Emergência da topologia na física da matéria condensada

(1)

Universidade Federal Fluminense

Centro de Estudos Gerais

Instituto de F´ısica

Gradua¸

c˜

ao em F´ısica

Hadassa Moraes de Faria

Emergˆencia da Topologia na F´ısica da Mat´eria Condensada

Niter´

oi-RJ

2017

(2)

HADASSA MORAES DE FARIA

EMERG ÊNCIA DA TOPOLOGIA NA FÍSICA DA MAT ÉRIA CONDENSADA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Programa de Gradua¸cão em F´ısica do Instituto de F´ısica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do grau de Bacharel em F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. MARCOS SERGIO FIGUEIRA DA SILVA

Niter´oi-RJ 2017

(3)

(4)

HADASSA MORAES DE FARIA

EMERG ÊNCIA DA TOPOLOGIA NA FÍSICA DA MAT ÉRIA CONDENSADA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Programa de Gradua¸cão em F´ısica do Instituto de F´ısica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do grau de Bacharel em F´ısica.

Aprovado em 19 DEZEMBRO de 2017.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. MARCOS SERGIO FIGUEIRA DA SILVA - Orientador UFF

Prof. Dr. ANDREA BRITO LATGE UFF

Prof. Dr. ANNA MARIA N ´OBREGA CHAME UFF

Niter´oi-RJ 2017

(5)

v

Este trabalho é dedicado ao meu filho, João Henri-que, para Henri-que, um dia, ele possa viver em uma soci-edade que não apenas dependa da ciência, mas tam-bém a compreenda.

(6)

“Em seu encontro com a Natureza, a ciência inva-riavelmente provoca um sentimento de reverência e admira¸cão. O próprio ato de compreender é uma ce-lebra¸cão da união, da incorpora¸cão, ainda que numa escala muito modesta, à magnificência do Cosmos.” Carl Sagan, O mundo assombrado pelos demônios.

(7)

vii

Agradecimentos

`

A oportunidade que me foi dada pela complexidade da vida e pela aleatoriedade do Universo, de poder admirar a natureza, compreender uma pequena fra¸c˜ao da magn´ıfica forma como o Cosmos se comporta e poder contribuir, de alguma forma, para o avan¸co da ciˆencia.

A toda minha fam´ılia, pelo suporte e apoio em todos os momentos. Em especial, ao meu filho, João Henrique, por ter me dado muita coragem e for¸ca para lutar pelos meus sonhos. À minha mãe, Rosane Moraes de Faria, e minha avó, Elisa Morais Lira Filha, por todo amparo que me deram, em todos os momentos que eu precisei e por sempre estarem ao meu lado, em quaisquer circunstâncias. Ao meu pai, Jair de Faria, pelo incentivo desde cedo aos estudos e por sempre acreditar no meu potencial. Sem eles, minha caminhada não seria poss´ıvel.

Ao Douglas Montes de Souza, meu companheiro na F´ısica e na vida, por compartilhar comigo todos os momentos que essa gradua¸cão e essa monografia nos proporcionaram. Também agrade¸co por me mostrar o quão profundo e belo é o significado da ciência na nossa existência, eu não a amaria tanto se não fosse você. Obrigada por nunca me deixar desistir, apesar de todas as dificuldades que passamos para concluir esse curso, você as conhece melhor que ninguém. Obrigada por aprender e crescer junto comigo ao longo desses 4 anos. Esse diploma é nosso.

Ao Carl Sagan pelo incr´ıvel trabalho de divulga¸cão cient´ıfica e por me mostrar o quão incr´ıvel e impressionante é o Universo e o quão prazeroso e satisfatório pode ser fazer ciência.

Ao professor Dr. Marcos Sergio Figueira da Silva, pela orienta¸c˜ao durante a elabora¸c˜ao deste trabalho e pelos preciosos conselhos sobre a F´ısica e sobre o mundo.

Ao professor Dr. Marco Moriconi, por todo o conhecimento transmitido dentro e fora de sala e `

as inesquec´ıveis risadas e piadas ao longo desses anos.

Ao professor Dr. Lucas Mauricio Sigaud, pelo incr´ıvel bom humor e pelas histórias engra¸cadas compartilhadas e adquiridas nas disciplinas de F´ısica Experimental III, Laboratório de F´ısica Moderna e nos inúmeros encontros nos corredores do Instituto de F´ısica da UFF.

A todos os meus amigos de curso, em particular, ao Gabriel Soares, Maron Anka, Lucas Lima e Arthur Vieira, cuja ajuda em todas as disciplinas foi inestim´avel. Obrigada pelo companheirismo, conselhos e as boas risadas, ´e claro.

A todos os outros professores da UFF pela minha forma¸c˜ao acadˆemica.

E, por último, agrade¸co a todos que direta ou indiretamente contribu´ıram para minha gradua¸cão. Continuarei na busca pela pergunta para a Vida, o Universo e tudo o mais, pois a resposta já

(8)

(9)

ix

Resumo

O principal objetivo desse trabalho foi desenvolver um estudo de uma nova rota que se abriu para a F´ısica da Matéria Condensada, que é a intera¸cão entre Topologia e F´ısica. Visando compreender as mudan¸cas geradas pela entrada da Topologia no estudo dos sólidos, analisamos primeiramente a teoria de Landau das transi¸cões de fase. Discutimos a aplica¸cão da referida teoria, analisando as transi¸cões de fase em materiais ferroelétricos e supercondutores. Posteriormente, estudamos dois sistemas representativos dessa nova F´ısica: o efeito Hall quântico e o efeito Hall quântico de spin, enfatizando a discussão sobre a prote¸cão topológica dos estados de borda, e o po¸co quântico de HgTe/CdTe, um sistema que se assemelha ao efeito Hall quântico de spin, pois apresenta experimentalmente a fase de isolante topológico, com estados de borda protegidos frente à simetria de reversão temporal.

Palavras-chave: Topologia na F´ısica. Transi¸cões de fase de Landau. Efeito Hall quântico. Efeito Hall Quântico de Spin. Isolantes Topológicos.

(10)

Abstract

The objective of this work was to develop a study of a new route that was opened in Condensed Matter Physics, which is the interaction between Topology and Physics. In order to understand the changes brought by the entry of Topology in the study of solids, we first analyze Landau’s theory of phase transitions. We discuss the application of this theory by analyzing the phase transitions in ferroelectric and superconducting materials. Afterwards, we study two representative systems of this new physics: the quantum Hall effect and the quantum spin Hall effect, emphasizing the discussion about the topological protection of edge states, and the HgTe/CdTe quantum well, a system that resembles the spin quantum Hall effect, since it presents experimentally the phase of topological insulator, with edge states protected by the time reversal symmetry.

Keywords: Topology in Physics. Landau’s phase transitions. Quantum Hall effect. Quantum Spin Hall Effect. Topological Insulators.

(11)

Lista de Figuras

2.1 Transi¸c˜oes de primeira e segunda ordens. [1] . . . 4

2.2 Transi¸c˜ao de fase de primeira ordem. [4] . . . 7

2.3 Transi¸c˜ao de fase de segunda ordem. [4] . . . 8

2.4 Polariza¸cão x Campo elétrico para os estados ferroelétrico e paraelétrico [7] . . . 9

2.5 (a) PS vs T para transi¸c˜oes de primeira e segunda ordens. (b) vs T para transi¸c˜oes de primeira e segunda ordens.[6] . . . 10

2.6 Energia livre vs polariza¸cão para diferentes temperaturas: (a) Para transi¸cão de segunda ordem; (b) para transi¸cão de primeira ordem. [6] . . . 11

2.7 −1 vs. T para: a) transi¸c˜ao de segunda ordem; (b) transi¸c˜ao de primeira ordem. [6] . . . 13

2.8 Solen´oide de comprimento L com N espiras. [9] . . . 14

2.9 Magnetiza¸c˜ao x campo magn´etico, para supercondutividade tipo I. [9] . . . 16

2.10 Diagrama de H x T, para a supercondutividade tipo I. [9] . . . 16

2.11 V´ortices no supercondutor do tipo II. [9] . . . 17

2.12 Diagrama de H x T, para supercondutividade tipo II. [9] . . . 18

2.13 M x H, para supercondutividade do tipo II. [9] . . . 18

2.14 Densidade de energia x parˆametro de ordem. [9] . . . 20

2.15 Magnitude do parˆametro de ordem em fun¸c˜ao da temperatura. [9] . . . 20

2.16 Calor espec´ıfico em fun¸c˜ao da temperatura. [9] . . . 21

3.1 Superf´ıcies topol´ogicas [18] . . . 23

3.2 (a) Trajetória clássica que para em t = 0; (b) Trajetória revertida p → −p. [12] . . . 24

3.3 Trajetória de um elétron entre os pólos norte e sul de um ´ımã. [12] . . . 25

3.4 Valores assumidos pelo invariante topol´ogico Q, quando H ´e continuamente transformado em H’. [11] . . . 29

3.5 Esquema que representa o Efeito Hall Cl´assico [14] . . . 30

3.6 Resistência Hall x campo magnético à temperatura T=1.9K. [16] . . . 33

3.7 Densidade de estados na presen¸ca de impurezas. [18] . . . 36

3.8 Rela¸c˜ao entre platˆos, m´ınimos na resistividade longitudinal e estados localizados. [18] . . 36

(12)

3.9 Estados Quirais x Helicoidais: (i) superior esquerda: um sistema unidimensional sem spin, com graus de liberdade direita e esquerda; (ii) inferior esquerda: esses 2 graus de liberdade são espacialmente separados em um sistema QH, ilustrado pela equa¸cão simbólica: 2 = 1+1. A borda superior só tem movimento para a direita e a inferior somente para esquerda. Os estados quirais podem contornar a impureza sem retroespalhar; (iii)superior direita: sistema unidimensional com spin tem o dobro de graus de liberdade em rela¸cão ao sistema sem spin; (iv)inferior direita: esses 4 graus de liberdade estão separados no sistema QSH com simetria de reversão temporal. A borda superior tem spin up (ponto vermelho) se movendo para direita e spin down (cruz azul) se movendo para a esquerda e o inverso para

a borda inferior. [24] . . . 38

4.1 Estrutura zincblend do HgTe e do CdTe. Uma espécie atômica é representada pela cor azul e a outra pela cor vermelha [29] . . . 41

4.2 Estrutura de bandas para HgTe e CdTe [30] . . . 42

4.3 Representa¸cão da célula de simula¸cão, onde o HgTe encontra-se “sanduichado”por CdTe. Na figura, os átomos em amarelo são os mercúrios, os vermelhos são os telúrios e os azuis são os cádmios. [29] . . . 43

4.4 Po¸co Quˆantico HgTe/CdTe [30] . . . 43

4.5 N´ıveis de energia do po¸co de HgTe/CdTe pela largura do po¸co dQW. [34] . . . 43

4.6 Bandas de energia de E1(azul) e H1(vermelho) x espessura do po¸co d. [28] . . . 44

4.7 Parˆametros para o po¸co de HgTe/CdTe com diferentes larguras d. [30] . . . 45

4.8 Espectro de energia do Hamiltoniano efetivo Eq.4.1 do po¸co quântico. (a) No po¸co estreito (d < dc), existe um gap entre a banda de condu¸cão e a de valência; (b) No po¸co largo (d > dc), existem estados de borda sem gap, nas bordas esquerda (linha vermelha) e direita (linha azul). [30] . . . 46

4.9 (a) Em uma lente com revestimento anti-reflexo, a luz refletida pelas superf´ıcies superior (linha azul) e inferior (linha vermelha) interferem destrutivamente, levando a uma reflexão suprimida.; (b) Dois poss´ıveis caminhos tomados por um elétron em uma borda do efeito Hall quântico de spin quando espalhado por um impureza não-magnética. O spin eletrônico gira num ângulo de 180◦no sentido horário ao longo da curva azul e no sentido anti-horário ao longo da curva vermelha. Um fator de fase geométrico associado a esta rota¸cão do spin leva à interferência destrutiva entre os dois caminhos. Ou seja, o retroespalhamento de elétrons na borda é suprimido de uma maneira semelhante à forma pela qual o reflexo dos fótons é suprimido por um revestimento anti-reflexo. [30] . . . 48

(13)

Sum´

ario

Agradecimentos vii

Resumo ix

Abstract x

Lista de Figuras xii

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Transi¸c˜oes de Fases 3

2.1 Fun¸c˜ao de Parti¸c˜ao . . . 3

2.2 Classifica¸c˜ao das Transi¸c˜oes de Fase . . . 4

2.3 Teoria de Landau . . . 5

2.3.1 Transi¸c˜oes de Primeira Ordem . . . 6

2.3.2 Transi¸c˜oes de segunda ordem . . . 7

2.4 Aplica¸c˜oes . . . 9

2.4.1 Ferroeletricidade . . . 9

2.4.2 Teoria de Ginzburg-Landau . . . 14

3 Topologia na F´ısica 22 3.1 Revers˜ao temporal . . . 24

3.1.1 Operador de revers˜ao temporal . . . 25

3.1.2 Revers˜ao temporal para part´ıculas de spin semi-inteiro . . . 27

3.1.3 Intera¸cões com campo elétricos e magnéticos . . . 27

3.1.4 Consequˆencia da degenerescˆencia de Kramers . . . 29

3.2 Efeito Hall Quˆantico . . . 29

3.2.1 Efeito Hall Cl´assico . . . 30

3.2.2 Efeito Hall Quˆantico Inteiro . . . 32

3.2.3 Efeito Hall Quˆantico de Spin . . . 37

4 Isolantes Topol´ogicos 40 4.1 Estrutura de HgTe e CdTe . . . 41

(14)

4.3 Estados de borda helicoidais . . . 45 4.4 Prote¸c˜ao topol´ogica dos estados helicoidais . . . 48

5 Conclus˜oes 50

(15)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

As transi¸cões de fase da matéria são muito comuns na natureza e até no nosso dia-a-dia, como por exemplo, a fusão do gelo e ebuli¸cão da água. Portanto, as transi¸cões de fase são um objeto de estudo de muita importância na F´ısica Estat´ıstica e da Matéria Condensada.

Um sistema f´ısico apresenta simetrias, associadas ao seu Hamiltoniano. Segundo a teoria de Landau [3], uma transi¸cão de fase ocorre quando um sistema sofre uma mudan¸ca ou quebra de simetria. O conceito de parâmetro de ordem, introduzido por Landau, está relacionado com essa quebra de sime-tria. Na fase desordenada seu valor é nulo e na ordenada não-nulo. Portanto, o parâmetro de ordem desempenha um papel fundamental na descri¸cão das transi¸cões de fase, a partir da teoria de Landau.

Diversos fenômenos f´ısicos puderam ser compreendidos à luz dessa teoria. Uma transi¸cão de fase poderia ser compreendida, definindo um parâmetro de ordem, associado à quebra de simetria do sistema. Dentre eles, a transi¸cão entre os estados f´ısicos, o fenômeno da ferroeletricidade e da supercondutividade. Em 1980, no entanto, Klitzing, Popper e Dordda [10] realizaram o experimento do efeito Hall quântico, submetendo um sistema de elétrons bidemensional à um campo magnético intenso sob baixas temperatu-ras, e assim, descobriram um novo tipo de transi¸cão de fase. O efeito Hall quântico não pode ser explicado pela teoria das transi¸cões de fase de Landau, pois não tem um parâmetro de ordem associado, ou seja, não há quebra de simetria. Esse efeito deu origem à um novo estudo das transi¸cões de fase, agora à luz da Topologia. O efeito Hall quântico, foi a primeira evidência de que a Topologia poderia ser usada para explicar transi¸cões de fase da matéria.

Como o efeito Hall quântico ocorre na presen¸ca de um campo magnético intenso, apresenta quebra da simetria de reversão temporal explicitamente. Posteriormente, foi descoberto o efeito Hall quântico de spin, cujas realiza¸cões experimentais foram os po¸cos de HgTe/CdTe em duas dimensões [28] e o composto de BixSb1−x em três dimensões [25]. Esse sistema é caracterizado por um volume isolante,

que apresenta um gap de energia, e estados de borda condutores, que preservam a simetria de revers˜ao temporal, diferentemente do efeito Hall quˆantico.

Ao invés de serem caracterizados por um parâmetro de ordem, o efeito Hall quântico e o efeito Hall quântico de spin, são caracterizados por invariantes topológicos. No efeito Hall quântico, esse invariante é o número de Chern, que nada mais é do que o valor quantizado da condutância Hall em unidades de

(16)

e2

/~. Já no efeito Hall quântico de spin, o invariante topológico é o grupo de simetria Z2_{, com apenas}

dois elementos 0 e 1. O invariante Z2_{representa fisicamente o n´}_{umero de estados de borda est´}_{aveis sem}

gap.

Os isolantes topológicos são materiais que possuem gap de energia dos estados de bulk e estados de borda que conduzem corrente. A condu¸cão nos estados de borda se deve à uma forte intera¸cão spin-´

orbita. Por preservar a simetria de reversão temporal, o efeito Hall quântico de spin pode ser observado nos isolantes topológicos.

O po¸co quântico de HgTe e CdTe é um exemplo de isolante topológico. Para fazer o po¸co cresce-se o HgTe sanduichado por duas camadas de CdTe. Como o Hg possui uma intera¸cão spin-órbita muito maior do que o Cd, suas bandas de condu¸cão e valência são invertidas. Quando a largura do po¸co é pequena o material se comporta como uma estrutura de CdTe pura. À medida que a largura do po¸co aumenta, a camada de HgTe fica maior e, portanto, a intera¸cão spin-órbita fica mais forte. Até que, para uma largura cr´ıtica dc ≈ 6.3nm o material passa a se comportar como uma estrutura de HgTe. Nessa

largura cr´ıtica ocorre uma invers˜ao das bandas.

Os isolantes topológicos, mais especificamente o po¸co de HgTe/CdTe, apresentam o efeito Hall quântico de Spin. Sendo assim, possuem estados de borda topologicamente protegidos e são caracterizados pelo isolante topológico Z2.

(17)

Cap´ıtulo 2

Transi¸

c˜

oes de Fases

As transi¸cões de fase ocorrem quando o estado de equil´ıbrio de um sistema sofre altera¸cões nas suas condi¸cões de simetria, causadas pela varia¸cão nos parâmetros externos do mesmo, como temperatura, campo magnético, pressão, etc. O estudo das transi¸cões de fase é de extrema importância para áreas da F´ısica, como Matéria Condensada e F´ısica Estat´ıstica, já que são muito comuns na natureza.

Para descrever um sistema microscopicamente, é necessário conhecer o Hamiltoniano do mesmo. O Hamiltoniano apresenta invariâncias frente a determinadas opera¸cões de simetria, o que determina o seu grupo de simetria [4]. Transi¸cões de fase ocorrem no sistema quando alguma invariância é quebrada. As quantidades que sofrem varia¸cões através de uma transi¸cão de fase, são chamadas parâmetros de ordem [3].

2.1 Fun¸

c˜

ao de Parti¸

c˜

ao

A fun¸cão de parti¸cão é responsável por codificar todas as propriedades de um sistema em equil´ıbrio termo-dinâmico. A partir dela e de sua derivada, podemos determinar a maioria das variáveis termodinâmicas, como a entropia, pressão, energia livre, entre outras. A expressão matemática para a fun¸cão de parti¸cão (Z) é dada por:

Z =X

γ

e−H(γ)β, (2.1) onde γ são todos os microestados do sistema, H(γ) é a Hamiltoniana do sistema e β é 1/kBT . Na teoria

de Boltzmann [5], podemos definir a energia livre de Helmholtz como: F = −1

βln(Z). (2.2)

Obtendo a expressão para a energia livre, podemos encontrar também quantidades termodinâmicas im-portantes, como por exemplo a entropia, através de suas derivadas em rela¸cão a determinados parâmetros do sistema. A energia livre F (T ) é, matematicamente, uma fun¸cão não anal´ıtica da temperatura, ou seja, apresenta derivadas não definidas em certos pontos ou singularidades. Quando esses pontos aparecem, dizemos que ocorreu uma transi¸cão de fase.

(18)

A existência de singularidades na energia livre de Helmholtz é um resultado direto da existência do limite termodinâmico, ou seja, a presen¸ca de um número essencialmente infinito de graus de liberdade em um sistema termodinâmico.

2.2 Classifica¸

c˜

ao das Transi¸

c˜

oes de Fase

As transi¸cões de fase de um sistema termodinâmico, por exemplo, a evapora¸cão de um l´ıquido, apresenta dois comportamentos termodinâmicos diferentes na curva de coexistência, no caso do l´ıquido-vapor: em todos os pontos da curva, exceto o ponto cr´ıtico, calor latente é observado. No entanto, no ponto cr´ıtico, passamos continuamente da fase l´ıquida para o vapor, sem que haja calor latente.

Então, podemos dizer que existem dois tipos de transi¸cão de fase: transi¸cões com calor latente e transi¸cões sem calor latente. Em 1933, o f´ısico P. Ehrenfest [1] propôs uma classifica¸cão das transi¸cões de fase baseada nos potenciais termodinâmicos.

Segundo sua classifica¸cão, a energia livre pode apresentar uma descontinuidade na sua primeira derivada ou nas derivadas de ordem superior [2]. Definimos, então, transi¸cões de fase de primeira ordem quando ocorrem descontinuidades nas quantidades termodinâmicas, relacionadas com as primei-ras derivadas dos potenciais termodinâmicos, por exemplo, a entropia,. Já as transi¸cões de fase de segunda ordem ocorrem quando os potenciais termodinâmicos e suas primeiras derivadas são cont´ı-nuas, contudo suas segundas derivadas com respeito às variáveis de estado, por exemplo, calor espec´ıfico e compressibilidade, são nulas ou se aproximam assintoticamente do ponto de transi¸cão. Na figura 2.1, é poss´ıvel ver como se comportam a energia livre e suas derivadas em fun¸cão do parâmetro de ordem, para as transi¸cões de primeira e segunda ordens.

(19)

5

2.3 Teoria de Landau

Apesar da classifica¸cão de transi¸cões de fase de Ehrenfest ter grande mérito por revelar semelhan¸cas entre diferentes fenômenos como magnetismo, ferroeletricidade, supercondutividade e transi¸cão l´ıquido/gás no ponto cr´ıtico, ainda é uma visão limitada à termodinâmica do fenômeno.

O f´ısico L. D. Landau [3] notou em 1937, que a transi¸cão de fase sem calor latente era acompa-nhada por uma mudan¸ca na simetria. No caso de um material ferromagnético, acima de sua temperatura de Curie, os momentos magnéticos dos átomos estão aleatoriamente distribuidos, gerando uma fase para-magnética. Abaixo desta temperatura, no entanto, possui uma magnetiza¸cão permanente orientada em certa dire¸cão (estado ferromagnético). Dizemos, portanto, que a simetria foi quebrada na transi¸cão.

Questões de simetria são importantes no estudo das transi¸cões de fase. Landau associou a no¸cão de parâmetro de ordem a essas considera¸cões de mudan¸ca ou quebra de simetria durante a transi¸cão de fase. O parâmetro de ordem é, em geral, uma quantidade que é zero na forma menos simétrica (ou mais desordenada) e diferente de zero na fase simétrica (ou ordenada). Essa no¸cão de parâmetro de ordem tem um significado qualitativo óbvio: quando a temperatura diminui, a ordem do sistema aumenta. Quando um l´ıquido é resfriado, ele se solidifica passando pelo ponto de solidifica¸cão (o sólido é mais ordenado que o l´ıquido). Além disso, se um material ferromagnético é resfriado abaixo de seu ponto de Curie, a ordem magnética no sistema aumenta, surgindo uma magnetiza¸cão macroscópica, o que evidencia a existência de uma ordem magnética.

Para o magnetismo, o parâmetro de ordem é a magnetiza¸cão, enquanto no caso da ferroeletri-cidade é a polariza¸cão. A escolha desse parâmetro nem sempre é evidente. Por exemplo, no caso da supercondutividade, o parâmetro de ordem é a fun¸cão de onda da fase superfluida dos elétrons associados `

a supercondutividade.

Sendo assim, inicialmente, temos que definir um parˆametro de ordem ψ para o sistema. Como j´a hav´ıamos dito anteriormente, esta quantidade deve ser zero na fase desordenada (acima da temperatura cr´ıtica TC ) e diferente de zero na fase ordenada (abaixo da temperatura cr´ıtica TC ). Assim, definimos

um funcional para a energia livre, cujo m´ınimo determina a energia livre. ˜

F = F0(T ) + FL(T, ψ), (2.3)

onde, F0(T ) representa a fun¸cão que depende da temperatura e FL(T, ψ) contém toda a dependência do

parˆametro de ordem.

O funcional de Landau é considerado uma fun¸cão anal´ıtica de ψ, que obedece todas as simetrias poss´ıveis associadas à ψ, o que geralmente inclui a invariância de transla¸cão e rota¸cão. Na fase desor-denada, assumimos que ψ seja igual a zero. Então, próximo à transi¸cão de fase, é esperado que ψ seja pequeno, ou seja, podemos construir o funcional de Landau através de uma expansão polinomial do parˆ a-metro de ordem. Assumimos também que toda dependência não trivial da temperatura no funcional de Landau está presente no termo de menor ordem da expansão polinomial de FL(T, ψ), que tem a seguinte

forma: F (TC, ψ) = ˆ dv[1 2a0(T − TC)ψ 2_{+ ...],} _(2.4)

(20)

onde a0é uma constante. Após a constru¸cão do funcional de Landau e minimizando-o como uma fun¸cão

da temperatura, podemos determinar a natureza da transi¸c˜ao de fase.

A quantidade de termos necessários na expansão depende da dimensão do espa¸co e do parâmetro de ordem. Dependendo do grupo de simetria, a energia livre poderá apenas conter as potência pares de ψ, como o grupo de simetria das reflexões. Então usaremos a seguinte constru¸cão para a energia livre:

F (T, ψ) = F (T, 0) + a 2ψ 2₊b 4ψ 4₊c 6ψ 6_, _(2.5) onde a = a(T − T0).

O sinal do termo que acompanha ψ4determina a ordem da transi¸cão. Para transi¸cões de primeira ordem a temperatura T0 é tal que satisfaz a rela¸cão: T0 < TC. Para altas temperaturas, F (T, ψ) deve

ser m´ınimo em ψ = 0, sendo assim, o termo que acompanha ψ4 _{deve ser negativo. J´}_{a para a transi¸}_c˜_ao

de segunda ordem, temos que: T0= TC e o parˆametro de ordem deve ser finito, contudo muito pequeno.

Assim, F (T, ψ) deve ter um m´ınimo em ψ 6= 0 e o sinal do termo de ordem 4 ´e positivo.

2.3.1 Transi¸

c˜

oes de Primeira Ordem

Para a transi¸c˜ao de primeira ordem, supomos a energia livre do tipo: F (T, ψ) = F (T, 0) + a 2(T − T0)ψ 2₋b 4ψ 4₊c 6ψ 6_, _(2.6)

todas as constantes a, b e c s˜ao positivas e T0´e diferente da temperatura cr´ıtica. Assim, para calcular os

m´ınimos para esse energia livre, primeiro calculamos os pontos extremos:

∂F

∂ψ = a(T − T0)ψ − bψ

3_{+ cψ}5_{= 0.} _(2.7)

Com isso, obtemos os seguintes extremos:

ψ = 0; ψ2= b ±pb

2_{− 4ac(T − T} 0)

2c . (2.8)

A partir da Eq. 2.7, podemos escrever:

a(T − T0) − bψ2+ cψ4= 0. (2.9) Assim: T0= T + ψ2 a (cψ 2 − b). (2.10)

Utilizando a equa¸c˜ao para a energia livre 2.6, substituindo T por TC (temperatura cr´ıtica), obtemos:

F (TC) − F0= a 2(TC− T0)ψ 2₋b 4ψ 4₊c 6ψ 6_{= 0.} _(2.11)

Agora, substituindo o valor de T0, pela express˜ao encontrada na Eq.2.10, conclu´ımos que:

ψ2=3b

4c. (2.12)

Por fim, substitu´ımos a equa¸c˜ao 2.12 na 2.11, e encontramos a express˜ao para a temperatura cr´ıtica do sistema:

TC= T0+

3b2

(21)

7 sabendo que F = U − T S, onde U ´e a energia interna do sistema e S a entropia. Podemos calcular a entropia desse sistema, a partir das equa¸c˜oes 2.6 e 2.12:

S = −∂F ∂T = − 1 2aψ 2_{= −}3ba 8c . (2.14)

Figura 2.2: Transi¸c˜ao de fase de primeira ordem. [4]

Al´em disso, na transi¸c˜ao de fase de primeira ordem, podemos identificar um calor latente (L): L = −TCS =

1 2aTCψ

2₌ 3ab

8cTC. (2.15)

A existência de um calor latente, indica a existência de uma descontinuidade na primeira derivada, quando T = TC, o que caracteriza uma transi¸cão de fase de primeira ordem ou descont´ınua.

Um gráfico t´ıpico de uma transi¸cão de fase de primeira ordem é apresentado na Fig. 2.2. Nesta figura, vemos que para T > TC existe um m´ınimo estável em ψ = 0, no entanto existem também dois

m´ınimos metaestáveis. Os estados metaestáveis correspondem a qualquer estado do sistema diferente do estado de equil´ıbrio mais estável, que tenha consigo associado uma restri¸cão que impe¸ca a transi¸cão imediata deste para o estado mais estável sem alguma perturba¸cão significativa, de origem geralmente externa ao sistema. Quando T = TC , vemos que a energia livre apresenta 3 m´ınimos estáveis, sendo um

deles em ψ = 0 e os outros dois calculados na Eq. 2.8. Para T < TC, os pontos calculados na Eq. ??

passam a ser os m´aximos globais.

2.3.2 Transi¸

c˜

oes de segunda ordem

Para a transi¸c˜ao de segunda ordem, supomos a energia livre do tipo: F (T, ψ) = F0+ a 2(T − TC)ψ 2₊b 4ψ 4_, _(2.16)

(22)

onde a e b s˜ao constantes positivas, que independem da temperatura. Analogamente como fizemos para `

a transi¸c˜ao de primeira ordem, vamos calcular os pontos extremos da energia livre:

∂F

∂ψ = a(T − TC)ψ + bψ

3_. _(2.17)

Assim, os pontos extremos s˜ao:

ψ = 0; ψ2= a(TC− T )

b . (2.18)

Usando novamente a express˜ao F = U − T S e as equa¸c˜oes 2.16 e 2.18, calculamos a entropia: S = −∂F ∂T = − a 2ψ 2₌a2 2b(T − TC). (2.19)

A partir desse resultado podemos calcular o calor espec´ıfico:

C = T∂S ∂T =      0 se T > TC a2T 2b se T < TC . (2.20)

O calor espec´ıfico apresenta uma descontinuidade finita, um salto na temperatura cr´ıtica, o que evidencia que essa energia livre corresponde a uma transi¸c˜ao de fase de segunda ordem ou cont´ınua.

Figura 2.3: Transi¸c˜ao de fase de segunda ordem. [4]

Um gráfico t´ıpico de uma transi¸cão de fase de segunda ordem é apresentado na Fig. 2.3. Nesta figura, temos que para T > TC existe um m´ınimo estável em ψ = 0. Quando T = TC, vemos que a

energia livre F continua apresentando um m´ınimo est´avel em ψ = 0. Finalmente, para T < TC, temos

que ψ = 0, que anteriormente era um ponto de m´ınimo, tornou-se um ponto de máximo e o sistema apresenta 2 m´ınimos estáveis calculados na Eq. 2.19, semelhante ao que ocorre na transi¸cão de fase de primeira ordem.

(23)

9

2.4 Aplica¸

c˜

oes

Existem inúmeros sistemas f´ısicos em que podemos aplicar a teoria de transi¸cões de fase de Landau. Estudaremos em detalhe nessa se¸cão a aplica¸cão dessa teoria para o estudo da ferroeletricidade e da transi¸cão dos estados normal e supercondutor, a partir do modelo de Ginzburg-Landau.

2.4.1 Ferroeletricidade

Um cristal é ferroelétrico, quando nele se pode observar uma polariza¸cão revers´ıvel. Em 1921, esse fenômeno foi relatado pela primeira vez por Joseph Valasek, durante o estudo das propriedades dielétricas do sal Rochelle [N AK(C4H4O6).4H2O] [6]. O termo ferroeletricidade foi adotado, pois esses materiais

possuem um ciclo de histerese similar ao ciclo de histerese ferromagnética. Os materiais que possuem propriedades ferroelétricas possuem uma estrutura cristalina bem definida e são dielétricos, ou seja, não conduzem corrente elétrica.

Se um campo elétrico E é aplicado na dire¸cão do eixo polar, todos os dipolos elétricos se alinham nessa dire¸cão. Tomando E = 0, a polariza¸cão assume o valor P = PS, onde PSé a polariza¸cão espontânea

revers´ıvel. No entanto, se o campo E é revertido, todos os dipolos serão revertidos (polariza¸cão reversa). Então, se o campo elétrico for zerado novamente, teremos P = −PS. Sendo assim, a polariza¸cão pode

assumir dois valores: ±|PS|, dependendo do sinal do campo el´etrico quando ele foi desligado. Essa

polariza¸c˜ao aparece espontˆaneamente entre TCe TL(respectivamente, a maior e a menor temperaturas de

transi¸cão). Na Fig. 2.5, podemos ver o comportamento da polaria¸cão em fun¸cão do campo elétrico. Para temperaturas menores que TC, o comportamento será de um material ferroelétrico e para temperaturas

maiores que TC ser´a de um material parael´etrico.

Figura 2.4: Polariza¸cão x Campo elétrico para os estados ferroelétrico e paraelétrico [7]

Podemos observar múltiplas transi¸cões de fase em alguns cristais a altas temperaturas. As duas principais categorias de materiais ferroelétricos são aquelas que sofrem uma transi¸cão de segunda ordem, como o sulfato de triglicina (T GS), e aquelas que sofrem uma transi¸cão de primeira ordem, como o

(24)

BaT O3 [8]. Uma transi¸cão de segunda ordem é caracterizada por não haver altera¸cão no volume na

temperatura cr´ıtica TC. Portanto, h´a uma mudan¸ca cont´ınua na estrutura do cristal em TC. J´a nas

transi¸c˜oes de primeira ordem, a mudan¸ca do volume na temperatura cr´ıtica TC ´e descont´ınuo.

Figura 2.5: (a) PS vs T para transi¸c˜oes de primeira e segunda ordens. (b) vs T para transi¸c˜oes de

primeira e segunda ordens.[6]

Podemos ver na figura 2.5a um diagrama de PS vs. temperatura para as transi¸c˜oes de primeira e

segunda ordens. No diagrama referente `a segunda ordem, PS diminui continuamente at´e zero, apesar da

sua derivada dPS

dT ser descont´ınua em TC, sendo assim, h´a um descontinuidade no calor espec´ıfico em TC.

No entanto, para o diagrama de primeira ordem, PS possui uma descontinuidade em TC, apresentando,

portanto, um calor latente. As mesmas propriedades cont´ınuas e descont´ınuas podem ser observadas para a constante dielétrica , na figura 2.5b. A constante dielétrica é experimentalmente obtida variando a temperatura acima de TC, via lei de Curie-Weiss, que determina a constante de Curie C [6].

= (T ) = C (T − T0)

. (2.21)

A energia livre

A teoria de Landau permite descrever as transi¸cões de fase, a partir do parâmetro de ordem, como vimos anteriormente. O parâmetro é diferente de zero abaixo de TC e zero acima de TC. Na ferroeletricidade,

o parâmetro de ordem será uma medida da dura¸cão da ordena¸cão dos dipolos permanentes. Para o estudo da ferroeletricidade é conveniente utilizarmos a polariza¸cão espontânea (PS), como o parâmetro

de ordem, já que pode ser medida facilmente. Sendo assim, temos a expansão da energia livre de Landau, em fun¸cão de PS: F (T, P ) = F (P = 0) +α 0_P2 2 + βP4 4 + γP6 6 . (2.22)

(25)

11 Para um cristal sob press˜ao nula e com um campo aplicado E, temos que, pela termodinˆamica:

dF = −SdT + EdP, (2.23)

ou

E = (∂F/∂P )T. (2.24)

A partir dessas equa¸c˜oes e da rela¸c˜ao P = E, temos que:

1 = α

0_. _(2.25)

Usando a equa¸c˜ao obtida experimentalmente Eq.2.21, temos que:

1 =

T − T0

C . (2.26)

Sendo assim, podemos escrever α0, como:

α0= α(T − T0), (2.27)

onde α ´e independente da temperatura e igual `a _C1. Com isso, a energia livre pode ser reescrita como:

F (P ) = F (0) +α 2(T − T0)P 2₊β 4P 4₊γ 6P 6_. _(2.28)

Figura 2.6: Energia livre vs polariza¸cão para diferentes temperaturas: (a) Para transi¸cão de segunda ordem; (b) para transi¸cão de primeira ordem. [6]

Transi¸c˜ao de segunda ordem

Para a transi¸c˜ao de segunda ordem, temos que TC= T0, pois −→ ∞ em TC. Isso corresponde `a α0= 0,

na Eq. 2.27. Com campo aplicado zero, o m´ınimo da energia livre determina a condi¸cão de equil´ıbrio térmico para a polariza¸cão.

(26)

Uma solu¸cão trivial para essa equa¸cão é P = 0. Para α(T − T0), β e γ positivos, essa é a única solu¸cão,

que é válida para T > T0. No entanto, para T < T0 e β positivo, o termo correspondente à γP5torna-se

muito menor que os outros, podendo ser desprezado. Portanto, obtemos uma outra solu¸c˜ao:

PS = (α/β)1/2(T0− T )1/2, (2.30)

como o campo aplicado ´e nulo, chamamos PS, em vez de P . Note que β deve ser positivo e que PS muda

continuamente de zero em T > T0 para um valor finito em T < T0. Na Figura 2.5a, podemos ver esse

resultado.

A Figura 2.6a mostra a energia livre em fun¸c˜ao de P , para T acima e abaixo de T0. Podemos

notar que o m´ınimo muda de P = 0, quando T > T0, para valores finitos da polariza¸c˜ao espontˆanea

abaixo da temperatura cr´ıtica.

O valor do coeficiente α é obtido pelo comportamento dielétrico abaixo da transi¸cão. Já o valor de β é obtido via Eq. 2.30, para PS logo abaixo de TC. O coeficiente γ pode ser obtido através de

corre¸c˜oes em PS para temperaturas baixas.

Outra expressão, que se relaciona com experimentos, pode ser obtida determinando a constante dielétrica na fase ferroelétrica logo abaixo de TC. Sendo assim, ignorando o termo γP6 na Eq. 2.28 e

usando a rela¸c˜ao E = (∂F/∂P )T, temos que:

E = α(T − T0)P + βP3, (2.31)

logo:

−1=dE

dP = α(T − T0) + 3βP

2_. _(2.32)

Substituindo na Eq. 2.32, P2 _{por P}2

S e usando o valor de PS dado pela Eq. 2.30, temos:

−1= 2(TC− T )/C. (2.33)

A partir da Eq. 2.33, podemos ver que d/dT abaixo e acima de TCs˜ao sim´etricos, como pode ser notado

na Fig. 2.5b para a transi¸cão de segunda ordem. No entanto, a melhor maneira de exibir esse resultado é plotar −1 vs. T . A Fig. 2.7 mostra o comportamento t´ıpico de −1 vs. T para as transi¸cões de primeira e segunda ordens.

Transi¸c˜ao de primeira ordem

Para a transi¸cão de fase de primeira ordem, o coeficiente β deve ser negativo e o coeficiente γ deve ser positivo. A Fig. 2.6b mostra a energia livre F em fun¸cão de P , para β negativo e γ positivo. Quando T = TC, a energia F é nula para P = (−PS, 0, +PS), assim há dois estados estáveis para o cristal

(ferroelétrico e paraelétrico). Logo acima dessa temperatura, só P = 0 dá o m´ınimo absoluto para F . E logo abaixo de TC, P = ±PS dão os m´ınimos absolutos. Assim, a polariza¸cão pula de zero à PS em TC

e isso caracteriza uma transi¸c˜ao de primeira ordem.

(27)

13

Figura 2.7: −1 vs. T para: a) transi¸c˜ao de segunda ordem; (b) transi¸c˜ao de primeira ordem. [6]

(∂F/∂P )_T = 0 = α(T − T0)P + βP3+ γP5, (2.34)

retirando a solu¸c˜ao P = 0, temos que:

(∂F/∂P )T = 0 = α(T − T0) + βP2+ γP4. (2.35)

Sabendo que quando T = TC e P = PS, F = 0. Logo, substituindo essas condi¸c˜oes na Eq. 2.28:

F (TC) = 0 = α 2(TC− T0)P 2 S(TC) + β 4P 4 S(TC) + γ 6P 6 S(TC). (2.36)

Na Eq. 2.35, substituimos P por PS(TC) e T por TC, Utilizando as Eq. 2.35 e 2.36, obtemos as seguintes

express˜oes, respectivamente:

α(TC− T0) = 3 16( β2 γ ); (2.37) e P_S2= −3 4( β γ). (2.38)

Note que, para T0< TC e PS um n´umero real, o coeficiente β deve ser negativo e γ positivo.

Pode-se determinar o coeficiente α = C−1a partir de experimentos acima de TC(TC´e diretamente

medido). O valor de T0 ´e encontrado a partir do gr´afico de −1 vs. T , como mostra a Fig. 2.7b. Assim,

medindo a polariza¸cão espontânea na temperatura cr´ıtica, os valores de β e γ podem ser calculados, a partir das Eqs. 2.37 e 2.38. Analogamente ao cálculo realizado para a transi¸cão de segunda ordem, usando novamente as Eqs 2.37 e 2.38, podemos mostrar que logo abaixo de TC:

−1= 4(TC− T0)/C, (2.39)

A Fig. 2.7b mostra o gr´afico de −1x T , para a transi¸c˜ao de primeira ordem, a partir do resultado obtido pela Eq. 2.39.

(28)

2.4.2 Teoria de Ginzburg-Landau

A supercondutividade é uma propriedade intr´ınsica de certos condutores, que submetidos a temperaturas muito baixas, tendem a conduzir corrente elétrica sem resistência nem perdas [9].

No caso dos supercondutores, o campo externo (H) e a magnetiza¸cão (M ) são os parâmetros ter-modinâmicos mais relevantes. Para determinar a energia do sistema, precisamos primeiramente calcular o campo magnético em um solenóide com N espiras e comprimento L, como podemos ver na Fig. 2.8 . Sabemos que o campo magnético gerado por esse solenóide é dado por:

Figura 2.8: Solen´oide de comprimento L com N espiras. [9]

H = N

LI ˆez, (2.40)

onde I é a corrente elétrica que flui através das espiras do solenóide.

Sendo assim o trabalho total dW realizado de I `a I + dI, pode ser calculado como:

dW = −N εIdt = N IdΦ

dtdt = N IdΦ = N AIdB = N V H.dB = µ0V (H.dM + H.dH), (2.41) onde A é a área da se¸cão transversal, V = AL é o volume, ε = −dΦ_dt é a f.e.m induzida. Usamos também a identidade B = µ0(M + H).

O trabalho total pode ser dividido em duas partes: o trabalho magn´etico (µ0H.dM) e o trabalho

proveniente da auto-indutˆancia (µ0H.dH). Considerando somente o trabalho magn´etico e utilizando a

1o _{Lei da Termodinˆ}_{amica, temos que: dU = T dS + µ}

0V H. dM. Assim: T = ∂U ∂S H = 1 µ0V ∂U ∂M. (2.42)

A energia livre de Helmholtz F depende da temperatura T e da magnetiza¸cão M. Como os valores do campo magnético H e de T podem ser facilmente controlados no laboratório, é mais conveniente utilizar a energia livre de Gibbs G(T, H). Sendo assim:

F (T, M) = U − T S

(29)

15 Ent˜ao temos que:

dG = −SdT − µ0V M.dH, (2.44) e, portanto: S = −∂G ∂T M = − 1 µ0V ∂G ∂H. (2.45)

A partir da energia de Gibbs, a diferen¸ca da energia livre entre os estados normal e supercondutor pode ser calculada.

`e importante lembrar que na teoria de transi¸c˜ao de fase de Landau precisamos definir o parˆ a-metro de ordem, que deve ser zero acima de TC e diferente de zero abaixo de TC. Assim, no caso da

supercondutividade, o parâmetro de ordem é a fun¸cão de onda ψ, pois:

ψ =      0 se T > TC ψ 6= 0 se T < TC . (2.46)

Quando ψ é zero temos o estado normal e quando é diferente de zero temos o estado supercondutor. No caso da supercondutividade ψ é um número complexo, portanto a energia livre depende de |ψ|. Já que o parâmetro de ordem é complexo, existe uma infinidade de m´ınimos correspondentes ao mesmo valor de |ψ|, que diferem na fase θ, pois ψ = |ψ|eiθ_.

Supercondutividade do tipo I

Os supercondutores do tipo I, como o alum´ınio e o zinco, são aqueles cujo o campo magnético permanece zero dentro do supercondutor, até que a supercondutividade seja repentinamente destru´ıda [9]. O valor de campo onde isso ocorre é chamado de campo cr´ıtico HC. A magnetiza¸cão M obedece a rela¸cão M = −H

(em unidades efetivas) para todos os campos, menos para HCe se torna nula para campos acima de HC.

Na Fig. 2.9 podemos ver a rela¸c˜ao entre M e H nos supercondutores do tipo I.

A Fig. 2.10 mostra o diagrama de fase do supercondutor do tipo I para H e T . A partir desse gr´afico, pode-se avaliar a mudan¸ca na energia de Gibbs no estado supercondutor, integrando ao longo da linha vertical explicitada nessa mesma figura.

Integrando ao longo da linha vertical dT = 0:

GS(T, Hc) − GS(T, 0) = ˆ dG = −µ0V Hc ˆ 0 M . dH. (2.47)

Utilizando da rela¸c˜ao M = -H, ilustrada no gr´afico 2.9, podemos calcular a integral ´Hc

0 M . dH.

Portanto:

GS(T, Hc) − GS(T, 0) = µ0V

Hc2

(30)

Figura 2.9: Magnetiza¸c˜ao x campo magn´etico, para supercondutividade tipo I. [9]

Figura 2.10: Diagrama de H x T, para a supercondutividade tipo I. [9]

No campo cr´ıtico (Hc), os estados normal e supercondutor est˜ao em equil´ıbrio termodinˆamico: GS(T, Hc) =

Gn(T, Hc). Al´em disso, no estado normal M = 0, assim:

Gn(T, Hc) − Gn(T, 0) = ˆ dG = Hc ˆ 0 M dH ≈ 0, Gn(T, Hc) = Gn(T, 0) = GS(T, Hc). (2.49) Logo: GS(T, 0) − Gn(T, 0) = −µ0V H2 c 2 . (2.50)

(31)

Re-17 escrevendo em termos da energia de Helmholtz, F = G − µ0V H.M e fazendo H = M = 0, temos

que: FS(T, 0) − Fn(T, 0) = −µ0V H2 c 2 , (2.51) onde µ0V H2 c

2 ´e a energia condensada, que ´e a medida do ganho em energia livre por unidade de volume,

no estado supercondutor comparado ao estado normal `a mesma temperatura.

Supercondutividade do tipo II

Os supercondutores do tipo II tˆem dois campos cr´ıticos, o mais baixo HC1 e o mais alto HC2. Para

valores de campo baixos, a magnetiza¸cão obedece a rela¸cão M = −H e não há campo magnético dentro do supercondutor. No entanto, quando o campo excede o valor de HC1, o fluxo magnético come¸ca a entrar

no supercondutor então o campo magnético deixa de ser nulo. Enquanto H cresce, o fluxo magnético cresce até chegar ao valor de HC2, quando a supercondutividade é completamente destru´ıda e M passa

a ser zero. Os campos cr´ıticos variam com a temperatura e se aproximam de zero perto de TC. Os

compostos NbN e Babi3 s˜ao exemplos de supercondutores do tipo II.

A explica¸c˜ao f´ısica para a fase termodinˆamica entre HC1 e HC2 foi dada por Abrikosov [9]. Ele

mostrou que o fluxo magnético entra no supercondutor na forma de vórtices, conforme a Fig. 2.11. Cada vórtice consiste numa região de circula¸cão de supercorrente em torno de um núcleo central, que se tornou essencialmente um metal normal. O campo magnético entra no supercondutor através dos vórtices e a corrente circular expulsa o campo magnético que está fora do vórtice. Conforme o valor do campo cresce, a quantidade de vórtices aumenta, até que para valores acima de HC, o fluxo magnético permeia

totalmente o material, que deixa de ser supercondutor.

Figura 2.11: V´ortices no supercondutor do tipo II. [9]

Para os supercondutores do tipo II, a rela¸c˜ao entre H e T ´e a ilustrada na Fig. 2.12. Integrando ao longo da linha vertical, onde dT = 0, temos que:

GS(T, Hc2) − GS(T, 0) = µ0V Hc2 ˆ 0 M . dH. (2.52) A integral ´Hc2

0 M . dH é calculada a partir da área abaixo da curva de M , em fun¸cão de H,

(32)

Figura 2.12: Diagrama de H x T, para supercondutividade tipo II. [9]

Figura 2.13: M x H, para supercondutividade do tipo II. [9]

Definimos Hc para o supercondutor do tipo II, como sendo:

H_c2 2 = Hc2 ˆ 0 M . dH. (2.53)

Por um processo an´alogo ao que fizemos para o tipo I, encontramos a energia livre de Helmholtz: FS(T, 0) − Fn(T, 0) = −µ0V

H2 c

2 . (2.54)

Note que, Hc só é uma medida conveniente para a energia condensada, portanto em Hc não há transi¸cão

de fase. Calculando a entropia, a partir da energia livre:

s = S V = − 1 V ∂G ∂T, (2.55) sS(T, Hc) − sn(T, Hc) = −µ0Hc dHc dT . (2.56)

(33)

19 A transi¸c˜ao geralmente ´e de primeira ordem, ou seja, apresenta calor latente e descontinuidade nas primeiras derivadas da energia livre.

Transi¸c˜ao de fase na supercondutividade

Temos a primeira lei da Termodinˆamica, na presen¸ca de um campo externo dada por dU = T dS + µ0V H.dM. Contudo, como podemos controlar os valores de H e de T ´e mais conveniente trabalharmos

com a energia de Gibbs, ent˜ao:

G(T, H) = U − T S − µ0V H.M, (2.57)

Ent˜ao:

dG = −SdT − µ0V M.dH. (2.58)

Assim, obtemos as seguintes rela¸c˜oes:

S = −∂G ∂T, (2.59) M = − 1 µ0V ∂G ∂H. (2.60)

Com isso, a energia de Gibbs possibilitará o cálculo da diferen¸ca de energia livre entre os estados normal e supercondutor. Relembrando que, na teoria de transi¸cão de fase de Landau, precisamos definir o parâmetro de ordem, que é uma grandeza que assume o valor zero acima de TCe diferente de zero abaixo

de TC.

Para temperaturas próximas à TC, faremos uma expansão para densidade energia livre (f = F_V),

do tipo:

fS(T ) = fn(T ) + a(T )|ψ|2+

1 2b(T )|ψ|

4_. _(2.61)

Assumiremos b > 0 para a densidade de energia ter um m´ınimo. Sendo assim, se a(T ) > 0, teremos um minimo em ψ = 0, agora se a(T ) < 0, teremos dois m´ınimos em |ψ|2 _{= −}a(T )

b(T ). Landau e Gindsburg

assumiram que para T > TC, a(T ) deve ser positivo e diminuir junto com T , at´e chegar a zero quando

T = TC. Na Figura 2.14, temos a diferen¸ca de energia livre entre os estados supercondutor e normal em

fun¸cão do parâmetro de ordem |ψ|. Para T < TC, a energia tem m´ınimo em ψ0 e para T > TC o único

m´ınimo ´e em ψ = 0

Como os coeficiente a e b, também são pequenos perto de TC, faremos uma expansão em Taylor

neles: a(T ) ≈ ˙a(T − TC) + ... e b(T ) ≈ b. Portanto teremos valores para |ψ| diferentes de zero apenas

abaixo de TC: ψ =      0 se T > TC q ˙ a bp(TC− T ) se T < TC . (2.62)

A Figura 2.15 mostra a curva correspondente de |ψ| como fun¸c˜ao da temperatura. Podemos ver a mudan¸ca abrupta do zero para valores diferentes de zero perto da temperatura cr´ıtica TC.

(34)

Figura 2.14: Densidade de energia x parˆametro de ordem. [9]

Figura 2.15: Magnitude do parˆametro de ordem em fun¸c˜ao da temperatura. [9]

Podemos ainda calcular o m´ınimo para a densidade de energia livre usando a Eq. 2.61 e substi-tuindo em 2.62, obtemos:

fS(T ) − fn(T ) −

˙a

2b(T − TC)

2 _(2.63)

A partir desse resultado, podemos calcular a entropia e o calor espec´ıfico:

sS(T ) − s(T ) = ∂f ∂T = − ˙a2_{(T − T} C) b , (2.64)

para o calor espec´ıfico C = Tds dT: Cs− Cn=      0 se T > TC ˙ a bT se T < TC . (2.65)

Conclu´ımos que a entropia n˜ao possui descontinuidade, logo, trata-se de uma transi¸c˜ao de segunda ordem. Sendo assim, temos descontinuidade apenas nas derivadas de 2a _{ordem da energia livre, ou seja, apenas}

no calor espec´ıfico. A Figura 2.16 mostra um exemplo de um gr´afico de calor espec´ıfico vs. temperatura, na qual podemos observar a descontinuidade no calor espec´ıfico, caracter´ıstica de uma transi¸c˜ao de fase de segunda ordem.

(35)

21

(36)

Cap´ıtulo 3

Topologia na F´ısica

Durante o século XX, a F´ısica da Matéria Condensada conseguiu classificar e descobrir novas fases da matéria, utilizando conceitos de quebra espontânea de simetria, em que uma transi¸cão de fase ocorre quando uma das simetrias do sistema f´ısico é quebrada. Como vimos, a teoria que descreve esses tipos de transi¸cões de fase é a teoria de Landau.

Apesar de bem sucedida, em 1980 foi descoberto um estado da matéria que não se ajustava segundo o paradigma de Landau. Esse é o estado caracter´ıstico do efeito Hall quântico inteiro (IQHS) [10]. Neste estado, um sistema de elétrons bidimensional é submetido à um campo magnético forte e temperaturas baixas. Como resultado, é obtido um sistema cujo interior é isolante, mas apresenta um corrente elétrica quantizada e sem dissipa¸cão na borda. Esse estado não é caracterizado por nenhuma quebra de simetria, mas por um invariante topológico. A partir dessa descoberta, o conceito de ordem topológica foi desenvolvido, permitindo uma nova classifica¸cão de materiais, através da topologia.

Topologia (do grego topos, “lugar”, e logos, “razão”) é um ramo antigo da matemática que estuda os espa¸cos topológicos, sendo considerado como uma extensão da geometria. Duas superf´ıcies têm a mesma topologia se é poss´ıvel deformar uma na outra continuamente (isto é, sem rasgar nem colar), por exemplo, a superf´ıcie de uma esfera tem a mesma topologia que a superf´ıcie de um elipsóide.

Pelo teorema de Gauss-Bonnet [18] existe uma rela¸cão entre a integral de superf´ıcie da curvatura gaussiana, feita sobre a superf´ıcie geométrica de um objeto M, e o chamado g de genus conhecido como número de enrolamento, que classifica as superf´ıcies por sua topologia, dada pela Eq. 3.1. Desta forma, como visto na Fig. 3.1, uma rosca e uma esfera possuem g = 1 e g = 0, respectivamente, portanto, não existe uma transforma¸cão que leve de uma até a outra sem que se rompa a superf´ıcie [18].

ˆ

M

KdA = 2 − 2g. (3.1)

A topologia estuda se os objetos podem ser transformados continuamente um no outro. Na f´ısica de matéria condensada, podemos perguntar se os Hamiltonianos de dois sistemas quânticos podem ser transformados continuamente um no outro. Se for esse o caso, podemos dizer que dois sistemas são “topologicamente equivalentes”.

Se consider´assemos os Hamiltonianos sem qualquer restri¸c˜ao, todos poderiam ser deformados 22

(37)

23

Figura 3.1: Superf´ıcies topol´ogicas [18]

continuamente em outros [11]. Sendo assim, todos os sistemas quânticos seriam topologicamente equiva-lentes. Isso muda drasticamente se nos restringirmos a sistemas com uma diferen¸ca de energia. Portanto, há um custo finito de energia para excitar o sistema acima do seu estado fundamental. Se um gap de energia estiver presente, então o hamiltoniano do sistema não possui autovalores em um intervalo finito em torno do zero de energia. Assim, dois sistemas quânticos com gap são equivalentes topologicamente se seus Hamiltonianos puderem ser deformados continuamente entre si sem fechar o gap de energia.

A deforma¸cão de um Hamiltoniano H em outro H0descreve uma mudan¸ca que ocorre no sistema quântico, quando um parâmetro externo é variado [11]. Essa deforma¸cão pode ser parametrizada como:

H(α) = αH0+ (1 − α)H. (3.2)

Dessa forma, para α = 0, temos o Hamiltoniano inicial H e para α = 1, temos o Hamiltoniano final H0. Plotando o gráfico de α, para dois Hamiltonianos H e H0 quaisquer, alguns n´ıveis podem atra-vessar o zero da energia. Quando isso ocorre, a condi¸cão de que deve haver um gap de energia no sistema é quebrada. Contudo, não significa, necessariamente, que não haja uma transforma¸cão cont´ınua entre H e H0. Somente significa que esse caminho espec´ıfico possui fechamento de gap, mas pode ser poss´ıvel encontrar outro caminho que não o feche.

Para saber se existe um caminho que conecta H e H0 sem fechar um gap, podemos contar o número de n´ıveis abaixo de energia zero, isto é, o número de n´ıveis de energia preenchidos. Na verdade, para os Hamiltonianos com gap, nenhum n´ıvel de energia pode passar por zero. Portanto, transforma¸cões cont´ınuas existem entre os Hamiltonianos com o mesmo número de n´ıveis de energia abaixo de zero. Uma vez que esse número não pode mudar sob transforma¸cões cont´ınuas, é chamado de invariante topológico Q. Se o invariante topológico muda quando H é transformado em H0, então esses Hamiltonianos não são topologicamente equivalentes.

Na verdade, não é necessário contar o número de n´ıveis de energia preenchidos para ambos H e H0, é suficiente manter o controle de cruzamentos no zero de energia. Sempre que um n´ıvel de energia cruza o zero , o número de n´ıveis abaixo de zero energia muda, alterando o invariante topológico, o que chamamos de uma transi¸cão de fase topológica.

(38)

transi¸cão. Em outras palavras, é imposs´ıvel ir de um para o outro sem fechar o gap. Por outro lado, se houver a mesma quantidade de cruzamentos de baixo para cima como o contrário, o número de n´ıveis abaixo da energia zero não muda. O invariante topológico é, portanto, o mesmo para os Hamiltonianos inicial e final. Neste caso, deve haver uma transforma¸cão cont´ınua entre eles que não fecha o gap.

Uma vez que identificamos um invariante topológico, podemos classificar todos os Hamiltonianos quânticos de acordo com seu valor. Desta forma, criamos classes de Hamiltonianos que são topologica-mente equivalentes e podemos acompanhar todas as diferentes fases topológicas que eles podem suportar.

3.1 Revers˜

ao temporal

Na mecânica clássica, suponha que existe uma trajetória de uma part´ıcula sujeita a um certo campo de for¸ca, conforme a Fig. 3.2. Em t = 0, a part´ıcula para e inverte o seu movimento: p → −p. A part´ıcula descreve a mesma trajetória. Se o filme da trajetória (a) for executado para trás como em (b), não há como saber se esta é a sequência correta [12]. Se x(t) é uma solu¸cão para:

m−→x = −¨ −→∇V (x), (3.3) então −→x (−t) é também uma solu¸cão para a Eq. 3.3.

Figura 3.2: (a) Trajetória clássica que para em t = 0; (b) Trajetória revertida p → −p. [12]

Se uma trajetória em espiral está sendo executada em um campo magnético B, podemos saber se a imagem em movimento é executada para frente ou para trás, comparando o sentido de rota¸cão com os pólos magnéticos norte (N) e sul (S). No entanto, do ponto de vista microscópico, B é produzido por cargas se movendo através de uma corrente elétrica; se pudéssemos reverter a corrente que causa B, então a situa¸cão seria bastante simétrica. Em termos da Fig. 3.3, descobrimos que N e S estão invertidos. As equa¸cões de Maxwell (Eq. 3.4) e a for¸ca de Lorentz (Eq. 3.5) são invariantes sob t → −t.

− → ∇ •−→E = 4πρ −→∇ ×−→B = 1 c ∂−→E ∂t + 4π−→j c − → ∇ ×−→E = −1 c ∂−→B ∂t . (3.4) − → F = −e[−→E +1 c − →_{v ×}−→_{B ],} _(3.5) desde que:

(39)

25

E → E B → −B ρ → ρ j → −j v → −v. (3.6)

Figura 3.3: Trajetória de um elétron entre os pólos norte e sul de um ´ımã. [12]

Na Mecânica Quântica, temos a equa¸cão de onda de Schrödinger para um part´ıcula sem spin, dada por: i~∂ψ_∂t = −~ 2 2m+ V ψ. (3.7)

A partir da Eq. 3.7 é fácil notar que ψ(x, −t) não manterá a simetria de reversão temporal, por causa da derviada de primeira ordem no tempo. Contudo, se tomarmos o complexo conjugado ψ∗(x, −t), a simetria de reversão temporal é mantida. Sendo assim, a reversão temporal tem rela¸cão com o complexo conjugado. Portanto, se em um tempo t = 0, a fun¸cão de onda é dada por:

ψ = hx|ai , (3.8)

a fun¸cão de onda para o estado de reversão temporal correspondente é dada por hx|ai∗.

3.1.1 Operador de revers˜

ao temporal

Suponha uma transforma¸c˜ao do tipo:

|αi → | ˜αi = θ |αi , |βi → ˜ βE= θ |βi . (3.9) D ˜_β α˜ E

= hβ|αi∗, θ(c1|αi + c2|βi) = c∗1θ |αi + c∗2θ |βi . (3.10)

Uma transforma¸cão como a Eq. 3.9 é dita anti-unitária se satisfazer a Eq. 3.10, onde θ é um operador anti-unitário.

Nesse caso o operador θ é um operador anti-unitário, definido pela Eq. 3.10. Um operador anti-unitário pode ser escrito da seguinte forma:

(40)

onde U é um operador unitário e K é o operador complexo conjugado que forma o conjugado complexo de qualquer coeficiente que multiplica um ket, ou seja:

Kc |αi = c∗K |αi (3.12)

Assim, definimos o operador de reversão temporal como o operador anti-unitário Θ e o estado Θ |αi é o estado de reversão temporal. A propriedade fundamental de um Hamiltoniano sob reversão temporal é:

ΘH = HΘ (3.13)

Para um observ´avel Hermitiano A, temos que:

hβ| A |αi = h ˜α| ΘAΘ−1 ˜

βE. (3.14)

Dizemos que um operador ´e par ou ´ımpar sob revers˜ao temporal, se a Eq. 3.15 ganha um sinal positivo ou negativo, respectivamente.

ΘAΘ−1= ±A (3.15)

Combinando a Eq. 3.14 com Eq. 3.15, temos uma restri¸c˜ao nos elementos da matriz A, com respeito aos estados de tempo reverso, como mostra a Eq. 3.16:

hβ| A |αi = ±D ˜β A | ˜αi

∗

. (3.16)

Se β é igual à α, os valores esperados de A, são:

hα| A |αi = ± h ˜α| A | ˜αi∗. (3.17) Sendo assim, podemos calcular os valores esperados sob revers˜ao temporal para o momento da part´ıcula p. Como ´e esperado que, o valor esperado para p ganhe um sinal negativo, temos que:

hα| p |αi = − h ˜α| p | ˜αi∗. (3.18) Sendo assim o operador momento p ´e um operador ´ımpar, ou seja:

ΘpΘ−1= −p (3.19)

Calculando, agora, o valor esperado para o operador posi¸c˜ao x, sabendo que deve ganhar um sinal positivo, obtemos:

hα| x |αi = h ˜α| x | ˜αi∗. (3.20) Ou seja o operador momento x ´e um operador par:

(41)

27

3.1.2 Revers˜

ao temporal para part´ıculas de spin semi-inteiro

Para uma part´ıcula de spin semi-inteiro (em particular spin 1/2), temos que o autoestado −→S • ˆn com autovalor ~/2 pode ser escrito como:

|ˆn; +i = e−iSzα/~_e−iSyβ/~_{|+i ,} _(3.22)

onde ˆn é caracterizado pelos ângulos polar β e azimutal α. Aplicando o operador de reversão temporal, temos que:

Θ |ˆn; +i = e−iSzα/~_e−iSyβ/~_{Θ |+i = η |ˆ}_{n; −i .} _(3.23)

Por outro lado:

|ˆn; −i = e−iSzα/~_e−iSy(β+π)/~_{|+i .} _(3.24)

Utilizaremos agora, a seguinte nota¸c˜ao:

e−iπSy/~_{|+i = + |−i ,} _e−iπSy/~_{|−i = − |+i .} _(3.25)

Assim, a atua¸c˜ao do operador Θ em autoestado de spin 1/2 geral ´e:

Θ(c+|+i + c−|−i) = +ηc∗+|−i − ηc ∗

−|+i . (3.26)

Aplicando o operador revers˜ao temporal novamente, temos:

Θ2(c+|+i + c−|−i) = |η|2c+|+i − |η|2c−|−i = −(c+|+i + c−|−i), (3.27)

ou seja,

Θ2= −1, (3.28)

onde −1 ´e o operador identidade multiplicado por −1. De modo geral:

Θ2|j semi − inteiroi = − |j semi − inteiroi Θ2|j inteiroi = + |j inteiroi . (3.29) Assim, o autovalor de Θ ´e dado por: (−1)2j.

3.1.3 Intera¸

c˜

oes com campo el´

etricos e magn´

eticos

A intera¸cão entre uma carga elétrica sob a¸cão de um campo elétrico é dada da seguinte forma:

V (x) = eφ(x), (3.30)

onde ψ(x) é o potencial eletroestático. Como ψ(x) é uma fun¸cão real do operador x, que é par para reversão temporal, tem-se:

(42)

[Θ, H] = 0. (3.31) No entanto, a Eq. 3.31 não leva a uma lei de conserva¸cão de energia, ou seja, não existe “conserva¸cão do número quântico de reversão temporal”, pois:

ΘU (t, t0) 6= U (t, t0)Θ. (3.32)

Outra consequência importante da invariância da reversão temporal é a Degenerescência de Kramers [12].

Se H e Θ comutam e |ni e Θ |ni s˜ao o autoestado da energia e o estado de revers˜ao temporal, respectivamente, temos que:

HΘ |ni = ΘH |ni = EnΘ |ni , (3.33)

ou seja, |ni e Θ |ni tˆem mesmo autovalor de energia En. Se |ni e Θ |ni representam o mesmo estado, eles

devem diferir apenas por uma fase. Assim:

Θ |ni = eiδ|ni . (3.34)

Aplicando novamente o operador Θ na Eq. 3.34, temos que:

Θ2|ni = Θeiδ_{|ni = e}−iδ_{Θ |ni = e}−iδ_eiδ_{|ni ,} _(3.35)

sendo assim:

Θ2|ni = + |ni . (3.36)

Contudo, a Eq. 3.36 ´e imposs´ıvel para sistemas com j semi-inteiro, para os quais Θ2 _{= −1. Portanto,}

conclu´ımos que |ni e Θ |ni são estados diferentes, ou seja, deve haver degenerescência. Isso significa que, um sistema composto de átomos com spin semi-inteiro possui um estado fundamental duplamente degenerado. Por exemplo, nos compostos de HgTe e CdTe, que quando combinados formam isolantes topológicos [28]. A degenerescência de Kramers é uma consequência da invariância da reversão temporal. Para uma carga sob a¸cão de um campo magnético externo −→B , o Hamiltoniano H deve conter termos do tipo:

S • B, p • A + A • p, (3.37)

onde−→∇ ×−→B =−→A e os operadores p e S são ´ımpares sob reversão temporal. Esses termos, levam à:

ΘH 6= HΘ (3.38)

Por exemplo, para um sistema de spin semi-inteiro o estado |+i e seu estado de reversão temporal |−i não têm mais a mesma energia na presen¸ca de um campo magnético. Assim, a degenerescência de Kramers, para um sistema contendo um número ´ımpar de elétrons pode ser levantada aplicando um campo magnético externo.

(43)

29

3.1.4 Consequˆ

encia da degenerescˆ

encia de Kramers

A principal consequência da degenerescência de Kramers para um sistema de spin semi-inteiro é o fato de haver degenerescência, no m´ınimo, dupla para os estados. Hamiltonianos que possuem simetria de reversão temporal têm a seguinte propriedade: cada autovalor En é duplamente degenerado, por causa

da degenerescˆencia de Kramers.

Figura 3.4: Valores assumidos pelo invariante topol´ogico Q, quando H ´e continuamente transformado em H’. [11]

Um Hamiltoniano H, com essa simetria, será transformado em outro H0, conforme a Eq. 3.1. Se não houver cruzamento nos n´ıveis de energia quando α varia entre 0 e 1, os Hamiltonianos H e H0 podem ser transformados de forma cont´ınua. No entanto, se há quebra na simetria de reversão temporal, esses Hamiltonianos não podem ser transformados continuamente, ou seja, deve haver n´ıveis de energia que passem pelo n´ıvel zero, conforme a Fig. 3.4.

Contudo, no caso da reversão temporal, podemos notar pela Fig. 3.4, que cada cruzamento de energia faz o invariante topológico Q dar um salto de 2 valores, e não de 1 valor, como anteriormente. Essa salto do invariante topológio ocorre por causa da degenerescência de Kramers. Sendo assim, conclu´ımos que a simetria de reversão temporal restringe o invariante topológico para ter apenas valores pares.

3.2 Efeito Hall Quˆ

antico

O efeito Hall quântico é uma versão do efeito Hall clássico em mecânica quântica, observado em sistemas de elétrons bidimensionais submetidos a baixas temperaturas e fortes campos magnéticos, em que a condutividade Hall assume valores quantizados.

(44)

Esse efeito foi descoberto em 1980 por Klaus Von Klitzing, Michael Popper e Gerhardt Dordda [10]. Em temperaturas da ordem de 4K, a resistência Hall de um sistema eletrônico bidimensional apresenta platôs em valores exatos de h/ne2_{, em que n ´}_{e um inteiro.}

No efeito Hall Quântico, o volume da amostra bidimensional é isolante e uma corrente elétrica é transportada apenas nas bordas. O fluxo dessa corrente unidimensional evita dissipa¸cão e dá origem ao efeito Hall quantizado. O efeito Hall quântico é o primeiro exemplo de uma transi¸cão de fase que não se enquadra na teoria de Landau. A quantiza¸cão da condutância Hall é explicada pelo fato dela ser um invariante topológico, que só pode assumir valores inteiros em unidades de e2_{/h, independente dos}

detalhes do material.

3.2.1 Efeito Hall Cl´

assico

Em 1879, Edwin H. Hall [14] tentou determinar se a for¸ca, devido ao campo magnético, que surge em um fio percorrido por uma corrente elétrica era exercida em todo o fio ou apenas sobre as cargas em movimento no fio. Hall acreditava que essa for¸ca magnética atuaria sobre os portadores de carga fazendo com que a corrente se deslocasse para uma determinada região do fio, e portanto, a resistência do fio iria aumentar. Apesar de não observar tal aumento na resistência do fio em seus experimentos, Hall sabia que de alguma forma a corrente elétrica era alterada sem que a resistência fosse modificada. Ele propôs a presen¸ca de um estado de stress em uma determinada região do condutor, devido ao acúmulo de portadores de carga, que originaria uma diferen¸ca de potencial transversal, posteriormente conhecida como tensão de Hall [14].

Figura 3.5: Esquema que representa o Efeito Hall Cl´assico [14]

Na Fig.3.5, apresentamos uma ilustra¸cão do experimento de Hall. Um campo elétrico Ex é

aplicado em um fio na dire¸c˜ao x e um densidade de corrente jx atravessa o fio. Al´em disso, um campo

(45)

31

FM = −

e

cv x B. (3.39)

Essa for¸ca desvia as cargas elétricas na dire¸cão negativa de y. Com isso, há um acúmulo de carga nas laterais do fio, gerando um campo elétrico na dire¸cão y, que se opõe ao movimento das cargas. No equil´ıbrio, a for¸ca elétrica gerada pelo campo tranverso (campo de Hall) Ey equilibrará a for¸ca magnética

FM e, assim, a corrente fluir´a apenas na dire¸c˜ao x.

No efeito Hall clássico há duas grandezas de interesse. A primeira é a magnetoresistência, que é a razão entre o campo ao longo do fio Ex e a densidade de corrente jx:

ρ(H) = Ex jx

. (3.40)

A outra ´e a intensidade do campo transverso Ey. Como este se equilibra com a for¸ca magn´etica (FM),

espera-se que seja proporcional tanto ao campo magn´etico H quanto `a corrente ao longo do fio jx.

Portanto, definimos o coeficiente Hall como a raz˜ao entre essas quantidades.

RH =

Ey

jxH

. (3.41)

O sinal do coeficiente Hall determina o sinal dos portadores de carga. Se os portadores de carga forem negativos, o campo Hall será na dire¸cão y negativa e portanto RH também será negativo. No entanto, se

os portadores de carga forem positivos, o campo Hall será na dire¸cão positiva de y, e, consequentemente RH será positivo. O efeito Hall teve grande importância por determinar o sinal dos portadores de carga,

como sendo negativo. No entanto, alguns materiais possuem coeficiente Hall positivo, o que não estava previsto na teoria, como por exemplo os elementos Be, Mg e Al [14]. Posteriormente, com a introdu¸cão da mecânica quântica no estudo dos sólidos, descobriu-se que os portadores de carga positiva são “buracos”, deixados pela falta de elétrons e que podem se propagar.

Para encontrar o coeficiente Hall e a magnetorresistência precisamos calcular as densidades de corrente jxe jy, para isso vamos usar o modelo de Drude [14]. A for¸ca que atua em cada elétron é a for¸ca

de Lorentz F = −e(E + v x H/c) e τ é o tempo entre duas colisões de elétrons. Portanto a equa¸cão de movimento para o momento de cada elétron será:

dp dt = −e(E + p mcx B) − p τ. (3.42)

No equil´ıbrio, a corrente ser´a independente do tempo, portanto px= py = 0. Logo:

0 = −eEx− ωcpy−

px

τ , 0 = −eEy+ ωcpx− py

τ , (3.43)

onde ωc´e a frequˆencia de c´ıclotron, que caracteriza o movimento de c´ıclotron de uma carga em um campo

magn´etico e ´e dada por:

ωc=

eH

mc. (3.44)

Multiplicando as Eq. 3.43 por −neτ /m, em que n ´e a densidade de el´etrons, e introduzindo j = −ne/mp temos que: