Funcoes reais de vr limites continuidade

ISCTEM

Análise Matemática II

Curso de Engenharia Informática

______________________________________________________________________

Funções reais de várias variáveis reais: limites e continuidade.

1.

FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS

Até agora foram estudadas funções reais de uma só variável real. Em várias áreas da Ciência, em particular em Engenharia, estudam-se

problemas

onde figuram funções de várias variáveis independentes.

Exemplos

a) A área de um triângulo depende de duas variáveis, a base b e a altura h:

( )

2

h

b

h

,

b

A

=

b) A equação de estado de um gás ideal é dada por

(

)

V

T

R

n

V

,

T

,

n

P

=

onde

P

é a pressão, V o volume,

T

a temperatura, n a massa gasosa em moles e

R

a constante molar do gás

c) O volume de uma caixa paralelepipédica depende de três dimensões x,

y

e

z

:

(

x,y,z

)

xyz

V =

d) A média aritmética

x

de n números

x

₁

,

x

₂

,

_L

,

x

_n é uma função de n variáveis:

(

x

₁

x

₂

x

_n

)

n

1

x

=

+

+

_L

2.

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE

n

VARIÁVEIS REAIS

Seja D um conjunto do espaço

n

-dimensional (D⊆ IRn), isto é, os elementos de D são os

n

-uplos ordenados

(

x

₁

,

x

₂

,...,

x

_n

)

de números reais.

Se a cada ponto

(

x

1

,x

2

,...,x

n

)

∈

D

fizermos corresponder um único elemento y∈IR,

obtemos uma função

(

1 2 n

)

(

1 2 n

)

n

,...,x

,x

x

f

y

,...,x

,x

x

IR

IR

f: D

=

→

→

⊆

Esta função é chamada função real de

n

variáveis reais. O conjunto D é denominado o domínio da função.

Exemplos: Representação no plano e no espaço do domínio de funções de duas e três variáveis

Calcule o domínio de cada uma das seguintes funções e represente-os graficamente: a) f

( )

x,y = 6−

(

2x+2y

)

Solução:

O domínio de

f

é o conjunto dos pontos

(

x

,

y

)

tais que 6−

(

2x+2y

)

≥0. Ora

(

+

)

≥ ⇔ + ≤ ⇔ − 2x 2y 0 2x 2y 6 6

x

3

y

3

y

x

+

≤

⇔

≤

−

⇔

. Assim

( )

{

x

,

y

IR

:

y

3

x

}

D

=

∈

2

≤

−

. b)

f

( )

x

,

y

=

ln

(

1

−

x

2

−

y

2

)

Solução:

A função f

( )

x,y está bem definida quando

0

y

x

1

−

2

−

2

>

⇔

x

2

+

y

2

<

1

. O domínio é o interior do círculo unitário com centro na origem. Então

( )

{

x

,

y

IR

:

x

y

1

}

D

=

∈

2 2

+

2

<

c)

( )

x

4

y

x

y

,

x

f

₂

−

=

Solução:

A função f

( )

x,y não está definida quando o denominador é zero, então o domínio é o conjunto de todos os pontos do plano à excepção dos pontos pertencentes à parábola

x

4

d)

f

(

x

,

y

,

z

)

=

16

−

x

2

−

y

2

−

z

2

Solução:

O domínio da função é o conjunto dos pontos

(

)

3

IR

z

,

y

,

x

∈

tais que

16

−

x

2

−

y

2

−

z

2

≥

0

, isto é,

x

2

+

y

2

+

z

2

≤

16

. Este conjunto forma a esfera centrada em

(

0,0,0

)

e de raio 4 juntamente com o seu interior.

Assim

D

=

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

IR

3

:

x

2

+

y

2

+

z

2

≤

16

}

3.

SUPERFÍCIES EM

IR

3 E GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Se f é uma função de

n

variáveis,

f

=

f

(

x

₁

,x

₂

,...,x

_n

)

, o seu gráfico é o conjunto de pontos no espaço

IR

n+1 dado por

( )

f

{

(

x

,x

,...,x

,

f

(

x

,x

,...,x

)

) (

:

x

,x

,...,x

)

D

( )

f

}

graf

=

_{1 2 n 1 2 n 1 2 n}

∈

Em particular seja f

( )

x,y uma função real de duas variáveis reais. O gráfico desta função definido por:

( )

f

{

(

x

,

y

,

f

( )

x

,

y

)

IR

:

( )

x

,

y

D

( )

f

}

graf

=

∈

3

∈

Nem toda a superfície em

IR

3 corresponde ao gráfico de uma função. Exemplos:

a) O parabolóide elíptico de equação ₂ 2 2 2

b

y

a

x

z

=

+

é uma superfície de

IR

3

correspondente ao gráfico da função

( )

₂ 2 2 2

b

y

a

x

y

,

x

f

=

+

.

b) O cone elíptico de equação

0

c

z

b

y

a

x

2 2 2 2 2 2

=

−

−

é uma superfície de

IR

3 mas não corresponde ao gráfico de uma função.

No entanto, podemos dizer que os gráficos das

funções ₂ 2 2 2

b

y

a

x

c

z

=

±

−

implícitas na equação representam, em relação ao plano z=0, respectivamente a parte superior e inferior desta superfície.

Os gráficos de funções de três ou mais variáveis já não são visualizáveis. Em

IR

n, 4

n≥ , funções contínuas representam hiper-superfícies.

Por exemplo, o gráfico da função

f

(

x

,

y

,

z

)

=

1

−

x

2

−

y

2

−

z

2 , cujo domínio se encontra representado em 2.d

)

é definido por

(

)

{

4 2 2 2

}

z

y

x

16

w

:

IR

w

,

z

,

y

,

x

∈

=

−

−

−

Trata-se de uma hiper-superfície em

IR

4 que não podemos visualizar por se encontrar num espaço de dimensão superior ao espaço onde vivemos.

4.

CURVAS E SUPERFÍCIES DE NÍVEL

Seja z = f(x,y) a equação de uma superfície em

IR

3 correspondente ao gráfico de uma função. Uma curva de nível na superfície é o lugar geométrico dos pontos

( )

x

,

y

∈

D

( )

f

onde a função

f

( )

x

,

y

permanece constante; é pois, definida por uma equação f(x,y)=k, onde

k

é uma constante. Do ponto de vista geométrico as curvas de nível são as intersecções da superfície z= f(x,y) com os planos horizontais

z

=

k

.

Para as funções de três variáveis o lugar geométrico dos pontos onde a função é constante, definido por f

(

x,y,z

)

=k chama-se superfície de nível e, para as funções de mais de três variáveis chama-se hiper-superfície de nível.

Exemplos:

a) As figuras seguintes mostram uma montanha e a sua representação topográfica.

Geralmente os mapas de contorno ou cartas topográficas mostram regiões da superfície terrestre descritas por curvas de nível, isto é, conjuntos de pontos com a mesma elevação.

Uma carta topográfica descreve a variação de

z

relativamente a x e a

y

do seguinte modo: se duas curvas de nível se encontram muito espaçadas significa que

z

varia suavemente, enquanto que pequenos espaçamentos mostram uma rápida alteração de

z

. Desta maneira, para se obter uma boa ilusão tridimensional numa carta topográfica, é muito importante escolher valores adequados para k.

b) Nas cartas meteorológicas as curvas de nível podem representar pontos de igual temperatura, e chamam-se isotérmicas. Podem também representar pontos de igual pressão, curvas isobáricas, como se mostra na figura abaixo.

c) As curvas de nível também são usadas para representarem campos de potencial eléctrico, descrevendo conjuntos de pontos com o mesmo potencial. Neste tipo de mapa as curvas são designadas por linhas equipotenciais.

d) Considere-se o hemisfério dado por

f

( )

x

,

y

=

64

−

x

2

−

y

2 . Construa o mapa de contorno para esta superfície através das curvas de nível correspondentes a

k

=

0

,

1

,

2

,...

8

Solução:

Para cada um dos valores de k indicados acima, a equação dada por

f

(

x

,

y

)

=

k

é uma circunferência no plano XOY. Por exemplo para k =0 a curva de nível respectiva é

x

2

+

y

2

=

64

que é a equação de uma circunferência centrada na origem e de raio 8.

Para k =8 obtém-se a equação

x

2

+

y

2

=

0

. Repare-se que o único ponto que satisfaz a esta equação é o ponto

( )

0,0 .

Geometricamente,

Curvas de nível Mapa de contorno

5.

ESBOÇO DE GRÁFICOS USANDO CURVAS DE NÍVEL

As curvas de nível são sempre subconjuntos do domínio da função

z

=

f

(

x

,

y

)

, e portanto são traçadas no plano XOY. Cada curva de nível é a projecção, sobre o plano XOY da intersecção do gráfico de

f

com o plano horizontal z =k. Assim, para obtermos uma visualização do gráfico de

f

, podemos traçar diversas curvas de nível e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocada para a altura z=k correspondente. Nas figuras em baixo ilustramos esse procedimento.

2 2

y

x

z

=

+

2 2

y

x

z

=

+

Observando as figuras, concluímos que as curvas de nível de ambas as funções são circunferências de centro na origem. Assim, utilizando somente curvas de nível, poderemos ter dificuldade em esboçar o gráfico correctamente. Como já foi visto atrás, um outro recurso muito útil para visualizar a forma do gráfico consiste em determinar a intersecção deste com os planos YOZ e XOZ.

A intersecção do gráfico de

z

=

x

2

+

y

2 com os planos YOZ e XOZ são as semi-rectas

z

=

±

y

e

z

=

±

x

respectivamente e, z≥0. Por sua vez, a intersecção de

z

=

x

2

+

y

2 com os planos YOZ e XOZ são, respectivamente, as parábolas

z

=

y

2 e

z

=

x

2. Estas informações ajudam-nos a ver que o gráfico de

2 2

y

x

z

=

+

é um cone e o gráfico de

z

=

x

2

+

y

2 é um parabolóide.

6.

LIMITES

Seja

f

:

D

⊆

IR

n

→

IR

uma função real de

n

variáveis reais. Seja

(

a

1

,

a

2

,...,

a

n

)

a

=

um ponto de

IR

n. Diz-se que

f

(

x

₁

,

x

₂

,...,

x

_n

)

tende para L ou tem limite L quando

x

=

(

x

₁

,x

₂

,...,x

_n

)

tende para

a

=

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

, se

( )

δ

ε

ε

δ

>

∃

>

<

−

<

⇒

−

<

∀

0

,

0

:

0

x

a

f

x

L

Exemplo: Mostre que

0

y

x

y

x

2

lim

_{2 2} 3 3 ) 0 , 0 ( ) y , x (

+

=

−

→ Solução:

Teremos de provar que sendo δ um número positivo qualquer, existe outro número positivo ε (dependente de δ), tal que, quando

0

<

x

2

+

y

2

<

ε

se tem

δ < + − 2 2 3 3 y x y x 2 .

Seja então dado o número δ>0. Como 2x3 −y3 ≤2x3 + y3 =2x x2 + y y2 e x ≤ x2 +y2 e y ≤ x2 +y2 então

(

) (

) (

)

2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3

y

x

2

y

x

2

y

x

y

x

2

−

≤

+

+

≤

+

. Assim

(

x y

)

2

ε

2 y x y x 2 2 1 2 2 2 2 3 3 < + ≤ + − . Basta tomar

2

δ

ε

=

e fica demonstrado que

0

y

x

y

x

2

lim

_{2 2} 3 3 0 y 0 x

+

=

−

→ →

.

Propriedades dos limites:

Se lim f

( )

x,y ) b , a ( ) y , x ( → e lim g

( )

x,y ) b , a ( ) y , x ( → existem, c∈IR e n∈IN, então a)

[

( ) ( )

±

]

= → f x,y g x,y lim ) b , a ( ) y , x ( (x,ylim)→(a,b) f

( )

x,y ±(x,ylim)→(a,b)g

( )

x,y b) lim c f

( )

x,y ) b , a ( ) y , x ( → =c (x,ylim)→(a,b) f

( )

x,y c) lim f

( ) ( )

x,y .g x,y ) b , a ( ) y , x ( → =(x,ylim)→(a,b) f

( )

x,y .(x,ylim)→(a,b)g

( )

x,y d)

_{( )}

( )

( )

( )

x

,

y

g

lim

y

,

x

f

lim

y

,

x

g

y

,

x

f

lim

) b , a ( ) y , x ( ) b , a ( ) y , x ( ) b , a ( ) y , x ( → →

→

=

desde que (x,ylim)→(a,b)g

( )

x,y ≠0

e)

[

( )

]

n ) b , a ( ) y , x ( lim→ f x,y =

( )

n ) b , a ( ) y , x (

lim

f

x

,

y

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

→ f)

( )

= → n ) b , a ( ) y , x ( lim f x,y

( )

n ) b , a ( ) y , x ( lim→ f x,y

impondo certas condições ao radicando no caso de n par.

Sendo

f

(

x

₁

,

x

₂

,...,

x

_n

)

uma função real de n variáveis reais, a existência do limite

(

1 2 n

)

) a ,..., a , a ( ) x ,..., x , x

( _{1 2 n}lim→ _{1 2 n} f x ,x ,...,x não é fácil de provar. Nos casos mais simples o limite é calculado aplicando as propriedades acima indicadas

(

3

z

ye

)

3

lim

z

lim

y

lim

e

3

lim

x ) 1 , 0 , 1 ( ) z , y , x ( ) 1 , 0 , 1 ( ) z , y , x ( ) 1 , 0 , 1 ( ) z , y , x ( x ) 1 , 0 , 1 ( ) z , y , x ( →

+

=

→

+

→ →

=

Em alguns casos, somos conduzidos a uma indeterminação. É de notar que isto acontece quando o ponto limite não pertence ao domínio da função.

A título de exemplo veja-se que

) 0 , 0 ( ) y , x ( lim→ _{x y} y x2 2 + −

0

0

=

Numa situação de limite indeterminado por vezes é possível “levantar a indeterminação”, simplificando a expressão da função. Assim vem

( ) ( )x,ylim→0,0 _{x y} y x2 2 + −

₌

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛=

0

0

( ) ( )x,ylim→0,0

(

) (

)

₌

+

+

−

y

x

y

x

y

x

( ) ( )x,ylim→0,0

(

x−y

)

=0

Quando não existe um processo de “levantar a indeterminação”, no âmbito desta disciplina serão estudados principalmente casos em que o limite não existe.

Como se sabe, para uma função real de variável real, existe limite de

f

(

x

)

quando x tende para a, se existirem e forem iguais os limites laterais à esquerda e à direita de a. Caso contrário, diz-se que o limite não existe.

Se tomarmos uma vizinhança aberta do ponto a em

IR

,

V

_ε

( )

a

=

]

a− a

ε

, +

ε

[

, ε>0, e se

x

∈

V

_ε

( )

a

e

x

≠

a

, ou x está à esquerda ou à direita de a. Assim, x só pode tender para a por dois caminhos possíveis.

Suponhamos agora que

f

é uma função de duas variáveis e se pretende calcular

( )

x,y f lim ) b , a ( ) y , x ( → .

Analogamente, uma vizinhança aberta do ponto

( )

a,b ,

( )

a

b

V

_ε

,

, pode ser definida como o conjunto de pontos

( )

x,y que estão a uma distância de

( )

a,b inferior a

ε

,

ε

>0, isto é,

( )

(

) (

)

{

∈ 2 − 2+ − 2 <

ε

}

b y a x : IR y , x , utilizando a distância usual em

IR

2.

Como poderão os pontos desta vizinhança “tender” para

( )

a,b ? Poderão imaginar-se vários caminhos! Na verdade, há uma infinidade deles.

Para concluir que não existe lim f

( )

x,y ) b , a ( ) y , x ( →

, basta procurar dois caminhos diferentes

de

( )

x,y para

( )

a,b de forma a encontrar limites diferentes para a função quando se percorre o primeiro ou o segundo caminho.

Seguidamente vamos formalizar alguns caminhos em

IR

2. Limites iterados

Dado um ponto

( )

x

,

y

∈

V

_ε

( )

a

,

b

e

( ) ( )

x

,

y

≠

0

,

0

, na expressão

lim

f

( )

x

,

y

) b , a ( ) y , x ( → , estamos a admitir que as 2 variáveis

( )

x,

y

convergem simultaneamente para

( )

a,

b

. Podemos, porém, supor que primeiro fazemos

x

tender para

a

e depois y para

b

ou reciprocamente. Os limites que obtemos são escalonados (ou iterados) e representam-se por:

( )

x

,

y

f

lim

lim

a x b y→ →

lim

x→a

lim

y→b

f

( )

x

,

y

Os dois caminhos que escolhemos correspondem aos caminhos representados nas figuras seguintes:

Para uma função de duas variáveis só há a considerar estes dois casos, correspondentes ao número de permutações destes dois limites.

Para uma função de três variáveis o número de permutações dos três limites é seis. (o número de permutações de n elementos distintos é dado por n!)

(

x,y,z

)

f lim lim lim a x b y c

z→ → → limz→climx→alimy→b f

(

x,y,z

)

limx→alimz→climy→b f

(

x,y,z

)

(

x,y,z

)

f lim lim lim c z b y a

x→ → → limy→blimy→alimz→c f

(

x,y,z

)

limy→blimz→climx→a f

(

x,y,z

)

Generalizando para uma função de n variáveis, se existir o

( ) ( )

(

1 2 n

)

a ,..., a , a x ,..., x , x1 2 nlim→ 1 2 n f x ,x ,...,x

então todos os limites iterados existem e têm o mesmo valor.

Note que a recíproca desta afirmação não é verdadeira: mesmo que existam e sejam iguais todos os limites iterados, pode não existir limite da função no ponto dado, porque como sabemos, há ainda uma infinidade de caminhos não considerados.

Por outro lado, a existência de dois limites iterados distintos implica a não existência de limite, e é sob este ponto de vista que vamos fazer uso desta definição.

Exemplo:

Estude, quanto ao limite no ponto

(

0,0,0

)

a função

(

)

y

x

3

z

3

y

x

z

,

y

,

x

f

−

+

+

=

Solução:

Recorrendo aos limites iterados temos:

3

1

3

1

lim

x

3

x

lim

y

x

3

y

x

lim

lim

y

x

3

z

3

y

x

lim

lim

lim

0 x 0 x 0 y 0 x 0 z 0 y 0 x

−

=

=

=

+

=

−

+

+

→ → → → → → →

1

1

1

lim

y

y

lim

y

x

3

y

x

lim

lim

y

x

3

z

3

y

x

lim

lim

lim

0 y 0 y 0 x 0 y 0 z 0 x 0 y

−

=

−

=

−

=

−

+

=

−

+

+

→ → → → → → →

Poder-se-iam calcular mais limites iterados, mas os dois obtidos (sendo diferentes) chegam para concluir que não existe

(

x,y,z

)

f lim ) 0 , 0 , 0 ( ) z , y , x ( → .

Caminhos rectilíneos para funções de duas variáveis:

Seja

( )

x

,

y

∈

V

_ε

( )

a

,

b

tal que

( ) ( )

x

,

y

≠

a

,

b

e considerem-se as rectas de declive

m

,

IR

m

∈

, que passam pelos pontos

( )

x,

y

e por

( )

a,

b

, isto é,

y

=

b

+

m

(

x

−

a

)

. Note que se

x

→

a

, também y se aproxima de

b

, descrevendo o cada ponto

( )

x,

y

um caminho rectilíneo.

Na tentativa de demonstrar que lim f

( )

x,y ) b , a ( ) y , x

( → não existe, calcule-se

( )

x

,

y

f

lim

) a x ( m b y a x − + =

→ . Se o resultado depender de m podemos afirmar que o limite não

existe pois, tomando dois caminhos rectilíneos com declives diferentes vamos encontrar limites diferentes.

Se resultado não depender de m nada podemos concluir sobre a existência de

( )

x,y f lim ) b , a ( ) y , x

( → , uma vez que há ainda uma infinidade de caminhos a considerar.

Exemplo:

Mostre que a função

( )

_{2 2} 2 2

y

x

y

x

y

,

x

f

+

−

=

de domínio

IR

2

\

{

( )

0

,

0

}

não tem limite quando

( ) ( )

x,y → 0,0 .

Solução

Seja

( )

x

,

y

∈

V

_ε

( )

0

,

0

,

( ) ( )

x,y ≠ 0,0 . Considerem-se os caminhos rectilíneos passando pela origem,

y

=

mx

e calcule-se o lim f

( )

x,y

) 0 , 0 ( ) y , x

( → ao longo destas rectas.

( )

x

,

y

f

lim

mx y 0 x = →

=

lim

x→0

f

(

x

,

mx

)

2 2 2 2 2 2 0 x

_x

_m

_x

x

m

x

lim

+

−

=

→

Dividindo ambos os termos da fracção por

x

2, obtém-se

2 2 2 2 2 2 0 x

_x

_m

_x

x

m

x

lim

+

−

→ 2 2

m

1

m

1

+

−

=

que depende de m .

Conclui-se assim que não existe

lim

f

( )

x

,

y

0 y 0 x

→ → .

Caminhos curvilíneos para funções de duas variáveis:

Seja

( )

x

,

y

∈

V

_ε

( )

a

,

b

tal que

( ) ( )

x

,

y

≠

a

,

b

e considerem-se as parábolas que passam pelos pontos

( )

x,

y

e por

( )

a,

b

, isto é, y=b+n

(

x−a

)

2. Note que se

a

x

→

, também y se aproxima de

b

, descrevendo o cada ponto

( )

x,

y

um caminho curvilíneo.

Analogamente ao que vimos para caminhos rectilíneos, ao calcular lim f

( )

x,y

2 ) a x ( n b y a x − + = → o

resultado poderá ou não depender do parâmetro n. No caso afirmativo, conclui-se que não existe lim f

( )

x,y

) b , a ( ) y , x

( → e, caso o resultado não dependa de n nada se pode concluir.

Para um ponto

( )

x,y

∈

V

_ε

( )

a

,

b

,

y

=

b

+

n

(

x

−

a

)

2 é apenas um exemplo de um determinado caminho curvilíneo ligando

( )

x,y ao ponto

( )

a,b . Posicionando-nos no ponto

( )

x,y caminhamos para

( )

a,b , sobre uma parábola. No entanto há uma infinidade de outros caminhos curvilíneos descrevendo curvas diferentes da parábola.

Exemplo:

Mostre que a função

( )

(

)

(

)

3 3 1 y 1 y 2 x y , x f − − + −

= não tem limite quando

( ) ( )

x,y → 2,1 .

Solução:

Considere-se o caminho

x

=

2

+

n

(

y

−

1

)

3, dependente de n∈IR e faça-se

y

→

1

.

( )

x,y f lim 3 ) 1 y ( n 2 x 1 y − + =→

(

)

(

+ −

)

= = → f 2 n y 1 ,y lim 3 1 y

(

) (

)

(

−

)

= − + − = → 3 3 3 1 y _{y 1} 1 y 1 y n lim

(

)(

)

(

y 1

)

n 1 1 y 1 n lim ₃ 3 1 y − = + − + → .

Como o limite calculado depende do parâmetro n∈IR, não existe limite.

Em cada exercício deve tomar-se o caminho mais conveniente, dada a expressão da função. Todas estas definições se generalizam para funções de três ou mais variáveis.

Proposição:

Sejam

f

(

x

₁

,

x

₂

,

_L

,

x

_n

)

e

g

(

x

₁

,

x

₂

,

_L

,

x

_n

)

duas funções definidas num domínio n

IR

D

⊆

, contendo o ponto

(

a

₁

,

a

₂

,

_L

,

a

_n

)

. Sendo (

lim

)

f

(

x

1

,

x

2

,

,

x

n

)

0

) a , , a , a ( x , , x , x1 2 n 1 2 n

=

→ L

L

L e

g

(

x

1

,

x

2

,

L

,

x

n

)

é uma função limitada

para

(

x

₁

,

x

₂

,

_L

,

x

_n

)

numa vizinhança

V

_ε

(

a

₁

,

a

₂

,

_L

,

a

_n

)

,

(

x

₁

,

x

₂

,

_L

,

x

_n

) (

≠

a

₁

,

a

₂

,

_L

,

a

_n

)

, então (

lim

)

f

(

x

1

,

x

2

,

,

x

n

) (

g

x

1

,

x

2

,

,

x

n

)

0

) a , , a , a ( x , , x , x ( 1 2 n 1 2 n

=

→ L

L

L

L . Exemplo: Verifique que

0

y

x

y

x

lim

_{2 2} 2 2 ) 0 , 0 ( ) y , x ( →

+

=

. Solução: Como ( )

x

0

lim

2 0 , 0 ) y , x ( →

=

e

1

y

x

y

2 2 2

<

+

∀

( ) ( )

x,y ≠ 0,0 , é conveniente decompor a função

como o produto de duas funções

f

( )

x

,

y

=

x

2 e

( )

_{2 2} 2

y

x

y

y

,

x

g

+

=

verificando-se imediatamente que

0

y

x

y

x

lim

y

x

y

x

lim

_{2 2} 2 2 ) 0 , 0 ( ) y , x ( 2 2 2 2 ) 0 , 0 ( ) y , x ( →

+

=

→

+

=

.

7.

CONTINUIDADE

Seja

f

:

D

⊆

IR

n

→

IR

uma função real de

n

variáveis reais. Seja

)

a

,...,

a

,

a

(

a

=

_{1 2 n} um ponto de

IR

n. Diz-se que

f

(

x

₁

,

x

₂

,...,

x

_n

)

é contínua no ponto

)

,...,

,

(

a

1

a

2

a

n

a

=

, se as duas condições seguintes são verificadas: a) Existe

(

_{1 2 n}

)

a x f x ,x ,...,x lim L → = b)

f

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

=

L

De outro modo podemos dizer que:

Se

∀

δ

>

0

,

∃

ε

>

0

:

0

<

x

−

a

<

ε

⇒

f

( ) ( )

x

−

f

a

<

δ

então f é contínua no ponto

a

.

A expressão matemática acima intuitivamente diz-nos que, quando x está perto de a,

( )

x

Dizemos que

f

(

x

₁

,

x

₂

,...,

x

_n

)

é contínua no conjunto D, se e só se, for contínua em todos os pontos de D. Se uma função não é contínua num ponto, diz-se que é descontínua nesse ponto.

Propriedades das funções contínuas:

As funções reais contínuas, de n variáveis reais, gozam de propriedades análogas às que se conhecem para funções de uma só variável

a) Se

f

e

g

são contínuas em

a

=

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

,

f

±

g

,

f

.

g

são funções contínuas no ponto

a

=

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

.

b) Se

f

e

g

são contínuas em

a

=

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

,

g

f

é contínua no ponto

(

a

1

,

a

2

,...,

a

n

)

a

=

desde que

g

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

≠

0

. c) Se

f

é contínua em

a

=

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

e

g

é contínua em

(

a

a

a

n

)

f

b

=

₁

,

₂

,...,

, a função composta

g

_o

f

é contínua em

(

a

1

,

a

2

,...,

a

n

)

a

=

.

d) Se

f

é contínua em

a

=

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

e

f

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

≠

0

, existe uma vizinhança de

a

=

(

a

₁

,

a

₂

,...,

a

_n

)

, onde

f

mantém o sinal que toma em

(

a

1

,

a

2

,...,

a

n

)

a

=

. Exemplos: a) Seja

( )

( ) ( )

( ) ( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ + = 0 , 0 x,y se 0 0 , 0 x,y se y x y x x,y f 2 2 2 2 Estude a continuidade de f

( )

x,y em

IR

2. Solução:

Para os pontos de

IR

2 distintos da origem, a função é contínua, por ser o quociente de duas funções polinomiais, logo contínuas, com denominador sempre diferente de zero.

Vejamos o que se passa na origem. Para isso, teremos de calcular, caso exista, o

( )

x,y f lim ) 0 , 0 ( (x,y)→ .

Como

( ) (

2 2 2

)

2 2 2 y x y x x x = 2≤ + 2= + obtém-se 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x y x y x y x y x _{≤ +} + = +

Desde que,

0

≤

x

2

+

y

2

<

ε

, vem ≤ε =δ + 2 2 2 2 2 y x y x Então δ < + ⇒ ε < + < δ = ε ∃ > δ ∀ 2 2 2 ₂2 2₂ y x y x y x 0 : , 0

O que significa que f

( )

x,y →0 quando

( ) ( )

x,y → 0,0 . Como lim f

( )

x,y 0 f

( )

0,0

) 0 , 0 ( (x,y)→ = =

poderemos concluir que a função é contínua na origem. Logo é contínua em

IR

2.

• Note que _{2 2} 2 2 ) 0 , 0 ( ) y , x (

_x

_y

y

x

lim

+

→ tinha sido já calculado anteriormente por um

processo diferente. b) Seja

( )

( ) ( )

( ) ( )

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

≠

+

−

+

=

0

,

0

y

,

x

se

0

0

,

0

y

,

x

se

y

3

x

2

y

4

x

y

,

x

f

Indique os pontos de descontinuidade de f

( )

x,y . Solução:

Consideremos o subconjunto

{

( )

x

,

y

∈

IR

2

:

( ) ( )

x

,

y

≠

0

,

0

}

. Sendo a função, neste caso, um quociente de polinómios, será descontínua para todos os pontos que anulem o denominador, isto é, nos pontos situados sobre a recta

x

3

2

y

=

.

Para

( ) ( )

x,y = 0,0 a função está definida por imposição, f

( )

0,0 =0. Com o objectivo de verificar se

( )

0,0 é uma descontinuidade, calcule-se

( )

x,y f lim ) 0 , 0 ( (x,y)→

3 4 3 4 lim y 3 y 4 lim y 3 x 2 y 4 x lim lim 2 1 2 1 lim x 2 x lim y 3 x 2 y 4 x lim lim 0 y 0 y 0 x 0 y 0 x 0 x 0 y 0 x = = = + − + − = − = − = + − + → → → → → → → →

Verifica-se que não existe lim f

( )

x,y ) 0 , 0 ( (x,y)→

pelo que se pode concluir que a função é descontínua em

( )

0,0 , pelo que a função é descontínua para todos os pontos da recta

x

3

2

y

=

.

c) Discuta a continuidade da função

( )

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

+

≤

+

+

+

=

4

y

se x

0

4

y

se x

1

y

x

x,y

f

2 2 2 2 2 2 Solução:

Note que o domínio da função é

IR

2 e que, neste caso é útil fazer a decomposição C B A IR2 = _{U U} sendo

( )

{

x

,

y

IR

:

x

y

4

}

A

=

∈

2 2

+

2

<

( )

{

x

,

y

IR

:

x

y

4

}

B

=

∈

2 2

+

2

>

( )

{

x

,

y

IR

:

x

y

4

}

C

=

∈

2 2

+

2

=

Analisando

A

,

B

e C verifica-se que:

Para

( )

x,y ∈A a função é contínua por ser definida por um polinómio; Para

( )

x,y ∈B a função é contínua por ser constante;

Para

( )

x,y ∈C a continuidade terá que ser analisada.

Seja então

(

x

₀

,

y

₀

)

∈

C

e

( )

x,y ≠

(

x

₀

,

y

₀

)

pertencente a uma vizinhança de

(

x

0

,

y

0

)

.

Note que

( )

x,y ∈A ou

( )

x,y ∈B, uma vez que uma vizinhança de

(

x

₀

,

y

₀

)

, por mais pequena que seja, intersecta sempre

A

e

B

.

Consideremos

( )

x

,

y

∈

A

e calculemos lim f

( )

x,y ) ,y (x (x,y)→ 0 0 . Vem

( )

x,y

f

lim

) ,y (x (x,y)→ 0 0

=

lim

(

x

2

y

2

1

)

4 y x ) ,y (x (x,y) 2 2 0 0

+

+

< + →

x y02 1 2 0 + + = =4+1=5

Consideremos

( )

x

,

y

∈

B

e calculemos lim f

( )

x,y ) ,y (x (x,y)→ 0 0 . Vem

( )

x,y

f

lim

) ,y (x (x,y)→ 0 0

= lim 0 4 y x ) ,y (x (x,y) 2 2₊→_>0 0 =0.

Como se verifica

f

(

x

₀

,

y

₀

)

=

5

podemos concluir que a condição

( )

(

0 0

)

)

,y (x

(x,y)lim0 0 f x,y f x ,y

=

→ não é satisfeita

para todos os elementos do domínio, portanto

f

não é contínua em C.

O gráfico desta função está representado na figura ao lado onde se vê nitidamente a descontinuidade demonstrada.