LISTA 8 - Transformações Lineares III. F (x, y) = (x, 2y), G(x, y) = (y, x + y) H(x, y) = (0, x)

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LISTA 8 - Transforma¸c˜oes Lineares III Profa. M´arcia Federson

Exerc´ıcio 1 Sendo F , G e H ∈ L(R2) definidos por F (x, y) = (x, 2y) G(x, y) = (y, x + y) H(x, y) = (0, x)

determine F + H, F ◦ G, G ◦ (H + F ), G ◦ F , H ◦ F , H ◦ F ◦ G e G ◦ F ◦ H. Exerc´ıcio 2 Sejam F, G ∈ L(R3) assim definidos:

F (x, y, z) = (x + y, z + y, z) e G(x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z). Determine:

(a) F ◦ G;

(b) Ker(F ◦ G) e Im(G ◦ F );

(c) uma base e a dimens˜ao de Ker(F2◦ G).

Exerc´ıcio 3 Sejam F ∈ L(R2, R3) e G ∈ L(R3, R2) assim definidos: F (x, y) = (0, x, x − y),

G(x, y, z) = (x − y, x + 2y + 3z). Determine F ◦ G ◦ F .

Exerc´ıcio 4 Seja F ∈ L(R2) dado por F (x, y) = (y, x). Determine Fn(x, y), sendo n ≥ 1 um n´umero inteiro.

Exerc´ıcio 5 Seja G ∈ L(R2) dado por G(x, y) = (x, 0). Determine Gn(x, y), sendo n ≥ 1 um n´umero inteiro.

Exerc´ıcio 6 Seja F ∈ L(R2_{) o operador dado por F (1, 0) = (2, 5) e F (0, 1) = (3, 4). Verifique}

se s˜_{ao automorfismos do R}2_:

(a) G = I + F ; (b) H = I + F + F2_;

onde I denota o automorfismo idˆentico.

Exerc´ıcio 7 Mostre que os operadores F, G, H ∈ L(R2_{) dados por:}

F (x, y) = (x, 2y), G(x, y) = y, x + y), H(x, y) = (0, x) formam um conjunto l.i em L(R2).

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Exerc´ıcio 8 Sejam F e G dois operadores lineares de um espa¸co vetorial V . Mostre que Ker(G) ⊂ Ker(F ◦ G).

Dˆe um exemplo onde vale a igualdade.

Exerc´ıcio 9 Sejam F ∈ L(U, V ) e G ∈ L(U, W ) tais que Ker(F ) = {0} e Ker(G) = {0}. Prove que

Ker(G ◦ F ) = {0}.

Exerc´ıcio 10 Sejam U e V subespa¸cos do espa¸co W tais que W = U ⊕ V . Sendo P1 e P2 as

proje¸c˜oes dadas por P1(w) = u e P2(w) = v, onde w = u + v, u ∈ U , v ∈ V , mostre que

(a) P₁2 = P1 e P22 = P2;

(b) P1+ P2 = I;

(c) P1◦ P2 = P2◦ P1 = 0.

Exerc´ıcio 11 Mostre que um operador F ∈ L(V ) ´e idempotente se e somente se I − F for idempotente.

Exerc´ıcio 12 Seja F ∈ L(R4_{) dado por}

F (x, y, z, t) = (0, x, y + 2x, z + 2y + 3x). Mostre que:

(a) F4 _{= 0;}

(b) I − F ´_{e um automorfismo do R}4 _{e I + F + F}2_{+ F}3 _{= (I − F )}−1_.

Exerc´ıcio 13 Seja C o espa¸co vetorial dos n´umeros complexos sobre R. Consideremos F, G ∈ L(C) assim definidos: F (z) = √ 2 2 + i √ 2 2 z, G(z) = iz, ∀ z ∈ C. Calcule: (a) F2; (b) F4; (c) G2_; (d) F ◦ G; (e) (F ◦ G) ◦ (F ◦ G).

Exerc´ıcio 14 Determine se os seguintes operadores lineares do R3 _s˜_{ao idempotentes ou}

nilpo-tentes ou nenhuma das duas coisas: (a) F (x, y, z) = (−x, −y, −z); (b) F (x, y, z) = (z, x, y);

(3)

(d) F (x, y, z) = (0, 0, x).

Exerc´ıcio 15 Seja F ∈ L(R2) definido por F (x, y) = (x, x + y). (a) Determine F2_.

(b) Mostre que F2− 2F + I = (F − I)2 _{= 0, mas F − I 6= 0.}

Exerc´ıcio 16 Sejam F e G operadores lineares de um espa¸co V tais que F ◦G = G◦F . Mostre que

Ker(F ) + Ker(G) ⊂ Ker(F ◦ G).

Exerc´ıcio 17 Seja F ∈ L(V ) um operador tal que F2_{− F + I = 0. Mostre que F ´}_{e invert´ıvel}

e

F−1 = I − F.

Exerc´ıcio 18 Sejam F, G ∈ L(V ) tais que F ◦ G = G ◦ F . Mostre que: (a) (F + G)2 _{= F}2_{+ 2(F ◦ G) + G}2_;

(b) (F + G) ◦ (F − G) = F2 _{− G}2_.

Exerc´ıcio 19 Seja {u1, u2, . . . , un} uma base de um espa¸co vetorial V de dimens˜ao n.

Consi-dere o operador linear T ∈ L(V ) tal que

T (u1) = u2, T (u2) = u3, . . . , T (un) = u1.

Mostre que Tn _{= I, mas T}n−1_{6= I.}

Exerc´ıcio 20 Mostre que o operador deriva¸c˜ao em Pn(R) ´e nilpotente.

Exerc´ıcio 21 Seja F ∈ L(R3_{, R}2_{) definida por F (x, y, z) = (x + z, y − 2z). Determine (F )} BC,

onde B = {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 3, −1)} e C = {(1, 5), (2, −1)}.

Exerc´ıcio 22 Determine as matrizes das seguintes transforma¸cões lineares em rela¸cão às bases canônicas dos respectivos espa¸cos:

(a) F ∈ L(R3_{, R}2_{) definida por F (x, y, z) = (x + y, z);}

(b) F ∈ L(R2, R3) definida por F (x, y) = (x + y, x, x − y); (c) F ∈ L(R4_{, R) definida por F (x, y, z, t) = 2x + y − z + 3t;}

(d) F ∈ L(R, R3_{) definida por F (x) = (x, 2x, 3x);}

Exerc´ıcio 23 No espa¸co vetorial M2(R), seja

M =a b c d

.

Determine a matriz do operador linear F ∈ L(M2(R)) dado por F (X) = M X −XM em rela¸c˜ao

`

(4)

Exerc´ıcio 24 Seja F o operador linear de M2(R) dado por

F (X) =1 1 2 1

X,

∀ X ∈ M2(R). Sendo B a base canˆonica do espa¸co M2(R), determine o tra¸co da matriz (F )B.

Exerc´ıcio 25 Calcule o tra¸_{co da matriz do operador linear F ∈ L(R}3) dado por F (x, y, z) = (x, x − y, x + z).

Generalize o resultado para

F (x, y, z) = (ax + by + cz, dx + ey + f z, gx + hy + iz), onde a, b, c, d, e, f, g, h, i ∈ R.

Exerc´ıcio 26 Seja F o operador linear do R2 _{cuja matriz em rela¸}_c˜_{ao `}_{a base B = {(1, 0), (1, 4)}}

´ e (F )B= 1 1 5 1 .

Determine a matriz de F em rela¸cão à base canônica usando a fórmula de mudan¸ca de base para um operador.

Exerc´ıcio 27 Seja B = {e1, e2, e3} uma base de um espa¸co vetorial V sobre R. Sendo F, G ∈

L(V ) dados por

F (e1) = e1− e2, F (e2) = e1+ e3, F (e3) = e2

G(e1) = 2e1+ e3, G(e2) = e1, G(e3) = e2− 3e1,

determine, em rela¸c˜ao `a base B, as matrizes dos seguintes operadores lineares: (a) F ; (b) G; (c) F + G; (d) 2F − G; (e) F ◦ G; (f ) G ◦ F ; (g) F2_{+ G}2_; (h) F−1, caso exista; (i) (F ◦ G)−1, caso exista.

Exerc´ıcio 28 Sejam F, G ∈ L(P2(R), P3(R)) assim definidos:

F (p(t)) = tp(t) − p(1), G(p(t)) = (t − 1)p(t),

∀ p(t) ∈ P2(R). Determine as matrizes de F e de G em rela¸c˜ao ao seguinte par de bases:

(5)

Exerc´ıcio 29 Seja F ∈ L(P2(R), R) definida por

F (p(t)) = Z 1

−1

p(t)dt. Determine a matriz de F em rela¸c˜ao `as bases:

(a) B = {1, t, t2_{} e C = {1};}

(b) B = {1, 1 + t, −1 + t2} e C = {−2}.

Exerc´ıcio 30 Se a matriz de um operador linear F do R3 _{em rela¸}_c˜_{ao `}_{a base canˆ}_{onica for}

  1 1 0 0 1 0 0 1 −1  

e se H = I + F + 2F2, determine a matriz de H em rela¸cão à base canˆ_{onica do R}3. Ache também H(x, y, z).

Exerc´ıcio 31 Determine todos os operadores lineares F do R2 _{tais que F}2 _{= F e F (x, y) =}

(ax, bx + cy).

Exerc´ıcio 32 Determine todos os operadores lineares F do R2 tais que F2 = 0 e F (x, y) = (ax + by, cy).

Exerc´ıcio 33 Sejam F e G operadores lineares do R3 _{tais que F (x, y, z) = (x, 2y, y − z) e tais}

que a matriz de 2F − G em rela¸cão à base canônica seja   1 1 0 0 1 0 1 2 1  .

Determine a matriz de G em rela¸cão à base canônica. Determine também G(x, y, z).

Exerc´ıcio 34 Seja T um operador linear de um espa¸co vetorial V de dimensão 2. Se a matriz de T em rela¸cão à uma certa base B de V for

a b c d

mostre que T2_{− (a + d)T + (ad − bc)I = 0.}

Exerc´ıcio 35 Sejam V um espa¸co vetorial de dimensão finita n e F ∈ L(V ). Se U for um subespa¸co vetorial de V de dimensão M e se U for invariante pelo operador F , mostre que existe uma base de V em rela¸cão à qual a matriz de F é da forma

A B O C

,

onde A é uma matriz m × m, B é do tipo M × (n − m), O é a matriz nula (n − m) × m e C é uma matriz quadrada de ordem n − m.

(6)

GABARITO Exerc´ıcio 1 (F + H)(x, y) = (x, x + 2y); (F ◦ G)(x, y) = (y, 2x + 2y); (G ◦ (F + H))(x, y) = (x + 2y, 2x + 2y). Exerc´ıcio 2 (F ◦ G)(x, y, z) = (x + 3y − x, x + y + z, x + 2z); Ker(F ◦ G) = {y(−2, 1, 1); y ∈ R}; Im(G ◦ F ) = {x(1, 0, 1) + y(3, 1, 1); x, y ∈ R}. Exerc´ıcio 4

Se n for ´ımpar, Fn_{(x, y) = (y, x).}

Se n for par, Fn_{(x, y) = (x, y).}

Exerc´ıcio 6 (I + F + F2)(x, y) = (22x + 21y, 35x + 36y) n˜ao ´e isomorfismo, pois Ker(I + F + F2_{) = {(x, −x); x ∈ R}.}

Exerc´ıcio 12

(b) (I − F )(x, y, z, t) = (x, y − x, z − y − 2x, t − z − 2y − 3x) ´e isomorfismo, pois Ker(I − F ) = {(0, 0, 0, 0)}.

Exerc´ıcio 13 (a) F2_{(z) = i;}

(c) G2_{(z) = −z.}

Exerc´ıcio 14

(a) Nenhuma das duas coisas. (b) Nenhuma das duas coisas.

(c) Idempotente. (d) Nilpotente. Exerc´ıcio 15 (a) F2_{(x, y) = (x, 2x + y);} (c) (F − I)(x, y) = (0, x). Exerc´ıcio 20 ∀ f (t) ∈ Pn(R), Dn+1(f (t)) = 0.