Notas de aula – 1° ano – Progressão Aritmética

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Ano: 2019

PROGRESSÃO

ARITMÉTICA

Aulas 01 a 04

Sumário

Progressão Aritmética ... 1

PRELIMINAR 1 ... 1

Definição de progressão aritmética (P.A) ... 1

Exemplo 1 ... 1 Exemplo 2 ... 1 Exemplo 3 ... 1 Termo geral ... 1 Exemplo 4 ... 1 Exemplo 5 ... 1 Exemplo 6 ... 2 Classificação ... 2 Exemplo 7 ... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 2 Propriedades da P.A ... 2 Exemplo 1 ... 3 Exemplo 2 ... 3 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 3 Representação especial ... 3 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 3

Soma dos n primeiros termos ... 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 3

Questões extras ... 4

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

AULA 01

Progressão Aritmética

PRELIMINAR 1

Identifique, em cada uma das sequências a seguir, o padrão de sua formação e escreva seus dois próximos termos. I. (2, 4, 6, _____, _____, . . . ) II. (−12, −8, −4, _____, ____, . . . ) III. (1 2, 7 12, 2 3, _____, _____, . . . ) IV. (12, 12, 12, 12, _____, _____, … )

Definição de progressão aritmética (P.A)

Uma progressão aritmética é uma sequência onde cada um dos termos, a partir do segundo, é obtido acrescentando-se um valor fixo (chamado razão) ao seu antecessor.

Assim,

𝑎2= 𝑎1+ 𝑟 ; 𝑎3= 𝑎2+ 𝑟 ; 𝑎4= 𝑎3+ 𝑟 ; …

Portanto, de modo geral,

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1+ 𝑟 , ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2

Ou mais ainda, a razão da PA é dada pela fórmula

𝑟 = 𝑎𝑛− 𝑎𝑛−1, ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2

Exemplo 1

Dada a sequência (𝑎𝑛) = (−5, −3, −1, 1, 3, 5, 7),

podemos afirmar se a mesma é uma P.A ou não, verificando se a diferença entre cada um de seus termos apresentados e seu antecessor é constante. Veja: 𝑎2− 𝑎1= −3 − (−5) = 2 𝑎3− 𝑎2= −1 − (−3) = 2 𝑎4− 𝑎3= 1 − (−1) = 2 𝑎5− 𝑎4= 3 − (1) = 2 𝑎6− 𝑎5= 5 − (3) = 2 𝑎7− 𝑎6= 7 − (5) = 2

Como obtivemos resultados constantes e iguais a 2, temos que a sequência é uma P.A de razão 𝑟 = 2.

Exemplo 2

A sequência (2, 3, 4, 6) não é uma P.A, pois sendo 𝑎2− 𝑎1= 1

𝑎3− 𝑎2= 1

𝑎4− 𝑎3= 2

constata-se que a diferença entre um termo e seu antecessor não é constante.

Exemplo 3

A progressão aritmética (𝑎𝑛) cujo primeiro elemento

é 1 e a razão é 4 é dada por

𝑎1 = 1 ; 𝑎2= 1 + 4 = 5 ; 𝑎3 = 5 + 4 = 9; …

Assim, (𝑎𝑛) = (1; 5; 9; 13; … ).

Termo geral

O termo geral de uma P.A é dado por: 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1) ∙ 𝑟; 𝑛 ∈ ℕ∗

Exemplo 4

Sendo (𝑎𝑛) uma P.A cujo termo geral é

𝑎𝑛= 2 + (𝑛 − 1) ∙ 3, temos que 𝑎1= 2 ; 𝑎2 = 2 + (2 − 1) ∙ 3 = 5 ; 𝑎3 = 2 + (3 − 1) ∙ 3 = 8 ; Então (𝑎_𝑛) = (2, 5, 8, 11, 14, . . )

Obs. 1: Note que o termo geral poderia ter sido

apresentado como 𝑎𝑛= 3𝑛 − 1.

Exemplo 5

Dada a P.A (𝑎𝑛) = (4, −2, −8, −14, … ), podemos

determinar o seu termo geral 𝑎𝑛 da seguinte forma:

1º) Determine a razão da P.A.

𝑟 = 𝑎2− 𝑎1 = −2 − 4 = −6 Assim, 𝑎𝑛= 𝑎1+ (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 𝑎𝑛= 4 + (𝑛 − 1) ∙ (−6) 𝒂𝒏= −𝟔𝒏 + 𝟏𝟎 Determinação da P.A

Para determinar uma P.A basta conhecer o primeiro termo e a razão. Caso ela seja finita, também precisamos da quantidade de termos.

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Exemplo 6

Seja (𝑎𝑛) = (1, 𝑎2, 5, … ) uma P.A, determine o seu

décimo termo.

Vamos começar determinando o seu termo geral, 𝑎3= 5 ⇔ 𝑎1+ 2𝑟 = 5 ⇔ 1 + 2𝑟 = 5 ⇔ 𝑟 = 2

Assim, o termo geral é

𝑎𝑛= 1 + (𝑛 − 1) ∙ 2

Finalmente, com o termo geral em mãos, podemos determinar 𝑎10 :

𝑎10= 𝑎1+ 9 ∙ 𝑟

= 1 + 9 ∙ 2 = 1 + 18 = 19

Obs.2: Perceba que podemos determinar a razão

utilizando a fórmula do termo geral, o primeiro termo e algum termo já conhecido.

Classificação

Uma progressão aritmética pode ser classificada quanto ao seu crescimento, veja como:

𝑟 > 0 ⇒ a P.A é crescente. 𝑟 < 0 ⇒ a P.A é decrescente.

𝑟 = 0 ⇒ a P.A é constante.

Exemplo 7

• (2; 6; 10; … ) possui razão 𝑟 = 4 > 0, logo é crescente.

• (2, −2, −6, … ) possui razão 𝑟 = −4 < 0, logo é decrescente.

• (2, 2, 2, … ) possui razão 𝑟 = 0, logo é constante.

AULA 02

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1. Escreva o termo geral das seguintes progressões

aritméticas:

a) (0, 5, 10, 15, 20, … ) b) (−4, 2, 8, 14, … )

2.2. Em relação a P.A (52, 44, 36, 28, . . ), determine:

a) 𝑎19

b) 𝑎10+ 𝑎25

2.3. Uma P.A. possui o 4º termo igual a 24 e o 9º

termo igual a 79. Determine os 10 primeiros termos da P.A e classifique-a quanto ao seu crescimento.

2.4. Dada uma progressão aritmética (𝑎𝑛) tal que

𝑎3+ 𝑎8= 14 e 𝑎5= 2𝑎10+ 88, determine 𝑎7.

2.5. Faça a interpolação aritmética de 6 meios entre

62 e 97.

AULA 03

Propriedades da P.A

i. Se (𝑎, 𝑏, 𝑐) forma uma P.A, então o termo do meio é a média aritmética dos extremos, ou seja

𝑏 =𝑎 + 𝑐 2

ii. A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos da P.A. Determinação do termo geral

Para determinar o termo geral de uma P.A é necessário encontrar a razão (𝒓) e o primeiro termo (𝒂𝟏). Lembre-se, 𝒓 = 𝒂𝒏− 𝒂𝒏−𝟏, ∀𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑛 ≥ 2.

Nem sempre 𝒂𝟏 e 𝒓 são dados de forma direta.

Utilize as informações dadas na situação-problema para buscar esses parâmetros.

TAREFA 1 – Resolver os exercícios fundamentais 2.1.

a 2.5.

Como entender o “funcionamento” da versão generalizada do termo geral de uma PA?

DICA DO PROFESSOR – PRINCÍPIO DO ELEVADOR

Encare os termos da fórmula

𝒂

= 𝒂

+

(

𝒋 − 𝒊

)

⋅ 𝒓

como:

𝒂

𝒂

Desse modo, o expoente (𝒋 – 𝒊) representa o número de andares que o morador do andar

𝒊

𝒋

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Exemplo 1

Dada a sequência (𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟔, 𝟐𝟎), temos que 𝒂𝟐 e

𝒂𝟒 são equidistante dos extremos, e assim,

𝑎2+ 𝑎4 = 8 + 16 = 24 = 4 + 20 = 𝑎1+ 𝑎5

iii. Se 𝑎𝑚 é o termo médio da progressão aritmética,

então

𝑎𝑚=

𝑎1+ 𝑎𝑛

2

Exemplo 2

Dada a sequência (𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟔, 𝟐𝟎), temos que o termo médio 𝒂𝟑 é dado por

𝑎3 =

𝑎1+ 𝑎5

2 =

4 + 20 2 = 12

Obs.1: Lembre-se que apenas uma sequência finita

com quantidade ímpar de termos, possui termo médio.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

3.1. Dada a P.A (3𝑥 − 5, 3𝑥 + 1, 25), determine x. 3.2. Obtenha o termo 𝑎10 do exercício fundamental

2.2. utilizando a propriedade iii).

AULA 04

Representação especial

Em situações que envolvem P.A com poucos termos, podemos utilizar algumas notações especiais.

• Para uma P.A de 3 termos

A P.A (𝑥1, 𝑥1+ 𝑟, 𝑥1+ 2𝑟), pode ser representada por

(𝑥2− 𝑟 , 𝑥2 , 𝑥2+ 𝑟)

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

4.1. A soma dos três números que compõem uma P.A

é 72 e o produto dos extremos é 560. Determine a P.A.

Soma dos n primeiros termos

Seja 𝑺𝒏 a soma dos 𝑛 primeiros termos de uma P.A,

ou seja, 𝑆𝑛= 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ 𝑎4+ ⋯ + 𝑎𝑛−1+ 𝑎𝑛 Temos que 𝑆𝑛= (𝑎₁+ 𝑎𝑛) ∙ 𝑛 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

4.2. Calcule a soma dos quinze primeiros termos da

PA (−45, −41, −37, −33, … ).

4.4. A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma

progressão aritmética (𝑎𝑛) é dada por

𝑆𝑛= 𝑛2− 2𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ∗. Determine

a) 𝑎1 b) 𝑎𝑛 c) 𝑎8

4.4. (DESAFIO) Calcule o valor de

502_{− 49}2_{+ 48}2_{− 47}2_{+ ⋯ + 2}2_{− 1}2

TAREFA 2 – Unid. 6, Cap. 20 - Ler os exercícios

resolvidos 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11 e 13 e FAZER os PSA 1(a, b), 2(b), 3, 5, 8(a, b, c), 9, 16, 18 e 22.

Ler as representações especiais para uma P.A de 4 termos e 5 termos.

Notação especial

A notação especial é outro jeito de descrever a mesma P.A. Note que, quando for pedido a soma dos termos, a notação especial é vantajosa, pois os "𝒓" irão se anular. Veja:

𝒙𝟏+ 𝒙𝟐+ 𝒙𝟑= (𝒙𝟐− 𝒓) + 𝒙𝟐+ (𝒙𝟐+ 𝒓) = 𝟑𝒙𝟐

Note que continuaríamos com duas incógnitas caso tivéssemos optado por definir a P.A sem a notação especial, veja:

Se (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑) = (𝒙𝟏, 𝒙𝟏+ 𝒓, 𝒙𝟏+ 𝟐𝒓), então

𝒙𝟏+ 𝒙𝟐+ 𝒙𝟑 = 𝟑𝒙𝟏+ 𝟑𝒓

TAREFA 3 – Unid. 6, Cap. 20 - Ler os exerc. resolv.

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EXTRA

Questões extras

1) Em uma progressão aritmética de 41 termos e de razão 9, a soma do termo central com o seu antecedente é igual ao último termo. Então, o termo central é a) 369 b) 189 c) 201 d) 171 e) 180

2) Interpolando 7 meios aritméticos entre 5 e 29, nesta ordem, tem-se que o quinto termo dessa sequência é a) 14 b) 141 7 c) 17 d) 20 e) 21

3) Uma sequência (𝑎𝑛) é gla que 𝑎1 = 8 e 𝑎𝑛 =

𝑎𝑛−1+ 12, 𝑛 ∈ ℕ∗ e 𝑛 ≥ 2. A soma dos vinte

primeiros termos dessa sequência é a) 228

b) 4720 c) 3260 d) 2360 e) 2440

4) Considere uma progressão aritmética (𝑎𝑛), 𝑛 ∈

ℕ∗, na qual 𝑎3 = 7 e 𝑎19= −25. Determine 𝑎11.

5) A soma 𝑆𝑛 dos 𝑛 primeiros termos de uma

progressão aritmética é dada por 𝑆𝑛= 2𝑛2− 3𝑛,

em que 𝑛 ∈ ℕ∗. Calcule o produto entre o terceiro termo e a razão dessa progressão.

6) Considere a progressão aritmética (𝑎𝑛), com 𝑛 ∈

ℕ∗, dada por (2; 6; 10; … ). Acerca dessa progressão, julgue os itens a seguir.

(A) ( ) Essa progressão aritmética tem razão 𝑟 = −4. (B) ( ) 𝑎10= 42 (C) ( ) 𝑎13+ 𝑎17= 𝑎11+ 𝑎19 (D) ( ) 𝑎16= 𝑎₁₄+𝑎₂₀ 2 .

(E) ( ) A soma dos vinte primeiros termos dessa sequência é igual a 440.

7) Considere os números inteiros de 17 a 321. Quantos desses números são múltiplos de 3?

(A) 101 (B) 102 (C) 103 (D) 104 (E) 105

8) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.A. (1; 5; 9; 13; … ).

9) (VUNESP) Uma P.A. de 51 termos tem o vigésimo sexto termo igual a −38; então, a soma dso termos dessa progressão é

(A) −900 (B) −1938 (C) 969 (D) 0 (E) −969

10) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro mês, e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de (A) R$ 150,00. (B) R$ 250,00. (C) R$ 400,00. (D) R$ 520,00. (E) R$ 600,00.

11) Determine a soma dos múltiplos inteiros de 2 desde 4 até 100.

12) Determine a P.A. em que o vigésimo termo é 2 a soma dos 50 termos iniciais é 650.

PARA REVISAR – Unid. 6, Cap. 20 – TSC 4, 6, 9, 14,

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CAIU NO VEST

1) (UnB – 2012) Os recordes na corrida de 100 metros rasos podem ser estimados da seguinte forma: a partir do recorde obtido em 1983, de 9,930 s, o primeiro recorde seria 𝑅1= 9,930 −

𝑎1; depois de alguns anos, o segundo recorde

seria 𝑅2= 𝑅1− 𝑎2; assim , o n-ésimo recorde, a

partir de 1983, seria 𝑅𝑛 = 𝑅𝑛−1− 𝑎𝑛, em que 𝑎𝑖

é uma progressão geométrica de razão 𝑞 = 0,98 e o primeiro termo 𝑎1= 0,009.

1. O segundo recorde a partir de 1983 é inferior a 9,912 s

2. Considerando-se que, a partir da forma proposta para a estimativa dos recordes, o tempo vai diminuindo ate um limite mínimo, calcule esse limite, em centésimo de segundos.

2) (ENEM – 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

ANO Projeção de produção (t)

2012 50,25

2013 51,50

2014 52,75

2015 54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de

a) 497,25 b) 500,85. c) 502,87 d) 558,75 e) 563,25 3) (UECE) Seja (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎8) uma progressão

aritmética. Se 𝑎2+ 𝑎5= 8 e 𝑎8= 7, então 𝑎3+

𝑎7 é igual a

a) 8 b) 28/3 c) 10 d) 32/3

4) (ITA – 2012) Sabe-se que (𝑥 + 2𝑦, 3𝑥 − 5𝑦, 8𝑥 − 2𝑦, 11𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧) é uma progressão aritmética com o último termo igual a −127. Então, o produto 𝑥𝑦𝑧 é igual a a) -60 b) -30 c) 0 d) 30 e) 60 GABARITO: FUNDAMENTAIS 2.1. a) a_n=5n−5 b) a_n=6n−10 2.2. a) −92 b) −160 2.3.

(

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