Sumário
1 Conceitos topológicos 1
Lista de Figuras
1.1 . . . 2
Capítulo 1
Conceitos topológicos
Vejamos alguns conceitos e resultados iniciais que dizem respeito aos funda-mentos de topologia e análise necessários para o entendimento do restante do texto. Recomendo os textos (??????).
Espaços topológicos
Apresentam-se agora alguns conceitos úteis na teoria de conjuntos e de espa-ços topológicos.
Relação de equivalência
Uma relação sobre um conjunto A é um subconjunto R do produto cartesiano
A×A. Notação: xRy ou (x, y) ∈ R, ou x ∼ y e lê-se ‘‘x relaciona-se com y por R′′. Adotaremos aqui o símbolo∼ para denotar uma relação.
Uma relação de equivalência sobre um conjunto A é uma relação R sobre A que satisfaz às seguintes propriedades:
1. Reflexividade: x∼ x, ∀x ∈ A; 2. Simetria: Se x∼ y, então y ∼ x;
3. Transitividade: Se x∼ y e y ∼ z, então x ∼ z 1
2 CAPÍTULO 1. CONCEITOS TOPOLÓGICOS
1 Exercício. Dê exemplos de relações que não sejam de equivalência. Dê exemplo
de uma relação de equivalência.
Dada uma relação de equivalência∼ sobre um conjunto A e x ∈ A, dizemos que o conjunto
E ={y; y ∼ x}
é a classe de equivalência de x. Também dizemos que x é um representante da classe de equivalência E ou que E é determinada por x.
Note que a classe de equivalência é um conjunto não-vazio, pois contém x, uma vez que x∼ x.
Uma propriedade fundamental dessas classes é que x relaciona-se com y se, e somente se, ambos pertencem à mesma classe de equivalência. Ou seja, o con-junto A de todas as classes de equivalência é a união disjunta delas.
A demonstração aqui apresentada segue (??).
1.1 Lema. Duas classes de equivalência E1e E2ou são disjuntas ou são iguais.
Demonstração. Sejam E1 e E2 as classes de equivalência dadas por x1 e x2,
res-pectivamente. Suponha que E1∩ E2 ̸= ∅.
Tome y ∈ E1∩ E2. Então, por definição, temos y ∼ x1 e y∼ x2.
E1 E2
z
x1 y x2
Figura 1.1:
Pela propriedade de transitividade temos x1 ∼ x2, implicando que x1 ∈ E2.
Como x1é um representante de E1, i.e., todo z ∈ E1é tal que z ∼ x, novamente
por transitividade, temos z ∈ E2. Portanto, E1 ⊂ E2.
A condição E2 ⊂ E1é demonstrada de maneira análoga.
Logo, E1 = E2.
Pelo lema acima, obtemos uma decomposição do conjunto A numa união disjunta de elementos do conjunto de classes de equivalência, já que todos os ele-mentos de A pertencem a alguma dessas classes. Isto sugere a seguinte definição.
3
1.2 Definição. Uma partição de um conjunto A é uma coleção disjunta de
subcon-juntos não-vazios de A cuja união é todo o A.
No que se refere ao estudo de um conjunto, dizer que temos uma partição de
Aou dizer que temos classes de equivalência em A tem o mesmo sentido.
1.3 Lema. Dada uma partiçãoP de A, existe uma única relação de equivalência
sobre A que a determina.
Demonstração. SejaP uma partição de A. Defina seguinte relação ∼: x ∼ y se x, ypertencem ao mesmo elemento deP. Mostremos que ∼ é de equivalência.
Claramente, é uma relação simétrica. Também é óbvio que se x pertence ao mesmo elemento que y, digamos E, então y ∼ x, pois a união dos elementos de
P é todo o A.
A transitividade vem do fato de que os elementos de uma partição são dois a dois disjuntos.
Ainda, por definição, o conjunto das classes de equivalência dadas por∼ é exatamente o conjuntoP.
Vejamos a unicidade.
Suponha que existam duas relações de equivalência∼1,∼2que determinam
P. Dado x ∈ A, mostraremos que y ∼1 x⇔ y ∼2 x, o que implica∼1=∼2.
Seja E1 a classe de equivalência determinada por x pela relação∼1e seja E2
a classe de x pela relação∼2. Então, E1 ∈ P, logo é igual a um único elemento
P ∈ P contendo x. De modo similar, deve-se ter E2 = P. Portanto, {y ∈
A; y∼1 x} = E1 = P = E2 ={y ∈ A; y ∼2 x}. Donde segue o resultado.
Topologia Geral
Um espaço topológico nada mais é do que um conjunto de elementos arbitrá-rios no qual se define uma noção de continuidade. O conceito de continuidade, por sua vez, baseia-se em relações locais ou de vizinhança que são preservadas por uma “aplicação contínua” de um espaço no outro.
Uma topologiaT em um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X fechada para a união e para a interseção finita de elementos e que contém X e o conjunto vazio∅. Os elementos de T são chamados de conjuntos abertos. Dize-mos então que (X,T ) é um espaço topológico. Quando não houver necessidade de explicitar a topologia, denotaremos apenas por X.
4 CAPÍTULO 1. CONCEITOS TOPOLÓGICOS
Dado um espaço topológico X, diremos que F ⊂ X é um conjunto fechado em X se seu complementar X\ F é um conjunto aberto.
Dado um subconjunto qualquer E ⊂ X, chamamos de fecho de E à interse-ção de todos os subconjuntos fechados de X contendo E. Denotamos o fecho de
Epor E.
Um ponto x de um espaço topológico X é dito ponto de acumulação de um conjunto A ⊂ X se toda vizinhança aberta de x contém algum ponto de A dife-rente de x. Denotamos o conjunto dos pontos de acumulação de A por A′.
2 Exercício. Considere um espaço topológico X.
1. Prove que o fecho de um subconjunto E ⊂ X é fechado em X. 2. Mostre que A⊂ X é fechado se, e somente se, A = A.
3. A = A∪ A′.
Seja M um espaço topológico.
1.4 Definição. Um espaço topológico M é dito Hausdorff se satisfaz as seguintes
condições:
1. A cada ponto x corresponde ao menos uma vizinhança U (x); cada vizinhança U (x)contém o ponto x.
2. Se U (x) e V (x) são vizinhanças do mesmo ponto x, então existe uma vizi-nhança W (x) que é um subconjunto de ambos.
3. Se o ponto y ∈ U(x), existe uma vizinhança U(y) ⊂ U(x).
4. Para dois pontos distintos x, y existem duas vizinhanças U (x), U (y) disjun-tas.
O conceito de continuidade de uma aplicação pode então ser dado com res-peito à noção de vizinhança.
Uma aplicação f de um espaço topológico X sobre um subconjunto (próprio ou não) de um espaço topológico Y é dita contínua no ponto x se, para toda vizi-nhança U (y) do ponto y = f (x) existe uma vizivizi-nhança U (x) de x tal que todos os pontos de U (x) são levados em pontos de U (y) por f . Em outras palavras, a pré-imagem de qualquer aberto é um subconjunto aberto do domínio de f .
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1.5 Lema. Se X e Y são espaços de Hausdorff com Y localmente compacto e f :
X → Y contínua e própria então f é uma função fechada.
Demonstração. Seja Z um subconjunto fechado de X, e seja y ∈ f(Z), assim yi → y quando i → ∞ para yi ∈ f(Z). Seja V uma vizinhança compacta de
y, s.p.g, podemos supor todos os yi ∈ V . Assim, para todo i em N temos que
yi ∈ f(Z) ∩ V , segue que existem x1, x2, ...∈ Z ∩ f−1(V )tais que f (xi) = yi.
Da compacidade de f−1(V ), temos que (xn)n possui subsequência
conve-gente em f−1(V ). Digamos que xnj converge para um x em f−1(V ). Como
(xnj)j também está contido em Z fechado, temos que x ∈ Z. Assim, f(xnj) =
ynj converge para f (x). Pela unicidade do limite, pois os espaços são de
Haus-dorff, temos que f (x) = y, donde y∈ Z, e temos o desejado.
Topologia e relação de ordem em um espaço
Se X é um conjunto simplesmente ordenado pela relação <, podemos definir uma topologia baseada na relação de ordem em X, chamada topologia de ordem.
Dados elementos a e b de X tais que a < b, os seguintes subconjuntos de X são chamados de intervalos determinados por a e b:
(a, b) ={x ∈ X; a < x < b} (a, b] ={x ∈ X; a < x ≤ b} [a, b) ={x ∈ X; a ≤ x < b} [a, b] ={x ∈ X; a ≤ x ≤ b}.
O primeiro, é chamado de intervalo aberto, o último de intervalo fechado e os dois do meio de intervalos semi-abertos.
Definimos a topologia de ordem como segue.
1.6 Definição. Seja X um conjunto com uma ordem simples, e suponha que X tem
mais de um elemento.
Uma baseB da topologia de ordem é uma coleção de todos os conjuntos do tipo: 1. Todos os intervalos (a, b) em X;
2. Todos os intervalos [a0, b), onde a0é o menor elemento (se houver) de X;
6 CAPÍTULO 1. CONCEITOS TOPOLÓGICOS
1.7 Proposição. Sejam X um conjunto e B uma coleção de subconjuntos de X
satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) Para cada U1, U2 ∈ B e cada x ∈ U1∩ U2, existe U ∈ B tal que x ∈ U ⊆
U1 ∩ U2.
(ii) Para cada x∈ X, existe U ∈ B tal que x ∈ U.
Então a coleçãoB∗, formada pelas uniões de subcoleções deB, é uma topologia sobre XeB é uma base para o espaço topológico (X, B∗).
Topologia relativa
Considere um espaço topológico (X,T ) e um subconjunto Y ⊂ X. A coleção
TY ={Y ∩ U; U ∈ T }
é uma topologia em Y chamada topologia induzida ou topologia de subespaço. Dizemos que o par (Y,TY)é um subespaço (topológico) de (X,T ). Os
con-juntos abertos são exatamente as interseções dos abertos de X com Y .
1.8 Lema. SeB é uma base para a topologia de X, então BY ={B ∩ Y ; B ∈ B}
é uma base para o subespaço Y .
Ao tratarmos com um espaço topológico X e um subespaço Y ⊂ X precisa-mos ter muito cuidado com o termo “conjunto aberto”. Deveprecisa-mos indicar o que significa um elemento ser da topologia de X ou de Y . Dizemos, então, que U é um conjunto aberto em Y (ou aberto relativo a Y ) se pertence à topologia de Y , em particular U ⊂ Y . Analogamente, dizemos que U é aberto em X se pertence à topologia de X.
Vejamos agora uma situação em que todo aberto em Y é também aberto em
X.
1.9 Lema. Seja Y um subespaço do espaço topológico X. Se Y é aberto em X,
então todo aberto U em Y é também aberto em X.
Demonstração. Como U é aberto em Y , pode ser escrito como interseção de um
aberto V em X com Y , i.e., U = Y ∩ V . Já que Y é aberto em X, temos Y ∩ V aberto em X.
7 Um fato interessante é o comportamento da topologia relativa com relação ao produto de espaços topológicos.
1.10 Teorema. Se A é um subespaço de X e B é um subespaço de Y , então a
topologia produto sobre A× B é a mesma que A × B herda como subespaço de X× Y .
3 Exercício.
Mostre queTY é uma topologia.
Prove o Lema1.8.
Espaços métricos e topologia induzida pela métrica
Uma métrica é uma função d : M × M → R definida num conjunto M que associa a cada par de pontos (x, y)∈ M × M um número real d(x, y), chamado distância entre x e y, que satisfaz às seguintes propriedades:
1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2. d(x, y) = d(y, x); (simetria)
3. d(x, z)≤ d(x, y) + d(y, z). (desigualdade triangular)
1.11 Definição. Um espaço métrico é um par (M, d) formado por um conjunto e
uma métrica nele definida.
Note que M é um conjunto arbitrário e a noção de “espaço métrico” depende apenas da possibilidade de definição da função d em M .
1.12 Proposição. Seja (M, τ ) espaço métrico com d : M × M → R+ métrica
compatível com sua topologia. Então d é contínua.
Métrica induzida
Dado um espaço métrico (M, d), qualquer subconjunto X ⊂ M pode ser visto como espaço métrico. Para isto, consideramos a restrição d|X×X, e assim dizemos
que X é um subespaço de M e a métrica em X é a induzida pela de M .
8 CAPÍTULO 1. CONCEITOS TOPOLÓGICOS
1. A retaR munida com a distância d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R é um dos exemplos mais importantes de espaço métrico.
2. Qualquer conjunto M pode ser “metrizado” com a métrica “zero-um” dada por d : M × M → R, d(x, x) = 0 e d(x, y) = 1, x ̸= y. (exercício: d é uma métrica.)
♢
Completude
Dizemos que uma sequência (xn)em um espaço métrico M é uma sequência de
Cauchy, se dado epsilon > 0, existe n0 ∈ N de modo que, para m, n > n0,
tem-se d(xm, xn) < ϵ.
A propriedade de uma sequência ser de Cauchy depende apenas dos seus termos, o que difere da propriedade de a sequência ser convergente (a qual de-pende de um ponto fixado). Entretanto, é fácil ver que toda sequência conver-gente é de Cauchy. De fato, seus termos, ao se aproximarem de um ponto fixado, aproximam-se uns dos outros também.
1.13 Definição. Dizemos que um espaço métrico M é completo se toda sequência
de Cauchy em M converge.
1.14 Teorema. Seja M espaço métrico com uma métrica d completa, com K
com-pacto em M e F fechado em M , então existem x0 ∈ K e y0 ∈ F tais que ∀x ∈ K
e∀y ∈ F vale que d(K, F ) = d(x0, y0)≤ d(x, y).
4 Exercício. 1. A reta é um espaço métrico completo. 2. O conjunto dos números racionaisQ não é completo.
3. Um subespaço fechado de um espaço métrico completo é completo. 4. O produto cartesiamo de n espaços métricos completos é completo.
Espaços de Banach e de Hilbert
Relembremos a definição de produto interno e norma.
Dado um espaço vetorial E, definimos um produto interno por uma função
9 1. ⟨x + x′, y⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x′, y⟩,
2. ⟨αx, y⟩ = α⟨x, y⟩ 3. ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩, 4. ⟨x, x⟩ > 0, se x ̸= 0.
Uma norma num espaço vetorial real E é uma função| · | : E → R, x 7→ |x|, tal que valem para x, y∈ E, α ∈ R:
1. x ̸= 0 ⇒ |x|; 2. |α · x| = |α||x|; 3. |x + y| ≤ |x| + |y|.
1.15 Observação. Note que todo produto interno induz uma norma em M , e toda
norma induz uma métrica M , mas as implicações contrárias não necessariamente acontecem.
Um espaço vetorial normado completo é chamado de espaço de Banach. Por exemplo,Rné um espaço de Banach.
Um espaço vetorial com produto interno, completo com respeito à norma induzida, é chamado de espaço de Hilbert.
Por exemplo,Rncom o produto interno canônico⟨x, y⟩ =∑n
