3.6 EXERCÍCIOS. o x2 sen 1 x2, V x O. =0. Multiplicando a desigualdade por x2, temos

(1)

0

<

sen 1

x

1, V x O. sen 1 x

o

x

2 x2, V x O.

=0.

sen -1 x lim x2 x->I3 .(d) lim f(x). x -> 4 lim f(x). x -> (e) x->lim f(x). 86 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração

Multiplicando a desigualdade por x2, temos

Como lim 0 = O e lim x2 = O, pela proposição 3.5.3 concluímos que x->I3 x->0

3.6 EXERCÍCIOS

1. Seja f (x) a função defmida pelo gráfico:

Intuitivamente, encontre se existir:

e(a) lim flx). 6 (b) lim f(x). x->3

-e(c) lim f(x).

(2)

Limite e continuidade 87 2. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:

',(a) lim f(x). (b) lim f(x).

x -> -2+ x -> -2

c (c) lim f(x). .(d) lim f(x).

x -> -2 X ->

3. Sejafix) a função defmida pelo gráfico:

e (a) lim f(x). (b) lim f(x).

x->0+0+ x -> O- x O(c) lim f(x).

b(d) lim f(x).

x -> + $(e) X -3lim f(x).

-lim f(x).

(3)

88 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 4. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:

Intuitivamente, encontre se existir: e (a) lim f(x). x 2+ (d) lim f(x). .(b) lim f(x). x 0(e) lim f(x). x (c) lim f(x). x-ì+

5. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:

.,(a) lim ,fix).

x-4 1+ ((d) lim f(x). x-9 +m (b) lim f(x). x-) 1 o (e) lim f(x). x--t-oo '(c) lim f(x). 1

(4)

Limite e continuidade 89 u6. Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x — 5 em x = 3 e que é igual a 7.

7. Mostrar que lim x2 = 9.

x —› 3

Nos exercícios 8 a 12 é dado lim f(x) = L. Determinar um número 8 para o E dado x —> a

tal que If(x) — LI < e sempre que O < I x — al < S.

8. lim (2x + 4) = 8 e = 0,01. x 2 9. lim (-3x + 7) = 10 , e = 0,5. x-*-1 e = 0,1. x —> —2 X + 2 2 1 — x 3 1 limE _— = 0,25. x —> 5 X2 — 1 12. lim 1 x— 1 — 2 e = 0,75. X —>

13. Demonstrar que lim x sen 1/x = 0. x —> O

14. Mostrar que:

(0

Se f é uma função polinomial, então lim f(x) = fia) para todo real a. x -4a

(ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g então

lim g(x) = g(a)• x —> a

Calcular os limites nos exercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites.

45. lim (3 — 7x — 5x2). 16. lim (3x2 — 7x + 2). x —> O x —> 3

10. lim

x

2

—

4 — —4

(5)

x

--

30. Hm 3 x-32 x - 4

.31. lim [2 sen x - cos x + cotg x].

x -37c/2 032. lim (ex->4 x + 4x). ,21 i

90 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração

17. Em (-x5 + 6x4 + 2). x->-1-1 19. Hm [(x + 4)3

(x +

2)-11. x--1 18. Hm (2x. + 7). x -> 1/2 20. lim

[(x

- 2)10 (x + 4)]. x -> x + 4 t + 3 21. lim _{3x -} 22. Em x ->2 _t->2

t +

2. X2 23. lim

-1

x

-)1

x

1. +St + 6

.

t2 24. hm t + 2 t->2

t

2 25. lint

- 5t +

6 26.

s

+ 4 t-2

t

- 2 s -3 1/2 2s 27. lim 3N2x + 3. x-34 28. xfim (3x + 2)2/3-37 .

2x

2 29. lim

-

x

x -) .5/1 3x 33. Em (2x + 3)1/4. _{34. lim} senil

x

4 x ->2

3.7 LIMITES LATERAIS

3.7.1 Definição.

Seja

f

urna função definida em um intervalo aberto (a,

_c).

_Dizemos

que um núMero

L é

o

limite à direita

da função

f

quando

x

tende para

a,

e

escrevemos

lim f(x) = L, x a-F

(6)

{x2 - 2x + 1 , x 3

.2. Seja h(x) =

7 _x _{3 .}

96 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração

Figura 3-9

3.8 EXERCÍCIOS

1. Seja f(x) = Calcule: )(b) Em flx). x -› 3- x -) 3+ ‘""( ,,(d) lim f(x). -(e) Hm f(x). x - > 5 - x_5+

Esboçar o gráfico deflx).

3(a) lim f(x). (c) lim fiz).

x -4 3

Em f(x).

x-)5

•Calcule lim h(x). Esboce o gráfico de h(x).

(7)

Limite e continuidade 97

3. Seja F(x) = Lx — 4L Calcule os limites indicados se existirem:

e(a) lim F(x). x->4+

Esboce o gráfico de F(x).

sa(b) lim F(x). s(c) lim F(x).

x->4 x -> 4

4. Seja f (x) = 2 + 15x — 11. Calcule se existir:

(a) lim f(z). (b) hm f(x). e(c) lim Rx).

x —> 1/5+ x —> 1/5 x -> 1/5 Esboce o gráfico de f(x). Seja g(x) = — 31 x — 3 x 3 (a) Esboce , x = 3 . o gráfico de g(x).

'(b) Achar, se existirem lim g(x),

x > 3+ x —> lim3- g(x) e x lim-> 3 g(x).

{

e6. Seja h(x) = x/lx 1 , se x O O , se x = O .

Mostrar que h(x) não tem limite no ponto O.

el. Determinar os limites à direita e à esquerda da função f(x) = arc tg 1/x quando x -* O.

a8. Verifique se lim _x_—1₁existe. X >

(8)

-,00

—oo,O

x ₃

O° ..°

00

o

'

98 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

9. Seja f(x) = 1/x , x2 , 2 , 2 — x , x < 0 O X < 1 x =- 1 x > 1 .

Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem: é (a) lim f(x).

x —) —1 ,*(19) x —) lim f(x). a(c) x )0lim f(x).+ ,(d) lim f(x) .

x—) '(e) x —> O

lim

f(x). xlim f(x).->2+2+ ,(g) lim f(x).

x - 2 •(h) x— lim f(x).2

10. Seja f(x) = (x2 - 25)/(x — 5).

Calcule os limites indicados se existirem: *(a) lim f(x).

x O _ 1(b) x lim -> 5+ x f(x). ,(c) -> -lim f(x).

((d) lim f(x). s(e)

lim

f(x). x —> 5 x --> - 5

3.9 CÁLCULO DE LIMITES

Antes de apresentar exemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco sobre

expressões indeterminadas.

Costuma-se dizer que as expressões:

(9)

Exemplo 4. lim (x + h)2 — x2

h->0 h

Neste exemplo, simplesmente desenvolve-se o numerador para poder realizar as simplificações. Obtem-se: h x . m ( + h)2 — x2 —lim +x2 2xh + h2 —

x

2 h->0 h h->0 h um 2xh + h2 = h->0 h

um

h(2x + h) h->0 h = lim (2x + h) h->0 2x.

3.10 EXERCÍCIOS

1. Para cada uma das seguintes funções ache

hm

f(x

_x-

) — f(2)

_—

₂

x -• 2

?,(u) f(x) =

3x

2

.

(b) f(x) = 1/x, x

O.

•

(c) f(x) =

2/3 x

2

.

e(d) f(x)= 3x2 + 5x — 1. 6(e) f(x) =

x + 1 , x —1 . a (f) f(x) = x3. 102 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

(10)

.■11. + x — 1 19. lim —x •21. lim Vx'— 4a a O . x —> a x — a x->0 -3\1 8 + — 2 h "V x2 + a2 — a lim , a, b > O . x "\ix2 + b2 — b tf 17 ( Limite e continuidade 103 Nos exercícios 2 a 25 calcule os limites.

.

_a.

_{hm ,}

x3 +

x x-

- 1

3. lim t3 + 4ê + 4f (t + 2) (t — 3)

E4. lim x2 + 3x — 10 1$. lim 2t2 — 3t — 5 •

x->2 3x2 — 5x — 2 —> 5/2 2t — 5

06. lim x2 + (1 — a)x — a 97. lim 3x2 — 17x + 20 3

— a x x-*a x->4 4x2 — 25x + 36 Li

x2-1

(m-},

,

y,,y--n__L

x2 + 3x + 2 (/-IJ) X2 - 4 x2 — 5x + 6 410. lim D11. x — 2 x ->2 x->2 XL —12x + 20 42. lim (2 + h)4 — 16 • 01 3. fim (4 + 02 -16 h _{— > tr)} x2 + 6x + 5 *8. lim x-->_1 x— 3x — 4 ▪ xlim '125 + 3t — 5 .N1a2 + bt — a .r.14. lim m15. lim , a > O r—> o t r->0 — 1 \Àt, 'N/2(h2 — 8) + h .16. t.17. 11111 h-->1 h — 1 h->-4 h + 4

(11)

Limite e continuidade 119 a_o b_o X

lim

` • ▪ + Xrn

a

o

xn = lim ▪ -4± b

o

xm

3.13 EXERCÍCIOS

1. 3x + lxl o(b) lim f(x) . x-) --Se f(x) — 7x 5ixi , calcule: 9(a) lim f(x). —> 1 • 2. Sef(x) = calcule: (x + 2)`:

t(a) lim f(x) . #(b) lim f(x) .

x -4 —2 x -4+

Nos exercícios 3 a 40 calcule os limites.

o3. lim (3x3 + 4x2 — 1) . .9 4. lim 2 — — +1 4 \

x a+00 x x2 %S. . t + 1 ,o6. • 8. lim hm lim + 1 Um r + 1 lim t2,— 2t + 3 ,

r

+ 1 2x5 — 3x3 + 2 2t` + 5t — 3 x — —x` + 7

5

-99. lim 3x5 — x2 + 7 '10. lim ——5x3 + 2 2 — X2 x -4 -- 7x3 + 3

(12)

X CO 14. lim X CO 11. Hm x2 + 3x + 1 x t2 13. lim — 1 + OD t - 4 *12. lim '"rx + 3x - 10 x3 x (2x - 7 cos x) 3x2 - 5 sen x + 1 23. lim 5x3 - x2 + x - 1 x -00 x4 + x3 -

x

+ 1

V

25. lim 2x2 - 7 27. lim + CO

„V

3s/ - 4s5 2s

7

+ 1

120 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração

V VV — 1 15. lim v +r 3v - 1 17. lim Vx2 + 1 x + 1 x -.-00 19. lim x(Vx2 - 1 - x). x ►+ 21. lim 10X2 - 3x + 4 x 3x2 - 1 Nix2 16. lim + 1 x + 1 18. lim ( Vx2 + 1 - 1/x2 - 1) . x + 20. lim (13x2 + 2x + 1 - Vfx ). x + co 422. lim x3 -2x+1+ X2 — 1 lim - s 24. hm + OD VS2 + 7 26. lim (116x4 + 15x3 - 2x + 1 - 2x x +O V2x2 - 7 28. lim x + 3 x - 00 X + CO 29. lim 30. lim 3 - y Y 4- c° V 5 + 4y2 Y NI 5 + 4372 31. lim 32. x 3+ X — 3 x 3— — 3 x x.- - 4 x 24- X2 — 4 33. lim 34. lim

x

(13)

Limite e continuidade 121 ,35. lim +

6

y 6+ y2 - 36 037. lim 3 - x x -)4+ - 2x - 8 .36. lim Y + 6 y-6 y` - 36 .38. lim , 3 - x x -)41

-

- 2x - 8 439. lim 1 •40. lim x 3 3 1 x -) 3+ 1 3 1

3.14 LIMITES FUNDAMENTAIS

Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 0/0,

1

-

e 00

°

.

3.14.1 Proposição. O

lim x é igual a 1.

x-)0

Prova.

Consideremos a circunferência de raio -1 (Figura 3.10).

Figura 3-10

x

Seja x a medida em radianos do arco AOM . Limitamos a variação de x ao intervalo (O, n/2).

(14)

13. lim 1 - 2 cos x + cos 2x

x 14. lim (1 +

1/n)n 1- 5 n-).0

X2

128 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 1

-2

(ln e - ln a) -1 (1 - ln a 2

3.15 EXERCÍCIOS

Nos exercícios 1 a 27, calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

sen 9x . se 4xn 01. lim • .2. hm x x -)0 3x .3.

hm

s n 10x e. 4. lim sen ax b O . x sen 7x x sen bx

6. hm

. sen x/2 o 5. lim tg x -)0 x x o x3 ,Àx+1 tg. -4 .8. um 1 - cos x lim , • • x -)-1 (x + 1)J x --) o x 1 - cos x lim x > o x2 10. x --> 3lim (x - 3) coser 7C X.

11. lim 6x sen 2x • 12. lim cos 2x - cos 3x

2x + 3 sen 4x

(15)

16. 2n + \n + 1 2n + l > —> [ 1 + _X .) 18. lim (1 + l/tg Atg X. TC x

)2

15. 17. n --> Limite e continuidade 129 \rx 19. lim (1 + cos x)licc"

37e 20. lhn 1 + 10 x 2 21. lim 10x-2 — 1 x x-32 -2 22. x -› —3 x+3 4 5 — 1 x + 3 - 25 23. lim 24. 11111 x—>2 x — 2 x,1 sen [5 (x - 1)] 25. lim x -K) e-aX — CbX _{26. hm} t h g. ax x—>I3 X x e" - eb 27. lim x 0 sen ax - sen bx

3.16 CONTINUIDADE

Quando definimos lim f(x) analisamos o comportamento da função f(x) para x-> a

valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Em muitos exemplos vimos que lim f(x) pode existir, mesmo que f não seja definida no ponto a. Se f está definida em x -> a

a e lim f(x) existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a).

x — 1 3 4 - 1

(16)

3

{ x

2

sen 1/x ,

x

O

(e) f(x) =

emx=0.

x

= 0

— 3 e

x >

— 2

(£0 itx) =

—1

—3 <

x

— 2

(18)

c) f(x) = x O x > O x O x = O , a) f(x) = x, x lx I Limite e continuidade 141 1 - cos x , x<O (e) f(x) = x2 + 1 x O (f) f(x) = 2 (g) f(x) { x - 1 x2 - 3x + 4 _x  1 (h) f(x) = cos x X + 7Z

3. Faça o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:

1 x = 1 x2 - 4 _x_{- 2} b) f(x)f(x) x + 2 1 x = - 2 { ln (x + 1) , x > O dj f(x) -= -x , x<O e) f(x) - x3 + 3x2 - x - 3 + 4x + 3

4. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.

x2 + px + 2 , (a) f(x) = 3 x 3 (b) f(x) = x + 2p , x .^ -1 x = 3 , x > -1

(19)

142 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

(c) f(x) = e

2x x

O

1'3 — 7 , x = O .

5.

Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.

x (a) f(x) — _{(x 3)(x + 7)} (c) f(x) = _{1 +}

1 2 sen

x (b) f(x) = '/(3 —

x)(6 —

x)

x

(d) .f(x) — 2

+ 3x

—

1

x- —

6x + 10

6. Prove que se

f(x) e g(x)

são contínuas em x

o

= 3, também o são

f+g e f -g.

7. Defina funções

f, g

e

h

que satisfaçam:

(a) f

não é contínua em 2 pontos de seu domínio;

(b) g é

contínua em todos os pontos de seu domínio mas não é contínua em

I? ; (c) h

o

f

é contínua em todos os pontos do domínio def;

Faça o gráfico das funções

f, g, h

e

h

R

—>

R

uma função definida no ponto a. Se lim

f(x) —