gradiente,
divergência e
rotacional
(revisitados)
Página 1
NOTA PRÉVIA
Os apontamentos que se seguem não são um texto matemático: não se procura, aqui, o rigor de uma formulação matemática. O que se procura, nestas notas abreviadas sobre os três operadores diferenciais – gradiente, divergência e rotacional – é, antes de mais, a formação de uma intuição. O objectivo é o de, deste modo, fazer com que as equações de Maxwell – que são escritas em termos de rotacional e divergência – possam ser mais do que fórmulas com uma pura existência formal, evitando-se assim que o seu conteúdo físico permaneça vago e nebuloso.
Apesar de uma interpretação em termos mecânicos poder ser considerada filosoficamente ambígua – no sentido em que o campo electromagnético não deve ser interpretado, e.g., como um fluido (como, de resto, o próprio Maxwell o fez amiúde) – não resta qualquer dúvida de que uma tal interpretação física ajuda a construir uma intuição útil – desde que esta precisão filosófica fique clara desde o início.
Assim, no caso da divergência, os conceitos de «fonte» e de «sorvedouro» são fundamentais para se entender, em electrostática, o papel das cargas eléctricas positivas e negativas, respectivamente. No caso do rotacional, a ideia de colocar um torniquete (constituído por uma espécie de roda com pás) – em que o movimento rotativo depende do momento angular transmitido ao dispositivo – parece, também, fundamental para distinguir, e.g., o campo eléctrico conservativo em regime estacionário (onde E 0) do campo eléctrico em regime não-estacionário (regulado pela equação de Maxwell-Faraday, E B t). No caso do gradiente, a ideia de um declive associado a um conjunto de curvas de nível, é também fundamental – de forma a entender que este operador diferencial nos informa, e.g., sobre qual a encosta de uma montanha que é mais íngreme (e, portanto, menos recomendável para uma subida mais acessível).
Página 2
Comecemos por recordar a definição dos operadores diferenciais gradiente, divergência e rotacional num sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Para tal consideremos a base ortonormada
e e e1, 2, 3
, i.e., tem-se1, 0, m n mn m n m n e e
e, nesta base do espaço vectorial 3, definamos o operador nabla tal que
1 2 1 x y z e e e .
Sejam
x y z, ,
um campo escalar : 3 e FF
x y z, ,
um campovectorial F: 3 3 tal que
F F Fx, y, z
F x y zx
, ,
1 F x y zy
, ,
2 F x y zz
, ,
3
F e e e .
Definem-se, então, os operadores diferenciais:
1 2 3 1 2 3 gradiente , divergência , rotacional . y x z y x y x z z x y z F F F x y z F F F F F F y z z x x y e e e F F e e e
Como mnemónica usa-se, ainda, a definição alternativa de rotacional em termos do «determinante» formal
Página 3 1 2 3 11 1 12 2 13 3 x y z x y z F F F e e e F e e e em que 11 12 13 , , . y z x z y x F F y z F F z x F F x y Definições
Um campo vectorial F diz-se conservativo quando existe um campo escalar tal que F . Diz-se, neste caso, que é o potencial associado a F.
Um campo vectorial F diz-se solenoidal quando F 0. Um campo vectorial F diz-se irrotacional quando F 0.
Facilmente se verificam as seguintes identidades:
0, 0. F Por exemplo,
2 2 2 2 2 2 0 y x y x z z y y x x z z F F F F F F x y z y z x z x y F F F F F F x y y x y z z y z x x z FPágina 4
uma vez que
2 2 2 2 2 2 , , . z z x x y y F F x y y x F F y z z y F F z x x z
Assim, se um campo F é solenoidal, existe um campo vectorial A tal que F A .
Por outro lado, se o campo F é irrotacional, então é conservativo. Ou seja,
0 , 0 . F F A F F
Também de define o operador laplaciano 2 . Tem-se,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 , . x y z x y z F F F F e e e Demonstra-se que
2 F F F .Vejamos, agora, a definição de derivada direccional do campo escalar
x y z, ,
ao longo de uma dada direcção. Seja, então, uuxe1uye2uze3 um vector constante que caracteriza a direcção em causa. O correspondente vector unitário ˆu (em que ˆu 1) é dado por 1 2 3 1 2 3 2 2 2 ˆ x y z x y z x y z u u u a a a u u u e e e u u e e e u , em quePágina 5 2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2 y x z x y z x y x y x y u u u a a a u u u u u u u u u .
Seja agora dado um ponto P x0
0, y z0, 0
e seja P x y z um ponto tal que
, ,
0 0 0 x y z x x s a y y s a z z s a
em que s0 é um parâmetro que mede a distância entre o ponto P e o ponto P , 0
tendo-se (note-se que PP0 P P0 ) portanto
0 0 0 1 0 2 0 3 x 1 y 2 z 3 ˆ
P P P P xx e yy e z z e s a e a e a e su. Nestas condições, a derivada direccional de ao longo da direcção u é
x y z d d x d y d z a a a d s x d s y d s z d s x y z ˆ d d s u .
Por exemplo: se x y2 x z e u2e12e2e , vem 3 uˆ
2e12e2e3
3 e ainda
2 1 2 3 2 x y z x x e e e , de forma que 2 4 2 2 ˆ 3 d x y z x x d s ua que corresponde, e.g., um valor d d s5 3 para o ponto
1, 2, 1
. Em geral, notando que se temcos
d
d s
,
onde é o ângulo entre o vector e o vector unitário ˆu , infere-se que a derivada
Página 6
máximo da derivada direccional obtém-se quando 0, i.e., quando a direcção de u
coincide com a direcção de . O gradiente dá-nos, portanto, o valor máximo da derivada direccional do campo no ponto em causa. Fazendo, ainda, druˆ d s vem
d dr .
Quando se considera um deslocamento d r sobre uma superfície de nível
x y z, ,
0 , é d 0 pelo que dr0, donde se tira que dr: a
direcção dada por é, assim, ortogonal à superfície de nível 0. No caso específico em que
x y,
, as linhas de força do campo vectorial são as trajectórias ortogonais das curvas de nível 0.EXEMPLO 1
Consideremos o campo de temperaturas absolutas (i.e., medidas em graus Kelvin)
2 2, , 273
T x y z x y x yz . Vejamos, então, qual a direcção em que a temperatura cresce mais rapidamente quando se considera o ponto
1, 2, 3
. Tem-se
2
1
2
2 3T x y z y x z x y
e e e
e, no ponto em questão, obtém-se T 4e17e22e , a que corresponde a direcção 3
de máximo crescimento da temperatura. Com efeito,
2 2 2 4 7 2 69 d d s
dá-nos precisamente a taxa desse crescimento máximo. Note-se, porém, que a transferência de calor se dá na direcção q T, i.e., das temperaturas mais altas para as temperaturas mais baixas. Em electrostática, por razões análogas, escreve-se
E , i.e., as linhas de força do campo eléctrico dirigem-se dos potenciais mais
Página 7 EXEMPLO 2
Consideremos, agora, a superfície x y z3 2 1. Comecemos por determinar o vector unitário n correspondente à respectiva normal no ponto P0
1,2, 3
. Como a direcção da normal é determinada por (dado que o gradiente é perpendicular às superfícies
x y z, ,
0 ), tem-se 2 2 3 3 2 1 2 3 3x y z 2x y z x y e e e , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 2 36 12 4 9 3 9 3 91 36 12 4 9 3 1 e e e e e e e e e n .A equação da linha recta normal à superfície no ponto r é (com 0 vn)
t 0 t, 9 13 2 3 r r v v e e e . Logo, fazendo
1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 3 , , x y z P x y z x y z r e e e r r e e ea equação da normal será
0 0 0 1 2 3 9 3 1 x y z x x v t x y z y y v t z z v t .
O plano tangente, por sua vez, é o lugar geométrico dos vectores
0 0 0 1 0 2 0 3
P P P P x x y y z z
u e e e
que são perpendiculares ao vector v 91n9e13e2e , i.e., tais que 3
0
0
0
0 9 x x 3 y y z z 0
u v
pelo que a respectiva equação será
9 x 1 3 y 2 z 3 0 .
EXEMPLO 3
Página 8 0 homogéneas 0 não-homogéneas t t B E B D H J D
Em regime estacionário é B t D t 0 pelo que o campo eléctrico é conservativo (pois E 0 e, consequentemente, E ) e a densidade de corrente eléctrica J é solenoidal (pois H J e, consequentemente, J 0). Note-se que – apenas em regime estacionário – é que, em rigor, Note-se podem definir tensão e corrente eléctricas pois, apenas neste caso, quer a lei das malhas quer a lei dos nós (dos circuitos) são válidas. No vácuo, sem fontes do campo (i.e, 0 e J0), tem-se
0 0 0 0 D E E B H H de forma que
2 2 0 2 0 0 0 0 2 0 t t t t t H E E E E E H E E E H H 2 2 2 2 1 0 c t E E .Esta última equação é a equação (de d’Alembert) de propagação das ondas electromagnéticas no vácuo. Com efeito, a velocidade da luz no vácuo é
1
299 792 458 ms
c (valor exacto, por definição) e é dada por
0 0 1 c onde 7 1 0 4 10 H m , de modo que
Página 9 12 1 0 2 0 1 8.854187817 10 F m c . Analogamente, vem
2 2 2 0 0 0 0 2 t t t H H H H E H H E 2 2 2 2 1 0 c t H H .Ou seja, no vácuo verifica-se sempre
2 2 2 2 1 0 c t E H .
Introduzindo o operador dalembertiano
2 2 2 2 2 1 c t
a equação de d’Alembert escreve-se, então, nas duas formas alternativas
2 2 0, 0. E H EXEMPLO 4
Consideremos o campo vectorial
1 2 2 2 , , 0, 0 y x x y x y e e F .A intensidade deste campo é constante e dada por
2 2 2 2 1, , 0, 0 x y x y x y F .Facilmente se verifica que se trata de um campo solenoidal pois
3 2 2 3 2 2 0. x y x y F x y x x y F F F x y x y y x y FPágina 10
Porém, este campo que não é conservativo:
1 2 3 3 2 2 2 2 0 x y x y x y z x x y y x y F F e e e F e 3 2 2 1 x y F e .
O laplaciano deste campo vectorial é dado por
2 2 2 1 2 x y F F F e e de forma que
2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 x x x y y y y y x F F x y y F x y x y x y x y x x y F F x y x F x y x y x y x y
2 1 2 3 2 2 y x x y e e F .Note-se que, como F 0, se tem
1 2 3 2 1 2 3 2 2 2 2 1 0 0 y x x y z x y x y e e e e e F Fo que, naturalmente, confirma o resultado anteriormente obtido. Num campo solenoidal as linhas de força são fechadas. Isto significa que não existem pontos que sejam «fontes» ou «sorvedouros» do campo. Num campo vectorial F
x y,
uma curva
yy x diz-se uma linha de força se, em cada ponto
x0,y0
, o vector F
x0, y0
é tangente à curva. Assim, num campo vectorial
x y, F x yx
, 1F x yy
, 2F e e ,
Página 11
, , y x F x y d y d x F x y .No exemplo em análise, vem então
2 2 1 1 2 2 d y x y d y x d x y x k d x y ,
onde k0 é uma constante de integração. Logo, fazendo c2 2k, obtém-se
2 2 2 x y c .
Isto mostra que as linhas de força são circunferências centradas na origem.
EXEMPLO 5
Consideremos, agora, o campo vectorial
1 2 2 2 , , 0, 0 x y x y x y e e F .Trata-se, tal como o exemplo anterior, de um campo vectorial de amplitude constante, com F 1. Notemos, para começar, que se trata de um campo irrotacional:
1 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 0 0 . x y y x x y z x x y y x y F F x y x y x y x y e e e FIsto significa que este campo vectorial é conservativo: existe um potencial
x y,
tal que F , i.e.,
2 2 2 2 0 2 2 , 0 x y x F x y x y y x x y y d F y y x y d y
2 2 0 , x y x y .Página 12
2 2,
x y x y
.
Este campo não é solenoidal:
2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 y x F F y x x y x y x y x y F . Note-se que
2 0 F .Logo, como o campo não é solenoidal, as linhas de forças são abertas. Com efeito, estas satisfazem a equação diferencial
ln ln ln k d y y d y d x y y x k k y e x d x x y x x
em que k é uma constante de integração. Mas então, introduzindo k
ce , infere-se que as linhas de força são as rectas que passam pela origem, i.e.,
yc x .
Com efeito, as equipotenciais serão as circunferências
x y,
a 0, i.e., tais que2 2 2
x y a .
Como o campo é irrotacional, tem-se
2 2
2 2 1 0 x y F F F F F
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 x y x x y y x y x y e e F e e .A origem
x y,
0, 0 é o ponto onde se localiza a fonte do campo. Se, em vez deste campo, se tiver o campo
1 2 2 2 , , 0, 0 x y x y x y e e G F ,a origem corresponderia, então, a um sorvedouro de G pois
2 2 1 x y G .
Página 13 1 2 1 2 ˆ 2 2 x y x y x y u u u u u u e e u u e e u u .
A derivada direccional de ao longo do vector u é então dada por
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ x y x y x y x y u u x u y u x y d d s x y u u x y u u e e e e u F uum que s é a coordenada medida ao longo do eixo correspondente a u . Por exemplo, se
1 2 u e e é uˆ
e1e2
2 e, consequentemente,
2 2
2 d x y d s x y .Assim, e.g., no ponto
x y,
1, 1 obtém-se
1, 1 1d d s
.
O valor máximo da derivada direccional é precisamente e corresponde a F 1
em qualquer ponto. Já a derivada direccional ao longo de u , calculada no ponto
x y,
1, 0 , assume o valor
1 1, 0 2 d d s . EXEMPLO 6Vamos agora comparar o rotacional dos seguintes campos vectoriais:
1 2 2 0 2 2 2 0 2 2 , , exp , exp . a b c x y y x y y v b x x v a v e e v e v e Tem-sePágina 14 3 2 0 2 2 3 2 , 0, 2 exp . a b c x x v a a v e v v e
O primeiro campo vectorial, v , tem um rotacional que é dirigido segundo o eixo a z: podemos imaginar que se trata de um fluido, em movimento, em que cada ponto tem, em função do tempo, as coordenadas
cos , sin . x t a t y t a t Assim, o campo vectorial da velocidade é, efectivamente, dado por
,
1 2 sin
1 cos
2
1 2
a d x d y x y a t t y x dt dt v e e e e e e .Note-se que a intensidade deste campo de velocidades é constante e dada por
2
2
, , sin cos
a a
v x y v x y a t t a. As linhas de força deste campo v são tais que a
2 2 1 1 2 2 d y x y d y x d x y x k d x y 2 2 2 2 2k c x y c .
Um torniquete, formado por uma roda hidráulica com pás (i.e., um roda de palhetas), colocado em qualquer ponto do fluido irá rodar sempre com a mesma velocidade angular . Já no caso do campo de velocidades vb
y , em nenhum ponto o torniquete irá rodar: em qualquer ponto a velocidade do fluido dirige-se, sempre, segundo y, i.e., as linhas de força são as rectas0 0 b v d y d x x c d x .
Finalmente, no terceiro caso, em que se considera o campo de velocidades vc
x , o torniquete roda com uma velocidade angular que depende da coordenada x : apesar de avelocidade linear estar sempre orientada ao longo do eixo y, o fluido exerce um momento angular que não é nulo e, assim, provoca a rotação de uma roda de palhetas (excepto quando x0, caso em que o momento angular se anula).
Página 15 EXEMPLO 7
Consideremos o campo vectorial
x c z1
1
c x2 3z
2
x c y c z3 4
3
F e e e .
Determinemos as constantes c c c1, 2, 3 ec de forma que este campo vectorial seja 4
simultaneamente irrotacional (e, portanto, conservativo) e solenoidal. Como,
1 2 3 1 2 3 y x y x z z x y z F F F F F F x y z y z z x x y F F F e e e F e e e 3 1 2 1 3 0 y z x y z x F F F c c c y z x F F F x z y
c3 3
1
c1 1
2 c2 3 0 e e e .Logo, se o campo é irrotacional, deverá ter-se
1 2 1 2 4 3 3 1 0 3 3 3 c c x z z x y c z c F e e ede modo que o campo será ainda solenoidal desde que
4 4 1 0 0 1 y x F z F F c c x y z F .
Ou seja, deverá ter-se:
x z
1 3z 2
x 3y z
3
F e e e .
Admitamos, agora, que o respectivo potencial é tal que F . Nestas condições, vem
2 2 1 , 2 1 3 3 3 2 3 3 3 x y x F x z x x z y z x F z z x x z y z z y y d F x y z x y x y z z z d z Página 16 2 0 1 2 d z z d z .
Portanto, deve ter-se
2 2 0 1 1 3 2x x z y z 2z .
Admitindo, então, que o potencial é nulo em
0, 0, 0 , infere-se por fim que
1
2 2
, , 3 2 x y z z x z y x . EXEMPLO 8Um campo vectorial FF
x y z, ,
diz-se um campo de Beltrami se existir uma constante real 0 tal que
F F .
Isto significa que um campo de Beltrami é paralelo ao seu próprio rotacional. Para um certo valor próprio , um campo de Beltrami é o campo próprio do operador rotacional. Uma definição alternativa para um campo F de Beltrami é a seguinte:
0,
F F
uma vez que F F 0. Note-se que, em rigor, não é necessário que seja uma constante para que F seja um campo de Beltrami: o que é necessário, apenas, é que
F F , i.e., que se tenha F
F
0. Comecemos por verificar que um campo de Beltrami é necessariamente solenoidal. Com efeito, no caso em que é uma constante, vem
0
F F .
Portanto, as linhas de força de um campo de Beltrami são fechadas. Consideremos, a título de exemplo, o campo
z F zx
1F zy
2F e e .
Facilmente se verifica que
1 2 3 1 2 0 0 0 y x x y d F d F d d z d z d z F F e e e F e e
Página 17
pelo que, para ser um campo de Beltrami, terá de verificar as condições
2 2 2 2 2 2 0 cos sin cos sin 0 y x x x x x y y y y d F d F F z z F F d z d z d F d F F z z F F d z d z 1 2
cos z sin z cos z sin z
F e e .
Note-se que um campo de Beltrami tem um rotacional que também é um campo de Beltrami. De facto, seja G F em que F é um campo de Beltrami. Então,
1
1
F F G G F G G G
o que prova a afirmação.
EXEMPLO 9
São exemplos importantes de campos de Beltrami as ondas electromagnéticas com polarizações circulares ortogonais. Para uma onda (no vácuo) com PCD (polarização circular direita) o campo eléctrico escreve-se
0
1 2 0 , exp exp 2 x y z t i t E z i i k z E z E z E E E e e de forma que
1 2 3 0 1 2 0 1 2 0 0 0 exp 2 y x x y z d E d E E d k i i k z d z d z d z E E E e e e E e e e e 0 PCD k E Eo que prova que, efectivamente, se trata de um campo de Beltrami. Analogamente, para uma onda com PCE (polarização circular esquerda), vem
0
1 2 0 , exp exp 2 x y z t i t E z i i k z E z E z E E E e e e, consequentemente,Página 18
1 2 3 0 1 2 0 1 2 0 0 0 exp 2 y x x y z d E d E E d k i i k z d z d z d z E E E e e e E e e e e 0 PCE k E E . EXEMPLO 10Consideremos, agora, o campo de Beltrami
1 2 2 1 z z e e F .
Comecemos por notar que
1 2 3 1 2 1 2 2 2 1 0 0 1 1 0 y x x y d F d F z d d z d z d z z z F F e e e e e F e e 2 1 1 z F F .
Portanto, neste caso, trata-se de um campo de Beltrami F
F em que
não é uma constante pois
2
1 z
.
A definição geral de um campo de Beltrami F é, portanto, a de que se deve ter
0
F F
o que se verifica neste exemplo. O campo é, ainda neste caso, solenoidal. Com efeito, tem-se 0 y x F z F F x y z F
e as linhas de força do campo satisfazem, no plano zz0, a equação diferencial
00 0
0 1 1 y x F z d y y x x c d x F z z z .No plano z0 as linhas de força correspondem a d x0, i.e., às rectas xc. Notemos que, em geral, se tem
Página 19
G G G .
Assim, no caso geral em que
x y z, ,
, obtém-se1 2 3 x y z e e e .
No caso concreto deste exemplo, em que
2
1 z , vem simplesmente 3 2 3 d z d z e e .
Assim, neste caso,
2 2 1 1 1 1 0 z z G F F G G F G F
2
1 2
3
1 2 0 1 z Fx Fy z G e e e .Este resultado coincide, como não podia deixar de ser, com o facto de se ter
Fx Fy 0
x y F F G F G . EXEMPLO 11Consideremos, agora, a questão seguinte: em que condições é que a forma diferencial
d F dr
corresponde a uma forma diferencial exacta? Por definição, uma forma diferencial (ou simplesmente uma diferencial) é exacta desde que F , i.e., desde que o campo vectorial F
x y z, ,
seja irrotacional ou conservativo:1 2 3 x y z F e e e .
Logo, em geral, para se ter uma diferencial exacta
, ,
, ,
, ,
x y z
d F drF x y z d xF x y z d yF x y z d z
Página 20 y x x x z y y z z F F F y x x F F F y z x F F F z z y
uma vez que se tem
2 2 2 2 2 2 , , . y x x y z x x z z y y z
Isto é equivalente a dizer que F 0. Consideremos, a título de exemplo, a forma diferencial
3
2
2
2 3 1
d x yz d xx d y x z d z. Notando que, neste caso, se tem
1 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 6 2 3 1 z z x x z x y z x y z x x z e e e F e e e ,infere-se que F não é conservativo e, consequentemente, a diferencial em causa não é exacta. Já a forma diferencial
3
2
2
2 3 1 d x yz d xx d y x z d z, em que se tem
1 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 0 2 3 1 z z x x x y z x y z x x z e e e F e e ,é uma forma diferencial exacta. Para determinar o potencial
x y z, ,
neste caso, tem de verificar-se entãoPágina 21
3 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 , , 3 1 3 3 1 x y z x x y x z y z x x x y z z y y d x z x y x z z x z x z z d z 0 1 d z d z .Conclui-se, deste modo, que o potencial procurado é dado por
2 30
, ,
x y z x y x z z
.
Por vezes, na literatura, uma diferencial exacta é também designada por forma diferencial de Pfaff – em memória do matemático Johann Friedrich Pfaff (1765-1825).
