Niterói 1/2020
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO
ISABELA BARRETO CORREA
ESTRATÉGIAS PARA OTIMIZAÇÃO MONO E
MULTIOBJETIVO DE PROCESSOS QUÍMICOS
Niterói 1/2020
ESTRATÉGIAS PARA OTIMIZAÇÃO MONO E
MULTIOBJETIVO DE PROCESSOS QUÍMICOS
Projeto Final apresentado ao Curso de Graduação em Engenharia Química, oferecido pelo departamento de Engenharia Química e de Petróleo da Escola de Engenharia da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Bacharel em Engenharia Química.
ORIENTADOR
Bibliotecário responsável: Sandra Lopes Coelho - CRB7/3389
C824e Correa, Isabela Barreto
Estratégias para Otimização Mono e Multiobjetivo de Processos Químicos / Isabela Barreto Correa ; Lizandro de Sousa Santos, orientador. Niterói, 2020.
71 f. : il.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Química)-Universidade Federal Fluminense, Escola de Engenharia, Niterói, 2020.
1. Processos industriais. 2. PSO. 3. DE. 4. NSGA II. 5. Produção intelectual. I. Santos, Lizandro de Sousa,
orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Escola de Engenharia. III. Título.
-Niterói 1/2020
ESTRATÉGIAS PARA OTIMIZAÇÃO MONO E
MULTIOBJETIVO DE PROCESSOS QUÍMICOS
Projeto Final apresentado ao Curso de Graduação em Engenharia Química, oferecido pelo departamento de Engenharia Química e de Petróleo, da Escola de Engenharia, da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Bacharel em Engenharia Química.
Aprovado em 12 de agosto de 2020.
BANCA EXAMINADORA
____________________________________________________________ Lizandro de Sousa Santos, D.Sc. – TEQ-UFF
Presidente da Banca - Orientador
___________________________________________________________ Jorge Eduardo da Silva Ourique, D.Sc. – TEQ-UFF
____________________________________________________________ Alessandra da Rocha Duailibe Monteiro, D.Sc. – TEQ-UFF
AGRADECIMENTOS
Agradeço especialmente ao Lizandro, pela amizade e orientação ao longo de grande parte da minha graduação. Sem o seu suporte não seria possível a realização deste trabalho.
Agradeço à Alessandra e ao Jorge por aceitarem participar da banca avaliadora.
Agradeço aos demais professores do departamento de Engenharia Química, que contribuíram para a minha formação profissional, em especial à Ana Carla e ao Hugo.
Agradeço ao meu amigo Fernando, que esteve ao meu lado ao longo desses anos de UFF. Também agradeço à minha irmã, Gabriela, por ser tão presente na minha vida e ter me ajudado muito durante à faculdade, e aos meus pais, Geani e Samuel, que sempre me deram o suporte necessário para alcançar os meus objetivos.
Agradeço ao meu namorado Matheus, uma das melhores coisas que a UFF me trouxe, por todo amor, carinho e apoio. Sem a sua ajuda eu não teria conseguido finalizar este trabalho.
RESUMO
Neste trabalho, processos industriais simulados no UniSim® foram otimizados por meio da utilização de algoritmos implementados na linguagem de programação Python. O trabalho se dividiu em duas etapas: otimização mono-objetivo e otimização multiobjetivo. Primeiramente, foram propostos dois problemas de otimização mono-objetivo. Em um dos problemas, objetivou-se minimizar a área de troca térmica de uma rede de trocadores de calor empregada no resfriamento de uma mistura de hidrocarbonetos leves e, com isso, reduzir os gastos com a aquisição dos trocadores. O outro problema objetivou aumentar a eficiência da separação de uma mistura de parafinas em uma coluna de destilação. O desempenho dos algoritmos Otimização por Enxame de Partículas (PSO – Particle Swarm Optimization) e Evolução Diferencial (DE – Differential Evolution) foram comparados em ambos os problemas. O algoritmo DE foi o mais eficiente ao se trabalhar com uma maior dimensão, convergindo mais rapidamente e obtendo um melhor resultado. Na segunda parte do trabalho, foram propostos quatro casos de otimização multiobjetivo em uma planta de produção de cumeno para as situações sem e com a introdução de distúrbios (aumento de 8% nas vazões de alimentação da planta). Nestes casos, os objetivos consistiram na maximização da produção de cumeno, na minimização das produções de p-diisopropilbenzeno (DIPB) e gás residual e na minimização do consumo energético da planta. O Algoritmo Genético de Classificação por Não-Dominância II (NSGA II – Nondominated Sorting Genetic Algorithm II) presente na biblioteca Pymoo foi utilizado. A introdução dos distúrbios resultou em maiores produções de cumeno e de gás residual. Também foi observada uma maior quantidade de excesso de benzeno circulando na planta, que teve como principais consequências: (i) uma menor produção de DIPB, devido ao desfavorecimento da conversão de cumeno em DIPB e (ii) um alto consumo energético da planta, já que uma maior quantidade de energia é requerida no refervedor da coluna de destilação responsável pelo reciclo de benzeno e uma menor quantidade de energia é gerada no reator.
ABSTRACT
In this work, industrial processes simulated in UniSim® were optimized through the use of algorithms implemented in Python programming language. The work was divided into two stages: objective optimization and multiobjective optimization. First, two mono-objective optimization problems have been proposed. In one of the problems, the mono-objective was to minimize the heat exchange area of a heat exchanger network used in the cooling of a light hydrocarbon mixture and, with this, reduce the acquisition costs. The other problem aimed to increase the separation efficiency of a paraffin mixture in a distillation column. The performance of Particle Swarm Optimization (PSO) and Differential Evolution (DE) algorithms were compared in both problems. The DE algorithm was the most efficient when working with a larger dimension, converging more quickly and obtaining a better result. In the second part of the work, four cases of multi-objective optimization have been proposed in a cumene production plant for situations without and with the introduction of disturbances (8% increase in plant flow rates). In these cases, the objectives were to maximize the production of cumene, to minimize the production of p-diisopropylbenzene (PDIB) and residual gas and to minimize the energy consumption of the plant. The Nondominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA II) present in the Pymoo library was used. The introduction of the disturbances resulted in greater production of cumene and residual gas. There was also a greater amount of excess benzene circulating in the plant, which had as main consequences: (i) a lower production of PDIB, due to the disadvantage of converting cumene into PDIB, and (ii) a higher energy consumption of the plant, since a greater amount of energy is required in the distillation column reboiler responsible for the recycling of benzene and a lesser amount of energy is generated in the reactor.
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ... 13 1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 13 1.2. OBJETIVOS DO TRABALHO ... 15 1.3. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO ... 15 2. OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS ... 17
2.1. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO MONO-OBJETIVO ... 18
2.1.1. Otimização por Enxame de Partículas ... 19
2.1.2. Evolução Diferencial ... 21
2.2. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO ... 23
2.2.1. NSGA II ... 25
3. PRODUÇÃO DE CUMENO ... 30
4. METODOLOGIA ... 34
4.1. REDE DE TROCADORES DE CALOR ... 34
4.2. COLUNA DE DESTILAÇÃO COM SAÍDAS LATERAIS ... 37
4.3. PLANTA DE PRODUÇÃO DE CUMENO ... 39
4.4. LINK PYTHON-UNISIM® ... 44
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ... 46
5.1. REDE DE TROCADORES DE CALOR ... 46
5.1.1. Validação da simulação ... 46
5.1.2. Otimização mono-objetivo ... 47
5.2. COLUNA DE DESTILAÇÃO COM SAÍDAS LATERAIS ... 50
5.2.1. Validação da simulação ... 50
5.2.2. Otimização mono-objetivo ... 51
5.3. PLANTA DE PRODUÇÃO DE CUMENO ... 53
5.3.1. Validação da simulação ... 53
5.3.2. Casos de otimização multiobjetivo ... 55
6. CONCLUSÕES ... 67
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1: Funções objetivo versus variável de decisão para um problema MOOP. ... 24
Figura 2.2: Representação da fronteira de Pareto e indicação de dominância entre pontos no espaço de objetivos. ... 25
Figura 2.3: Exemplo de cruzamento de dois pontos. ... 26
Figura 2.4: Exemplo de mutação de um cromossomo. ... 27
Figura 2.5: Processo de seleção do algoritmo NSGA II. ... 28
Figura 2.6: Exemplificação da ordenação dos cromossomos por não dominância. ... 29
Figura 2.7: Exemplificação do cálculo da distância de agrupamento. ... 29
Figura 3.1: Fórmula estrutural do cumeno. ... 30
Figura 3.2: Fluxograma da planta de produção de cumeno segundo Turton et al. (2002). .... 32
Figura 4.1: Fluxograma da rede de trocadores de calor. ... 35
Figura 4.2: Fluxograma da coluna de destilação com saídas laterais... 37
Figura 5.1: Evolução das partículas ao decorrer das iterações na aplicação do algoritmo PSO. ... 48
Figura 5.2: Evolução dos indivíduos da população ao decorrer das gerações na aplicação do algoritmo DE. ... 48
Figura 5.3: Valor ótimo da função objetivo a cada iteração/geração. ... 49
Figura 5.4: Valor ótimo da função objetivo a cada iteração/geração. ... 53
Figura 5.5: Fronteiras de Pareto obtidas na otimização do Caso 1. ... 55
Figura 5.6: Resultados das variáveis de decisão para otimização do Caso 1. ... 56
Figura 5.7: Fronteiras de Pareto obtidas na otimização do Caso 2. ... 59
Figura 5.8: Resultados das variáveis de decisão para otimização do Caso 2. ... 60
Figura 5.9: Fronteiras de pareto obtidas na otimização do Caso 3. ... 62
Figura 5.10: Resultados das variáveis de decisão para otimização do Caso 3. ... 63
Figura 5.11: Fronteiras de Pareto obtidas na otimização do Caso 4. ... 64
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1: Propriedades físicas e químicas do cumeno. ... 30
Tabela 4.1: Parâmetros de design dos trocadores de calor. ... 35
Tabela 4.2: Formulação matemática dos casos de otimização multiobjetivo. ... 42
Tabela 5.1: Correntes materiais para simulação da rede de trocadores de calor. ... 46
Tabela 5.2: Troca energética para simulação da rede de trocadores de calor. ... 47
Tabela 5.3: Resultados obtidos na otimização da simulação da rede de trocadores de calor após 40 iterações/gerações. ... 49
Tabela 5.4: Correntes materiais da simulação da coluna de destilação com saídas laterais. .. 50
Tabela 5.5: Recuperação dos componentes nas correntes de destilado, saídas laterais e fundo. ... 51
Tabela 5.6: População inicial utilizada na otimização da simulação da coluna de destilação.51 Tabela 5.7: Resultados da otimização da simulação da coluna de destilação após 100 iterações/gerações. ... 52
Tabela 5.8: Correntes materiais para simulação da planta de produção de cumeno. ... 54
Tabela 5.9: Resultados da troca energética para simulação da planta de produção de cumeno. ... 55
LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS
ACO Ant Colony Optimization
BFGS Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
bfw boiling feed water
DE Differential Evolution
DIPB p-diisopropilbenzeno
FEHE Feed Effluent Heat Exchanger
GA Genetic Algorithm hps high pressure steam
LMTD Logarithmic Mean Temperature Difference
MOEAs Multi-Objective Evolutionary Algorithms
MOGA Multi-Objective Genetic Algorithm
MOOP Multi-Objective Otimization Problem
NLP Nonlinear Programing
NSGA II Nondominated Sorting Genetic Algorithm II PFR Plug Flow Reactor
PSO Particle Swarm Optimization
SOOP Single Objective Optimization Problem
SPEA II Strength Pareto Evolutionary Algorithm II
SQP Sequential Quadratic Programming
VBA Visual Basic for Applications
D dimensão do problema de otimização
l𝑥 vetor das variáveis de decisão
𝑥𝑚𝑖𝑛 vetor dos limites inferiores das variáveis de decisão
𝑥𝑚𝑎𝑥 vetor dos limites superiores das variáveis de decisão
l𝑤 vetor velocidade das partículas (algoritmo PSO)
l𝜆 parâmetro de inércia (algoritmo PSO)
𝜆𝑚𝑖𝑛 valor mínimo do parâmetro de inércia (algoritmo PSO)
𝜆𝑚𝑎𝑥 valor máximo do parâmetro de inércia (algoritmo PSO)
𝑐1e 𝑐2 constantes de aceleração (algoritmo PSO)
𝑔𝑏𝑒𝑠𝑡 melhor posição encontrada considerando-se todas as partículas (algoritmo PSO)
𝑣 vetor posição das partículas após mutação (algoritmo DE)
𝑢 vetor posição das partículas após recombinação (algoritmo DE)
β constante de mutação (algoritmo DE)
CR constante de recombinação (algoritmo DE)
PG população de cromossomos inicial na geração G (algoritmo NSGA II)
QG população de cromossomos após as operações de cruzamento e mutação na
geração G (algoritmo NSGA II)
F1, F2 e F3 fronteiras obtidas na ordenação dos cromossomos por não dominância
(algoritmo NSGA II)
U coeficiente global de transferência de calor
𝑛̇1’ vazão molar da corrente que entra no trocador de calor HE2’
A área de troca térmica
𝑛̇𝐹 vazão molar da alimentação da coluna de destilação com saídas laterais
𝑛̇𝐷 vazão molar do destilado da coluna de destilação com saídas laterais
𝑛̇𝑆1 vazão molar da saída lateral 1 da coluna de destilação com saídas laterais
𝑛̇𝑆2 vazão molar da saída lateral 2 da coluna de destilação com saídas laterais RR razão de refluxo da coluna de destilação com saídas laterais
𝑛̇𝐷,𝑛𝐶5 vazão molar de n-pentano no destilado da coluna de destilação com saídas laterais
𝑛̇𝑆1,𝑛𝐶6 vazão molar de n-hexano na saída lateral 1 da coluna de destilação com saídas laterais
𝑛̇𝑆2,𝑛𝐶7 vazão molar de n-heptano na saída lateral 2 da coluna de destilação com saídas laterais
𝑛̇𝑆2,𝑛𝐶8 vazão molar de n-octano na saída lateral 2 da coluna de destilação com saídas laterais
𝑛̇𝐵,𝑛𝐶9 vazão molar de n-nonano no fundo da coluna de destilação com saídas laterais
𝑚̇𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑜 vazão mássica do produto cumeno
𝑚̇𝑔á𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙 vazão mássica de gás residual
𝑚̇𝐷𝐼𝑃𝐵 vazão mássica de DIPB
𝑇6 temperatura da corrente que sai do reator
𝑃7 pressão da corrente que sai do expansor E1
𝑃9 pressão da corrente que sai da válvula VL1
𝑇12 temperatura da corrente que sai do trocador de calor HE1
𝑅𝑅𝐶1 razão de refluxo da coluna de destilação C1
𝑧𝐶6𝐻6,17 fração molar de benzeno no fundo da coluna de destilação C1 𝑛̇22 vazão molar da corrente que recircula na coluna de destilação C2
𝑧𝐶3𝐻6,14 fração molar de propeno na alimentação da coluna de destilação C1 𝑇11 temperatura da corrente de processo que entra no trocador de calor HE1
𝑇15 temperatura do destilado da coluna de destilação C1
𝑛̇16 vazão da corrente de reciclo de benzeno
1.
INTRODUÇÃO
1.1.CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A otimização mono-objetivo é um termo advindo da matemática que se refere à minimização ou maximização de uma determinada função (função objetivo), sujeita ou não a restrições, por meio da busca pelos valores ótimos das variáveis as quais essa função é dependente (variáveis de decisão) (Nocedal e Wright, 1999). Quando há mais de uma função objetivo, a otimização passa a ser denominada de multiobjetivo. Na otimização multiobjetivo, é comum que as funções objetivo sejam conflitantes, obtendo-se um conjunto de soluções ótimas denominado de conjunto Pareto-ótimo (Pardalos et al., 2017).
Os problemas de otimização podem ser solucionados pela aplicação de algoritmos de natureza iterativa. Estes algoritmos são divididos em dois grupos: determinísticos e evolucionários.Os algoritmos determinísticos são baseados em cálculo de derivadas, incluindo, por exemplo, o SQP – Sequential Quadratic Programming e o Quase Newton (Nariño, 2014). Os algoritmos evolucionários são baseados em mecanismos de evolução biológica, incluindo o PSO – Particle Swarm Optimization, DE – Differential Evolution e o NSGA II – Nondominated
Sorting Genetic Algorithm II (Nariño, 2014).
Na engenharia química, uma importante área de estudo é a otimização de processos. Esta área vem ganhando destaque nos últimos anos devido a uma série de fatores, como as regulamentações ambientais cada vez mais rigorosas sobre diversos setores produtivos em vários países, além da concorrência global, que exige produtos de alta qualidade a preços competitivos. A otimização de processos consiste em uma das principais ferramentas de natureza quantitativa empregada industrialmente na tomada de decisões (Himmelblau et al., 2001).
O uso de simuladores de processos é muito disseminado tanto na indústria quanto na academia. Tais ferramentas possibilitam realizar a modelagem matemática de equipamentos encontrados nos processos químicos, como colunas de destilação e absorção, trocadores de calor, reatores e decantadores. Também apresentam vários modelos termodinâmicos e um extenso banco de dados de propriedades físicas e termodinâmicas. Em alguns simuladores de processos, como o Aspen HYSYS®, EMSO e UniSim®, há um módulo de otimização disponível. No UniSim®, por exemplo, este módulo possui os algoritmos SQP e Quase-Newton implementados.
Alguns trabalhos recentes utilizaram simuladores de processos na otimização mono-objetivo de processos industriais (Edwin et al., 2017; Alvarães et al., 2019; Yoon et al., 2012). Pela aplicação do algoritmo SQP, Edwin et al. (2017) maximizaram o lucro líquido obtido em um processo de estabilização de petróleo cru simulado no Aspen HYSYS®. Alvarães et al. (2019) minimizaram a energia requerida por uma planta de produção de biodiesel simulada no UniSim® para diferentes composições da alimentação.
Devido à pequena quantidade de algoritmos de otimização presente nos simuladores de processos em geral, a estratégia adotada por Yoon et al. (2012) foi o estabelecimento da comunicação entre o Aspen HYSYS® e o MATLAB®. A implementação do GA – Genetic
Algorithm no MATLAB® foi utilizada pelos autores para minimizar a potência de eixo
requerida na simulação do processo de liquefação do Gás Natural.
Tikadar et al. (2020), Oni et al. (2018) e Flegiel et al. (2015) realizaram otimizações multiobjetivos de processos industriais simulados no Aspen HYSYS®. Nestes trabalhos, o algoritmo NSGA II foi implementado na linguagem Visual Basic for Applications (VBA) pelos autores. Tikadar et al. (2020) e Oni et al. (2018) analisaram o desempenho ambiental e econômico dos processos de tratamento do gás natural com aminas e de produção de ácido sulfúrico, respectivamente. Em Flegiel et al. (2015), dois designs do processo de produção de cumeno foram propostos e a otimização multiobjetivo envolveu a minimização do custo total de capital, do custo com utilidades e da produção de resíduos.
No presente trabalho, foi realizada a otimização multiobjetivo de um dos designs propostos por Flegiel et al. (2015) por meio da utilização do algoritmo NSGA II, associado aos melhores desempenhos. Os objetivos consistiram na maximização da produção de cumeno, minimização da produção de resíduos e minimização do consumo energético. Desse modo, diferentemente de Flegiel et al. (2015), que ressaltaram a análise da viabilidade econômica do processo, o presente trabalho apenas abordou objetivos operacionais. Uma outra contribuição importante foi a comparação realizada entre os resultados obtidos na otimização multiobjetivo para as situações com e sem a introdução de distúrbios no processo.
Adicionalmente, houve a comparação entre o desempenho dos algoritmos PSO e DE, que foram utilizados na otimização mono-objetivo dos seguintes processos industriais, propostos por Rodríguez e Granda (2005): (i) resfriamento de uma mistura de hidrocarbonetos leves em uma rede de trocadores de calor, e (ii) separação de uma mistura de parafinas em uma coluna de destilação.
Todas as simulações foram realizadas no UniSim®, e os algoritmos de otimização foram implementados em Python, que é uma linguagem de programação em constante desenvolvimento, apresentando várias bibliotecas voltadas para a computação numérica.
1.2.OBJETIVOS DO TRABALHO
O presente trabalho tem como finalidades:
• Aplicar otimização mono-objetivo para reduzir os gastos na aquisição de uma rede de trocadores de calor ao minimizar a sua área de troca térmica;
• Aplicar otimização mono-objetivo para aumentar a eficiência da separação de uma mistura de parafinas em uma coluna de destilação;
• Comparar os desempenhos dos algoritmos PSO e DE aplicados à otimização mono-objetivo;
• Aplicar otimização multiobjetivo para maximizar a vazão de cumeno produzido e minimizar a vazão de resíduos gerados e o consumo energético na planta de produção de cumeno;
• Comparar os resultados obtidos na otimização multiobjetivo para as situações sem e com a introdução de distúrbios, que consistiram em um aumento de 8% nas vazões de alimentação da planta de produção cumeno.
1.3.ORGANIZAÇÃO DO TEXTO
Este trabalho se encontra estruturado em seis capítulos, contando com o presente, que contém algumas considerações iniciais e os objetivos da pesquisa.
No Capítulo 2 é realizada uma revisão bibliográfica da área de otimização de processos. São apresentados alguns conceitos básicos e métodos de otimização, com destaque para os algoritmos PSO, DE e NSGA II.
No Capítulo 3 é realizada uma revisão bibliográfica da produção de cumeno, incluindo os principais trabalhos encontrados na literatura sobre o tema.
O Capítulo 4 detalha a metodologia empregada na simulação e otimização dos processos industriais estudados. São apresentados os fluxogramas de processo, com as especificações necessárias, a formulação matemática dos problemas de otimização propostos, e detalhes sobre a comunicação entre o UniSim® e Python.
No Capítulo 5 são apresentados e discutidos os resultados obtidos para as simulações e otimizações realizadas.
2.
OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS
Os principais termos encontrados na área de otimização de processos se encontram definidos abaixo (Himmelblau et al, 2015):
• variáveis de decisão - variáveis de projeto ou operação, cujos valores são alterados durante o processo de otimização;
• função objetivo - função, dependente das variáveis de decisão, que representa uma dada medida de performance do processo;
• restrições - funções de igualdade ou de desigualdade que, assim como a função objetivo, são dependentes das variáveis de decisão, expressando matematicamente condições requeridas para viabilização do processo;
• espaço de busca - também denominado de região factível, é o conjunto das soluções factíveis, que satisfazem todos os limites e restrições;
• solução ótima - conjunto formado pelo ponto ótimo e valor ótimo. O ponto ótimo é o vetor das variáveis de decisão, dado dentro do espaço de busca, que minimiza (ou maximiza) a função objetivo. O valor ótimo é o valor da função objetivo no ponto ótimo.
Assim, um problema de otimização é definido, segundo Himmelblau et al. (2015) como:
min𝒙𝑓(𝒙) 𝑔𝑗(𝒙) ≤ 0; 𝑗 = 1, … , 𝑚
ℎ𝑖(𝒙) = 0; 𝑖 = 1, … , 𝑛
𝑥𝑚𝑖𝑛,𝑘 ≤ 𝑥𝑘 ≤ 𝑥𝑚á𝑥,𝑘; 𝑘 = 1, … , 𝐷
(2.1)
onde as variáveis de decisão são representadas pelo vetor 𝒙, que é formado por 𝐷 elementos; 𝑓,
𝑔𝑗 e ℎ𝑖 são, respectivamente, a função a ser minimizada, a j-ésima restrição de desigualdade e a i-ésima restrição de igualdade; 𝑚 corresponde ao número total de restrições de desigualdade;
𝑛 representa o número total das restrições de igualdade; 𝒙𝑚𝑖𝑛 e 𝒙𝑚á𝑥 são vetores contendo os limites inferiores e superiores, respectivamente, das variáveis de decisão.
Para um problema de otimização mono-objetivo, a função 𝑓 é composta por apenas uma função objetivo e, para um problema de otimização multiobjetivo, ela é composta por um conjunto de funções objetivos. De acordo com Himmelblau et al. (2015), a função 𝑓 deve ser
minimizada e, com isso, quando deseja-se maximizar uma dada função objetivo é necessário minimizar o seu negativo.
Quando ao menos uma das funções na Equação (2.1) for não linear, o problema de otimização é denominado de NLP (Nonlinear Programming) (Himmelblau et al, 2015). O problema de otimização também pode ser classificado quanto à existência de restrições em restrito e irrestrito.
A Seção 2.1 deste capítulo introduz os principais algoritmos de otimização mono-objetivos, abordando mais detalhadamente os algoritmos Otimização por Exame de Partículas e Evolução Diferencial, que serão utilizados no presente trabalho. Na Seção 2.2, os conceitos básicos de otimização multiobjetivo e o algoritmo NSGA II, que também será utilizado no presente trabalho, são apresentados.
2.1.MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO MONO-OBJETIVO
Um problema de otimização mono-objetivo (SOOP – Single Objective Optimization
Problem) pode ser resolvido por meio da utilização de algoritmos determinísticos, que são
caracterizados pelo emprego de um vetor de direção de busca, atualizado de modo iterativo de acordo com algum critério baseado no cálculo da derivada da função objetivo em relação às variáveis de decisão (Nocedal e Wright, 1999). O cálculo das derivadas primeira (gradiente) e segunda (matriz hessiana) pode ser realizado numericamente ou analiticamente. Dentre os algoritmos mais comuns para resolução de problemas de otimização irrestritos estão os algoritmos Fletcher Reever, Newton-Raphson, Quase Newton e BFGS –
Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno. Já para resolução de problemas de otimização restritos, o algoritmo mais
utilizado é o Programação Quadrática Sequencial (SQP – Sequential Quadratic Programming), além de métodos que agrupam a função objetivo e restrições em uma única função a ser minimizada, como por exemplo os métodos baseados em funções penalidades e Lagrangeano Aumentado (Nocedal e Wright, 1999).
Extremo local e extremo global são conceitos importantes da otimização mono-objetivo (Himmelblau et al, 2015). Um extremo é uma solução 𝒙∗ tal que quando 𝑓(𝒙∗) ≤ 𝑓(𝒙), 𝒙∗ é denominado de mínimo, e quando 𝑓(𝒙∗) ≥ 𝑓(𝒙), 𝒙∗ é denominado de máximo. Caso 𝒙 compreenda uma pequena região ao redor de 𝒙∗, pertencente a região factível, tem-se um extremo local. Já quando 𝒙 compreender toda a região factível, tem-se um extremo global. Podem existir mais de um extremo local, enquanto o extremo global é único. Todos os
algoritmos determinísticos citados anteriormente são capazes apenas de encontrar extremos locais e, com isso, a solução ótima encontrada pode ser dependente da estimativa inicial.
Os problemas de otimização mono-objetivo também podem ser resolvidos por meio de algoritmos evolucionários, que procuram simular fenômenos ou processos encontrados na natureza, não exigindo cálculo de derivadas (Nocedal e Wright, 1999). A maior desvantagem em relação aos algoritmos determinísticos é, em geral, o maior tempo computacional necessário e possibilidade de encontrar diferentes soluções para um mesmo problema. A maioria dos algoritmos evolucionários são de otimização global, como por exemplo os Algoritmos Genéticos (GA – Genetic Algorithm), de Otimização da Colônia de Formigas (ACO – Ant
Colony Optimization), Otimização por Exame de Partículas (PSO – Particle Swarm Optimization) e Evolução Diferencial (DE – Differential Evolution) (Nocedal e Wright, 1999).
2.1.1. Otimização por Enxame de Partículas
A Otimização por Enxame de Partículas é um algoritmo evolucionário originalmente desenvolvido por Kennedy e Eberhart (1995), se baseando na simulação do comportamento social de um bando de pássaros durante o vôo. Cada pássaro faz analogia a um candidato à solução do problema de otimização, sendo denominado de partícula. As partículas evoluem ao decorrer das iterações na busca pelo ótimo, apenas por meio da competição e cooperação entre elas, sem levar em conta operadores genéticos (Marini e Walczak, 2015).
Considerando-se a existência de N partículas, uma determinada partícula 𝑖 apresenta posição 𝒙𝒊= [𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝐷] e velocidade 𝒗𝒊= [𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2, … , 𝑣𝑖𝐷], onde D é a dimensão do problema de otimização (Marini e Walczak, 2015).
Com 𝑡 e 𝑡 + 1 representando duas iterações sucessivas, os valores de 𝒙𝒊 e 𝒗𝒊 são atualizados, respectivamente, de acordo com as Equações (2.2)-(2.3):
j𝒙𝒊𝒕+𝟏 = 𝒙𝒊𝒕+ 𝒗𝒊𝒕+𝟏 (2.2)
j𝒗𝒊𝒕+𝟏 = 𝜆𝒗𝒊𝒕+ 𝑐1𝑅1(𝒑𝒃𝒆𝒔𝒕𝒊𝒕− 𝒙𝒊𝒕) + 𝑐2𝑅2(𝒈𝒃𝒆𝒔𝒕𝒕− 𝒙𝒊𝒕) (2.3)
onde 𝒑𝒃𝒆𝒔𝒕𝒊 é a melhor posição encontrada pela partícula 𝑖; 𝒈𝒃𝒆𝒔𝒕 é a melhor posição encontrada levando-se em consideração todas as partículas; 𝑅1 e 𝑅2 são números aleatórios gerados a partir de distribuições uniformes em [0,1]; 𝑐1e 𝑐2 são denominados de constantes de aceleração, e geralmente são iguais a 2; e 𝜆 é denominado de parâmetro de inércia (Marini e Walczak, 2015).
A expressão para 𝒗𝒊𝒕+𝟏, na Equação (2.3), apresenta a contribuição de três termos. O primeiro termo (𝜆𝒗𝒊𝒕) é relativo à inércia, impedindo que a partícula 𝑖 mude drasticamente de velocidade. O segundo termo (𝑐1𝑅1(𝒑𝒃𝒆𝒔𝒕𝒊𝒕− 𝒙𝒊𝒕)) remete à individualidade da partícula 𝑖, determinando uma tendência a retornar para a posição 𝒑𝒃𝒆𝒔𝒕𝒊. Por último, tem-se o termo de sociabilidade (𝑐2𝑅2(𝒈𝒃𝒆𝒔𝒕𝒕− 𝒙𝒊𝒕)), que indica a tendência da partícula 𝑖 de se mover em direção à posição 𝒈𝒃𝒆𝒔𝒕.
O parâmetro de inércia tem o papel de controlar o efeito que 𝒗𝒊𝒕 exerce sobre 𝒗𝒊𝒕+𝟏. Várias equações são encontradas na literatura para o cálculo do parâmetro de inércia (Marini e Walczak, 2015). Uma dessas equações é dada pela Equação (2.4):
j𝜆(𝑡) = 𝜆𝑚𝑎𝑥−𝜆𝑚𝑎𝑥𝑡 −𝜆𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥 𝑡 (2.4)
onde 𝜆𝑚𝑎𝑥 e 𝜆𝑚𝑖𝑛 são os valores máximo e mínimo do parâmetro de inércia, respectivamente, e 𝑡𝑚𝑎𝑥 é o número de iterações máximo.
Na Equação (2.4) há o decrescimento linear do parâmetro de inércia ao decorrer do processo iterativo. Essa abordagem fornece resultados satisfatórios em muitas aplicações, tendo sido observado um melhor desempenho quando 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 0,9 e 𝜆𝑚𝑖𝑛 = 0,4 (Xin el al., 2009).
O valor inicial de 𝒙𝒊 deve ser dado de modo a cobrir o mais uniformemente possível o espaço de busca, ou seja, por uma distribuição uniforme em [𝒙𝒎𝒊𝒏, 𝒙𝒎𝒂𝒙], onde 𝒙𝒎𝒊𝒏 =
[𝑥min 1, … , 𝑥min 𝐷] e 𝒙𝒎𝒂𝒙 = [𝑥max 1, … , 𝑥max 𝐷] são, respectivamente, os limites espaciais
inferiores e superiores das variáveis de decisão (Talukder, 2011).
Têm-se muitas divergências na literatura com respeito ao valor inicial de 𝑣𝑖. Alguns autores sugerem utilizar um valor nulo, enquanto outros sugerem uma inicialização aleatória, dada por uma distribuição uniforme em [−|𝒙𝒎𝒂𝒙− 𝒙𝒎𝒊𝒏|, |𝒙𝒎𝒂𝒙− 𝒙𝒎𝒊𝒏| ] (Talukder, 2011).
Para evitar que haja violação dos limites espaciais 𝒙𝒎𝒊𝒏 e 𝒙𝒎𝒂𝒙, o que pode causar divergência ou gerar uma solução inválida, são utilizadas as chamadas condições de contorno. Essas condições são divididas em dois grupos: as condições de contorno restritas (absorção, reflexão e amortecimento) e as irrestritas (invisível, invisível/reflexão, invisível/amortecimento) (Talukder, 2011).
Nas condições de contorno restritas, quando há violação de algum limite espacial em uma dada dimensão 𝑗, a partícula 𝑖 é igualada imediatamente a esse limite, ou seja, quando
Para essa dada dimensão 𝑗, no caso da absorção, a velocidade se anula. No caso da estratégia de reflexão, a velocidade tem seu sinal alterado. Por fim, para o amortecimento, a velocidade também tem seu sinal alterado, e, além disso, é multiplicada por um coeficiente aleatório entre [0, 1] (Talukder, 2011).
Nas condições de contorno irrestritas, diferentemente das restritas, a posição da partícula 𝑖 não sofre modificação quando há violação de algum limite espacial. Já a modificação na velocidade ocorre de modo idêntico à reflexão no caso de invisível/reflexão e de modo idêntico ao amortecimento no caso de invisível/amortecimento. Para a condição invisível, não há modificação na velocidade também (Talukder, 2011).
O método de preservação das soluções viáveis, presente em Hu e Eberhart (2002), foi utilizado no presente trabalho para resolução de problemas de otimização com restrições de desigualdade. Nesse método, a inicialização de cada partícula ocorre repetidas vezes até que constituam soluções viáveis, o que pode demandar bastante tempo computacional dependendo do tamanho da região factível, mas tem como vantagem acelerar o processo de busca. Logo, em cada iteração, a partícula 𝑖 só irá contribuir para uma possível atualização nos valores de
𝒑𝒃𝒆𝒔𝒕𝒊, 𝑓(𝒑𝒃𝒆𝒔𝒕𝒊), 𝒈𝒃𝒆𝒔𝒕 e 𝑓(𝒈𝒃𝒆𝒔𝒕) caso permaneça na região factível.
2.1.2. Evolução Diferencial
O algoritmo Evolução Diferencial foi idealizado por Storn e Price (1997) e, assim como todo algoritmo evolucionário, apresenta uma população com indivíduos que são candidatos à solução do problema de otimização. Essa população mantém um tamanho constante (NP) ao decorrer das gerações. Por meio de operações de mutação, recombinação e seleção, que são realizadas necessariamente nesta ordem em cada geração, os indivíduos tendem a convergir para o ponto ótimo. Geralmente, o critério de parada adotado é um número de gerações máximo (𝐺𝑚𝑎𝑥).
Um indivíduo 𝑖 de uma geração 𝐺, para 𝑖 = 1, … , 𝑁𝑃 e 𝐺 = 1, … , 𝐺𝑚á𝑥, apresenta posição
𝒙𝒊𝑮 = [ 𝑥
𝑖1𝐺, 𝑥𝑖2𝐺, … , 𝑥𝑖𝐷𝐺], sendo 𝐷 a dimensão do problema de otimização. A população inicial, assim como no algoritmo PSO, é escolhida aleatoriamente dentro dos limites espaciais
𝒙𝒎𝒊𝒏 e 𝒙𝒎𝒂𝒙 por meio de uma distribuição uniforme. Já as populações das demais gerações são determinadas com base na geração imediatamente anterior, de modo que, inicialmente, cria-se um vetor mutante 𝒘𝒊𝑮= [ 𝑤𝑖1𝐺, 𝑤𝑖2𝐺, … , 𝑤𝑖𝐷𝐺] dado de acordo com a Equação (2.5):
j𝒘𝒊𝑮 = 𝒙𝜶𝟏𝑮 + 𝛽(𝒙𝜶𝟐𝑮− 𝒙𝜶𝟑𝑮) (2.5)
onde 𝛼1, 𝛼2 e 𝛼3 são índices selecionados aleatoriamente, com valores inteiros que variam de 1 até 𝑁𝑃, devendo ser diferentes entre si e diferentes do índice 𝑖, o que torna necessário um valor de no mínimo 4 para 𝑁𝑃; 𝛽 é a constante de mutação, que geralmente assume um valor entre 0 e 2, e representa a importância da diferença (𝒙𝜶𝟐𝑮− 𝒙𝜶𝟑𝑮) sobre o valor do vetor
mutante (Lampinen, 1999).
O vetor 𝒘𝒊𝑮, obtido pela Equação (2.5), não apresenta, necessariamente, valores dentro dos limites 𝒙𝒎𝒊𝒏 e 𝒙𝒎𝒂𝒙. Isso é contornado ao se fazer com que valores abaixo de 𝒙𝒎𝒊𝒏 sejam igualados a 𝒙𝒎𝒊𝒏, e valores acima de 𝒙𝒎𝒂𝒙 sejam igualados a 𝒙𝒎𝒂𝒙 (Lampinen, 1999).
Após essa etapa, há a operação de recombinação, que origina um vetor de teste 𝒖𝒊𝑮 =
[ 𝑢𝑖1𝐺, 𝑢𝑖2𝐺, … , 𝑢𝑖𝐷𝐺] dado pela Equação (2.6):
j𝑢𝑖𝑗𝐺 = {𝑤𝑖𝑗
𝐺 𝑠𝑒 (𝑅
𝑗 ≤ 𝐶𝑅 𝑜𝑢 𝑗 = 𝑘𝑖)
𝑥𝑖𝑗𝐺 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
(2.6)
para 𝑗 = 1, … , 𝐷, onde 𝑅 é um vetor de dimensão 𝐷 formado por números aleatórios com base em uma distribuição uniforme em [0,1]. Já 𝐶𝑅 é denominado de constante de recombinação, geralmente assumindo um valor entre 0 e 1. 𝑘𝑖 é um índice aleatório entre 1 e 𝐷, e é utilizado para assegurar que o vetor 𝒖𝒊𝑮 sempre será diferente do vetor 𝒙𝒊𝑮 (Lampinen, 1999).
A variante do algoritmo DE apresentada anteriormente é denominada de rand/1/bin, sendo a mais comumente encontrada na literatura (Araújo, 2016). Na operação de mutação (Equação (2.5)), os vetores foram escolhidos de modo aleatório e um único par de vetores foi utilizado na subtração, explicando-se os termos “rand” e “1”, respectivamente. O termo “bin” é referente a estratégia de recombinação binominal (Equação (2.6)).
Caso o problema de otimização não apresente restrições, irá ocorrer uma simples operação de seleção, onde a melhor solução é escolhida de acordo com a Equação (2.7):
f𝒙𝒊𝑮+𝟏= {𝒖𝒊
𝑮 𝑠𝑒 (𝑓(𝒖
𝒊𝑮) ≤ 𝑓(𝒙𝒊𝑮) )
𝒙𝒊𝑮 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
(2.7)
A abordagem desenvolvida por Lampinen (2002) foi utilizada no presente trabalho para solução de problemas de otimização com restrições de desigualdade (𝑔𝑗 ≥ 0, para 𝑗 = 1, … , 𝑚),
sendo indicada na Equação (2.8). Segundo Lampinen (2002), soluções viáveis sempre são preferíveis em relação a soluções inviáveis. Se ambos os vetores 𝒖𝒊𝑮 e 𝒙𝒊𝑮 são soluções viáveis, tem-se a situação das Equações (2.6)-(2.7), e, então, o vetor que apresentar um menor valor de função objetivo será selecionado. Já quando ambos os vetores 𝒖𝒊𝑮 e 𝒙𝒊𝑮 são soluções inviáveis,
𝒖𝒊𝑮 será selecionado se não violar nenhuma das restrições de desigualdade mais do que 𝒙 𝒊𝑮. j𝒙𝒊𝑮+𝟏= { 𝒖𝒊𝑮 𝑠𝑒 { { ∀𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}: 𝑔𝑗(𝒖𝒊𝑮 ) ≥ 0 𝑒 𝑔𝑗(𝒙𝒊𝑮 ) ≥ 0 𝑒 𝑓(𝒖𝒊𝑮 ) ≤ 𝑓(𝒙 𝒊𝑮 ) 𝑜𝑢 { ∀𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}: 𝑔𝑗(𝒖𝒊𝑮 ) ≥ 0 𝑒 ∃𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}: 𝑔𝑗(𝒙𝒊𝑮 ) < 0 𝑜𝑢 { ∃𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}: 𝑔𝑗(𝒖𝒊𝑮 ) < 0 𝑒 ∀𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}: max(−𝑔𝑗(𝒖𝒊𝑮 ), 0) ≤ max(−𝑔 𝑗(𝒙𝒊𝑮 ), 0) 𝑥𝑖𝐺 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 (2.8)
Para agilizar a convergência do algoritmo DE, pode-se utilizar uma população inicial composta apenas por soluções viáveis. Neste caso, a Equação (2.8) é reescrita de acordo com a Equação (2.9): f𝒙𝒊𝑮+𝟏= {𝒖𝒊 𝑮𝑠𝑒 ∀𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}: 𝑔 𝑗(𝒖𝒊𝑮 ) ≥ 0 𝑒 𝑓(𝒖𝒊𝑮 ) ≤ 𝑓(𝒙𝒊𝑮 ) 𝒙𝒊𝑮 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 (2.9)
2.2.MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO
Para uma melhor compreensão dos conceitos a serem apresentados, considera-se um problema de otimização multiobjetivo (MOOP – Multi-Objective Otimization Problem) simples, com apenas uma variável de decisão (𝑥), sem restrições e envolvendo a minimização de duas funções objetivos (𝑓1e 𝑓2). A Figura 2.1 apresenta a plotagem das funções objetivos
respectivamente, por M1 e M2, é uma região de objetivos conflitantes, já que o aumento no valor de 𝑓1 é acompanhado pela diminuição no valor de 𝑓2. Com isso, não há uma única solução ótima como em um problema SOOP, mas um conjunto de soluções ótimas, denominado de conjunto Pareto-ótimo, que compreende todas as soluções entre M1 e M2 (Messac, 2015).
Figura 2.1: Funções objetivo versus variável de decisão para um problema MOOP.
Fonte: Messac (2015).
Em um problema MOOP, além do espaço das variáveis de decisão, onde se realiza a busca pelas soluções ótimas, há um espaço associado às funções objetivo, denominado de espaço de objetivos (Figura 2.2). A fronteira de Pareto, na Figura 2.2 é a curva obtida ao se plotar o conjunto Pareto-ótimo no espaço de objetivos (Bardanachvili, 2006).
Na Figura 2.2 está ilustrado o conceito de dominância, ao se analisar os pontos A, B e C. Atenta-se que estes pontos estão associados a diferentes valores de 𝑥, como indicado na Figura 2.1. O ponto B é não-dominado, pois não existe nenhum ponto que apresente valores menores do que o ponto B para ambas as funções objetivos (Bardanachvili, 2006). Por essa lógica, os pontos A e C são dominados. Diz-se que os pontos M1 e B dominam o ponto A, e o ponto M2 domina o ponto C. Mais especificamente, todas as soluções ótimas são não-dominadas e todas as soluções não-ótimas são não-dominadas (Messac, 2015).
A otimização multiobjetivo apresenta como principais metas: obter um conjunto de soluções que esteja o mais próximo possível da fronteira de Pareto e manter a diversidade entre essas soluções, garantindo que elas se encontrem bem distribuídas no espaço de objetivos (Bardanachvili, 2006). É desejável que estas metas sejam alcançadas de modo eficiente, exigindo-se o menor esforço computacional possível.
𝑪 𝒙 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝑴𝟏 𝑴𝟐 pareto 𝑨 𝑩
Figura 2.2: Representação da fronteira de Pareto e indicação de dominância entre pontos no espaço de objetivos.
Fonte: Messac (2015).
Para a solução de um problema MOOP, uma das abordagens utilizadas é o uso de métodos clássicos, onde, por meio da aplicação de prioridades ou pesos às funções objetivos, há a formação de uma única função objetivo, originando-se, assim, um problema SOOP equivalente (Nariño, 2014). Uma única solução ótima é encontrada para cada combinação de prioridades ou pesos utilizada, fazendo com que sejam necessárias várias combinações diferentes para obtenção da fronteira de Pareto. Dentre os métodos clássicos mais comuns estão o Método da Soma Ponderada, Método da Restrição-ɛ e Método de Programação por Metas (Nariño, 2014).
Uma outra abordagem que vem sendo amplamente utilizada nos últimos anos são os Algoritmos Evolutivos Multiobjetivos ( MOEAs – Multi-Objective Evolutionary Algorithms), com destaque para os Algoritmos Genéticos, como por exemplo o MOGA (Multi-objective
Genetic Algorithm), SPEA II (Strength Pareto Evolutionary Algorithm II) e NSGA II
(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II) (Nariño, 2014).
2.2.1. NSGA II
O algoritmo NSGA II foi proposto por Deb et al. (2002), sendo uma variação do algoritmo NSGA. Assim como todos os outros algoritmos pertencentes a classe de Algoritmos Genéticos, o NSGA II é inspirado na seleção natural e reprodução genética. A consideração do
𝑪 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝑴𝟏 𝑴𝟐 𝑨 dominado dominado não-dominado 𝑩
elitismo, juntamente com a aplicação dos conceitos de dominância e diversidade, torna o NSGA II um dos algoritmos multiobjetivos com os melhores desempenhos (Bardanachvili, 2006).
Inicialmente, uma população aleatória 𝑃0 de 𝑁 cromossomos é criada. Cada cromossomo consiste, geralmente, em uma sequência binária, que, quando decodificada, corresponde aos valores das variáveis de decisão do problema (Bardanachvili, 2006). A unidade básica do cromossomo é denominada de gene, e o valor atribuído a cada gene é denominado de alelo.
Outra denominação importante é a aptidão ou fitness, que representa a capacidade de sobrevivência de um cromossomo, estando relacionada com os conceitos de dominância e diversidade (Bardanachvili, 2006). Cromossomos que consistem em soluções não-dominadas e menos aglomeradas apresentam melhores fitness. Com o intuito de se obter cromossomos com melhores fitness, realiza-se as operações de cruzamento e mutação, originando uma população
𝑄0 composta, assim como 𝑃0, por 𝑁 cromossomos (Nariño, 2014).
O cruzamento da população de cromossomos é realizado em pares, ocorrendo por meio da troca de informações genéticas, de modo a simular a reprodução entre eles (Martínez, 2009). A frequência com que ocorrem os cruzamentos é indicada por uma probabilidade, que pode variar entre 0 e 1. Quanto maior a probabilidade de cruzamento, maior será o número de cruzamentos realizados. Existem vários tipos de cruzamento, como o cruzamento de ponto único, de dois pontos, uniforme, entre outros (Nariño, 2014).
Na Figura 2.3 está ilustrado o cruzamento de dois pontos, onde as informações genéticas de cada um dos cromossomos pais são divididas em intervalos, a partir de dois pontos escolhidos aleatoriamente. Os intervalos criados são copiados, de forma alternada, para os cromossomos descendentes.
Figura 2.3: Exemplo de cruzamento de dois pontos.
Fonte: Nariño (2014).
Cromossomos Pais Pontos de Cruzamento Cromossomos Descendentes
0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1
A mutação é responsável por manter a diversidade genética da população, permitindo com que o algoritmo explore o espaço de busca de forma mais eficiente (Martínez, 2009). Essa operação se encontra exemplificada na Figura 2.4, consistindo na modificação de algum alelo de um dado cromossomo. A sua probabilidade de ocorrência, denominada de probabilidade de mutação, pode variar entre 0 e 1.
Figura 2.4: Exemplo de mutação de um cromossomo.
Fonte: Nariño (2014).
Com base na teoria da evolução de Darwin, dentre os cromossomos das populações 𝑃0 e 𝑄0, deve-se selecionar aqueles que apresentam melhores fitness para estarem na nova geração (Bardanachvili, 2006). Este processo de seleção se encontra esquematizado na Figura 2.5, onde, para efeito de generalização, considerou-se a G-ésima geração (𝐺 = 0, 1, … , 𝐺𝑚𝑎𝑥).
O NSGA II leva em consideração o elitismo ao utilizar a população 𝑃𝐺 no processo de seleção, pois possibilita que os cromossomos da população atual com melhores fitness sejam incorporados, sem qualquer modificação, à população subsequente. Devido a aleatoriedade do processo de busca, sem o elitismo muitos destes cromossomos poderiam ser perdidos.
Os cromossomos são ordenados considerando-se o nível de não dominância entre eles, originando várias fronteiras, como exemplificado na Figura 2.6 para um caso de otimização multiobjetivo. Cada fronteira está associada a um fitness, e quanto mais próxima da origem estiver a fronteira, melhor é esse fitness (considerando minimização das funções objetivos) (Nariño, 2014). Na Figura 2.5, três fronteiras foram selecionadas, representadas por 𝐹1, 𝐹2 e 𝐹3. Entretanto, a população total selecionada apresenta um valor de cromossomos maior do que 𝑁, sendo necessária a remoção de alguns dos cromossomos de 𝐹3, que é a fronteira associada ao pior fitness dentre as fronteiras selecionadas.O critério utilizado para essa remoção é baseado
Antes da Mutação Após a Mutação
no cálculo da distância de agrupamento (crowding distance), de modo a dar preferência para o preenchimento de regiões menos densas do espaço de objetivos (Bardanachvili, 2006).
Figura 2.5: Processo de seleção do algoritmo NSGA II.
Fonte: Deb et al. (2002).
Os cromossomos são ordenados considerando-se o nível de não dominância entre eles, originando várias fronteiras, como exemplificado na Figura 2.6 para um caso de otimização multiobjetivo. Cada fronteira está associada a um fitness, e quanto mais próxima da origem estiver a fronteira, melhor é esse fitness (considerando minimização das funções objetivos) (Nariño, 2014). Na Figura 2.5, três fronteiras foram selecionadas, representadas por 𝐹1, 𝐹2 e 𝐹3. Entretanto, a população total selecionada apresenta um valor de cromossomos maior do que 𝑁, sendo necessária a remoção de alguns dos cromossomos de 𝐹3, que é a fronteira associada ao pior fitness dentre as fronteiras selecionadas.O critério utilizado para essa remoção é baseado no cálculo da distância de agrupamento (crowding distance), de modo a dar preferência para o preenchimento de regiões menos densas do espaço de objetivos (Bardanachvili, 2006).
A distância de agrupamento de uma determinada solução 𝑖 é o perímetro do cuboide formado usando as soluções vizinhas mais próximas como vértice (Figura 2.7) (Deb et al., 2002). Como observado na Figura 2.7, este cuboide apresenta lados de comprimento d1 e d2,
que correspondem às distâncias médias entre as soluções (𝑖 + 1) e (𝑖 − 1) ao longo de cada uma das funções objetivos 𝑓1 e 𝑓2, respectivamente.
Ordenação por não dominância
Ordenação pela distância de agrupamento 𝑷𝑮 𝑸𝑮 𝑷𝑮+𝟏 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 removidos
Figura 2.6: Exemplificação da ordenação dos cromossomos por não dominância.
Fonte: Nariño (2014).
Figura 2.7: Exemplificação do cálculo da distância de agrupamento.
Fonte: Deb et al. (2002).
𝒇𝟏 𝒇𝟐 i + 1 i - 1 𝒅𝟏 𝒅𝟐 i 𝒇𝟏 𝒇𝟐 Fronteira 1 Fronteira 2 Fronteira 3
3.
PRODUÇÃO DE CUMENO
O isopropilbenzeno, também conhecido como cumeno, é um hidrocarboneto aromático de fórmula molecular C9H12 e fórmula estrutural dada na Figura 3.1, ocorrendo naturalmente
no petróleo bruto (Othmer, 1979). À temperatura ambiente, este composto é um líquido incolor e inflamável, de odor característico, e praticamente insolúvel em água (Windholz, 1983). Algumas de suas propriedades físicas e químicas estão na Tabela 3.1.
Figura 3.1: Fórmula estrutural do cumeno.
Fonte: Othmer (1979).
Tabela 3.1: Propriedades físicas e químicas do cumeno.
Propriedade Valor
Massa molar (g/mol) 120,2
Ponto de fusão (oC) -96
Ponto de ebulição (oC) 152,4
Pressão de vapor à 25 oC (Pa) 611
Densidade à 20 oC (g/cm3) 0,8619
Temperatura Crítica (oC) 357,9
Solubilidade em água à 25oC (mg/L) 50
Fonte: Windholz (1983).
Na Segunda Guerra Mundial, o cumeno foi produzido em larga escala, sendo misturado à gasolina utilizada nas aeronaves para aumento da octanagem (índice que avalia a capacidade da gasolina de resistir à compressão sem entrar em autoignição). Atualmente, o cumeno está entre os cinco compostos químicos mais produzidos no mundo, atrás apenas do eteno, propeno, benzeno e etil benzeno (Junqueira, 2018). Quase todo o cumeno produzido é utilizado como intermediário na síntese de outros compostos químicos, em especial a acetona e o fenol. O fenol, por sua vez, é utilizado na produção de desinfetantes, de medicamentos, como a aspirina, de
bisfenol A, que é a prima de resinas de policarbonato, de caprolactama, que é a matéria-prima do nylon, dentre outros (Oliveira, 2015).
O cumeno é produzido por meio da reação de alquilação de Friedel-Crafts do benzeno com o propeno (Equação (3.1)) em fase gasosa e sobre um catalisador ácido, ocorrendo industrialmente em um reator tubular de leito empacotado à alta pressão e temperatura (Junqueira, 2018). Em paralelo, há a formação indesejada do p-diisopropilbenzeno (DIPB), por meio da reação de alquilação do cumeno com o propeno (Equação (3.2)). Ambas as reações citadas são irreversíveis e exotérmicas.
l𝐶6𝐻6+ 𝐶3𝐻6→ 𝐶9𝐻12 (3.1)
l𝐶9𝐻12+ 𝐶3𝐻6 → 𝐶12𝐻18 (3.2)
Na literatura, a primeira planta de produção de cumeno, cujo fluxograma está indicado na Figura 3.2, foi proposta por Turton et al. (2002). A planta é alimentada por uma corrente de benzeno puro e outra de propeno impuro (propano como impureza), que são misturadas a uma corrente de reciclo de benzeno. A mistura, após ser vaporizada e pré-aquecida, é alimentada no reator, onde ocorre a formação de cumeno e DIPB. Para a purificação do cumeno, têm-se um vaso flash, que remove o inerte propano, originando uma corrente de gás residual, e duas colunas de destilação. A primeira coluna é responsável pela recuperação do excesso de benzeno, que é recirculado na planta. Na segunda coluna, há a remoção do DIPB, obtendo-se o cumeno purificado no topo. A capacidade de produção da planta é de cerca de 100.000 toneladas/ano de cumeno.
Luyben (2010) realizou melhorias na planta proposta por Turton et al. (2002). O autor aumentou a recuperação energética, ao utilizar o calor das reações para geração de vapor. Além do mais, por meio de variações na temperatura de entrada do reator, no tamanho do reator e na vazão de reciclo de benzeno, foi possível o aumento da conversão de propeno e redução do custo anual total. O custo anual total leva em consideração gastos na aquisição dos equipamentos e catalisador, com utilidades, na compra dos reagentes.
Com o intuito de tornar o processo mais eficiente, de modo a aumentar a produção de cumeno, Pathak et al. (2011) adicionaram um reator de transalquilação, onde parte do DIPB reage com o benzeno, se convertendo novamente em cumeno (Equação (3.3)). Os autores também substituíram o vaso flash por uma coluna de destilação, para tornar a separação do inerte propano mais eficiente, de modo a reduzir a quantidade de benzeno e propeno no gás
residual. Entretanto, este novo design apresentou uma alta demanda energética e custo com equipamentos. Assim, Pathak et al. (2011) propuseram uma segunda planta, que possui apenas uma coluna de destilação reativa, onde ocorrem as reações de alquilação e transalquilação, seguida por uma coluna de destilação convencional.
l𝐶12𝐻18+ 𝐶6𝐻6 → 𝐶9𝐻12 (3.3)
Figura 3.2: Fluxograma da planta de produção de cumeno segundo Turton et al. (2002).
Propeno Benzeno Gás Residual DIPB Cumeno FEHE Reator Vaso Flash HE C1 C2 Vaporizador Fornalha
Fonte: Turton et al. (2002).
Sharma et al. (2013) trabalharam com uma capacidade de produção de cerca de 300.000 toneladas/ano de cumeno, que é um valor mais próximo ao encontrado na indústria atualmente. Algumas modificações foram realizadas no design da planta proposta por Turton et al. (2002) (Figura 3.2): remoção da fornalha e do vaporizador, para reduzir custos com energia, e a adição de um expansor imediatamente a jusante do reator, para uma maior recuperação energética. A
planta foi otimizada considerando-se como objetivos a maximização do Índice de Segurança Inerente Integrado (Khan e Amyotte, 2004), e minimização das perdas materiais (gás residual + DIPB) e do custo total de capital. O custo total de capital inclui gastos na aquisição dos equipamentos e catalisador, capital de giro, capital depreciável total, investimentos permanentes.
Para reduzir a quantidade de reagentes perdidos no gás residual, Flegiel et al. (2015) propuseram dois designs de planta baseados no trabalho de Sharma et al. (2013). Em um dos
designs, os autores utilizaram dois vasos flash ao invés de um, e no outro design, o vaso flash
foi substituído por uma coluna de destilação. Flegiel et al. (2015) também promoveram uma maior integração energética em ambos os designs, por meio da implementação da técnica de recompressão a vapor. Foram realizadas otimizações multiobjetivos visando a minimização do custo total de capital, do custo com utilidade e das perdas materiais (gás residual + DIPB).
4.
METODOLOGIA
Nos tópicos seguintes, serão abordados os detalhes das simulações e otimizações de três processos industriais: (i) sistema de resfriamento de uma mistura de hidrocarbonetos leves por meio de uma rede de trocadores de calor casco e tubos; (ii) sistema de separação de hidrocarbonetos pesados por meio de coluna de destilação e (iii) produção de cumeno por meio da reação de alquilação catalítica do benzeno com propeno e purificação do produto obtido.
O software utilizado nas simulações foi o UniSim® (Versão R390), associado à linguagem de programação Python para realização das otimizações. O hardware empregado apresenta processador AMD Ryzen™ 7 3700X com clock entre 3,6-4,4 GHz, SSD NVMe de 512 GB, memória de 16 GB, DDR4 de 3200 MHz e sistema operacional Windows 10, da Microsoft®.
4.1.REDE DE TROCADORES DE CALOR
Na Figura 4.1 está presente o fluxograma do processo simulado, que opera em estado estacionário, sendo proposto originalmente por Rodríguez e Granda (2005). O processo se caracteriza pelo resfriamento de uma corrente de alimentação à 20 oF e 1000 psia, com vazão molar de 2745 lbmol/h, composta por uma mistura de hidrocarbonetos contendo metano, etano, propano, i-butano e n-butano em frações molares de 0,7515, 0,2004, 0,0401, 0,0040 e 0,0040, respectivamente. A corrente de alimentação é dividida em outras duas, denominadas de correntes 1’ e 4’. A corrente 1’ apresenta vazão molar de 1670 lbmol/h e atravessa dois trocadores de calor casco e tubos em série (HE2’ e HE3’) pelo lado dos tubos. A corrente 4’ atravessa um único trocador de calor casco e tubos (HE1’), também pelo lado dos tubos.
Os fluidos frios utilizados nos diferentes trocadores de calor foram: (i) em HE2’, o refrigerante propano, que é alimentado no processo à 120 oF, 350 psia e 495 lbmol/h; (ii) em HE1’, o destilado de uma coluna desmetanizadora situada posteriormente ao processo, com -145 oF, 250 psia, 1542 lbmol/h e com 9,27% molar de impureza de etano e (iii) em HE3’, corrente proveniente de uma caldeira lateral dessa mesma coluna desmetanizadora, com -85oF, 251 psia, 1640 lbmol/h, e frações molares de metano, etano, propano, i-butano e n-butano de, respectivamente, 0,2828, 0,2930, 0,1414, 0,1313, 0,1515.
As perdas de carga (∆𝑃) das correntes devido à passagem pelos trocadores de calor estão na Tabela 4.1. As perdas de calor para o meio externo foram desprezíveis e o modelo Weighted
foi utilizado, devido à presença de mudança de fase nos trocadores de calor. Esse modelo exige especificações adicionais relacionadas a detalhes da curva de calor versus temperatura dos fluidos que passam pelos tubos e casco. Assim como em Rodríguez e Granda (2005), foram realizadas algumas modificações nas especificações padrão do Unisim®, incluindo a alteração do número de intervalos nas curvas de calor de 5 para 10 em todos os trocadores de calor, e a ativação dos pontos de bolha/orvalho para o fluido refrigerante propano em HE2’.
Figura 4.1: Fluxograma da rede de trocadores de calor.
20oF 1000 psia 2745 lbmol/h Metano 0,7515 Etano 0,2004 Propano 0,0401 i-Butano 0,0040 N-Butano 0,0040 Alimentação HE2' HE1' HE3' Mistura Fluido Frio HE2'_entrada 120oF 350 psia 495 lbmol/h Propano 1 -85oF 251 psia 1640 lbmol/h Metano 0,2828 Etano 0,2930 Propano 0,1414 i-Butano 0,1313 N-Butano 0,1515 Fluido Frio HE3'_entrada Fluido Frio HE1'_entrada -145oF 250 psia 1542 lbmol/h Metano 0,9073 Etano 0,0927 1' 2' 3' 4' 5' Fluido Frio HE2'_saída Fluido Frio HE1'_saída Fluido Frio HE3'_saída 6' -65oF -40oF Fração de vapor 1 20 psia 1670 lbmol/h
Fonte: Rodríguez e Granda (2005).
Tabela 4.1: Parâmetros de design dos trocadores de calor.
HE1’ HE2’ HE3’
ΔPtubos 10 psi 5 psi 5 psi
ΔPcasco 10 psi 1 psi 5 psi
Para a convergência dos trocadores de calor também foi necessário especificar a pressão, de valor 20 psia, e fração de vapor, de valor 1, do fluido refrigerante propano na saída do trocador HE2’, além das temperaturas das correntes 3’ e 5’, de valores -40 oF e -65 oF, respectivamente.
O modelo termodinâmico utilizado para descrever o processo foi Peng-Robinson, recomendado em uma grande gama de condições operacionais para sistemas gasosos e de mistura líquido/gás de hidrocarbonetos leves (Costa, 2011).
A otimização realizada tem por intuito diminuir os custos com a aquisição dos trocadores de calor. Dessa forma, a função a ser minimizada é o somatório do produto entre o coeficiente global de transferência de calor (U) e a área de troca térmica (A) de cada trocador de calor. A única variável de decisão, que se encontra indicada em vermelho na Figura 4.1, é a vazão molar da corrente 1’ (𝑛̇1’), com limite inferior de 0 lbmol/h (menor valor fisicamente possível, já que vazão molar não pode ser negativa) e limite superior de 2745 lbmol/h (maior valor fisicamente possível, já que a corrente de alimentação do processo apresenta vazão molar de 2745 lbmol/h). O espaço de busca é mais amplo do que o adotado por Rodríguez e Granda (2005), que consideraram como limite inferior 1450 lbmol/h e limite superior 1800 lbmol/h. Uma outra modificação realizada no problema de otimização proposto por Rodríguez e Granda (2005) foi a adição de restrições para que os valores de diferença de temperatura média logarítmica (LMTD - Logarithmic Mean Temperature Difference) fossem sempre maiores ou iguais a 18 oF (Seider et al., 2009), proporcionando uma força motriz suficiente para a troca térmica. O problema de otimização pode ser formulado matematicamente de acordo com a Equação (4.1):
𝑚𝑖𝑛𝑛̇1’ (𝑈𝐴𝐻𝐸1′+ 𝑈𝐴𝐻𝐸2′+ 𝑈𝐴𝐻𝐸3′)
(4.1)
𝐿𝑀𝑇𝐷𝐻𝐸1’; 𝐿𝑀𝑇𝐷𝐻𝐸2’; 𝐿𝑀𝑇𝐷𝐻𝐸3’≥ 18𝑜𝐹
𝑛̇1’ ∈ [0 , 2745] 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙/ℎ
Os algoritmos de otimização PSO e DE foram implementados em linguagem Python conforme a teoria descrita no Capítulo 2, e ambos foram utilizados para a solução do problema de otimização da Equação (4.1). Na implementação do PSO, as constantes de aceleração 𝑐1 e
𝑐2 assumiram um valor 2, e o parâmetro de inércia decresceu linearmente no decorrer do processo iterativo, com máximo e mínimo de 0,9 e 0,4, respectivamente. A condição de
contorno utilizada foi a de absorção. Já na implementação do DE, as constantes de mutação e recombinação adotadas foram de 0,8 e 0,7, respectivamente (obtidas após testes preliminares).
Os desempenhos dos algoritmos foram comparados pela análise dos tempos computacionais e dos resultados obtidos. Visando uma comparação mais justa, foi utilizado um mesmo número de partículas/indivíduos de 10 e as populações iniciais foram iguais para ambos os algoritmos. O critério de parada adotado foi um número de iterações/gerações máximo de 40. A cada 10 iterações/gerações, analisou-se visualmente o valor da variável de decisão de cada partícula/indivíduo para o acompanhamento da evolução dos algoritmos.
4.2.COLUNA DE DESTILAÇÃO COM SAÍDAS LATERAIS
O fluxograma do processo simulado, proposto originalmente por Rodríguez e Granda (2005), está indicado na Figura 4.2. O processo opera em estado estacionário e consiste na separação de uma mistura de parafinas, que é alimentada em uma coluna de destilação contendo 23 pratos com 100% de eficiência, condensador total e refervedor.
Figura 4.2: Fluxograma da coluna de destilação com saídas laterais.
Saida lateral 1 Saida lateral 2 Alimentação Destilado Fundo 1 6 11 16 23 9,479 kmol/h 50oC 175 kPa nC5 0,3217 nC6 0,1347 nC7 0,1684 nC8 0,0462 nC9 0,3290 138 kPa 145 kPa 180 kPa RR 5 2,752 kmol/h 2 kmol/h 2 kmol/h
