua vez, é dependente da densidade da popula¸cão da bactéria láctica produtora.

No cap´ıtulo 4, para avaliar a resposta do sistema regulatório quando aumenta-se a den-sidade das bactérias produtoras de nisina, expandimos o modelo desenvolvido no cap´ıtulo 3, incluindo também o processo de s´ıntese dessa bacteriocina.

(17)

Intera¸c˜

ao entre bact´

erias l´

acticas e

Listeria monocytogenes

Com o aumento do consumo de produtos refrigerados, a Listeria monocytogenes tornou-se um dos mais importantes patógenos veiculados por alimentos a partir da década de 80, devido a diversos surtos de listeriose humana, epidemiologicamente ligados a alimentos. O primeiro grande surto que despertou o interesse de microbiologistas de alimentos para o problema da Listeria monocytogenes ocorreu no Canadá em 1981 e o alimento incriminado foi salada de repolho industrializada. Depois desse episódio, em 1988 a Organiza¸cão Mundial de Saúde (OMS) finalmente reconheceu que o consumo de alimentos contaminados é a rota primária de transmissão da L. monocytogenes em humanos.

A Listeria monocytogenes est´a amplamente distribu´ıda na natureza podendo ser encon-trada em plantas processadoras de alimentos, nas m˜aos de manipuladores e na forma de biofilme aderido aos equipamentos [35]. Este microrganismo pode sobreviver numa faixa de temperatura de 1 a 45o_{C, tornando-se um risco para seguran¸ca de alimentos refrigerados} [30].

Listeriose ´e o nome de um grupo geral de desordens causada pela L. monocytogenes, e que diferentemente de outras doen¸cas causadas pela ingest˜ao de alimentos contaminados, como

(18)

6

a salmonelose que raramente é fatal, possui taxa de mortalidade elevada (aproximadamente 30%). Além disso, a contamina¸cão de alimentos pela L. monocytogenes pode acarretar perdas econômicas substanciais aos produtores de alimentos.

Os surtos de listeriose tˆem sido associados com alimentos tais como: leite cru e leite pasteurizado, queijos (particularmente frescais), sorvetes, salsichas e lingui¸cas fermentadas (cruas), carne crua (todos os tipos), frango cozido ou cru e defumado.

Um total de 466 casos de listerioses foram reportados em [17], provenientes de 12 surtos graves ocorridos entre os anos de 1970 e 2002 nos Estados Unidos. O n´umero m´edio de casos por surto foi 39, sendo que queijo tipo mexicano foi o ve´ıculo identificado do maior surto relatado, envolvendo 142 pessoas. Houve um total de 121 mortes entre os 466 casos. Para outros pa´ıses, foram relatados 1058 casos de listeriose com um total de 257 mortes.

Hofer e colaboradores [21] analisaram 255 amostras de material cl´ınico humano coletadas de diversos estados brasileiros, entre os anos de 1969 a 2000, como sendo pertencentes ao gˆenero Listeria. Dessas amostras, 245 foram identificadas como Listeria monocytogenes, predominando os isolamentos em indiv´ıduos com meningite purulenta, e, em segundo plano, pacientes com bacterimias ou septicemia.

A ingestão de alimentos contaminados com L. monocytogenes é particularmente perigosa para gestantes, recém-nascidos, indiv´ıduos com s´ındrome de imunodeficiência adquirida, cir-rose, carcinoma e outras doen¸cas que provocam o comprometimento do sistema imunológico. Para indiv´ıduos sadios, a doen¸ca se manifesta com sintomas de gripe e febre. Em mulhe-res grávidas, a listeriose pode provocar parto prematuro, infeçcão no recém-nascido, ou até mesmo aborto. No grupo de pessoas sens´ıveis, a bactéria pode passar por diversos órgãos, incluindo o cérebro, podendo provocar meningite e encefalite. A meningite é a manifesta¸cão mais comum ocorrendo principalmente em recém-nascidos e idosos. Seu desenvolvimento cl´ınico é fulminante, com ´ındice de mortalidade de 70%.

O surto mais recente de listeriose e de grande impacto ocorreu em agosto de 2008 no Canadá. De acordo com o que foi divulgado na not´ıcia [43], até aquele momento existiam 53 casos de infectados e doentes, sendo que desse total, 20 morreram. Considerando que a manifesta¸cão dos primeiros sintomas de listeriose podem ocorrer até 70 dias após o consumo do alimento contaminado, é provável que esses números sejam ainda maiores. A indústria,

(19)

que admitiu responsabilidade pelo surto, fechou sua fábrica em Toronto até que as inves-tiga¸cões das poss´ıveis falhas fossem conclu´ıdas, e retirou do mercado mais de 200 produtos por precau¸cão. Além disso, foram abertos processos civis contra a empresa, em representa¸cão das pessoas que adoeceram.

2.1 Bact´

erias L´

acticas

Bactéria láctica é uma nomenclatura genérica utilizada para designar um grupo cons-titu´ıdo por bactérias Gram positivas com caracter´ısticas morfológicas, metabólicas e fi-siológicas semelhantes, e que produzem ácido láctico como produto final do metabolismo de carboidratos. As condi¸cões ácidas do meio melhoram a competitividade das bactérias lácticas, por apresentar maior tolerância ao pH baixo extracelular e intracelular.

De acordo com as suas estruturas das paredes celulares, as bactérias podem ser coradas ou não pela técnica de colora¸cão de Gram. A parede celular dos microrganismos Gram positivos (colora¸cão azul) é uma estrutura relativamente simples, composta de 50% de pep-tidoglicanos, 40% a 45% de pol´ımeros ácidos e 5% a 10% de prote´ınas e polissacar´ıdeos. Por outro lado, a parede celular dos microrganismos Gram negativos (colora¸cão vermelha) é constitu´ıda de: espa¸co periplasmático contendo enzimas, camada de peptidoglicanos, mem-brana externa que consiste em uma dupla camada lip´ıdica, e polissacar´ıdeos complexos que formam componentes importantes da superf´ıcie externa. A dificuldade em penetrar nesta camada externa complexa é a razão pela qual alguns antibióticos são menos ativos contra as bactérias Gram negativas.

As bactérias lácticas são produtoras de uma variedade de substâncias antimicrobianas incluindo: ácido láctico, diacetil, peróxido de hidrogênio, dióxido de carbono, álcool, alde´ıdo e bacteriocina. Todos esses compostos têm efeito antagon´ıstico no crescimento de bactérias patogênicas e deterioradoras dos alimentos [22] [35], sendo que as bacteriocinas têm atra´ıdo grande interesse na indústria de alimentos devido ao seu uso potencial como conservante “natural” [6] [9].

O efeito de conserva¸cão atribu´ıdo às bactérias lácticas, no processamento e estocagem de produtos fermentados, deve-se principalmente à rápida produ¸cão de ácido láctico. Em

(20)

SEC¸ ˜AO 2.2 • BACTERIOCINAS 8

sua forma dissociada, o ácido láctico atravessa passivamente a membrana citoplasmática, acidificando o meio intracelular a tal ponto que as fun¸cões celulares são inibidas e o potencial de membrana anulado.

De acordo com os regulamentos da FDA (Food and Drug Administration), antimicro-bianos naturais usados como conservantes de alimentos têm que ser produzidos por micror-ganismos GRAS (Generally Recognized as Safe). Como muitas espécies de bactérias lácticas tem o status GRAS, essas têm sido extensamente estudadas para a produ¸cão de bacterio-cinas. Além da inibi¸cão de L. monocytogenes, as bacteriocinas de bactérias lácticas podem inibir a multiplica¸cão de outros microrganismos como Bacillus cereus, Staphylococcus aureus e Clostridium botulinum.

2.2 Bacteriocinas

As bacteriocinas constituem um grande e heterogêneo grupo de prote´ınas e pept´ıdeos sin-tetizados ribossomicamente e com propriedades antibacterianas. Variam quanto ao espectro de atividade, modo de a¸cão, peso molecular, origem genética e propriedades bioqu´ımicas [9] [25]. A inclusão de compostos similares, com a¸cão sobre uma diversidade maior de espécies e cuja estrutura é formada por outros grupos funcionais (carboidratos, lip´ıdios), possibilitou uma defini¸cão mais ampla de bacteriocina [4].

Bacteriocinas de bactérias lácticas podem ser divididas em duas classes distintas: lan-tibióticos (classe I), de tamanho pequeno (19 a 38 aminoácidos), contendo aminoácidos mo-dificados pós-tradu¸cão, tais como lantionina e metillantionina, e cujo principal representante é a nisina; classe II, que compreende bacteriocinas com 37 a 48 aminoácidos, hidrofóbicas, termoestáveis, e que não contêm lantionina, tais como pediocina PA-1, lactocina G, lactacina B. Alguns autores ainda consideram a existência das classes III e IV [6], [13] e [39]. A classe III de bacteriocinas parece ser constitu´ıda de prote´ınas grandes e sens´ıveis ao calor, sendo exemplos: a helveticina J, helveticina V-1829, acidofilina e lactacina A. É sugerido que a quarta classe é constitu´ıda por bacteriocinas que formam grandes complexos com uma mis-tura indefinida de prote´ınas, lip´ıdios e carboidratos que são requeridos para sua atividade, sendo exemplos: plantaricina S, leuconocina 27 e pediocina SJ1 [7].

(21)

Do ponto de vista metabólico, bacteriocinas são geralmente consideradas como metabóli-tos primários, ou seja, produmetabóli-tos que são formados a uma taxa que depende apenas da taxa de crescimento da bactéria produtora. Entretanto, alguns estudos têm considerado bacteriocinas tais como pediocina AcH ou propionicina, como metabólitos secundários [5]. Casos de metabólitos primários e secundários também têm sido descritos algumas vezes para a mesma espécie e pept´ıdeo. Considerando a influência das espécies, o caráter secundário é muitas vezes corretamente deduzido de casos em que a produ¸cão do pept´ıdeo continua durante a fase estacionária da cultura produtora. Isso tem sido associado com a diminui¸cão do pH final, que ativa enzimas envolvidas em mudan¸cas pós-translacional da molécula [45].

A primeira bacteriocina de bactéria láctica a ser descoberta foi a nisina. Durante ex-perimento realizado na Inglaterra em 1928, observou-se que uma linhagem especial de Lac-tococcus lactis tinha efeito inibitório sobre outras bactérias. A substância antimicrobiana dessa bactéria foi também descrita em 1933 na Nova Zelândia e, em 1947, a bacteriocina responsável por essa a¸cão inibitória passou a ser denominada nisina.

A primeira prepara¸cão comercial de nisina foi feita em 1953, porém a aprova¸cão pelo FDA ocorreu apenas em 1988. Desde então, tem sido aprovado seu uso para determinados tipos de alimentos, em cerca de 50 pa´ıses, inclusive no Brasil. Após o reconhecimento da nisina como segura (status GRAS), houve um considerável aumento no interesse do estudo da nisina e outras bacteriocinas para aplica¸cão em alimentos [28].

De maneira geral, o mecanismo de a¸cão de bacteriocinas das classes I e II envolve, inicial-mente, a liga¸cão da bacteriocina aos receptores espec´ıficos ou não espec´ıficos na membrana celular da bactéria alvo. Neste estágio, bacteriocinas são sens´ıveis a uma poss´ıvel a¸cão de enzimas proteol´ıticas. Em seguida, ocorre inser¸cão da bacteriocina na membrana causando a dissipa¸cão da for¸ca próton-motora e a agrega¸cão de monômeros, resultando na forma¸cão de poros, por onde a célula perde material intracelular, o que pode acarretar na perda de viabilidade da célula alvo [7].

A nisina possui um duplo mecanismo de a¸cão. Ao ultrapassar a parede celular, liga-se ao lip´ıdio II, principal transportador de subunidades de peptidoglicano do citoplasma para a parede celular, interferindo, portanto, na s´ıntese desta estrutura. Além disso, a nisina pode usar o lip´ıdio II como uma molécula carreadora para iniciar o processo de inser¸cão

(22)

SEÇ ÃO 2.3 • APLICAÇ ÕES DE BACTÉRIAS L ÁCTICAS 10

e forma¸cão de poros na membrana celular, promovendo altera¸cão na permeabilidade da mesma [3]. O efluxo de moléculas essenciais tais como: ´ıon potássio, aminoácidos e ATP (trifosfato de adenosina), através dos poros, ocasiona a altera¸cão do potencial de membrana e do gradiente iônico, acarretando em morte celular [37].

O espectro de a¸cão das bacteriocinas produzidas por bactérias lácticas é limitado às bactérias Gram positivas. No entanto, o uso de agentes quelantes como EDTA (ácido eti-lenodiamino tetra-acético), ácidos graxos ou a aplica¸cão de estresse subletal, como calor ou congelamento, pode romper a camada de lipopolissacar´ıdeo (LPS) da parede celular das bactérias Gram negativas, aumentando sua sensibilidade em rela¸cão às bacteriocinas [4].

2.3 Aplica¸c˜

oes de Bact´

erias L´

acticas

Com a crescente demanda por técnicas de bioconserva¸cão, a aplica¸cão de bactérias lácticas como cultura iniciadora de fermenta¸cão (starter ), ou como culturas protetoras, tem sido extensivamente explorada. Além de inibir o crescimento de patógenos nos alimentos fermen-tados, tais como leite fermentado, iogurte, bebidas e salame, as bactérias lácticas podem proporcionar efeitos benéficos à saúde. Esses alimentos contendo bactérias promotoras de benef´ıcios à saúde são denominados alimentos probióticos.

Uma grande vantagem da utiliza¸cão de bacteriocinas como conservante de alimentos está relacionada com a seguran¸ca garantida aos consumidores, visto que as bactérias lácticas e seus metabólitos, dentre os quais as bacteriocinas, têm sido consumidos nos alimentos fermentados há muito tempo sem causar efeitos nocivos à saúde.

Para prevenir infeçcões de origem alimentar por L. monocytogenes, é necessário um con-trole r´ıgido no local de processamento de gêneros aliment´ıcios [18], bem como é importante que sejam pesquisadas maneiras de impedir a multiplica¸cão da Listeria nesses produtos. Dessa maneira, a utiliza¸cão de bactérias lácticas e/ou seus produtos metabólitos como bio-conservantes pode oferecer uma alternativa bastante interessante.

A tecnologia de obstáculos refere-se a manipula¸cão de múltiplos fatores (intr´ınsecos e extr´ınsecos) designados para prevenir a contamina¸cão bacteriana ou controlar o crescimento e sobrevivência no alimento. Uma combina¸cão de métodos de conserva¸cão pode trabalhar

(23)

sinergisticamente ou pelo menos garantir uma maior prote¸cão do que um único método isolado, melhorando a seguran¸ca e qualidade do alimento [11]. As bacteriocinas que são estáveis ao calor, por exemplo, podem ser aplicadas em combina¸cão com tratamento térmico. Neste cap´ıtulo é desenvolvido um modelo matemático que descreve as intera¸cões entre bactérias lácticas produtoras de bacteriocinas e a Listeria no alimento. O modelo pressupõe a capacidade de suporte do meio (alimento) como fator limitante para o crescimento da bactéria láctica e da Listeria. É considerada também a perda de estabilidade do ácido láctico e da bacteriocina no decorrer do tempo. A partir da análise do modelo obtém-se informa¸cões sobre o comportamento das solu¸cões, e também analisa-se a poss´ıvel a¸cão do ácido láctico e da bacteriocina, produzidos pela bactéria láctica, para o controle da Listeria no alimento.

2.4 Modelo matem´

atico

Nesta se¸cão é apresentada uma modelagem matemática do fenômeno biológico de in-tera¸cão da bactéria láctica e da Listeria monocytogenes. Consideramos que os principais metabólitos com a¸cão antimicrobiana produzidos pelas bactérias lácticas são o ácido láctico e a bacteriocina.

Denotam-se por X e L as popula¸cões, respectivamente, de bactérias lácticas e de Listeria num dado instante t. As quantidades de ácido láctico e de bacteriocina produzidos pela bactéria láctica são representadas por A e B, respectivamente.

As variáveis e os parâmetros utilizados no modelo são apresentados na tabela 2.1. Para facilitar a coompreensão da dinâmica de intera¸cão entre bactéria láctica e Listeria, é apresentado na figura 2.1 um diagrama de fluxo com os quatro compartimentos já citados anteriormente. Uma explica¸cão detalhada sobre as hipóteses consideradas é apresentada a seguir.

Os parâmetros relacionados às bactérias lácticas são φ1 e µ1, que são, respectivamente, a taxa intr´ınseca de crescimento e a taxa de mortalidade das bactérias. A equa¸cão usada para descrever o crescimento das bactérias lácticas é a equa¸cão para o crescimento log´ıstico.

(24)

SEÇ ÃO 2.4 • MODELO MATEM ÁTICO 12

Tabela 2.1: Defini¸cão das variáveis e parâmetros utilizados no modelo matemático (2.1).

Variável/Parâmetro Defini¸cão Dimensão

X Popula¸cão de bactérias lácticas [concentra¸cão]

A Quantidade de ´acido [concentra¸c˜ao]

B Quantidade de bacteriocina [concentra¸c˜ao]

L Popula¸c˜ao de Listeria [concentra¸c˜ao]

φ1 Taxa intr´ınseca de crescimento da bact´eria l´actica [tempo]−1

φ2 Taxa intr´ınseca de crescimento da Listeria [tempo]−1

µ1 Taxa de mortalidade da bact´eria l´actica [tempo]−1

µ4 Taxa de mortalidade da Listeria [tempo]−1

K Capacidade de suporte do meio [concentra¸c˜ao]

α1 N◦ de moléculas de ácido produzidas por uma bact. láctica adimensional

α2 N◦ de mol´eculas de bacteriocinas produzidas por uma bact. l´actica adimensional

δ1 Taxa de intera¸c˜ao do ´acido com a Listeria [tempo]−1

δ2 Taxa de intera¸c˜ao da bacteriocina com a Listeria [tempo]−1

η1 N◦ de moléculas de ácido ligadas à Listeria para desativá-la adimensional

η2 N◦ de moléculas de bacteriocina ligadas à Listeria para desativá-la adimensional

µ2 Taxa de perda de atividade do ´acido [tempo]−1

µ3 Taxa de perda de atividade da bacteriocina [tempo]−1

láctico e de bacteriocina produzidos por uma bactéria láctica. O ácido láctico e a bacterio-cina são metabólitos produzidos durante o processo da multiplica¸cão das bactérias lácticas, porém simplificamos supondo que sua produ¸cão é proporcional somente com a taxa intr´ınseca de crescimento. As taxas de degrada¸cão ou de perda de atividade destes metabólitos são representadas pelos parâmetros µ2 para o ácido e µ3 para a bacteriocina. A atividade da bac-teriocina diminui provavelmente devido à degrada¸cão proteol´ıtica, a agrega¸cão ou a adsor¸cão às células [32].

(25)

Figura 2.1: Esquema da dinâmica populacional das bactérias utilizando os compartimentos do sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias (2.1). As flechas pontilhadas unidirecionais indicam a produ¸cão por bactérias lácticas, enquanto flechas bidirecionais, indicam o consumo pela liga¸cão com Listeria.

proporcional ao produto da popula¸cão da Listeria e à concentra¸cão do ácido láctico, ou à concentra¸cão da bacteriocina. É assumido que a intera¸cão tende a inibir o crescimento da popula¸cão da Listeria e a diminuir a atividade do metabólito envolvido na intera¸cão. Os parâmetros δ1 e δ2 correspondem, respectivamente, às taxas de intera¸cão da Listeria com o ácido láctico e com a bacteriocina. A a¸cão destes metabólitos produzidos pelas bactérias lácticas ocorre na membrana citoplasmática da Listeria. Assim, supomos que tanto o ácido láctico quanto a bacteriocina são “consumidos” na intera¸cão com a Listeria, e sofrem uma redu¸cão de δ1AL e de δ2BL, respectivamente, em cada instante de tempo em que as intera¸cões ocorrem. O parâmetro η1representa o número de moléculas de ácido láctico ligadas à Listeria para destru´ı-la, assim como η2 representa o número de moléculas de bacteriocina ligadas à Listeria para destru´ı-la. Desse modo, a popula¸cão de Listeria sofre uma redu¸cão de η1δ1AL e η2δ2BL quando ocorre intera¸cão do ácido láctico e da bacteriocina com a Listeria.

O modelo inclui ainda um fator limitante para o crescimento natural das bactérias lácticas e a Listeria, representado pelo parâmetro K. Em outras palavras, o crescimento dessas po-pula¸cões é limitado pela capacidade de suporte do meio, ou seja, pela limitada concentra¸cão

(26)

SEÇ ÃO 2.5 • PONTOS DE EQUILÍBRIO 14

de nutrientes indispensáveis, presentes no alimento. Assim, a taxa per-capita de crescimento das bactérias lácticas é φX = φ1(1 − X/K) e a taxa per-capita de crescimento da Listeria é φL = φ2(1−L/K), as quais diminuem linearmente com o tamanho da popula¸cão. Finalmente, os parâmetros φ2 e µ4 representam a taxa intr´ınseca de crescimento e de mortalidade natural da Listeria, respectivamente.

De acordo com o que foi assumido anteriormente, a dinâmica do modelo é descrita pelo seguinte sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias não-lineares:

                                   dX dt = φ1 1 − X K X − µ1X dA dt = α1φ1X − µ2A − δ1LA dB dt = α2φ1X − µ3B − δ2LB dL dt = φ2 1 − L K L − µ4L − η1δ1AL − η2δ2BL, (2.1) onde Ω = {(X, A, B, L) : X ≥ 0, A ≥ 0, B ≥ 0, L ≥ 0} representa a regi˜ao de interesse biol´ogico.

Note que essa região de interesse biológico é positivamente invariante sob o fluxo induzido pelo sistema (2.1), pois analisando o campo vetorial, todos os pontos em Ω permanecem no interior dessa região ou nas fronteiras.

2.5 Pontos de equil´ıbrio

O primeiro passo é analisar o modelo no estado estacionário. Na próxima se¸cão, analisa-remos a estabilidade dos pontos de equil´ıbrio.

As equa¸cões no estado estacionário são obtidas igualando-se a zero todas as derivadas do sistema de equa¸cões diferenciais (2.1):

(27)

                               0 = X φ1− µ1− φ1X_K 0 = α1φ1X − A (µ2+ δ1L) 0 = α2φ1X − B (µ3+ δ2L) 0 = L φ2− µ4− φ2_KL − η1δ1A − η2δ2B. (2.2)

Resolvendo o sistema de equa¸c˜oes (2.2), obtemos os seguintes pontos de equil´ıbrio:

• Ausência de microrganismos, Q1. Corresponde a Q1 = (X1, A1, B1, L1) = (0, 0, 0, 0); • Ausência de Listeria, Q2. Este ponto corresponde à solu¸cão Q2 = (X2, A2, B2, L2)

= φ1−µ1 φ1 K, α1(φ1−µ1) µ2 K, α2(φ1−µ1) µ3 K, 0 ;

• Ausência de Bactéria Láctica, Q3. Corresponde a Q3=(X3, A3, B3, L3)=0, 0, 0,φ2−µ4

φ2 K

; • Coexistência da Listeria e bactéria láctica, Q4. Corresponde a Q4=(X4, A4, B4, L4),

onde as trˆes primeiras coordenadas s˜ao escritas em termos de L4 como

X4 = φ1− µ1 φ1 K, A4 = α1(φ1− µ1) µ2+ δ1L4 K, B4 = α2(φ1− µ1) µ3+ δ2L4 K,

e a última coordenada L4 é a solu¸cão positiva da equa¸cão de terceiro grau

p(L) = a3L3+ a2L2+ a1L + a0 = 0, (2.3)

que resulta de φ2− µ4 −φ2L

K − η1δ1A − η2δ2B = 0, onde os coeficientes, com φ1 > µ1, s˜ao:

(28)

SEÇ ÃO 2.5 • PONTOS DE EQUILÍBRIO 16                                a3 = φ2δ1δ2 a2 = K(φ2− µ4)hφ2(µ2δ2+µ3δ1) K(φ2−µ4) − δ1δ2 i a1 = K(φ2− µ4)hδ1δ2K(φ1−µ1)(η1α1+η2α2) φ2−µ4 + φ2µ2µ3 K(φ2−µ4)− µ2δ2− µ3δ1 i a0 = K(φ2− µ4)hK(φ1−µ1)(α1η1δ1µ3+α2η2δ2µ2) φ2−µ4 − µ2µ3 i .

Observe que os pontos de equil´ıbrio Q2e Q4têm o mesmo valor para as bactérias lácticas, isto é, X2 = X4, mostrando que a dinâmica que corresponde a X não é influenciada por seus produtos A e B. As concentra¸cões do ácido láctico e da bacteriocina no equil´ıbrio correspondente à coexistência (Q4) são diminu´ıdas em rela¸cão ao equil´ıbrio onde Listeria é eliminada (Q2).

Vamos primeiramente analisar as condi¸cões para a existência dos pontos de equil´ıbrio. Observe que as coordenadas do ponto de equil´ıbrio Q1 não dependem dos valores assumidos pelos parâmetros. Portanto o sistema (2.1) tem sempre este equil´ıbrio trivial. Além do ponto Q1, os demais pontos serão biologicamente viáveis, desde que sejam obedecidas as seguintes condi¸cões:

1. Se φ1 > µ1 e φ2 < µ4, existe o ponto de equil´ıbrio Q2;

2. Se φ1 < µ1 e φ2 > µ4, existe o equil´ıbrio Q3;

3. Se φ1 > µ1 e φ2 > µ4, existem os pontos de equil´ıbrio Q2, Q3 e Q4, entretanto, para Q4 devemos ter a condi¸cão adicional (veja detalhes a seguir) dada pela existência da solu¸cão positiva de (2.3); e

(29)

Existência do Equil´ıbrio de Coexistência de Bactérias

Determinemos a condi¸cão para a existência do ponto de equil´ıbrio Q4. Considerando φ1 > µ1, como A4e B4estão definidos como fun¸cão de L4, para mostrar que existe o equil´ıbrio Q4, é suficiente mostrar que existe solu¸cão positiva para a equa¸cão (2.3). Primeiramente, para φ2 < µ4, observamos que os coeficientes da equa¸cão (2.3) são todos positivos (a3 > 0, a2 > 0, a1 > 0 e a0 > 0) e, consequentemente, essa equa¸cão não possui ra´ızes reais positivas. Neste caso, como mostramos antes, os equil´ıbrios são: apenas Q1, se φ1 < µ1, e além de Q1, Q2, se φ1 > µ1. Entretanto, se φ2 > µ4, o coeficiente a3é positivo, mas a2, a1 e a0 dependem do sinal do termo entre colchetes.

Para facilitar a an´alise dos sinais dos coeficientes a2, a1 e a0, iremos reescrevˆe-los da seguinte maneira:                          a2 = K(φ2− µ4) b µ2δ1− δ1− b µ3 δ2 a1 = K(φ2− µ4) mδ1−µ2 m δ2− µ3 δ1− b µ3 a0 = K2(φ1− µ1)α2η2µ2 h δ2+ d δ1− c d i , (2.4) onde m = K(φ1− µ1)(η1α1+ η2α2) (φ2− µ4) , b = φ2µ2µ3 K(φ2 − µ4). e c = µ3(φ2− µ4) K(φ1− µ1)η2α2, d = η1α1µ3 η2α2µ2.

Além da taxa l´ıquida de reprodu¸cão das bactérias lácticas (rX = φ1 − µ1) e da Listeria (rL = φ2 − µ4), outros parâmetros importantes são δ1 e δ2, que são as taxas de intera¸cão do ácido, e da bacteriocina, com a Listeria. Por essa razão, considerando rX > 0 e rL > 0,

(30)

examinaremos os termos entre colchetes dos coeficientes em (2.4), reescrevendo-os novamente de maneira a obter δ2 em fun¸c˜ao de δ1.

Assim obtemos para a2: b µ2δ1− δ1− b µ3 δ2 = 0 ⇔ δ2 = b/µ2 δ1− b/µ3 δ1 = g(δ1), (2.5)

e ao analisar a fun¸c˜ao g(δ1) verifica-se que:

• O limδ1→∞g(δ1) = b/µ2. Logo, δ2 = b/µ2 ´e uma ass´ıntota horizontal para g(δ1), onde

b µ2 =

φ2µ3 K(φ2− µ4).

• Para δ1 = 0, tem-se g(0) = 0. Assim, g(δ1) intercepta o eixo δ1 quando δ2 = 0, e intercepta o eixo δ2 quando δ1 = 0.

• O limδ1→b/µ3g(δ1) = ∞. Logo, δ1 = b/µ3 ´e uma ass´ıntota vertical para a fun¸c˜ao g(δ1),

sendo b µ3 = φ2µ2 K(φ2− µ4) . Para o coeficiente a1:

mδ1− µ2 m δ2− µ3 δ1 − b µ3 = 0 ⇔ δ2 =µ3 m δ1 − b/µ3 δ1− µ2/m = f (δ1), (2.6)

e ao analisar a fun¸c˜ao f (δ1) verifica-se que:

• O limδ1→∞f (δ1) = µ3/m. Logo, δ2 = µ3/m ´e uma ass´ıntota horizontal para f (δ1), onde

µ3

m =

µ3(φ2 − µ4)

(31)

• Para δ1 = 0, tem-se f (0) = b/µ2. Assim, f (δ1) intercepta o eixo δ2 quando δ2 = b/µ2. Agora f (δ1) = 0 ⇔ δ1 = b/µ3. Portanto, f (δ1) intercepta o eixo δ1 quando δ1 = b/µ3. Esses interceptos correspondem a

b µ2 = φ2µ3 K(φ2 − µ4) e b µ3 = φ2µ2 K(φ2 − µ4).

• O limδ1→µ2/mf (δ1) = ∞. Logo, δ1 = µ2/m ´e uma ass´ıntota vertical para a fun¸c˜ao

f (δ1), onde

µ2

m =

µ2(φ2− µ4)

K(φ1− µ1)(η1α1+ η2α2). Finalmente, para a0:

h δ2+ d δ1− c d i = 0 ⇔ δ2 = c − dδ1 = h(δ1), (2.7)

e, a partir da an´alise da fun¸c˜ao h(δ1), verifica-se que:

• Para δ1 = 0, tem-se h(0) = c. Logo, h(δ1) intercepta o eixo δ2 quando δ2 = c. Agora h(δ1) = 0 ⇔ δ1 = c/d. Portanto, h(δ1) intercepta o eixo δ1 quando δ1 = c/d.

Esses interceptos correspondem a

c = µ3(φ2− µ4) K(φ1− µ1)η2α2 e c d = µ2(φ2− µ4) K(φ1− µ1)η1α1.

Comparando os poss´ıveis valores para δ2 (µ3/m e c), e os poss´ıveis valores para δ1 (µ2/m e c/d), é fácil de verificar que µ3/m < c, e que µ2/m < c/d. Nestas condi¸cões, considerando as posi¸cões relativas dos limiares de δ1 e de δ2, nos seus respectivos eixos, obtemos cinco configura¸cões poss´ıveis, apresentadas na tabela (2.2).

(32)

Tabela 2.2: Posi¸c˜oes relativas dos limiares de δ1 e de δ2 em seus respectivos eixos, con-siderando que µ3/m < c, e que µ2/m < c/d.

Caso Eixo δ1 Eixo δ2

(1) b µ3 < µ2 m < c d b µ2 < µ3 m < c (2) µ2 m < b µ3 < c d µ3 m < b µ2 < c (3) µ2 m < b µ3 < c d µ3 m < c < b µ2 (4) µ2 m < c d < b µ3 µ3 m < c < b µ2 (5) µ2 m < c d < b µ3 µ3 m < b µ2 < c

Finalmente, analisando os coeficientes temos que: (i) Para o coeficiente a2, da an´alise da fun¸c˜ao g(δ1):

Se δ1 < b/µ3, então a2 > 0 para todo δ2 > 0. Se δ1 > b/µ3, então a2 > 0 para δ2 < g(δ1); (ii) Para o coeficiente a1, da análise da fun¸cão f (δ1):

Se δ1 > µ2/m e δ1 < b/µ3, ent˜ao a1 > 0 para todo δ2 > 0. Mas se δ1 > b/µ3, ent˜ao a1 > 0 para δ2 > f (δ1).

Se δ1 < µ2/m e δ1 < b/µ3, ent˜ao a1 > 0 para δ2 < f (δ1). Se δ1 < µ2/m, mas δ1 > b/µ3, ent˜ao a1 < 0 para todo δ2 > 0;

(iii) Para o coeficiente a0, da análise da fun¸cão h(δ1): Se δ2 > c − dδ1, então a0 > 0.

Desenhando as curvas f (δ1), g(δ1) e h(δ1) (equa¸cões (2.6), (2.5) e (2.7)) para cada um dos cinco casos expostos na tabela (2.2), é poss´ıvel obter as regiões no gráfico δ1 × δ2 com os sinais dos coeficientes a2, a1 e a0 (veja figura 2.2).

(33)

Tabela 2.3: N´umero de ra´ızes reais positivas da equa¸c˜ao a3L3+ a2L2+ a1L + a0 = 0, considerando

diferentes possibilidades de combina¸c˜ao de sinais na sequˆencia dos coeficientes ({a3, a2, a1, a0}).

a3 a2 a1 a0 N◦ de ra´ızes reais positivas

+ + + − Uma + + − − Uma + − + − Uma ou trˆes + − − − Uma + + + + Zero + + − + Zero ou duas + − + + Zero ou duas + − − + Zero ou duas

O número de ra´ızes positivas pode ser avaliado aplicando a regra de varia¸cão de sinais de Descartes. Maiores detalhes sobre essa regra são apresentados no Apêndice A. Considerando os sinais dos coeficientes, essa regra permite as possibilidades apresentadas na tabela (2.3). Afirma¸cão 2.5.1. A equa¸cão (2.3) possui no máximo duas solu¸cões reais positivas.

Depois de uma análise da varia¸cão dos sinais na sequência dos coeficientes {a3, a2, a1, a0} da equa¸cão (2.3), podemos afirmar que, quando δ2 < h(δ1), ou seja, quando a0 < 0, existe uma única raiz real positiva para esta equa¸cão. A única possibilidade de existência de três ra´ızes reais positivas seria o caso abaixo da reta h(δ1), em que a2 < 0 e a1 > 0. Esta combina¸cão de sinais, entretanto, não ocorre.

As retas δ2 = µ3/m e δ1 = µ2/m s˜ao as ass´ıntotas de f (δ1), enquanto que, δ2 = b/µ2 e δ1 = b/µ3, s˜ao as ass´ıntotas para g(δ1). Analisemos os casos (1) e (2) da figura (2.2).

Note que, em ambos os casos, b/µ3 < c/d, µ2/m < c/d, µ3/m < c e b/µ2 < c. Supondo que esses limiares sejam muito pequenos e que, µ3/m ≈ b/µ2, assim como µ2/m ≈ b/µ3. Se f (δ1) e g(δ1) interceptassem a reta h(δ1), no caso (1), e g(δ1) interceptasse h(δ1), no caso (2), obter´ıamos regi˜oes, abaixo da reta h(δ1), com valores de δ1 e δ2 onde a2 < 0 e a1 > 0.

(34)

SEÇ ÃO 2.5 • PONTOS DE EQUILÍBRIO 22 b / µ 3 µ2 / m c / d b / µ₂ µ₃ / m c δ₂ δ₁ a₁ < 0 a₂ > 0 a₁ > 0 a 2 < 0 a₁ > 0 a₂ > 0 a₁ < 0 a 2 > 0 a₁ < 0 a₂ > 0 (a) Caso (1) µ₂ / m b / µ3 c / d µ₃ / m b / µ₂ c δ₂ δ₁ a₁ > 0 a₂ > 0 a₁ > 0 a₂ < 0 a₁ < 0 a₂ > 0 a₁ > 0 a₂ > 0 a 1 < 0 a₂ > 0 (b) Caso (2) µ₂ / m b / µ 3 c / d µ₃ / m c b / µ2 δ₂ δ₁ a₁ > 0 a₂ > 0 a₁ > 0 a₂ < 0 a 1 < 0 a 2 > 0 a 1 > 0 a2 > 0 a₁< 0 a₂ > 0 (c) Caso (3) µ₂ / m c / d b / µ₃ µ₃ / m c b / µ2 δ₂ δ₁ a 1 > 0 a2 > 0 a 1 > 0 a 2 < 0 a 1 < 0 a 2 > 0 a 1 > 0 a 2 > 0 a 1 < 0 a 2 > 0 (d) Caso (4) µ₂ / m c / d b / µ₃ µ₃ / m b / µ 2 c δ₂ δ₁ a 1 > 0 a2 > 0 a 1 > 0 a₂ < 0 a 1 < 0 a2 > 0 a₁ > 0 a₂ > 0 a₁ < 0 a₂ > 0 (e) Caso (5)

Figura 2.2: Diagramas que mostram as curvas f (δ1), g(δ1), e h(δ1), assim como as regi˜oes com

sinais dos coeficientes a2 e a1, considerando para os eixos δ1 e δ2, as posi¸c˜oes relativas para cada

caso apresentado na tabela (2.2). O coeficiente a3 ´e sempre positivo e, para todos os casos, a0 ´e

negativo abaixo da reta h(δ1), e positivo acima da reta. Linha em azul representa a fun¸c˜ao h(δ1),

(35)

Nesta situa¸cão, com três varia¸cões de sinais na sequência dos coeficientes, obter´ıamos uma condi¸cão necessária para existência de três ra´ızes reais positivas.

Mostremos que essas interseçcões não são poss´ıveis. • Interseçcão de g(δ1) e h(δ1): casos (1) e (2). g(δ1) = h(δ1) ⇔ b/µ2 δ1− b/µ3 δ1 = c − dδ1. Com esta igualdade obtemos a equa¸cão para δ1

(d)δ₁2+ b µ2 − c − db µ3 δ1+ cb µ3 = 0, (2.8)

cujo discriminante ´e

∆ = b µ2 − c − db µ3 2 − 4dcb µ3. Escrevendo ∆ convenientemente temos

∆ = − b µ2 c − b µ2 − d 2_b µ3 c d − b µ3 − 2d b 2 µ2µ3 + c c − db µ3 − b µ2 .

Considerando que c > b/µ2 e que c/d > b/µ3, tanto para o caso (1), quanto para o caso (2), segue que os trˆes primeiros termos de ∆ s˜ao negativos. Basta verificar o ´

ultimo termo. Observando os diagramas (a) e (b) da figura (2.2), verificamos que a interseçcão ocorreria se µ3/m ≈ b/µ2, e µ2/m ≈ b/µ3. Tomando a situa¸cão limite onde µ3/m = b/µ2, e µ2/m = b/µ3, podemos reescrever o último termo de ∆ da seguinte maneira: c c − d b µ3 − b µ2 = cc − dµ2 m − µ3 m , e, substituindo seus valores,

c µ3(φ2− µ4) η2α2K(φ1− µ1)(η1α1+ η2α2) [(η1α1+ η2α2) − η1α1− η2α2] = 0.

(36)

Portanto, como o discriminante ∆ é negativo, segue que a equa¸cão (2.8) não possui solu¸cões reais para δ1. Sendo assim, conclu´ımos que g(δ1) e h(δ1) não se interceptam nos casos (1) e (2). • Interseçcão de f (δ1) e h(δ1): caso (1). f (δ1) = h(δ1) ⇔µ3 m δ1− b/µ3 δ1− µ2/m = c − dδ1. A partir dessa igualdade obtemos a equa¸cão de segundo grau para δ1

(dm)δ2₁+ −2µ3η1α1 η2α2 δ1+ µ2 c − b µ2 = 0, (2.9)

cujo discriminante ´e

∆ = −2µ3η1α1 η2α2 2 − 4(dm)µ2 c − b µ2 . Escrevendo ∆ convenientemente temos

∆ = −4dmµ2 µ3 m − b µ2 .

Porém no caso (1), µ3/m > b/µ2. Segue assim que ∆ < 0 e, consequentemente, a equa¸cão (2.9) não possui solu¸cões reais para δ1. Portanto, f (δ1) nunca interceptará h(δ1) no caso (1).

Excluindo a possibilidade de três ra´ızes reais positivas para a equa¸cão (2.3), obtemos duas situa¸cões distintas. Se δ2 < h(δ1), a equa¸cão (2.3) terá uma única solu¸cão positiva (L4). Caso contrário, ou seja, se δ2 > h(δ1), a referida equa¸cão pode não possuir raiz real positiva (caso em que todos os coeficientes são positivos), ou pode possuir duas ra´ızes reais positivas. Para o último caso, as condi¸cões necessárias para existência de duas solu¸cões biologicamente viáveis são: a2 > 0 e a1 < 0, ou a2 < 0 e a1 > 0, ou ainda, a2 < 0 e a1 < 0.

(37)

2.6 An´

alise de estabilidade

A estabilidade local dos pontos de equil´ıbrio é determinada pelos autovalores da matriz Jacobiana do sistema correspondente (2.1), os quais são ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica Ψ(λ) = det(J − λI) = 0, onde det é o determinante de uma matriz e I é a matriz identidade 4 × 4 . Se a parte real de todos os autovalores for negativa, então o ponto de equil´ıbrio é local e assintoticamente estável [20].

2.6.1 Equil´ıbrio trivial

Vamos primeiramente analisar a estabilidade do ponto de equil´ıbrio trivial (Q1). Uti-lizando as taxas l´ıquidas de reprodu¸cão de bactérias lácticas e de Listeria, podemos formular as condi¸cões limiares para estabilidade desse equil´ıbrio, que representa a ausência de micror-ganismos, conforme será demonstrado no próximo teorema.

Teorema 2.6.1. Se φ1− µ1 < 0 e φ2− µ4 < 0, então o ponto de equil´ıbrio trivial Q1 é único, e local e assintoticamente estável em Ω, e, se φ1− µ1 > 0 e φ2 − µ4 > 0, Q1 é instável. Se φ1− µ1 ≤ 0 e φ2− µ4 ≤ 0 o ponto de equil´ıbrio trivial Q1 é global e assintoticamente estável em Ω.

Demonstra¸c˜ao:

A unicidade do ponto de equil´ıbrio trivial, quando φ1 − µ1 < 0 e φ2 − µ4 < 0, j´a foi discutida anteriormente.

A matriz Jacobiana do sistema calculada no ponto Q1 resulta em

J1 =                 (φ1− µ1) 0 0 0 α1φ1 −µ2 0 0 α2φ1 0 −µ3 0 0 0 0 (φ2− µ4)                 ,

(38)

SEÇ ÃO 2.6 • AN ÁLISE DE ESTABILIDADE 26

cujos autovalores s˜ao:

λ1 = φ1 − µ1, λ2 = −µ2, λ3 = −µ3 e λ4 = φ2− µ4.

O primeiro e o último autovalores serão negativos se φ1 < µ1 e φ2 < µ4, respectivamente. Portanto, o ponto de equil´ıbrio Q1 é local e assintoticamente estável para φ1 < µ1 e φ2 < µ4. Se φ1 > µ1 e φ2 > µ4, os autovalores λ1 e λ4 serão positivos e, dessa maneira, Q1 será instável.

Quando φ1 ≤ µ1 e φ2 ≤ µ4, podemos provar, também, que Q1 é global e assintotica-mente estável em Ω. Os teoremas e resultados sobre estabilidade global, utilizados nessa demonstra¸cão, encontram-se no Apêndice A.

Para provar a estabilidade global e assint´otica do ponto Q1, definimos a seguinte fun¸c˜ao V : Ω → R dada por:

V = X + L. A derivada orbital de V ´e dada por

˙ V = X φ1− µ1 −φ1 KX + L φ2− µ4 −φ2 KL − η1δ1A − η2δ2B . Como φ1− µ1− φ1 KX < 0, e φ2− µ4−φ2 KL − δ1A − δ2B < 0,

quando (φ2− µ4) ≤ 0 e (φ1− µ1) ≤ 0 e, pelo fato de que X ≥ 0 e L ≥ 0 em Ω, segue que ˙

V ≤ 0. Al´em disso, conclu´ımos que ˙V = 0 ⇔ X = 0 e L = 0.

O conjunto contido em Ω tal que a derivada orbital ´e nula ( ˙V = 0), corresponde a S = {(X, A, B, L) : X = 0, A ≥ 0, B ≥ 0, L = 0}. Nesse conjunto, o sistema (2.1) reduz a

(39)

                                   dX dt = 0 dA dt = −µ2A dB dt = −µ3B dL dt = 0.

Dessas equa¸cões tem-se que X(t) = 0, A(t) → 0, B(t) → 0 e L(t) = 0, quando t → ∞. Assim, o maior subconjunto invariante contido em S tal que a derivada orbital é nula ( ˙V = 0) é M = {Q1}.

Resumindo, assumindo que φ1 − µ1 ≤ 0 e φ2− µ4 ≤ 0, temos as seguintes hip´oteses do teorema de La Salle-Lyapunov:

(i) V é limitada em Ω, ou seja, existe k ∈ R tal que V < k no conjunto Ω. De fato, pois utilizamos equa¸cão de crescimento log´ıstico para as variáveis X e L. Sendo assim, o máximo valor assumido por X e L em equil´ıbrio é, respectivamente, X = φ1−µ1

φ1 K e

L = φ2−µ4

φ2 K. Portanto, segue que V < k = X + L;

(ii) ˙V ≤ 0;

(iii) O maior conjunto invariante contido em S =n(X, A, B, L) : ˙V = 0o´e M = {Q1}.

Portanto, pelo teorema de La Salle-Lyapunov [20] toda trajetória que come¸ca em Ω e permanece limitada aproxima para o ponto Q1. Mostramos que o ponto trivial Q1 é assintoticamente estável e, como o dom´ınio de estabilidade assintótica é todo o espa¸co onde o sistema dinâmico está definido, segue que o ponto Q1 é global e assintoticamente estável se φ1− µ1 ≤ 0 e φ2− µ4 ≤ 0.

(40)

2.6.2 Equil´ıbrios n˜

ao-triviais

Correpondem aos equil´ıbrios não triviais aqueles designados por Q2, Q3 e Q4, onde há, pelo menos, uma das bactérias.

Com rela¸cão ao equil´ıbrio Q3, que representa ausência de bactérias lácticas e prevalecência de Listeria, temos o seguinte resultado:

Teorema 2.6.2. Se φ1 < µ1 e φ2 > µ4, então o ponto de equil´ıbrio Q3 é local e assintotica-mente estável em Ω.

Demonstra¸c˜ao:

J3 =                 φ1− µ1 0 0 0 α1φ1 −µ2− δ1φ2−µ4 φ2 K 0 0 α2φ1 0 −µ3− δ2φ2−µ4 φ2 K 0 0 −η1δ1φ2−µ4 φ2 K −η2δ2φ2−µ4 φ2 K −(φ2− µ4)                 .

Os autovalores correspondentes s˜ao:

λ1 = φ1−µ1, λ2 = −(φ2−µ4), λ3 = −µ2−δ1 φ2− µ4 φ2 K e λ4 = −µ3−δ2 φ2− µ4 φ2 K. Os dois primeiros autovalores s˜ao negativos se φ1 < µ1 e φ2 > µ4, respectivamente; mas a ´

ultima condi¸cão implica que os dois últimos autovalores também são negativos. Portanto, o ponto de equil´ıbrio Q3é local e assintoticamente estável se φ1 < µ1 e φ2 > µ4. Vale ressaltar que φ1 < µ1 e φ2 > µ4 são as condi¸cões necessárias para a existência do ponto Q3.

Vamos analisar as duas últimas regiões de varia¸cão dos parâmetros φ1× φ2, dadas por φ1 > µ1e φ2 < µ4, e φ1 > µ1e φ2 > µ4. Na se¸cão anterior mostramos que nesta última região

(41)

os equil´ıbrios Q2 e Q4 devem ser poss´ıveis, desde que sejam satisfeitas algumas condi¸c˜oes adicionais.

A estabilidade local e assintótica do ponto de equil´ıbrio Q2é provada no teorema seguinte. Teorema 2.6.3. O ponto de equil´ıbrio Q2 é local e assintoticamente estável em Ω se uma das seguintes condi¸cões é satisfeita:

(i) Se φ1 > µ1 e φ2 < µ4, ou

(ii) Se φ1 > µ1, φ2 > µ4 e δ2 > c − dδ1. Demonstra¸c˜ao:

J2 =                 −(φ1− µ1) 0 0 0 α1φ1 −µ2 0 −δ1α1(φ1−µ1)K µ2 α2φ1 0 −µ3 −δ 2α2(φ1−µ1)K µ3 0 0 0 (φ2− µ4) − (φ1− µ1)Khη1δ1α1 µ2 + η2δ2α2 µ3 i                 ,

cujos autovalores s˜ao

λ1 = −(φ1− µ1), λ2 = −µ2, λ3 = −µ3, e o ´ultimo λ4 ´e dado por

λ4 = (φ2− µ4) − (φ1− µ1)K η1δ1α1 µ2 + η2δ2α2 µ3 .

O primeiro autovalor é negativo para φ1 > µ1, que é uma das condi¸cões para este ponto de equil´ıbrio ser estável. A outra condi¸cão de estabilidade é obtida do último autovalor: (a)

(42)

quando φ2 < µ4 (Listeria não reproduz eficientemente); (b) quando φ2 > µ4 uma condi¸cão adicional é δ2 > c − dδ1. A última condi¸cão matemática significa biologicamente que, quando Listeria reproduz eficientemente (φ2 > µ4), então o ponto de equil´ıbrio Q2 será estável se, e somente se, δ2 > c − dδ1, isto é, a bactéria láctica deve ter intensa atividade. Isso significa que quando a taxa de produ¸cão l´ıquida de Listeria em rela¸cão à quantidade de bacteriocina que pode interagir efetivamente com a Listeria (representada por c) é muito alta, então a a¸cão inibidora do ácido láctico, representada pelo parâmetro δ1, deve também ser alta. Assim, é poss´ıvel controlar a contamina¸cão do alimento com Listeria se a a¸cão inibidora da bacteriocina (representada por δ2) tiver intensa atividade.

Resumimos as regiões de estabilidade de varia¸cão dos parâmetros φ1×φ2 levando em conta os três equil´ıbrios Q1, Q2 e Q3: (1) para φ1 < µ1 e φ2 < µ4, Q1 é local e assintoticamente estável; (2) para φ1 < µ1 e φ2 > µ4, Q3 é local e assintoticamente estável; (3) para φ1 > µ1 e φ2 < µ4, Q2 é local e assintoticamente estável; e (4) para φ1 > µ1 e φ2 > µ4, Q2 permanece estável para δ2 > c − dδ1. Esses resultados são apresentados na figura (2.3).

Taxa Intrínseca de Crescimento da Bact. Láctica ( φ

1 )

Taxa Intrínseca de Crescimento da Listeria (

φ 2 ) µ₁ µ₄ Q₃ é L. A. E. Q 1 é L. A. E. Q2 é L. A. E. Q₂ ou Q₄ é L. A. E.

Figura 2.3: Diagrama que mostra as regi˜oes no gr´afico φ1 × φ2, onde cada um dos pontos de

equil´ıbrio, Q1, Q2 e Q3, ´e local e assintoticamente est´avel (L. A. E.).

Supondo que φ1 > µ1, φ2 > µ4, e quando a equa¸cão p(L) = 0 admite uma única solu¸cão real positiva, é poss´ıvel provar analiticamente que, para valores de δ1 e δ2 pertencentes à determinadas regiões dos gráficos δ1× δ2, o ponto de equil´ıbrio Q4 é local e assintoticamente

(43)

est´avel. Este resultado ser´a apresentado no teorema (2.6.4).

Teorema 2.6.4. Se δ2 < c − dδ1, δ1 < b/µ3 e δ2 < b/µ2, então o ponto de equil´ıbrio Q4 é local e assintoticamente estável em Ω.

Demonstra¸c˜ao:

J4 =                 −(φ1 − µ1) 0 0 0 α1φ1 −µ2− δ1L4 0 −δ1hα1(φ1−µ1)K µ2+δ1L4 i α2φ1 0 −µ3− δ2L4 −δ2hα2(φ1−µ1)K µ3+δ2L4 i 0 −η1δ1L4 −η2δ2L4 −φ2L4 K                 .

A equa¸c˜ao caracter´ıstica dada por Ψ(λ) = det(J4 − λI) = 0 pode ser escrita como Ψ(λ) = p1(λ) × p2(λ) = 0, onde p1(λ) = −(φ1− µ1) − λ, e

p2(λ) = λ3+ C1λ2+ C2λ + C3, (2.10)

(44)

SEÇ ÃO 2.6 • AN ÁLISE DE ESTABILIDADE 32                                                      C1 = (δ1+ δ2)L4+φ2L4 K + µ2+ µ3 C2 = η2δ1δ2 α2(φ1− µ1)K µ3+ δ2L4 L4+ η1δ1δ2 α1(φ1− µ1)K µ2+ δ1L4 L4+ δ1δ2L24+ µ2µ3 + (δ1+ δ2) 2φ2L4 K − (φ2− µ4) L4+ (δ2µ2+ δ1µ3)L4+ φ2L4 K (µ2 + µ3) C3 = η2µ3δ1δ2 α2(φ1− µ1)K µ3+ δ2L4 L4+ η1µ2δ1δ2 α1(φ1− µ1)K µ2+ δ1L4 L4 + (δ1δ2L4+ δ2µ2 + δ1µ3) 2φ2L4 K − (φ2− µ4) L4+φ2L4 K µ2µ3.

Um autovalor é facilmente obtido a partir de p1(λ) = 0, sendo que λ1 = −(φ1 − µ1) é negativo pois (φ1− µ1) > 0 por hipótese.

Para garantir a estabilidade assintótica do ponto Q4 é necessário analisar também, o sinal dos autovalores designados por λ2, λ3 e λ4, que são as ra´ızes da equa¸cão p2(λ) = 0. Para essa análise será utilizado o Critério de Hurwitz que estabelece que, se C1 > 0, C3 > 0 e C1C2− C3 > 0, então todos os autovalores associados ao polinômio (2.10) são negativos (se reais), ou têm parte real negativa (se complexos). Maiores detalhes sobre o critério de Hurwitz são apresentados no Apêndice A.

Verifica-se de imediato que, se L4 > (φ2−µ4)

2φ2 K, ent˜ao todos os coeficientes de p2(λ) s˜ao

positivos. Entretanto, não sabemos a priori o valor de L4, que é a solu¸cão positiva da equa¸cão p(L) = 0. Portanto, para verifica¸cão das condi¸cões do Critério de Hurwitz, será necessário reescrever C3 de maneira conveniente.

• Verifica¸c˜ao de que C1 > 0:

Claramente o coeficiente C1 é positivo, pois L4 corresponde à solu¸cão positiva da equa¸cão (2.3), e todos os parâmetros são positivos.

(45)

• Verifica¸c˜ao de que C3 > 0:

Multiplicando o coeficiente C3 pelo denominador comum K(µ2 + δ1L4)(µ3 + δ2L4) e colocando L4 em evidˆencia podemos reescrevˆe-lo como

C3 =

L4

K(µ2+ δ1L4)(µ3+ δ2L4) × P (L4), (2.11)

onde denotamos P (L4_{) = e}a4L4

4+ ea3L34+ ea2L24+ ea1L4− µ2µ3 a0 L4

, cujos coeficientes s˜ao                                                  e a4 = 2φ2δ2 1δ22 e a3 = δ1δ2K(φ2− µ4) 4 b µ2 δ1+ 3 b µ3 δ2− δ1− b µ3 δ2 e a2 = 2(δ2µ2+ δ1µ3) b µ2δ1− δ1− b µ3 δ2 + 2φ2δ1δ2µ2µ3 e a1 = −K(φ2− µ4)(δ2µ2+ δ1µ3) µ3 δ1− b µ3 + µ2 δ2− b µ2 + δ1δ2K2(φ1− µ1)(η1α1µ2δ2+ η2α2µ3δ1), e a0 = K2(φ1− µ1)α2η2µ2[δ2− (c − dδ1)] .

Considerando que L4 ´e positivo, para analisar o sinal de C3, basta verificar o sinal de P (L4).

Temos por hipótese que δ2 < c − dδ1, ou seja, a0 < 0. Nestas condi¸cões, garantimos a existência de uma única solu¸cão biologicamente viável para a equa¸cão (2.3), e temos que o último termo de P (L4) é positivo (−µ2µ3a0/L4 > 0).

Sabendo-se que (φ1 − µ1) > 0 e (φ2 − µ4) > 0, e considerando as hip´oteses de que δ1 < b/µ3 e δ2 < b/µ2_{, segue imediato que e}a4 _{> 0, e}a3 _{> 0, e}a2 _{> 0 e e}a1 > 0.

(46)

Portanto, mais uma vez considerando que L4corresponde à solu¸cão positiva da equa¸cão a3L3_+a2L2_+a1L+a0 _{= 0, conclui-se que P (L4}_{) = e}_a4L_{4+ e}4 _a3L3_{4+ e}_a2L2_{4+ e}_a1L4_−µ2µ3a0

L4 > 0 e, consequentemente, C3 ´e positivo.

• Verifica¸c˜ao de que C1C2− C3 > 0:

Denotemos C∗ _{= C1C2}_{− C3. Efetuando os c´alculos obt´em-se}

C∗ = b3L3₄+ b2L2₄+ b1L4 + b0, onde                                                              b3 = (δ1+ δ2) δ1δ2+φ2 K 2φ2 K + 2δ1+ δ2 +φ2δ 2 2 K b2 = −(φ2− µ4) δ1− b µ3 δ1 + φ2 K − (φ2− µ4) δ2− b µ2 δ1+ δ2+ φ2 K + δ1+ δ2+φ2 K (δ2µ2+ δ1µ3+ η1δ1δ2A4+ η2δ1δ2B4) + µ2δ2φ2 K + (µ2+ µ3)δ1δ2+ 2 φ2 K(δ1µ2+ δ2µ3) b1 = −µ2(φ2− µ4) δ1− b µ3 − µ3(φ2− µ4) δ2 − b µ2 + µ2µ3 δ1+ δ2+ 2φ2 K + (µ2+ µ3)(δ2µ2+ δ1µ3) + δ1δ2(η1µ3A4+ η2µ2B4) b0 = (µ2+ µ3)µ2µ3.

Considerando a hip´otese de que δ2 < c − dδ1, δ1 < b/µ3 e δ2 < b/µ2, e sendo A4, B4 e L4, coordenadas positivas do ponto Q4, ´e poss´ıvel verificar que b3 > 0, b2 > 0, b1 > 0 e b0 > 0. Portanto, segue que b3L3

4 + b2L24 + b1L4 + b0 > 0 e conclui-se que C∗ _{= C1C2}_{− C3} _{> 0, como quer´ıamos demonstrar.}

No teorema anterior provamos que, para valores particulares assumidos pelos parâmetros δ1 e δ2, abaixo da reta h(δ1), o ponto de equil´ıbrio de coexistência de bactérias (Q4) é local e

(47)

assintoticamente estável em Ω. Isso não significa, entretanto, que para outros valores desses parâmetros, Q4 seja instável. Pelo contrário, experimentos numéricos fornecem evidências de que basta ter δ2 < h(δ1) para que o equil´ıbrio Q4 seja local e assintoticamente estável. Porém, esse resultado é dif´ıcil de se provar analiticamente, visto que não sabemos os valores assumidos por L4.

2.7 Resultados num´

ericos

Na se¸cão anterior, provamos analiticamente a estabilidade local e assintótica dos pontos de equil´ıbrio do sistema (2.1), para as situa¸cões onde isso foi poss´ıvel. Lembremos que a equa¸cão p(L) = 0 admite uma única solu¸cão real positiva quando δ2 < h(δ1), e, se δ2 > h(δ1), para determinados casos é poss´ıvel obter duas solu¸cões reais positivas. Nesta se¸cão serão apresentadas simula¸cões numéricas, assim como diagramas de bifurca¸cão, para a análise dos casos de estabilidade, quando não foi poss´ıvel demonstra¸cões anal´ıticas.

2.7.1 Estabilidade do equil´ıbrio de coexistˆ

encia para fraca

intera¸c˜

ao do ´

acido l´

actico e da bacteriocina com a Listeria

Analisemos agora o ponto de equil´ıbrio Q4, considerando que a equa¸cão (2.3) para L admite uma única solu¸cão biologicamente viável. Isso ocorre quando há uma fraca intera¸cão entre bacteriocina e/ou ácido láctico com a Listeria, ou seja, quando (δ1, δ2) está abaixo da reta h(δ1). Quando φ1 > µ1 e φ2 > µ4, mas δ2 < h(δ1), Q4 deve ser local e assintoticamente estável. De fato, numericamente verificamos que, nesta região de parâmetros φ1× φ2, todas as trajetórias são atra´ıdas para o equil´ıbrio de coexistência Q4. As simula¸cões numéricas do modelo foram realizadas utilizando-se o pacote MATLAB e o método numérico Runge-Kutta de quarta ordem.

No teorema (2.6.4), foi provada a estabilidade local e assintótica de Q4, assumindo-se que δ2 < c − dδ1, e, além disso, considerando que δ1 < b/µ3 e δ2 < b/µ2. Note que para o caso (4) (veja figura 2.2), essas condi¸cões representam toda a região abaixo da reta h(δ1). Entretanto, para os demais casos, mesmo assumindo que δ1 < b/µ3 e δ2 < b/µ2, não são

(48)

SEÇ ÃO 2.7 • RESULTADOS NUMÉRICOS 36

contempladas todas as regiões abaixo da reta. Dessa maneira, as simula¸cões foram feitas para δ2 < c − dδ1, mas considerando que pelo menos uma das outras condi¸cões não sejam satisfeitas. Para isso, foram tomados valores arbitrários para os parâmetros tal que φ1 > µ1, φ2 > µ4 e δ2 < c − dδ1, e analisando cada caso em particular.

Na tabela (2.4) encontram-se conjunto de parâmetros utilizados nas simula¸cões numéricas.

Tabela 2.4: Valores de parâmetros que foram utilizados nas simula¸cões numéricas das trajetórias dinâmicas, considerando-se os casos (1), (2), (3) e (5) citados na tabela (2.2).

Casos φ1 φ2 K η1 η2 µ1 µ2 µ3 µ4 α1 α2

(1) 1 1 10 1 1 0, 9 0, 1 0, 2 0, 5 1 1

(2) 1 1 10 1 1 0, 8 0, 1 0, 2 0, 5 1 1

(3) 1 1 10 1 1 0, 8 0, 1 0, 2 0, 5 1 2

(5) 1 1 10 1 1 0, 8 0, 1 0, 2 0, 4 1 1

Al´em destes parˆametros, considerando sempre δ2 < c − dδ1, foram utilizados: (a) Para o caso (1), δ1 = 0, 04 (µ2/m < δ1 < c/d) e δ2 = 0, 01;

(b) Para o caso (2), δ1 = 0, 022 (b/µ3 < δ1 < c/d) e δ2 = 0, 001; (c) Para o caso (3), δ1 = 0, 023 (b/µ3 < δ1 < c/d) e δ2 = 0, 001 e (d) Para o caso (5), δ1 = 0, 001 (δ1 < µ2/m) e δ2 = 0, 04.

Denotamos as condi¸cões iniciais, X0 = X(t = 0), A0 = A(t = 0), B0 = B(t = 0) e L0 = L(t = 0). A figura (2.4) mostra simula¸cões numéricas para os casos (1), (2), (3) e (5), representados por (a), (b), (c) e (d), respectivamente.

Observe que, para o caso (1) (figura 2.4(a)), foram considerados valores iniciais próximo do equil´ıbrio trivial (Q1). Mesmo com um pequeno inóculo de bactérias, principalmente de Listeria, ambas popula¸cões são capazes de se estabelecerem. A popula¸cão de Listeria cresce