AULAS DE CONJUNTOS E FUNÇÕES

LOCAL: SANTANA DO ARAGUAIA-PA

PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO

BÁSICA – PARFOR

PROFESSOR: RIGLER ARAGÃO

ALUNO(A):__________________________________________________

PERÍODO DA DISCIPLINA: ___/___/______ A ___/___/_____

CONTATO COM A COORDENAÇÃO DO CURSO: [email protected]

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

FACULDADE DE MATEMÁTICA

AULAS DE CONJUNTOS E FUNÇÕES

C

ONJUNTOS

Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, pessoas etc.

Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por letras minúsculas.

Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras:

¾ Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Ex.: A={1,3,5}.

¾ Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos. Ex.: B={x /x é número ímpar menor que sete}.

¾ Pelo diagrama de Venn. Ex.: _•1 •3 •5

P

RINCIPAIS

S

ÍMBOLOS

∈

pertence

∉

não pertence / tal que

⊂

está contido

⊄

não está contido

∃ existe ao menos um

∃

! existe um único

∃/

não existe

∀

para todo ou qualquer

⇒

implicação

⇔

equivalência

∪

união

∩

intersecção

Exemplo

Sendo P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determina, por extensão, os seguintes conjuntos:

A = {x ∈ P / x = 3k, k ∈ P} = { } B = {x ∈ P / x = 2k_{, k ∈ P} = { }}

Observações

¾ Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado por

φ

ou { }.

¾ Quando o conjunto é infinito utilizamos reticências (...). Ex.: E = {1, 2, 3, ...}. ¾ Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é

subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é

elemento de B. Ex.: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então A

⊂

B ou A é subconjunto de B.

¾ Chamamos de A ∩ B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. Ex.: Se A = {1, 2, 3, 8} e B = {2, 8, 9} então A ∩ B = {2, 8}.

Considerando os conjuntos A e B do exemplo anterior, temos A ∪ B = {1, 2, 3, 8, 9}.

Principais Conjuntos Numéricos

C

ONJUNTO DOS

N

ÚMEROS

N

ATURAIS

–

N N = {0,

1, 2, 3, 4, 5, ...}

C

ONJUNTO DOS

N

ÚMEROS

I

NTEIROS

–

Z Z = { ...,

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

C

ONJUNTO DOS

N

ÚMEROS

R

ACIONAIS

–

Q

Q = {x / x =

a

, com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0}

b

Observações

¾ Z ⊂ Q, pois se a ∈ Z, a = a ∈ Q . 1

¾ Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois casos:

1) a representação decimal é finita:

7 = 1,75 ;

4 3 = 0,6 5

2) a representação decimal é infinita periódica:

1 = 0,333...

3 47 = 0,5222... 90

C

ONJUNTO DOS

N

ÚMEROS

I

RRACIONAIS

–

I

Considera os números

2

,

3

e

π

, suas representações decimais

são:

2

= 1,4142135...

3

= 1,7320508...

π

= 3,1415926535...

Observa que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma não

exatas são exemplos de números irracionais.

C

ONJUNTOS DOS

N

ÚMEROS

R

EAIS

a

. Todas as raízes

b

R = Q U I = { x / x é racional ou x é irracional}

Portanto, são números reais: • os números naturais; • os números inteiros; • os números racionais; • os números irracionais.

Podemos representar os Reais em uma reta que chamamos Reta Real:

Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do ponto ou abscissa do ponto.

Alguns Conceitos Importantes

M

ÓDULO DE UM NÚMERO

– ⎜ ⎜

O

módulo de um número é geometricamente a distância dele ao ponto de coordenada zero. Assim: a = ⎨ ⎧a, ⎩− a, se a ≥ 0 se a < 0 Exemplo Se a = 3 então a = 3 ou a = −3 Se a < 3 então − 3 < a < 3 Se a > 3 então a > 3 ou a < −3

P

AR

O

RDENADO

Se a e b são números reais, então (a,b) é um par ordenado de números reais, onde o primeiro elemento é a e o segundo elemento é b.

Representação Gráfica

y (Eixo das ordenadas)

b - - - - -• P(a,b)

o a x (Eixo das abscissas)

• P é o ponto de coordenadas a e b • O número a é chamado abscissa de P • O número b é chamado ordenada de P • A origem do sistema é o ponto O(0,0).

Exemplo

Representa os pontos: M(2,3), N(-1,4), P(-2,-1), Q(3,-2), R(4,0), S(-3,0), T(0,1) e V(0,-3).

Exercícios

1) Completa usando os símbolos

∈

ou

∉

:

a) – 7 N b) 2 Q c) ½ I d) 9 Q

4

2) Determina, por extensão, os seguintes conjuntos: a) {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 4} b) {x ∈ Z / -3 < x ≤ 3} c) {x ∈ Z / 0 ≤ x < 5} d) {x ∈ N / x ≤ 3} e) {x ∈ Z / x > 4}

Intervalos

Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b , com a < b, temos:

¾ intervalo aberto

(a, b) = { x ∈ R / a < x < b }

¾ intervalo fechado

[a, b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b }

¾ intervalo semi-aberto à direita

(a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b }

¾ intervalo semi-aberto à esquerda

[a, b) = { x ∈ R / a ≤ x < b } ¾ intervalos infinitos (a, + ∞) = {x ∈ R / x > a} [a, + ∞) = {x ∈ R / x ≥ a} (– ∞, a) = {x ∈ R / x < a} (– ∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a} Observação: (– ∞, + ∞) = R

Exemplos

Usando a notação de conjuntos, escreve os intervalos:

a) [6,10] = { x ∈ R / 6 ≤ x ≤ 10 } b) (-1,5] = { x ∈ R / -1 < x ≤ b } c) (-∞,3) = { x ∈ R / x < 3 }

Operações com intervalos

• Intersecção (∩)

• União (∪)

A ∪ B =

{ x ∈ U / x ∈ A ou x ∈ B }

• Diferença (–)

A – B =

{ x ∈ U / x ∈ A e x ∉ B }

Exemplos

1) Se A = {x ∈ R / 2 ≤ x < 5} e B = {x ∈ R / 3 ≤ x < 8}, determina A ∩ B, A

∪

B, e A – B. 2) Se A = {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 0} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x < 3}, determina A ∩ B, A

∪

B, e A – B.

Exercício: determina A ∩ B, A ∪ B e A – B quando:

a) A =

{x ∈ R / 0 < x < 3} e B = {x ∈ R / 1 < x < 5} b) A = {x ∈ R / -4 < x ≤ 1} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x ≤ 3} c) A = {x ∈ R / -2 ≤ x < 2} e B = {x ∈ R / x ≥ 0}

Funções

As funções desempenham um papel importante na ciência. A observação mostra que há certos fenômenos que apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico, desde que as condições iniciais sejam as mesmas. A busca de uma função que representa uma determinada situação é chamada “modelagem matemática”.

Suponhamos, por exemplo, que queremos estudar uma variação de espaço e tempo no fenômeno da queda de corpos no vazio. Procuramos a regularidade do fenômeno (a lei). Quanto menores forem os intervalos de tempo em que fizermos as medições, melhor se conhecerá a variação.

Suponhamos que se fizeram as medições de segundo em segundo e que encontramos: Tempos (em segundos) 0 1 2 3 4 5 ...

Distâncias (em metros) 0 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5 ... Esta tabela dá a primeira idéia da lei: d = ½ gt2

Se “t” é a variável do conjunto dos tempos e “d” a variável do conjunto das distâncias, a lei é a correspondência entre t e d. Dizemos que “d” é função da variável “t” e escrevemos simbolicamente d = f(t), onde t é a variável independente e d a variável dependente.

Dizemos que uma variável y é função de uma variável x, se e somente se, a cada valor de x (variável independente) corresponde um único valor de y = f(x) (variável dependente).

Outros exemplos

1) Se uma torneira despeja 30

l

de água por minuto, o volume de água despejada dependerá do tempo que a torneira ficar aberta:

Após 1 minuto será de 30

l

;

Após 2 minutos será de 2×30

l

= 60

l

; Após 5 minutos será de 5×30

l

= 150

l

; Após 40 minutos será de 40×30

l

= 1200

l

Indicando o tempo por x e o volume por y, temos y=30x. A cada valor de x tem um único valor para y. Dizemos que “y é função de x ”.

2) A tarifa do táxi é uma função do número de quilômetros rodados, ou seja, para cada

número de quilômetros rodados equivale um único valor a ser pago.

3) A cota de contribuição do imposto de renda é função do rendimento do individuo. 4) A receita total é função da quantidade vendida.

5) O custo Total depende da quantidade produzida.

A maioria das funções pode ser expressa através de uma relação (ou lei) matemática, como os exemplos anteriores. Entretanto existem funções que não podem ser expressas

por uma lei matemática. Neste caso a relação entre as variáveis é feita através de tabelas, conjunto de pares ordenados, etc...

Exemplo:

a temperatura máxima no mês de fevereiro de 2002, de uma certa cidade, é função da data, pois cada dia tem uma única temperatura máxima.

D

EFINIÇÃO

Uma função f de um conjunto A num conjunto B é uma regra que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Diz-se neste caso que a função f está definida em A com valores em B.

Indica-se que ƒ é uma função de A em B pela notação:

f : A → B (lê-se: função f de A em B)

x → y (lê-se: a cada valor de

x ∈ A

associa-se um só valor

y

de B)

O domínio de uma função f é o conjunto dos possíveis valores da variável

independente x. Indica-se por Dom f ou D(f ), assim, Dom ƒ = A;

Chamamos o conjunto B de contradomínio da função. Indica-se por C(ƒ), logo,

C(ƒ)=B;

Chamamos o elemento y de B, associado ao elemento x de A de imagem de x pela função ƒ. Indica-se y = ƒ(x);

Chamamos de Conjunto Imagem o conjunto dos elementos y de B que são imagens dos elementos x de A. Indica-se por Im ou Im(ƒ). OBS: Im(ƒ)⊆ Β.

reais.

Função real de variável real é aquela cujo domínio e contradomínio são os

Nas funções reais quando o domínio não está especificado considera-se que o domínio será de todos os reais x para os quais y = f(x) tem significado nos reais.

Exemplos e Exercícios

1) Expressa por meio de uma fórmula matemática a função f : R → R

x associa:

que a cada real

a) o seu quadrado b) a sua terça parte c) a sua metade somada com três

2) Resolve

Uma certa livraria vende uma certa revista por R$ 15,00 a unidade. Considerando “x” a quantidade vendida, expressa por meio de uma fórmula matemática a função receita total como função da quantidade vendida.

3) Se A = { -2, -1, 0, 1 } e f : A → Z definida por f(x) = x2 – 1 calcula Im(f).

4) Dada a função f : R → R , definida por f(x)=2x-7 pede-se:

⎛ 1 ⎞

⎛ 3 ⎞

a) f(-2) b)

f

⎜ ⎟

c)

f

⎜ ⎟

d)

f

(

0

)

⎝ 2 ⎠

⎝ 5 ⎠

5) Dada a função f : R → R definida por f(x)=x2-9x+14, determina:

a) f(-3) b) f(0) c) f(7)

6) Na função f : R → R definida por f ( x ) = 3 x − 1 , determina x para que f(x) = 0. 2 3

7) Determina o domínio das seguintes funções de variável real:

a) f ( x ) = 2x − 5 b) f ( x ) = 2x − 3 x − 2 c) f ( x ) = x + 2 − x + 4 d) f ( x ) = 3x − 2 + − x + 4 e) f ( x ) = g) f ( x ) = 3x − 2 x − 4 + 1 x − 2 f) f ( x ) = x 2 + 3x h) f ( x ) = 5x + 3 x 2 + 16

E

STUDO DO

G

RÁFICO NO

P

LANO

C

ARTESIANO

Analisa os gráficos a seguir e identifica quais representam e quais não representam funções. Em seguida, determina o domínio e a imagem das funções:

a)

y

-2 0 2

x

-2 x b)

y

2 0 2

x

c)

y

-2 0 2

x

d) e)

_{y y}

2 c f)

y

3 2 1

x

a -2 -1 0 2 b

x

-1 -2 d -1 0 1 2 3

_x

-1

Observações

¾ O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x).

¾ A imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y).

E

STUDO DO

S

INAL DE UMA

F

UNÇÃO

Os valores de x para os quais f(x)=0 chamam-se zeros ou raízes da função. Geometricamente os zeros de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo x.

¾ f é positiva para um elemento x, x ∈ Dom f se, e somente se f(x) > 0; ¾ f é negativa para um elemento x, x ∈ Dom f se, e somente se f(x) < 0.

Exemplo: y

+

_{A B}

+

0 1 2 3 4 5 x

–

Observando o gráfico acima, temos:

• f(1) = 0 e f(5) = 0 , logo, os números 1 e 5 são os zeros da função; • f é positiva quando x ∈ (– ∞; 1) ou x ∈ (5; + ∞);

• f é negativa quando x ∈ (1; 5).

Observação: nota que o sinal da função para um elemento x, x ∈ Dom f é o sinal de

C

RESCIMENTO E

D

ECRESCIMENTO DE UMA

F

UNÇÃO

y

o

x

|ÅA Æ |ÅB Æ|

Observamos que:

¾ no intervalo A, aumentando o valor de x, aumenta também o valor de y. Dizemos então que a função é crescente no intervalo A .

¾ no intervalo B, aumentando o valor de x, o valor y diminui. Dizemos então que a função é decrescente no intervalo B.

De forma geral:

Sendo x1 e x2 elementos de um conjunto A ⊂ Dom f , com x1 < x2 ,

diz-se que a função é crescente em A se f ( x₁ ) < f ( x₂ ) e decrescente se f ( x1 ) > f ( x2 ).

Exemplo

Dada a função representada pelo gráfico abaixo, determina:

y

½

-1 -½ o 1 x

a) os zeros da função;

b) o(s) intervalo(s) onde a função é crescente e o(s) intervalo(s) onde ela é decrescente;

Exercício

Faze o gráfico da função f (x ) = −x + 3 . Em seguida responde:

a) Qual é o domínio da f?

b) Qual é a imagem de f.

c) Para que valor de x, f(x)= 0? d) Para

que valor de x, f(x) > 0? e) Para que valor

de x, f(x) < 0?

L

ISTA

C

OMPLEMENTAR DE

E

XERCÍCIOS

1) Determina, por extensão, os seguintes conjuntos:

a)

{

x ∈ Ν / − 2 ≤ x ≤ 4

}

c)

{

x ∈ Ν / − 7 ≤ x < − 3

}

e)

{

x ∈ ℜ / x 2 − x − 12 = 0

}

b)

{

x ∈ Ζ* /− 1 < x ≤ 3

}

d)

{

x ∈ Ν * / 3x − 2 = 10

}

f)

{

x ∈ ℜ / y 2 + 1 = 3

}

2) Os conjuntos A = iguais? Justifica.

{

x / x ∈ Ν e 2 ≤ x < 4

}

e B =

{

x ∈ ℜ / x 2 − 5x + 6 = 0

}

são

3) Dados A=(-4,3], B=[-5,5] e E=(-

∞

,1), calcula:

a) A ∩ Β ∩ E b) Α ∪ Β ∪ E c) (Α ∪ Β) ∩ Ε

4) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, então qual é o

conjunto P = (Α − C) ∪ (C – B) ∪ (Α ∩ Β ∩ C)

5) Qual é a intersecção dos conjuntos Q ∪ (Ν ∩ Ζ) e (Ζ ∩ Q) ∪ Ν ? 6) Sendo f : ℜ → ℜ uma função definida por f(x)=x2-3x-10 , calcula: a) f(-2) b) f(-1) c) f(0) d) f(1/2)

7) Dada a função

f : ℜ → ℜ

definida por f(x) = x2 – 5x + 6, calcula os valores reais

de x para que se tenha:

a) f(x)=0 b) f(x)=12 c) f(x)=6

8) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 5x – b. Calcula o valor de a

e b de modo que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3.

9) Dada a função f : ℜ → ℜ definida por f(x) = x2 – x – 12, determina k para que f(k + 1) = 0.

10) Dada a função f ( x ) = 1 + 1 , x − 2

a) qual o valor de f(-1) e 3f(0)?

x − 3

b) Encontra m de modo que m = f (1) + f (0) c) Calcula x para que f(x)= 3 .

2

11) Calcula o domínio das funções:

g) f (x ) = x − 1 + 2x x − 1 x 2 − 9

x 3

b) f ( x ) = 2x − 1 h) f ( x ) = 3x c) f ( x ) = x − 1 x − 2 i) f ( x ) = x 2 − 3x d) y = x + 5 e) y = 5x − 3 j) y = 3x − 2 4x + 3 k) y = x 3 f) y = x + 2 l) y = x + 2x - 1 4 x − 4 x - 3

12) (PUC/Campinas-SP) Em uma certa cidade, os taxímetros marcam,

nos percursos sem parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximétrica) e mais

0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, qual foi o total de quilômetros percorridos?

13) Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções.

Respostas

1) a){0,1,2,3,4}; b){1,2,3}; c){}; d){4}; e){-3,4}; f){

− 2

2) Sim. A = B = {2,3}

3) a) (-4,1); b) (

− ∞

,5]; c)[-5,1)

4) {a,b,c,e} 5)

Ζ

6) a) 0; b) -6; c) -10; d) -45/4 7) a){2,3}; b){-1,6}, c){0,5} 8) a =3 e b =2 9) k =-4 ou k =3 10) a) -7/12, -5/2; b) - 7/3; c) {4, 7/3} 11) a) {x ∈ ℜ / x ≠ −3 e x ≠ 1 e x ≠ 3} ou IR – {-3, 1, 3}; b) [½ ; +∞); c) (2; +∞); d) ℜ; e) ℜ; f) ℜ; g) [1; +∞); h) ℜ; i ) ℜ; j ) {x ∈ ℜ / x ≠ −3 / 4} ou IR – {¾} ; k) ℜ; l )

{x ∈ ℜ / x

≠ 4 12) 21; e x ≠ 3 } ou IR – {3, 4} 13) a) Dom f = [−2,3) Im f = [−2,2) Dom f = (−2,4) b) Im f = (−2,3) Dom f = [0,5] c) Im f = [0,2] Dom f = (−3,3) d) Im f = [−1,3] Dom f = [−3,4] − {1} e) Im f = (−2,3] Dom f = (−3,3) − {1} f) Im f = (−1,3)

PRINCIPAIS

Funções Elementares

F

UNÇÃO

C

ONSTANTE

Dado um número real k, chama-se função constante a função definida por f(x) = k.

Exemplos

a) f(x) = 1 b) f(x) = -3 c) f(x) =

2

d) f(x) =

5

3

f : ℜ → ℜ

,

Gráfico da função constante

O gráfico da função constante f(x) = k é uma reta paralela ao eixo x passando pelos pontos de ordenada y = k. Nos exemplos (a) e (b) acima temos:

a) b) y y 0 x 1 0 x -3 f(x) = 1 f(x) = – 3

F

UNÇÃO

P

OLINOMIAL DO

1

º

G

RAU

função

Dados os números reais a e b, com a ≠ 0, chama-se função do 1º grau a

f : ℜ → ℜ

, definida por y = ax + b ou f(x) = ax + b.

O número a é chamado coeficiente angular e o número b é chamado

coeficiente linear (onde a reta corta o eixo y).

Exemplos

a) f(x)=5x-2 coeficiente angular: coeficiente linear:

b) y = x + 3 coeficiente angular: coeficiente linear:

c) g(x)= − x

2 coeficiente angular: coeficiente linear:

Gráfico da função polinomial do 1ºgrau

O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não-paralela nem ao eixo x nem ao eixo y. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem também é o conjunto dos números reais. Ou seja, Dom f=

ℜ

e Im f =

ℜ

.

Exemplos

1) Constrói o gráfico das seguintes funções

:

a) Y = 2x+3 b) y = -2x+3

2) Escreve a função correspondente ao gráfico:

5 4 3 2 1 1 2 3

L

ISTA

C

OMPLEMENTAR DE

E

XERCÍCIOS

1) Dada a função f(x) = 4x – 2, pede-se: a) o valor de x para o qual se tenha f(x)=0. b) o valor de x que tem imagem 1.

2) Sendo f(x+3) = 2x + 4, pede-se: a) f(0) b) f(5)

3) Constrói o gráfico das funções abaixo, determinando domínio, imagem, zero da função

e sinal da função.

a) y = x b) f(x)= 2 c) f(x) =5-3x d) f(x)=0

4) Dada a função linear y = ax + b, sabe-se que f(1) = 6 e f(2) = 11. Encontra a e b.

5) Dá a lei da função determinada pelo gráfico abaixo.

y

2 1

6) Um ciclista, com velocidade constante (a partir dos 5 primeiros minutos), percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico abaixo.

y(espaço em km) 10

5

5 15

Em quanto tempo percorrerá 15 km?

x(tempo em minutos)

7) O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y é composta de duas partes: uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número x de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20.

a) Expresse y em função de x.

b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km?

8) O gráfico a seguir representa o deslocamento de um móvel em uma trajetória retilínea:

e(m) 30 0 3 t(s) Determina: a) e em função de t; b) o espaço inicial;

c) o espaço percorrido no instante t=2s; d) o tempo gasto para percorrer 10m.

Respostas

1) a) x = 1 b) x = 3 2) a) –2 b) 8 4) a = 5 e b = 1 5) f ( x ) = 1 x + 5 6) 25min

2 4 4 4

F

UNÇÃO

P

OLINOMIAL DO

2

º

G

RAU

Dados os números reais a e b, com a ≠ 0, chama-se função polinomial de 2º

grau ou função quadrática a função

f(x) = ax2 + bx + c.

Exemplos

f : ℜ → ℜ , definida por y = ax2 + bx + c ou a) f(x) = x2 – 4x – 3 a = b) y = x2 – 9 a = c) g(x) = – 4x2 _{+ 2x – 3 a =} d) h(x) = x2 + 7x a = b = b = b = b = c = c = c = c =

Exercício

: Sendo f(x) = (m + 5)x2 + 2x – 4, determina m de modo que: a) f(x) seja do 2º grau

b) f(x) seja do 1º grau

Gráfico da função quadrática

O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva denominada parábola. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é um subconjunto dos números reais. Ou seja,

Dom f=

ℜ

e Im f ⊂

ℜ

.

Exemplos

Constrói o gráfico das seguintes funções

:

Concavidade

O sinal de a (coeficiente de x2) determina a concavidade da parábola. Assim: ¾ Se a > 0 (a positivo), a concavidade é voltada para cima:

∪

¾ Se a < 0 (a negativo), a concavidade é voltada para baixo:

∩

Podemos verificar isto nos exemplos anteriores, onde f(x) tem concavidade voltada para cima, pois a = 1 e g(x) tem concavidade voltada para baixo, pois a = – 1.

Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau

Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representação gráfica, são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x.

Denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda equação da forma

ax2 + bx + c = 0 , onde x é a variável e a, b, c

∈ ℜ

com a

≠

0.

Oservação: c é a ordenada do ponto (0, c), onde a parábola corta o eixo y.

Exemplos

a) 2x2 – 3x + 1 = 0 a = 2; b = -3; c = 1 b) x2 – 4 = 0 c) y2 + 3y = 0 a = 1; a = 1; b = 0; b = 3; c = -4 c = 0 d) 5x2 = 0 a = 5; b = 0; c = 0

Resolução de Equações do 2º Grau

Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução (ou conjunto verdade) dessa equação. Para a resolução das equações do 2º grau, utilizamos a Fórmula Resolutiva ou

Fórmula de Báskara dada abaixo:

Se

ax

2

+ bx + c = 0

e

a ≠ 0

, então x = − b ± Δ 2a

,

onde Δ = b 2 − 4ac ¾ Se Δ ≥ 0 ¾ Se Δ < 0 ⎧Δ = 0 a equação tem raízes reais _⎨

⎩Δ > 0 a equação não tem raízes reais.

V

⎛ − b

⎜ ⎟

,−

Δ ⎞

⎝ 2a 4a ⎠

Exemplos: Dada a função f, calcular os zeros desta função.

a) f(x) = 2x2 – 3x + 1 b) h(x) = x2 – 4 c) g(x) = x2 + 3x

d) y = 5x2 e) g(x) = x2 – 5x + 7 f) y = x2 – 6x + 9

Vértice da Parábola

Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por

V(x

v

,y

v

)

onde

x v = − b 2a e yv = − Δ 4a Assim: ordenada do vértice abscissa do vértice

Exemplos

1) Determina as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f (x ) = x 2 − 3x + 2

2) Determina a e b de modo que o gráfico da função definida por y = ax 2 + bx − 9

tenha o vértice no ponto (4,-25).

Exercícios

1) Dada a função f, calcula os zeros desta função e representa graficamente, sendo: a) f ( x ) = x 2 − 7x + 6 b) f (x ) = x 2 − 2x + 6 c) f ( x ) = −x 2 − 2x − 1 d) f ( x ) = x 2 − 3 e) f (x ) = −x 2 + 36 f) f ( x ) = ( x − 4)2 g) f ( x ) = ( x + 9)2 2) Sendo f ( x ) = 3 x 2 + 3x − 3 calcula: a) f(3) b) f (3) − f ( 3 ) 3 + 3

3) Dadas as funções reais f(x) = x2 – 1 e g(x) = –x2, calcula o valor de f(–1)

.

g(–2).

4) Sendo f(x) = x2 + 2x – 1 e g(x) = x2 , determina os valores de x para os quais f(x) = g(x).

5) Determina k, de modo que f(x) = (k – 3)x2 – 4 não possua raízes reais.

Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau

Examinando os gráficos abaixo, observa-se que:

y y yv V xv 0 x 0 xv x yv V Se a

>

0,

_yv

= − Δ 4

a

é o valor Se a

<

0,

yv

= − 4Δ

a

é o valor

mínimo da função. máximo da função.

Exemplos

1) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor?

2) Os lados de um terreno retangular medem x e y (em metros). Sabendo que o

perímetro desse retângulo é de 20m:

a) determina sua área em função de um dos lados; b) constrói o gráfico dessa função;

Estudo do Sinal da Função do 2º Grau

O estudo do sinal da função é feito analisando-se o esboço do gráfico.

Exemplos

Estuda o sinal das seguintes funções do 2º grau:

a) y = 3x 2 − 4x + 1 _b)

y = −x 2 + 6x − 9 _c)

y = x 2 _{− 16}

Exercício

Considera a função f(x) = x2 – 6x. Esboça o gráfico, determina o domínio, a imagem, os zeros da função, seus intervalos de crescimento e decrescimento, o vértice, o valor de máximo ou mínimo e o sinal da função.

L

ISTA

C

OMPLEMENTAR DE

E

XERCÍCIOS

1) Sendo f : ℜ → ℜ uma função definida por f(x) = x2 – 1, calcula:

a) f ⎜ ⎟ b) f

(

1 − 2

)

⎛ 1 ⎞ ⎝ 2 ⎠

2) Dada a função f(x) = x2 + 4x + 4, calcula k para que f(k – 1) = 0.

4) Determina os valores de p para os quais a função f(x) = (4 – 8p)x2 + x – 7 é quadrática.

5) Determina os zeros das funções abaixo: a) f(x) = 6x2 + 5x – 4 b)

f(x) = – x2 _{– 2x – 1 c) f(x)}

= x2 – 3

d) y = x(2x – 1) + 3(x – 3) – x2

6) (EEM-SP) Determina os valores de m para os quais a equação a seguir admita

duas raízes iguais: x2 + (m + 2).x + (2m + 1) = 0

7) Determina o valor máximo ou mínimo de cada uma das funções em ℜ.

a) f(x) = – 3x2 + x + 2

b) f(x) = x2 – 2x + 4 c) f(x) = x2 + 5x

d) f(x) = 4 – x2

8) Sendo 4 a abscissa do mínimo da função f(x) = 4x2 – (3m – 1)x + 3, determina m. 9) Determina os valores de a e c , de modo que o gráfico da função y = ax2 – x + c

passe pelos pontos (1, 2) e (–3, 5).

10) O vértice da parábola y = x2 – 4x + 1 está no ponto (2, b). Calcula b.

11) Faze o gráfico cartesiano e dá o domínio, a imagem, as raízes, o valor de máximo ou

de mínimo e o sinal das funções abaixo:

a) y = x2 – 6x + 5 b)

f(x) = – 2x2 _{+ 6x c) g(x)}

= 3x2

d) h(x) = 2x2 – 8

12) Dado o gráfico ao lado, determina: a) as raízes da f;

b) f (1);

c) os valores de “x” tais que f(x) = 4; d) o intervalo onde f é crescente e

o intervalo onde f é decrescente;

y 4 3

-2 0 1 2 x

13) Um terreno de forma retangular tem perímetro igual a 40 m.

a) Expressa a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados. b) Constrói o gráfico dessa função.

c) Calcula as dimensões desse terreno para que a área seja máxima.

14) Dada à função representada pelo gráfico abaixo determina:

y a) Dom f b) Im f c) os zeros da função; -4 -3 _{-1 1 x} -2

d) os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente; e) os intervalos onde f é positiva e onde é negativa.

15) Escreve a função do 2º grau representada pelo gráfico abaixo.

y

3

0 1 3 x

16) Seja a função

f : ℜ → ℜ

definida por f(x) = x2 – 6x + m + 1 com m ∈

ℜ

. Determina m, de modo que f:

a) possua duas raízes reais e distintas. b) possua uma raiz dupla.

c) não possua raiz real.

17) Seja f(x) = mx2 + nx +3. Determina m e n, sabendo que f(1) = f(3) = 0.

18) Sabe-se que para x = 1 a função f(x) = (a – 1)x2 + 2ax + a – 3 admite seu valor máximo. Calcula o valor de a.

19) A parábola que representa graficamente a função y = –2x2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, k). Determina o valor de k.

Respostas

1) a) − 3 ; b) 2(1- 2 ); 2) k = -1; 3) p ≠ 1 ; 4 2 4) a) 1/ 2 e − 4 / 3 ; b) –1; c) − 3 ou 3 ; d) − 1 + 10 ou − 1 − 10 ; 5) m = 0 ou m = 4; 6) a) máx. yv=

25 / 12

; b)mín. yv=3; c) mín. yv=

− 25 / 4

; d) máx.yv=4; 7) m = 11; 8) a = −1/ 8 ou c = 25 / 8 ; 9) b = -3 10) a) _y b) y 9 5 4 3 1 5 x - 4 0 3 3 x 2

Domf = ℜ Imf = [−4;+∞) Domf = ℜ Imf=(−∞;

9

]

4

zeros: 1 e 5 zeros: 0 e 3 min.:yv = −4 máx.:yv =

9

4

f é pos.:(−∞;1)∪(5;+∞) f é pos.:(0;3) f é neg.:(1;5) f é neg.:(−∞;0)∪(3;+∞) c) d) y y - 2 0 2 x 0 x - 8

Domf = ℜ Imf=[0;+∞) Domf = ℜ Imf = [−8;+∞) zeros: 0 zeros: −2 e 2

mín.:yv= 0 mín.:yv = −8

f é pos.: ℜ * = (−∞;0)∪(0;+∞) f é pos.:(−∞;−2)∪(2;+∞) f é neg.:(−2;2)

11) a) x1 = -2 e x2 = 2; b) f (1) = 3 ; c) x = 0; d) f é cresc.: (-∞,0] e f é decrec.: [0,+∞); e) f é pos.: (-2, 2) e f é neg.: (-∞, -2)

∪

(2, +∞ ); 12) a) A(x) = -x2 + 20x; b) y 100 c) x = 10m e y = 10m ; 0 10 x 13) a) Dom f : (-∞,1]; b) Imf: [-2, +∞) ; c) x1 = -4 e x2 = -1;

d) f é cresc.: [-3,1] e f é decrec.: (-∞,-3]; e) f é pos.:(-∞,-4)

∪

(-1,1] e f é neg.: (-4,-1);

14) f (x) = x2- 4x +3; 15) a) m< 8; b) m = 8; c) m > 8; 16) m = 1 e n = - 4;

p r e ç

Funções: aplicações

F

UNÇÕES DE

O

FERTA E

D

EMANDA

L

INEAR

A demanda ou procura de um bem depende de vários fatores: preço, qualidade, concorrência, renda do consumidor, gostos, clima,... Vamos supor todos esses fatores constantes, exceto o preço, então podemos expressar a quantidade demandada (x) em função do preço (y) através da equação

y = ax+b

.

Observamos que, em geral, a demanda ou procura de um produto diminui à medida que o preço desse produto aumenta, isto é, a demanda é expressa através de uma reta com declividade negativa (a < 0). Salientamos que somente os segmentos que estão no primeiro quadrante têm sentido para a análise econômica. A oferta linear tem

declividade positiva porque a oferta (vontade de vender) de um produto cresce com o

aumento do preço.

Diz-se que existe equilíbrio de mercado em relação a determinado produto, quando a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada dessem produto. Algebricamente o ponto de equilíbrio é a solução do sistema formado pelas equações de demanda e oferta.

y y p r e ç o o

x x

a < 0 quantidade demandada a > 0 quantidade ofertada

y Oferta p r e _Equilíbrio ç o x _quantidade Demanda Exercícios

1) Com um preço de R$ 5,00 por unidade, uma fábrica oferecerá mensalmente 5.000

lanternas de pilha; a R$ 3,50 por unidade, ela oferecerá 2.000 unidades. Determina a equação da função de oferta para este produto. Traça o gráfico desta equação.

2) Uma companhia de ônibus observou que, quando o preço de uma pequena

excursão é de R$ 5,00, 30 pessoas compram bilhetes; quando o preço é de R$

8,00, são vendidos apenas 10 bilhetes. Encontra a equação de demanda e traça o gráfico da equação.

3) Dado o sistema ⎧y = 5 − 3x _⎨

⎩y = 4x + 2

a) determina qual das equações expressa curva de oferta; b) determina qual expressa curva de demanda;

c) determina o ponto de equilíbrio; d) esboça os gráficos.

F

UNÇÕES

C

USTO

T

OTAL

, R

ECEITA

T

OTAL E

L

UCRO

T

OTAL

Custo total

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de x e à relação entre eles chamamos função custo total (e indicamos por Ct). Verifica-se que, em geral, existem

alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por Cf). À parcela de custos que depende de x chamamos custo variável (e

indicamos por Cv). Desta forma, podemos escrever: Ct(x) = Cf + Cv(x)

Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por Cm) o custo

total dividido pela quantidade, isto é:

C (x ) = Ct ( x ) m

x

Receita total

Suponhamos agora que x unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de x e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p=f(x). Assim, a receita total pode ser expressa através da função demanda como:

R(x) = p.x = x.f(x)

Lucro total: Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função

receita e a função custo total, isto é:

L(x) = R(x) − Ct(x)

Os valores de x para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos

Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico é achar o lucro.Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as raízes da função lucro total. Outro problema é achar o lucro máximo. Para polinômios de 2º grau, será suficiente determinar o vértice da parábola, no caso em que esta tenha os ramos para baixo. A abscissa do vértice será o ponto de máximo (quantidade produzida que torna o lucro máximo) e a ordenada do vértice do vértice será o valor

máximo do lucro Receita Total y . Custo Total a - pontos de nivelamento - b x y Lucro Máximo a b x

Exercícios

1) O custo fixo de uma empresa é 500u.m. sendo o custo variável C ( x ) = 1 x 2 − 20 x. v

2 A função demanda é dada pela expressão p = − 1 x + 40 . Determina:

2

a) as funções receita, custo total e lucro total; b) o intervalo onde o lucro total é positivo;

c) o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro.

2) Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto

fixo de 600u.m. e, em material, gasta 25u.m. por unidade produzida. Cada unidade será vendida por 175u.m.. Determina:

a) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter o nivelamento; b) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter um lucro de

L

ISTA

C

OMPLEMENTAR DE

E

XERCÍCIOS

1) Supondo que o custo total para fabricar “x” unidades de um certo produto seja dado

por: Ct (x) = x2 + 8, determina: a) o custo fixo;

b) o preço variável;

c) o custo de fabricação de quatro unidades; d) o

custo de fabricação da quarta unidade; e) a função do custo médio;

f) o custo médio de produção das quatro primeiras unidades.

2) O custo total para um fabricante consiste de uma quantia fixa 200 μ m somado ao custo de

produção que é de 50 μ m por unidade. Expressa o custo total como função do número de unidades produzidas e constrói o gráfico.

3) Se o preço de venda de um certo produto é 70 μ m e “x” representa a quantidade vendida,

determina:

a) a função receita total;

b) o gráfico da função receita total.

4) Considera a função custo total do exercício (2) e a função receita total do exercício (3). Determina:

a) a função lucro total;

b) o ponto crítico (de nivelamento);

c) os valores de “x” para os quais o lucro é negativo; d) os valores de “x” para os quais o lucro é positivo;

e) os gráficos das funções custo, receita e lucro no mesmo sistema de eixos.

5) Determina o ponto crítico e esboça os gráficos das funções receita, custo total e lucro

total em cada caso:

a) Rt (x) = 4x e Ct (x) = 20 + 0,25x b) Rt (x) = 0,5x e Ct (x) = 50 + 2x

6) Uma editora vende certo livro por 60 μ m a unidade. Seu custo fixo é 10.000 μ m e o custo

variável por unidade é 40 μ m.

a) Qual o ponto de nivelamento?

b) Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a 8.000μm?

c) Esboça os gráficos da receita, custo e lucro no mesmo sistema de eixos.

7) Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária e

demanda diária são: p = 20 + 5x e p = 110 – 4x, respectivamente. Determina:

a) o preço para que a quantidade ofertada seja igual a 50;

b) a quantidade vendida quando o preço é 10 μ m;

c) o ponto de equilíbrio do mercado;

d) os gráficos das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos; e) interpreta o resultado obtido em (c).

8) O aluguel de um carro numa agência é de 14000 μ m mais 150 μm por quilômetro rodado.

Uma segunda agência cobra 20.000 μm mais 50 μ m por quilômetro rodado. Qual a agência que oferece o melhor preço de aluguel? Faze o gráfico como auxílio.

Respostas:

1) a) Cf = 8; b) Cv(x) = x2; c) 24; d) 7; e) Cm(x) =

x + 8 ; f) 6.

2) Ct (x) = 50x + 200 3) a) Rt (x) = 70x Ct b) Rt Rt Ct 280 400 200 x 4 4 4) a) Lt (x) = 20x – 200; b) (10,700); c) x < 10 ; d) x > 10 Rt e) C_t 700 200 -200 Lt 10 x 5) a) (25,100) “Lt (x) = 2x – 50” b) (80,40) Lt (x) = 0,25x – 20” 100 50 -50 Rt Ct Lt 25 x 40 20 -20 Rt Ct Lt 80 x

6) a) (500, 30 000) b) 900 unidades c) Rt Ct 30000 10000 xLt 7) a) 270 μ m b) 25 c) (10,70) d) -10000 oferta 500 110 70 20 10 _x e) x < 10 lucro negativo x > 10 lucro positivo

8) Para distâncias menores que 60 km, a primeira agência e para distâncias maiores que 60

km, a segunda agência. Ag1 2300 2000 1400 Ag2 60 _x

F

UNÇÃO

M

ODULAR

É dado o nome de função modular à função

f

: ℜ → ℜ

, em que é associado à

x

o elemento

| x |

∈

ℜ

, ou seja,

y = | x |

ou

f(x) = | x |

.

Podemos também definir função modular utilizando a própria definição de módulo, fazendo assim com que ela se torne uma função de duas sentenças.

f (x ) = x

onde

x = ⎨

⎧x , se

x ≥ 0

⎩− x , se x < 0

Gráfico da função modular

O gráfico de uma função modular é a reunião de duas semi-retas bissetrizes do primeiro e segundo quadrantes que tem como origem o ponto O. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números reais não negativos. Ou seja, Dom f =

ℜ

e Im f =

ℜ

+.

Observação:

pela definição de módulo, podemos dizer que para todo número real x, o seu modulo |x| representa a distância do ponto (do eixo real) que representa o número x à origem.

Exemplos

1) f (x) = | x – 3 | Dom(f)

= ℜ

2) f(x) = | x | – 3

Dom(f) = ℜ Im(f) = [–3 , +∞)

Exercício:

faze o esboço do gráfico das funções abaixo definidas:

1) f(x) = | x - 1| 2) g(x) = | x | + 2 3) y = | x2 - 9 | y y y x x x 4) h(x) = − x 5) y = x − 4 6) p(x) = | x + 4| y y y x x x

F

UNÇÃO

P

OTÊNCIA

É dado o nome de função potência à função

f

com n ∈ Z* ou f(x) = xn , com n ∈ Z*.

Função Potência Positiva

¾ Se n = 1 ⇒ f(x) = x, função identidade

: ℜ → ℜ

definida por y = xn ,

y

¾ Se n é par e n ≥ 2, f (x) = x 2 f ( x ) = x 4 f ( x ) = x 6 y .... x ¾ Se n é ímpar e n ≥ 3, f ( x) = x 3 f ( x ) = x 5 ... _y x y Função Potência Negativa

¾ Se n é ímpar e n ≤ –1, f ( x ) = x −1 = 1 x f (x ) = x −3 = 1 ... x x 3 ¾ Se n é par e n ≤ –2, f ( x ) = x −2 = 1 y x 2 f ( x ) = x −4 = 1 ... x 4 x

p

F

UNÇÃO

R

AIZ N

-

ÉSIMA

Se n = 1 p onde p é inteiro positivo, a função potência tem a forma

1

f ( x ) =

_x

p =

abaixo.

x . Fazendo p variar, com p

≥

2, temos as funções representadas

¾ Se p é par. Por exemplo, f(x) = x y y = x x ¾ Se p é impar. Por exemplo, f(x) = 3 _x y y = 3 _x x

Observa que o domínio destas funções depende de p ser par ou ímpar, pois as raízes de índice par só estão definidas para x ≥ 0. Se p é par, o domínio será [0; +∞). Se p é ímpar, o domínio será ℜ .

Exercício: faze o esboço do gráfico das funções abaixo definidas:

1) f ( x ) = x − 2 2) g(x ) = x + 2

y y

L

ISTA

C

OMPLEMENTAR DE

E

XERCÍCIOS

Esboça o gráfico, determina o domínio e a imagem das seguintes funções:

1) f ( x ) = − x + 1 2) f ( x ) = x + 1 3) f ( x ) = − x − 1 4) f (x ) = x − 2 − 2 5) f (x ) = x − 2 + 2 6) f (x ) = x 2 − 1 7) f (x ) = x 2 − 4x + 3 8) f ( x ) = x + 2 9) f ( x ) = x − 1 10) f (x ) = x − 3 11) f ( x ) = x 2 + 7 12) f(x) = (x -3)3 13) f ( x ) = x 3 − 1 14) f(x) = 1 x 15) f(x) = − 1 x 16) f ( x ) = 1 x + 1 17) f(x) = 1 x − 2 18) f(x) = 1 x 8 19) f (x ) = 1 ( x − 1)2 20) f (x ) = ( x + 1) 3

Respostas

1) y -1 x 2) y 1 3) y 1 x x

Dom f = ℜ Dom f = ℜ Dom f = ℜ

4) 5) 6) y y y 2 x 2 -2 _{2 x} 1 -1 1 x

Dom f = ℜ Dom f = ℜ Dom f = ℜ

Im f = [−2;+∞) Im f = [2;+∞) Im f = [0;+∞)

7) y 8) y 9) y

1 -2 x 1 x 1 2 3 x

Dom f = ℜ Dom f = [−2;+∞) Dom f = [1;+∞) Im f = [0;+∞) Im f = [0;+∞) Im f = [0;+∞)

10) y 11) y 12) y

x 7

-3 3 x x

Dom f = [0;+∞) Dom f = ℜ Dom f = ℜ

13) y 14) 15) _{y y} -1 x 0 x 0 x Dom f = ℜ Dom f = ℜ* Im f = ℜ Im f = ℜ* Dom f = ℜ* Im f = ℜ* 16) y 17) y y 18) -1 x 2 x 0 x

Dom f = ℜ − {−1} Dom f = ℜ − {2} Dom f = ℜ*

Im f = ℜ* _{Im f =} ℜ* Im f = (0;+∞) y 19) 20) y 1 x -1 x Dom f = ℜ − {1} Dom f = ℜ Im f = (0;+∞) Im f = ℜ

*

x

F

UNÇÃO

E

XPONENCIAL

Dado um número real a, tal que a

≠

1 e a > 0, é dado o nome de função

exponencial de base a à função f : ℜ → ℜ definida por y = ax ou f(x) = ax .

Exemplos

a) f(x) = 2x b) f(x) =

(

2

)

x c) f(x) = (0,4)x ⎛ 1 ⎞ d) f(x) = ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ e) f(x)=

e

x

Gráfico da função exponencial

O gráfico de uma função exponencial é uma curva, em que devem ser observadas algumas particularidades:

¾ o gráfico nunca corta o eixo das abscissas (Ox), ou seja, a função não tem zeros (raízes);

¾ o gráfico corta o eixo das ordenadas (Oy) no ponto (0,1); ¾ os valores de y são sempre positivos.

Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números reais positivos. Ou seja, Dom f = ℜ e Im f =

ℜ

₊ = (0; +∞).

Quanto à base da função, devemos considerar dois casos:

¾ Base maior que um (a > 1) f (x) = ax ( a > 1 )

• A função é crescente. • Dom f =

ℜ

.

*

• Sua imagem são os reais positivos (Im =

_ℜ

₊ = (0; +∞)). • Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 > y1.

y

1

e

¾ Base entre zero e um (0 < a < 1) f (x) = ax ( 0 < a < 1 )

• A função é decrescente. • Dom f = ℜ .

*

• Sua imagem são os reais positivos (Im =

ℜ

₊ = (0; +∞)). • Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 < y1.

y

1

0 x

As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências naturais e sociais. A base mais comumente usada é o número e = 2,7182 ..., número irracional chamado número de Euler.

Assim a função exponencial de base e , f (x) = ex e a função exponencial de base

1/e , f (x) = (1/e)x = e-x têm os seguintes gráficos:

y y = ex y = e– x y

1 1

0 x 0 x

F

UNÇÃO

L

OGARÍTIMICA

Dado um número real a, tal que a

≠

1 e a > 0, é dado o nome de função

*

logarítmica de base a à função

f

:

ℜ

₊

→ ℜ

definida por y = logax ou f(x) = logax .

Exemplos

a) f ( x) = log₂ x

b) f ( x ) = log 1 x 2

ℜ

*

Algumas observações quanto aos logaritmos

¾ Definição de logaritmo: log a x = y ⇔ a

y = x _{, a > 0.}

¾ Só existe logaritmo de um número positivo, já que a base é positiva (a > 0) e o resultado de qualquer potência positiva é um número positivo.

¾ Quando a base não estiver escrita, subentendemos que é a base 10, ou seja log₁₀ x = log x .

¾ Quando a base for o número de Euler, a constante e, chamamos de “logaritmo natural” e usamos a notação ln, ou seja, log_e x = ln x .

Gráfico da função logarítmica

O gráfico de uma função logarítmica é uma curva, em que devem ser observadas algumas particularidades:

¾ o gráfico nunca corta o eixo das ordenadas (Oy);

¾ o gráfico corta o eixo das abscissas (Ox) no ponto (1,0), ou seja, 1 é a raiz ou zero da função;

¾ os valores de x são sempre positivos.

Seu domínio é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o

*

conjunto dos números reais. Ou seja, Dom f =

ℜ

₊ e Im f = ℜ .

Quanto à base da função, devemos considerar dois casos:

¾ Base maior que um (a > 1) f (x) = logax ( a > 1 )

• A função é crescente. • Dom f = *

.

+

• Sua imagem são os reais positivos(Im =

ℜ

).

• Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 > y1. y

0 1 x

¾ Base entre zero e um (0 < a < 1) f (x) = logax ( 0 < a < 1 )

• A função é decrescente. • Dom f =

ℜ

₊ .

• Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 < y1. y

0 1 x

Da mesma forma que na função exponencial, a base mais comumente usada é o número de Euler e chamamos este logaritmo de “logaritmo natural”: loge x = ln x .

Exercício:

faze o esboço do gráfico e determina o domínio e a imagem para cada função abaixo definida: x 1) f(x) = 8x 2) g(x) = 8x + 1 3) y =

⎛ 1 ⎞

_{⎜ ⎟}

_{− 2}

⎝ 3 ⎠

y y y x x x 4) h(x) = ln x 5) y = log 1 x 5 6) p(x) = 2 + ln x y y y x x x

⎨

⎨ ⎩

⎨

Funções Definidas por mais de uma Lei

E

XEMPLOS

Vamos construir o gráfico, determinar o domínio e a imagem de uma das cada funções abaixo. 1) f ( x ) = ⎧2x, se y x ≥ 0 ⎩− x + 1, se x < 0 x ⎧x + 1, se 2 < x < 5 2) _{g( x ) = ⎪− x} 2 , se − 2 ≤ x ≤ 2 y ⎪_{2, se x < −2} x ⎧x − 5, se y x > 3 3) h( x ) = ⎪− 2, se ⎪ − 2 ≤ x ≤ 3 ⎩− x − 4, se - 7 < x < −2 x

⎨ ⎩

E

XERCÍCIOS ⎧x 2 , se x ≥ 0 1) Dada a função f ( x ) = ⎨ ⎩− 2x, se x < 0 a) constrói o gráfico de f(x);

b) determina o domínio e a imagem da f; c) determina f(3), f(-1) e f [f(-2)];

d) determina o valor de x ∈ ℜ tal que f(x) = 4;

e) determina o valor de x ∈ ℜ tal que f(x) = 7.

⎧− x, para − 2 ≤ x ≤ 0

2) Dada a função f ( x ) = ⎪x 2 ,

⎪_4, para 0 < x ≤ 2 _{para 2 < x < 4}

a) constrói o gráfico da f (x);

b) determina o domínio e a imagem da f ; c) determina f(0), f(-1), f(2) e f(4);

d) determina o valor de x ∈ ℜ tal que f(x) = 2;

e) determina o valor de x ∈ ℜ tal que f(x) = 3.

3) Determina a função

y y = f ( x ) definida de

ℜ em ℜ , que representa a figura ao lado:

○ 2 1

-2● _{0 2 3 x}

⎨ ⎨

⎨ ⎩

⎨ ⎩

L

ISTA

C

OMPLEMENTAR DE

E

XERCÍCIOS

1) Constrói o gráfico e determina o domínio e a imagem da função

⎧− x + 2, se

f ( x ) = ⎨ x ≤ 0

⎩2, se x > 0

2) Constrói o gráfico, determina o domínio e a imagem das seguintes funções:

⎧− x + 1, se x ≥ 2 ⎧x + 1, se x > 2 a) f ( x ) = ⎪x, se ⎪ − 2 < x < 2 b) f ( x ) = ⎪x 2 , se ⎪ − 2 ≤ x ≤ 2 ⎩− 2, se x ≤ −2 ⎩2, se x < −2 ⎧x − 2, se c) f ( x ) = ⎪x 2 − 4, se x > 2 − 2 ≤ x ≤ 2 aqui, calcula f(-2), f(1), f(2), f(0) e f(5) ⎪_{2, se x < −2} ⎧x − 3, se x > 3 d) _{f ( x )} = ⎪− x 2 + 9, se ⎪− x − 3, se x − 3 ≤ x ≤ 3 < −3

aqui, calcula também f (-1), f(3) e f(-3).

3) Determina a função y = f(x) definida de ℜ+

y

em ℜ , que representa a figura abaixo

9 _{ 8 _z 0 6 10 x 4) Dada a função ⎧− x + 1, se ⎪ x > 5 f ( x ) = ⎨x, se ⎪ − 5 ≤ x < 5 ⎩− 2, se a) constrói o gráfico de f(x); b) determina f(3), f(0) e f(-4); c) determina D(f) e Im(f); x ≤ −5

d) determina o valor de x ∈ ℜ tal que f(x) =3;

2 3)

Respostas

1) 2) a) y 2

○

y -2 0 2 x -1 ● 0 x ● -2 Dom f =

ℜ

; Im f =

(-∞, 2

]

Dom f =

ℜ

; Im f =

(−∞, 2)

; 2) b) 2)c) y y ● 4 ● 3 ○

○

2 -2 0 2 x -2 0 2 x -4 Dom f =

ℜ

; Im f =

[0,

+

∞)

Dom f =

ℜ

; Im f =

[−4,

+

∞)

; f (-2) = 0; f (1) = -3; f (2) = 0; f (0) = -4; f (5) = 3 2) d) y 9 Dom f =

ℜ

; Im f =

[0,

+

∞)

; f (-1) = 8, f (3) = 0, f (-3) = 0. ● ● -3 0 3 x ⎧9, para 0 ≤ x < 6 f ( x ) = ⎨ ⎩− 2x + 20, para x ≥ 6 4) a) y 5

○

-5 0 5 x ● -2 ● -4

○

_-5 4) b) f (3) = 3; f ( 0) = 0; f (-4) = -2. 4) c) Dom f =

ℜ

; Im f = (- ∞, 5). 4) d) x = 3 ; 4) e) x = 8 .

Operações com Funções e Composição

O

PERAÇÕES COM

F

UNÇÕES

Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções f + g, f – g,

f.g e f/g de uma forma similar àquela pela qual somamos, subtraímos, multiplicamos e

dividimos números reais. Sejam f e g funções com domínios A e B, respectivamente. Então, as funções f + g, f – g, f.g e f/g são definidas da seguinte forma:

• (f + g) (x) = f(x) + g(x) Dom(f + g) = A ∩ B • (f – g) (x) = f(x) – g(x) Dom(f – g) = A ∩ B • (f.g) (x) = f(x).g(x) Dom(f.g) = A ∩ B • ⎜ f ⎟

(

x

)

= f

(

x

)

Dom ⎜ ⎟ = {x ∈ A ∩ B | g(x) ≠ 0} ⎛ ⎞ g _{⎠ g}

(

x

)

⎛ f ⎞ ⎜ _{g ⎟} ⎝ ⎝ ⎠

Exemplo: se f(x) = x 2 + 1 e g(x) = 3x − 4 encontra as funções f + g, f – g, f.g e f/g e

C

OMPOSIÇÃO DE

F

UNÇÕES

Além de somar, subtrair, multiplicar e dividir funções, outra maneira de combinar duas funções f e g para formar uma nova função é a composição. Dadas duas funções f e g, a função composta f o g

(

f o g

)(

x

)

= f

(

g

(

x

))

é definida da seguinte forma:

O domínio da função f o g é o conjunto de todos os x no domínio de g tal que

g(x) está no domínio de f. Ou seja,

(

f o g

)(

x

)

está definida sempre que g(x) e f(g(x)) estiverem definidas.

x g g(x) f f (g(x))

Exemplo: se f(x) = 5x − 6 e g(x) = 3x 2

encontra as funções f o g , g o f , f o f ,

g o g e determina o domínio em cada caso.

Exercício

Para cada item a seguir, encontra f + g, f – g, f.g , f/g e f o g domínio em cada caso.

e determina o

a) f ( x ) = 3x − 2 e g( x ) = −5x b) f ( x ) = x 3 _{e g( x )} = −2x − 5

c) f ( x ) = x 2 + 9 e g( x ) = −x + 4